2019-2020学年湖南省株洲市茶陵县第三中学(a佳教育大联盟)高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年湖南省株洲市茶陵县第三中学(a 佳教育大联盟)高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知{|450}A x x =->，则有（ ） A ．3A ∈ B ．1A ∈C ．0A ∈D ．1A -∉【答案】C【解析】首先求出集合A ，再根据元素与集合的关系得出结论； 【详解】解：{|450}A x x =->Q4|5A x x ⎧⎫∴=<⎨⎬⎩⎭0A ∴∈，1A -∈，1A ∉，3A ∉故选：C 【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题. 2．函数4ln(2)y x =-的定义域为（ ）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(2,3)(3,)⋃+∞D ．(3,)+∞【答案】C【解析】要使函数有意义，则对数的真数大于零，分母不为零，得到不等式组，解得即可； 【详解】 解：要使函数4ln(2)y x =-有意义，必须2021x x ->⎧⎨-≠⎩，解得2x >且3x ≠，故函数的定义域为()()2,33,+∞U . 故选：C 【点睛】本题考查函数的定义域的计算，属于基础题.3．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ）A ．1y x=B ．3x y =C ．lg ||y x =D ．y x =【答案】D【解析】根据函数的奇偶性及单调性判断可得； 【详解】解：选项A 中函数1y x=，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，为奇函数，在(),0-∞和()0,∞+上单调递减，在整个定义域上不具有单调性，故A 错误； 选项B 中函数3x y =，是增函数但不是奇函数，故B 错误； 选项C 中函数lg ||y x =是偶函数，故C 错误； 选项D 中函数y x =在R 上是奇函数并且单调递增. 故选：D 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属于基础题.4．如果幂函数()f x x α=的图象经过点⎛ ⎝⎭，则(8)f 的值等于（ ）A ．2B ．4C D 【答案】B【解析】利用待定系数法求出函数解析式，再代入求出函数值即可. 【详解】解：由幂函数()f x x α=的图象经过点2⎛ ⎝⎭，所以2α=解得12α=-，12()f x x-∴=，故12(8)84f -==. 故选：B 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，函数值的计算，属于基础题.5．如果函数2()(1)5f x x a x =+-+在区间(,2]-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞- B ．[3,)-+∞C ．(,5]-∞D ．[5,)+∞【答案】A【解析】首先求出二次函数的对称轴，再根据函数在区间上单调，即可得到不等式，解得； 【详解】解：因为函数2()(1)5f x x a x =+-+对称轴为12ax -=，又()f x 在(,2]-∞上为减函数，∴122a-≥，解得3a ≤-即(,3]a ∈-∞- 故选：A 【点睛】本题考查二次函数的单调的应用，属于基础题. 6．函数f （x ）=12x e x--的零点所在的大致区间（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】要判断函数的零点的位置，只要根据零点存在性定理，验证所给的区间的两个端点处的函数值是同号还是异号． 【详解】解：∵函数f （x ）12x ex-=-，在x ＞0时，是连续函数， f （1）＝1﹣2＝﹣1＜0， f （2）＝e ﹣1＞0，∴函数的零点在（1，2）上， 故选B ． 【点睛】本题考查函数的零点，解题的关键是验证所给的区间的两个端点处的函数值的符号的异同，注意数字的运算．7．设函数()23f x x =+，(2)()g x f x +=，则(3)g =（ ） A ．9 B ．7C ．5D ．3【答案】C【解析】首先利用换元法求出()g x 的解析式，再代入求值即可； 【详解】解：∵()23f x x =+，(2)()g x f x +=(2)232(2)1g x x x ∴+=+=+-，∴()21g x x =-，(3)5g =. 故选：C 【点睛】本题考查换元法求函数解析式，以及函数值的计算，属于基础题.8．设0.50.3a =， 1.50.3b =，0.51.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】设()0.3xf x =，() 1.5xg x =，根据指数函数的单调性判断可得；【详解】解：设()0.3xf x =，() 1.5xg x =，因为0.31<，故()f x 在R 上单调递减，又因为当0x >时，()1f x <，所以 1.50.50.30.31<<，因为1.51>，故()g x 在R 上单调递增，又因为当0x >时，()1g x >，所以0.51.51>，所以b a c <<. 故选：C 【点睛】本题考查指数函数的单调性的应用，属于基础题.9．函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，(2)0f -=，则()0f x x<的解集为（ ） A ．(2,2)- B ．(2,0)(2,)-+∞U C ．(,2)(0,2)-∞-⋃D ．(,2)(2,)-∞-+∞U【答案】B【解析】根据偶函数的性质，画出函数的草图，数形结合讨论可得； 【详解】解：∵()y f x =是R 偶函数，且在(,0]-∞上是增函数， ∴()y f x =在[0,)+∞上是减函数，则可画函数的草图如下：当(2,0)x ∈-，()0f x >，(2,)x ∈+∞，()0f x <，满足()0f x x< 故()()2,02,x ∈-+∞U故选：B 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题.10．函数91()3x xf x -=的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于直线1x =对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【答案】A【解析】判断函数的奇偶性，再根据奇偶函数的对称性判断可得； 【详解】解：∵91()3x x f x -=定义域为R 且91()333x x xxf x --==-， ∴()33()x x f x f x --=-=-.∴()f x 为奇函数，故图象关于原点对称， 故选：A 【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，以及奇偶性的应用，属于基础题.11．函数,(1)()(3)4,(1)x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ） A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(0,1)D ．[3,)+∞【答案】B【解析】依题意对任意的12x x ≠，都有()1212()0f x f x x x -<-成立，所以函数在R 上为减函数，即可得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为对任意的12x x ≠，都有()1212()0f x f x x x -<-成立，所以函数在R 上为减函数，,(1)()(3)4,(1)x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩Q ，所以1013034a a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-+⎩，解得304a <≤，所以a 的取值范围是30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦故选：B 【点睛】本题考查分段函数单调的求参数的取值范围，属于中档题.12．已知函数()|2|f x x x =-，直线y a =与函数()f x 的图象有三个交点A 、B 、C ，它们的横坐标分别为123x x x ，，，则123x x x ++的取值范围是（ ） A．(3,4+ B．(4,3+C．D ．R【答案】B【解析】由分段函数的图象的作法得()()222,222,(2)x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，作出()y f x =的图象，由函数图象的性质得：设函数()y f x =的图象与直线y a =的交点对应横坐标分别为1x 、2x 、3x ，由题中条件即可得出结果.【详解】解：()()222,222,(2)x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，设函数()y f x =的图象与直线y a =的交点对应横坐标分别为1x 、2x 、3x ， 则122x x +=，321x <<所以123432x x x <++<+， 故选B ．【点睛】本题考查了分段函数的图象的作法及函数图象的性质，属于中档题.二、填空题13．函数()f x 是定义在[1,4]-上的减函数，且函数()f x 的图象经过点(1,3)P -，(4,2)Q -，则该函数的值域是_________.【答案】[2,3]-【解析】根据函数的单调性及区间端点处的函数值，即可得到函数的值域； 【详解】解：∵()f x 的图象经过点P ，Q ，∴(1)3f -=，(4)2f =-.又()f x 在定义域[1,4]-上是减函数，∴(4)()(1)f f x f ≤≤-，即2()3f x -≤≤，∴该函数的值域是[2,3]-. 故答案为：[2,3]- 【点睛】本题考查函数的单调性求函数的值域，属于基础题.14．已知32()(2)5f x m x nx =+++是定义在[,4]n n +上的偶函数，则2m n +等于_______. 【答案】-6【解析】由函数是偶函数，则定义域关于原点对称、()()f x f x -=即可求出参数m 、n 的值；【详解】解：已知32()(2)5f x m x nx =+++是定义在[,4]n n +上的偶函数，所以40n n ++=，解得2n =-，又()()f x f x -=，()3232(2)5(2)5m x nx m x nx ∴+-++=+++302(2)m x +=∴解得2m =-，所以26m n +=- 故答案为：6- 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题. 15．已知27a b m ==，1112a b +=，则m =_______.【答案】196【解析】将指数式化成对数式，再根据对数的运算及对数的性质计算可得； 【详解】 解：∵27a b m ==，∴2log a m =，7log b m =，1log 2m a ∴=，1log 7m b =∵1112a b +=，∴1log 2log 7log 142m m m +==，14=，解得196m = 故答案为：196 【点睛】本题考查指数与对数的关系，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题. 16．已知()y f x x =+是偶函数，且(2)lg 2019f =，若()()1g x f x =+，则(2)g -=_______.【答案】lg 20195+【解析】由()y f x x =+是偶函数，可得()()2f x f x x -=+，则(2)(2)1(2)221g f f -=-+=+⨯+计算可得；【详解】解：因为()y f x x =+是偶函数，所以()()f x x f x x --=+，所以()()2f x f x x -=+， 所以(2)(2)1(2)221lg 20195g f f -=-+=+⨯+=+. 故答案为：lg 20195+ 【点睛】本题考查偶函数的性质的应用，函数值的计算，属于基础题.三、解答题17．已知集合{|37}A x x =剟，{|15}B x x =<<，{|1}C x m x m =<<+，U =R . （1）求A B U ，()U A B ⋂ð； （2）若C B ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）A B {|17}x x ⋃=<≤，U (A)B {|13}x x ⋂=<<ð；（2）14m ≤≤ 【解析】（1）直接根据集合的运算的定义计算可得；（2）依题意可知C ≠∅，由C B ⊆即可得到不等式组115m m ≥⎧⎨+≤⎩，解得即可；【详解】解：（1）Q {|37}A x x =剟，{|15}B x x =<< A B {|37}{|15}{|17}x x x x x x ∴=≤≤<<=<≤U U .∵UA {|3x x =<ð或7}x >， ∴()U A B {|13}x x =<<I ð.（2）{|1}C x m x m =<<+Q ，()110m m +-=>C \蛊∵C B ⊆，则115m m ≥⎧⎨+≤⎩，解得14m ≤≤即[]1,4m ∈ 【点睛】本题考查集合的运算，根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题. 18．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）2a =，(1,3)-；（2）27log ,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由()12f =代入计算可得a 的值，根据对数的真数大于零，求出函数的定义域；（2）由（1）可知22()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦，设2(1)4t x =--+，则()2log f t t =，由x 的取值范围求出t 的范围，即可求出()f x 的值域； 【详解】解：（1）∵()12f =，∴log 42a =，∴2a =， 则由1030x x +>⎧⎨->⎩，解得13x -<<，即(1,3)x ∈-，所以()f x 的定义域为(1,3)-（2）2222()log (1)log (3)log (1)4f x x x x ⎡⎤=++-=--+⎣⎦，设2(1)4t x =--+，则()2log f t t =，50,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当1x =时，max 4t =，而(0)3t =，5724t ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴min 74t =，744t ≤≤， ()227log log ,24f t t ⎡⎤∴=∈⎢⎥⎣⎦所以()f x 在区间50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为27log ,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，对数型复合函数的值域，属于中档题. 19．已知函数()(0,1)x f x a m a a =+>≠的图象过点(1,4)，且与函数32y x=的图像相交于(2,)n .（1）求()f x 的表达式；（2）函数22()log ()5g x f x x =+-，求满足()g x x <的最大整数.【答案】（1）()4xf x =；（2）1【解析】（1）利用待定系数法求函数解析式，代入计算即可；（2）由（1）可得2()25g x x x =+-，因为()g x x <即225x x x +-<，解一元二次不等式即可得解； 【详解】解：（1）依题意函数()(0,1)xf x a m a a =+>≠的图象过点(1,4)，且与函数32y x=的图像相交于(2,)n .()()142322f f n n ⎧⎪=⎪∴=⎨⎪⎪=⎩所以2416a m a m +=⎧⎨+=⎩，解得40a m =⎧⎨=⎩或37a m =-⎧⎨=⎩（舍去） 所以()4x f x =.（2）222222()log 45log 2525x x g x x x x x =+-=+-=+-，()g x x <，即225x x x +-<，即250x x +-<，解得1122x ---<<，满足条件的最大整数为1.【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，一元二次不等式的解法，属于基础题.20．设函数()y f x =的定义域为R ，并且满足()()()f x y f x f y +=+，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当0x >时，()0f x >.（1）求(0)f 的值；（2）判断函数的奇偶性；（3）如果()(2)2f x f x ++<，求x 的取值范围.【答案】（1）0；（2）奇函数；（3）21x <- 【解析】（1）令0x y ==，即可求出()0f ；（2）令y x =-，即可证明函数的奇偶性；（3）首先证明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，计算可得；【详解】解：（1）令0x y ==，则(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =.（2）令y x =-，得(0)()()0f f x f x =+-=，∴()()f x f x -=-，故函数()f x 是R 上的奇函数.（3）任取12,R x x ∈且12x x <，则210x x ->.∵()()21f x f x -()()2111f x x x f x =-+-()()()2111f x x f x f x =-+-()210f x x =->，∴()()12f x f x <.故()f x 是R 上的增函数. ∵112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()1111122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()(2)2f x f x ++<Q∴[]()(2)((2)(22)(1)f x f x f x x f x f ++=++=+<.又由()y f x =是定义在R 上的增函数，得221x +<，解得21x <-【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性的证明，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.21．某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在60万到200万的业务员进行奖励奖励方案遵循以下原则：奖金y （单位：万元）随着业绩值x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于1.5万元同时奖金不超过业绩值的5%.（1）若某业务员的业绩为100万核定可得4万元奖金，若该公司用函数lg 1y x kx =++（k 为常数）作为奖励函数模型，则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励？（已知lg 20.30≈，lg30.48≈）（2）若采用函数10()4x a f x x -=+作为奖励函数模型试确定最小的正整数a 的值. 【答案】（1）5.3万元；（2）481【解析】（1）将100x =，4y =代入求出参数k 的值，即可求出函数解析式，再将200x =代入求值即可；（2）根据所给函数模型40()104a f x x +=-+，函数在[]60,200上单调递增，所以min ()(60) 1.5f x f =≥，且()0.05f x x ≤即可求出参数a 取值范围，从而得到最小正整数a 的值.【详解】解：（1）对于函数模型lg 1y x kx =++（k 为常数），当100x =时，4y =，代入解得1100k =，即1lg 1100y x x =++， 当[60,200]x ∈时，1lg 1100y x x =++是增函数， 当200x =时，lg 20021 5.3y =++≈，∴业绩200万元的业务员可以得到5.3万元奖励.（2）对于函数模型1040()1044x a a f x x x -+==-++. 因为a 为正整数，所以函数在[]60,200递增；min ()(60) 1.5f x f =≥，解得504a ≤；要使()0.05f x x ≤对[60,200]x ∈成立，即20.059.8a x x ≥-+对[60,200]x ∈恒成立，函数20.059.8y x x =-+在[]60,200上的最大值为480.2，所以480.2a ≥.综上可知480.2504a ≤≤，即满足条件的最小正整数a 的值为481.【点睛】本题考查函数模型的应用，函数的单调性及二次函数的性质的应用，属于中档题.22．函数12()2x x m f x n+-=+是R 上的奇函数，m 、n 是常数. （1）求m ，n 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明；（3）不等式()()33920x x x f k f ⋅+--<对任意R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）12m n =⎧⎨=⎩；（2）在R 上递增，证明见解析；（3）1k < 【解析】（1）依题意()f x 时R 上的奇函数，则采用特殊值法，(0)0(1)(1)f f f =⎧⎨-=-⎩即可求出参数的值；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（3）根据函数的奇偶性和单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，即()23(1)320x x k -+⋅+>对任意R x ∈恒成立，令3(0)x t t =>，即2(1)20t k t -++>，对0t >恒成立，令2()(1)2g t t k t =-++，根据二次函数的性质分析可得；【详解】解：（1）∵12()2x x m f x n+-=+是R 上的奇函数， ∴(0)0(1)(1)f f f =⎧⎨-=-⎩∴12m n =⎧⎨=⎩∴12111()22221x x x f x +-==-++. （2）()f x 在R 上递增证明：设12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()121212121111222212212121x x x x x x f x f x --=--+=++++， ∵12x x <∴12220x x -<又1210x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 是R 上的增函数.（3）由题意得：()()()3392932x x x x x f k f f ⋅<---=-+对任意x ∈R 恒成立又()f x 是R 上的增函数， ∴3932x x x k ⋅<-+即()23(1)320xx k -+⋅+>对任意x ∈R 恒成立， 令3(0)x t t =>，即2(1)20t k t -++>，对0t >恒成立，令2()(1)2g t t k t =-++，对称轴为12k t +=，当102k +≤即1k ≤-时，()g t 在(0,)+∞为增函数， ∴()(0)20g t g >=>成立，∴1k ≤-符合， 当102k +>即1k >-时，()g t 在10,2k +⎛⎫ ⎪⎝⎭为减，1,2k +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为增， ∴22min 1(1)(1)()20242k k k g t g +++⎛⎫==-+> ⎪⎝⎭解得11k -<<，∴11k -<<.综上1k<.【点睛】本题考查利用奇偶性求函数的解析式，定义法证明函数的单调性，一元二次不等式恒成立问题，综合性较强，属于中档题.。