演示文稿微分几何第二章曲面论第四节直纹面和可展曲面
微分几何 §4 直纹面与可展曲面
{
}
所以
v′ v ′ v b面
例.证明正螺面
v r = {u cos v, u sin v, av + b} 不是可展曲面。
v 证明：因为 r = {u cos v, u sin v, av + b} v 可以改写成 r = {0, 0, av + b} + u {cos v,sin v, 0} v v = a ( v ) + ub ( v ) .
命题2 一个曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为单 参数平面的包络 命题3 一个曲面为可展曲面的充要条件是它的高斯曲 率等于0 命题4 曲面上的曲线是曲率线的充要条件是沿此曲线 的曲面法线构成可展曲面 命题5 可展曲面与平面成等距对应，可展曲面可在 平面上展开.
v 2 1 2 r = u + v, 2u 3 + uv, u 4 + u 2 v 例:证明曲面 3 3 是可展曲面。 v 1 2 2 2 3 4 证明：因为 r = u + 3 v, 2u + uv, u + 3 u v v 可以改写成 r = u 2 , 2u 3 , u 4 + v 1 , u, 2 u 2 3 3 v v = a ( u ) + vb ( u ) . v′ v′ 2 3 4 a ( u ) = {2u, 6u , 4u } , b ( u ) = 0,1, u ,
§4
直纹面与可展曲面
1、直纹面--由直线产生的曲面 生成轨迹的每条直线叫直母线 直纹面上与每条直母线相交的曲线-导线 曲线曲线 2、直纹面的方程 设导线 a = a(u) ，b(u ) 直母线单位方向向量 直纹面 r = ( u, v ) = a (u ) + vb(u ) 3、常见直纹面有柱面、或是锥面、 柱面、或是锥面、 柱面 是一条曲线的切线曲面、正螺面 是一条曲线的切线曲面、正螺面等
微分几何--第二章1曲面的概念1.2光滑曲面 曲面的切平面和法线
3、切平面的方程 设曲面上一点为 P0( u0 ,v0 )，R (X,Y,Z)为切平面上任一点， 则
( R r (u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) 0
或写成坐标表示式
X x(u0 , v0 ) Y y (u0 , v0 ) Z z (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) 0 zv (u0 , v0 )
（3）如果交换参数，则正向改变为负向，曲面为双侧。
du dv rv dt dt
(u0 ,v0 )
ru
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点有 无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数切方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的 切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
r , rv (u0 , v0 ) (u0 , v0 ) v
如果它们不平行，即 面的正常点。
ru× rv 在该点不为零，则称该点为曲
3、正规坐标网 由ru， rv 的连续性，若 ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零， 则总存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零，
于是在这片曲面上，有一族 u 线和一族 v 线，它们不 相切，构成一正规坐标网。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
公式、曲面上向量的平行移动）
7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗
氏几何）
1.2
光滑曲面、曲面的切平面和法线
一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函
微分几何习题及答案解析
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
微分几何知识点整理——特殊曲线分析
微分几何——特殊曲线分析特殊曲线分析1． 直纹面：由连续族直线的轨迹形成的曲面:(,)()()S r u v a u b u v =+。
这里直纹面的v 曲线是直纹面的直母线，u 为一族与其相交的曲线。
2． 常Gauss 曲率曲面对于正常Gauss 曲率曲面，曲面的第一基本形式为222cos )I du dv =+； 对于Gauss 曲率恒为0的曲面，曲面的第一基本形式为22I du dv =+；对于负常Gauss 曲率曲面，曲面的第一基本形式为222c )I du h dv =+. 定理1 具有相同的Gauss 曲率的曲面总是等距等价的，这种等价也是局部的.3． 可展曲面：直纹面沿着它的每条直母线都只有一个切平面，或者说沿直母线，法向量平行，称其为可展曲面。
定理2 直纹面S 可展⇔ ()'(),(),'()0a u b u b u =.定理3 可展曲面局部地或为柱面，或为锥面，或为某条空间曲线的切线曲面.定理4 无平点的曲面为可展曲面⇔高斯曲率0K ≡.4． 全脐点曲面：全部由脐点构成的曲面，曲面上满足L M N E F G==。
定理5 曲面是全脐点曲面当且仅当曲面是平面或球面（或它们的一部分）.5． 极小曲面：平均曲率恒为0的曲面。
平面、正螺面都是极小曲面。
由公式222()EN FM GL H EG F -+=-，其充要条件是20EN FM GL -+=。
极小曲面是使面积的第一变分变为零的曲面。
除平面外旋转极小曲面必为悬链面，直纹极小曲面必为正螺面。
相关命题命题1 常高斯曲率曲面中的常平均曲面是全脐点曲面（平面/球面）或圆柱面. 推论1.1 可展曲面中的常平均曲率曲面是平面或圆柱面.推论1.2 极小曲面中的常高斯曲率曲面是平面.命题2 直纹面中的常Gauss 曲率曲面是可展曲面.命题3 直纹面中的常平均曲率曲面是平面、正螺面或圆柱面.推论3.1 直纹面中的极小曲面是平面和正螺面.相关图示所有可展曲面都是直纹面，且仅有柱面、锥面、切线面三种，如下图：常高斯曲率旋转曲面，在高斯曲率小于零时是伪球面：极小旋转曲面是悬链面：。
微分几何第二章曲面论第四节直纹面和可展曲面分解
(1) F [ x, y, z , ( x, y, z )] 0 对于S上的点, 上式为恒等式. 其次在包络S上任取一条曲线 (C )：r r (t ), r x(t )e1 y(t )e2 z(t )e3 , 即
曲线(C )上点的坐标也应满足 (1)式, 必有恒等式： F [ x(t ), y(t ), z(t ), (t )] 0
消去参数而得 ( x, y, z ) 0. 证： 若曲面族{ S }存在包络S， 由包络的定义， , P S , 对P( x, y, z ) S， 即对包络S上每一个点对应于 的一个确定值， 因而为S上点的坐标( x, y, z )的函数 ( x, y, z ), 代入S的方程F ( x, y, z, ) 0得：
换言之, 对包络S上每一点 ( x, y, z ), 可以找到这样的值，
使得四个数x, y, z, 满足方程组(3). 从方程组(3) 消去 , 得方程 ( x , y, z ) 0.
{ S }的判别曲面 . 这个方程表示一个曲面 S , 叫做曲面族
(3)高斯曲率. 直纹面的参数方程为r a ( u) vb ( u) ru a(u) vb(u), rv b(u), ruu a vb, ruv b, rvv 0,
ru rv a b v(b b ) n ru rv EG F 2 a b v (b b ) L ruu n (a vb ) , 2 EG F a b v (b b ) ( b , a , b ) M ruv n b 2 EG F EG F 2 N rvv n 0 2 2 2 LN M ( b , a , b ) ( a , b , b ) K 0. , 即K 2 2 2 2 2 EG F ( EG F ) ( EG F )
第二章 曲面论
第二章 曲面论 §1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为 ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何第二章曲面论第四节直纹面和可展曲面讲课讲稿
(3)高 斯 曲 率.
直纹
面的
参
数 方 程
为
ra(u )vb(u )
ru a (u ) v b (u )r,v b(u),
ruu avb, ruvb, rvv 0,
nL M rrruruuuu vnrrn vv (a ba abv Eb G b)vE (ba FG v (2bF bb E ) 2bv G )(b F 2(b Eb),Ga ,bF,)2
直母线
柱面
锥面
(C )
导线
单叶双曲面
双曲抛物面
注 （1）直纹面上除之 了外 直， 母还 线可能直 有线 .其
如正螺面的轴 .
（2）直纹面可能不只直 一母 族线. 如以上两个曲面 .
本书只限于讨论一 母族 线直 中的直 . 线
2.参设 b(数u)是 表( 示过 C 导 ): 导a 线 (Ca )( 线 上 u )点a(u)
垂足M的极限位M置0
称为直母l上 线的腰.点a(uu)
腰点的轨迹称为腰曲线 .
注 腰曲线沿直纹面的狭窄
a(u)
M•0 M a(u)vb(u)
(C )
l
部位“围绕着”这直纹面.
方程 直设 则 纹M 导 面M 的线 (参C 数 )[ 的 a 方( 程u 方 为 程u ) 为 a r ( v a (a u ()v ， u ) )b ( u vb (u )u ) [ a ( ] u ) v b ( u )
上式 a 除 ( b u 以 )2得 ： b b v b v ( b b ) 0 ,
u u u u u u 当 假 ub 设 (u 0)时,0 上(对 式取b (极 于 u )限 0 得 的 a ： b 情 vb 20 ,以 况 ,v后 是 ab)2b ,再 柱 故腰点的向径表达式为 ： ra (u)a (u )b (u)b (u) 即腰曲线的方程 .
微分几何课程教案
微分几何课程教案【篇一：微分几何教学大纲】陕西广播电视大学开放教育本科数学与应用数学专业《微分几何》课程教学大纲一、本课程目的与任务微分几何课程是陕西广播电视大学数学与应用数学专业的一门专业基础课，其内容应为三维欧氏空间中的曲线，曲面的局部理论，其方法应以向量分析作为主要工具，同时也应注意到外微分形式及活动标架法的介绍、讨论和使用。
该课程的重点是曲面论，讲授时应自始至终把曲线、曲面上的附属标架场放在中心的地位，这样做在实践和理论上都有重要的意义。
本课程的开设应使学生掌握古典微分几何的基本思想,方法和内容，并能将其运用于其它学科及工程实际中去，同时，通过本课程的学习亦应为对微分几何有兴趣的学生，进一步学习近代微分几何打下一个坚实的基础和一个良好的开端。
建议本课程在三年级开设，周学时宜为4，共72学时（含习题课时间）。
二、课程内容与学时分配建议（不含习题课时间）（一）三维欧氏空间的曲线论（12学时）1. 空间曲线的表示式；2.向量函数；3.空间曲线的弧长、曲率、挠率；4.frenet标架, frenet公式；5.曲线在一点邻近的结构；6.空间曲线论的基本定理；7.特殊曲线。
（二）三维欧氏空间中的曲面论（36学时）1. 曲面的概念；1.1曲面的定义1.2切向量切平面1.3法向量1.4曲面的参数变换1.5例2.曲面的第一基本形式：2.1曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长2.2曲面上两方向的交角2.3正交曲线族和正交轨线2.4曲面域的面积2.5等距对应、共形对应3.曲面的第二基本形式3.1第二基本形式3.2法曲率3.3杜班(dupin)标形3.4渐近方向共轭方向3.5主方向和主曲率的计算、曲率线3.6 gauss曲率和平均曲率3.7曲面在一点邻近的结构3.8某些特殊的曲面4.直纹面和可展曲面4.1直纹面4.2曲面族的包络4.3可展曲面4.4直纹面为可展曲面的充要条件,法线组成的可展曲面5.曲面论基本定理5.1曲面上的活动标架，曲面的基本公式5.2曲面的基本方程5.3曲面的基本定理6.曲面上的测地线6.1测地曲率向量,测地曲率6.2 liouville 公式6.3测地线6.4测地坐标系6.5 gauss-bounet公式6.6曲面上向量的平行移动6.7常高斯(gauss)曲率的曲面*（三）外微分法和活动标架简介（6学时）1.外微分形式2.活动标架法3.用活动标架法研究曲线、曲面．*（四）整体微分几何简介1.平面曲线的整体性质2.空间曲线的整体性质3.曲面的整体性质注：（三）、（四）建议只讲一个，若时间不允许可以不讲。
微分几何--第二章1曲面的概念1.3曲面上的曲线族和曲线网
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族. 设 A 0 ，则有 du B(u, v) 解之得
(2.14)
dv A(u, v) u (v, c)
F (u, v)
其中，c为待定常数； 每一个c对应曲面上一条曲线，所以（2.14）表示一族曲线。 特别地， 当B = 0或 A = 0 时，有 d u = 0或 d v = 0 ， 此时为坐标曲线(P60) u = c 或 v = c。 此时（2.14）表示坐标曲线的方程。
2、二阶微分方程
A(u, v)du2 2B(u, v)dudv C(u, v)dv2 0
若 [ B(u, v)]2 A(u, v)C (u, v) 0
方程表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。 设
du 2 du A 0 , 则 A( ) 2 B( ) C 0 dv dv 得 du B B 2 AC F1 (u, v)或F2 (u, v) dv A
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
1、一阶线性微分方程
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族.
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲 面上的曲线网。
特别有 A C 0 时, dudv 0 , 它们表示坐标曲线,从而构成曲纹坐标网(P60)。
微分几何
主讲人：郭路军
第二章 曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）
§2 直纹面与可展曲面
第三章 曲面的第一基本形式§2 直纹面与可展曲面从解析几何中已经知道，直纹面是一类特殊的曲面，它可以由一族直线“织成”，即：过曲面上每一点都存在过该点的直线落在该曲面上．将直纹面参数化，可以较为方便和深入地讨论其几何属性；同时，作为其特殊类别，可展曲面的一些特征将得到揭示．一．直纹面及其上的参数变换如果直纹面 S 能够被局部正则参数化，那么，在其上取一条直纹以及垂直于该直纹的一条正则曲线 C ⊂S ，则经过曲线 C 的直纹全体构成了直纹面 S 的一部分．因此，当讨论局部性质时，直纹面 S 通常被视为由一个单参数直线族而构成，族中直线称为直纹面的直纹或（直）母线；该族直纹总经过一条参数曲线——准线（该曲线不一定要求正则）．直纹的位置和直纹上的点的相对位置，将给出直纹面 S 的下列自然参数化(2.1) S : r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) ，其中准线为连续可微参数曲线(2.2) C : r * = a (u ) ，过准线上点 a (u ) 处的直纹方向确定为向量l (u ) ，且 l (u ) 连续可微．此时，(2.3) r u = a '(u ) + v l '(u ) ，(2.4) r v = l (u ) ，(2.5) r u ⨯r v = [a '(u ) + v l '(u )]⨯l (u ) = a '(u )⨯l (u ) + v l '(u )⨯l (u ) ．由此可确定正则条件．其中较为简单的情况是，当准线正则并且不与直纹相切时，直纹面局部为正则参数化；对照熟知的圆柱面、圆锥面等等，可以直观考虑正则性条件．下面一组例子介绍了一些所关心的直纹面．图3-7例1 设 (2.1) 式给出直纹面 S 的一种参数化，则可按准线与直纹方向的关系归为不同的子类．① 柱面：各直纹平行．不妨设已经规范为l (u ) ≡ l 0 ≠ 0 ，则正则性条件化为(2.6) r u ⨯r v = a '(u )⨯l (u ) ≠ 0 ，此即准线不与直纹相切．此时可知，单位法向沿着直纹是常向量，即切平面沿着直纹重合．② 锥面：各直纹相交于锥顶点．形象地看，准线可以“收缩”为一点——锥顶．不妨设已经规范为a (u ) ≡ a 0 ，则正则性条件化为(2.7) r u ⨯r v = v l '(u )⨯l (u ) ≠ 0 ．故锥顶是奇点；并且，当直纹单位方向向量在单位球面上为正则曲线时，也只有锥顶是奇点．其切平面沿着直纹也重合．③ 切线面：直母线族是某条准线的切线族，即直母线族有包络线可作为准线．不妨设已经规范为a '(u ) = l (u ) ≠ 0 ，且此时不妨设准线以 u 为弧长参数，则正则性条件化为(2.8) r u ⨯r v = v T '(u )⨯T (u ) ≠ 0 ．此时的准线称为切线面的脊线，其上点点为奇点．当脊线无逗留点时，切线面上除脊线外的各点都是正则点．其切平面沿着直纹也重合．④ 主法线面：直母线族是某条准线的主法线族，其中准线无逗留点．可类似讨论．⑤ 从法线面：直母线族是某条准线的从法线族，其中准线无逗留点．也可类似讨论．① ② ③图3-8例2 垂直相交于旋转轴并匀速转动的直线，同时沿着旋转轴方向匀速直线运动，所构成的直纹面称为正螺旋面或正螺面；其准线可取为旋转轴．取常数 b ≠ 0 ，正螺面可参数化为r (u , v ) = (0, 0, b u ) + v (cos u , sin u , 0)= (v cos u , v sin u , b u ) ，直接计算可得r u ⨯r v = (-b sin u , b cos u , -v ) ≠ 0 ． 故此，此正螺面为正则曲面．z 轴上的点对应于参数值 v = 0 ，相应单位法向垂直于z 轴；既得，旋转轴上各点处的切平面公交于旋转轴． ☐例3 Möbius 带是一种曲面的模型，可以用矩形纸条拧 180︒ 后粘合一组对边而构成．它可以如下参数化为直纹面：准线取为单位圆周，直母线沿准线移动时垂直于准线转动，并且转动角速率是准线动点移动角速率的一半．光滑的参数方程可写为r (u , v ) = (cos u , sin u , 0) + v (sin u 2 cos u , sin u 2 sin u , cos u 2) = ((1+ v sin u 2 ) cos u , (1+ v sin u 2 ) sin u , v cos u 2) ； 它是参数 u 的 4π 周期函数，但曲面关于参数 u 以 2π 为封闭周期．直接计算可得|r u ⨯r v |2 = (1+ v sin u 2 )2 + v 2 4> 0 ． 由此可知曲面正则．若限制参数 |v | < 1 2 ，则曲面实体是“简单”的（定义详见第八章）；此时，曲面只有一个“面”和一条“边”．易知单位法向 n 关于参数 u 以 4π 为周期，并且对应于曲面实体的同一个点有n (2π + u , v ) = - n (u , v ) ．这说明Möbius 带实体无所谓“正”的定向． ☐图3-9图3-10注意，直纹面按照准线和直母线族的自然参数化，只是其参数化的特定形式（参见习题4）．这种参数化具有明显的几何直观，在分析其几何性质的过程中具有直观优势，因而得到特别注意．为了使相关分析和运算更为简便，往往需要根据具体情况选取特定的准线和直纹方向向量．准线的转换以及直纹方向向量长度的转换，在自然参数化下，就等价于适当的参数变换；当然这是一种具有几何意义的参数变换．下面将一般性地考察直纹面的这种参数变换．设直纹面S的自然参数化由 (2.1)-(2.2)式给出．作直母线方向向量的“伸缩”变换和准线变换分别为(2.9) l*(u) =λ(u) l(u) , λ(u) ≠ 0 ，(2.10) a*(u) =a(u) +μ(u) l(u) ，其中变换系数函数λ(u) 和μ(u) 都是连续可微的．则有(2.11) r=r(u, v) =a(u) +v l(u) =a*(u) + [v-μ(u) ] l(u)=a*(u) + [v-μ(u) ]λ(u) l*(u) ．令(2.12) {u* =uv* =[v-μ(u) ]λ(u)，则由以下计算结果得到参数变换的容许性：(2.13) ∂(u*, v*)∂(u, v)=1 *1λ(u)=1λ(u) ≠ 0 ．在新参数下，直纹面仍然有自然参数化方程，与原有方程的对应关系为(2.14) r=r(u, v) =a(u) +v l(u) =r*(u*, v*) =a*(u*) +v* l*(u*) ．由此可以进一步考察准线和直母线是否允许有特殊关系，比如垂直相交等等．下列引理（其证明留作习题）说明，这类考察是有效的．引理1已知直纹面的自然参数化由 (2.1)-(2.2) 式给出，则存在新的参数化，使其准线与直母线处处正交，并且直纹方向向量为单位向量．图3-11二．可展曲面及其局部形状分类从例1已经知道，柱面、锥面、切线面的切平面分别沿着直纹重合；而从例2正螺面的图形观察到，沿着所给定的直纹移动时，切平面将发生扭转．按直纹面切平面的特殊行为，可以进一步考察直纹面的子类．定义1 若直纹面的切平面沿着每一条直纹都分别重合，则称该直纹面为可展曲面，或称该直纹面可展．例4 柱面、锥面、切线面都可展．单叶双曲面和双曲抛物面都不可展——这从图形上可以观察到；也可以在任何直纹上展开计算，而由定义得到验证（略）．定理1(直纹面可展的解析条件) 设直纹面 S : r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) 正则．S 可展的充要条件为a ' , l , l ' 共面，即(2.15) (a ' , l , l ' ) ≡ 0 ．证明 由 (2.1)-(2.5) 式给出了直纹面 S 的基本情况．必要性： S 可展，即单位法向 n 沿直母线 v 线平行，即 n 与 v 无关而只是 u 的函数，表示为n (u ) = r u (u , v )⨯r v (u , v ) |r u (u , v )⨯r v (u , v )| = a '(u )⨯l (u ) + v l '(u )⨯l (u ) |a '(u )⨯l (u ) + v l '(u )⨯l (u ) |． 将上式分母记为函数 λ(u , v ) ，变形为a '(u )⨯l (u ) + v l '(u )⨯l (u ) = λ(u , v ) n (u ) ．当 v 变动而 u 保持不变时，直纹面上的点沿着直纹运动，上式右端保持平行而使左端也保持平行．注意，如图3-12所示，两个不平行向量的线性组合不能保持平行，故可判断成立[a '(u )⨯l (u )]∥[l '(u )⨯l (u )] ．事实上，取 v 1 ≠ v 2 分别代入上式，得a '(u )⨯l (u ) + v 1 l '(u )⨯l (u ) = λ(u , v 1) n (u ) ，a '(u )⨯l (u ) + v 2 l '(u )⨯l (u ) = λ(u , v 2) n (u ) ；此两式作外积或相减，易得 a '(u )⨯l (u )∥l '(u )⨯l (u ) ．此时，几何上看，三个向量 a '(u ) , l (u ) , l '(u ) 都垂直于 n (u ) ，因而共面．解析推导可分两种情况讨论如下：① 当 l '(u )⨯l (u ) = 0 时，显然 (a '(u ) , l (u ) , l '(u ) ) = a '(u )•[l '(u )⨯l (u )] = 0 ; ② 当 l '(u )⨯l (u ) ≠ 0 时，存在 μ 使 a '(u )⨯l (u ) = μ l '(u )⨯l (u ) ，故图3-12(a'(u) , l(u) , l'(u) ) =[a'(u)⨯l(u)]•l'(u) =[μl'(u)⨯l(u)]•l'(u) = 0 ．充分性：已知 (a' , l , l' ) ≡ 0 ，则分两种情况讨论．①当l'(u)⨯l(u) =0时，显然r u⨯r v=a'(u)⨯l(u)与v无关，从而单位法向n与v无关，即n沿直母线v线平行；②当l'(u)⨯l(u) ≠0时，存在λ和μ使a'(u) =λl'(u) +μl(u) ，从而a'(u)⨯l(u) =λl'(u)⨯l(u) ，r u(u, v)⨯r v(u, v) = (λ+v) l'(u)⨯l(u) ，n(u) =l'(u)⨯l(u)|l'(u)⨯l(u)|sgn(λ+v) ，沿直母线v线平行．由两种情形的结果以及可展定义，结论得证．对指定直纹族的直纹面而言，该解析条件不依赖于准线以及直纹方向向量长度的选取；因而，当直纹面的准线以及直纹方向向量容易求出时，应用该解析条件将是方便的．当然，有时直纹面的准线以及直纹方向向量并不容易求出，这就要考虑可展曲面的其它特征；除了本节将继续讨论的以外，可展曲面的“内在特征”将在后续章节中出现．注记直纹面的直纹族并不一定是唯一的，比如单叶双曲面、双曲抛物面都有两族直纹，而平面的直纹族更加随意指定．以后可以证明，两族坐标曲线都是直线的正则曲面若可展，则只能是平面（或其局部）．此结论得到确认后，应用解析条件判定是否可展时，将更加灵活．在“较好”的准线a(u) 和直纹方向向量l(u) 之下，解析条件可以进一步化简．特别当直纹方向向量规范为单位向量场时，即|l(u)|2≡ 1 时，有l'(u)•l(u) ≡ 0 ；进而分两种情形：①当l'(u)⨯l(u) =0时，自然总有等价条件(a'(u) , l(u) , l'(u) ) = 0 ⇔l'(u) =0；②当l'(u)⨯l(u) ≠0时，l'(u) ≠0，便有等价条件(a'(u) , l(u) , l'(u) ) = 0 ⇔∃λ(u), μ(u) 使a'=λl'+μl；从此出发，利用准线变换，对可展曲面的局部形状可构造性地进行分类．参数变换的目标是确定如例1所给出的规范参数方程．在下面定理的证明中，可注意体会几何直观对证法的启发，以及如何明确地加以表述．定理2（可展曲面局部形状分类）可展曲面必是柱面、锥面和切线面之一或由它们沿直母线所适当拼接而成．证明由引理1和定理1，设可展曲面 S: r=r(u, v) =a(u) +v l(u) 满足|l(u)|2≡ 1 ；则由简化的解析条件，可完全分类为以下三种情形：①l'≡0，则l(u) = const. ≠0；此时S为柱面．②l'≠0，∃λ, μ使a'=λl'+μl；此时要证S为锥面或切线面．（注意：锥面存在新准线C*: a*(u) 使a* =const. ，而切线面存在新准线C*:a*(u) 使关于弧长的导数d a*d s C*=l，它们的共同特征是a*'(u)∥l．）作待定的新准线C*: a*(u) =a(u) +b(u) l(u) 使a*'(u)⨯l(u) ≡0，其中待定函数b(u)连续可微，则a*'=a'+b'l+b l'= (λ+b) l'+ (μ+b') l；故取b=-λ即可满足要求．此时，a*'= (μ-λ') l．由此，当a*'≡0即λ'≡μ时，a* = const. ，则S为锥面；当a*'≠0即λ'≠μ时，l=a*'μ-λ'=d a*d s C*，则S为切线面．③其他；由以上两种情形的讨论过程可知，l'以及 (μ-λ') 的例外零点对应于曲面上相应的直母线．综合各种情形，得证．三．单参数曲面族的包络类似于考虑曲线族与其它曲线的关系，这里将讨论较为简单的曲面族与其它曲面的关系．观察下例．例5单位球面|r(u, v) -r0|2≡ 1 当球心r0沿着指定的正则曲线C: a(λ) 平行移动时，形成单位球面族：Sλ: r*(u, v; λ) =a(λ) +r(u, v) ．形象地看，这族球面都落在一条“管子”——管状面内，管子的“半径”就是球面的半径（可参阅第八章§3以及图8-3）．直观感觉上看（可以得到验证），对管状面上的任何一条正截圆周，在单位球面族中有且只有一张球面与管状面公切于这条单位圆周．当球面族的参数λ连续变动时，公切圆周同时在管状面上连续可微变动，并且对于相近的公切点而言，所在的两张球面上对应于本身参数 (u , v ) 的取值 (u λ, v λ) 也很相近；管状面上可以取参数 λ 作为正则参数之一，同时可以取公切圆周的参数作为正则参数之一，此时公切圆周在单位球面上可以对应于连续可微参数曲线 u = u λ(t ) , v = v λ(t ) ．定义2 对于给定的单参数 λ 正则曲面族 S λ: r (u , v ; λ) 和对应的正则曲面 S *: r *(λ, t ) ，对应关系为 r *(λ, t ) = r (u (λ, t ), v (λ, t ); λ) ；设曲面族和对应关系关于参数 (λ, t ) 都是连续可微的，即二元函数组 u (λ, t ), v (λ, t ) 和三元向量函数 r (u , v ; λ) 都是连续可微的．若对 S * 上的任意点 r *(λ, t ) ，在曲面族中都存在对应曲面 S λ 与 S * 公切于该点，而且曲面族中的每张曲面都与 S * 公切于某点，则称曲面 S * 为单参数曲面族 S λ 的一张包络面，简称包络．例6 可展曲面是其本身切平面族的包络，切平面族的单参数就取为某条正则准线的参数．事实上，设可展曲面 S : r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) 满足 |l (u )|2 ≡ 1 ；则 n 与 v 无关而只是 u 的函数，表示为n (u ) ，从而切平面族为T u : n (u )•[ρ - r (u , v 0)] = 0 ，其中 ρ 表示切平面上的点的位置向量，v 0 是取定的参数值，r (u , v 0) 是取定的准线，而函数 n (u )•r (u , v 0) 由参数 u 确定．作为特例，当 n '(u ) ≡ 0 时，S 为平面，其切平面族重合于该平面；当 n '(u ) ≠ 0 时，S 不是平面，其切平面族为单参数 u 切平面族 T u ．平面 T u 与曲面 S 公切于直母线l u : r (u , v ) - r (u , v 0) = (v - v 0) l (u ) ．类似于曲线的情况，在求解包络时，定义中的连续可微性条件有时当成先验假定，此时需要根据求解情况反验其合理性．从已知的单参数曲面族出发，可以确定如何求解其包络．按定义中的记号，在对应点 r *(λ0, t 0) = r (u (λ0, t 0), v (λ0, t 0); λ0) ，曲面 S * 具有自然切向 (2.16) r *λ(λ0, t 0) = ⎝⎛⎭⎫∂∂λ r (u (λ, t ), v (λ, t ); λ)| λ=λ0, t =t 0= ⎝⎛⎭⎫r λ(u , v ; λ) + r u (u , v ; λ) ∂u ∂λ + r v (u , v ; λ) ∂v ∂λ| u =u (λ, t ), v =v (λ, t ); λ=λ0, t =t 0 ， (2.17) r *t (λ0, t 0) = ⎝⎛⎭⎫∂∂t r (u (λ, t ), v (λ, t ); λ)| λ=λ0, t =t 0= ⎝⎛⎭⎫r u (u , v ; λ) ∂u ∂t + r v (u , v ; λ) ∂v ∂t | u =u (λ, t ), v =v (λ, t ); λ=λ0, t =t 0， 而相应的曲面 S λ0在对应参数值 (u (λ0, t 0), v (λ0, t 0)) 的同一点具有自然切向 (2.18) ∂r (u , v ; λ0) ∂u | u =u (λ0, t 0), v =v (λ0, t 0) = r u (u (λ0, t 0), v (λ0, t 0); λ0) ，(2.19)∂r(u, v; λ0)∂v|u=u(λ0, t0), v=v(λ0, t0)=r v(u(λ0, t0), v(λ0, t0); λ0) ．由于对应点是公切点，切向 (2.16) 和 (2.17) 与曲面Sλ0在对应点的法向(r u⨯r v)|u=u(λ0, t0), v=v(λ0, t0)垂直，即等价化为混合积(2.20) (r u , r v , rλ )|u=u(λ, t), v=v(λ, t); λ=λ0, t=t0= 0 ．这就是具有包络的单参数曲面族所必须满足的条件．反之，注意 (2.20) 式能够保证对应点为公切点，故已导出单参数曲面族包络的如下判别条件．定理3给定连续可微单参数λ正则曲面族Sλ: r(u, v; λ) ．如果判别式(2.21) (r u , r v , rλ ) = 0能够决定连续可微的两个函数u(λ, t) 和v(λ, t)，那么，该曲面族的包络若存在则只能确定为判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ)；而若判别式无解函数u(λ, t) 和v(λ, t) ，则该单参数曲面族没有包络．注记：①判别式所确定的函数同时明确了对应点的位置．当然允许两个函数u(λ, t) 和v(λ, t) 在形式上合为一个函数u= u(v, t) 或v= v(u, t) ．②判别式如果是平凡的，则判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) 有可能蜕化为非正则的；此时需要反验是否符合包络条件．③如果判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) 是正则的，则其为包络面，并且切向 (2.16) 和 (2.17) 的外积非零；此时在某些具体条件下，两个函数u(λ, t) 和v(λ, t) 允许存在反函数，此即为包络面上的特殊参数变换．④对包络面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) ，当选定参数λ=λ0时，其上曲线r(u(λ0, t), v(λ0, t); λ0) 是与族中曲面Sλ0的公切点构成的曲线，称之为包络面的特征线．例7已知具有包络S* 的连续可微单参数λ曲面族Sλ: r(u, v; λ) = (x(u, v; λ),y(u, v;λ) ,z(u, v;λ))是由隐式方程F(x, y, z; λ) = 0 给出的，其中梯度向量∇F= (F x , F y , F z) ≠0．试证S* 的隐式方程为(2.22) {F(x, y, z; λ) = 0 ，Fλ(x, y, z; λ) = 0 ．证明：由隐式方程F(x, y, z; λ) = 0 求微分得d F(x, y, z; λ) = [∇F•d r](x, y, z; λ) +Fλ(x, y, z; λ) dλ≡ 0 ；而对于Sλ之上的点总有d F(x, y, z; λ) = [∇F•d r](x, y, z; λ) = 0 ，即其总以梯度向量∇F(x, y, z; λ) 为非零法向量；故在特征线Sλ⋂S* 之上总有Fλ(x, y, z; λ) dλ≡ 0 ．又特征线Sλ⋂S* 满足隐式方程F(x, y, z; λ) = 0 ，故结论得证．☐单参数曲面族由隐式方程给出时，其包络的判别曲面由特征线族方程(2.22) 式给出．有时，隐式方程对于表示曲面整体非常有效，比如球面、双叶双曲面等等；此时，由 (2.22) 式讨论包络是较为方便的．例8求单参数λ球面族x2+y2+ (z-λ)2= 1 的包络．解：记F=x2+y2+ (z-λ)2- 1 ，则Fλ=-2(z-λ) ．令Fλ= 0 ，得λ= z．代入球面族方程消去参数λ，由 (2.22) 式即知，所求包络为x2+y2= 1 ，此为单位圆柱面．☐定理4给定连续可微单参数t平面族T t: n(t)•r-p(t) = 0 ，|n|≡ 1 ，n'(t) ≠0．如果 {T t} 的包络面S存在，则S可展．证明包络面S的隐式方程由 (2.22) 式给为特征直线族方程{n(t)•r-p(t) = 0 ，n'(t)•r-p'(t) = 0 ．由于n'(t) ≠0是垂直于n(t) 的向量，故直纹面S的位置向量r可以在基向量组 { n(t), n'(t), n(t)⨯n'(t)} 下分解，表达为r(t, v) =p(t)n(t) +p'(t)|n'(t)|2n'(t) +v n(t)⨯n'(t) ．这是以特征线为直母线的直纹面，其切平面沿直纹重合于平面族中的某张平面，故由可展定义得知S可展．☐习题⒈证明引理1．⒉已知直纹面的参数化由(2.1)-(2.2) 式给出．试证：存在容许参数变换，使准线是坐标系原点O到直母线的垂足的轨迹．⒊试证：柱面可以取到平面曲线作为准线，并且使准线与直母线垂直相交．⒋试证：平面是柱面，其局部也是正则参数化的锥面和切线面．⒌证明下列曲面是可展曲面：①r= (cos v , sin v , u+v) ；作者：王幼宁②r= (u2+v , 2u3+ 3uv , u4+ 2u2v) ；③r= (cos v- (u+v) sin v , sin v+ (u+v) cos v , u+ 2v) ．⒍证明挠曲线的主法线面和从法线面都不可展．⒎证明正螺面是某条圆柱螺线的主法线面．⒏证明正螺面一定不是某条曲线的切线面．⒐已知弧长参数化挠曲线C: r(s) ，以之为准线、分别以以下所给条件下的连续可微单位向量场l(s) 为直纹方向，所作的直纹面分别记为S．试分别讨论S是否可展．①l(s) 总落在C的从切平面上；②l(s) 总落在C的法平面上；③l(s) 总落在C的密切平面上．⒑已知单参数λ平面族Tλ: r(u, v; λ) = (u , a(λ) -b(λ)u , u+v) ，其中两个函数a(λ) 和b(λ) 连续可微且b'(λ) 不取零值．试确定其包络面的参数方程．⒒求平面族x cos λ+y sin λ-z sin λ= 1 的包络面，并证明它是柱面．⒓求平面族a2x+ 2ay+ 2z= 2a的包络面，并证明它是锥面．⒔对双曲抛物面r(u, v) = (u+v , u-v , uv) ，试讨论其切平面在如下指定的沿线上所形成的单参数平面族的行为：①沿坐标曲线；②沿曲线C: r(v+a , v) , a= const. ．- 11 -。
微分几何第二章曲面论2.1曲面的概念
2、二阶微分方程
2 2 A ( u , v ) du 2 B ( u , v ) dudv C ( u , v ) dv 0
2 若 [ B ( u , v )] A ( u , v ) C ( u , v ) 0
则表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。
du du 2 设 A 0, 则 A ( ) 2 B ( ) dudv C 0 dv dv
y z u u y z v v z x u u z x v v
设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v)
x ( u ,v ) Y y ( u ,v ) Z z ( u ,v ) 用坐标表示为 X x y u u x y v v
若用 z = z (x,y) 表示曲面，则有
{ x , y , z ( x , y )} 如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r
z z r { 1 , 0 , } { 1 , 0 , p } , r { 0 , 1 , } { 0 , 1 , q } x y x y
X x0 Y y0 Z z0 1 0 0 1 p0 q0 0
以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 r (t ) 。
( 由r t)r u
du dv r v dt dt
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标 曲线的切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
第二章 曲面论
第二章曲面论§1曲面的概念1. 求正螺面r⃗={ucosv,usinv,bv}，−∞<u<+∞，−∞<v<+∞上的坐标曲线。
解：u_线的方程为：v=v0，其中v0为常数，将v=v0代入正螺面的方程中，得到r⃗={ucosv0,usinv0,bv0}={0,0,bv0}+{cosv0,sinv0,0}u，−∞<u<+∞，这是经过点(0,0,bv0),以{cosv0,sinv0,0}为方向的直线，显然它与z轴垂直相交，垂足为(0,0,bv0)。
v_线的方程为：u=u0，其中u0为常数，将u=u0代入正螺面的方程中，得到r⃗= {u0cosv,u0sinv,bv}，−∞<v<+∞，这是圆柱螺线的方程。
2. 证明双曲抛物面r⃗={a(u+v),b(u−v),2uv}的坐标曲线就是它的直母线。
证：双曲抛物面在直角坐标系下的隐式方程为x2 a2−y2b2=2z上式可表示为：(xa−yb)(xa+yb)=2z由此可见曲面上有两族直母线Lα:{xa−yb=2αxa+yb=zα和 Lβ:{xa−yb=zβxa+yb=2β其中α，β为参数，且α≠0，β≠0。
曲面上的u_线C u,v的方程为：v=v0，其中v0为常数，将v=v0代入曲面的方程中，得C u,v的向量参数方程：r⃗={a(u+v0),b(u−v0),2uv0}将上式化为参数方程：C u,v:{xa =u+v0y b =u−v0z=2uv0当v0≠0时，在上面的方程中消去变量u得并整理得C u,v0:{xa−yb=2v0 xa+yb=zv0比较C u,v0和Lα的方程可知，C u,v是直线族Lα中α=v0的那条直线。
曲面上的v_线C u0,v 的方程为：u=u0，其中u0为常数,同理可得C u0,v是直线族Lβ中β=u0的那条直线。
证毕3. 求球面r⃗={acosu cosv,acosu sinv,asinu}上任意点的切平面和法线的方程。
直纹面成为可展曲面的充要条件大三论文 2
直纹面成为可展曲面的充要条件摘要 可展曲面是特殊的直纹面，直纹面成为可展曲面必须满足一定的条件.本文根据可展曲面的定义，从该曲面是否为单参数曲面族的包络、高斯曲率是否为零、直纹面是否可以展为平面等几个方面，对直纹面成为可展曲面的几个充要条件作了初步的探讨. 关键词 直纹面；可展曲面；包络；高斯曲率；等距对应1直纹面与可展曲面的定义 1.1直纹面的定义由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面，这些直线称为直纹面的直母线. 直纹面上取一条曲线()C ，它的参数表示是()u a a ρρ=.曲线()C 和所有直母线相交，即过曲线()C 的每一点，有一条直母线，曲线()C 称为直纹面的导线.设()u b ρ是过导线()C 上()u a ρ点的直母线上的单位向量.导线()C 上()u a ρ点到直母线任一点()v u P ,的距离为v ，则向径→OP 可以表示成()()u b v u a r ρρρ+= （1）,这就是直纹面的参数表示. 1.2可展曲面的定义直纹面上任一点()v u P ,的法向量n ρ平行于v u r r ρρ⨯，从（1）容易算出：()()u b v u a r u '+'=ρρρ，()u b r v ρρ=，所以b b v b a r r v u ρρρρρρ⨯'+⨯'=⨯.当点在曲面上沿一条直线移动时有两种情形：情形1：b a ρρ⨯'与b b ρρ⨯'不平行，即()0,,≠''b b a ρρρ.情形2：b a ρρ⨯'与b b ρρ⨯'平行，即()0,,=''b b a ρρρ.对于第2种情形的直纹面我们称为可展曲面，也就是说，可展曲面是沿一条直母线有同一个切平面的直纹面.2直纹面成为可展曲面的几个充要条件2.1定理1[]2：一个曲面是可展曲面⇔该曲面或是柱面，或是锥面，或是任意空间曲线的切线曲面.证明：⇐：由于柱面、锥面、任意空间曲线的切线曲面是直纹面，所以直纹面的参数方程为()()u b v u a r ρρρ+=.(1)因为柱面的()=u b ρ常向量，所以()0='u b ρ.则()()()()()0,,='⋅⨯'=''b b a u b u b u a ρρρρρρ.故柱面是可展曲面.(2)锥面的腰曲线为一点，导线也为一点，故()=u a ρ常向量，所以()0='u a ρ.从而()()()()()0,,='⨯⋅'=''b b a u b u b u a ρρρρρρ.故锥面是可展曲面.(3)任意空间曲线的切线曲面的切线()()u b u a ρρ//'，故()()0=⨯'u b u a ρρ，从而()()()()0,,=''u b u b u a ρρρ.任意空间曲线的切线曲面是可展曲面. ⇒：对于可展曲面有()0,,=''b b a ρρρ，取腰曲线为导线，即此时有0='⋅'b a ρρ.(1)当0='a ρ时，()=u a ρ常向量，这表示为腰曲线退化为一点，也就是说，各条直母线上的腰点都重合.我们得到以所有母线上公共的腰点为顶点的锥面.(2)当0≠'a ρ时，由条件()0,,=''b b a ρρρ，0='⋅'b a ρρ并且1=b ρ，b b '⊥ρρ得到()()u b u a ρρ//'.这时得到切于腰曲线的切线曲面.(3)当0='b ρ时，()=u b ρ常向量，这表示柱面.例1[]1求证正螺面{}b au u u v r +=,sin ,cos ρ是不可展曲面. 证明：令()()u b v u a r ρρρ+=，则所给的曲面可写为{}{}0,sin ,cos 0,0u u v b au r ++=ρ.则{}b au a +=,0,0ρ，{}0,sin ,cos u u b =ρ，从而{}a a ,0,0='ρ，{}0,cos ,sin u u b -='ρ，则()()()()()b b a u b u b u a '⋅⨯'=''ρρρρρρ,,=b uu a e e e '⋅ρρρρ0sin cos 0321={}{}0,cos ,sin 0,cos ,sin u u u a u a -⋅- =a .当0≠'a ρ时，有()0,,≠''b b a ρρρ.故正螺面{}b au u u v r +=,sin ,cos ρ是不可展曲面.2.2定理2[]4：设直纹面S 的参数方程是()()u b v u a r ρρρ+=，则S 是可展曲面的充分必要条件是，向量函数()u a ρ，()u b ρ满足方程()()()()0,,=''u b u b u a ρρρ. *证明：对直纹面S 的参数方程求导得到()()u b v u a r u '+'=ρρρ，()u b r v ρρ=， 因此曲面的法向量是()()()()u b u b v u a r r v u ρρρρρ⨯'+'=⨯.如果S 是可展曲面，则在直母线上的任意两个不同点()1,v u 和()2,v u ，其中21v v ≠，曲面S 的法向量应该互相平行，即()()()()()()()u b b v u a u b u b v u a ρρρρρρ⨯'+'⨯'+'21,//根据向量的双重向量积的公式()()()a cb bc a c b a ρρρρρρρρρ⋅-⋅=⨯⨯，我们有()()()()()()()()()u b b v u a u b u b v u a ρρρρρρ⨯'+'⨯⨯'+'21,=()()()()()()()()()u b u b u b v u a u b v u a ρρρρρρ⨯'+''+'21=()()()()()()()()()u b u b u b v u a u b v u a ρρρρρρ,,21'+''+'=()()()()()()u b u b u b u a v v ρρρρ''-,,21.由于()()()0,211≠-=⨯u b v v r r v u v u ρρρ，所以上式末端的混合积为零，即*式成立.上面的论证过程是可逆的，因此*式也是直纹面为可展曲面的充分条件，定理成立.例2[]2证明曲面()(){}v u v v u v v v u v r 2,cos sin ,sin cos ++++-=ρ是可展曲面.证明：令()()u b v u a r ρρρ+=，则由题得{}v v v v v v v a 2,cos sin ,sin cos +-=ρ，{}1,cos ,sin v v b -=ρ，则{}2,sin cos 2,cos sin 2v v v v v v a ---='ρ，{}0,sin ,cos v v b --='ρ，则()()b b a b b a '⋅⨯'=''ρρρρρρ,,=b vv vv v v v v e e e '⋅----ρρρρ0cos sin 2sin cos 2cos sin 2321={}b v v v v v '⋅--ρ,cos ,sin=0sin cos sin cos ⋅--v v v v v v v =0. 即()0,,=''b b a ρρρ.故所给曲面为可展曲面.2.3定理3[]2：曲面上的曲线是曲率线的充分必要条件是沿此曲线的曲面的法线组成一可展曲面.证明：设曲面上的曲线()s a a ρρ=是曲率线，则根据罗德里格定理可知a d n d ρρ1κ-=，即()()()s a s s n&ρ&ρ1κ-=， 其中()s 1κ为对应的主曲率.由此得出a n&ρ&ρ//，所以有 ().0,,=nn a &ρρ&ρ 因此沿此曲线，曲面的法线组成的曲面n v a r ρρρ+=是可展曲面.反之，设()s a a ρρ=是曲面上一条曲线.曲面沿此曲线的法线构成一个可展曲面n v a r ρρρ+=.于是有().0,,=nn a &ρρ&ρ 由于n ρ是单位向量，所以n n &ρρ⊥.而且a&是曲面的切向量，因而a n &ρ&ρ//. 由此可得a n &ρ&ρ//或a d n d ρρ//. 根据罗德里格定理,a d ρ是主方向. 因此曲线()s a a ρρ=是曲面的曲率线.例3[]1求证挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.证明：设有空间挠曲线()s a a ρρ=，曲线的副法线曲面为()()s v s a r γρρρ+=，βτγρ&ρ-=，则()()()()0,,,,≠=-⋅⨯=-'=''τβτγβτγρρρρρρρρρa a b b a ，故副法线曲面不是可展曲面.2.4 定理4[]4：一曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为单参数平面族的包络.证明：充分性：单参数平面族为()()()()0=+++ααααD z C y B x A .则特征线方程为()()()()()()()()()()⎩⎨⎧='+'+'+'==++++=0,,0,,αααααααααD z C y B x A z y x F D z C y B x A z y x F . 它是平面与平面的交线，即为直线，所以这些特征线的轨迹为直纹面，即包络面为直纹面，下证是可展的.由于包络面沿特征线（现为直母线）与族中曲面（平面）相切，所以此平面是直母线所有点的公共切平面，即沿一条直母线有同一个切平面，按可展曲面的定义，它是可展的.必要性：设曲面可展.由于直纹面的坐标曲线为直母线和与导线平行的曲面，所以对于可展曲面，它的直母线就是v 线（u =常数），当u 变化时，得到v 族线，所以可展曲面可以看成是由单参数u 的直母线族所构成的，即可展区面的直母线族仅与单参数有关，而且经过给定的母线，可引唯一的切平面，因此，所有切于可展曲面的切平面也只与一个参数有关，这就是说可展曲面在它每一点处切于它的单参数平面族中的某一平面，即可展曲面是这个单参数平面族的包络. 例4[]4 求证可展曲面()1222=-+y x 是单参数平面族1sin sin cos =-+αααz y x 的包络.证明：先求所给单参数平面族的1sin sin cos =-+αααz y x 包络. 令()1sin sin cos ,,,--+=ααααz y x z y x F ，则()αααααcos cos sin ,,,z y x z y x F -+-=.将方程组中0=F ，0=αF 的参数α消去得到()1222=-+y x .即证得可展曲面()1222=-+y x 是单参数平面族1sin sin cos =-+αααz y x 的包络.2.5 定理5[]2：一个曲面为可展曲面的充要条件是它的高斯曲率恒等于零.证明：如果曲面是可展的，则沿同一直母线的单位法向量n ρ不变，即0=n d ρ，零向量与任意另外的向量共线，因此有r d n d ρρ//.根据罗德里格定理，沿直母线的方向是主方向，并且主曲率01=κ（或02=κ），于是021≡=κκK .反之，如果0≡K ，则021≡=κκK .设02=κ，这时对应它的方向是渐进方向也是主方向，所以这一族渐进曲线也是曲率线. 根据罗德里格定理,沿渐进曲线有r d n d ρρ2κ-=，因而0=n d ρ，即=n ρ常向量.这说明单位法向量沿渐进曲线保持常向量.因此，在所有渐进曲线上曲面的法线都互相平行.又对于渐进曲线的切向量r d ρ有0=⋅n r d ρρ.所以沿渐进曲线有=⋅n r ρρ常向量. 设0r ρ是渐进曲线上某定点0M 的向径，则由以上结果有n r n r ρρρρ⋅=⋅0，即()00=⋅-n r r ρρρ.由此得到连接渐进曲线上的定点0M 和渐进曲线上任意点的向量0r r ρρ-垂直于n ρ，因而必在点0M 的切平面上，所以渐进曲线的所有点都在点0M 的切平面上.于是，这个包含渐进曲线而且垂直于沿它的常法向量n ρ的平面，就是渐进曲线所有点的切平面.换句话说，对同一条渐进曲线上的点，其切平面是同一个.由此可见，曲面是一个单参数平面族的包络面，因而是可展曲面.例5[]2求取面{}v u v v r +=,sin ,cos ρ的高斯曲率.解：令()()v b u v a r ρρρ+=，则所给曲面为{}{}1,0,0,cos ,sin u v v v r +=ρ，则{}v v v a ,cos ,sin =ρ，{}1,0,0=b ρ则{}1,sin ,cos v v a -='ρ，{}0,0,0='b ρ，则()()b b a b b a '⋅⨯'=''ρρρρρρ,,=b vv e e e '⋅-ρρρρ1001sin cos 321=0.即()0,,=''b b a ρρρ.故该曲面是可展曲面，从而其高斯曲率为0.2.6定理6[]2：可展曲面可以与平面成等距对应（简称展为平面）. 证明:在直角坐标系()y x ,下，平面的第一基本形式为22dy dx I +=，在极坐标系()θρ,下，通过变换θρcos =x ，θρsin =y 得第一基本形式22θρd d I +=，（1） 柱面：()()s b v s a r ρρρ+=其中b ρ为沿柱面母线的单位常向量，()s a a ρρ=是与柱面母线正交的一条曲线，s 是它的弧长.于是αρ&ρρ==a r s ，b r v ρρ=，12===αρρρs s r r E ，0==v s r r F ρρ，1==v v r r G ρρ从而第一基本形式为22dv ds I +=.这与上述平面的第一基本形式有相同的形式，因此柱面可以展为平面，.(2)锥面：()()s b v s a r ρρρ+=0，其中0a ρ为常向量，()s b ρ为锥面母线上的单位向量， 而s 是单位球面曲线()s b b ρρ=的弧长，则有12=b ρ，0=⋅b b &ρρ，12=b &ρ，于是b v r s &ρρ=，b r v ρρ=，2v r r E s s ==ρρ，0==v s r r F ρρ，1==v v r r G ρρ第一基本形式为222dv ds v I +=，这与上述平面的第一基本形式有相同的形式，因此锥面可以展为平面.（3） 切线曲面：()()s v s a r αρρρ+=其中()s αρ为曲线()s a a ρρ=的切向量()s a&ρρ=α，s 为曲线()s a ρ的弧长. 于是βκαρρρv r s +=，()s r v αρρ=，221κv r r E s s +==ρρ，1==v s r r F ρρ，1==v v r r G ρρ，有222221dv dsdv ds v I +++=κ.上式中出现曲率，但没有挠率，所以如果两条曲线曲率相同，即使挠率不同，它们的切线曲面也有相同的第一基本形式，即是等距的，由此，现给定曲率和挠率分别为()s κκ=，()s λττ=，()10<≤λ由曲线论基本定理，除空间位置差别外， 确定了唯一一条曲线()c ，当λ从1连续变到0时，得到一个连续的曲线的曲线族{}λc ,这些曲线族的切线曲面也变动，但由于曲率不变，因此这些切线曲面是等距的.当λ=0是τ=0，此时曲线为平面曲线，但平面曲线的切线还在此平面上，这时的切线曲面就是平面曲线所在的平面，但第一基本形式不变，因此切线曲面也可展成曲面.又由前面结论，可展区面只有以上三种，综上所述，命题成立.例6[]3 证明曲面⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++=v u u uv u v u r 243232,2,31ρ可以展为平面.证明：令()()u b v u a r ρρρ+=，则所给曲面为{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=243232,,31,2,u u v u u u r ρ，则{}432,2,u u u a =ρ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=232,,31u u b ρ，从而{}324,6,2u u u a ='ρ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧='u b 34,1,0ρ，则()()()()()b b a u b u b u a '⋅⨯'=''ρρρρρρ,,=b u u u uu e e e '⋅ρρρρ2323213231462 =b '⋅ρ0 =0. 即()0,,=''b b a ρρρ故曲面是可展曲面，从而可以展为平面.参考文献：[1]王幼宁、刘继志.微分几何讲义[M].本经师范大学出版社，2007年1月第一版 [2]梅向明、黄敬之.微分几何[M].高等教育出版社，2003年12月第三版 [3]黄振荣、杨文茂.微分几何[M].武汉大学出版社，2008年9月第一版 [4]陈维桓.微分几何[M].北京大学出版社，2006年6月第1版。
§2 直纹面与可展曲面
图 3-12
[a′(u)×l(u)]∥[l′(u)×l(u)] ．事实上，取 v1 ≠ v2 分别代入上式，得 a′(u)×l(u) + v1 l′(u)×l(u) = λ(u, v1) n(u) ， a′(u)×l(u) + v2 l′(u)×l(u) = λ(u, v2) n(u) ；
此两式作外积或相减，易得 a′(u)×l(u)∥l′(u)×l(u) ．此时，几何上看，三个 向量 a′(u) , l(u) , l′(u) 都垂直于 n(u) ，因而共面．解析推导可分两种情况讨 论如下：
r(u, v) = (0, 0, b u) + v (cos u , sin u , 0)
x
= (v cos u , v sin u , b u) ，
y
直接计算可得
图 3-9
ru×rv = (−b sin u , b cos u , −v) ≠ 0 ． 故此，此正螺面为正则曲面．z 轴上的点对应于参数值 v = 0 ，相应单位法
|ru×rv|2 = (1+
v sin
u 2
)2
+
v2 4
>0．
由此可知曲面正则．若限制参数
z
|v|<ຫໍສະໝຸດ 1 2，则曲面实体是“简单”
v
y
的（定义详见第八章）；此时， 曲面只有一个“面”和一条
O
x
“边”．易知单位法向 n 关于参 数 u 以 4π 为周期，并且对应于曲 面实体的同一个点有
u 图 3-10
以直观考虑正则性条件．下面一组例子介绍了一些所关心的直纹面．
-1-
作者：王幼宁
①
②
③
图 3-8
直纹面和可展曲面
直纹面和可展曲面一 直纹面的定义由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。
这些直线称为直纹面的直母线。
如，柱面、锥面、单叶双曲面（纸篓面)、双曲抛物面。
空间曲线的切线曲面、正螺面、空间曲线的主法线曲面等都是直纹面。
二 直纹面的参数表示在直纹面上取一条与所有直母线都相交的曲线（C ），其参数表时为()a a u =，这样的曲线称为直纹面的导线。
设()b u是过 导线（C ）上()a u点的直母线上的单位向量，导线（C ）上()a u 点到直母线上任一点P(u,v)的距离为|v|,则向径O P r=可以表示为 :()()r a u vb u =+。
这就是直纹面的参数方程。
直纹面的v-线是直母线，u-线是与导线（C ）平行的曲线。
三 直纹面的切平面对直纹面()()r a u vb u =+, ()()u r a u vb u ''=+ , u v r r a b vb b ''⨯=⨯+⨯ ,()()(,,)a b b b b a b b ''''⨯⨯⨯=- ，()a b '∴⨯ ‖()b b '⨯ ⇔(,,)0a b b ''=。
（1）若()a b '⨯ 不平行于()b b '⨯ ，即(,,)0a b b ''≠，则当P 点在一条直母线上移动时，参数v 随 P 点的变化而变化，因此直纹面的法向量n（或切平面）绕直母线而旋转。
（2）若()a b '⨯ 平行于()b b '⨯ ，即(,,)0a b b ''=，则当P 点在一条直母线上移动时，虽然v 变化了，但是 u vr r ⨯ 只改变长度，不改变方向。
也即u v u vr r n r r ⨯=⨯保持不变。
这说明当P 点沿直母线移动时，它的法向量（或切平面）不变，此时直纹面沿一条直母线有同一个切平面。
微分几何 §4 直纹面与可展曲面
所以
v′ v ′ v b , a , b = 0,
3
所以曲面是可展曲面
例.证明正螺面
v r = {u cos v, u sin v, av + b} 不是可展曲面。
v 证明：因为 r = {u cos v, u sin v, av + b} v 可以改写成 r = {0, 0, av + b} + u {cos v,sin v, 0} v v = a ( v ) + ub ( v ) .
§4
直纹面与可展曲面
1、直纹面--由直线产生的曲面 生成轨迹的每条直线叫直母线 直纹面上与每条直母线相交的曲线-导线 曲线曲线 2、直纹面的方程 设导线 a = a(u) ，b(u ) 直母线单位方向向量 直纹面 r = ( u, v ) = a (u ) + vb(u ) 3、常见直纹面有柱面、或是锥面、 柱面、或是锥面、 柱面 是一条曲线的切线曲面、正螺面 是一条曲线的切线曲面、正螺面等
命题2 一个曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为单 参数平面的包络 命题3 一个曲面为可展曲面的充要条件是它的高斯曲 率等于0 命题4 曲面上的曲线是曲率线的充要条件是沿此曲线 的曲面法线构成可展曲面 命题5 可展曲面与平面成等距对应，可展曲面可在 平面上展开.
第二章 曲面论 2.4 直纹面与可展曲面
反之，若 K=k1 k2=0，则两主曲率至少有一为0，设 k2=0，由于 为主曲率，所以对应的方向为主方向，但它又是法曲率，说明这 个方向是渐近方向，所以这一族渐近线也是曲率线，由主方向判 r r r 别定理，dn = − k 2 dr = 0, n 为常向量。 这说明单位法向量沿渐近曲线保持不变，因此在所有渐近曲 线上曲面的法线都平行。又沿渐近曲线的切向量为dr，它垂直于 r r r r 法向量，所以 dr ⋅ n = 0, 积分有 r ⋅ n = 常量 r r r r 对于渐近曲线上任 一点成立。现设 为渐近曲线上某一点，有 r ⋅ n = r0 ⋅ n = 常量 得 ，因而必在M0的切平面上 ，即r对应的点 在M0的切平面上，但这些点为渐近曲线上的点，所以渐近曲线在 这个切平面上，因此对于同一条渐近曲线上的点，其切平面是同 一个，曲面由这些曲线组成，所以曲面是一个单参数族的包络 面，因而是可展曲面。
(3)几种特殊的直纹面 r r
b (u ) = b0 为常向量，任意母线的方向不变，为柱面。 r r a (u ) = a0 为常向量，任意母线过一定点，为锥面。 r r b (u ) = α 为导线上的切向量，为一空间曲线的切线曲面
3、直纹面的法向量与高斯曲率 r r r （1）由 r = a (u ) + vb (u ) r r r r r 得 ru = a ′(u ) + vb ′(u ) , rv = b (u )
由前面的结论可知，这是情形（2），它沿一条直母线有同一 个切平面，或沿一条直母线有同一法向量，因此，可展曲面是沿 一条直母线有同一个切平面的直纹面。 2、命题1：每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线 的切线曲面。 r r r r r 证明：对于可展曲面有 ( a ′, b , b ′) = 0 ，取腰曲线为导线， ′ ⋅ b ′ = 0 a
微分几何24直纹面与可展曲面解读
ruu a(u) vb (u ) ,
2 LN M M (a, b , b) K 2 2 EG F EG F ( EG F 2 ) 2 因此对于情形 a) 有(a, b , b ) 0 ，K<0。
2 2
b) 有 (a, b , b ) 0 ，K= 0。
(3) 几种特殊的直纹面
b (u) b0 为常向量，任意母线的方向不变，为柱面。 a(u) a0 为常向量，任意母线过一定点，为锥面。 b (u) 为导线上的切向量，为一空间曲线的切线曲面
3、直纹面的法向量与高斯曲率 (u) （1）由 r a(u) vb 得 ru a(u ) vb (u ) , rv b (u)
第四节 直纹面与可展曲面 4、1 直纹面 1、定义：由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。直线为直母线。 例如柱面，锥面，单叶双曲面，正螺面等。 与直纹面上所有直母线相交的曲线叫直纹面的导线。 2、直纹面的方程 （1）设导线为 (c) : a a (u) ，b (u) 是过导线上一点 a (u ) 处的直母 线上的单位向量，则有：
3、单参数曲面族的包络 给出一个单参数曲面族 {S } : F ( x, y, z, ) 0 连续偏导数。 （1）定义：如果有一曲面S，它的每一点是族（1） 中的一个曲 面 S 上的点，而且在S与 S 的公共点它们有相同的切平面； 反过来，对于族中的每一曲面 S ，在曲面S上有一点P ，使 S 和S在P有相同的切平面，则称 S 为单参数平面族 {S } 的包络。 （2）包络面的方程 现在假定曲面族{ S }的包络S存在，由上面的定义，S上任意点 P(x,y,z)必在族中某一曲面上，而这个曲面由参数 来确定，所 以包络面S上每一点对应于 的一个确定的值，因此 为S上点 的坐标的函数，即 ( x, y, z ) 代入（1）得 …………（1） 对于不同的参数有不同的曲面，并假定函数（1）有一阶和二阶
微分几何第二章曲面论曲面的概念
VS
高斯曲率
设曲面$S$在点$P$处的两个主曲率分别为 $k_1, k_2$，则称$K = k_1k_2$为曲面在 点$P$处的高斯曲率。高斯曲率是曲面内蕴 几何量的重要代表，反映了曲面在一点处 的弯曲程度。
法截线和法截线族
法截线
设曲面$S$在点$P$处的法向量为 $mathbf{n}$，过点$P$且与法向量 $mathbf{n}$垂直的平面称为法截面。 法截面与曲面交于一条曲线，该曲线 称为法截线。
曲面性质
曲面具有连续性、光滑性、可定向性等性质。其中连续性指 曲面上任意两点都可以用一条连续曲线连接；光滑性指曲面 上任意一点都存在切线平面；可定向性指曲面存在连续的单 位法向量场。
曲面分类与举例
曲面分类
根据曲面的形状和性质，可以将曲面分为闭曲面、开曲面、紧致曲面、非紧致曲面等类 型。
举例
球面、环面、柱面、锥面等都是常见的曲面类型。例如，球面可以表示为 $mathbf{r}(theta, varphi) = (Rcosthetasinvarphi, Rsinthetasinvarphi,
法截线族
过曲面上一点的所有法截线构成的集 合称为该点的法截线族。法截线族在 微分几何中具有重要的研究价值，与 曲面的形状和性质密切相关。
04
曲面局部理论：可 展曲面与极小曲面
可展曲面定义及性质
定义
可展曲面是一类特殊的曲面，它可以在不改 变距离的情况下完全展开到一个平面上。也 就是说，它的高斯曲率为零。
02
第一基本形式与度 量性质
第一基本形式定义及性质
第一基本形式定义
第一基本形式是微分几何中曲面论的基本概念，用于描述曲面上的度量性质。它是一个二次微分形式，记作$I = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2$，其中$E, F, G$是曲面上的系数函数。
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即可展 曲面为锥面.
(ii)当b 0时，b(u) 常 向 量 ，所有的直母线都互相平行，
即可展曲面为柱面.
(iii)当a 并且b
0, b 1,
b
0时b，,(aa,//bb, b，这) 时0，,直a母 b线是0，导
线的
切
线,
从 而 可 展 曲 面 可 视 为 导线 的 切 线 构 成 的,
v
b
v (b b) 0,
u u u u u
u
当假设ub(u0)时,0上(对式于取b极(u限) 得0：的a 情b况 是vb柱2 面0,以, 后v再 讨a论b)2b ,
故腰点的向径表达式为：
r
a(u)
a(u )
b(u)
b(u)
即 腰 曲 线 的 方 程.
b(u)2
若取
腰
曲线为导线则，r
即可展曲面为切线面.
反之,可以证明这三类曲面均为可展曲面（ . 留做习题）
注 （1）上面所说的柱面, 锥面,切线面都可能是平面 或其一部分.
（2）在上面的证明中，取了腰曲线为导线，
一般的证明可参见吴大任《微分几何讲义》
第四版P107 P108.
二.可展曲面作为单参数平面族的包络
1.单参数曲面族的包络
F( x, y, z) 0 表示一张曲面S.
F ( x, y, z, ) 0 (是 参 数)表 示 一 族 曲 面{S } .
称 为 单 参 数 曲 面 族.
假定F ( x, y, z, ) 0具有一阶与二阶连续偏导数. 定义 设{S } 是 一 个 单 参 数 曲 面 族S，是一张曲面，
b)2
(EG F 2 )2
,
即K
(a,
b,
b)2
(EG F 2 )2
0.
对 于 情 形1，K 0; 对于情形2，K 0.
(4)渐 近 曲 线.
直纹面上的直母线就是它的渐近线.
(5)腰 曲 线.
定义 当u 0时，
a(u
u)
(v
v)b(u
u)
M
l
垂 足M的 极 限 位 置M0
b即(aa, bb,
v b)
(b
b 0，
),
直母线
(C )
导线
当点P沿同一条直母线移动时，n
ru rv
保 持 不 变.
ru rv
沿 同 一 条 直 母 线 有 同 一个 切 平 面.
情形2：a
当 点P沿 同
b // b b,
即(a,
b,
一条直母线移动
时 b，)n0，ru
rv
发生转动，
ru rv
满满沿足足同((aa一,,bb条,,bb直 )) 母00的的线直直切纹纹平面面面不叫叫唯做做一可斜. 展直曲纹面面. ；
(3)高 斯 曲 率.
直
纹面
的
参 数 方
程
为r
a(u)
vb(u)
ru
a(u)
vb(u),
rv
b(u),
ruu a vb, ruv b, rvv 0,
（优选）微分几何第二章曲面论 第四节直纹面和可展曲面ppt讲 解
§4 直纹面和可展曲面
主要内容
1.直纹面； 2.可展曲面.
4.1 直纹面
1.定义 (直纹面)由一族直线生成的曲面叫做直纹面.
这 族 直 线 中 的 每 一 条 都叫 做 直 纹 面 的 直 母 线. 直 纹 面 上 和 所 有 直 母 线都 相 交 的 曲 线 叫 做 直 纹面 的 导 线. 例如：下列曲面都是直纹面.
称 为 直 母 线l上 的 腰 点. a(u u)
腰点的轨迹称为腰曲线.
注 腰曲线沿直纹面的狭窄
a(u)
M• 0 M
a(u) vb(u)
(C )
l
部位“围绕着”这直纹面.
方程
直设则纹 M导M面线(的C)[的 参a(u数 方程 方u为 程)a为r(va(au()，vu))b(uvb(u)u)]
[a(u)
vb(u)]
[a(u u) a(u)] (v v)b(u u) vb(u)
a vb vb(u u) a vb v(b b)
于即M是Ma[abbv,vMbbM bv((bbv(bbb))],bb)MM0b,0, b.
上式除以(u)2 得： a b b b
(C )
称 为 曲 线 的 主 法 线 曲 面.
一 条 曲 线 的 副 法 线 所 产生 的 c{oas法cvo,s线us,曲iansv面.i,nbv,}b(同}的学主自法证)线. 曲面为
4.2 可展曲面
一.可展曲面及其分类 定义 (可展曲面)直 纹 面r
a(u)，
a
b
0,
于是有：腰
曲
线是导线
a
b
0.b即2a
b.
4.曲线的基本三棱形的三条棱产生的直纹面
一曲条线(曲C )线：a的切a(线u)
所 产 生的 直 纹 面 称 为 曲
的 切线面方程为：
线
的 切线
面.(如
图)
r a(u) va(u)
一 条 曲 线 的 主 法 线 所 产生 的 直 纹 面
上的 单位向量，
a(u)
vb(u) 直纹面的参数表示.
r
3.性质与分类
或参数方程.
(1)坐 标 曲 线
v 曲 线(u 常 数)：直母线；
u 曲 线(v
(2)单
位法
向
量n常和数切)：平导面线.
的平
行线.
ru a(u) vb(u), rv b(u),
情r形u 1： rva (ab// bvb)b,
n
ru rv
a
b
v(b
b)
ru rv
L
ruu
n
(a
M
ruv
n
b
EG F
vb)
a
2
b
v(b
EG F a b v(b b)
EG F 2
b) ,
2
(b, a, b ) EG F 2
N K
rvv n 0 LN M 2 EG F 2
(b,
a,
a(u)
vb(u)
若
满
足(a,
b,
b)
0，
则称为可展曲面或称曲面可展.
命题1 每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线
证：取 设(i)腰 可的当曲 展切a 线 曲 线0为 面面时. 导 为反，ra线之(ua于)，，(u是这常) 有三向vab类量(ub曲)，，这 则面表0有，均示(a为 可腰, b展曲, b曲线 ) 面退.0，化为一点，
直母线
柱面
锥面
(C )
导线
单叶双曲面
双曲抛物面
注 （1）直纹面上除了直母线之外，还可能有其它的直线.
如正螺面的轴.
（2）直纹面可能不只一族直母线. 如以上两个曲面.
本书只限于讨论一族直母线中的直线.
2.参设b(数u导)是表线(过示C )导: a线(Ca)(上u)点a(u)
b(u)
的直母线 r a(u)