行列式及其应用论文

目录

1.引言 (2)

2.行列式的概念 (2)

2.1排列与逆序 (2)

2.2 n阶行列式的定义 (2)

2.3 行列式的基本性质 (3)

2.4 行列式按行（列）展开定理 (4)

2.5 重要公式与结论 (5)

2.6 范德蒙德行列式的性质 (6)

3.行列式的若干应用 (6)

3.1行列式在线性方程组中的一个应用（克拉默法则的应用） (6)

3.2行列式在初等代数中的几个应用 (7)

3.2.1用行列式分解因式 (8)

3.2.2用行列式证明不等式和恒等式 (8)

3.3.行列式在解析几何中的几个应用 (8)

3.3.1用行列式表示公式（泰勒公式的行列式表示法） (8)

3.3.2用行列式表示三角形面积 (8)

3.3.3用行列式表示直线方程 (9)

4.范德蒙德行列式的若干应用 (10)

4.1范德蒙德行列式在行列式计算中的应用 (10)

4.2范德蒙德行列式在微积分中的应用 (10)

4.3范德蒙德行列式在向量空间理论中的应用 (12)

4.4范德蒙德行列式在线性变换理论中的应用. (12)

结论 (13)

致谢 (14)

行列式及其应用

任兰兰,数学计算机科学学院

摘要:行列式是线性代数一个重要的基本工具.本文首先对行列式的相关概念做了介绍,包括行列式的定义,性质,常见公式及结论等,然后通过例题详细介绍了行列式在线性方程组,初等代数以及解析几何中的应用,以及范德蒙行列式在微积分以及向量空间等方面的应用等.文章最后对行列式及其应用做了总结.

关键词:行列式;范德蒙德行列式;克拉默法则

The Determinants and Their Applications Abstract:The determinant is one of the elementary tools in linear algebra. We first introduce the corresponding conceptions of the determinants, such as the definition, the properties, the ordinary formulas and conclusions, then we discuss in detail the applications of the determinants in linear equations, elementary algebra, and analytic geometry and so on, we also discuss the applications of the Vandermonde determinant in calculus and vector space. Finally we summarize the advantages of the determinants.

Key words:Determinant; Vandermonde determinant; Cramer rule

1.引言

行列式是研究数学问题的重要工具之一,行列式的运算使问题的解决变得简单,让我们首先来介绍行列式有关的重要概念,定理,公式及其性质.其次我们介绍行列式的若干应用.

2.行列式的概念

2.1排列与逆序

定义1 n 级排列:由n 个自然数1,2,,n 组成的一个无重复的有序数组12n i i i 称为一个n 级排列,n 级排列共有!n 个.

定义2 逆序:在一个n 级排列中,如果一个较大的数排在一个较小数之前,就称这两个数构成一个逆序,一个排列中逆序的总数,称为这个排列的逆序数.用12()n i i i τ或τ表示排列12n i i i 的逆序数.

如果排列12n i i i 的逆序数为偶数,则称它为偶排列.如果排列的逆序数为奇数,则称它为奇排列.

定义3 对称:排列12

n i i i 中,交换任意两数t i 与s i 的位置,称为一次对换.对换

改变排列的奇偶性.任何一个排列都可经过若干次对换变成自然顺序,并且所作对换的次数与这个排列有相同的奇偶性.

例2.1.1 求下列排列的逆序数,并确定它们的奇偶性

(1)53214;(2)(1)321n n -⨯⨯;(3)135(21)246(2)n n - 解 （1）(53214)=4+2+1+0=7τ为奇排列.

（2）(1)

((1)321)=(n-1)+(n-2)++2+1=2

n n n n τ--⨯⨯

由于(1)2

n n -的奇偶性需根据n 而定,故讨论如下：

当4n k =时,(1)2(41)2n n k k -=-是偶数;当41n k =+时,(1)

2(41)2

n n k k -=+是偶数;

当42n k =+时,(1)

(21)(41)2

n n k k -=++是奇数;当43n k =+时,

(1)

(21)(43)2

n n k k -=++是奇数. 综上所述,当4n k =或41n k =+时,此排列为偶排列;当42n k =+或43k +时, 此排列为奇排列,其中k 为任意非负整数.

（3）该排列中前n 个数1,3,5,,(21)n -之间不构成逆序,后n 个数2,4,6,,2n 之间也不构成逆序,只有前n 个数与后n 个数之间才构成逆序.

(1)

(135(21)246(2))012(1)2

n n n n n τ--=++++-=,

奇偶性情况与（2）完全一样. 2.2 n 阶行列式的定义

由2n 个元素(,1,2,,)ij a i j n =组成的记号