等差数列的判定与证明-通项公式法

1 (3)已知 a7＝a1＋ 7－1 －2＝18，解得 a1＝21.
先根据两个独立的条件解出两个量a1 和 d，进而再写出an 的表达式．
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5 3 1－1.已知数列{an}为等差数列，a3＝4，a7＝－4，则 a15 的
－ 值为______. 19 4
1－2.已知数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p，且 p≠q，
.
∴等差数列的通项公式为 an＝3n－5. 解法二：由 an＝am＋(n－m)d 得 a12＝a5＋(12－5)d＝a5＋7d， 即 31＝10＋7d，∴d＝3. ∴an＝a5＋(n－5)d＝10＋(n－5)×3＝3n－5. ∴等差数列的通项公式为 an＝3n－5.
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求等差数列的通项公式①确定首项a1 和 公差d，需建立两个关于a1 和d 的方程，通过解含a1 与d 的方 程求得a1 与d 的值；②直接应用公式an＝am＋(n－m)d 求解．
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2，解得 n＝6. 解：(1)由 7＝ －3＋n－1·




a1＋4d＝11 (2) 由等差数列的通项公式及已知得 a1＋7d＝5 a1＝19 d＝－2
，解得
，所以 an＝19＋(n－1)(－2)，即 an＝－2n＋21.

等差数列的判定与证明-通项公式法
ab A 2
a1＋(n－1)d
na1
n( n 1) d 2
n(a1 a2 ) 2
难点
等差数列常见的判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)； (2)等差中项：2an＋1＝an＋an＋2，证明三个数 a、b、c 成等差
a＋c 数列，一般利用等差中项证明 b＝ 2 ；
则 ap＋q＝____. 0
求等差数列的通项公式 例 2：在等差数列{an}中，已知 a5＝10，a12＝31，求它的通 项公式．
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思维突破：给出等差数列的两项，可转化为关于a1 与d 的 方程组，求得a1 与d，从而求得通项公式．
解法一：由 an＝a1＋(n－1)d 得
10＝a1＋4d 31＝a1＋11d a1＝－2 ，解得 d＝3
2－1.已知数列{an}为等差数列，且 a1＝2，a1＋a2＋a3＝12. 求数列{an}的通项公式． 解：由a1＋a2＋a3＝12，得3a2＝12，即a2＝4， ∴d＝a2－a1＝2，∴an＝2n.
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(3)通项公式为 n 的一次函数：an＝kn＋b(k、b 为常数)．
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等差数列中的基本运算
例 1：在等差数列{an}中， (1)已知 a1＝－3，d＝2，an＝7，求 n； (2)已知 a5＝11，a8＝5，求 a1、d、an；
1 (3)已知 d＝－2，a7＝18，求 a1.
思维突破：由通项公式an＝a1＋(n－1)d，在a1、d、n、an 四个量中，可由其中任意三个量求第四个量．