第6章频率响应设计法1

低频渐近线与高频渐近线的交点在ωc =1/T处， 因为当 ωc=1/T时， -20 lgTω=-20 lg1=0。 故称ωc =1/T为惯性 环节的转折频率。 而转折频率处的实际对数幅频为（ ωc =1/T）
L() 20 lg 11 3.01dB
由两条渐近线构成惯性环节 的近似幅频特性，在转折频率1/T 处误差最大，为-3dB。而在0.1/T 处的误差为-0.04dB，因此在低频 和高频各修正10倍频程就可以了。
y(t) 1e p1t 2e p2t ...... ne pnt 0e jt a0*e jt
其中稳态分量：
yss (t) 0e j t a0*e j t
0
G(s)
A s2 2
(s
j)
s- j
-
AG(- j)
2j
0*
G(s)
6.1.1 Bode图法： 典型环节的频率特性
2. 积分环节的Bond图
G(s) 1； G( j) j 1
s

20lg 1 20lg，
是一条在 1处穿越横轴的直线，
其斜率为：
20lg 1 20lg 1
10

20lg10 20lg 2（0 dB)
G( j)
1
2

1
2

j
n


j2 1 n
1


n

j2 n

20 lg
1
1

n
2

2

4
2

n
2




(
)


arctan
1
2
s
n
; s
1

1;
s2
n2
2
s
n
1
依次为比例、积分、惯性、振荡、一阶微分和二阶 微分环节。
6.1.1 Bode图法： 典型环节的频率特性
1. 比例（放大）环节的 Bond图
L(ω)=20 lgK, φ(ω)=0°
比例环节的对数幅 频特性L(ω)和对数相频 特性φ(ω)也都是与ω无 关的水平直线。L(ω)是 一条纵坐标为20 lgK的、 平行于横轴的直线, φ(ω) 是一条与0°线重合的直 线。
0.05s 1
6.1 频率响应
u(t) sin(5t);G(s) 1
0.05s 1
1 0.5
0 -0.5
-1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
6.1 频率响应
u(t) sin(20t); 20 62.8
幅值下降到约0.3,相位滞后约:
6.1.1 频率特性的图示方法:Nyquist图
频率特性函数可以表示成
G(jω)=R(ω)+jI(ω)
代数式
=|G(jω)|∠G(jω) 极坐标式

=|G(jω)| ej ∠G(jω)
指数式
如果将极坐标系与直角坐标系重合， 那么极坐标系下的 向量在直角坐标系下的实轴和虚轴上的投影分别为实频特性 R(ω)和虚频特性I(ω)。

j2 sin + jcos

j( j sin + cos )
jA
dA jd；lnA = j + c； = 0 A = 1，C = 0
A
A = ej cos + jsin
e- j cos jsin
sin

e j
e- j 2j

cos
率变化10倍的一段对数刻度称为“十倍频程，用
“dec”表示，即 Δμ=lg10ω-lgω=1
❖ 纵轴： L=20 lgM(ω), 单位为分贝, 记作dB。
|G()| L()/dB
100 40
10 20
－1 0
10
0.1
1
0.1 － 20
0.01 － 40
1
＝ lg
10
/ s－ 1
对数幅频特性的坐标系,纵坐标单位为dB或绝对值
❖在正弦信号作用下，线性稳定系统的稳态输出是同 频率的正弦信号，输出信号的幅值和相角随输入信号 的频率的变化而变化。
附:欧拉公式的证明
利用cos(t)
e jt
e 2j
j t
; 可得：L（cos t )

s2
s
2
A = cos + jsin
dA
d
sin + jcos

e j
e- j 2
6.1 频率响应
yss (t) j);
❖幅频特性：稳态输出信号与正弦输入信号的幅值之
比是输入信号频率ω的非线性函数，称为幅频特性。
M | G( j) |
❖相频特性：稳态输出信号与正弦输入信号的相位差

K
1 sv
h

i1
1 Tis 1
1 2
(
n
vh
)

i1
Ti 2 s 2

1
2iTi s
1

l
(
j1
js
1)
( S 1
2
(
ml
)
j1
22 i

2i i S
1)
对线性定常系统，不论如何复杂，都是由有限个典 型环节构成的。
11
K; ;
;
s Tis 1
s2
n2
2) 高频段 当ω/ωn>>1， 即ω>>ωn时，
L( )

20
lg

n
2

40 lg
T

40(lg

lg
1 T
)
说明在高频段， 振荡环节的幅频特性曲线近似于
斜率为-40 dB/dec的一条通过（1/T，0)的直线。
3) 转折频率: 低频渐近线与高频渐近线的交点在
频率特性的图形表示是描述系统的输入频率ω从
0到∞变化时频率响应的幅值、 相位与频率之间 关系的一组曲线。 虽然系统的频率特性函数有严 格的数学定义， 但它最大的优点是可以用图示方 法简明、 清晰地表示出来， 这正是该方法获得
广泛应用的原因之一。
1. 极坐标频率特性图（奈奎斯特图）
极坐标频率特性图又称奈奎斯特图（Nyquist）图或幅相频率 特性图。 极坐标频率特性图是当ω从0到∞变化时， 以ω为参变量， 在极坐标图上绘出G(jω)的模|G(jω)|和幅角∠G(jω) 随ω变化的曲 线， 即当ω从0到∞变化时， 向量G(jω)的矢端轨迹。 G(jω)曲线 上每一点所对应的向量都表示与某一输入频率ω相对应的系统 （或环节）的频率响应， 其中向量的模反映系统（或环节）的幅 频特性， 向量的相角反映系统（或环节）的相频特性。
j) |
2j
e-
j
A
e
jt

|
G(
j) |
2j
e
j
A
e
jt
| G( j) | A e j(t) e j(t) ;
2j
yss(t) A | G( j) | sin(t );欧拉公式 AM sin(t ); M | G( j) |; G( j);
第6章 频率响应设计法
6.1 频率响应
线性系统对正弦信号输入的响应，称为频率响应。
Y (s) G(s) U (s)
设G(s)的极点
u(t) Asin(t) U (s) A s2 2
Y (s) G(s)U (s) G(s) A s2 2
互不相同，无 重根，系统稳 定
A s2 2
(s -
j)
s j

AG( j)
2j
G( j) | G( j) | e j ;
G( j)
G(- j) | G(- j) | e- j
- G(- j)
| G( j) || G(- j) |;
6.1 频率响应
yss
(t)

-
|
G(
6
7
8
9
10
相频特 性
-80.54 -81.87 -82.88 -83.66
T 100，() 89.4271
-84.29
4 振荡环节
G(s)

s2
n2 2ns n2

T 2s2
1
2Ts 1
•其中, T为振荡环节的时间常数, ωn=1/T为无阻尼自然振荡 频率, ζ为振荡环节的阻尼比。 其频率特性函数为
t 20t 20 180 0.02 72
6.1 频率响应
幅值特性和相频特性
G(s) 1 0.05s 1
ω=62.8,幅值比0.305,相位滞后72.3⁰
6.1 频率响应
微分方程
将s=jω代入传
s p
递函数，就获 得了频率特性
传递函数
系统
j p
G(jω)。
相频特性斜对称于ω=1/T及φ=450 的点。
惯性环节的对数坐标频率特性
G(s)

1 0.2s 1
s
1
1


5
5
惯性环节渐近线修正值 [20 lg M ()] 20lg (T)2 1 20lg (T)2
10lg[(T)2 1] 20lg(T)
Tω 渐近线 修正值
1) 低频渐近线：当Tω<<1， 即ω<<1/T时， 可忽略Tω， 则