初1数学竞赛教程含例题练习及答案⑾ (5)
初中一年级数学竞赛第1试试题(附参考答案)
初中一年级数学竞赛第1试试题一、选择题(每小题5分，共50分) 1·－20011的负倒数是( )· A ．－20011 B ．2001 C·－2001 D ．20011 2．下列运算中，正确的一个是( )． A ．(－2)3=－6 B ．-(－3)2=－9 C ．23×23=29D ．－23÷(－2)=4 3．若|m|>m ，则m 的取值范围是( )． A ． m≥0 B m≤O C．m>0 D ．m<O4．如图，∠AOD 是直角，∠AOB=∠BOC=∠COD．在图中所有的角中,45°的角有( )． A ． O 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．当x=32时，代数式1+3x 的值是－32的( )． A ．绝对值 B ．倒数 C ．相反数 D ．倒数的相反数6．珠穆朗玛峰峰顶比吐鲁番盆地底部高9003 m ．已知，珠穆朗玛峰海拔高度是8848 m ，则吐鲁番盆地的海拔高度是( )．A ．－155 mB ．155 mC ．－17851 mD ．17851 m 7．下面四个命题中．正确的命题是( )． A ．两个不同的整数之间必定有一个正数 B ．两个不同的整数之间必定有一个整数 C ．两个不同的整数之间必定有一个有理数 D ．两个不同的整数之间必定有一个负数8．如图，在一个正方形的四个顶点处，按逆时针方向各写了一个数：2，0，O ，1．然后取各边中点，并在各中点处写上其所在边两端点处的两个数的平均值．这四个中点构成一个新的正方形，又在这个新的正方形四边中点处写上其所在边两个端点处的两个数的平均值．连续这样做到第10个正方形，则图上写出的所有数的和是( )． A ．30 B ．27 C ．20 D ．109．If ma m b 3-nand n a b mare similar terms ，then the value of(m —n)200lis( )．(英汉小字典：similar terms 同类项；value 值．) A ．O B ．1 C ．－1 D ．－3200l10．若k 为整数，则使得方程(k －1999)x=2001—2000x 的解也是整数的k 值有( )．A ．4个B ．8个C ．12个D ．16个 二、A 组填空题(每小题5分，共50分) 11．计算：19197676767676191919 =12．若|x+y －1|与|x —y+3|互为相反数．则(x+y)2001=13．已知5是关于x 的方程3mx+4n=0的解，那么n/m=14．将2001表示为若干个(多于1个)连续正奇数的和，考虑所有不同的表示方法．将每种表示方法中的最大的奇数取出来归于一组，则这组数中最大的数是 ．15．为使某项工程提前20天完成任务，需将原定的工作效率提高25%．则原计划完成这项工程需要 天．16．如图，△ABC 的面积等于12平方厘米．D 是AB 边的中点．E 为AC边上一点，且AE=2EC ．0为DC 与BE 的交点．若△DBO 的面积为a 平方厘米，△CEO 的面积为b 平方厘米．则a －b= 平方厘米． 17．已知a<O ，且|a|≤a，则|2x －6|—|x －2|的最小值是 ．18．If the equation m(x －1)=2001－n(x －2)for x has infinite roots ，then m 2001+n2001=(英汉小字典：equation 方程；infinite roots 无数个根．)19．若进货价降低8％而售出价不变，那么利润(按进货价而定)可由目前的p ％增加到(p+10)％，则原来的利润是20．修建一所房子有一系列工作要做，其中某些工作要在其他一些工作完成之后才能进行．表1列出修建一所房子的每项工作的前面的工作和完成该工作所需的时间．问修建该房子最快的时间是 天． 表l21．一个整数与5之差的绝对值大于1999而小于2001，则这个整数是22．在所有各位数字之和等于34，且能被11整除的四位数中最大的一个是 ，最小的一个是 ．23．平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个 24．We have the following numbers ：2954,1936,1727,712,59，the maximum number among them is ，the minimum number is (英汉小字典：number 数；maximum 最大的；minimum 最小的．)25．有两种蠓虫，一个是疾病的媒介，记为A ；另一种却是有益的花粉传播者，记为B ．现有A 、B 两种蠓虫各6只，它们的触角和翼的长度列如表2： 表21A 2，6只B 种蠓虫的平均翼长、触角长分别为B1和B2．问|A 1－B 1|+|A 2－B 2|等于 ．对于一只新捕捉到的蠓虫，记其翼长和触角长分别为x 和y ．如果|x —A 1|+|y —A 2|>|x —B 1|+|y —B 2|，则认为它是A 种蠓虫，否则认为是B 种蠓虫．现知，x=1．80，y=1．24，则可认为该蠓虫是 种蠓虫．初一第1试参考答案。
全国初中数学竞赛试题及答案(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题，每小题6分，共30分.)1 (甲).如果实数纠b, C在数轴上的位置如图所示，那么代数式>∕7-∖a + b I +√(c-6∕p + ∖b + c∖可以化简为( ).h a QC(A) 2c-a(B) 2a-2b(C) -" (D) n1(乙).如果t∕=-2 + √2 ,那么1 + —的值为( )•2+——3+ “(A) -√2(B) √2(C) 2 (D) 2√2 2(甲).如果正比例函数V- axα ≠ 0)与反比例函数y-~ (b ≠())X 的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为(一3, -2),那么另一个交点的坐标为( )•(A) (2, 3) (B) (3, -2) (C) (-2, 3) (D) (3,2)2(乙).在平面直角坐标系XOy中，满足不等式Λ-+y≤2x+27的整数点坐标(％y)的个数为( ).(A) 1() (B) 9 (C) 7 (D) 5 3(甲).如果α, b为给定的实数,且l<a<b ,那么1, 4 + 1, 2a+b t a+b+ ∖这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( )•（A ） 1 （D ）；43 （乙）.如图，四边形ABCD 中，AC 9角线,二 5,则仞的长为（）.4 （甲）.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币. 玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的“倍”；小玲对小倩说: “你若给我G 元，我的钱数将是你的2倍”，其中“为正整数，则 G 的可能值的个数是（）.4（乙）.如果关于X 的方程χh∣ = Xp, q 是正整数）的正根小于3,那么这样的方程的个数是（）.5 （甲）.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1, 2, 3,4, 5, 6.掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数宇之和除以4的 余数分别是0,1, 2, 3的概率为Po, Pi ，P v P 3,则Po' Pl ，P V P3中最 大的是（）.'AEC 是等边三角形.ZADC = 30。
数学竞赛试题及答案初中
数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。
解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。
根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。
由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。
代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。
已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。
代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。
初一数学奥林匹克竞赛题(含标准答案)
初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）初一奥数题一甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？S的末四位数字的和是多少？4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程．5．求和：6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除．9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．解答：所以x=5000(元)．所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．3．因为a-b≥0，即a≥b．即当b≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则有由②有2x+y=20，③由①有y=12-x．将之代入③得 2x+12-x=20．所以x=8(千米)，于是y=4(千米)．5．第n项为所以6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r 为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r 知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数．7．设由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)．可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．(1)若m=1时，有解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．(2)若m=2时，有因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．(3)若m=3时，有解之得故 p＋q=8．8．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy ＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以上述两式相加另一方面，S△PCD=S△CND＋S△CNP＋S△DNP．因此只需证明S△AND＝S△CNP＋S△DNP．由于M，N分别为AC，BD的中点，所以S△CNP=S△CPM-S△CMN=S△APM-S△AMN=S△ANP．又S△DNP=S△BNP，所以S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．初一奥数题二1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值．2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件．试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？3．如图1－96所示．已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°．求证：DA⊥AB．4．已知方程组的解应为一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为求a2＋b2＋c2的值．5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解．6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22％)7．对k，m的哪些值，方程组至少有一组解？8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？解答：1．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x×1＋3×1-2x+2000=2003．2．原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4＋x)元，但每天卖出为(100-10x)件．如果设每天获利为y元，则y ＝(4＋x)(100-10x)=400＋100x-40x-10x2=-10(x2-6x＋9)＋90＋400=-10(x-3)2＋490．所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元．3．因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°(图1－104)，所以∠ADC＋∠BCD=180°，所以AD∥BC．①又因为 AB⊥BC，②由①，②AB⊥AD．4．依题意有所以a2+b2+c2=34．5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，所以(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2．因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以所以有6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则因为y=35000-x，所以 x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，所以 1.3433x＋48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)．7．因为 (k－1)x＝m-4，①m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解．当k=1，m≠4时，①无解．所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解．8．由题设方程得z＝3m-y．x=19-y-4(3m-y)-m=19+3y-13m．原方程的通解为其中n，m取任意整数值．9．设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则消去y，得12x-5z=180．它的解是x=90-5t，z=180-12t．代入原方程，得y=-230＋17t．故x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．x=20，y=8，z=12．因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．初一奥数题三1．解关于x的方程2．解方程其中a＋b＋c≠0．3．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和．4．液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量．5．满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个？这里[x]表示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3．6．设P是△ABC一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值围．7．甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离．8．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？9．设有n个实数x1，x2，…，x n，其中每一个不是+1就是-1，且求证：n是4的倍数．解答：1．化简得6(a-1)x=3-6b+4ab，当a≠1时，2．将原方程变形为由此可解得x=a＋b+c．3．当x=1时，(8-6+4-7)3(2-1)2=1．即所求展开式中各项系数之和为1．依题意得去分母、化简得7x2-300x+800=0，即7x-20)(x-40)=0，5．若n为整数，有[n＋x]=n＋[x]，所以[-1.77x]=[-2x＋0.23x]=-2x+[0.23x]．由已知[-1.77x]=-2x，所以-2x=-2x+[0.23x]，所以 [0.23x]=0．又因为x为自然数，所以0≤0.23x＜1，经试验，可知x可取1，2，3，4，共4个．6．如图1－105所示．在△PBC中有BC＜PB＋PC，①延长BP交AC于D．易证PB＋PC＜AB＋AC．②由①，②BC＜PB＋PC＜AB+AC，③同理 AC＜PA＋PC＜AC＋BC，④AB＜PA＋PB＜AC＋AB．⑤③＋④＋⑤得AB＋BC＋CA＜2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋CA)．所以7．设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千米．依题意得由①得16y2=9x2，③由②得16y=24＋9x，将之代入③得即 (24＋9x)2=(12x)2．解之得于是所以两站距离为9×8＋16×6=168(千米)．8．答案是否定的．对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数．以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数(数值可以改变，但奇偶性不变)，所以，不可能变为19，1997，1999这三个奇数．。
初1数学竞赛教程含例题练习及答案⑼
初一数学竞赛讲座第9讲应用问题选讲我们知道,数学是一门基础学科，我们在学校中学习数学的目的,一方面是为学习其它学科和学习更深的数学知识打下一个基础,更重要的是为了现在和将来运用所学的数学知识去解决一些日常生活、科学实验、工农业生产以及经济活动中所遇到的实际问题，运用数学知识解决实际问题的基本思路是：先将这个实际问题转化为一个数学问题（我们称之为建立数学模型）,然后解答这个数学问题,从而解决这个实际问题，即：这里,建立数学模型是关键的一步，也就是说,要通过审题,将实际问题与自己学过的数学知识、数学方法联系起来,将其归结到某一类型的数学问题,然后解答这个数学问题，下面介绍一些典型的数学模型，一、两个量变化时,和一定的问题两个变化着的量,如果在变化的过程中,它们的和始终保持不变,那么它们的差与积之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量,如果在变化的过程中,和始终保持不变,那么它们的差越小,积就越大，若它们能够相等,则当它们相等时,积最大，这个规律对于三个和三个以上的变量都是成立的，例1农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝，为了防止鸡飞出,所建鸡窝的高度不得低于2米,要使鸡窝面积最大,长方形的长和宽分别应是多少？解：如上图,设长方形的长和宽分别为x米和y米,则有x＋2y＝1.2×20＝24，长方形的面积为因为x和2y的和等于24是一个定值,故它们的乘积当它们相等时最大,此时长方形面积S也最大，于是有x=12, y＝6，例2如果将进货单价为40元的商品按50元售出,那么每个的利润是10元,但只能卖出500个，当这种商品每个涨价1元时,其销售量就减少10个，为了赚得最多的利润,售价应定为多少？解：设每个商品售价为（50+x）元,则销量为（500-10X）个，总共可以获利: （50＋x-40）×（500-10x）=10×（10+X）×（50-X）（元），因（10+x）+（50－x）=60为一定值,故当10+X=50－X即X=20时,它们的积最大，此时,每个的销售价为50＋20=70（元），例3若一个长方体的表面积为54厘米2,为了使长方体的体积最大,长方体的长、宽、高各应为多少厘米？解：设长、宽、高分别为x,y,z厘米,体积为V厘米3，2（xy＋yz+zx）=54,xy＋yz+zx=27，因为V2=（xyz）2=（xy）（yz）（zx）,故当 xy=yz=zx即 x=y=z=3时,V2有最大值,从而V也有最大值，例4有一块长24厘米的正方形厚纸片,在它的四个角各剪去一个小正方形,就可以做成一个无盖的纸盒,现在要使做成的纸盒容积最大,剪去的小正方形的边长应为几厘米？解：如上图,设剪去的小正方形的边长为x厘米,则纸盒的容积为V=x（24-2x）（24-2x）=2×2x（12-x）（12-x），因为2x+（12-x）+（12-x）=24是一个定值,故当2x=12-x＝12-x,即x=4时,其乘积最大,从而纸盒的容积也最大，二、两个量变化时,积一定的问题两个变化着的量,如果在变化的过程中,它们的乘积始终保持不变,那么它们的差与和之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量,如果在变化的过程中,乘积始终保持不变,那么它们的差越小,和就越小，若它们能够相等,则当它们相等时,和最小，例5长方形的面积为 144 cm2,当它的长和宽分别为多少时,它的周长最短？解：设长方形的长和宽分别为 xcm和 ycm,则有xy＝144，故当x=y=12时,x+y有最小值,从而长方形周长2（x＋y）也有最小值，例6用铁丝扎一个空心的长方体,为了使长方体的体积恰好是216cm3,长方体的长、宽、高各是多少厘米时,所用的铁丝长度最短？解：设长方体的长、宽、高分别为xcm,ycm,zcm,则有xyz＝216，铁丝长度的和为 4（x＋ y＋ z）,故当 x＝y=z＝6时,所用铁丝最短，例7农场计划挖一个面积为432 m2的长方形养鱼池,鱼池周围两侧分别有3m 和4m的堤堰如下图所示,要想占地总面积最小,水池的长和宽应为多少？解：如图所示,设水池的长和宽分别为xm和ym,则有xy＝432，占地总面积为 S=（x＋6）（y＋8）cm2，于是S=Xy+6y+8X＋48＝6y+8X+480，我们知道6y ×8X=48×432为一定值,故当6y=8X时,S最小,此时有6y=8X=144,故y=24,x=18，例8某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张240元,使用规定：不记名,每卡每次只限一人,每人只限一次，某班有48名学生,老师打算组织学生集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名学生,每次的包车费均为40元，若要使每个同学游8次,每人最少交多少钱？解：设一共买了X张卡,一共去游泳y次,则共有Xy=48×8=384（人次）,总用费为（240x＋40y）元，因为 240x ×40y=240×40×384是一定值,故当 240x=40y,即y=6x时,和最小，易求得x=8,y=48，此时总用费为240×8＋40×48=3840（元）,平均每人最少交 3840÷48=80（元），三、利用不等关系来解答的应用题例9某公司在A,B两地分别库存有某机器16台和12台,现要运往甲、乙两家客户的所在地,其中甲方15台,乙方13台，已知从A地运一台到甲方的运费为500元,到乙方的运费为400元,从B地运一台到甲方的运费为300元,到乙方的运费为600元，已知运费由公司承担,公司应设计怎样的调运方案,才能使这些机器的总运费最省？解：设由A地运往甲方x台,则A地运往乙方（16-x）台,B地运往甲方（15-x）台,B地运往乙方（x－3）台，于是总运价为：S=500x+400（16-x）＋300（15-x）+600（x-3）＝400x+9100，显然,x要满足不等式3≤x≤15,于是当x=3时,总运价最省,为 400× 3＋9100=10300（元），调运方案为：由A地运往甲方3台,A地运往乙方13台,B地运往甲方12台,B 地运往乙方0台，例10某校决定出版“作文集”,费用是30册以内为80元,超过30册的每册增加1.20元，当印刷多少册以上时,每册费用在1.50元以内？解：显然印刷的册数应该大于30，设印刷了（30＋x）册,于是总用费为（80+1.2x）元，故有80+1.2x≤1.5 ×（30+x）,以内，例11现有三种合金：第一种含铜60％,含锰40％；第二种含锰10％,含镍90％；第三种含铜20％,含锰50％,含镍30％，现各取适当数量的这三种合金,组成一块含镍45％的新合金,重量为1千克，（1）求新合金中第二种合金的重量的范围；（2）求新合金中含锰的重量的范围，解：设第一种合金用量为x千克,第二种合金用量为y千克,第三种合金用量为z千克,依题意有（1）如果不取第一种合金,即x=0,那么新合金中第二种合金重量最小，解得y=0.25，如果不取第三种合金,即z=0,那么新合金中第二种合金重量最大，解得y＝0.5，新合金中第二种合金的重量范围是0.25克到0.5克，（2）由①②可得z＝1.5-3y,x=2y－0.5，故新合金中含锰的重量为S＝40％x+10％y+50％z=40％（2y-0.5）＋10％y＋50％（1.5-3y）＝0.55-0.6y，因为0.25≤y≤0.5,所以0.25≤S≤0.4,即新合金中含锰的重量范围是0.25克到0.4克，例12某商店需要制作如下图所示的工字形架100个,每个由三根长为2.3米、1.7米、1.3米的铝合金材料组装而成，市场上可购得该铝合金材料的原料长为6.3米，问：至少要买回多少根原材料,才能满足要求（不计损耗）？解：每根原材料的切割有下表的七种情况：显然,④⑤⑥三种方案损耗较小，④⑤⑥⑦方案依次切割原材料42根、14根、29根、1根,可得2.3米、1.7米、1.3米的材料各100根,共用原材料 42＋14＋29＋1=86（根），练习91．销售某种西服,当每件售价为100元时可售出1000件，如果定价每下降1％,那么销售量将提高0.5％,又知道这批西服是每件80元成本购进的，问：应如何定价才能使获利最大？2．下图是一个面积为4m2的窗户,当a∶b的值是多少时,窗户的框架所用的材料最省？3．有一个长为 80cm、宽为40cm的木板,要以它为原材料做一个无盖的木盒,应该如何制作才能使木盒的容积最大？最大的容积是多少？4．某厂要建造一个无盖的露天水槽,其底为正方形,容量为64000m3，在建造时,槽底的造价是四壁的2倍,这个水槽的底面边长和高的比例是多少时,造价最省？5．A城有化肥 200吨,B城有化肥 300吨,现要将化肥运往C,D两村，已知从A城运往C,D两村的运价分别是每吨20元和25元,从B城运往C,D两村的运价分别是每吨15元和22元，某个体户承包了这项运输任务,请你帮他算一算,如何调运才能使运费最省？6．有两个学生参加4次数学测验,他们的平均分数不同,但都是低于90分的整数，他们又参加了第5次测验,这样5次的平均分数都提高到了90分,求第5次测验二人的得分（满分为100分），7．某机械厂要把一批长7300毫米的钢筋截成长290毫米、210毫米和150毫米的钢筋各一段组成一套钢筋架子，现在做100套钢筋架子,至少要用去长为7300毫米的钢筋多少根？8．下表所示为X,Y,Z三种食品原料的维生素含量（单位：单位/千克）及成本：现在要将三种食物混合成100千克的混合物,要求混合物至少需含44000单位的维生素A及48000单位的维生素B0如果所用的食物中x,Y,Z的重量依次为X千克、y千克、Z千克,那么请定出X,y,Z的值,使得成本为最少，练习9答案：1.91元，解：设定价为每件（100-x）元,则销售量为1000（1+0.5％x）件，利润为（100-x-80）×1000（1+0.5％x）=500×（20-x）（2+x），因为（20-x）+（2+x）=22为一定值,故当20-x=2+x即x=9时利润最高，此时每件定价为100-9=91（元），2.2∶3，解：窗户的框架长为3a+2b,而ab=4是一个定值,从而3a×2b=6ab=24也是一个定值,故当3a=2b即a∶b=2∶3时窗户框架所用材料最省，3.32000cm3解：设木盒的长、宽、高分别为xcm,ycm,zcm,则它的容积为V=xyzcm3，因为xy+2xz+2yz=40×80=3200为一定值,故它们的积xy×2xz×2yz=4（xyz）2=4V2,在xy=2xz=2yz时最大,从而V也最大,此时有x=y=2z，经计算得x=40,y=40,z=20，具体制作方式如下：先取原木板的一半（40cm×40cm）作为木盒的底面,再将剩下的一半分成20 cm×40 cm大小的四等份,每份作为木盒的一个侧面就可以了，4.1∶1，解：设四壁的造价是a元/m2,则底面造价为2a元/m2，又设其底面边长为xm,高为ym,则有x2y=64000，总造价为a×4xy+2a×x2=2a（2xy+x2）=2a（xy+xy+x2），因为xy×xy×x2=（x2y）2=640002为一定值,故当xy=xy=x2即x∶y=1∶1时,总造价最省，5.解：设A城化肥运往C村x吨,则运往D村（200-x）吨；B城化肥运往C 村（220-x）吨,运往D村（80+x）吨,总运费y元,则y=20x+25（200-x）+15（220-x）+22（80+x）=2x+10060，又易知0≤x≤200,故当x=0时,运费最省,为10060元，运输方案如下：A城化肥运往C村0吨,运往D村200吨；B城化肥运往C 村220吨,运往D村80吨，6.98,94，解：设某一学生前4次的平均分为x分,第5次的得分为y分,则其5次总分为4x+y=5×90=450，于是y=450-4x，显然90＜y≤100,故90＜450-4x≤100,解得87.5≤x＜90，于是两个学生前4次的平均分分别为88分和89分，第5次得分分别为450-4×88=98（分）和450-4×89=94（分），7.90根，解：每一根7300毫米的钢筋有如下三种损耗较小的截法：290×2+150×1=7300,①210×2+150×2=7200,②210×2+290×2=7100，③设按方案①截得的钢筋有x根,按方案②截得的钢筋有y 根,按方案③截得的钢筋有z根,则长为290,210,150毫米各有100根,即2x+z=x+2y=2y+2z=100，于是x=40,y=30,z=20，一共至少用去长为7300毫米的钢筋90根，8. 30,20, 50，解：x+y+z=100, ①400x+600y+400z≥44000, ②800x+200y+400z≥48000，③由②得2x+3y+2z≥220，④由③得4x+y+2z≥240，⑤由④-①×2,得y≥20，由⑤-①×2,得2x-y≥40，由①得z=100-x-y，成本为6x+5y+4z=6x+5y+4（100-x-y）=400+2x+y=400+2y+（2x-y）≥400+40+40=480，。
2023年初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑸
初一数学竞赛讲座第5讲与年号有关的竞赛题在数学竞赛中，常可以看到某些题目中出现了当年的年号，这类题我们称之为“年号题”。
这类题趣味性强，时间性强，引起了参与竞赛的少年朋友很大的爱好。
“年号题”一般可提成两类，一类是题目的条件中出现了当年的年号，另一类是题目答案中出现了当年的年号。
下面我们分别举例说明这两类问题的解法。
一、题目条件中出现年号的问题1．题目在编制和解答中巧妙地运用了该年年号的数字特性，如年号数值的质因数分解式、是否质数、它的数的整除性等等。
例1 将19到80的两位数顺次排成数A＝19202322…7980。
问：这个数A 能否被1980整除？解：由于1980=99×20，因此要考察A能否被1980整除，只需要考察A能否被99和20整除就行了。
能被20整除是显然的。
由于99除100的任何次方所得的余数都是1，所以A＝19×10061+20×10060+…+79×100+80除以99的余数与B=19+20+…+79+80=99×31除以99的余数相同。
由于99|B，所以99|A。
于是A能被1980整除。
例2 用S（n）表达自然数n的各位数字之和，又n+S（n）=1999，求自然数n。
11x+2y＝89。
注意到x是奇数且x，y都是一位整数，不难求得x=7，y=6，从而n=1976。
例3 在3×3的九宫格中，填上 9个不同的自然数，使得每行三数相乘，每列三数相乘所得的6个乘积都等于P 。
试拟定P 能取1996，1997， 1998，1999，2023，2023这6个数中的哪些值。
解：所填的9个数应为P 的9个不同约数，又P 不能填入九宫格内，故P 的不同约数的个数应不小于10。
1996=22×499，有6个约数； 1997和1999是质数，各有2个约数；1998=2×33×37，有16个约数； 2023=24×53，有20个约数；2023=3×23×29，有8个约数。
数学竞赛初赛试题及答案详解
数学竞赛初赛试题及答案详解试题一：代数基础题题目：若\( a \)，\( b \)，\( c \)是实数，且满足\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，求证：\( a^4 + b^4 + c^4 \leq 1 \)。
解答：首先，我们可以利用平方和不等式，即对于任意实数\( x \)和\( y \)，有\( (x+y)^2 \geq 4xy \)。
将\( x = a^2 \)和\( y = b^2 \)代入，得到：\[ (a^2 + b^2)^2 \geq 4a^2b^2 \]\[ 1 - c^2 \geq 4a^2b^2 \]\[ 1 \geq c^2 + 4a^2b^2 \]由于\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，我们可以得出：\[ a^4 + b^4 \leq 1 - c^2 \]类似地，我们可以证明：\[ a^4 + c^4 \leq 1 - b^2 \]\[ b^4 + c^4 \leq 1 - a^2 \]将这三个不等式相加，我们得到：\[ 2(a^4 + b^4 + c^4) \leq 3 - (a^2 + b^2 + c^2) \]\[ 2(a^4 + b^4 + c^4) \leq 2 \]\[ a^4 + b^4 + c^4 \leq 1 \]证明完毕。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠C是直角，若AB=5，AC=3，求BC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
设BC的长度为\( x \)，则有：\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ 5^2 = 3^2 + x^2 \]\[ 25 = 9 + x^2 \]\[ x^2 = 16 \]\[ x = 4 \]所以，BC的长度为4。
试题三：组合问题题目：有5个不同的球和3个不同的盒子，将这些球放入盒子中，每个盒子至少放一个球，有多少种不同的放法？解答：首先，我们需要将5个球分成3组，每组至少一个球。
全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案全国初中数学竞赛试题及答案一、选择题1、在一张纸上，我们画了一个圆和一条直径，直径与圆相交于A、B 两点。
如果我们在这张纸上连续地画了8个点，使得这些点都在圆上，那么这8个点的最密集分布是（）。
A. 像一个“十”字形，两边各4个点 B. 像一个“十”字形，两边各3个点 C. 像一个“米”字形，上面各4个点 D. 像一个“米”字形，上面各3个点答案：C 解析：根据圆的对称性，我们可以得知，直径两侧的点到圆心的距离相等，因此在一个“十”字形中，中间的交点是最密集的。
而在“米”字形中，上面的4个点距离交点的距离相等且最短，因此是最密集的。
2、在一个等边三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点。
现在以D为圆心，DE为半径画圆弧，交AB于G。
则△DFE的面积是阴影部分面积的（）。
A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 6倍答案：C 解析：由题意可知，DE是△ABC的中位线，因此DE=1/2AB。
而△DFE是直角三角形，斜边DE是直径，因此∠DFE=90°。
所以，△DFE的高是DE的一半，即1/4AB。
因此，△DFE的面积是1/2×1/2AB×1/4AB=1/8AB²。
而阴影部分的面积是△ABC面积的一半，即1/2×1/2AB×√3/2AB=√3/4AB²。
所以，△DFE的面积是阴影部分面积的4倍。
3、在一个等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1。
现在以这个三角形的顶点为圆心，1为半径画圆弧，则这三个圆弧的长度之和为（）。
A. 3π/2 B. π C. 2π D. 5π/2 答案：C 解析：根据题意，我们可以得到三个圆弧的半径都是1。
其中第一个圆弧的长度为1/4×2π×1=π/2，第二个圆弧的长度也为π/2，第三个圆弧的长度为1/4×2π×√2=π√2/2。
初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑴
初一数学竞赛讲座第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜pk为质数，a1，a2，…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；2．带余形式：a=bq+r ；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑽
初1数学竞赛讲座第10讲计数的方法与原理 计数方法与原理是组合数学的主要课题之1,本讲介绍1些计数的基本方法及计数的基本原理。
1.枚举法 1位旅客要从武汉乘火车去北京,他要了解所有可供乘坐的车次共有多少,1个最易行的办法是找1张全国列车运行时刻表,将所有从武汉到北京的车次逐1挑出来,共有多少次车也就数出来了,这种计数方法就是枚举法。
所谓枚举法,就是把所要求计数的所有对象11列举出来,最后计算总数的方法。
运用枚举法进行列举时,必须注意无1重复,也无1遗漏。
例1 4个学生每人做了1张贺年片,放在桌子上,然后每人去拿1张,但不能拿自己做的1张。
问：1共有多少种不同的方法？ 解：设4个学生分别是A,B,C,D,他们做的贺年片分别是a,b,c,d。
先考虑A拿B做的贺年片b的情况（如下表）,1共有3种方法。
同样,A拿C或D做的贺年片也有3种方法。
1共有3＋3＋3=9（种）不同的方法。
例2甲.乙2人打乒乓球,谁先连胜两局谁赢,若没有人连胜头两局,则谁先胜3局谁赢,打到决出输赢为止。
问：1共有多少种可能的情况？ 解：如下图,我们先考虑甲胜第1局的情况： 图中打√的为胜者,1共有7种可能的情况。
同理,乙胜第1局也有 7种可能的情况。
1共有 7＋7=14（种）可能的情况。
2.加法原理如果完成1件事情有n类方法,而每1类方法中分别有m1,m2,…,mn种方法,而不论采用这些方法中的任何1种,都能单独地完成这件事情,那么要完成这件事情共有：N=m1+m2+…mn种方法。
这是我们所熟知的加法原理,也是利用分类法计数的依据。
例3 1个自然数,如果它顺着数和倒着数都是1样的,则称这个数为“回文数”。
例如1331,7,202都是回文数,而220则不是回文数。
问：1到6位的回文数1共有多少个？按从小到大排,第2000个回文数是多少？ 解：1位回文数有：1,2,…,9,共9个。
2位回文数有：11,22,…,99,共9个。
数学竞赛试题及答案初一
数学竞赛试题及答案初一【试题一】题目：计算下列表达式的值：\[ 2^3 + 3 \times 4 - 5^2 \]【答案】首先计算指数部分：\[ 2^3 = 8 \]\[ 5^2 = 25 \]然后进行乘法运算：\[ 3 \times 4 = 12 \]接下来，按照运算顺序，先进行加法和减法：\[ 8 + 12 - 25 = 20 - 25 = -5 \]所以，表达式的值为 -5。
【试题二】题目：如果一个数的平方等于该数的两倍，求这个数。
【答案】设这个数为 \( x \)，根据题意，我们有：\[ x^2 = 2x \]将等式两边同时除以 \( x \)（注意 \( x \neq 0 \)）：\[ x = 2 \]所以，这个数是 2。
但我们还应该检查 \( x = 0 \) 的情况，因为 0 的平方也是 0 的两倍：\[ 0^2 = 2 \times 0 \]所以，这个数也可以是 0。
【试题三】题目：一个长方形的长是宽的两倍，如果长和宽都增加 2 米，那么面积增加了 24 平方米。
求原长方形的长和宽。
【答案】设原长方形的宽为 \( w \) 米，那么长为 \( 2w \) 米。
根据题意，长和宽都增加 2 米后，新的长为 \( 2w + 2 \) 米，新的宽为 \( w + 2 \) 米。
新的面积与原面积的差为 24 平方米：\[ (2w + 2)(w + 2) - 2w \times w = 24 \]展开并简化：\[ 2w^2 + 4w + 2w + 4 - 2w^2 = 24 \]\[ 6w + 4 = 24 \]\[ 6w = 20 \]\[ w = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \]所以原长方形的宽为 \( \frac{10}{3} \) 米，长为 \( 2 \times \frac{10}{3} = \frac{20}{3} \) 米。
【试题四】题目：一个班级有 40 名学生，其中 25% 的学生是男生。
全国初中数学竞赛试题(含答案)-20220207144625
全国初中数学竞赛试题（含答案）20220207144625一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是质数？A. 2B. 3C. 4D. 52. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，那么这个三角形的周长可能是多少？A. 7B. 10C. 11D. 123. 下列哪个分数可以化简为最简分数？A. 2/4B. 3/6C. 4/8D. 5/104. 一个正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长是多少厘米？A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（每题5分，共20分）1. 7的平方根是______。
2. 0.25的小数点向右移动两位后是______。
3. 一个等边三角形的边长是10厘米，那么这个等边三角形的周长是______厘米。
4. 下列哪个数是立方数？A. 2B. 3C. 4D. 5三、解答题（每题10分，共30分）1. 解方程：2x 5 = 11。
2. 计算下列表达式的值：3(2 + 4) 7。
3. 一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，求这个长方形的面积。
四、答案部分一、选择题1. A2. B3. A4. D二、填空题1. ±√72. 253. 304. C三、解答题1. x = 82. 133. 32平方厘米全国初中数学竞赛试题（含答案）20220207144625四、应用题（每题15分，共30分）1. 小明家有一块长方形的地，长是12米，宽是8米。
小明计划将这块地分成两个相同大小的正方形区域。
请问每个正方形的边长是多少米？2. 小红有一笔钱，她将其中的1/3用于购买书，剩下的钱再将其中的1/2用于购买文具。
她剩下的钱是100元。
请问小红最初有多少钱？五、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：对于任意实数a和b，如果a < b，那么a² < b²。
2. 证明：等腰三角形的底角相等。
六、答案部分四、应用题1. 每个正方形的边长是6米。
2. 小红最初有300元。
初中一年级数学竞赛第1试试题(有答案与提示)
初中一年级数学竞赛第1试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．若a是有理数,则12345ma a a a a--+-+一定不是( )A．正整数． B．负整数．C．负分数．D．零．2.1993-{1993-[1993-(1992-1993)]}的值等于 ( ) A．-1995．B．1991．C．1995．D．1993．3．若a＜b，则(a-b)|a-b|等于 ( )A．(a-b)2．B．b2-a2．C．a2-b2．D．-(a-b)2．4.若n是正整数,并且有理数a,b满足a+1b=0,则必有( )A.a n+21nb⎛⎫⎪⎝⎭=0; B.a2n+211nb+⎛⎫⎪⎝⎭=0; C.a2n+31nb⎛⎫⎪⎝⎭=0; D.a2n+1+211nb+⎛⎫⎪⎝⎭=0.5.如果有理数a,b满足11a b+=0,则下列说法中不正确的一个是( )A．a与b的和是0． B．a与b的差是正数．C．a与b的积是负数． D．a除以b，得到的商是-1．6.甲的6张卡片上分别写有-4,-1,-2.5,-0.01,-334,-15,乙的6张卡片上分别写有-5,-1,0.1,-0.001,-8,-1212,则乙的卡片上的最小数a与甲的卡片上的最大数b的比ab的值等于( ) A．1250．B．0．C．0.1．D．800．7．a是有理数，则在下列说法中正确的一个是( )A．-a是负数．B．a2是正数．C．-|a2|是负数．D．(a-1993)2+0.001是正数．8.-19191919019019001900 93939393093093009300--的值等于( )A.-3;B.-1931; C.-1; .D.-13.9．在下列条件中，能使ab＜b成立的是( )A．b＞0，a＞0．B．b＜0，a＜0．C．b＞0，a＜0．D．b＜0，a=0．10.若a=3.143.123.13-⎛⎫÷⎪⎝⎭,b=2.142.122.13⎛⎫÷⎪-⎝⎭,c=1.14( 1.12)1.13⎛⎫÷-⎪⎝⎭,则a,b,c的大小关系是( ) A．a＞b＞c．B．a＞c＞b．C．b＞c＞a．D．c＞b＞a．11．有理数a、b小于零，并且使(a-b)3＜0，则( )A.11a b<; B.-a<-b; C.丨a 丨>丨b 丨; D.a 2>b 4. 12．M 表示a 与b 的和的平方，N 表示a 与b 的平方的和，则当a=7，b=-5时，M-N 的值为 ( ) A ．-28．B ．70．C ．42．D ．0．13.有理数111,25,8恰是下列三个方程的根: 211012113124x x x -++-=-,3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3),112(1)(1)223z z z ⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦,则x zy x-的值为 ( ) A.-17140; B.-34780; C.71220; D.14255. 14．图22是中国古代著名的“杨辉三角形”的示意图．图中填入的所有数的总和等于( )A ．126．B ．127．C ．128．D ．129．15．在自然数：1，2，3，4，5，…中，前15个质数之和的负倒数等于( ) A.-1328; B.-1329; C.-1337; D.-1340.二、填空题（每题1分，共15分）1．若a ＞0，在-a 与a 之间恰有1993个整数，则a 的取值范围是______．2．如果相邻的两个正整数的平方差等于999，则这两个正整数的积等于______．3.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)----------------------=_________. 4．一辆公共汽车由起点站到终点站（这两站在内）共途经8个车站。
第一届数学竞赛试题及答案
第一届数学竞赛试题及答案试题一：求和问题题目：计算下列数列的前10项和：\[ 1, 3, 5, 7, \ldots, 19 \]答案：这是一个等差数列，首项 \( a_1 = 1 \)，公差 \( d = 2 \)。
前 \( n \) 项和的公式为：\[ S_n = \frac{n}{2} \times (2a_1 + (n-1)d) \]将 \( n = 10 \)，\( a_1 = 1 \)，\( d = 2 \) 代入公式，得到：\[ S_{10} = \frac{10}{2} \times (2 \times 1 + (10-1) \times 2) = 5 \times (2 + 18) = 5 \times 20 = 100 \]试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，如果一个角是30度，另一个角是60度，求斜边与较短直角边的比例。
答案：在30-60-90三角形中，较短直角边与斜边的比例是\( \frac{1}{2} \)。
所以，如果较短直角边的长度是 \( a \)，斜边的长度就是 \( 2a \)。
试题三：代数问题题目：解方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。
答案：这是一个二次方程，可以通过因式分解来解：\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \]所以，\( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)。
试题四：概率问题题目：一个袋子中有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球都是红球的概率。
答案：取出第一个红球的概率是 \( \frac{5}{8} \)，取出第二个红球的概率是 \( \frac{4}{7} \)（因为已经取出一个红球）。
所以，两个都是红球的概率是：\[ \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{5}{14} \]试题五：组合问题题目：从10个人中选出3个人组成一个委员会，求不同的选法总数。
初1数学竞赛教程含例题练习及答案⑻
初一数学竞赛讲座第8讲 列方程解应用题在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。
然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论, 不允许未知数参加计算, 这样, 对于较复杂的应用题, 使用算术方法常常比较困难。
而用列方程的方法, 未知数与已知数同样都是运算的对象, 通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系, 即列出方程（或方程组）, 使问题得以解决。
所以对于应用题, 列方程的方法往往比算术解法易于思考, 易于求解。
列方程解应用题的一般步骤是：审题, 设未知数, 找出相等关系, 列方程, 解方程, 检验作答。
其中列方程是关键的一步, 其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来, 而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析, 有些相等关系比较隐蔽, 必要时要应用图表或图形进行直观分析。
一、列简易方程解应用题分析：欲求这个六位数, 只要求出五位数x abcde =就可以了。
按题意, 这个六位数的3倍等于1abcde 。
解：设五位数x abcde =, 则六位数abcde 1x +=510, 六位数1101+=x abcde ,从而有3（105+x ）=10x+1,x ＝42857。
答：这个六位数为142857。
说明：这一解法的关键有两点： ⑴抓住相等关系：六位数abcde 1的3倍等于六位数1abcde ；⑵设未知数x ：将六位数abcde 1与六位数1abcde 用含x 的数学式子表示出来, 这里根据题目的特点, 采用“整体”设元的方法很有特色。
（1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系；（2）是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。
因此, 要提高列方程解应用题的能力, 就应在这两方面下功夫。
例2 有一队伍以1.4米/秒的速度行军, 末尾有一通讯员因事要通知排头, 于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾, 共用了10分50秒。
问：队伍有多长？分析：这是一道“追及又相遇”的问题, 通讯员从末尾到排头是追及问题, 他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题, 他与排尾所行路程和为队伍长。
全国初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛试题及答案大全试题一：代数基础题目：若\( a \), \( b \), \( c \)为实数，且满足\( a + b + c = 3 \)，\( ab + ac + bc = 1 \)，求\( a^2 + b^2 + c^2 \)的值。
解答：根据已知条件，我们可以使用配方法来求解。
首先，我们知道\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \)。
将已知条件代入，得到\( 3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 1 \)。
简化后，我们得到\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2 = 7 \)。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，求斜边BC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边BC的平方等于两直角边的平方和，即\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)。
代入已知数值，得到\( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。
因此，\( BC = \sqrt{100} = 10 \)。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项是2，公差是3，求第10项的值。
解答：等差数列的第n项可以通过公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)来计算，其中\( a_1 \)是首项，d是公差，n是项数。
将已知条件代入公式，得到\( a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 29 \)。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中取2个球的组合数，用组合公式C(8,2)计算。
然后计算取出两个红球或两个蓝球的情况。
两个红球的情况有C(5,2)种，两个蓝球的情况有C(3,2)种。
初1数学竞赛教程含例题练习及答案⑿
初一数学竞赛讲座第12讲抽屉原理把5个苹果放到4个抽屉中,必然有一个抽屉中至少有2个苹果,这是抽屉原理的通俗解释，一般地,我们将它表述为：第一抽屉原理：把（mn＋1）个物体放入n个抽屉,其中必有一个抽屉中至少有（m＋1）个物体，使用抽屉原理解题,关键是构造抽屉，一般说来,数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等,都可作为构造抽屉的依据，例1从1,2,3,…,100这100个数中任意挑出51个数来,证明在这51个数中,一定：（1）有2个数互质；（2）有2个数的差为50；（3）有8个数,它们的最大公约数大于1，证明：（1）将100个数分成50组：{1,2},{3,4},…,{99,100}，在选出的51个数中,必有2个数属于同一组,这一组中的2个数是两个相邻的整数,它们一定是互质的，（2）将100个数分成50组：{1,51},{2,52},…,{50,100}，在选出的51个数中,必有2个数属于同一组,这一组的2个数的差为50，（3）将100个数分成5组（一个数可以在不同的组内）：第一组：2的倍数,即{2,4,…,100}；第二组：3的倍数,即{3,6,…,99}；第三组：5的倍数,即{5,10,…,100}；第四组：7的倍数,即{7,14,…,98}；第五组：1和大于7的质数即{1,11,13,…,97}，第五组中有22个数,故选出的51个数至少有29个数在第一组到第四组中,根据抽屉原理,总有8个数在第一组到第四组的某一组中,这8个数的最大公约数大于1，例2求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数,它是1996的倍数，证明：因1996÷4＝499,故只需证明可以找到一个各位数字都是1的自然数,它是499的倍数就可以了，得到500个余数r1,r2,…,r500，由于余数只能取0,1,2,…,499这499个值,所以根据抽屉原理,必有2个余数是相同的,这2个数的差就是499的倍数,这个差的前若干位是1,后若干位是0：11…100…0,又499和10是互质的,故它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数,将它乘以4,就得到一个各位数字都是4的自然数,它是1996的倍数，例3在一个礼堂中有99名学生,如果他们中的每个人都与其中的66人相识,那么可能出现这种情况：他们中的任何4人中都一定有2人不相识（假定相识是互相的），分析：注意到题中的说法“可能出现……”,说明题的结论并非是条件的必然结果,而仅仅是一种可能性,因此只需要设法构造出一种情况使之出现题目中所说的结论即可，解：将礼堂中的99人记为a1,a2,…,a99,将99人分为3组：（a1,a2,…,a33）,（a34,a35,…,a66）,（a67,a68,…,a99）,将3组学生作为3个抽屉,分别记为A,B,C,并约定A中的学生所认识的66人只在B,C中,同时,B,C 中的学生所认识的66人也只在A,C和A,B中，如果出现这种局面,那么题目中所说情况就可能出现，因为礼堂中任意4人可看做4个苹果,放入A,B,C三个抽屉中,必有2人在同一抽屉,即必有2人来自同一组,那么他们认识的人只在另2组中,因此他们两人不相识，例4 如右图,分别标有数字1,2,…,8的滚珠两组,放在内外两个圆环上,开始时相对的滚珠所标数字都不相同，当两个圆环按不同方向转动时,必有某一时刻,内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对，分析：此题中没有直接提供我们用以构造抽屉和苹果的数量关系,需要转换一下看问题的角度，解：内外两环对转可看成一环静止,只有一个环转动，一个环转动一周后,每个滚珠都会有一次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现,那么这种局面共要出现8次，将这8次局面看做苹果,再需构造出少于8个抽屉，注意到一环每转动45°角就有一次滚珠相对的局面出现,转动一周共有8次滚珠相对的局面,而最初的8对滚珠所标数字都不相同,所以数字相同的滚珠相对的情况只出现在以后的7次转动中,将7次转动看做7个抽屉,8次相同数字滚珠相对的局面看做8个苹果,则至少有2次数字相对的局面出现在同一次转动中,即必有某一时刻,内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对，例5有一个生产天平上用的铁盘的车间,由于工艺上的原因,只能控制盘的重量在指定的20克到20.1克之间，现在需要重量相差不超过0.005克的两只铁盘来装配一架天平,问：最少要生产多少个盘子,才能保证一定能从中挑出符合要求的两只盘子？解：把20～20.1克之间的盘子依重量分成20组：第1组：从20.000克到20.005克；第2组：从20.005克到20.010克；……第20组：从20.095克到20.100克，这样,只要有21个盘子,就一定可以从中找到两个盘子属于同一组,这2个盘子就符合要求，例6 在圆周上放着100个筹码,其中有41个红的和59个蓝的，那么总可以找到两个红筹码,在它们之间刚好放有19个筹码,为什么？分析：此题需要研究“红筹码”的放置情况,因而涉及到“苹果”的具体放置方法,由此我们可以在构造抽屉时,使每个抽屉中的相邻“苹果”之间有19个筹码，解：依顺时针方向将筹码依次编上号码：1,2,…,100，然后依照以下规律将100个筹码分为20组：（1,21,41,61,81）；（2,22,42,62,82）；……（20,40,60,80,100），将41个红筹码看做苹果,放入以上20个抽屉中,因为41=2×20＋1,所以至少有一个抽屉中有2+1=3（个）苹果,也就是说必有一组5个筹码中有3个红色筹码,而每组的5个筹码在圆周上可看做两两等距,且每2个相邻筹码之间都有19个筹码,那么3个红色筹码中必有2个相邻（这将在下一个内容——第二抽屉原理中说明）,即有2个红色筹码之间有19个筹码，下面我们来考虑另外一种情况：若把5个苹果放到6个抽屉中,则必然有一个抽屉空着，这种情况一般可以表述为：第二抽屉原理：把（mn-1）个物体放入n个抽屉,其中必有一个抽屉中至多有（m-1）个物体，例7在例6中留有一个疑问,现改述如下：在圆周上放有5个筹码,其中有3个是同色的,那么这3个同色的筹码必有2个相邻，分析：将这个问题加以转化：如右图,将同色的3个筹码A,B,C置于圆周上,看是否能用另外2个筹码将其隔开，解：如图,将同色的3个筹码放置在圆周上,将每2个筹码之间的间隔看做抽屉,将其余2个筹码看做苹果,将2个苹果放入3个抽屉中,则必有1个抽屉中没有苹果,即有2个同色筹码之间没有其它筹码,那么这2个筹码必相邻，例8甲、乙二人为一个正方形的12条棱涂红和绿2种颜色，首先,甲任选3条棱并把它们涂上红色；然后,乙任选另外3条棱并涂上绿色；接着甲将剩下的6条棱都涂上红色，问：甲是否一定能将某一面的4条棱全部涂上红色？解：不能，如右图将12条棱分成四组：第一组：{A1B1,B2B3,A3A4},第二组：{A2B2,B3B4,A4A1},第三组：{A3B3,B4B1,A1A2},第四组：{A4B4,B1B2,A2A3}，无论甲第一次将哪3条棱涂红,由抽屉原理知四组中必有一组的3条棱全未涂红,而乙只要将这组中的3条棱涂绿,甲就无法将某一面的4条棱全部涂红了，下面我们讨论抽屉原理的一个变形——平均值原理，我们知道n个数a1,a2,…,an的和与n的商是a1,a2,…,a n这n个数的平均值，平均值原理：如果n个数的平均值为a,那么其中至少有一个数不大于a,也至少有一个不小于a，例9圆周上有2000个点,在其上任意地标上0,1,2,…,1999（每一点只标一个数,不同的点标上不同的数），求证：必然存在一点,与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999，解：设圆周上各点的值依次是a1,a2,…,a2000,则其和a1＋a2+…＋a2000=0+1+2+…+1999=1999000，下面考虑一切相邻三数组之和：（a1＋a2＋a3）+（a2＋a3＋a4）＋…＋（a1998+a1999＋a2000）＋（a1999＋a2000＋a1）＋（a2000＋a1＋a2）=3（a1＋a2＋…＋a2000）＝3×1999000，这2000组和中必至少有一组和大于或等于但因每一个和都是整数,故有一组相邻三数之和不小于2999,亦即存在一个点,与它紧相邻的两点和这点上所标的三数之和不小于2999，例10一家旅馆有90个房间,住有100名旅客,如果每次都恰有90名旅客同时回来,那么至少要准备多少把钥匙分给这100名旅客,才能使得每次客人回来时,每个客人都能用自己分到的钥匙打开一个房门住进去,并且避免发生两人同时住进一个房间？解：如果钥匙数小于990,那么90个房间中至少有一个房间的钥匙数少房间就打不开,因此90个人就无法按题述的条件住下来，另一方面,990把钥匙已经足够了,这只要将90把不同的钥匙分给90个人,而其余的10名旅客,每人各90把钥匙（每个房间一把）,那么任何90名旅客返回时,都能按要求住进房间，最后,我们要指出,解决某些较复杂的问题时,往往要多次反复地运用抽屉原理,请看下面两道例题，例11设有4×28的方格棋盘,将每一格涂上红、蓝、黄三种颜色中的任意一种，试证明：无论怎样涂法,至少存在一个四角同色的长方形，证明：我们先考察第一行中28个小方格涂色情况,用三种颜色涂28个小方格,由抽屉原理知,至少有10个小方格是同色的,不妨设其为红色,还可设这10个小方格就在第一行的前10列，下面考察第二、三、四行中前面10个小方格可能出现的涂色情况，这有两种可能：（1）这三行中,至少有一行,其前面10个小方格中,至少有2个小方格是涂有红色的,那么这2个小方格和第一行中与其对应的2个小方格,便是一个长方形的四个角,这个长方形就是一个四角同是红色的长方形，（2）这三行中每一行前面的10格中,都至多有一个红色的小方格,不妨设它们分别出现在前三列中,那么其余的3×7个小方格便只能涂上黄、蓝两种颜色了，我们先考虑这个3×7的长方形的第一行，根据抽屉原理,至少有4个小方格是涂上同一颜色的,不妨设其为蓝色,且在第1至4列，再考虑第二行的前四列,这时也有两种可能：（1）这4格中,至少有2格被涂上蓝色,那么这2个涂上蓝色的小方格和第一行中与其对应的2个小方格便是一个长方形的四个角,这个长方形四角同是蓝色，（2）这4格中,至多有1格被涂上蓝色,那么,至少有3格被涂上黄色，不妨设这3个小方格就在第二行的前面3格，下面继续考虑第三行前面3格的情况，用蓝、黄两色涂3个小方格,由抽屉原理知,至少有2个方格是同色的,无论是同为蓝色或是同为黄色,都可以得到一个四角同色的长方形，总之,对于各种可能的情况,都能找到一个四角同色的长方形，例12 试卷上共有4道选择题,每题有3个可供选择的答案，一群学生参加考试,结果是对于其中任何3人,都有一道题目的答案互不相同，问：参加考试的学生最多有多少人？解：设每题的三个选择分别为a,b,c，（1）若参加考试的学生有10人,则由第二抽屉原理知,第一题答案分别为a,b,c的三组学生中,必有一组不超过3人，去掉这组学生,在余下的学生中,定有7人对第一题的答案只有两种，对于这7人关于第二题应用第二抽屉原理知,其中必可选出5人,他们关于第二题的答案只有两种可能，对于这5人关于第三题应用第二抽屉原理知,可以选出4人,他们关于第三题的答案只有两种可能，最后,对于这4人关于第四题应用第二抽屉原理知,必可选出3人,他们关于第四题的答案也只有两种，于是,对于这3人来说,没有一道题目的答案是互不相同的,这不符合题目的要求，可见,所求的最多人数不超过9人，另一方面,若9个人的答案如下表所示,则每3人都至少有一个问题的答案互不相同，所以,所求的最多人数为9人，练习121.六（1）班有49名学生，数学王老师了解到在期中考试中该班英文成绩除3人外均在86分以上后就说：“我可以断定,本班同学至少有4人成绩相同，”请问王老师说得对吗？为什么？2.现有64只乒乓球,18个乒乓球盒,每个盒子里最多可以放6只乒乓球,至少有几个乒乓球盒子里的乒乓球数目相同？3.某校初二年级学生身高的厘米数都为整数,且都不大于160厘米,不小于150厘米，问：在至少多少个初二学生中一定能有4个人身高相同？4.从1,2,…,100这100个数中任意选出51个数,证明在这51个数中,一定：（1）有两个数的和为101；（2）有一个数是另一个数的倍数；（3）有一个数或若干个数的和是51的倍数，5.在3×7的方格表中,有11个白格,证明（1）若仅含一个白格的列只有3列,则在其余的4列中每列都恰有两个白格；（2）只有一个白格的列只有3列，6.某个委员会开了40次会议,每次会议有10人出席，已知任何两个委员不会同时开两次或更多的会议，问：这个委员会的人数能够多于60人吗？为什么？7.一个车间有一条生产流水线,由5台机器组成,只有每台机器都开动时,这条流水线才能工作，总共有8个工人在这条流水线上工作，在每一个工作日内,这些工人中只有5名到场，为了保证生产,要对这8名工人进行培训,每人学一种机器的操作方法称为一轮，问：最少要进行多少轮培训,才能使任意5个工人上班而流水线总能工作？8.有9名数学家,每人至多能讲3种语言,每3人中至少有2人能通话，求证：在这9名中至少有3名用同一种语言通话，练习13答案：1.对，解：因为49-3=3×（100-86+1）+1,即46=3×15+1,也就是说,把从100分至86分的15个分数当做抽屉,49-3=46（人）的成绩当做物体,根据第二抽屉原理,至少有4人的分数在同一抽屉中,即成绩相同，2.4个，解：18个乒乓球盒,每个盒子里至多可以放6只乒乓球，为使相同乒乓球个数的盒子尽可能少,可以这样放：先把盒子分成6份,每份有18÷6=3（只）,分别在每一份的3个盒子中放入1只、2只、3只、4只、5只、6只乒乓球,即3个盒子中放了1只乒乓球,3个盒中放了2只乒乓球……3个盒子中放了6只乒乓球，这样,18个盒子中共放了乒乓球（1+2+3+4+5+6）×3=63（只），把以上6种不同的放法当做抽屉,这样剩下64-63=1（只）乒乓球不管放入哪一个抽屉里的任何一个盒子里（除已放满6只乒乓球的抽屉外）,都将使该盒子中的乒乓球数增加1只,这时与比该抽屉每盒乒乓数多1的抽屉中的3个盒子里的乒乓球数相等，例如剩下的1只乒乓球放进原来有2只乒乓球的一个盒子里,该盒乒乓球就成了3只,再加上原来装有3只乒乓球的3个盒子,这样就有4个盒子里装有3个乒乓球，所以至少有4个乒乓球盒里的乒乓球数目相同，3.34个，解：把初二学生的身高厘米数作为抽屉,共有抽屉160-150+1=11（个），根据抽屉原理,要保证有4个人身高相同,至少要有初二学生3×11+1=34（个），4.证：（1）将100个数分成50组：｛1,100｝,｛2,99｝,…,｛50,51｝，在选出的51个数中,必有两数属于同一组,这一组的两数之和为101，（2）将100个数分成10组：｛1,2,4,8,16,32,64｝, ｛3,6,12,24,48,96｝,｛5,10,20,40,80｝, ｛7,14,28,56｝,｛9,18,36,72｝, ｛11,22,44,88｝,｛13,26,52｝, ｛15,30,60｝,…,｛49,98｝, ｛其余数｝，其中第10组中有41个数，在选出的51个数中,第10组的41个数全部选中,还有10个数从前9组中选,必有两数属于同一组,这一组中的任意两个数,一个是另一个的倍数，（3）将选出的51个数排成一列：a1,a2,a3,…,a51，考虑下面的51个和：a1,a1+a2,a1+a2+a3,…,a1+a2+a3+…+a51，若这51个和中有一个是51的倍数,则结论显然成立；若这51个和中没有一个是51的倍数,则将它们除以51,余数只能是1,2,…,50中的一个,故必然有两个的余数是相同的,这两个和的差是51的倍数,而这个差显然是这51个数（a1,a2, a3,…,a51）中的一个数或若干个数的和，5.证：（1）在其余4列中如有一列含有3个白格,则剩下的5个白格要放入3列中,将3列表格看做3个抽屉,5个白格看做5个苹果,根据第二抽屉原理,5（=2×3-1）个苹果放入3个抽屉,则必有1个抽屉至多只有（2-1）个苹果,即必有1列只含1个白格,也就是说除了原来3列只含一个白格外还有1列含1个白格,这与题设只有1个白格的列只有3列矛盾，所以不会有1列有3个白格,当然也不能再有1列只有1个白格，推知其余4列每列恰好有2个白格，（2）假设只含1个白格的列有2列,那么剩下的9个白格要放入5列中,而9=2×5-1,由第二抽屉原理知,必有1列至多只有2-1=1（个）白格,与假设只有2列每列只1个白格矛盾，所以只有1个白格的列至少有3列，6.能，解：开会的“人次”有40×10=400（人次），设委员人数为N,将“人次”看做苹果,以委员人数作为抽屉，若N≤60,则由抽屉原理知至少有一个委员开了7次（或更多次）会，但由已知条件知没有一个人与这位委员同开过两次（或更多次）的会,故他所参加的每一次会的另外9个人是不相同的,从而至少有7×9=63（个）委员,这与N≤60的假定矛盾，所以,N应大于60，7.20轮，解：如果培训的总轮数少于20,那么在每一台机器上可进行工作的工人果这3个工人某一天都没有到车间来,那么这台机器就不能开动,整个流水线就不能工作，故培训的总轮数不能少于20，另一方面,只要进行20轮培训就够了，对3名工人进行全能性培训,训练他们会开每一台机器；而对其余5名工人,每人只培训一轮,让他们每人能开动一台机器，这个方案实施后,不论哪5名工人上班,流水线总能工作，8.证：以平面上9个点A1,A2,…,A9表示9个数学家,如果两人能通话,就把表示他们的两点联线,并涂上一种颜色（不同的语言涂上不同颜色），此时有两种情况：（1）9点中有任意2点都有联线,并涂了相应的颜色，于是从某一点A1出发,分别与A2,A3,…,A9联线,又据题意,每人至多能讲3种语言,因此A1A2,A1A3,…,A1A9中至多只能涂3种不同的颜色,由抽屉原理知,这8条线段中至少有2条同色的线段，不妨设A1A2与A1A3是同色线段,因此A1,A2,A3这3点表示的3名数学家可用同一种语言通话，（2）9点中至少有2点不联线,不妨设是A1与A2不联线，由于每3人中至少有两人能通话,因此从A1与A2出发至少有7条联线，再由抽屉原理知,其中必有4条联线从A1或A2出发，不妨设从A1出发,又因A1至多能讲3种语言,所以这4条联线中,至少有2条联线是同色的，若A1A3与A1A4同色,则A1,A3,A4这3点表示的3名数学家可用同一种语言通话，。
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初一数学竞赛讲座第11讲染色和赋值染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法。
就其本质而言, 染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。
而凡是能用染色方法来解的题, 一般地都可以用赋值方法来解, 只需将染成某一种颜色的对象换成赋于其某一数值就行了。
赋值方法的适用范围要更广泛一些, 我们可将题目所研究的对象赋于适当的数值, 然后利用这些数值的大小、正负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证。
一、染色法将问题中的对象适当进行染色, 有利于我们观察、分析对象之间的关系。
像国际象棋的棋盘那样, 我们可以把被研究的对象染上不同的颜色, 许多隐藏的关系会变得明朗, 再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决, 这种解题方法称为染色法。
常见的染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色。
例1用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片（如下图所示）, 能否覆盖一个8×8的棋盘？解：如下图, 将 8×8的棋盘染成黑白相间的形状。
如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个8×8的棋盘, 那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个, 但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格, 而1和3都是奇数, 因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格, 从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数, 这与32是偶数矛盾, 因此, 用它们不能覆盖整个棋盘。
例2如左下图, 把正方体分割成27个相等的小正方体, 在中心的那个小正方体中有一只甲虫, 甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。
如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次, 那么甲虫能走遍所有的正方体吗？解：甲虫不能走遍所有的正方体。
我们如右上图将正方体分割成27个小正方体, 涂上黑白相间的两种颜色, 使得中心的小正方体染成白色, 再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色。
显然, 在27个小正方体中, 14个是黑的, 13个是白的。
甲虫从中间的白色小正方体出发, 每走一步, 方格就改变一种颜色。
故它走27步, 应该经过14个白色的小正方体、13个黑色的小正方体。
因此在27步中至少有一个小正方体, 甲虫进去过两次。
由此可见, 如果要求甲虫到每一个小正方体只去一次, 那么甲虫不能走遍所有的小正方体。
例3 8×8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2×2的正方形和9个4×1的长方形？如果可以, 请给出一种剪法；如果不行, 请说明理由。
解：如下图, 对8×8的棋盘染色, 则每一个4×1的长方形能盖住2白2黑小方格, 每一个2×2的正方形能盖住1白3黑或3白1黑小方格。
推知7个正方形盖住的黑格总数是一个奇数, 但图中的黑格数为32, 是一个偶数, 故这种剪法是不存在的。
例4在平面上有一个27×27的方格棋盘, 在棋盘的正中间摆好81枚棋子, 它们被摆成一个9×9的正方形。
按下面的规则进行游戏：每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子, 放进紧挨着这枚棋子的空格中, 并把越过的这枚棋子取出来。
问：是否存在一种走法, 使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？解：如下图, 将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色, 这种染色方式将棋盘按颜色分成了三个部分。
按照游戏规则, 每走一步, 有两部分中的棋子数各减少了一个, 而第三部分的棋子数增加了一个。
这表明每走一步, 每个部分的棋子数的奇偶性都要改变。
因为一开始时, 81个棋子摆成一个9×9的正方形, 显然三个部分的棋子数是相同的, 故每走一步, 三部分中的棋子数的奇偶性是一致的。
如果在走了若干步以后, 棋盘上恰好剩下一枚棋子, 则两部分上的棋子数为偶数, 而另一部分的棋子数为奇数, 这种结局是不可能的, 即不存在一种走法, 使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子。
例5图1是由数字0, 1交替构成的, 图2是由图1中任选减1, 如此反复多次形成的。
问：图2中的A格上的数字是多少？解：如左下图所示, 将8×8方格黑白交替地染色。
此题允许右上图所示的6个操作, 这6个操作无论实行在哪个位置上, 白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是常数。
所以图1中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和, 与图2中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和相等, 都等于32, 由（31＋A）-32=32, 得出A=33。
例6有一批商品, 每件都是长方体形状, 尺寸是1×2×4。
现在有一批现成的木箱, 内空尺寸是6×6×6。
问：能不能用这些商品将木箱填满？解：我们用染色法来解决这个问题。
先将6×6×6的木箱分成216个小正方体, 这216个小正方体, 可以组成27个棱长为2的正方体。
我们将这些棱长为2的正方体按黑白相间涂上颜色（如下图）。
容易计算出, 有14个黑色的, 有13个白色的。
现在将商品放入木箱内, 不管怎么放, 每件商品要占据8个棱长为1的小正方体的空间, 而且其中黑、白色的必须各占据4个。
现在白色的小正方体共有8×13=104（个）, 再配上104个黑色的小正方体, 一共可以放26件商品, 这时木箱余下的是8个黑色小正方体所占据的空间。
这8个黑色的小正方体的体积虽然与一件商品的体积相等, 但是容不下这件商品。
因此不能用这些商品刚好填满。
例7 6个人参加一个集会, 每两个人或者互相认识或者互相不认识。
证明：存在两个“三人组”, 在每一个“三人组”中的三个人, 或者互相认识, 或者互相不认识（这两个“三人组”可以有公共成员）。
证明：将每个人用一个点表示, 如果两人认识就在相应的两个点之间连一条红色线段, 否则就连一条蓝色线段。
本题即是要证明在所得的图中存在两个同色的三角形。
设这六个点为A, B, C, D, E, F。
我们先证明存在一个同色的三角形：考虑由A点引出的五条线段AB, AC, AD, AE, AF, 其中必然有三条被染成了相同的颜色, 不妨设AB, AC, AD同为红色。
再考虑△BCD的三边：若其中有一条是红色, 则存在一个红色三角形；若这三条都不是红色, 则存在一个蓝色三角形。
下面再来证明有两个同色三角形：不妨设△ABC的三条边都是红色的。
若△DEF也是三边同为红色的, 则显然就有两个同色三角形；若△DEF三边中有一条边为蓝色, 设其为DE, 再考虑DA, DB, DC三条线段：若其中有两条为红色, 则显然有一个红色三角形；若其中有两条是蓝色的, 则设其为DA, DB。
此时在EA, EB中若有一边为蓝色, 则存在一个蓝色三角形；而若两边都是红色, 则又存在一个红色三角形。
故不论如何涂色, 总可以找到两个同色的三角形。
二、赋值法将问题中的某些对象用适当的数表示之后, 再进行运算、推理、解题的方法叫做赋值法。
许多组合问题和非传统的数论问题常用此法求解。
常见的赋值方式有：对点赋值、对线段赋值、对区域赋值及对其他对象赋值。
例8一群旅游者, 从A村走到B村, 路线如下图所示。
怎样走才能在最短时间内到达B村？图中的数字表示走这一段路程需要的时间（单位：分）。
解：我们先把从A村到各村的最短时间标注在各村的旁边, 从左到右, 一一标注, 如下图所示。
由此不难看出, 按图中的粗黑线走就能在最短时间（60分钟）内从A村走到B村。
例9把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。
解：假设题中所设想的染色方案能够实现, 那么每条直线上代表各点的数字之和便应都是奇数。
一共有五条直线, 把这五条直线上代表各点的数字之和的这五个奇数再加起来, 得到的总和数仍应是一个奇数。
但是, 由观察可见, 图中每个点都恰好同时位于两条直线上, 在求上述总和数时, 代表各点的数字都恰被加过两次, 所以这个总和应是一个偶数。
这就导致矛盾, 说明假设不成立, 染色方案不能实现。
例10平面上n（n≥2）个点A1, A2, …, An顺次排在同一条直线上, 每点涂上黑白两色中的某一种颜色。
已知A1和An涂上的颜色不同。
证明：相邻两点间连接的线段中, 其两端点不同色的线段的条数必为奇数。
证明：赋予黑点以整数值1, 白点以整数值2, 点Ai以整数值为a i, 当A i为黑点时, a i=1, 当A i为白点时, a i=2。
再赋予线段A i A i+1以整数值a i+a i+1, 则两端同色的线段具有的整数值为2或4, 两端异色的线段具有的整数值为3。
所有线段对应的整数值的总和为（a1＋a2）＋（a2＋a3）＋（a3＋a4）＋…＋（a n-1＋a n）＝a1＋a n＋2（a2＋a3＋…＋a n-1）＝2＋1＋2（a2＋a3＋…＋a n-1）＝奇数。
设具有整数值2, 3, 4的线段的条数依次为l, m, n, 则2l＋m＋4n=奇数。
由上式推知, m必为奇数, 证明完毕。
例11 下面的表1是一个电子显示盘, 每一次操作可以使某一行四个字母同时改变, 或者使某一列四个字母同时改变。
改变的规则是按照英文字母的顺序, 每个英文字母变成它的下一个字母（即A变成B, B变成C……Z变成A）。
问：能否经过若干次操作, 使表1变为表2？如果能, 请写出变化过程, 如果不能, 请说明理由。
S O B R K B D ST Z F P H E X GH O C N R T B SA D V X C F Y A表1 表2解：不能。
将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即A用1, B用2……Z用26代替）。
这样表1和表2就分别变成了表3和表4。
每一次操作中字母的置换相当于下面的置换：1→2, 2→3, …, 25→26, 26→1。
19 1521820 266168 15 3141 4 2224表31124198 52471820 2193625 1表4容易看出, 每次操作使四个数字改变了奇偶性, 而16个数字的和的奇偶性没有改变。
因为表3中16个数字的和为213, 表4中16个数字的和为174, 它们的奇偶性不同, 所以表3不能变成表4, 即表1不能变成表2。
例12如图（1）～（6）所示的六种图形拼成右下图, 如果图（1）必须放在右下图的中间一列, 应如何拼？解：把右上图黑、白相间染色（见上图）。
其中有11个白格和10个黑格, 当图形拼成后, 图形（2）（4）（5）（6）一定是黑、白各2格, 而图形（3）必须有3格是同一种颜色, 另一种颜色1格。
因为前四种图形, 黑、白已各占2×4=8（格）, 而黑格总共只有10格, 所以图形（3）只能是3白1黑。