由一道课本习题的思考

由一道课本习题的思考

数学学习的核心是发展思维能力。同学们在学习的过程中，若能经常对课本的经典题进行挖掘、引申和改编，就可以得到综合性强、形式新颖的命题，这样可帮我们全面系统地掌握知识，培养思维的灵活性和发散思维能力。现举例说明。

原题目：苏科版九年级上册第136页：已知点I为ABC的内心，/ BAC的平分线与ABC的外

接圆于D, AD交BC于E, DB与DI

相等吗？为什么？

分析：连接BI , VI为内心，.•./ ABI=Z EBI,

/ BAEh CADh EBD 而/ DIB=Z ABI+Z BAE

/ DBI=Z EBDZ EBI,.Z DIB=Z DBI,. DB=D。

变形题1:本题还可证得（1）AB?AC=AE?AD（ 2）DI2=DE?DA （3）AB?AC=AE2+BE?CE

分析：结论（1）可通过证明AB» AEC结论（2）可通过证明DB0 DAB;结论（3）可通过证明AE3 BED得AE?DE=BE?EC由（1）得AB?AC=AE?AD=（EAE+ED =AE2+

AE?ED=AE2+BE?EC

原题可互换条件和结论得

变形题2:如图1, ABC的角平分线交BC于E,交ABC的外接圆于D, I为AD上一点，且DB=D,求证：I为ABC的内心。

分析：只要证明/ AB匸/ EBI，与原题的证法类似。

变形题3:在原题条件下，作DMLAB DNLAC M, N为垂

足，AB>AC。

求证：（1）BM=CN=（AB-AC）（2）

分析：（1）易证DBMP?DCN ADMP?ADN 得BM=CNAM=AN 由

AM=AN 得AB-BM=AC+CN即卩2BM=AB-AC

所以BM=CN=（AB-AC）。

（2）易证AE3 ABD, ABE^ ADC 得

。

。

变形题4:在原题条件下，过D作圆的切线交AB AC的延长线于M N,求证：（1）BC// MN （2）CD2=CE （AB-AC）DM 分析：（1）设0为?ABC的外接圆的圆心，连接0D因为MN为切线，所以ODL MN又因为/ BADh CAD可得弧BD=^ CD 所以ODL BC 所以BC// MN

（2）由弧BD=弧CD得BD=CD 又BC// MN 得

/ DCBh DBCh BDM 又/ ADCh ABCh M 可得CDE^ DMB 得

CD?BD=CE?BD因为BD=CD 所以CD2=CE?DM

通过对一道习题的引申、改编，同学们不仅对课本知识的掌握和应用更为熟练，而且对培养发散思维和创造性思维能力大有裨益。更重要的是可以培养学生对已经解决的数学问题加以引申变化的意识，从而提高创新能力。