由一道课本习题的思考
由一道教材例题引起的思考
由一道教材例题引起的思考新课程改革已经在我省全面展开，笔者认为新课程目标下，最基本的还是应该重视对教材资源的充分挖掘和利用。
这也是实现注意从学生已有的经验出发，让他们在熟悉的情景中感受物理思想的重要性，了解物理与日常生活的密切关系，逐步学会分析和解决与物理有关的一些简单的实际问题。
”的教学理念和实现高中新课程教育目标的基础与关键。
我以高中新课标教材《物理选修-3-4》为例，分别对新教材例题的研究；新教材概念的深入挖掘；新教材插图的充分利用，谈谈我的看法和做法。
一、重视教材例题习题我们虽然总是在提素质教育，可真正教学时，很容易让学生陷入题海当中。
如果我们能充分挖掘教材潜力，以课本为纲，让学生知道什么是最重要的。
实现让学生可以从教材走出去，也可以从容走回来。
教材例题是编委从大量习题中精选出来的，有很强的代表性。
我们应该从例题出发，触类旁通，举一反三。
我想这也是给学生减负的好方法。
笔者最近和学生曾经讨论一道习题，感受颇丰。
原题是这样的。
“井底之蛙”这个成语常被用来讽刺没有见识的人，现有井口大小和深度相同的两口井，一口是枯井，一口是水井(水面在井口之下)，两井底都各有一只青蛙，则( )a．枯井中青蛙觉得井口大些b．水井中青蛙觉得井口大些c．晴天的夜晚，枯井中青蛙能看到更多的星星d．晴天的夜晚，水井中青蛙能看到更多的星星学生们开始普遍感到无从下手。
而我在备课时想尽量降低学生理解的难度，从学生熟悉的知识入手。
后来我发现如果从教材一道例题出发就能很好的解决问题。
教材原题是一个储油桶的底面直径与高均为d.当桶内没有油时,从某点a恰能看到桶底边缘的某点b. 如图(a)所示,当桶内油的深度等于桶高的一半时，仍沿ab方向看去,恰好看到桶底上的点c, 如图(b)所示,c、b两点相距d/4.求油的折射率和光在油中传播的速度。
这是一道很常规的习题，学生很容易入手，当时讲的时候学生也普遍接受。
现在我换一个角思维问题。
第一步按着题中所说开始c点看不到a，a也看不到c。
深入数学教学重视习题探究——对一道课本习题“图形”的思考
探索 性 ，因此 ，深入 探究每一 道 习题 ，充分
挖掘其 内在 的数学思 想与方法 ，发挥典 型习 人 认为这是 小题大 做吹 毛求 疵 ，不 必大惊小 边 长计算 的一般 方法 ，体现从 特殊 到一般 的 题应有 的功 能与价值 ，对调动 学生 的学 习积 怪 ，对求解 也不会 产生多 大的影 响 ，不值得 数学思想 ，更能使 学生 明确 对于锐 角三角形
深入数学教 学
重视 习题 探究
对一道课本 习题 “ 图形 ＂的 思考
口浙江省宁波市余姚市 陆埠镇洪 山初级 中学 马调芳
课本 中的习题 ，具有典 型性 、示 范性和
相 矛 盾 ， 因 此 点 Ａ必 在 圆 外 ，所 以 Ｂ Ｃ是 一个 锐 角不 可能是 Ｒ 。也 许有 Ａ ｔ
做 到数据 图形两结合 。特别是追 加 的第 （ ２）个 问题 ，促使 学生 去 探求 内接正 方 形
容易发现 问 题所在 ，可能是 教材编写 者把注 意力集 中在 知识 点
／
Ｐ
则 四边 形 Ｐ ＭＮ是 Ａ Ａ Ｃ的 内 接 正 方 Ｑ Ｂ
形 ，如 图 ５ 。 简要说 明 ・ Ｎ ／Ｐ ． Ｍ／ ， ‘ Ｃ
‘ ． ．
相似 三 角形 性 质 的
巩 固 和运 用 上 ，忽 视 了
所 以 ａ ｈ或 ＋口Fra bibliotek ｈ思考 三 课 本 中给出 的三角 形余 料 Ａ Ｃ Ｂ 据 三角形余 料 Ａ Ｃ的不 同形状 ，怎样 使加工 Ｂ 成 的正 方形 零件 最大 。现 以正方形 的边 Ｑ Ｍ
为加 工成 的正方形零件 ， Ｑ 边 Ｍ在 Ｂ Ｃ上 ， 得到 的三角形余 料 Ａ Ｃ的形状 也不 同，因此 的内接正方形 Ｐ ＭＮ是怎样 加工 出来 的？根 Ｂ Ｑ
由一道课本试题引发的思考
由一道课本试题引发的思考七年级学生经常会在练习题中遇到这样的一道几何习题（例1），此题是全等三角形的经典习题，从它上面，我们可以发掘更多、更深的知识。
笔者在实际教学中对此题的讲解，深得学生的赞赏，现将此题拿出来，跟广大师生读者分享，希望大家能获得更多的解题心得。
图1例1如图1，在△ABC中，已知AB=AC,BE=CD。
求证：AD=AE。
??分析：此题的常规思路是通过说明△ABD≌△ACE来证明AD=AE。
显然求证条件是足够的，在△ABC中，AB=AC已经隐含了∠B=∠C，加之BE=CD，即BD+DE=DE+EC，实际上就是BD=CE，故△ABD≌△ACE（SAS）。
当然如果考虑到AD，AE是△ADE的两边时，那么说明△ADE是等腰三角形也不失为一种方法，但要说明△ADE是等腰三角形时，就要证明∠ADE=∠AED，而要证明∠ADE=∠AED，就得证明∠ADB=∠AEC，其实就是说明△ABD≌△ACE，可见我们回到了第一种方法上，当我们把题目多角度思考时，总会收获许多知识。
另外，从等腰三角形的性质入手，也可以找到解题途径；通过作底边上的高，可以得到多个直角三角形，再结合其他条件（BE=CD）就可以解讲问题。
??证明：由AB=AC?荨?B=∠C。
??BE=DC（BD+DE=DE+CE)??BD=CE。
??在△ABD和△ACE中，AB=AC，??∠B=∠C，??BD=CE?荨?ABD≌△ACE(SAS)。
??图2另证：如图2，取BC的中点F，连结AF，则BF=CF，AF ⊥BC。
（△ABC是等腰三角形）??∵BE=BF+EF，CD=CF+DF，CD=BE，??∴DF=EF，∴在??Rt??△AEF和??Rt??△ADF中，??AF=AF，?ぁ?AFD=∠AFE，??FO=FE，∴??Rt??△AEF≌??Rt??△ADF。
??∴AD=AE。
??笔者在第一题的基础上，稍作改变，得到了以下两道新题，这两个题目的解题思路可以极大地丰富我们对全等三角形及相关知识点的认识。
一道教材习题的探究与思考
46中学数学研究2020年第10期(下)一道教材习题的探究与思考江苏省苏州市吴中区碧波中学(215128)王春摘要本文以一道教材习题为例,对其解法探究,并利用教材例题、习题引出一般结论,对习题再次解法探究和引申,展现了数学的特殊与一般思想、转化与化归思想和分类与整合思想等方法,有利于培养学生创造思维与创新精神,发展学生核心素养.关键词教材习题;探究教材是教师上课之本,学生认知之本.习题是教材重要组成部分,它承担着对基础知识、基本思想、基本方法的巩固与训练.因此教师要重视对教材习题的归纳、变式、拓展和引申,提升和挖掘其潜在功能.这样可以切实减轻学生解题训练量,而达到事半功倍的效果.事实上,不少考题就是教材例题、习题的变式、拓展和引申,习题因探究而精彩.1问题呈现问题1(苏科版七下第166页)如图1,在五角星形ABCDE中,∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和等于多少度?请加以证明.解析1:若此题为选择或填空题,则可转化为正五角星形.问题等价求∠A,在等腰∆AP Q中,即求∠AP Q,因∠AP Q是正五边形外角,利用多边形外角和为360◦,所以∠AP Q=360◦÷5=72◦,因此∠A=36◦,故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180◦.解析2:由解析1结论特征,问题1可转化为三角形内角和问题.利用∠AP Q是∆P BD的一个外角,所以∠AP Q=∠B+∠D;同理∠AQP=∠C+∠E,利用三角形内角和定理易得结论.此解析利用解析1结论特征,把五角星形五角和问题转化为∆AP Q内角和问题.著名数学家华罗庚认为:善于“退”,一直“退”到原始而不失重要性的地方,是学习数学的一个重要诀窍.特殊性寓于普遍性之中,通过具体分析,往往能获得解题的重要信息,达到缩减思维过程,降低推算难度目的.因此在选择或填空等客观问题中,注意特殊化思想的使用.2归纳结论问题2(苏科版七下第154页例2)如图2,AC、BD相交于点O,求证:∠A+∠B=∠C+∠D.在∆AOB和∆COD中,∠AOC分别是∆AOB与∆COD外角,由三角形内角和定理推论,易得结论.此时称这两个∆AOB与∆COD为对顶三角形.对顶三角形性质如图2,在∆AOB和∆COD中,若∠AOB和∠COD是对顶角,则∠A+∠B=∠C+∠D.问题3(苏科版七下第166页)画∠A,在∠A的两边上分别取点B、C,在∠A的内部取一点P,连接P B、P C.探索∠BP C与∠A、∠ABP、∠ACP之间的数量关系,并证明你的结论.让学生来参与评价,增强学生学习积极性;函数是现实世界中刻画运动变化规律的重要模型,“试一试”找寻函数与客观世界的联系;“说一说”使学生联系初高中函数概念,对原有函数的认知进行调整,将初中建立的函数图式纳入到更高级的高中函数图式中;“查一查”让学生了解函数概念的发展历程,进一步完善高中函数图式;“谈一谈”总结活动经验学习体会,培养良好的学习习惯.函数是贯穿整个高中数学课程的一个基本脉络.对“函数”这个范畴,可有如下图式表征形式:函数的上位概念:映射;函数的组成部分:对应关系、定义域、值域;函数的表象:图像;函数的性质:单调性、奇偶性、周期性,……;函数的下位概念:幂函数、指数函数,…….学生对函数的认识不是也不可能一步到位,只有经历一定的知识和时间的积累,才能在循环往复、螺旋上升中达成对函数的整体理解,形成高层次的图式表征.参考文献[1]夏学梅.项目化学习设计:学习素养视角下的国际与本土实践[M].北京:教育科学出版社,2018.11.2020年第10期(下)中学数学研究47问题分三种情况:1⃝若点P在∆ABC外部,由四边形内角和定理有∠BP C=360◦−(∠A+∠ABP+∠ACP); 2⃝若点P在∆ABC边BC上,由三角形内角和定理,易得∠BP C=360◦−(∠A+∠ABP+∠ACP)或∠BP C=∠A+∠ABP+∠ACP;3⃝若P在∆ABC内部,如图3,连接AP并延长,由三角形内角和定理推论有:∠3=∠1+∠ABP,∠4=∠2+∠ACP,故∠BP C=∠A+∠ABP+∠ACP.凹四边形性质如图3,在凹四边形BACP中,则∠BP C=∠A+∠ABP+∠ACP.(凹四边形凹角等于其它三角之和).在数学中,我们常从较特殊问题开始,再认识问题一般性质.一般化能把研究问题推广到更大范围的性质.许多几何问题中存在对顶三角形、凹四边形,此时若能利用对顶三角形、凹四边形性质,往往可使繁杂问题得到更简明快捷的解决.3问题再探究解析3:如图1,图中存在凹四边形ACMD,利用凹四边形性质,则∠A+∠C+∠D=∠CMD,易得结论.解析4:如图1,连接CD,图中存在对顶三角形:∆BEM和∆CDM,利用对顶三角形性质,则∠B+∠E=∠MCD+∠MDC,易得结论.转化与化归思想是贯穿整个中学数学的核心思想方法之一,在解决数学问题时,常常会遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的方法进行变换,将原问题转化为一个新问题,通过新问题的求解,从而达到解决原问题的目的.著名数学家莫斯科大学教授C.A雅洁卡娅在一次向数学奥林匹克参赛者发表题为“什么叫解题”的演讲指出:“解题就是把要解的题转化为已经解决过的题.”因此在教学中要把这种思想方法融入进去,让学生体会其中的精髓.4问题引申问题4如图4.1-4.3,对于任意的退化五角星形图形,这一结论仍成立吗?如果成立或者不成立,请说明理由.解析5:图4.1、4.2利用问题1的解析2均可把五角星形图的五角和均可转化为∆DMQ内角和问题,图4.3可延长CE交AD于Q,也可转化为∆DMQ内角和问题.解析6:连接CD,如图4.4-4.6,由对顶三角形性质,把∠B+∠E转化到∆ACD内,利用三角形内角和定理解决.解析7:利用凹四边形性质有:∠A+∠C+∠D=∠MD,五角和转化为∆BEM内角和问题.解析8:如图4.4、4.5延长DB至B1,连接B1E;图4.6延长DB、CE至图形外,作B1E1//BE,交DB、CE延长线分别于B1、E1,从而均可转化为问题1.五角星形性质在任意五角星形中,五角星形的五角之和为180◦.问题5若对图5.1星形截去一角,得图5.2,再对图5.2角进一步截去,得图5.3,则图5.3的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=度.(合肥校级自主招生)如图5.4,利用五角星形性质,其内角和为180◦,连接AD,可把所求角和转化为三角形与五角星形内角和,即180◦×2=360◦;以此类推,如图5.5内角和转化为一个五角星形与五个三角形内角和,即180◦×6=1080◦.48中学数学研究2020年第10期(下)抓结构拨迷雾看本质*—–一类几何题简洁处理策略安徽省合肥市一六八中学(230601)武前炜摘要本文结合实际教学,以典型问题为背景,从审题、审图、审形到发现、构造几何模型,身临其境,拨开迷雾,抓住结构,迅速找到问题的切入口,做到解题方法合情—–易想到;合理—–解释的清楚.快速、合理、简洁添加辅助线,从而轻松突破.关键词旋转;流浪点;几何模型;解题策略初中平面几何对于特殊三角形—–等腰三角形、直角三角形的考查尤其多,往往需要重新构造几何图形之间的关系或者利用几何变换构造全等或者相似三角形,这就需要同学们根据图形特点适时添加辅助线.在实际的教学中,学生对于稍微复杂的几何图形,知道要添加辅助线,却又不知道从哪里加,如何添加更合理.本文以一类贯穿初中几何始终的问题谈简洁处理策略.1原题呈现题目:如图1,已知:P是正方形ABCD外一点, P A=3,P B=4,求线段P C的最大值.图1图2本题解法众多,以下从图形结构入手谈这一类辅助线添加入口.D点与本题关联不大,所以图形可简化为图2.5思考数学教材是试题的根本源泉,是各类考试命题的主要依据,许多试题的产生都是在教材的基础上组合,加工,发展的结果,每年的中考、竞赛试题总有不少试题来源于教材.因此平时教学工作中,我们要挖掘教材,不能认为教材习题难度不够或者没有新意等原因,一味地在课外资料中选题.因此平时复习要将回归教材落到实处,教材是教师备课、上课之本,也是学生学习之本,抓住了教材也就抓住了考试命题的方向.数学教材是思想方法的集散地,本文中列举教材中的问题,主要运用到的数学思想方法有:特殊与一般、分类讨论、转化与化归等.数学思想方法对于数学学习有何作用?众所周知,人的行为源于思想意识,思想混乱将引起行为混乱,学习数学也一样.有些学生为何解决不了一些并不复杂甚至简单的数学问题呢?笔者认为:除少数学生不知相应数学知识外,大多是不能站在思想的高度来思考和引领方法,或思想不明确而不知用何方法解决问题.若作为数学教师能在教学时,引领学生把这些问题提炼归类出一般性方法、结论,或者形成相对固定的解题方法,来应对考题,则必将会给学生的学习带来更大的提升.在数学教学中,笔者认为一线教师不仅要关注教材中知识点和典型例题,同时不要忽视了教材中例题和习题作用.它们是教与学的延伸与发散,是教师教之根本,是学生学之源泉,教师不能一味的仅仅在教辅资料或者网上选题,而不注重教材甚至抛弃教材.这样处理的效果或许在短期内能提高学生成绩,但长期如此对学生发展是极为不利.首先,学生长期在题海中感受数学学习,只会削弱学生学习数学的兴趣;其次,它会淡化学生的基础知识与基本技能,导致学生对创造性和创新性能力的培养脱节;同时,教材例题与习题是数学教材的重要组成部分,是专家精挑细选出来的,具有一定的典范性,通常情况下,它比作业本、教辅资料等其他习题更为典型、精致.因此,教师除了要注重教材上有关知识与定理的生成过程,同时还需要深入理解教材例题与习题的设计意图,并对它们进行自然、合理地挖掘开发,从而提升课堂教学的品质,这应成为我们一线数学教师的不懈追求.*本文系合肥市教育规划课题《基于“核心素养”的初中数学作业设计的实践与研究》的阶段成果,课题编号为HJG20128.。
课本一道例题的教学与思考
课本一道例题的教学与思考数学是一门与生活紧密联系的学科，在数学教学中实施生活化教学能够让学生提高解决数学问题的能力并爱上数学学习，形成数学学习思维。
本文以教材中一道例题的解决问题为例浅谈生活化教学的意义。
标签：数学；教材；例题；思考苏科版七年级下册第十章第5节《用二元一次方程组解决问题》有道例题为：为了加强公民的节水意识，合理利用水资源。
某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每月用水不超过6m3时，按基本价格收费；超过6m3时，超过的部分要加价收费。
该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如下表所示：月份用水量/m3水费/元48225927试求该市居民用水的两种收费价格。
课本设置此题的背景是用表格分析数量关系并解决问题。
针对这样一个目标，我认为首先要读懂这个表格，很多学生在小学习惯了做题目条件反射，根本就不去思考究竟是为什么，没有解决问题的逻辑。
同时，本题的这样一个分段函数的情境也是常考的一种类型，所以我将用一节课的时间分析并拓展此题。
一、识辨表格主要是让班级的后进生说说出从这个表格中你可以讀出哪些信息，这是解答本题的基础和关键。
答案应为：“4月份用水量为8立方米，水费为22元；5月份用水量为9立方米，水费为27元。
”这是最基本的层次，通过这样一个处理信息的过程，其实就很容易思考到，“5月份比4月份多用了1立方米，这个水费多交了5元，那么水费即为每立方米5元。
”其实，这就是加工信息的能力了，而且这也是解决本题的一个小技巧，一种整体的思想。
二、分析数据，解决问题表格中的两行数据事实上是并列的，处理方法是类似的，那么不妨先看第一行，关键词是“8立方米22元”，能否直接用22除以8呢？很显然，不可以，因为这8立方米的水价格是不一致的，可以将其分为2份，一份是基础部分，另一份是加价部分。
即等量关系为“总价22元=基础部分的水费总价+超出部分的水费总价”，这时候只需要用代数式表示出两个总价，如何求出总价呢？总价=单价×数量，很显然这部分的数量是知道的，一个是6立方米，另一部分是（8-6）立方米，而价格是未知的，也是所求的，所以可以假设基本水价为x元/立方米，超出6立方米部分的价格为y元/立方米。
一道数学课本习题再思考的教学价值
一道数学课本习题再思考的教学价值课本的例习题是所有教学材料中的精品，有丰富的内涵和广阔的外延，对学生理解巩固知识和形成解题策略具有一定典型作用和潜在的价值. 新课程主张要改变学生的学习方式和教师的教学方式，要求把学习的时间还给学生，提倡探究式学习，那么教师如何挖掘习题的价值就显得尤为关键. 有些教师仍习惯题海战术，可学生却是异常排斥. 正确的做法是将“训练”和“反思”相结合，在训练的基础上多做总结性的反思. 这就要求教师要用“活”例习题，教会学生自主去探究，真正实现探究过程中随时留下来“知识的烙印”. 本文以人教版必修4第113页B组第3题为例，探讨问题的再思考所产生的学习价值.题目：已知对任意平面向量=（x，y），把绕着点A逆时针方向旋转θ角后，得到向量=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把B点绕点A逆时针旋转θ角得到点P.（1）已知平面内一点A（1，2），点B（1+，2-），把点B绕点A顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标；（2）设平面内曲线C上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线x2-y2=1，求曲线C的方程.一、课本习题最基本的教学价值是以所学知识为基础的知识巩固本例所给出的背景是解析几何中的坐标旋转公式. 新课标要求给学生“坐标旋转公式”以初步印象，了解其含义，并能利用已给的公式进行运算，为学生进行“旋转变换”提供了可能. 要实现上述教学价值，必须建立合理的认知结构，由于学生在此时还没有学习两角和差的正余弦公式，就不会理解该公式为研究图形的旋转变换提供了最方便的方法. 在实际的教学中，我将此题的教学延后到“两角和与差的正弦、余弦公式”之后来进行，这样就可以有效地利用所学知识来证明该公式，降低了知识的难度，使学生便于接受，处理得应该是比较合理的.在学习完三角函数的相关知识后不禁要问：三角函数的定义应用十分广泛，除了推导出诱导公式、三角恒等式、正余弦定理外，还有许多应用，你能利用三角函数的定义来表示点的坐标吗？如图1，设点P的坐标为（x，y），以射线Ox为始边，射线OP为终边的角α，有三角函数的定义可知：P（rcosα，rsinα），起到利于温故知新之效.平面内一点P（x，y）绕原点O逆时针方向旋转θ角后，得到点P′（x′，y′），则这两点坐标之间的关系是什么？自然联想：设OP=OP′=r，以Ox为始边，OP′为终边的角α+θ，由上述结论可知x=rcosα，y=rsinα，x′=rcos（θ+α），y′=rsin（θ+α）.由两角和的余弦公式可得x′=xcosθ-ysinθ，y′=xsinθ+ycosθ.该公式就是点P旋转前后坐标之间的关系，也就是坐标旋转公式.二、课本习题的教学应补充思维过程，拓展学生思维空间课堂上我们要留给学生的不仅是完整的解题过程，更重要的是分析解决问题的思维过程，否则学生只会知其然而不知其所以然. 所以我们要引导学生真正搞懂解题的依据是什么，发现规律，探究方法. 在解决完本题后，我又引导学生做了如下探讨：（1）初中学习的反比例函数y=（k≠0），其图象是双曲线，在高中我们又学习过双曲线，方程为-=1（a>0，b>0），那么，这两种曲线是一致的吗？如何证明你的判断呢？（2）设反比例函数y=（k≠0）图象绕坐标原点沿顺时针方向旋转得到曲线C，又设曲线上任意一点的坐标为P（x，y），那么将点P绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的点P′（x′，y′），在反比例函数的图象上，即x′y′=k.由旋转公式可得x′=xcos-ysin=（x-y）y′=xsin+ycos=（x+y）所以x2-y2=2k显然表示高中的双曲线.由此我们完全明白为什么初中把反比例函数的图象叫做双曲线了！因为它的本质就是将双曲线x2-y2=2k绕原点O逆时针旋转得到的.（3）既然反比例函数的图象是双曲线，那么你能求出其顶点、焦点、对称轴、渐进线等等吗？学生很快发现，只要将双曲线x2-y2=2k（k>0）的顶点、焦点、对称轴、渐进线等绕原点O逆时针旋转即可.（4）双曲线的许多性质应该也一样适用反比例函数，你能说出几条吗？这是一个开放性的问题，我的学生给出了许多答案，其中有一条让我感觉学生的能力有了大幅度的提高：学生给出了这样的一个结论若一条直线与反比例函数的图象、坐标轴相交的四个点依次为A，B，C，D，那么|AB|=|CD|.三、用“活”课本习题，实现学生能力与品格的双赢思维不应就此停止，我们要想从浩如烟海的“题海”中解放出来，就必须引导学生向更广的范围，更深的层次去联想，纵横引申，把所学的知识放到更大的范围去联想、演变，促进知识的融会贯通，使解题能力和思维能力得到提高，人也会越来越自信. 所以，我又为学生搭建了下面的台阶：（1）“双勾”函数y=ax+（a，b为正数）在高考中出现的频率越来越高，该函数的图象也是双曲线形状，它跟我们本题研究的是否是同一类曲线构成呢？将函数y=ax+（a，b为正数）的图象（图2）绕原点O顺时针方向旋转角θ（θ为锐角）后得到的曲线为C，设C上的任意一点P（x，y），则将其绕原点逆时针方向旋转角θ后得到的点P′（x′，y′）必在函数y=ax+（a，b为正数）的图象上，所以y′=ax′+，即x′y′=ax′2+b.由旋转公式x′=xcosθ-ysinθ，y′=xsinθ+ycosθ，代入上式化简得（sin2θ-cos2θ-a）x2-（sin2θ-cos2θ+a）y2=-2xy（asin2θ+cos2θ）+2b，令asin2θ+cos2θ=0，即tan2θ=-<0，又因为θ为锐角，所以2θ为钝角，故sin2θ=，cos2θ=，可取θ=arccos，代入方程并化简得（-a）x2-（+a）y2=2b，由于-a与+a和2b均为正数，所以此方程表示中心在原点，焦点在x轴上的双曲线.可见，原函数y=ax+（a，b为正数）的图象也是中心在原点的双曲线. 这样我的学生就完全明白了“双勾”函数的图象也是双曲线！学生就可以顺理成章地把该函数定义为“双勾双曲线”，形象也贴切！（2）由于函数y=ax+（a，b为正数）（图3）与“双勾”函数y=ax+（a，b 为正数）的解析式仅差一个负号，那么其图象是什么呢？两者的图象之间有什么关系呢？这两个函数在学生的学习中经常遇到，学生往往就是利用函数的单调性、奇偶性等知识画出函数的草图，但却很少深入研究两者之间的关系.与上述运算仅仅相差一个负号，只要绕原点旋转同样的角度θ=arccos后，就可以得到方程（-a）x2-（+a）y2=2b，它也是一条双曲线.在运算中可以发现（-a）x2-（+a）y2=±2b是一对共轭双曲线，所以函数y=ax+（a，b为正数）的图象也是双曲线，并且和“双勾”函数的图象是一对共轭双曲线. 这样我们就可以非常准确地画出它们的图象了，也完全掌握了这两个函数图象之间的关系. （图4）数学概念的建立、计算公式、性质概括等教学难点必须让学生设身处地，身临其境，否则任凭教师再怎样讲解强调也是无济于事. 我们不应跳过与学生一起经历知识的形成过程，直接告知结论，再通过题型教学反复强化结论，这样做无异于“杀鸡取卵”，百害而无一利.上述的设计既不脱离教材，又不拘泥于教材，随着教学层次的展开，不失时机地引导学生由浅入深的探讨，将学生的思维引向深入. 通过观察、分析、比较，从感性认识上升到理性认识，使思维产生了质的飞跃.对问题的再思考，能很好地帮助学生完成“解决问题——提出新问题——解决新问题”的探究过程，通过联想新问题打破原有的知识体系，通过解决新问题使学习更上一层楼，更能培养学生自主学习的兴趣，点燃学生的求知欲望，大幅度提高学习效率.。
一道课本例习题教学引发的思考
一道课本例习题教学引发的思考摘要：课本中例习题是从数不清的数学题中海选出来，就赋予所选出来的都是典型性和启示性，因此在“活”用课本例习题应当注意特别是变式教学时要注重如何更好的形变，如何更好的在“度”、“宽”上的掌控，让学生从不同角度、不同层面去看问题，从学会更好地解决问题。
关键词：数学；课本例习题；反思课本中例习题是从数不清的数学题中海选出来，就赋予所选出来的都是典型性和启示性，因此在教学过程中对教材中的例题，习题可以从多个角度来挖掘其深层次的数学本质，并结合利用变式教学通过改变数学表征问题，来达到更好地揭示数学本征问题的目的。
下面以八年级上册第十三章轴对称13.3.2等边三角形习题13.3综合运用(P83)12题为例谈谈针对一道课本例习题教学引发的一些思考：一、注重引导，寻思关键在课本例习题教学中，教师要先指引学生从题设出发，通过观察图形，自主学习与探讨交流，然后写出证明过程。
本题对于学生来说，没有障碍，由已知条件等边三角形自然联想到其性质：三条边相等，三个角相等，学生由图形自主探究构建全等三角，再进行合作交流，找出间边与角之间对应关系，且角的相等是证明全等的关键。
课本这道例习题的教学价值在于学生通过学习后能够完成文字语言与符号语言之间的转换，检验学生对基本概念知识、方法的掌握情况，目的在于让学生学会观察、分析、概括、归纳，提升语言表达能力。
二、深入挖掘，一题多解数学教学中，为了激发学生的思维和建构知识间的链接，往往是在解决问题时从多角度促使知识间的联系。
因此十分有必要对课本中例习题进一步进行挖掘，比如八年级上册第十三章轴对称13.3.2等边三角形习题13.3综合运用(P83)12题，这是一道基础题，如若在教学过程中教师讲过就将之抛在一旁，那乃是捡了芝麻丢了西瓜之举。
在数学课堂中，时常用来拓展学生数学思维形成的教学策略之一是一题多解，这种教学策略能很好地引导学生从不同角度看待问题、解决问题。
一道课本习题的多角度思考
一道课本习题的多角度思考（陕西省富平县刘集中学）教材是数学教学的基础，数学考点源于教材，而高于教材，成为高考的常态，因此挖掘教材的习题，深入进行研究，一方面可以巩固知识，加深理解，另一方面有利于高考备战。
选修2-2习题1-2有这样一道课后练习题，经过笔者和学生共同努力得到以下几种做法：问题 已知d c b a ,，,都是实数，且1,12222=+=+d c b a ，求证：.1≤+bd ac一 三角换元法 证法1 1d c ，12222=+=+b a,sin ,cos ，sin ,cos ββαα====∴d c b aβαβαsin sin cos cos +=+∴bd ac()1cos ≤-=βα评注 三角换元法是不等式证明中常用的一种方法，可以起到消元及优化解析式的目的。
等式满足122=+y x，就可以用三角换元法，变换成 。
此题显然满足三角换元法。
二 均值不等式证法2 （分析法） ，1≤+bd ac ，12≤+∴bdac，122222≤++∴acbd d b c a 又1,22=+b a，2222222b a acbd d b c a +≤++∴ ，1sin cos 22=+αα，222222222222222c b d a b a c b d a acbd d b c a +++≤++++∴ ()(),2222222222222c b d a b a acbd d c b c d a +++≤++++∴,122=+d c,222222222c b d a b a acbd b a +++≤++∴ ,02-2222≥+∴acbd c b d a(),02≥-∴bc ad显然成立。
证法3 （综合法） 1,d c 1,2222=+=+b a2,d c 2222=+++∴b a 2cd,d c 2ab,2222≥+≥+b a(),bd ac 2d c 2222+≥+++∴b a,bd ac 2d c 2222+≥+++∴b a,bd ac 22+≥∴。
由一道习题引发的思考
一道习题引发的思考——复习课的教学案例一、引入进入初三，很多同学认真复习，做了大量的习题，可有时效果并不明显，于是老师告诉你要学会反思，把知识吃透，学会举一反三，那么怎样做才能将学过的知识点联系起来呢？希望今天这节课可以给你些启发。
二、案例描述结合具体的题目复习了已学过的判定三角形全等的的五种方法：SSS，SAS，AAS，ASA和HL。
然后出示以下问题。
题目：如图1：AB，CD相交于点O，AB=CD，试添加一个条件使得△AOD≌△COB，你添加的条件是（只需填写一个条件即可）。
（选用这个题目，本来是让学生灵活应用全等三角形的判定方法，增加问题的开设性，培养学生的探究能力，我先让学生思考，然后回答。
）生1：添加OA=OC∵AB=CD∴OD=BO又∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等）∴△AOD≌△BOC（SAS）生2：添加OD=OB（方法同上）生3：添加AD=BC 连结BD（图2）∵AD=BC DB=DB AB=DC△ADB=△CDB（SSS）∴∠A=∠C（全等三角形的对应角相等）又∵∠AOD=∠COB∵AD=BC∴△AOD≌△COB（AAS）师：很好，当问题不能直接得到解决时，通过添辅助线，先说明△ABD≌△DCB，再利用它得出的结论来说明△AOD≌△COB，这种间接的方法以后经常会用到。
生4（有点迟疑）：∠A=∠C师：大家看看，添加∠A=∠C，能否得到△AOD≌△COB呢？生5：不能！若添上∠A=∠C，△AOD与△COB中没有边相等，而△ABD与△BCD中AB=CD，BD=BD，∠A=∠C是不能判定三角形全等的。
（问题如此解决是在意料之中的）师：有时在解决一个问题，有多种思路。
有的看起来很好的思路并不能解决问题。
解题本身是一种探索的过程，而且要在探索中不断的总结经验，以至提高自己解题的能力。
生6：添∠A=∠C可以说明△AOD≌△COB（下面马上有学生叫起来，“边边角”不能作为判定三角形全等的依据。
对课本一道例题解法的反思
评价研究2014-03对课本一道例题解法的反思文/李国强在数学必修4第一章1.4.2节中求三角函数周期的例题2（课本34页）中，开始时总觉得学生有点难理解，当时问了旁边的学生，学生确实同感。
后来必修4学完后，经过反思，我对三角函数求周期的问题也有了进一步的了解与认识。
现在和大家一起分享我的反思过程。
学习三角函数的图象后，不难发现三角函数值及其图象具有“周而复始”的变化规律，如下图所示的正弦函数和余弦函数的图象y通过函数图象我们可以观察到每隔2k π（k ∈Z）个单位，函数图象以及函数值都会重复出现，根据周期函数的定义知：而对于函数f （x ），如果存在一个非零的常数T ，使得当x 取定定义域内的每一个值时，都有f （x+T ）=f （x ），那么f （x ）就是周期函数，而T 就是这个函数的周期，所以正弦函数和余弦函数也是周期函数.三角函数的周期性是三角函数最基本、最重要的性质之一。
在必修4第一章1.4.2节中的例题2中就是有关求三角函数周期的例题。
下面是摘自课本原题的一个小题。
课本（必修4）第34页求下列函数的周期。
例2（2）y =sin2x ，x ∈R ，解：∵sin2（x +π）=sin （2x +2π）=sin2x ，∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为π对于以上例题所用的解法，看似简单但对学生来说，却不太容易理解。
很多学生都会提出质疑：例2的小题是类似f （x ）=sin x 的正弦函数，但它们都不是正弦（或余弦）函数。
所以没办法直接用我们学习正弦函数的周期2k π直接带入，此时也并不懂得如何去求类似正弦函数的周期函数的周期。
而课本在解答时为何直接在函数的变量后加一个π呢？如sin2x =sin2（x +π），正弦函数的周期不是2k π吗？为何此函数不直接写成sin2x =sin2（x +2k π），抑或为什么不在x 后加上2π，3π，4π…n π呢？同样的道理为什么2sin （12x -π6）=2sin ［12（x +4π）-π6］？为什么要加上4π，就不加2π，5π，…n π呢？这些问题令很多学生迷惑不解.后来经过仔细阅读，我发现每道题的解答后都有一句话:“由周期函数的定义可知……”但是仅凭周期函数的定义就可以直接这样判断出函数的周期，这样的说法对刚接触周期函数的高一学生来说难度有点大。
有一道习题引发的教学思考
有一道习题引起的教课思虑苏教版《小学数学》(三年级上册 ) “认识分数”有这样一道习题一“想一想做做”：片断一：很多教师在平常的教课中都是将书上的原题出示给学生，学生循规蹈矩地填一填、读一读，直观地比较一下这两个分数的大小，就算达成任务了。
在这个过程中，学生达成得很简单，教师自己也感觉成效不错，学生仿佛都会了，却没有反省一下：学生的思想能力获得提升了吗 ?习题资源获得充足利用了吗 ?片断二：一节公然课上教师先出示一张涂色的长方形纸条告诉学生用 1 表示，出示第二张相同大小的长方形纸条，只将此中的1/3涂色，但并未用竖线注明将它均匀分红三份，这时，教师问：“此刻你能用分数表示涂色部分吗?”，让学生估一估，再用电脑考证一下。
在估一估第三张相同大小纸条的1/6 时，有的学生发现第三张纸条的涂色部分占这张纸条1/3 的一半，进而推测出涂色部分应当占这张纸条的1/6 。
比较上边两个片断，我们能够发现：第一个片断中，教师没能依据学生的实质发展水平，创建性地使用习题，学生从图上直观地就能够看出涂色部分占整张纸条的几分之几，做题时无需太多的思虑，学生达成得很简单，成功的感觉不够激烈。
而第二个片断。
教师对原题信息进行了改装，合适隐藏了原有图中的部分信息，学生在预计第二个长方形纸条涂色部分所占大小时，需要在脑筋中对整体进行均匀分的表象操作和展望，而第三张纸条的涂色部分还能够与第二张纸条的涂色部分进行对照、推测，这样做，明显是为学生供给了更为广阔的想象和思想的空间，帮助学生发展了数感。
学生从中获得自主体验与感悟，加深了对所学知识的理解，学生在讲堂上的那种成功的愉悦更加明显。
反省一下，假如我们在练习设计过程中如片断一不加精心设计，不过让学生自己填一填，而后组织沟通报告一下答案，就这样简单练习，那么学生就不可以此后题中获得更多的数学养分，不可以形成更深刻的数学理解，习题的功能亦得不到最大的发挥。
习题是学生进行有效学习的载体。
关于一道课本习题的教学思考
第二 ， 改变原来复 习时常用 的“ 用条 件分析方 法” 为
“ 用关键词选择方法” ． 根据 已知推 结论也 是解决 问题 的
过程， 但 是 每个条 件都 可 以涵盖 多个方 向的结论 ， 哪个
２ ９
Ｅ — ｍ ｉ ｌ ： ｚ ｘ ｊ ｘ ｃ ｋ ｌ ｋ ＠１ ６ ３ ・ ｃ 。 ｍ
Ｚ ＨＯＮ ＧＸＵ Ｅ Ｊ ￣ ＯＸ ＵＥ Ｃ ＡＮＫＡ Ｏ
习题 研 究
关 于 一 道 课 本 习题 的 教 学 思 考
广 西 南宁 市第 十四 中学（ ５ ３ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ ） 邓 云锋
课本 习题 蕴藏着 丰 富 的内涵 ， 挖掘、 提高课 本 习题 的教 学价值 ， 是 教师应 承 担 的责任 ， 也 是完 成教 学任 务 的必 要环 节 ， 教 师应 高度 重视课 本 习题 的教学． 下 面就
式， 将 实际 问题转 化 为数学 问题． 对利 润 问题 的探 究有 利于学生巩 固二次 函数 图像与性 质 的相 关知识 ， 培养学
生 良好 的 思 维 习 惯 以 及 用 二 次 函 数 模 型 解 决 实 际 问题
入 住 的 房 间数
５ ０
收 入
利 润
１ ８ ０× ５ ０
熟悉 的 内容开 始 ， 逐 渐补 充完 整． 知 识 结 构 的梳 理 不 一
生亲身经历 的思考过程 ， 才能使 其掌握 相应方法． 例如 ， 《 切线 的判定 复 习课 》 其 关键 词是 “ 证 切线 ” ， 即“ 证垂直” ， 复 习就从 这个 关键 词 出发 ， 由此 列 出证垂 直的各种方法—— 知识结 构框架构建 ， 然后再考 查每种
中学 教 学 参 考
由一道课本例题带来的日常教学思考
由一道课本例题带来的日常教学思考对数学问题多种解法的不懈追求，体现了数学思维的深刻性、发散性、变通性、灵活性、流畅性和开放性.本文介绍一道课本习题的多解、推广、反思.一、课本上的一道例题：浙教版八上《3.2直棱柱的表面展开图》P58书本例题：如图，有一长方体形的房间，地面为边长4米的正方形，房间高3米.一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在B处.⑴试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？⑵若苍蝇在C处，则最短路程是多少？问题解决——谜底：二、例题教学后的反思：对于立方体表面展开图这个概念的形成，由于很难下一个简洁明了的定义，所以课本先安排了一个合作学习的栏目，让学生把一个立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，得到一些平面图形，然后再通过体例、练习和作业题来理解概念，进一步迁移到其他直棱柱的表面展开图。
从学生能力发展的要求来看，形成数学概念(或定义)，提示其内涵与外延，比数学概念(或定义)本身更重要。
当学生对于概念、定义有了初步理解(或了解)，但这种理解还不十分稳定、清晰的时候，可以在变式中辨别是非。
在复习概念(或定义)的教学过程中，利用问题变式可加速加深学生对概念的理解，巩固所学知识，提高学习的兴趣和积极性，从而培养学生阅读理解、观察与分析、抽象与概括等能力。
三、题目变式教学题目变式包括条件的探究(增加、减少或变更条件)、结论的探究(结论是否唯一)、数与形的探究、引申探究(命题是否可以推广)等。
在解题复习课或试卷讲评课的教学中，利用问题变式可使学生掌握姊妹题甚至一类题的解法，从而使学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力得到提高，探究创新的能力得到发展。
．变式1：如图1，有一个圆锥粮仓，其正视图为边长是 6em的正三角形。
粮仓的母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食。
此时，小猫正在B处，它要沿粮仓侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程的长。
变式2：如图2所示的圆柱体中，底面圆的半径是 1，高为2。
由一道习题教学引发的思考
由一道习题教学引发的思考在学生学习了长方体，正方体固长的计算方法后，作业本中出现了一道这样的习题：一根铁丝可以国成一个长8厘米，宽5厘米，高2厘米的长方体。
如果用这根铁丝围成一一个正方体，正方体的楼长是多少厘米?按照我的思维，学生只要掌握了长方体和正方体求总校长和的方法，就应该简而易显的。
然而作业交上来，全班学生都做错了，这让我陷入了深沉地思索:为什么没有人做对呢?到底出错在哪里?是我对这块知识教的不够透彻吗?我重新翻阅教材和参考资料。
其实像这一类的习题四年级出现过，只不过它是在学习了正方形和长方形的周长以后，告诉你长方形的长和宽，求与长方形周长相同的正方形的边长。
既然是学过的问题，为什么到了五年级学生就不会迁移了呢?那我在四年级教学分析问题时，是否真正让学生明白了，领悟了吗?那么，我当初没有解决好的问题，今天又该如何补救?该怎么突破这个难关?是一步一步牵着走呢，还是放手让学生自己去探究?翻阅了大量资料，深思了几天，我决定放手，先从简易图形入手，让学生自己去探究，自己去弄明白。
于是我安排了以下的教学:师: (出示实物:一根铁丝围成的一个长方形)同学们，今天老师遇到了一个难题:一根铁丝能围成一一个长8厘米、宽6厘米的长方形，现在我想用这相铁丝围成一一个正方形，不知道行不行?生:老师，你先把铁丝拉直，再平均分成4份，然后折一折就行了。
师:哦，是吗?同学们想自己试一下吗?(以小组合作的形式，学生用自己的方法演示了长方形改围成正方形的过程。
)师:那围成的正方形的边长会是多少呢?大家先想一想，然后在小组内交流自己的想法。
(我给了学生5分钟的时间思考和交流，并参加了学生的小组讨论。
我发现大家在交流中碰撞出许多智慧的火花，甚至有些解决问题的方法是我想象不到的。
)生1：因为长方形和正方形都是用网一根铁丝围成的，这说明他们的周长一样，我可以先求出长方形的周长，也就是正方形的周长，再求出正方形的边长。
算式: (8+6) X2+47 (厘米)我充分肯定了这个解决问题的方案，又追问了句:还有不同的想法吗?生2:老师，这样太麻烦了!其实只要求出半根铁丝的长，再除以2就可以了，算式: (8+6) +2-7 (厘米)生3:我不太明白他这个方法是什么意思?师:我也看不懂，你能解释下吗?生2:(上台演示)半根铁丝长就是长方形一条长和宽的和，折成正方形时就是两条边长，长和宽的和就是半根铁丝长，再除以2就是正方形的边长，生4:老师，我的算式和他一样，但想法不同。
对一道课本习题改编后的思考
对一道课本习题改编的思考数学学习的的一个重要方面就是对习题的学习。
但因为课本上的习题或例题大多是针对本节或本章内容设置的，不仅题型单一，而且还不能照顾到不同地区不同的学习水平，因此我们在平时的教学中，有必要针对本地学生的学习情况对课本习题作出改编，以适应本地学生的认知水平习题改编要注意示范性，规范性，启发性，开放性、灵活性，导向性，连贯性，针对性。
下面我们看一道人教版八年级数学上册P 120 9题：点P （x ，y ）在第一象限，且x+y=8，点A （6，0）。
设△OPA 的面积为S 。
（1） 用含x 的解析式表示S ；写出x 的取值范围，画出函数S 的图象。
（2） 当点 P 的横坐标为5时，△OPA 的面积为多少？（3） △OPA 的面积能大于24吗？为什么？一、解析：问题体现了课程标准中“一次函数的学习目标”，以探索问题中的数量关系和变化规律为背景，经历运用函数模型解决实际问题的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。
基于上述学习目标，结合“问题”，首先需要对计算△OPA 的面积S 时涉及到的量进行分析研究，运用数形结合思想，作出草图：即可得到：OA=6，OA 边是的高为点P 的纵坐标y ，故S OPA =12•OA •y=12•6•8-x ()=-3x+24由于点P 在第一象限，于是有x>0,y>0,所以,得到：8-x>0, 所以：0<x<8。
如上图所示，其图象是一条线段，且不包含线段的两个端点。
当x=5时，S=9。
由于S=-3x+24， 所以 3x=24-S ，又因为 0<x<8，所以，0<24-x<24,所以，24>S>0. 故, △OPA 的面积不能大于24.从上面的分析过程可以看出，利用一次函数的性质解决问题，需要结合函数的增减性，把问题转化为不等式问题来解决，这是一种最常用的思维方式方法，应引起我们足够的重视。
由一道课本习题引发的思考
［ｓ０ １ ２］ 争ｉ一ｃ …ｓ） ｎ 帆（ ２１
：丁
相同的方法求解 ， 是否可 以归类于某一题型等。
（ ） 式练 习得 到充 分 重视 的 问题 三 变
１Ｒ （ｉ２＋ ｏｏｃｓ０一１ｎ２ ｔ 。ｓ ０ ｃｔｔｏ２ ） 丁 ｃ ｎ 。
：
黑ｎ （ ｉ０ｏ ｃ２一 Ｚ （ ｓ ｓ ＋ｓ 。０ ｝ ｔ ｎ ２ ｓ Ｉ ｊ ｎ ｃ ｓ） ｉ
图 １
解 法 ２ 如图 １设 Ｂ ＝ ， Ｃ ＝ ： ， Ｃｘ则 Ｄ Ｖ
ｚ于是 ，
ｓ ｃ． ／ Ｄ ｃ、
＝
￣ ％ ｘ： ， 仅当 ＜ｘ４２ｚ２２ 且 Ｒ 一Ｒ 当 －
Ｚ
２ 时即 ＝ ／ － 、
， 等号成立 ， 时矩形 Ａ Ｃ 此 ＢＤ
圈 ３
有 最 大面 积 ， ２ ２ 形 也 变 成 了一 个 正方 形 。 是 Ｒ 矩
的 时候 ， 积 最 大 。 面
解 法 ２ 如 图 ２ 同解 法 １ 设 Ａ ＝ ， 据 对 称 性 ： ， ， Ｂ ｘ根
有 Ｂ ： Ｂ２ ／ Ｃ２ ： 、 ０
ｚ尺 —。 ＝ ｚ 即 ＝
≤２ ： ｚ ｘＲ ： ，当且仅当 ＋ Ｒ
时 ，矩形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的 面 积 最 大 。
Ｒ￣ｏ ｄ ｔ
＝
题 目的条件使之成立等等 。 这就是探究挖掘 的重点 ，
也 是 我 们 通 常所 说 的变 式 练 习 。 数 学 教 学 中 ， 式 在 变
由于 ０ （ ， ＜ｔ Ｉ ＜ 所以， 一００即 导 练 习 是 习题 教 学 的 重 要 内容 ，也 是 能 否 让 学 生 深 化 当 ２ ， ＝ ＝
问题 考 查 的 对 象 ， 后 寻 找 解 题 的 办法 ， 时 要 注 意 然 这 解 法 的 多样 性 ， 选择 的灵 活性 ， 后 便 可解 题 了 。 然 解题
学会探究——一道课本习题的思考
点的 直线为Ｙ 七 等（≠） 即 ÷ ＋ 将上 ＝ 一 ） ０， ＝ ， 庀
式代入 Ｙ ＝２ ，得 Ｙ ＝２ （ ，去分 母整理 得 ｐ＿ Ｐ） Ｙ十
一
２ ｘ ｋ ＝０，设这个 方程 的两根为 Ｙ ，Ｙ ，则 ｐ —ｐ 。
（） 以 Ａ ２ Ｂ为直 径 的圆与准线 ＝一 相切 ；
Ｂｍ
ｇ
Ｐ Ｊ （ （ ＋ ， Ｑ（ 卜 ＝＋ ＋ 卜 等 １
易 知被 开方 数可看 作 关于 ｘ Ｘ 的二 次 函数 ， 由 —ｏ 二次 函数 的性 质可 得 Ｐ Ｑ的最 小值 是 ：
Ｐ ． ＝
￣Ｉ Ｉ Ｐ ＝ Ｑ
＝
厮
＝『－ｍ － ２ 、 Ａ ２ Ｂ ｍ
一
Ｙ ＝２ ｘ的焦 点 的一 条直 线和 此抛物 线相 交 ； 个交 ｐ 两
问题 是数 学 的 “ 心脏 ” ，随 着 课 标课 程 理 念 的 深
入 ，对于数 学 问题 ，应让 学 生“ 会探 究” 学 ，在 探究 过 程 中 ，寻求 知识 的联系 、 方法 的整合 、规 律 的发现 ， 领悟 数 学解题 “ 八方 联系 ，浑 然一 体 ；漫江 碧透 ，鱼 翔 浅底” 的意境 ，真 正使 学 生的数 学 思维在 问题 探 究
（） Ｚ Ｏ ５ Ａ Ｂ为钝角 ；
率不存在情况的证明 （ 事实上，当斜率不存在时 ，
，
设 ｘ ｘ ＝Ｐ， Ｙ ０ —ｏ —Ｙ ＝ｑ，
联上 个子：一＝ ’ 立面 式 １ 。 两 得Ｊ ｇ 和 一 ｐ＝ ｍ ＋
— —
不 妨假 定 Ｂ≠０，上式变 形得 ：
ｍ
Ａｍ
ｙ Ｙ 一 －（ ｘ） ’ － ｏ ｄ 卜 ｏ一
解 之得 ：
ｐ 丽
一ห้องสมุดไป่ตู้
由一道习题引发的思考
由一道习题引发的思考————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：由一道习题引发的思考—探索二元一次方程组解的情况内容摘要：对一道二元一次方程组解的情况习题，是简单地呈现最后的结果？还是给学生讲解理由？我选择了后者，首先引入一种新的解二元一次方程组的方法，在求解的过程中产生矛盾，撞击学生思维的火花；围绕矛盾设置由浅入深的问题，直至得出最后结论，并用所归纳的结论解决问题。
学生经过探索、独立思考、合作讨论、总结归纳等数学活动和思维过程认知能力得到提高。
同时也使自己的教学水平提高，达到教学相长的效果。
关键词： 系数行列式； 解的情况； 唯一解；无穷多解 ；无解一、情景描述苏科版七年级教材下册10.3解二元一次方程组，运用代入、加减消元法求解二元一次方程组，例题和习题中的方程组都是有解的，教材没有对二元一次方程组解的情况讨论。
在辅导课上，徐渺，吕园等几位同学问我一个问题，题目内容是“当m ，n 取什么值时，方程组2356{x y x my n +=+=①②有唯一解？有无穷多解？无解？”他们说看不懂题目，不知道题目是什么意思。
如何解答这个问题？是直接告诉结论把答案呈现给他们，还是给他们讲解理由？若讲解如何才能让他们理解透彻？ 二、反思与分析为了解决上述问题，进一步提高学生的认知能力，根据七年级学生的心理特征和认知特点，我给他们提供了当二元一次方程组有解时的另一种解法。
首先我们引入一种运算定义：二阶行列式a b ad bc cd=-，例如525(3)(2)21123-=⨯---⨯=--下面我们用一种新方法来解二元一次方程组 [例]（教材苏科版七下P91）解二元一次方程组524235{x y x y -=-=-①②分析：方程①右边为常数为4，方程②右边为常数为-5；我们把方程①、②中未知数x 、y 的系数按照原来的位置，构成二阶系数行列式5223--；把系数行列式中x 的系数所在列52换成方程①、②中常数45-，可得行列式4253---；把系数行列式中y 的系数所在列23--换成方程①、②中常数45-，可得行列式5425-，根据行列式计算方法，可得525(3)(2)21123-=⨯---⨯=--；4243(2)(5)2253-=⨯---⨯-=---（）；545(5)423325=⨯--⨯=--。
一道课本习题引发的学与教的思考
一道课本习题引发的学与教的思考●金晓群（青田县第二中学浙江青田323900）课本习题是数学教材的重要组成部分，通常情况下，它比作业本、教辅资料等其他习题更为典型、精致．深入地理解课本习题的设计意图，并对某些习题进行自然、合理地挖掘开发，进而提升课堂教学的品质，应成为一线数学教师的不懈追求．笔者在组织浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级下册中2．2节“切线长定理”的课本习题（作业题A2）的教学时，课前对这道习题进行了有效的预设，课堂上又结合学生的实时表现，适当地对教学设计进行调整、改善，取得了不错的效果．可贵的是，一道普通的习题还引发了教师、学生对数学教与学问题的深层思考，现记录如下，供同行参考．题目如图1，O 为Ｒt △ABC 直角边AC 上的一点，以OC 为半径的半圆与斜边AB 相切于点D ，交AC 于点E．已知AB =5，AC =4，求BD 的长和⊙O 的半径长．图1图21学生解法展示由勾股定理及切线长定理，容易求得BD =BC =3．在求⊙O 的半径时，学生在充分思考后，展示了5种不同的解法（如图2）：解法1联结OD ，设半径OD =x ，由△ADO ∽△ACB ，得OD BC =AOAB，可列方程x 3=4－x 5，求得OD =x =32．解法2联结OD ，设半径OD =x ，在Ｒt △ADO中，由OD 2+AD 2=OA 2，可列方程x 2+22=（4－x ）2，求得OD =x =32．解法3联结OD ，OB．设半径OD =x ，由S △AOB +S △BOC =S △ABC ，可列方程12ˑ5x +12ˑ3x =12ˑ3ˑ4，求得OD =x =32．解法4联结OD ，设半径OD =x ，在Ｒt △ACB 与Ｒt △ADO 中，可得tan A =x 2=34，从而OD =x =32．解法5联结OD ，易证OD ʒAD ʒAO =3ʒ4ʒ5，不妨设OD =3k ，则OA =5k．由CO +OA =AC =4，可列方程3k +5k =4，求得OD =3k =32．展示了习题之后，笔者留给学生充分的时间进行求解与交流，坚持了“以学为中心、以学生为中心”的指导思想．出乎意料地，学生展示了5种解法，在课堂上完美地展现了“一题多解”的魅力．在这个环节中，由于学生们展示了不同的解法，借助表达、聆听、质疑、解释等方式，解题能力得到了锻炼，而且思维变得更加灵活、开阔．巧合的是，这5种解法都运用到一种重要的数学思想———方程思想．方程思想在初中数学中是一种非常重要、应用十分广泛的数学思想，而要想让学生真实、深刻地体会数学思想，却并不容易．那么如何进行方程思想的渗透与落实呢？我们应该选择什么样的载体与着力点呢？“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫”———该习题就是一个很好的选择．当然，单单选择好范例，还不能算是成功的教学．为了使学生对方程思想有一个真切的认知，先对用方程解决问题的真实过程进行暴露是非常必要的．只有这样，学生才能较深刻地感受到运用方程解决问题的好处，进而体会到掌握方程思想的必要性，也为后续关于方程思想的深入学习、灵活运·9·第12期金晓群：一道课本习题引发的学与教的思考用打下基础．2解题之后，学生从“学”的角度进行思考当然，仅仅是停留在学生们能用5种不同的方程解决问题，未免可惜．在笔者的指导与帮助下，学生们围绕着以下5个问题进行思考，并在课堂上展示了思考成果．问题1这5种解法的共同特点是什么？学生思考显而易见，这5种解法的共同特点是运用方程解决问题，具体地说，均是运用列方程的解法求线段的长．问题2这5种解法所列的方程，其背后的根据分别是什么？学生思考解法1中的方程x3=4－x5，来自于OD BC =AOAB，即相似三角形对应边成比例；解法2中的方程x2+22=（4－x）2，来自于OD2+AD2=OA2，即勾股定理；解法3中的方程12ˑ5x+12ˑ3x=12ˑ3ˑ4，来自于等量关系S△AOB+S△BOC=S△ABC ，S△AOB=12ˑABˑOD，S△COB=12ˑBCˑOC，其核心是三角形的面积公式及面积的和差关系；解法4中的方程tan A=x2=34，来自于tan A=ODAD，tan A=BCAC，即锐角三角函数的意义；解法5中的方程3k+5k=4，来自于CO+OA=AC，即线段的和差关系．问题3这些“背后根据”为什么会提供方程？学生思考这些方程背后的“根据”本身就是等式，而方程无非就是含有未知数的等式，因此这些“根据”为方程提供支持是非常自然的．问题4列方程求线段长度的一般步骤是什么？学生思考总体上说，可以用“设、表、列”这3个字来概括：第1步，假设相应的线段的长为某一未知数；第2步，用常数或含未知数的代数式来表示其他相关线段的长度；第3步，寻找到合适的等量关系，列出方程．问题5本习题的求解对以后求解线段长度的问题有什么启示？学生思考在求线段的长度时，可以思考以列方程求解的形式来进行．而在构建方程前，可以先从相似三角形的对应边成比例、勾股定理、面积公式、锐角三角函数、面积的和差关系、线段的和差等方面着手去寻找相应的等式．由于本习题蕴含了浓厚的方程思想，因而上述过程中对学生“学”方面的思考是紧紧围绕这一数学思想展开的．一直以来，教师们都非常清楚数学思想在学习数学中的重要作用，平时在教学中也非常重视数学思想的渗透与落实．与数学的基本知识与基本技能相比，数学思想有“看不到、摸不着”的特点．因此在实际教学中，主要是从教师的角度，直白地、贴标签式地告知学生数学思想的名称，学生并没有发自内心地认同教师的讲评，只是表面地知其然，而不知前后的所以然，因此教学效果通常并不理想．以上的第1个环节借助比较，使学生对运用方程解决问题有一个初步的了解；第2个环节通过寻找每个方程背后的理由，使学生对本题的求解掌握得更为深刻，也为今后在其他情形下运用方程解决问题指明大概方向；第3个环节进一步地探索这些根据和方程的本质联系，使学生感悟运用这些根据列方程的必然性；第4个环节借助对一般步骤的总结，让学生更扎实地掌握运用方程思想解决问题的常规手段；最后的环节通过把解本题拓展至更大范围、解更多题的猜想，让学生在未来的解题活动中能有所准备，能更顺利地求解其他题目．在平常一些习题课的教学中，得出正确答案，教学也许就结束了，而这一次并不如此．在学生展示了不同解法的基础上，笔者引导学生对相关的具有规律化、本质化的内容进行总结和反思，尝试着从“怎么解”到“为什么这么解”层层递进，以求达到“解一题、会一类”的效果，对学生以后的数学学习无疑具有很大的益处．3习题教学之后，教师从“教”的角度进行思考本习题的求解与讲评只是一堂新授课中的一个小小的片段，尽管这个习题难度并不大，但这个习题的求解及求解后对解法的总结，却简练而完整地体现了方程在求解线段长度时的魅力．在感叹之余，笔者围绕本习题的教学还有如下的思考：思考1注重挖掘课本习题潜力一堂新授课，要完成知识的落实与能力的提高，肯定是离不开题目的．在信息爆炸、题目泛滥的今天，如何选择习题是摆在一线教师面前的一个大·01·中学教研（数学）2015年记一次课本习题的“淘宝”历程●张明远何文魁张博（陇西县第二中学甘肃陇西748100）教材中的例（习）题是经过专家精心构思、反复推敲后选定的，具有起点低、入口宽、视角广的特点，是高考复习之本，也是高考命题之源．深入研究例（习）题，揭示其深刻性，领悟其奥妙，对培养学生分析问题、解决问题的能力及抽象思维能力有着独特的功效．课堂教学中，教师在引导学生完成例（习）题后，要有意识地引导学生对问题全方位、广角度、多层次地进行引申、拓展，为学生提供教科书之外广阔的探究空间，有助于激发学生的学习动力，实现知识的“再创造”，使学生的数学思维提高到一个由例及类的档次，形成有效的“思维链”，达到“一题串一簇，一题联一线”的境地．如果经常这样做，学生头脑里就能喷发出探究的“火花”，思维就能得到真正地提升．下面笔者从一道课本习题到高考题的演变说起，例谈高考复习应从课本习题的后花园中“淘宝”，自觉挖掘课本习题的价值，传递课本习题承载的更多“能量”，追求课本习题的附加值．问题．其实，课本中的习题是与课本内容完美配套的，而且编写的人员均是教材编写方面的专家，因此课本中的习题应该成为我们组织课堂练习的首选．更重要的是，教师要做课堂教学的有心人，能从普通的课堂习题中，挖掘出不一般的数学教育价值．当然，这种拓展要适时、合理、自然、有效．思考2重视引导学生进行解决习题之后的归纳总结数学的题目不计其数，要想从题海中解脱出来，必须注重解题策略的总结．因此，在学生解决某类问题之后，我们应该从更高的角度来引导学生思考“能不能解决类似的问题，能不能寻找到这类问题的共同属性，能不能用数学本质的眼光来看待问题”等问题．表面上看，在课堂上花在总结反思上的时间增多，完成的题目量减少，课堂效率可能会降低．但事实恰恰相反，只有注重这种反思，学生才能从根本上摆脱题目的束缚，更自由、更有效地学习数学知识，提升数学能力．在解题之后进行反思本应是一种必需的学习习惯，只不过由于教师或学生的浮躁，这种品质被边缘化了，变得可有可无．考虑学生的长远发展，教师必须要在这方面有所作为．思考3注重提炼课本习题背后的数学思想解法《新课标》提出：通过义务教育阶段的学习，学生能“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，显然，这样的表述对数学思想的重要性给予了特别的强调．当然，数学思想作为数学的灵魂，它的重要性并不是课标制定的，而是学习数学、特别是解题的过程中自然体现的．数学习题无限多，为了使学生不被题海淹没，也为了保持学生的学习兴趣及未来可持续的学习动力，教师要有意识地对课本习题背后的数学思想进行提炼，并适时、合理地向学生渗透．思考4习题中蕴含的数学思想的教学要“看得见、摸得着”实际上，数学教师非常明白数学思想的重要意义，希望学生能马上掌握各种数学思想．但这一行动一旦操之过急，学生数学思想的学习往往被教师越俎代庖，被教师以贴标签的形式草草了之．由于不接地气，学生对数学思想的感觉是表面的、不踏实的、虚幻的，效果自然也不理想．其实数学思想的教学是急不得的，它就好像品德教育一样，需要学生慢慢地体会感悟，要有真实感知、扎实摸索、不断反思的过程．因此，数学思想的教学需要教师为学生寻找合适的时间和载体，搭建展示的平台，真实地展示学生在学习数学思想时或幼稚、或艰辛、或欢乐的足迹，尽量使数学思想解法的教学不一厢情愿、不故弄玄虚、不虚无缥缈，努力达到“看得见、摸得着”的效果．作为从事一线教学的数学教师，我们应该做一个有心人，能从平平常常的教学素材中发现为我所用的精彩内容，并适时、适度地予以开发使用，为学生更有效地学习数学、更有兴趣地学习数学、更长远地学习数学，提供源源不断的支持．·11·第12期张明远，等：记一次课本习题的“淘宝”历程。
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由一道课本习题的思考
数学学习的核心是发展思维能力。
同学们在学习的过程中，若能经常对课本的经典题进行挖掘、引申和改编，就可以得到综合性强、形式新颖的命题，这样可帮我们全面系统地掌握知识，培养思维的灵活性和发散思维能力。
现举例说明。
原题目：苏科版九年级上册第136页：已知点I为ABC的内心，/ BAC的平分线与ABC的外
接圆于D, AD交BC于E, DB与DI
相等吗？为什么？
分析：连接BI , VI为内心，.•./ ABI=Z EBI,
/ BAEh CADh EBD 而/ DIB=Z ABI+Z BAE
/ DBI=Z EBDZ EBI,.Z DIB=Z DBI,. DB=D。
变形题1:本题还可证得（1）AB?AC=AE?AD（ 2）DI2=DE?DA （3）AB?AC=AE2+BE?CE
分析：结论（1）可通过证明AB» AEC结论（2）可通过证明DB0 DAB;结论（3）可通过证明AE3 BED得AE?DE=BE?EC由（1）得AB?AC=AE?AD=（EAE+ED =AE2+
AE?ED=AE2+BE?EC
原题可互换条件和结论得
变形题2:如图1, ABC的角平分线交BC于E,交ABC的外接圆于D, I为AD上一点，且DB=D,求证：I为ABC的内心。
分析：只要证明/ AB匸/ EBI，与原题的证法类似。
变形题3:在原题条件下，作DMLAB DNLAC M, N为垂
足，AB>AC。
求证：（1）BM=CN=（AB-AC）（2）
分析：（1）易证DBMP?DCN ADMP?ADN 得BM=CNAM=AN 由
AM=AN 得AB-BM=AC+CN即卩2BM=AB-AC
所以BM=CN=（AB-AC）。
（2）易证AE3 ABD, ABE^ ADC 得。
变形题4:在原题条件下，过D作圆的切线交AB AC的延长线于M N,求证：（1）BC// MN （2）CD2=CE （AB-AC）DM 分析：（1）设0为?ABC的外接圆的圆心，连接0D因为MN为切线，所以ODL MN又因为/ BADh CAD可得弧BD=^ CD 所以ODL BC 所以BC// MN
（2）由弧BD=弧CD得BD=CD 又BC// MN 得
/ DCBh DBCh BDM 又/ ADCh ABCh M 可得CDE^ DMB 得
CD?BD=CE?BD因为BD=CD 所以CD2=CE?DM
通过对一道习题的引申、改编，同学们不仅对课本知识的掌握和应用更为熟练，而且对培养发散思维和创造性思维能力大有裨益。
更重要的是可以培养学生对已经解决的数学问题加以引申变化的意识，从而提高创新能力。