第二章 第2节作用于流体的力应力张量

这个四面体的运动方程：
（2.21） （体力 上式中的 +面力） 是三阶小量， 是二阶小量， 含 的项比含 的项可以略去， 2.21中含 的略去
的项小一个量级。当四面体无限缩小时，含 则得到： 又因为：
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上式又可以写成：
移项为： 上式中的三个小面积 是 （2.24）
在三个坐标面上的投影，即： （2.25）
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根据牛顿的作用力与反作用力定律：
注意：pn 一般而言不平行于法线（不垂直于作用面），下标的
n只是表示面元的法向。 （3）应力矢

在直角坐标轴上的投影。记为：
注意：第一个下标表示面元的法向，第二个 下标表示应力的投影方向。 （4） 一般而言不平行于法线（不垂直于作用面），因而它在
面元的法向和切向都有投影，即：
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1、牛顿实验： 1687年，建立了此关系 实验（如书上P53图2.5）
实验： 开始-------两块很长的平行板，中间充满不可压缩粘性流体。 上板以速度U 平行于下板移动，下板静止。 此时，粘在上板上的流体速度是U，下板上的流体速度为零。
过一定时间后测量两板间各层的流体速度，发现-------速度分布如下： ------显然： 这是一种切变分布。
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4、牛顿流体 流体中流点的应力和变形速度间的关系满足广义 牛顿公式（2.36）的流体称为牛顿（粘性）流体。 如水和空气。
还有一些流体不满足（2.36）式，称为非牛顿流体， 如颜料、低温下的润滑油等，这些属于胶体化学。
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总
结
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End
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可见前面的牛顿粘性定律是（2---3）的一个特例。 （2---3）还可以改写成与粘性有关的部分和与粘性无关 的部分，即：
e xx 1 divV e xy e xz p xx p xy p xz 1 0 0 3 0 1 0 2 e 1 e yy 3 divV e yz yx p yx p yy p yz p p zx p zy p zz 1 0 0 1 e zy e zz 3 divV e zxx
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称为粘性应力张量。
e xx 1 divV 3 2 e yx e zxx
e xy e yy 1 divV 3 e zy
e yz 称为粘性应力张量。 1 e zz 3 divV e xz
对于理想流体（不考虑粘性的流体），

=0，
0 流体质点间只有压力的相互作用。
对于理想流体，没有切应力，即 ，上式（2-2）就成为：
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（2-3）
将（2.1）与（2.3）对比，得到： 可见，理想流体的应力与方向无关，是(x,y,z,t)的函数， 一般称之为压力-p。（取负号表示压力方向与法向方向相反。）
理想流体的应力矢可以写成：
， （矩阵称为单位张量
所以，对理想流体而言，压力是唯一的表面应力，且与方向无关。
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5、静止流体 因为静止，则没有形变，即没用切应力，就同上面的理想流体 一样了，上述对理想流体的性质依然成立。 四、表面应力张量与形变速度张量的关系 真实流体都有粘性。当相邻两层流体作相对滑动时 （即剪切变形）时，在相反方向产生一切向应力， 阻止变形的产生，因此切向应力与切向形变之间存在关系。 流体的这种性质——粘性规律，通过它将应力张量与形变速度 张量以某种关系联系起来，现在来推导这个关系。
又称为应力矢。则作用于流体面元上的面力（应力）为：
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3、质量力和面力的区别(
（1）质量力
)
是力的分布密度，是非接触力，是空间和时间的 ，是一个矢量场。流点所受的质量力被质量函数
函数，即：
完全描述了。 （2）面力 是应力矢，它不但是空间和时间的函数，而且还
随着受力面元取向的不同而变化，即： 是空间某一点的位置, 是该点某一个受力面元的法向单位矢。
其中
u v w v 1 u e xx , e yy , e zz , e xy e yx 2 ( ) x y z y x
由于单位张量中的非对角元素为零，则（2---3）还可以写成：
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, i j, i 1,2,3, j 1,2,3 pij 2eij pii p 2 divV 2eii 3
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三、应力张量 1、一些符号和名词 （1）小面元 的法线方向： 当 封闭时，取外法线方向为正，如图SS2-2-1 当 不封闭时，可以规定一个方向为正。
(2)外法向（即周围）流体通过面元对面元 内流体的应力作用记为： （或说法线正向一侧流体作用于面元上的 应力以 表示）

面元内流体经过面元对周围流体的应力作用记为： （或说法线负向一侧流体作用于面元上的应力以 表示.）
的线性关系，但只适用于直线运动。 但这种线性关系却可以推广到任意的粘性流体运动， 称为广义牛顿粘性假设，即：
（2.36）
式中的 P 就是前面讲到的应力张量（2.28）， A 是第一章讲到的形变率（P21，1.38式） 是三个法向应力的平均值。 是前面讲的单位张量。
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3.应力张量和形变速度张量（形变率张量）之 间的关系
这段话可以这样理解：流体中有各个位置的点，不同点用 确定， 对于某一点 ，过这一点可以做无数个不同方向的面元，这些 面元就用 区别开来了，作用在这些面元上的面力 一般来说是不 同的，因此， 是 位置 和表面法向 的函数了，另外还 随着时间变化。 4
问题
那么，要描写某一点的应力就需要知道所有通过该点 的面上所受的应力。-------是否一定要这样做？ ----------不必，后面就会看到，过同一点不同面上所受到的 应力并不是处处相互独立，事实上，只要知道三个与坐标 面平行面上的应力，则任一以 为法向的面上的应力都可 以通过它们及 表示出来。 即三个矢量（三个坐标面上的应力）或9个分量 完全地描述了一点的应力状况。
广义牛顿粘性假设就显示了应力张量和形变速度张量 之间的关系，写成分量形式：
p xx p xy p xz e xx e xy e xz 1 0 0 其中： 2 0 1 0 2 e e e （2---3） p yx p yy p yz ( p 3 divV ) yx yy yz p zx p zy p zz 。。。。。 e zxx e zy e zz 0 0 1
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3、应力张量的性质 （1）应力张量是一个对称张量，已经证明：
（2）不论坐标如何选择，
为一不变的量。
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4、理想流体的应力张量 理想流体没有粘性，其切向应力为零，即：
此时只有法向应力（实际就是压力）
则根据（2.27）得到：
p xx , p yy , p zz
（2-1） 如果按法向和切向的分解， （2-2） ，则：
2

F

lim
m 0
F m

（2.19）---可以看成是力的分布密度。
如果质量力是重力，则
就是重力加速度g。
3、作用于有限体积元 上的质量力是： 二、面力（表面力） 1、定义：面力（表面力）是与流体表面S相接触的流体（或固体） 作用于流体表面S 上的力。如压力、粘性力、摩擦力。 2、表达式 以面力在表面上的分布密度来表示（记作 ) （2.20） 上式中的 是作用于某个流体面积 上的表面力，面力
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牛顿粘性定律
（2.35） 称为（动力学）粘性系数或内摩擦系数。
（流体与其它物体间的粘性系数称为外摩擦系数， 一般内、外摩擦系数取值一样.）
牛顿粘性定律给出了粘性应力 与形变率
的关系，即粘性应力与形变率成正比，与压力无关 牛顿粘性定律但只适用于直线运动。
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2、广义牛顿粘性假设
牛顿粘性定律给出了粘性应力 与形变率
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如果想保持两板之间流体的这种速度分布，则必须给上板一个 与流速同向的推力（切向力），而给下板以一个与流速反向的固 定力 这说明流体与板，流体与流体之间存在着黏性应力，否则上板 就不可能带动整个流体运动。
而且，对上下板所施的力，就是用来克服流体对板的黏性力。 实验测量证明：此流动中的粘性应力矢处处相同的，用 表示
法线方向上的投影：
切线方向上的投影：
p nn
----法向应力 ----切向应力
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p n
2、应力张量的证明 设在流体中的一个点M，想象把它扩大一点，成为一个四面体 MABC，如图2-3。
注意：
不一定垂直于YOZ, XOZ, XOY平面。
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根据牛顿第二运动定律，有： 而流体所受的力
（2.18）
，就是上面表中所列的内容，则可以写出这
上式中的
表示法向单位矢量n与x轴的方向余弦。
另外两个类同。将（2.25）代入（2.24）得到： （2.26）
将上式中的矢量都分解到直角坐标系的三个作用轴上，
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所以, 应力矢
在直角坐标轴上的投影 （2.27）
就为：
（分别是i, j, k 方向）
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（2.27） （2.27）说明，若三个坐标面上的应力矢量： ， ， 已知， 则任一法向为 的面上的应力矢可以按照（2.26）求出。 因此三个矢量 ， ，
（流体单位面积受到的总的表面力）= （与粘性无关的部分，即流体的压力）+ （与粘性有关的部分，即流体的粘性应力） 上式右边的第二部分可以定义为：
e xx 1 divV 3 2 e yx e zxx e xy e yy 1 divV 3 e zy e yz 1 e zz 3 divV e xz
，或它们的共9个分量的组合就完全描述了一点的应力状况。 称下面由9个分量组成的张量为应力张量Р： Р=
， k=1,2,3根据张量运算的原则，就有： Р= 而 应力张量的9个分量中，