最新中山大学高等代数试题

2004中山大学高等代

数试题

2004年 高等代数试题（70分）

1．（10分）计算下列n 阶行列式：

210 (00)

121 (00)

012...00000 (12)

n D =........

2．（10分）设12,,...,n ααα是数域P 上线性空间V 中一线性无关向量组，讨论向量组12231,,...,n αααααα+++的线性相关性。

3．（10分）设A ＝100101010⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

.

（1）.证明：22n n A A A I -=+-.

（2）.求100A .

4．（20分）设3R 的线性变换 在标准基下的矩阵A ＝211121112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

.

（1）.求A 的特征值和特征向量.

（2）.求3R 的一组标准正交基，使 在此基下的矩阵为对角矩阵.

5．（20分）设β为n 维欧氏空间V 中一个单位向量，定义V 的线性变换 如下：

2(,),V ααβαβα=-∀∈

证明：

（1）. 为第二类的正交变换（称为镜面反射）.

（2）.V 的正交变换是镜面反射 的充要条件为1是 的特征值，且对

应的特征子空间的维数为n －1.