初三中考数学函数综合题汇总情况(最新整理)

合集下载

初三中考数学函数综合题附答案

初三中考数学函数综合题附答案一、单选题1．函数32x y x +=-中，自变量x 的取值范围是（） A ．3x >-B ．3x ≥-且2x ≠C ．2x ≠D ．3x >-且2x ≠2．直线23y x =-可由直线2y x =（）平移得到．A ．向上平移3个单位B ．向下平移3个单位C ．向上平移2个单位D ．向下平移2个单位 3．若点()2,1P a a +-在第二象限，则a 的取值范围是（） A ．21a -<<B ．1a <C ．2a >-D ．2a <-4．已知正比例函数2y x =-，点()2,A m 、()3,B n 都在该函数图象上，则m n -的值是（） A ．-2B ．-1C ．1D ．25．已知一次函数y kx b =+的图象如图示，则k ，b 的取值范围是（）A ．0,0k b <>B ．0,0k b <<C ．0,0k b >>D ．0,0k b >< 6．在直角坐标系的x 轴的负半轴上，则点P 坐标为（）A ．()4,0-B ．()0,4C ．()0,3-D ．()1,07．在同一直角坐标系中，函数y =ax −a 与y =ax(a ≠0)的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．一次函数y =5x -10的图象与x 轴的交点坐标是（） A ．()0,10-B ．()0,10C ．()2,0D ．()5,09．如图，(4,0)A ，(1,0)C -，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（）A ．(0,3)B ．(3,0)C ．(0,6)D ．(6,0)10．把抛物线22y x =向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线是（） A ．2235y xB ．()2235y x =++ C ．2235yxD ．2235yx11．已知y =kx +b ，当x =2时，y =-2；当x =3时，y =0．则（） A ．k =2，b =-6 B ．k =-6，b =2 C ．k =-2，b =6D ．k =-2，b =-612．若点()2,3是反比例函数ky x=图象上一点，此函数图象必须经过点（） A ．()3,2- B ．()2,3- C ．()1,6-- D ．()1,6- 13．一次函数32y x =-的图象不可能经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．在直角坐标平面内，把二次函数2(1)y x =+的图像向左平移2个单位，那么图像平移后的函数解析式是（）． A ．2(1)2y x =+- B ．2(1)y x =-C ．2(1)2y x =++D ．2(3)y x =+15．二次函数2y 2(x 1)3=-+图象的顶点坐标是（）A ．()1,3-B ．()1,3C ．()1,3-D ．()1,3--二、填空题16．函数y =－2x +3的图象经过点(4，____)．17．若将函数2y x =-的图象向上平移3个单位，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为 __．18．已知y 是x 的一次函数，则函数()314y x =+-的图象在y 轴上的截距为______． 19．已知经过点（0，2）的直线y ＝ax +b 与直线y ＝12x +1平行，则a ＝______，b ＝______．20．二次函数()2215y x =-++的最大值是______．三、解答题21．已知二次函数24y x x k =-+的图象的顶点在x 轴下方，求实数k 的取值范围． 22．已知抛物线y ＝－（x －m ）2＋1与x 轴的交点为A ，B （B 在A 的右边），与y 轴的交点为C ．(1)写出m ＝1时与抛物线有关的三个正确结论．(2)当点B 在原点的右边，点C 在原点的下方时，是否存在△BOC 为等腰三角形的情形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． (3)请你提出两个对任意的m 值都能成立的正确命题． 23．已知抛物线2y ax 2x c =++经过点()1,0和点()3,0-(1)填空：=a _______，c =_______．(2)如果直线2y x k =-+与此抛物线有且只有一个交点，求k 的值和该交点的坐标； (3)将该抛物线x 轴下方部分沿x 轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象，该图象记为M ，若直线2y x n =-+与图象M 有两个交点，求n 的取值范围． 24．已知二次函数y ＝x 2－2x ＋a 过点（2，2）． (1)求二次函数解析式及图象的对称轴；(2)当n ≤x ≤2时（n 为常数），对应的函数值y 的取值范围是1≤y ≤10，试求n 的值．25．已知函数()21y x m x m =+++（m 为常数），问：(1)无论m 取何值，该函数的图像总经过x 轴上某一定点，该定点坐标为______； (2)求证：无论m 为何值，该函数的图像顶点都在函数()21y x =-+图像上：(3)若抛物线()21y x m x m =+++与x 轴有两个交点A 、B ，且14m <≤，求线段AB 的最大值．【参考答案】一、单选题 1．B 2．B 3．D 4．D 5．D 6．A 7．D 8．C 9．A 10．D 11．A 12．C 13．B 14．D 15．B 二、填空题 16．-517．23y x =-+##y =3-2x 18．-1 19． 12 2 20．5三、解答题21．k <4 【解析】【分析】将二次函数一般式改为顶点式，即得出其顶点坐标．再根据图象的顶点在x 轴下方，即顶点纵坐标小于0，可列出关于k 的不等式，解出k 即可．【详解】将24y x x k =-+改为顶点式为：2(2)4y x k =--+， ∴其顶点坐标为(2，k -4)． ∵顶点在x 轴下方， ∴k -4<0， ∴k <4．【点睛】本题考查抛物线顶点与x 轴的位置关系．根据二次函数解析式得出其顶点坐标是解题关键．22．(1)抛物线的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴的两个交点为（0，0），（2，0），抛物线开口向下 (2)存在，2(3)无论m 为何值，函数的始终有最大值1；无论m 为何值，函数始终与x 轴有两个不同的交点【解析】【分析】（1）当m =1时，y =-（x -1）2+1，根据()2y a x h k =-+的性质写出三个结论即可；（2）求得C （0，1-m 2），根据点B 在原点的右边，点C 在原点的下方，可得m ＞1，根据等腰三角形的性质可得1+m =m 2-1，解方程求解即可；（3）根据()2y a x h k =-+的性质，可知无论m 为何值，函数的始终有最大值1；无论m 为何值，函数始终与x 轴有两个不同的交点． (1)解：当m =1时，y =-（x -1）2+1， ∴抛物线的对称轴为直线x =1，令0y =，-（x -1）2+1=0，解得120,2x x ==，抛物线与x 轴的两个交点为（0，0），（2，0），抛物线开口向下； (2)存在，理由如下：令x =0，则y =1-m 2， ∴C （0，1-m 2），令y =0，则x =1+m 或x =m -1， ∴B （1+m ，0），∵点B 在原点的右边，点C 在原点的下方， ∴1+m ＞0，1-m 2＜0， ∴m ＞1，∵△BOC 为等腰三角形， ∴1+m =m 2-1，解得m =2或m =-1（舍）， ∴m =2； (3)无论m 为何值，函数始终有最大值1；无论m 为何值，函数始终与x 轴有两个不同的交点．【点睛】本题考查了()2y a x h k =-+的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，二次函数与坐标轴交点问题，掌握()2y a x h k =-+的性质是解题的关键． 23．(1)13-， (2)k =-7；（-2，-3） (3)n >3或-6<n <2 【解析】【分析】（1）把点()1,0和点()3,0-代入2y ax 2x c =++，即可求解；（2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得k =-7，再联立两函数解析式，即可求出交点坐标；（3）根据题意可得将该抛物线x 轴下方部分沿x 轴翻折，翻折后得到的新抛物线的解析式为223(31)y x x x =--+-≤≤，由2232y x x y x n ⎧=--+⎨=-+⎩可得再由直线2y x n =-+与图象M 有两个交点，可得n >3，再把点（1，0）和点（-3，0）分别代入2y x n =-+，可得当-6<n <2时，2y x n =-+与M 有两个交点，即可求解． (1)解：把点()1,0和点()3,0-代入2y ax 2x c =++，得：02096a ca c =++⎧⎨=-+⎩，解得：13a c =⎧⎨=-⎩，故答案为：1，-3； (2)解：根据题意得：2232y x x y x k ⎧=+-⎨=-+⎩，∴24(3)0x x k +-+=， ∴164(3)0k ∆=++=， ∴k =-7，解方程组22327y x x y x ⎧=+-⎨=--⎩，得：23x y =-⎧⎨=-⎩，∴交点的坐标为（-2，-3）； (3)解：根据题意得：将该抛物线x 轴下方部分沿x 轴翻折，翻折后得到的新抛物线的解析式为223(31)y x x x =--+-≤≤，由2232y x x y x n⎧=--+⎨=-+⎩，得：230x n +-=，当()2Δ40430b ac n =-=--=时，解得：n ＝3，即当n >3时，2y x n =-+与M 有两个交点，把点（1，0）代入2y x n =-+，得：n =2，把点（-3，0）代入2y x n =-+，得：n =-6，即-6<n <2时，2y x n =-+与M 有两个交点，综上所述，若直线2y x n =-+与M 有两个交点，n >3或-6<n <2．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的折叠问题，熟练掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键． 24．(1)y ＝x 2﹣2x ＋2，x ＝1 (2)﹣2 【解析】【分析】把已知点代入函数解析式，再整理为顶点式；根据自变量的取值范围，求对应的函数值判断n 的取值． (1)解：把（2，2）代入22y x x a =﹣＋，解得a ＝2． ∴二次函数解析式为222211y x x x ==﹣＋（﹣）＋． ∴对称轴为x ＝1． (2)由（1）可知1y ≥． ∵2n x ≤≤时，110y ≤≤， ∵当x ＝2时，210y =<， ∴只有当x ＝n 时，y ＝10，即22210n n =﹣＋，解得：122,4n n =-=（舍去），所以n ＝﹣2．【点睛】本题考查二次函数的图象的对称性与性质，熟练解析式之间的不同形式的化简是基本能力；解题关键是理解二次函数图象的对称性，函数值确定时对应两个自变量的值． 25．(1)()1,0- (2)见解析(3)线段AB 的最大值为3 【解析】【分析】（1）令0y =，()210x m x m +++=，可得1x m ，21x =-，即可求解；（2）先求出函数()21y x m x m =+++的顶点坐标为()211,24m m ⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭，再代入()21y x =-+，即可求证；（3）先求出1AB m =-，然后令线段AB 的长度为z ，则1z m =-，再由14m <≤，可得到1z m =-，再根据一次函数的增减性，即可求解． (1)解：令0y =，()210x m x m +++=，解得：1x m ，21x =-，∴无论m 取何值，该函数的图像总经过x 轴上的点()1,0-； (2)证明：∵()()22211124m m y x m x m x -+⎛⎫=+++=+- ⎪⎝⎭， ∴函数()21y x m x m =+++的顶点坐标为()211,24m m ⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴当12m x +=-时，()2211124m m y -+⎛⎫=--+=-⎪⎝⎭， ∴无论m 为何值该函数图像的顶点都在()21y x =-+图像上； (3)解：令0y =，()210x m x m +++=，解得：1x m ，21x =-，∴()11AB m m =---=-，令线段AB 的长度为z ，则1z m =-，因为14m <≤，所以1z m =-，因为z 随m 增大而增大，所以当4m =时，3z =，故线段AB 的最大值为3．【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的性质，二次函数与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．。

中考数学专题三函数综合问题(一次函数+反比例函数)(解析版全国适用)

函数的综合问题（一次函数+反比例函数）一、以一次函数为背景的综合问题例题（2021·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校二模）如图.在平面直角坐标系中.点O 为坐标原点.直线y ＝﹣34x +3分别交x 轴.y 轴于点A .B ．∠OBA 的外角平分线交x 轴于点D ．（1）求点D 的坐标.（2）点P 是线段BD 上的一点（不与B .D 重合）.过点P 作PC ∠BD 交x 轴于点C ．设点P 的横坐标为t .∠BCD 的面积为S .求S 与t 之间的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）.（3）在（2）的条件下.PC 的延长线交y 轴于点E .BC 的延长线交DE 于点F .连AP .若sin∠BAP 10求线段OF 的长．【答案】（1）(6,0)-.（2）154584S t =+.（332 【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质定理和等面积法解题.（2）求面积先求底和高.利用三角形相似二次求解.（3）先根据BAP ∠的正弦值求出点P 的位置.再根据题目的顺序求出点F 的坐标.最后求OF 的长度．【详解】解：（1）过点D 作DH AB ⊥于点H .则：DH DO =.BH BO =.当0x =时.3y =.当0y =时.4x =.(4,0)A ∴.(0,3)B -.4∴=OA .3BO BH ==.2222435AB OA OB ∴++=.4AD DO OA DH =+=+.1122ABD S AD OB AB DH ∆=⋅⋅=⋅⋅. ∴11(4)3522DH DH ⋅+⋅=⋅⋅.解得：6DH =.6OD ∴=.∴点D 的坐标为(6,0)-．（2）过点P 作PE OD ⊥于点E .则：DPE DBO ∆∆∽.点P 在直线BD 上.且点P 的横坐标为t .6DE t ∴=+.6OD =.3OB =.22226335BD OD OB ∴=++DPE DBO ∆∆∽. ∴DP DE DB OB =. 6635t +=. 解得：56)DP t +. PC BD ⊥. PDC ODB ∴∆∆∽. ∴PC DP OB OD=. ∴56)236t PC +=. 56)PC t ∴=+. 11515356)228S BD PC t t ∴=⋅⋅=⋅+=．（3）过点P 作PM AB ⊥于点M .作PN OB ⊥于点N .则：PM PN =.BM BN =.设直线BD 的解析式为：(0)y kx b k =+≠.把(6,0)D -.(0,3)B 代入y kx b =+.得：360b k b =⎧⎨-+=⎩.解得：0.53k b =⎧⎨=⎩．点P 在直线BD 上.且点P 的横坐标为t .(,0.53)P t t ∴+.PM t ∴=-.3(0.53)0.5BM t t =-+=-.0.55AM MB AB t ∴=+=-+.10sin MP BAP AP ∠=. ∴10t AP -=. 10AP t ∴=-.222AM PM AP +=.22()2(0.55)(10t t t ∴-+-+=-.解得：12t =-.2107t =（舍).(2,2)P ∴-. PE BD ⊥.PD ∴所在直线的k 为2-.设:2PE y x a =-+.把点(2,2)P -代入.得：2(2)2a -⨯-+=.2a ∴=-.:22PE y x ∴=--.当0x =时.2y =-.0y =时.1x =-.(1,0)C ∴-.(0,2)E -.设:(0)DE y mx n m =+≠.把点(6,0)D -.(0,2)E -代入.得：602m n n -+=⎧⎨=-⎩.解得：132m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 1:23DE y x ∴=--①. 设:(0)BC y bx c b =+≠.把(0,3)B .(1,0)C -代入.得：30c b c =⎧⎨-+=⎩.解得：33b c =⎧⎨=⎩. :33BC y x ∴=+②.联立①②.解得：3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 223332()()22OF ∴-+-【点睛】本题是一个综合应用题.考查了学生对角平分线的性质定理、三角形相似的性质与判定、一次函数的应用、解直角三角形等知识点的掌握情况.解题的时利用相关知识求出关键线段和点是解题的关键．练习题1．（2021·吉林双阳·二模）如图.在平面直角坐标系中.两条直线分别为y ＝2x .y ＝kx .且点A 在直线y ＝2x 上.点B 在直线y ＝kx 上.AB ∠x 轴.AD ∠x 轴.BC ∠x 轴垂足分别为D 和C .若四边形ABCD 为正方形时.则k ＝（）A ．14B ．12C ．23 D ．2【答案】C【解析】【分析】设(),2A x x .根据正方形的性质可得()3,2B x x .将()3,2B x x 代入y kx =中.即可求出k 的值．【详解】解：设(),2A x x∠四边形ABCD 为正方形∠,AD BC AB CD ==()3,2B x x ∴将()3,2B x x 代入y kx =中23x kx = 解得23k =故选：C ．【点睛】此题考查了一次函数的几何问题.解题的关键是掌握一次函数的解析式以及性质、正方形的性质．2．（2021·山东槐荫·二模）如图.点B .C 分别在直线y ＝2x 和直线y ＝kx 上.A 、D 是x 轴上两点.若四边形ABCD 是长方形.且AB ：AD ＝1：3.则k 的值是（）A ．23B ．25C ．27D ．29【答案】C【解析】【分析】设点B 的坐标为（m .2m ）.结合矩形的性质可得出OA .AB .CD 的长.由AB ：AD ＝1：3可得出AD 的长.结合OD ＝OA +AD 可求出OD 的长.进而可得出点C 的坐标.再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出k 值．【详解】解：设点B 的坐标为（m .2m ）.CD ＝AB ＝2m .OA=m∠AB ：AD ＝1：3.∠AD ＝3AB ＝6m .∠OD ＝OA +AD ＝7m .∠点C 的坐标为（7m .2m ）．∠点C 在直线y ＝kx 上.∠2m ＝7km . ∠2k 7=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式.用字母表示出点C 的坐标是解题的关键. 3．（2021·山东广饶·二模）如图.在平面直角坐标系xOy 中.菱形OABC 满足点O 在原点.点A 坐标为（2.0）.∠AOC ＝60°.直线y ＝﹣3x ＋b 与菱形OABC 有交点.则b 的取值范围是___．【答案】093b ≤≤039b ≤≤【解析】【分析】作CM ∠OA 于点M .BN ∠OA 于点N .求出B 的坐标.然后代入一次函数解析式中.求出b 的最大值.再将原点代入一次函数解析式中求出b 的最小值即可．【详解】解：作CM ∠OA 于点M .BN ∠OA 于点N .∠∠AOC =60°.∠CMO =90°.∠OM ＝12OC .∠在菱形OABC 中.A （2.0）.∠OC =OA =2=CB .∠OM =1.∠CM 2222213OC OM --＝＝.∠C 3∠B 的横坐标为3.∠OA ∠CB .∠BN =CM 3∠B 3即B 3当y =-3x +b 过O （0.0）时.b 最小.最小值为0.当y =-3x +b 过B 3时.b 最大.把B 3代入y =-3x +b .解得：b 3∠b 的取值范围为：0⩽b 3故答案为：0⩽b 3．【点睛】本题考查了菱形的性质和待定系数法.关键是求出点B 的坐标.4．（2021·湖北阳新·模拟预测）如图.直线AB 的解析式为y ＝﹣x +b 分别与x .y 轴交于A .B 两点.点A 的坐标为（3.0）.过点B 的直线交x 轴负半轴于点C .且31OB OC =：：.在x 轴上方存在点D .使以点A .B .D 为顶点的三角形与△ABC 全等.则点D 的坐标为_____．【答案】（4.3）或（3.4）【解析】【分析】求出B C 、的坐标.分BD 平行x 轴.BD 不平行x 轴两种情况.求解计算即可．【详解】解：将点A 的坐标代入函数表达式得：0＝﹣3+b .解得：b ＝3∠直线AB 的表达式为：y ＝﹣x +3.∠点B （0.3）∠OB ：OC =3：1∠OC ＝1.∠点C （﹣1.0）.①如图.当BD 平行x 轴时.以点A B D 、、为顶点的三角形与ABC 全等.则四边形BDAC 为平行四边形则BD ＝AC ＝1+3＝4.则点D （4.3）.②当BD 不平行x 轴时.则S △ABD ＝S △ABD ′.则点D 、D ′到AB 的距离相等.∠直线DD ′∠AB .设直线DD ′的表达式为：y ＝﹣x +n .将点D 的坐标代入y ＝﹣x +n 中解得：n ＝7.∠直线DD ′的表达式为：y ＝﹣x +7.设点D ′（m .7﹣m ）.∠A .B .D′为顶点的三角形与∠ABC 全等.则BD ′＝BC ()2221+373m m +--解得：m ＝3.故点D ′（3.4）.故答案为：（4.3）或（3.4）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征.三角形全等.平行线的性质.勾股定理等知识．解题的关键与难点在于分情况求解．5．（2021·广东深圳·三模）定义：如图1.已知锐角∠AOB 内有定点P .过点P 任意作一条直线MN .分别交射线OA .OB 于点M .N ．若P 是线段MN 的中点时.则称直线MN 是∠AOB 的中点直线．如图2.射线OQ 的表达式为y ＝2x （x ＞0）.射线OQ 与x 轴正半轴的夹角为∠α.P （3.1）.若MN 为∠α的中点直线.则直线MN 的表达式为__________________．【答案】y ＝﹣12x +52【解析】【分析】作MD ∠x 轴于D .PE ∠x 轴于E .则//PE MD .设M （m .2m ）.由题意得PE ＝m .由P （3.1）求得m ＝1.即可求得N （5.0）.然后根据待定系数法即可求得直线MN 的解析式．【详解】解：如图.作MD ∠x 轴于D .PE ∠x 轴于E .则//PE MD .∠P 为MN 的中点.//PE MD ∠1DE MP EN PN== ∠DN=EN .即E 为DN 中点.∠PE 是MDN △中位线∠PE ＝12MD .∠M 是射线OQ 上的点.∠设M （m .2m ）.∠MD ＝2m . ∠PE ＝12MD ＝m . ∠P （3.1）. ∠m =1,OE =3 ∠M （1.2）∠OD =1.则DE =OE -OD =2 ∠EN =DE =2 ∠ON =OE +EN =5 ∠N （5.0）.设直线MN 的解析式为y ＝kx +b .把P （3.1）.N （5.0）代入得3150k b k b +=⎧⎨+=⎩. 解得1252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∠直线MN 的解析式为y ＝﹣12x +52. 故答案为：y ＝﹣12x +52．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式.正比例函数图象上点的坐标特征.三角形中位线定理.求得N 的坐标是解题的关键．6．（2021·山东·济宁学院附属中学一模）如图.在平面直角坐标系xOy 中.ABCO 的顶点A .B 的坐标分别是(6,0)A .(0,4)B ．直线l 经过坐标原点.并与AB 相交于点D ．(1)直接写出C 点的坐标______．(2)若DOA BOC ∠=∠.试确定点D 的坐标及直线l 的解析式．(3)在（2）的条件下.动点P 在直线l 上运动.以点P 为圆心.PB 的长为半径的P 随点P运动.当P 与ABCO 的边相切时.求出P 的半径．【答案】(1)(6,4)- (2)D 点坐标为2436(,)1313.直线l 的解析式为32y x = (3)4213935-935+【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质和A 点坐标推出线段BC 长度.求解.（2）先证DOA △与BOC 相似.求出AD 长度.再由AHD 与BOC 相似.求出AH 、HD 长度.进而求出D 点坐标.代入直线l 的解析式即可.（3）分P 与BC 、OC 、OA 、AB 相切四种情况讨论.画出图形逐个求解． (1)解：四边形ABCD 是平行四边形.A 点坐标为(6,0)∴OA =BC =6B 点坐标为(0,4)∴C 点坐标为(6,4)-(2)如图1.过D 点作DH ⊥OA 于H 点C 点坐标为(6,4)-∴222246213OC OB BC ++四边形ABCD 是平行四边形∴A C ∠=∠DOA BOC ∠=∠∴DOA BOC △△ ∴AD OABC OC=.即6213AD =解得13AD =90CBO BOA ∠=∠=.90DHA ∠=.A C ∠=∠∴AHD CBO △△∴AH HD AD BC OB OC==.即1364213AH HD ==解得5413AH =.3613HD = ∴2413OH OA AH =-= ∴ D 点坐标为2436(,)1313设直线l 的解析式为y kx =.代入D 点坐标得36241313k = 解得32k∴直线l 的解析式为32y x =(3)由（2）知DOA BOC △△∴90ODA CBO ∠=∠=.即l AB ⊥ ∴OP AB ⊥又AB OC ∥OP OC ⊥设3(,)2P x x①当P 与BC 相切时.如图2动点P 在直线32y x =上 ∴P 与O 点重合.此时圆心P 到BC 的距离为OB ∴P 的半径是4.②当P 与OC 相切时.作PE y ⊥轴于E .如图3P 的半径是PB∴OP PB =.OPB △是等腰三角形 ∴EB OE =∴P 点的纵坐标为1422⨯=在32y x =中令2y =.解得43x = ∴P 点坐标为4(,2)3∴224213()23OP =+∴P 213③当P 与OA 相切时.作PF x ⊥轴于F .如图4P 的半径是PB∴PF PB = ∴2233(4)22x x x =-+解得625x =+625-代入到32y x =中得P 点的坐标为(65,935)++或(625,935)--∴935PF =-935+∴P 的半径是935-935+④当P 与AB 相切时.如图5由直线l AB ⊥知.PD PB ≠.即不存在以PB 的长为半径的P 与OA 相切∴此种情况的P 不存在.综上所述.满足条件的P 的半径为4213935-935+【点睛】本题考查平行四边形性质、一次函数性质、相似三角形判定与性质、圆与直线相切等知识点.属于综合型题目.难度较大.熟悉掌握并运用基本知识点.分情况讨论圆与平行四边形相切是解题关键.考虑不全时容易出现漏解．7．（2022·辽宁·东北育才实验学校模拟预测）如图.已知直线l 1：y ＝2833x +与直线l 2：y＝﹣2x +16相交于点C .l 1、l 2分别交x 轴于A 、B 两点．矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线l 1、l 2上.顶点F 、G 都在x 轴上.且点G 与点B 重合．(1)求∠ABC 的面积.(2)求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长.(3)若矩形DEFG 从原地出发.沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移.设移动时间为t （0≤t ≤12）秒.矩形DEFG 与∠ABC 重叠部分的面积为S.直接写出S 关于t 的函数关系式.并写出相应的t 的取值范围．【答案】(1)36 (2)DE ＝4.EF ＝8(3)当0≤t ＜3时.S ＝−241644333t t ++.当3≤t ＜8时.S ＝−88033t +.当8≤t ≤12时.S ＝13t 2−8t ＋48【解析】【分析】（1）把y ＝0代入l 1解析式求出x 的值便可求出点A 的坐标．令x ＝0代入l 2的解析式求出点B 的坐标．然后可求出AB 的长．联立方程组可求出交点C 的坐标.继而求出三角形ABC 的面积．（2）已知xD ＝xB ＝8易求D 点坐标．又已知yE ＝yD ＝8可求出E 点坐标．故可求出DE .EF 的长．（3）作CM ∠AB 于M .证明Rt ∠RGB ∠Rt ∠CMB 利用线段比求出RG ＝2t ．又知道S ＝S △ABC −S △BRG −S △AFH .根据三角形面积公式可求出S 关于t 的函数关系式． (1)解：由2833x +＝0.得x ＝−4．∠A 点坐标为（−4.0）. 由−2x ＋16＝0. 得x ＝8．∠B 点坐标为（8.0）. ∠AB ＝8−（−4）＝12.由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩ .解得56x y =⎧⎨=⎩ . ∠C 点的坐标为（5.6）.∠S △ABC ＝12AB •yC ＝12×12×6＝36． (2)∠点D 在l 1上且xD ＝xB ＝8. ∠yD ＝23×8＋83＝8. ∠D 点坐标为（8.8）. 又∠点E 在l 2上且yE ＝yD ＝8. ∠−2xE ＋16＝8. ∠xE ＝4.∠E 点坐标为（4.8）. ∠DE ＝8−4＝4.EF ＝8． (3)①当0≤t ＜3时.如图1.矩形DEFG 与∠ABC 重叠部分为五边形CHFGR （t ＝0时.为四边形CHFG ）．过C 作CM ∠AB 于M .则Rt ∠RGB ∠Rt ∠CMB . ∠BG RG BM CM = .即36t RG= . ∠RG ＝2t .同理Rt ∠AFH ∠Rt ∠AMC . ∠AF HFAM CM= . 由（1）知()()5,6,4,0C A - . ∠459,6AM CM =--== .∠896t HF-= . ∠()283HF t =- . ∠S ＝S △ABC −S △BRG −S △AFH ＝36−12×t ×2t −12（8−t ）×23（8−t ）.即S ＝−241644333t t ++ ． ②当3≤t ＜8时.如图2所示.矩形DEFG 与∠ABC 重叠部分为梯形HFGR .由①知.HF ＝23（8−t ）.∠Rt ∠AGR ∠Rt ∠AMC . ∠RG AG CM AM = .即1269RG t-= . ∠RG ＝23（12−t ）.∠S ＝12（HF ＋RG ）×FG ＝12×[23（8−t ）＋23（12−t ）]×4. 即S ＝−88033t +. ③当8≤t ≤12时.如图3所示.矩形DEFG 与∠ABC 重叠部分为∠AGR . 由②知.AG ＝12−t .RG ＝23（12−t ）.∠S ＝12AG •RG ＝12（12−t ）×23（12−t ）即S ＝13（12−t ）2. ∠S ＝13t 2−8t ＋48．【点睛】本题属于大综合题目.主要考查的知识点有一次函数、二次函数、方程组与平移、三角形的面积、三角形的相似等知识点．解决本题的关键是理顺各知识点间的关系.还要善于分解.化整为零.各个击破．8．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学一模）如图.直线483y x =-+分别与x 轴.y 轴相交于点A .点B .作矩形ABCD .其中点C .点D 在第一象限.且满足AB ∠BC ＝2∠1．连接BD ．（1）求点A .点B 的坐标．（2）若点E 是线段AB （与端点A 不重合）上的一个动点.过E 作EF ∠AD .交BD 于点F .作直线AF ．①过点B 作BG ∠AF .垂足为G .当BE ＝BG 时.求线段AE 的长度．②若点P 是线段AD 上的一个动点.连结PF .将∠DFP 沿PF 所在直线翻折.使得点D 的对应点D 落在线段BD 或线段AB 上．直接写出线段AE 长的取值范围．【答案】（1）A （6.0）.B （0.8）.（2）①4.②02AE <≤555-5AE ≤≤ 【解析】【分析】（1）分别令483y x =-+中x =0、y =0.求出与之对应的y 、x 值.由此即可得出点A .点B 的坐标.（2）①由题意证()BEF BGF HL ∆≅∆.得出AF ＝AD .设BE ＝x .EF ＝0.5x .AE ＝10－x .即可求出线段AE 的长度.② D 在线段AB 上时：（考虑以F 为圆心的圆与AB 相交的情况）.分情况讨论即可．【详解】（1）令483y x =-+中x =0.则y =8.()0,8B ∴.令483y x =-+中y =0.则x =6.()6,0A ∴.（2）①由BE ＝BG . BF BF ∴=.()BEF BGF HL ∴∆≅∆.∠BDA ＝∠BFE ＝∠BFG ＝∠AFD .可得：AF ＝AD . 6,8OA OB ==.22226810AB OA OB ∴++=.又 AB ∠BC ＝2∠1.5BC AD ∴==.5AF ∴=.设BE ＝x .EF ＝0.5x .AE ＝10－x . 在Rt △AEF 中：222(10)(0.5)5x x -+=. 可得x ＝6.AE ＝4.②当D 在BD 上时. 当P 与A 重合时.AE 最长. 即AF BD ⊥时.AE 最长.AFD BFA BAD ∆∆∆.12DE AF AD AF BF AB ===. 14DF BF ∴=. //EF AD .14AE DF EB FB ∴==. 15AE AB ∴=. ∴当02AE <≤时.可把D 翻折到BD 上.当D 在线段AB 上时：当DP ＝D P 时.D 与A 重合. PF 为AD 中垂线.PF 为BAD ∆中位线. AE ＝5.（若此时E 再上移.以F 为圆心.FD 为半径作圆.与AB 不会有交点.所以=5AE 最大）.当FE ＝FD 时：D 与 E 重合.设,EF FD x ==则2BE x =.5,102BF x AE x =-.由55BF FD +=.555x x +=.55255551x -∴=+.2555555102AE --∴=-=即555AE -=最小 ∴当D 在AB 上时555-5AE ≤≤．综上.02AE <≤555-5AE ≤≤．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质和勾股定理.解题关键是理解题意.熟练掌握相关性质．9．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图.平面直角坐标系中.O 是坐标原点.直线15(0)y kx k =+≠经过点()3,6C .与x 轴交于点A .与y 轴交于点B ．线段CD 平行于x 轴.交直线34y x =于点D .连接OC .AD ．（1）填空：k = __________．点A 的坐标是（__________.__________）. （2）求证：四边形OADC 是平行四边形.（3）动点P 从点O 出发.沿对角线OD 以每秒1个单位长度的速度向点D 运动.直到点D 为止.动点Q 同时从点D 出发.沿对角线OD 以每秒1个单位长度的速度向点O 运动.直到点O 为止．设两个点的运动时间均为t 秒． ①当1t =时.CPQ 的面积是__________．②当点P .Q 运动至四边形CPAQ 为矩形时.请直接写出此时t 的值．【答案】（1）3-.5.0.（2）见解析.（3）①12.②510510 【解析】【分析】（1）代入C 点坐标即可得出k 值确定直线的解析式.进而求出A 点坐标即可. （2）求出AD 点坐标.根据CD OA =.//CD OA .即可证四边形OADC 是平行四边形. （3）①作CH OD ⊥于H .设出H 点的坐标.根据勾股定理计算出CH 的长度.根据运动时间求出PQ 的长度即可确定CPQ ∆的面积.②根据对角线相等确定PQ 的长度.再根据P 、Q 的位置分情况计算出t 值即可．【详解】解：（1）直线15(0)y kx k =+≠经过点(3,6)C .3156k ∴+=. 解得3k =-.即直线的解析式为315y x =-+.当0y =时.5x =.(5.0)A ∴.（2）线段CD 平行于x 轴.D ∴点的纵坐标与C 点一样.又D 点在直线34y x =上.当6y =时.8x =. 即(8,6)D .835CD ∴=-=.5OA =.OA CD ∴=. 又//OA CD .∴四边形OADC 是平行四边形.（3）①作CH OD ⊥于H .H 点在直线34y x =上.∴设H 点的坐标为3(,)4m m .2223(3)(6)4CH m m ∴=-+-.2223(8)(6)4DH m m =-+-.由勾股定理.得222CH DH CD +=.即2222233(3)(6)(8)(6)544m m m m -+-+-+-=.整理得245=m 或8（舍去）. 3CH ∴=.228610OD =+=.∴当1t =时.10118PQ OD t t =--=--=. 11831222CPQ S PQ CH ∆∴=⋅=⨯⨯=. ②10OD =.当05t 时.102PQ t =-. 当510t 时.210PQ t =-.当点P .Q 运动至四边形CPAQ 为矩形时.PQ AC =.22(53)6210AC =-+当05t 时.102210t -=解得510t =当510t 时.210210t -=. 解得510t =综上.当点P .Q 运动至四边形CPAQ 为矩形时t 的值为510510 【点睛】本题主要考查一次函数的性质.熟练掌握待定系数法求解析式.平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．10．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校模拟预测）直线y kx k =+与x 轴交于A .与y 轴交于C 点.直线BC 的解析式为1y x k k=-+.与x 轴交于B ．（1）如图1.求点A 的横坐标.（2）如图2.D 为BC 延长线上一点.过D 作x 轴垂线于点E .连接CE .若CD CA =.设ACE 的面积为S .求S 与k 的函数关系式.（3）如图3.在（2）的条件下.连接OD 交AC 于点F .将CDF 沿CF 翻折得到△FCG .直线FG 交CE 于点K .若345ACE CDO ∠-∠=︒.求点K 的坐标．【答案】（1）1-.（2）211(0)22S k k k =-≠.（3）459(,)1717-．【解析】【分析】（1）令0y =.求x .（2）过点D 作y 轴的垂线.先证明90ACB ∠=︒.再由K 型全等.得E 点坐标.即可求出S 与k 的函数关系式.（3）由等腰直角三角形和四点共圆把已知条件转化为简单的等量关系.得出2DOE ADE ∠=∠.再利用垂直平分线性质构造2ADE AME ∠=∠.通过解直角三角形求出求出k 的值.再求点K 的坐标．【详解】解：（1）∠直线y kx k =+与x 轴交于A .与y 轴交于C 点.∠当0x =时.y k =.当0y =时.0kx k +=.得：1x =-.∠(0,)C k .(1,0)A -. ∠点A 的横坐标为1-．（2）过点D 作DH y ⊥轴于点H .∠DH OH ⊥.CO AO ⊥. ∠DHC COA ∠=∠. ∠90HDC DCH ∠+∠=︒.对直线BC ：当0x =时.y k =.当0y =时.2x k =.∠()2,0B k .∠2OB k =. ∠1OA OC k =.21OC k OB k k==. 又∠90AOC COB ∠=∠=︒. ∠AOC COB △∽△. ∠OAC OCB ∠=∠. ∠90OAC OCA ∠+∠=︒. ∠90OCBOCA.即：90ACB ∠=︒.∠AC BD ⊥.90DCA ∠=︒. ∠90DCH ACO ∠+∠=︒. ∠HDC OCA ∠=∠. 又∠DC CA =.∠()DHC COA AAS △≌△. ∠DH OC =.CH AO =. ∠(1,0)A -.(0,)C k .∠1CH OA ==.DH CO k ==. ∠(,0)E k -.(,1)D k k -+. ∠1()1AE k k =---=-+.∠21111(1)(0)2222S EA CO k k k k k =⋅⋅=⋅-⋅=-≠.（3）连接AD .过AD 的中点N 作NM AD ⊥交DE 于点M .连接AM .（3）连接AD .过AD 的中点N 作NM AD ⊥交DE 于点M .连接AM .DC AC ⊥.DE OA ⊥.90DEA DCA ∴∠=∠=︒.∴在四边形AEDC 中.180DEA DCA ∠+∠=︒.180EAC EDC ∠+∠=︒. ∴点A 、D 、E 、C 四点共圆.AD 为圆的直径.点N 为圆心.ACE ADE ∴∠=∠.MN 是AD 的中垂线.DM AM ∴=. ADE DAM ∴∠=∠.2AME ADE ∴∠=∠.DC AC =.45ADC ∴∠=︒.45CDO ADO ∴∠=︒-∠.又345ACE CDO ∠-∠=︒.3(45)45ADE ADO ∴∠-︒-∠=︒.即：390ADE ADO ∠+∠=︒.在EDO ∆中.90ADE ADO DOE ∠+∠+∠=︒.2DOE ADE AME ∴∠=∠=∠.设AM DM x ==.则：1ME DE DM k x =-=+-.222AE ME AM +=.222(1)(1)k k x x ∴-+++-=.解得：211k x k+=+.212111k kME k k k +∴=+-=++.DOE AME ∠=∠.tan tan DOE AME ∴∠=∠.∴DE AE OE ME=.即：1121k kk k k+-+=+. 解得：3k =.(0,3)C ∴.(3,4)D -.(3,0)E -.∴直线OD 的解析式为：43y x =-.直线AC 的解析式为：33y x =+. 直线EC 的解析式为：3yx .由4333y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩.解得：9131213x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.∴点9(13F -.12)13. 点D 和点G 关于点C 对称.(3,2)G ∴.∴直线GF 的解析式为：79248y x =+. 由379248y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩.解得：4517917x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴点K 的坐标为459(,)1717-．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的求法、K 型全等的应用和四点共圆的判定、以及利用圆周角定理进行角的转化等知识.是一个代数几何综合题．对于比较复杂的条件.需要学生学会将复杂的条件转化为简单直接的条件.可以从等量关系.倍数关系入手．二、反比例函数的综合问题例题（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）如图1.在平面直角坐标系xOy中.线段AB在x轴的正半轴上移动.且AB=1.过点A、B作y轴的平行线分别交函数y1＝1x（x＞0）与y2＝3x（x＞0）的图象于C、E和D、F.设点A的横坐标为m（m＞0）．(1)D点坐标.F点坐标.连接OD、OF.则△ODF面积为.（用含m的代数式表示）(2)连接CD、EF.判断四边形CDFE能否是平行四边形.并说明理由.(3)如图2.经过点B和点G（0.6）的直线交直线AC于点H.若点H的纵坐标为正整数.请求出整数m的值．【答案】(1)（m+1.11m+）.（m+1.31m+）.1.(2)不能.理由见详解.(3)1或2或5．【解析】【分析】（1）表示出D.F的坐标.再用三角形面积公式即可得出结论.（2）再表示出C.E的坐标.求出CE.DF的长度.判定出CE≠DF.因为//CE DF.从而四边形CDFE不是平行四边形.（3）先用m表示出BG的解析式.进而表示出H的坐标.最后根据61m+是正整数.建立方程即可得出结论．(1)解：∵设点A的横坐标为m.且AB=1.∴D（m+1.11m+）.F（m+1.31m+）.OB=m+1.∴DF=31m+-11m+＝21m+.∴S△ODF=12×（m+1）×21m+=1.故答案为：（m +1.11m +）.（m +1.31m +）.1. (2)解：不能.理由如下： ∵设点A 的横坐标为m . ∴C （m .1m ）.E （m .3m）. ∴CE =3m -1m ＝2m.DF =132111m m m -+++＝.∴CE ≠DF . ∵//CE DF .∴四边形CDFE 不是平行四边形. (3)解：设直线BG 的解析式为：y =kx +6.将B （m +1.0）代入y =kx +6得：k （m +1）+6=0. ∴k =-61m +. ∴直线BG 的解析式为：y =-661x m ++. 当x =m 时.16661y m m m =-+=⋅++. ∴点H （m .61m +）. ∵m ＞0. ∴m +1＞1.∵点H 的纵坐标为正整数. ∴m +1=2或3或6. ∴m =1或2或5．【点睛】本题是反比例函数综合题.主要考查了待定系数法.平行四边形的判定.用含参数表示线段和坐标是解题的关键．练习题1．（2021·河北·高阳县教育局教研室模拟预测）如图是反比例函数3y x=和7y x=-在x 轴上方的图象.x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点A .B .点P 在x 轴上．则点P 从左到右的运动过程中.△APB 的面积是（）A ．10B ．4C ．5D ．从小变大再变小【答案】C 【解析】【分析】设AB 与y 轴交于点C .连接OA 、OB ．根据题意可知APB AOB S S =△△.再根据AOBBOCAOCSSS=+结合反比例函数比例系数k 的几何意义.即得出答案．【详解】如图.设AB 与y 轴交于点C .连接OA 、OB ．由题意可知APB △和AOB 同底.等高. ∴APB AOB S S =△△． ∵1173522AOBBOCAOCS SS=+=⨯-+⨯=. ∴5APBS=．故选C ．【点睛】本题考查反比例函数比例系数k 的几何意义．掌握在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上任意一点向坐标轴作垂线.这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是1||2k .且保持不变是解题关键．2．（2021·山东滨州·一模）如图.O 为坐标原点.四边形OACB 是菱形.OB 在x 轴的正半轴上.sin ∠AOB ＝45.反比例函数y ＝48x在第一象限内的图象经过点A .与BC 交于点F .则点F 的坐标为（）A ．616120）B ．616120）C ．6146120- D ．6146120- 【答案】C 【解析】【分析】先作AD ⊥x 轴.FE ⊥x 轴.再设点A 的坐标.可表示OD .AD .然后根据4sin 5AOB ∠=.求出tan AOB ∠.进而求出m 的值.即可求AD .OA .再根据菱形的性质得∠CBE ＝∠AOB .可知4tan 3CBE ∠=.设FE ＝a .可表示BE .OE .可表示点F .再将点F 的坐标代入反比例函数关系式求出a .可得答案．【详解】解：过点A 作AD ⊥x 轴于点D .过点F 作FE ⊥x 轴于点E .如图.设A48)m m（,.则OD ＝m .48AD m=．∵4sin 5AOB ∠=. 令AD =4x .AO =5x .根据勾股定理.得22=3x OD AO AD -=. ∴4tan 3AD AOB DO ∠==. ∴484m 3m =． ∵m ＞0. ∴m ＝6． ∴488AD m==．∴2210OA OD AD =+=.∵四边形OACB 是菱形. ∴OB ＝OA ＝10.BC OA ∥． ∴∠CBE ＝∠AOB ． ∴4tan tan 3CBE AOB ∠=∠=．设FE ＝a .则34BE a =.3=10+4OE a . ∴310+,)4Fa a （. ∴3(10)484a a +=. 解得：20461a -+=.舍去）． ∴61+5OE .∴-20+46161+5F （，．故选：C ．【点睛】这是一道关于反比例函数和菱形的综合问题.考查了菱形的性质.勾股定理.锐角三角函数.反比例函数图象上的点等．3．（2021·山东济南·二模）如图.在平面直角坐标系中.菱形ABCD 的对称中心恰好是原点O .已知点B 坐标是32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.双曲线y =6x经过点A .则菱形ABCD 的面积是( )A ．2B ．18C 252D ．25【答案】C 【解析】【分析】过点A 作AE ⊥x 轴于点E .过点B 作BG ⊥AE 于G .交y 轴于点F .设()6,0A m m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭.可得632AG m =-.BG =m +2.再根据菱形的性质及勾股定理可得方程.解方程即可求得m 的值.可求得OE .AE .进而求得OA .AC .OB .BD .最后利用菱形的面积公式即可求得．【详解】解：过点A 作AE ⊥x 轴于点E .过点B 作BG ⊥AE 于G .交y 轴于点F .如图.∵双曲线y =6x经过点A . ∴设()6,0A m m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭.则OE =m .6AE m=． ∵点B 坐标是32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴BF =2.OF =32．∴GE =OF =32.632AG m =-.BG =m +2．∵菱形ABCD 的对称中心恰好是原点O . ∴AO =CO .BO =DO .AO ⊥BO ．由勾股定理可得：OB 2+OA 2=AB 2． ∴BF 2+OF 2+AE 2+OE 2=AG 2+BG 2．即：()22222236632222m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.得24180m -=. 解得：32m =32m =舍去)． ∴32OE =232AE == ∴()22223252222OA AE OE ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭． ∴AC =2OA 2∵222235222OB BF OF ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭. ∴BD =2OB =5． ∴11252=525=222ABCD S AC BD =⋅⨯菱形．故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质.反比例函数图象上点的坐标特征.勾股定理,利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．4．（2021·广东深圳·三模）如图.在反比例函数y ＝4x （x ＞0）的图象上有动点A .连接OA .y＝k x （x ＞0）的图象经过OA 的中点B .过点B 作BC ∥x 轴交函数y ＝4x 的图象于点C .过点C 作CE ∥y 轴交函数y ＝kx 的图象于点D .交x 轴点E .连接AC .OC .BD .OC 与BD 交于点F ．下列结论：①k ＝1.②S △BOC ＝32.③S △CDF ＝316S △AOC .④若BD ＝AO .则∠AOC ＝2∠COE ．其中正确的是（）A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③④【答案】D 【解析】【分析】设4(,)A m m .则OA 的中点B 为1(2m .2)m.即可求得1k =.即可判断①.表示出C 的坐标.即可表示出BC .求得1323222BOC m S m ∆=⨯⨯=.即可判断②.计算出916CDF S ∆=.3AOC S ∆=.即可求得316CDF AOC S S ∆∆=.即可判断③.先证F 是BD 的中点.然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出2BFO CBD BCO COE ∠=∠+∠=∠.根据等腰三角形的性质得出AOC BFO ∠=∠.从而得到2AOC COE ∠=∠.即可判断④．【详解】解：动点A 在反比例函数4(0)y x x =>的图象上.∴设4(,)A m m.OA ∴的中点B 为1(2m .2)m.(0)ky x x =>的图象经过点B . 1212k m m∴=⋅=.故①正确.过点B 作//BC x 轴交函数4y x=的图象于点C . C ∴的纵坐标2y m=. 把2y m =代入4y x=得.2x m =.2(2,)C m m∴.13222mBC m m ∴=-=.1323222BOC m S m ∆∴=⨯⨯=.故②正确.如图.过点A 作AM x ⊥轴于M ．4(,)A m m .1(2B m .2)m .2(2,)C m m .过点C 作//CE y 轴交函数ky x=的图象于点D .交x 轴点E . 1(2,)2D m m∴. ∴直线OC 的解析式为21y x m =.直线BD 的解析式为2152y x m m=-+. 由221152y x m y x m m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩.解得5454x m y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 5(4F m ∴.5)4m.12159()(2)22416CDF S m m m m ∆∴=--=.AOC AOM COE AMEC AMEC S S S S S ∆∆∆=+-=梯形梯形.142()(2)32AOC S m m m m∆∴=+-=.316CDF AOC S S ∆∆∴=.故③正确. 1(2B m .2)m .1(2,)2D m m .5(4F m .5)4m.F ∴是BD 的中点.CF BF ∴=.CBD OCB ∴∠=∠.//BC x 轴.COE BCO ∴∠=∠.2BFO CBD BCO COE ∴∠=∠+∠=∠.若BD AO =.则OB BF =.AOC BFO ∴∠=∠.2AOC COE ∴∠=∠．故④正确.故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合.反比例函数系数k 的几何意义.待定系数法求一次函数的解析式.直角三角形斜边上中线的性质.平行线的性质.解题的关键是利用参数解决问题.学会构建一次函数确定交点坐标．5．（2021·江苏扬州·一模）如图.正方形的顶点A .C 分别在y 轴和x 轴上.边BC 的中点F 在y 轴上.若反比例函数12y x=的图象恰好经过CD 的中点E .则OA 的长为______．【答案】62【解析】【分析】先根据正方形的性质证明CFO CEH ≌△△.由CO 和 CH 的值表示NO .NB .进而得出CNB BMA ≌△△.由AM =ON 得出a 与b 的关系.再将点E 代入反比例函数关系式.求出a和b 的值.即可求解．【详解】解：过E 作EH x ⊥轴于H .设CO a =.CH b =.过点B 作y 轴的平行线交x 轴于点N .作AM MN ⊥于点M . ∵四边形ABCD 是正方形. ∴BC CD =.90BCD ∠=︒． ∵90∠=∠=︒EHC FOC . ∴OFC ECH ∠=∠．∵点F 与点E 分别是BC .CD 的中点. ∴CF CE =.∴()CFO CEH AAS △△≌. ∴OF =CH ．∵点F 是BC 的中点.OF BN ∥. ∴ON OC a ==.22NB OF b ==. 同理()CNB BMA AAS △△≌.则2MA BN b ==.2MB CN a ==.2AM b ON a ===. 故2a b =. 则点(),E a b a +. 将点E 的坐标代入12y x=. 得()12a a b +=.而2a b =.解得：2b =22a =2262OA MN BM BN a b ==+=+= 故答案为：62 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质.反比例函数图象上点的坐标特征.正方形的性质等.解题的关键是正确作出辅助线.构造全等三角形．6．（2021·福建·厦门五缘实验学校二模）如图.在平面直角坐标系中.反比例函数y kx=（k ＞0）的图象与半径为5的⊙O 交于M 、N 两点.△MON 的面积为3.5.若动点P 在x 轴上.则PM +PN 的最小值是______．【答案】52【解析】【详解】设点M （a .b ）.N （c .d ）.先求出a 2+b 2＝c 2+d 2＝25.再求出ac ()227k c a -=.同理：bd ()227k b d -=.即可得出ac ﹣bc ＝0.最后用两点间的距离公式即可得出结论．【解答】解：如图.设点M （a .b ）.N （c .d ）. ∴ab ＝k .cd ＝k . ∵点M .N 在⊙O 上. ∴a 2+b 2＝c 2+d 2＝25.作出点N 关于x 轴的对称点N '（c .﹣d ）. ∴MN'即为PM+PN 的最小值 ∴S △OMN 12=k 12+（b +d ）（a ﹣c ）12-k ＝3.5. ∴ad ﹣ bc ＝7. ∴kc ka a c-=7. ∴ac ()227k c a -=.同理：bd ()227k b d -=.∴ac﹣bc()()2222777k c a k b d k--=-=[（c2+d2）﹣（a2+b2）]＝0.∵M（a.b）.N'（c.﹣d）.∴MN'2＝（a﹣c）2+（b+d）2＝a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd＝a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）＝50.∴MN'＝2故答案为：2【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质、圆的性质、两点间的距离公式.判断出ac-bd=0是解本题的关键．7．（2021·江苏常州·二模）如图.在平面直角坐标系中.正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝kx（k＞0.x＞0）的图象上.CD在x轴上.点B在y轴上.已知CD＝2．(1)点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由.(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q.求点Q的横坐标．【答案】(1)点A在反比例函数图象上.理由见解析(2)Q317+【解析】【分析】（1）过点P作x轴垂线PG.连接BP.可得BP＝2.G是CD的中点.所以P（23. （2）易求D（3.0）.E（43.待定系数法求出DE的解析式为y3﹣3联立反比例函数与一次函数即可求点Q．(1)解：点A在该反比例函数的图象上.理由如下：过点P作x轴垂线PG.连接BP.∵P是正六边形ABCDEF的对称中心.CD＝2.∴BP ＝2.G 是CD 的中点. ∴PG=BO=BC 3sin 602︒=3 ∴P （3.∵P 在反比例函数y ＝kx（k ＞0.x ＞0）的图象上.∴k ＝3 ∴y 23由正六边形的性质.A （3. ∴点A 在反比例函数图象上.(2)解：由（1）得D （3.0）.E （3. 设DE 的解析式为y ＝mx +b .∴3043m b m b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴333m b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩. ∴y 3﹣3由方程23333y y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得x 3172+.∴Q 317+ ．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质.正六边形的性质.将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键． 8．（2021·山东菏泽·三模）如图.反比例函数()0ky k x=≠的图像过等边BOC 的顶点B .2OC =.点A 在反比例函数的图象上.连接AC .AO ．(1)求反比例函数()0ky k x=≠的表达式. (2)若四边形ACBO 的面积是33求点A 的坐标．【答案】(1)3y =(2)点A 的坐标为1,232⎛ ⎝【解析】【分析】（1）过点B 作BD x ⊥轴于点D .根据等边三角形的性质得到1OD =,2BC =,利用勾股定理求得BD 的长度.得到点B 的坐标.将点B 的坐标代入反比例函数解析式中求出k 即可求解.（2）利用三角形的面积公式和已知条件求出AOC △的面积.设出点A 的坐标.利用三角形面积公式进行计算即可求解． (1)解：过点B 作BD x ⊥轴于点D .BOC 是等边三角形.2OC =.112OD CD OC ∴===,2BC OC OB ===.2222213BD CB CD ∴=--.∴点B 的坐标为(1,3--.把点B 的坐标代入k y x=中 (133k ∴=-⨯-=∴ 所以反比例函数表达式为3y =.(2)解： 1=23332BOC AOC AOC ABCD S S S S +=⨯=四边形△△△23AOCS∴=设点A 的坐标为3n ⎫⎪⎪⎝⎭. 12322n ∴⨯⨯.∴23n =331223=. ∴点A 的坐标为1,232⎛ ⎝．【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式.反比例函数系数k 的几何意义.反比例函数图象上点的坐标特征.三角形的面积公式．先由三角形的面积求出反比例函数解析式是此题的突破点．9．（2021·吉林·三模）如图.在平面直角坐标系中.矩形ABCO 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上.顶点B 的坐标为（4.2）.双曲线ky x =（x ＞0）的图象交BC 于点D .若BD＝32．求反比例函数的解析式及点F 的坐标．【答案】5y x =.点F 的坐标为54,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据题意BD 线段的长度以及B 点坐标.求得D 的坐标.进而根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式.然后根据图象上点的坐标特征设出F 的纵坐标.代入反比例函数解析式.即可求得F 的坐标．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形.顶点B 的坐标为（4.2）. ∴//BC x 轴.∴点D 纵坐标和点B 纵坐标相同. ∴设D （x .2）.∵32BD =.∴BD BC CD =-. 即342x =-. ∴52x =. ∴5,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵双曲线()0ky x x=>的图象交BC 于点D .∴252k =. 得5252k =⨯=.∴所求反比例函数表达式为：()50y x x=>. ∴点F 横坐标和点B 横坐标相同. ∴设F （4.y ）. ∴将点F 坐标代入5y x=. 即54y =. ∴点F 的坐标为54,4⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式.反比例函数图象上点的坐标特征.求得D 的坐标是解题的关键．10．（2022·广东江门·一模）反比例函数y 1＝1k x（k 1＞0）和y 2＝22(0)k k x >在第一象限的图象如图所示.过原点的两条射线分别交两个反比例图象于A .D 和B .C(1)求证：AB ∥CD .(2)若k 1＝2.S △OAB ＝2.S 四边形ABCD ＝3.求反比例函数y 2＝2k x（k 2＞0）的解析式．【答案】(1)见解析 (2)245y x=【解析】。

初三中考数学函数综合题汇总情况

（ 3）在（ 2）的条件下，在坐标轴上是否存在点 E，使得以 A、C、P、E 为顶点的四边形为直角梯形，若存在，求出 y
所有满足条件的点 E的坐标；若不存在，请说明理由。
B P
OM
第 24 题
Ax
3、如图，直线
AB 交 x 轴于点
A，交 y 轴于点
B， O 是坐标原点，
A（ -3 ， 0）且
3 sin ∠ ABO= ，抛物线
2、如图，已知二次函数 y x2 2mx的图像经过点 B（ 1,2 ），与 x 轴的另一个交点为 A，点 B关于抛物线对称轴
的对称点为 C，过点 B 作直线 BM⊥ x 轴垂足为点 M．
（ 1）求二次函数的解析式；
（ 2）在直线 BM上有点 P（ 1， 3 ），联结 CP和 CA，判断直线 CP与直线 CA的位置关系，并说明理由； 2
1
1O 1
x
1
图7
5、以点 P 为圆心 PO 长为半径作圆交 x 轴交于点 A 、O 两点，过点 A 作直线 AC 交 y 轴于点 C , 与圆 P 交于点 B ，
3
sin CAO
(1)
5
y ax 2 bx c(a
求点 C 的坐标； (2) 若点 D 是弧 AB 的中点，求经过 A 、 D 、 O 三点的抛物线 0) 的解析式； (3) 若直线 y kx b(k 0) 经过点 M (2,0) ，当直线 y kx b(k 0) 与
y 轴的直线交线段 AB于点 N，
y
B
A
o
x
（第 24 题图）
8、已知：如图六，抛物线 y＝ x2－ 2x＋ 3 与 y 轴交于点 A，顶点是点 P，过点 P 作 PB⊥ x 轴于点 B．平移该抛物线，

专题四二次函数综合题(含答案)2025年中考数学一轮题型专练(陕西)

专题四　二次函数综合题题型1　二次函数的实际应用二次函数的实际应用问题,在陕西中考2022,2023,2024年连续三年进行考查,其考查本质为二次函数表达式的应用,其主要为顶点式的考查,在表达式的基础上进行实践应用的考查,知x求y或知y求x,利用二次函数性质求最值,感受数学在实际问题中的应用.类型1　抛物线运动轨迹问题(2024·西安市莲湖区模拟)如图,在一场校园羽毛球比赛中,小华在点P选择吊球进行击球,当羽毛球飞行的水平距离是1 m时,达到最大高度3.2 m,建立如图所示的平面直角坐标系.羽毛球在空中的运行轨迹可以近似地看成抛物线的一部分,队友小乐则在点P选择扣球进行击球,羽毛球的飞行高度y1(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似地满足一次函数关系y1=-0.4x+2.8.(1)根据如图所示的平面直角坐标系,求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式.(2)在(1)的条件下,已知球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,且点A,C都在x轴上,实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网.要使球的落地点到点C的距离更近,请通过计算判断应该选择哪种击球方式?解题指南　(1)抓住最大高度这一特征,设出顶点式:y=a(x-h)2+k,然后将点P的坐标代入即可.(2)分别令一次函数与二次函数的y为0,对比两种方式在x轴的交点的横坐标到点C的横坐标的距离大小即可.类型2　以建筑为背景的“过桥”问题(2024·西工大模拟)陕北窑洞,具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息.如图,某窑洞口的下部近似为矩形OABC,上部近似为一条抛物线.已知OA=3 m,AB=2 m,m.窑洞的最高点M(抛物线的顶点)离地面OA的距离为258(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的表达式.(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG,使得点D,E在矩形OABC的边BC上,点F,G在抛物线上,那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米?解题指南　(1)借助点M为顶点,设出顶点式,然后将点B坐标代入顶点式即可.(2)设出小正方形DEFG的边长,然后用所设边长表示出点G的横坐标、纵坐标,最后代入(1)中抛物线的表达式解方程即可.(2024·西安新城区模拟)某地想将新建公园的正门设计为一个抛物线型拱门,设计部门给出了如下方案:将拱门图形放入平面直角坐标系中,如图,抛物线型拱门的跨度ON=24 m,拱高PE=8 m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)现要在拱门中设置矩形框架,其周长越小越好(框架粗细忽略不计).设计部门给出了两个设计方案:方案一:矩形框架ABCD的周长记为C1,点A、D在抛物线上,边BC在ON上,其中AB=6 m.方案二:矩形框架A'B'C'D'的周长记为C2,点A',D'在抛物线上,边B'C'在ON上,其中A'B'=4 m.求这两个方案中,矩形框架的周长C1,C2,并比较C1,C2的大小.类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题如图,在一个斜坡上架设两个塔柱AB,CD(可看作两条竖直的线段),塔柱间挂起的电缆线下垂可以近似地看成抛物线的形状.两根塔柱的高度满足AB=CD=27 m,塔柱AB与CD之间的水平距离为60 m,且两个塔柱底端点D与点B的高度差为12 m.以点A为坐标原点,1 m为单位长度构建平面直角坐标系. (1)求点B,C,D的坐标.x2一样,且电(2)经过测量,AC段所挂电缆线对应的抛物线的形状与抛物线y=1100缆线距离斜坡面竖直高度至少为15.5 m时,才符合设计安全要求.请结合所学知识判断上述电缆线的架设是否符合安全要求?并说明理由.(2024·陕师大附中模拟)在元旦来临之际,学校安排各班在教室进行联欢.八(2)班同学准备装点一下教室.他们在屋顶对角A,B两点之间拉了一根彩带,彩带自然下垂后呈抛物线形状.若以两面墙交线AO为y轴,以点A正下方的墙角点O为原点建立平面直角坐标系,此时彩带呈现出的抛物线表达式为y=ax2-0.6x+3.5.已知屋顶对角线AB长12 m.(1)a= ,该抛物线的顶点坐标为.(2)小军想从屋顶正中心C(C为AB的中点)系一根绳子CD.将正下方彩带最低点向上提起,这样两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线形状(如图所示).要使两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m.求这根绳子的下端D到地面的距离.题型2　图形面积探究类型1　面积、线段最值探究二次函数中面积问题,基本上都可以转化为线段相关问题,线段的三种表示方式:①水平型,②垂直型,③斜型.以边为分类标准,可采取不同方法进行面积的求解,现对不同类型线段的表示作以说明.(1)线段AB∥y轴时,点A,B横坐标相等,则AB=|y1-y2|=|y2-y1|=y1-y2.(2)线段BC∥x轴时,点B,C纵坐标相等,则BC=|x2-x1|=|x1-x2|=x2-x1.(3)线段AC与x轴,y轴不平行时,在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=(x1-x2)2+(y1-y2)2.第一步,过动点向x轴作垂线,与定边产生交点第二步,设动点坐标,表示交点坐标第三步,表示纵向线段长度|y上-y下|第四步,利用水平宽铅垂高表示三角形面积:S=12(y 上-y 下)(x 右-x 左)【原创好题】“水平宽”与“铅垂高”的运用:已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(x C ,y C ),用含有A,B,C 坐标的方式表示出△ABC 的面积.解题指南　(1)在平面直角坐标系中作△ABC,要求点A,B 在点C 的左、右两侧,经过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D,则△ABC 被分成两部分,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .(2)过点A 作△ADC 的高h 1,过点B 作△DBC 的高h 2,所以△ACD 与△BCD 的面积表示为S △ADC =12CD·h 1,S △BCD =12CD·h 2.(3)所以S △ABC =S △ADC +S △BCD =12CD·h 1+12CD·h 2=12CD·(h 1+h 2).(4)其中h 1与h 2的和可以看作点A 与点B 的水平间的距离,因此称之为“水平宽”,h 1+h 2=|x B -x A |,CD 是点C 与点D 的竖直间的距离,称之为“铅垂高”,即CD=|y D -y C |,故S △ABC =S △ACD +S △BCD =12|y D -y C |·|x B -x A |.1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A,B 两点,抛物线y=-x 2+bx+c 过A,B 两点,D 为线段AB 上一动点,过点D 作CD ⊥x 轴于点C,交抛物线于点E.(1)求抛物线的表达式.(2)求△ABE 面积的最大值.2.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)若P为线段BC上的一点(不与点B,C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N.当线段PM的长度最大时,求点M的坐标.类型2　面积关系探究(2018.T24)x2+bx与x轴交于O,A 【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-43两点,B(1,4)在抛物线上.若P是抛物线上一点,且在直线AB的上方,且满足△OAB 的面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标.解题指南　(1)第一步,将点B的坐标代入抛物线的表达式,求出b的值,根据A,B两点的坐标,求出直线AB的表达式;(2)第二步,借助三角形的面积公式,求出△OAB的面积,根据△OAB与△PAB的面积关系求出△PAB的面积;(3)第三步,设点P的坐标为t,-43t2+163t,过点P作x轴的垂线,与AB交于点N,并结合直线AB的表达式,表示出点N的坐标;(4)第四步,借助“水平宽,铅垂高”,求出PN的长度,用含有t的式子表示出PN的长度,构造方程求解即可.1.如图,抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为x+3交于C,D两点,连接BD,AD.(3,0),抛物线与直线y=-32(1)求m的值.(2)求A,D两点的坐标.(3)若抛物线上有一点P,满足S△ABP=4S△ABD,求点P的坐标.2.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,-1),抛物线y=-x2+bx+c经过点B(4,5)和C(5,0).(1)求抛物线的表达式.(2)连接AB,BC,求∠ABC的正切值.(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点D,使得S△ABD=S△ABC?若存在,直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.3.已知抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)P为抛物线对称轴上一动点,当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)在(2)的条件下,是否存在M为抛物线第一象限上的点,使得S△BCM=S△BCP?若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由.解题指南　(1)由交点式可直接得出抛物线的解析式.(2)设P(1,m),根据列出方程,进而求得点P的坐标.(3)作PQ∥BC交y轴于点Q,作MN∥BC交y轴于点N,先求出PQ的解析式,进而求得MN的解析式,进一步求得结果. 借助“同底等高”找等面积的方法在平面直角坐标系中有△ABC,分别在BC所在直线的两侧找出一点P和Q,使得S△PBC=S△QBC=S△ABC.操作方式:(1)根据要求可知△PBC和△QBC均与△ABC具有共同的底边BC,要使它们的面积相等,只需要它们的高相等即可,因此可以设△PBC与△QBC的高均为h;(2)确定高以后,过点A作BC的平行线,则在所作平行线上存在一点P满足S△PBC=S△ABC;(3)如图,将BC所在直线向下平移AO'个单位长度,过A'作BC的平行线,则该直线上存在一点Q满足S△QBC=S△ABC;(4)运用“同底等高”法时,务必考虑不同位置的情况;(5)进行面积计算时,可以直接利用三角形面积公式求解.题型3　特殊三角形问题探究类型1　等腰三角形问题探究等腰三角形存在问题,可以分为两个方向来解决,几何法和代数法,其中几何法的优势在于比较直观地得到结果,对几何图形要求较高;代数法以解析几何为背景可更快地找到等量关系,方法较为单一,等腰三角形问题做完之后一定要验证是否出现三点共线的情况.方法一　几何法(1)两圆一线找出点;(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长,由线段长求得点坐标方法二　代数法(1)表示出三个点坐标A,B,C;(2)由点坐标表示出三条线段AB,AC,BC;(3)分类讨论①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC;(4)列出方程求解(2024·铁一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L的顶点E的坐标为(-2,8),且过点B(0,6),与x轴交于M,N两点.(1)求该抛物线L的表达式.(2)设抛物线L关于y轴对称后的抛物线为L',其顶点记为点D,连接MD,在抛物线L'对称轴上是否存在点Q,使得以点M,D,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·西咸新区模拟)如图,抛物线L:y=ax2+bx-3(a、b为常数,且a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.将抛物线L向右平移1个单位长度得到抛物线L'.(1)求抛物线L的函数表达式.(2)连接AC,探究抛物线L'的对称轴直线l上是否存在点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.类型2　直角三角形问题探究直角三角形存在问题,菱形中对角线垂直,矩形中的内角为直角,有下列两个方向可以帮助解决问题,不同的方法适用不同方向的题目,注意区分其方法.一、勾股定理若AC2+BC2=AB2,则△ABC为直角三角形二、构造“K”字型相似过直角顶点作坐标轴的平行线,过其他两点向平行线作垂直,出现“一线三等角”模型,利用“一线三等角”的相似模型,构建方程解决问题已知抛物线L:y=ax2-2ax-8a(a≠0)与x轴交于点A,点B,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C.(1)求出点A与点B的坐标.(2)当△ABC是以AB为斜边的直角三角形时,求抛物线L的表达式.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(-5,0),B(-1,0),交y轴于点C(0,5).(1)求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标.(2)将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2,E为抛物线C2上一点,若△DOE是以DO为直角边的直角三角形,求点E的坐标. 直角三角形中的找点方法和计算方法找点方法:示例:如图,在平面内有A,B两点,试着找出一点C,使得A,B,C三点构成的三角形为直角三角形.分两种情况讨论:当AB为直角边时,{过点A作AB的垂线l1,过点B作AB的垂线l2;当AB为斜边时,以AB为直径作圆.如图,在直线l1,l2上的点C满足△ABC为直角三角形,但要注意一点:点C不与A,B两点重合.我们将这种找点C的方法称为“两线一圆”.计算方法:(1)利用勾股定理构造方程求解;(2)以“K”字型搭建相似三角形,列比例式构造方程求解.类型3　等腰直角三角形问题探究等腰直角三角形相关问题,以等腰直角三角形和正方形问题,主要解题方法相对统一,注意如何构图能直观得到“K”字全等是解决问题的关键之处.(1)过直角顶点作坐标轴平行线,构造“K”字全等(2)方法一:设某小边长度.方法二:设点坐标,表示直角三角形中的直角边(3)利用某纵向或横向线段构建等式(x+1)(x-5)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.如果P是如图,抛物线y=-25抛物线上一点,M是该抛物线对称轴上的点,当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时,求点P的坐标.解题指南　第一步,过直角顶点作平行y轴的垂线,分别过另两个顶点作垂直,构造“K”字全等;第二步,利用坐标分别表示两直角三角形的直角边;第三步,利用某边相等构造方程.(2024·高新一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L:y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).(1)求出抛物线L的表达式和顶点的坐标.(2)P是抛物线L的对称轴右侧图象上的一点,过点P作x的垂线交x轴于点Q,作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L',则C关于直线PQ的对称点为C',若△PCC'为等腰直角三角形,求出抛物线L'的表达式.题型4　三角形关系问题类型1　与相似三角形结合问题三角形的关系问题是陕西考试中非常常见的一个类型,中考中多次连续出现,相似问题的处理方法也相对较为固定,以固定三角形为参照,找到定角,以边为分类标准,进行分类讨论.主要有两个方法.方法一:利用一角相等,邻边成比例证明相似方法二:两组角相等的三角形相似分析目标三角形:第一类:找一角相等,用邻边成比例.第二类:找一角相等(多为90°问题),找另一角相等.方法总结:(1)分动、定三角形;(2)找等角;(3)表示边或者找另一角相等.(2024·曲江一中模拟)如图,抛物线y=ax 2+bx 经过坐标原点O 与点A(3,0),正比例函数y=kx 与抛物线交于点B 72,74.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)P 是第四象限抛物线上的一个动点,过点P 作PM ⊥x 轴于点N,交OB 于点M,是否存在点P,使得△OMN 与以点N,A,P 为顶点的三角形相似?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·陕师大附中模拟)已知抛物线L 1:y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A,B(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1.(1)求此二次函数表达式和点A,B 的坐标.(2)P 为第四象限内抛物线L 1上一动点,将抛物线L 1平移得到抛物线L 2,抛物线L 2的顶点为点P,抛物线L 2与y 轴交于点E,过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点D.是否存在点P,使以点P,D,E 为顶点的三角形与△AOC 相似?如果存在,请写出平移过程,并说明理由.类型2　与全等三角形结合问题1.全等为特殊的相似,相似比为1,方法与相似一致.2.注意相等角的邻边分类情况.【改编】如图,抛物线y=-23x 2+103x+4的图象与x 轴交于A,B 两点,与y 轴的正半轴交于点C,过点C 的直线y=-43x+4与x 轴交于点D.若M 是抛物线上位于第一象限的一动点,过点M 作ME ⊥CD 于点E,MF ∥x 轴交直线CD 于点F,当△MEF ≌△COD 时,求出点M 的坐标.解题指南　当△MEF ≌△COD 时,(1)找准对应角、边.结合关系式可知,∠MEF=∠COD,∠MFE=∠CDO,MF=CD.(2)根据直线CD 的表达式求出线段CD 的长度.由点M 在抛物线上,可以设点M的坐标为m,-23m 2+103m+4,再由MF ∥x 轴,得点F 的纵坐标.根据全等三角形的对应边相等可以得出点F 的横坐标为m-5.(3)由点F 在直线CD 上,将点F 的坐标代入直线CD 的表达式中,求出m 的值.已知经过原点O 的抛物线y=-x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A.(1)求点A 的坐标及抛物线的对称轴.(2)B 是OA 的中点,N 是y 轴正半轴上一点,在第一象限内的抛物线上是否存在点M,使得△OMN 与△OBM 全等,且点B 与点N 为对应点?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 与全等三角形结合问题的求解步骤(1)全等三角形的问题与相似三角形的问题步骤类似,均是先列出三角形的对应关系式,再根据关系式找出对应边相等;(2)借助对应边相等,将边与边的长度关系用点的坐标进行表示,然后运用“两点间距离公式”构造方程求解.题型5　特殊四边形问题探究类型1　平行四边形问题探究平行四边形问题,一般分为三定一动,两定两动问题,选取固定的两个点为分类标准,①以某边为边时;②以某边为对角线时.第一步,寻找分类标准;第二步,平移点,找关系(注意:从A到B和从B到A);第三步,代入关系求值(2024·西工大附中模拟)如图,抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,3),B(-3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的表达式.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N.使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【改编】已知点A(-1,0)在抛物线L:y=x2-x-2上,抛物线L'与抛物线L关于原点对称,点A的对应点为点A',是否在抛物线L上存在一点P,在抛物线L'上存在一点Q,使得以AA'为边,且以A,A',P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 平行四边形中坐标的计算如图1,在平行四边形ABDC 中,关于坐标的计算——平移法则:x B -x A =x D -x C ,y B -y A =y D -y C ,x A -x C =x B -x D ,y A -y C =y B -y D .如图2,在平行四边形ADBC 中,关于坐标的计算——中点坐标公式:x M =x A +x B 2=x C +x D 2,y M =y A +y B 2=y C +y D 2.类型2　菱形问题探究菱形存在问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线垂直或邻边相等即可得菱形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A +x C 2=x B +x D 2;y A +y C 2=y B +y D 2.(3)对角线垂直:可参照直角存在问题.邻边相等:可参照等腰存在问题.(4)平移型:先平行四边形,再菱形.翻折型:先等腰,再菱形.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为等腰存在问题,可以利用等腰存在问题策略解决问题如图,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,OA=2,OC=6,连接AC 和BC.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.类型3　矩形问题探究矩形存在性问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线相等或一内角为90°即可得到矩形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)方向一　对角线相等:(x A-x C)2+(y A-y C)2=(x B-x D)2+(y B-y D)2.方向二　有一角为90°.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为直角存在问题,可以利用直角存在问题策略解决问题已知抛物线L:y=ax2+bx(a≠0)经过点B(6,0),C(3,9).(1)求抛物线L的表达式.(2)若抛物线L'与抛物线L关于x轴对称,P,Q(点P,Q不与点O,B重合)分别是抛物线L,L'上的动点,连接PO,PB,QO,QB,问四边形OPBQ能否为矩形?若能,求出满足条件的点P和点Q的坐标;若不能,请说明理由.已知抛物线L:y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)抛物线L平移后得到抛物线L',点A,C在抛物线L'上的对应点分别为点A',C',若以A,C,A',C'为顶点的四边形是面积为20的矩形,求平移后的抛物线L'的表达式.类型4　正方形问题探究(在菱形的基础上增加对角线相等)(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)平行四边形题基础上加等腰直角三角形问题.,正方形ABCD的边AB 如图,一条抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点坐标为2,83落在x轴的正半轴上,点C,D在这条抛物线上.(1)求这条抛物线的表达式.(2)求正方形ABCD的边长.解题指南　(1)已知顶点,可直接设抛物线的顶点式:y=a(x-h)2+k,将点的坐标代入计算即可.(2)①在正方形中,四条边均相等;②设出正方形的边长,并根据所设边长表示出正方形ABCD的顶点坐标;③注意观察正方形ABCD的顶点C,D在抛物线上;④代入相应点的坐标求出所设的边长即可.x2+bx+c的图象L经过原点,且与x轴的另一个交点为(8,0).已知二次函数y=-13(1)求该二次函数的表达式.(2)作x轴的平行线,交L于A,B两点(点A在点B的左侧),过A,B两点分别作x 轴的垂线,垂足分别为D,C.当以A,B,C,D为顶点的四边形是正方形时,求点A的坐标. 借助抛物线判定正方形的思路步骤1.明确在抛物线上的正方形的两个顶点;2.借助抛物线表达式y=ax2+bx+c(a≠0),设出其中一个顶点坐标为(x,ax2+bx+c),然后利用抛物线对称轴表示出另一个顶点坐标;3.根据正方形四条边相等构造一元二次方程求解即可.题型6　角度问题探究角相关问题是二次函数中相对较为综合性的问题,在近几年中考中也常出现在各个省市的中考题中,问题最终都会落到以下问题上来.等角问题,可直接用等角的性质来处理问题.解决策略:(1)寻找相似,出现等角;(2)利用三角函数找等角;(3)利用轴对称来找等角.【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴分别交于A,B两点,且点A在点B的左侧.在抛物线上是否存在一点D,使得∠DOA=45°?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.解题指南　以平面直角坐标系为背景来探究角度问题,常用的思路为借助三角函数构造方程求解.本题具体步骤如下:第一步,根据∠DOA=45°,联想tan∠DOA=1;第二步,根据点D在抛物线上,可以过点D作x轴的垂线,记垂足为H,在△DOH中,tan∠DOH=DH OH;第三步,由点D在抛物线上,设点D的坐标为(t,-t2+4t-3);第四步,根据DH=|y D|=|-t2+4t-3|,OH=|t|,构造方程求解即可.已知抛物线L:y=-23x2+bx+c,与y轴的交点为C(0,2),与x轴的交点分别为A(3,0),B(点A在点B右侧).(1)求抛物线的表达式.(2)将抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位长度,所得的抛物线与x轴的左交点为M,与y轴的交点为N,若∠NMO=∠CAO,求m的值.参考答案题型1　二次函数的实际应用类型1　抛物线运动轨迹问题例1　解析:(1)在y 1=-0.4x+2.8中,令x=0,则y 1=2.8,∴P (0,2.8).根据题意,二次函数图象的顶点坐标为(1,3.2).设二次函数的表达式为y=a (x-1)2+3.2,把P (0,2.8)代入y=a (x-1)2+3.2,得a+3.2=2.8,解得a=-0.4,∴吊球时羽毛球满足的二次函数表达式y=-0.4(x-1)2+3.2.(2)吊球时,令y=0,则-0.4(x-1)2+3.2=0,解得x 1=1+22,x 2=1-22(舍去),扣球时,令y=0,则-0.4x+2.8=0,解得x=7.∵OA=3 m,CA=2 m,∴OC=OA+AC=5.∵7-5=2,|22+1-5|=4-22<2,∴选择吊球时,球的落地点到点C 的距离更近.类型2　以建筑为背景的“过桥”问题例2　解析:(1)由题意得点M ,B 的坐标分别为32,258,(3,2).设抛物线的表达式为y=a x-322+258,将点B 的坐标代入上式得2=a 3-322+258,解得a=-12,∴抛物线的表达式为y=-12x-322+258.(2)设正方形的边长为2m.把点G 32-m ,2+2m 代入抛物线表达式,得2+2m=-1232-m-322+258,解得m=12(负值已舍去),∴正方形窗户DEFG 的边长为1 m .变式设问　解析:(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(12,8),N (24,0).设y=a (x-12)2+8,把N (24,0)代入表达式中,得a=-118,∴该抛物线的函数表达式为y=-118(x-12)2+8.(2)方案一:令y=6,即6=-118(x-12)2+8.解得x 1=6,x 2=18,∴BC=AD=12.又∵AB=CD=6,∴矩形ABCD 的周长C 1=2×12+2×6=36(m).方案二:令y=4,即4=-118(x-12)2+8,解得x 1=12-62,x 2=12+62,∴B'C'=A'D'=12+62-(12-62)=122.又∵A'B'=C'D'=4,∴矩形A'B'C'D'的周长C 2=2×122+2×4=(242+8)m .∵C 1=36=28+8=4×7+8,C 2=242+8=4×62+8,∴36<242+8,即C 1<C 2.类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题例3　解析:(1)如图,过点C 作CE ⊥y 轴,垂足为E ,过点D 作DF ⊥y 轴,垂足为F.记CD 与x 轴相交于点G.根据题意,得点B 的坐标是(0,-27).∵FB=12,则GD=OF=OB-FB=27-12=15,OG=FD=EC=60,CG=CD-GD=27-15=12,∴点C 的坐标是(60,12),点D 的坐标是(60,-15).(2)符合安全要求.理由:设AC 段所挂电缆线对应的抛物线的函数表达式为y=1100x 2+bx ,将点C (60,12)代入表达式中,得12=1100×602+60b ,解得b=-25,∴y=1100x 2-25x.由点B (0,-27),D (60,-15)可知直线BD 的表达式为y=15x-27.记M 为抛物线上一点,过点M 作x 轴的垂线与BD 交于点N.设点M m ,1100m 2-25m ,则点N m ,15m-27,故MN=1100m 2-25m-15m-27=1100(m-30)2+18≥18>15.5,∴电缆线距离斜坡面竖直高度的最小值为18 m,高于安全需要的距离15.5 m,故符合安全要求.变式设问　解析:(1)0.05;(6,1.7).提示:由题意得抛物线的对称轴为直线x=6,则A (0,3.5),B (12,3.5),∴144a-7.2+3.5=3.5,解得a=0.05,∴抛物线的表达式为y=0.05x 2-0.6x+3.5.当x=6时,y=0.05x 2-0.6x+3.5=1.7,即该抛物线的顶点坐标为(6,1.7),(2)∵两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m,∴左边新抛物线的顶点坐标为(3.5,2).设左边新抛物线的表达式为y=a'(x-3.5)2+2,将点A 的坐标代入上式得3.5=a'(0-3.5)2+2,解得a'=649,∴左侧抛物线的表达式为y=649(x-3.5)2+2.当x=6时,y=649(6-3.5)2+2=27198,∴这根绳子的下端D 到地面的距高为27198m .题型2　图形面积探究类型1　面积、线段最值探究例1　解析:如图,过点C 作垂直于x 轴的直线,与AB 交于点D ,分别过点A ,B 作CD 的垂线段h 1,h 2,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .∵S △ADC =12CD ·h 1,S △BCD =12CD ·h 2,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12CD ·(h 1+h 2).又∵CD=|y D -y C |,h 1+h 2=|x B -x A |,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12(y D -y C)(x B -x A ).变式设问　1.解析:(1)在一次函数y=x+4中,令x=0,得y=4,令y=0,得x=-4,∴A (-4,0),B (0,4).∵点A (-4,0),B (0,4)在抛物线y=-x 2+bx+c 上,∴{-16-4b +c =0,c =4,解得{b =-3,c =4,∴抛物线的表达式为y=-x 2-3x+4.(2)设点C 的坐标为(m ,0)(-4≤m ≤0),则点E 的坐标为(m ,-m 2-3m+4),点D 的坐标为(m ,m+4),。

2025年中考数学复习：二次函数综合压轴题常考热点试题汇编解析版

2025年中考数学复习：二次函数综合压轴题常考热点试题汇编1.如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与一直线相交于A -1，0 ，C 2，3 两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．(1)求抛物线及直线AC 的函数表达式；(2)设点M 3，m ，求使MN +MD 的值最小时m 的值；(3)若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，求PQ 的最大值．【答案】(1)解：由抛物线y =-x 2+bx +c 过点A -1，0 ，C 2，3 得-1-b +c =0-4+2b +c =3，解得b =2c =3 ，∴抛物线为y =-x 2+2x +3；设直线为y =kx +n 过点A -1，0 ，C 2，3 ，得-k +n =02k +n =3，解得k =1n =1 ，∴直线AC 为y =x +1；(2)解：∵y =-x 2+2x +3=-x -1 2+4，∴D 1,4 ，令y =0，则0=-x 2+2x +3，解得x =-1或x =3，即抛物线与x 轴的另一个交点为3，0 ，作直线x =3，作点D 关于直线x =3的对称点D ，得D 坐标为5，4 ，如图，连接ND 交直线x =3于点M ，此时N 、M 、D 三点共线时，NM +MD 最小，即NM +MD 最小，设直线ND 的关系式为：y =ax +b ，把点N 0,3 和D 5,4 代入得b =35a +b =4 ，1∴直线NM 的函数关系式为：y =15x +3，当x =3时，y =185，∴m =185；(3)解：如图，∵PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，∴设Q x ，x +1 ，则P x ，-x 2+2x +3 ，∴PQ =-x 2+2x +3 -x +1 =-x 2+x +2=-x -12 2+94，∵-1<0，∴PQ 有最大值，最大值为94．2.如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为-1,0 ，且OA =OC =5OB ，抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0 图象经过A ，B ，C 三点．(1)求A ，C 两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD ⊥AC 于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．【答案】(1)解：∵点B 的坐标为-1,0 ，∴OB =1，∵OA =OC =5OB ，∴OA =OC =5，∴点A 5,0 ,C 0,-5 ；把点C0,-5代入得：-5a=-5，解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=x+1x-5=x2-4x-5；(3)解：∵直线CA过点C0,-5，∴可设其函数表达式为：y=kx-5，将点A5,0代入得：5k-5=0解得：k=1，故直线CA的表达式为：y=x-5，过点P作y轴的平行线交CA于点H，∵OA=OC=5，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵PH∥y轴，∴∠PHD=∠OCA=45°，∴PD=PH，∵PD⊥AC，∴PD=22PH，设点P x，x2-4x-5，则点H x,x-5，∴PD=22x-5-x2+4x+5=-22x2+522x=-22x-522+2528，∵-22<0，∴PD有最大值，当x=52时，其最大值为252 8，此时点P52,-354 ．3.如图抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0)，点C(0,3)，且OB=OC．(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点D、E是直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小(3)点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBP A 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．【答案】(1)解：∵OB =OC ，点C (0,3)，∴点B (3,0)，则抛物线的表达式为：y =a (x +1)(x -3)=a (x 2-2x -3)=ax 2-2ax -3a ，将点C (0,3)代入得，故-3a =3，解得：a =-1，故抛物线的表达式为：y =-x 2+2x +3，∵y =-x 2+2x +3=-x -1 2+4，函数的对称轴为：x =1；(2)四边形ACDE 的周长=AC +DE +CD +AE ，其中AC =AO 2+CO 2=12+32=10、DE =1是常数，故CD +AE 最小时，周长最小，取点C 关于直线x =1对称点C (2,3)，则CD =C D ，如图所示，取点A -1,1 ，则A D =AE ，点C 与C 关于x =1对称，则C 2,3 ，∴A C =32+22=13，∴CD +AE =A D +DC ，则当A 、D 、C 三点共线时，CD +AE =A D +DC 最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值=AC +DE +CD +AE=10+1+A D +DC=10+1+A C 10+1+13；(3)如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBP A 的面积分为3：5两部分，又∵S △PCB ：S △PCA =12EB ×(y C -y P )：12AE ×(y C -y P )=BE ：AE ，则AE=52或32，即：点E的坐标为32,0或12,0，∵C0,3，设直线CP的表达式：y=kx+3，将点E的坐标代入直线CP的表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3，联立y=-x2+2x+3y=-2x+3，y=-x2+2x+3y=-6x+3，解得：x=4或x=8(x=0舍去)，故点P的坐标为(4,-5)或(8,-45)．4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)，与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点(点P不与点B,C重合)，连结PB，PC，以PB，PC为边作▱CPBD，点P的横坐标为m．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)当▱CPBD有两个顶点在x轴上时，则点P的坐标为；(3)当▱CPBD是菱形时，求m的值．(4)当m为何值时，▱CPBD的面积有最大值？【答案】(1)解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)，∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)，即y=x2-2x-3，(2)解：∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3，令x=0，则y=-3，∴C(0,-3)，∵▱CPBD有两个顶点在x轴上时，∴点D在x轴上，∵四边形CPBD是平行四边形，∴CP∥BD，∴点P和点C为抛物线上的对称点，∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为x=--22×1=1，C(0,-3)，∴P(2,-3)，故答案为：(2,-3)；(3)解：设点P的坐标为(m,y)，∵B(3,0)，C(0,-3)，∴BP2=(3-m)2+y2，CP2=m2+(m+3)2，∵▱CPBD 是菱形，∴BP =CP ，∴BP 2=CP 2，∴(3-m )2+y 2=m 2+(y +3)2，9-2m +m 2+y 2=m 2+y 2+6y +9，m +y =0，∵y =m 2-2m -3，∴m +m 2-2m -3=0，m 2-m -3=0，m =-(-1)±(-1)2-4×1×(-3)2×1=1±132，即m 1=1+132，m 2=1-132，∵点P 是抛物线在第四象限上一个动点(点P 不与点B ,C 重合)，∴0<m <3，∴m =1+132；(4)解：如图所示，过点P 作PE ∥y 轴交直线BC 于点E ，设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)，将B (3,0)，C (0,-3)代入得，3k +b =0b =-3 ，解得，k =1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =x -3，设P (m ,m 2-2m -3)，则E (m ,m -3)，∴PE =-m 2+3m ，∴S △PBC =12×3(-m 2+3m )，∵S ▱CPBD =2S △PBC=2×12×3(-m 2+3m )=-3m 2+9m=-3m -32 2+274，∴当m =32时，平行四边形CPBD 的面积有最大值．5.二次函数y =ax 2+bx +4a ≠0 的图象经过点A -4,0 ,B 1,0 ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)在对称轴上是否存在一个点M ，使MB +MC 的和最小，存在的话，请求出点M 的坐标．不存在的话请说明理由．(3)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式．【答案】(1)解：把A -4,0 ,B 1,0 代入y =ax 2+bx +4a ≠0 得：16a -4b +4=0a +b +4=0 ，解得a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)在对称轴上存在一个点M ，使MB +MC 的和最小，理由如下：连接AC 交对称轴于M ，则MB +MC 的和最小，如图：∵MA =MB ，∴MB +MC =MA +MC ，而C ，M ，A 共线，∴此时MB +MC 最小，在y =-x 2-3x +4中，令x =0得y =4，∴C 0,4 ，设直线AC 的表达式为y =rx +s ，由A -4,0 ，C 0,4 可得-4r +s =0s =4解得r =1s =4 ∴直线AC 解析式为y =x +4，由y =-x 2-3x +4=-x +32 2+254知抛物线对称轴为直线x =-32，在y =x +4中，令x =-32得y =52，∴M -32,52；(3)设BP 交y 轴于K ，如图：∵PD⊥x轴，∴∠DPB=∠OKB，∵∠DPB=2∠BCO，∴∠OKB=2∠BCO，∴∠CBK=∠BCO，∴BK=CK，设OK=m，则CK=BK=4-m，∵OB2+OK2=BK2，∴12+m2=4-m2，解得m=15 8，∴K0,158，设直线BP的表达式为y=px+q，由B1,0，K0,15 8得到p+q=0q=158解得p=-158 q=158∴直线BP的表达式为y=-158x+158．6.如图，抛物线y=14x2-32x交x轴正半轴于点A，M是抛物线对称轴上的一点，过点M作x轴的平行线交抛物线于点B，C(B在C左边)，交y轴于点D，连结OM，已知OM=5．(1)求OD的长．(2)P是第四象限内抛物线上的一点，连结P A，AC，OC，PO．设点P的横坐标为m，四边形OCAP的面积为S．①求S关于m的函数表达式．②当∠POC=∠DOC时，求S的值．【答案】解：(1)抛物线对称轴为x=-b2a=3，∴DM=3，OA=6；∵OM =5，∴OD =OM 2-DM 2=52-32=4．(2)过点P 作PN ⊥OA 于N ,①由y =0得，0=14x 2-32x解得：x =0(舍去)，x =6∴OA =6，∴S 四边形OCAF =S △OAC +S △OAP=12⋅OA ⋅OD +12⋅OA ⋅PN=12×6×4+12×6-14m 2-32m=12+3-14m 2+32m=-34m 2+92m +12所以，S 关于m 的表达式为：S =-34m 2+92m +12②MC =CD -DM =5=OM ，∴∠MOC =∠MCO ．∵BC ∥x 轴，∴∠AOC =∠MCO =∠MOC ．∵∠POC =∠DOC ，∴∠POC -∠AOC =∠DOC -∠MOC ，∴∠POE =∠DOM ，∴tan ∠POA =tan ∠DOM =34，∴-y p x P =34∴y P =-34x p ，代入抛物线解析式得-34x p =14x 2p -32x p解得x P =0(舍去)或x P =3，∴y P =-34x p =-34×3=-94∴S 四边形OCAF =S △OAC +S △OAP=12⋅OA ⋅OD +12⋅OA ⋅PN =18.757.如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过B -3,0 ,C 0,3 两点，与x 轴的另一个交点为A ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点E ，使得AE +CE 的值最小，求点E 的坐标；(3)设点P 为x 轴上的一个动点，写出所有使△BPC 为等腰三角形的点P 的坐标，并把求其中一个点P 的坐标的过程写出来．【答案】(1)解：将点B -3,0 ,C 0,3 代入抛物线解析式得-9-3b +c =0c =3，解得b =-2c =3 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2-2x +3；(2)解：∵抛物线解析式为y =-x 2-2x +3=-x +1 2+4，∴抛物线的对称轴为直线x =-1，∵点A 、B 关于对称轴对称，∴BE =AE ，∴AE +CE =BE +CE ，∴当B 、C 、E 三点共线时，BE +CE 最小，即此时AE +CE 最小，∴BC 与对称轴的交点即为点E ，如下图，设直线BC 解析式为y =mx +n ，∴-3m +n =0n =3，解得m =1n =3 ，∴直线BC 的解析式为y =x +3；当x =-1时，y =x +3=2，∴E -1，2 ；(3)解：∵B -3,0 ,C 0,3 ，∴OB =OC =3，∴BC =32+32=32，当B 为顶点时，则PB =BC =32，∴点P 的坐标为32-3,0 或-32-3,0 ；当C为顶点时，则PC=BC，∴点P与点B关于y轴对称，∴点P的坐标为3，0；当BC为底边时，则PC=PB，设点P的坐标为m，0，∴-3-m2=m2+32，解得m=0∴点P的坐标为0，0；综上，点P的坐标为0，0或3，0或32-3,0或-32-3,0．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=12x2平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M(点M在第四象限)，对称轴与抛物线y=12x2交于点N，且MN=4．(1)求平移后抛物线的表达式；(2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由；(3)抛物线y=12x2上的点A平移后的对应点是点B，BC⊥MN，垂足为点C，如果△ABC是等腰三角形，求点A的坐标．【答案】(1)解：由题意得，平移后的抛物线表达式为：y=12x2+bx，则点M的坐标为：-b,-1 2 b2，当x=-b时，y=12x2=12b2，即点N-b,12b2，则MN=12b2+12b2=4，解得：b=2(舍去)或b=-2，则平移后的抛物线表达式为：y=12x2-2x；(2)解：四边形OMPN是正方形，根据题意可得O0,0，M2,-2，N2,2，P4,0，记MN与OP交于点G，则G2,0，∴OG=GP=2，MG=NP=2，MN=OP=4，NO=NP=22，∴四边形OMPN是平行四边形，∵MN=OP=4，∴四边形OMPN是矩形，∵NO=NP=22，∴四边形OMPN是正方形；(3)解：设A a ,12a 2 ，B a +2,12a 2-2 ，C 2,12a 2-2 ，可得AB =22，AC =a -2 2+22，BC =a 2，①AB =AC ，22=a -2 2+22，即a 2-4a =0，解得a 1=4，a 1=0(舍去0)，∴A 4,8 ；②AB =BC ，22=a 2，解得a 1=22，a 1=-22，∴A 22,4 或A -22,4 ；③AC =BC ，a -2 2+22=a 2，解得a =2，∴A 2,2 ；综上，点A 的坐标是4,8 、22,4 、-22,4、2,2 ．9.综合与探究如图，抛物线y =12x 2-32x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．过点A 的直线与抛物线在第一象限交于点D 5,3 ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线AD 的函数表达式．(2)点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ，交直线AD 于点F ．试探究是否存在一点P ，使线段EF 最大．若存在，请求出EF 的最大值；若不存在，请说明理由．(3)若点M 在抛物线上，点N 是直线AD 上一点，是否存在以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是以BD 为边的平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)解：令y =0，则12x 2-32x -2=0，解得x =4或x =-1，∴A -1,0 ，B 4,0 ，令x =0，则y =-2，∴C 0,-2 ，设直线AD 的函数表达式为y =kx +b ，将A -1,0 ，D 5,3 的坐标代入得，-k +b =05k +b =3 ，解得：k =12b =12，∴y =12x +12；(2)解：存在，理由如下：设P a ,0 ，则E a ,12a 2-32a -2 ，F a ,12a +12，∵P 线段AB 上的一个动点，∴E 在x 轴下方，∴EF =12a +12-12a 2-32a -2 =-12a 2+2a +52=-12a -2 2+92，∵-12<0，∴当a =2时，EF 有最大值，最大值为92；(3)解：存在，点M 的坐标为0,-2 ，2+14,4+142 或2-14,4-142；设M m ,12m 2-32m -2 ，N n ,12n +12，∵B 4,0 ，D 5,3 ，①当平行四边形对角线为BN 和DM 时，则4+n 2=5+m 20+12n +122=3+12m 2-32m -22 ，解得：m =0n =1 或m =4n =5 (当m =4时，M 4,0 与B 点重合，不符合题意，舍去)∴点M 的坐标为0,-2 ；②当平行四边形对角线为BM 和DN 时，则4+m 2=5+n 20+12m 2-32m -22=3+12n +122 ，解得：m =2+14n =1+14 或m =2-14n =1-14 ，∴点M 的坐标为2+14,4+142 或2-14,4-142，综上所述，点M 的坐标为0,-2 ，2+14,4+142 或2-14,4-142 ．10.如图，已知直线y =34x +3与x 轴交于点D ，与y 轴交于点C ，经过点C 的抛物线y =-14x 2+bx +c 与x 轴交于A -6，0 、B 两点，顶点为E ．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)连接DE ，求tan ∠CDE 的值；(3)设P 为抛物线上一动点，Q 为直线CD 上一动点，是否存在点P 与点Q ，使得以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)解：对于y =34x +3，由x =0，得y =3，∴C 0，3 ，∵抛物线过点A -6，0 、C 0，3 ，-14×-6 2-6b +c =0c =3 ，解得：b =-1c =3 ，∴该抛物线为y =-14x 2-x +3；(2)解：由y =-14x 2-x +3=-14x +2 2+4得顶点E -2，4 ，过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，作EG ⊥y 轴于G ，连接EC ，则EF =4，DF =2，EG =2，CG =1，∴DF EF =12=CG EG，∵∠DFE =∠CGE =90°，∴△DFE ∽△CGE∴∠DEF =∠CEG ，EC DE =CG DF=12．∵∠CEG +∠CEF =90°，∠DEF +∠CEF =90°，∴∠DEC =90°，∴tan ∠CDE =EC DE =12；(3)设Q m ，34m +3 ①若DE 为平行四边形的一边，且点P 在点Q 的上方，∵D -4，0 ，E -2，4 ，Q m ，34m +3 ，∴P m +2，34m +7 ，代入抛物线得：34m +7=-14m +2 2-m +2 +3，解得m 1=-7，m 2=-4(舍去)∴Q -7，-94；②若DE 为平行四边形的一边，且点P 在点Q 的下方，∵D -4，0 ，E -2，4 ，Q m ，34m +3 ，∴P m -2，34m -1 ，同理得Q -3+892,15+3898或Q -3-892,15-3898 ，③若DE 为平行四边形的对角线∵∵D -4，0 ，E -2，4 ，Q m ，34m +3 ，∴P -m -6，-34m +1 代入抛物线得：-34m +1=-14-m -6 2--m -6 +3，解得m 1=-1，m 2=-4(舍去)∴Q -1,94，综上所述，点Q 的坐标为-7，-94 Q -3+892,15+3898 或Q -3-892,15-3898或-1,94 ．11.如图，已知抛物钱经过点A (-1，0)，B (3，0)，C (0，3)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 是线段BC 上的点(不与B ，C 重合)，过M 作MN ∥y 轴交抛物线于点N ．若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长；(3)在(2)的条件下，连接NB 、NC ，当m 为何值时，△BNC 的面积最大，最大面积是多少？【答案】(1)解：根据题意，抛物钱与x 轴交于点A (-1，0)，B (3，0)设抛物线解析式为y =a x +1 x -3将C (0，3)代入可得：-3a =3，解得a =-1即y =-x +1 x -3 =-x 2+2x +3；(2)设直线BC 的解析式为y =kx +b将B (3，0)、C (0，3)代入可得：3k +b =0b =3 ，解得k =-1b =3即y =-x +3，则M (m ,-m +3)，N (m ,-m 2+2m +3)，MN =-m 2+2m +3--m +3 =-m 2+3m ；(3)由题意可得：S △BNC =S △BNM +S △MNC =12×MN ×OB =32-m 2+3m =-32m 2+92m∵-32<0，开口向下，∴m =-92-2×32=32时，S △BNC 面积最大，∴最大面积为S △BNC =-32×32 2+92×32=278．12.如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，顶点为D ，其中A 1,0 ，C 0,3 ．直线y =mx +n 经过B ，C 两点．(1)求直线BC 和抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点M ，使MA +MC 最小，直接写出点M 的坐标；(3)连接BD ，CD ，求△BCD 的面积．【答案】解:(1)将点A 1,0 ，C 0,3 代入y =-x 2+bx +c ，得-1+b +c =0,c =3,解这个方程组，得b =-2,c =3.∴抛物线的解析式为y =-x 2-2x +3.当y =0时，0=-x 2-2x +3=-x +3 x -1 ，解得x 1=-3，x 2=1，∴点B 的坐标为-3,0 ，∵直线y =mx +n 经过B ，C 两点，∴-3m +n =0n =3，解得m =1n =3 ，∴直线BC 解析式为y =x +3；∴当点M是直线BC和对称轴的交点时，MA+MC取得最小值，∵抛物线y=-x2-2x+3=-x+12+4，∴点D的坐标为-1,4，对称轴为直线x=1，将x=1代入直线y=x+3，得：y=-1+3=2，∴点M的坐标为-1,2；(3)∵点D-1，4，点M-1,2，∴DM=4-2=2，∵点B-3，0，∴BO=3，∴S△BCD=S△DMB+S△DMC=12DM⋅BO=12×2×3=3．13.抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A-2,0和B4,0，与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点(不与点B,C重合)，过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t．(1)求该拋物线的解析式；(2)用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标；(3)过点C作CH⊥PN于点H,S△BMN=9S△CHM，①求点P的坐标；②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2∴4a-2b-4=016a+4b-4=0，即2a-b=24a+b=1，∴a=12 b=-1∴抛物线的解析式为：y=12x2-x-4；(2)解：令x=0得y=-4，∴C0,-4设直线BC的解析式为y=kx+b，∴b=-44k+b=0∴k=1b=-4 ，∴直线BC的解析式为：y=x-4 ∵P的横坐标为t，PM∥y轴，∴P t,12t2-t-4，M t,t-4，∴PM=t-4-12t2-t-4=-12t2+2t=-12t-22+2，∵-12<0，∴当t=2时，PM有最大值2，此时M2,-2；(3)解：①∵B4,0、C0,-4，∴OB=OC=4，∵∠BOC=90°，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵PN∥y轴∴∠NMB=∠OCB=45°，∠MNB=∠COB=90°，∴∠NBM=∠NMB，∴BN=MN，∴S△BMN=12BN2，又∠CMH=∠NMB=45°，∠CHM=90°，∴△CHM是等腰直角三角形∴S△CHM=12CH2∵S△BMN=9S△CHM∴12BN 2=9×12CH 2∴BN =3CH ，∵BN +CH =OB =4，∴CH =1∴P 1,-92 ；②设Q 0,m ，则CQ 2=4+m 2，CP 2=1+-4+92 2=54，PQ 2=1+m +92 2，(Ⅰ)当∠CQP =90°时，54=4+m 2+1+m +92 2，解得：m =-4(舍去)或m =-92，∴Q 0,-92 ；(Ⅱ)当∠CPQ =90°时，54+1+m +92 2=4+m 2，解得：m =-132， ∴Q 0,-132(Ⅲ)当∠PCQ =90°时54+4+m 2=1+m +92 2解得：m =-4(舍去)综上所述，存在点Q 0,-132 或Q 0,-92使得△CPQ 为直角三角形．14.如图，抛物线y =ax 2+bx +c a >0 交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，交y 轴于点C ．(1)若A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)，①求抛物线的解析式；②若点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐标；(2)若直线y=bx+t t>c与抛物线交于点M、N(点M在对称轴左侧)，直线AM交y轴于点E，直线AN交y轴于点D．试说明点C是线段DE的中点．【答案】解：(1)①把A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-3)分别代入y=ax2+bx+c，得a-b+c=09a+3b+c=0c=-3，解得a=1b=-2 c=-3 ，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．②设P(m，0)，过Q作QH⊥x轴于H，则∠PHQ=90°，∵△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴PC=PQ，∠CPQ=90°，∴∠OPC+∠HPQ=90°，∠HQP+∠HPQ=90°，∴∠OPC=∠HQP，在△POC和△QHP中∠OPC=∠HQP∠COP=∠PHQCP=QP，∴△POC≌△QHP AAS，∴QH=OP=m，PH=OC=3．当点H在点P的右侧时，OH=m+3，∴Q(m+3，-m)，把Q(m+3，-m)代入y=x2-2x-3，得-m=m+32-2m+3-3，解得m=0或-5，此时，P(0，0)或P(-5，0)．当点H在点P的左侧时，H(m-3，0)，∴Q (m -3，m )，代入y =x 2-2x -3，得m =m -3 2-2m -3 -3，整理，得m 2-9m +12=0，解得m =9±332，此时P 9+332,0 或9-332,0 综上，点P 的坐标为P (0，0)或P (-5，0)或P 9+332,0或9-332,0 (2)设直线AM 为y =kx +m ，直线AN 为y =k 1x +m 1，联立y =bx +t y =ax 2+bx +c ，得ax 2+c -t =0，∴x M +x N =0．联立y =kx +m y =ax 2+bx +c ，得ax 2+b -k x +c -m =0，∴x A x M =c -m a ．同理，得x A x N =c -m 1a．∴x A x M +x A x N =x A x M +x N =0，∴c -m a +c -m 1a=0，∴c -m =m 1-c ．∵D (0，m 1)，E (0，m )，C (0，c )，∴CD =m 1-c ，CE =c -m ，∴CE =CD ，∴点C 为线段DE 的中点．15.如图，二次函数y =-x 2+c 的图象交x 轴于点A 、点B ，其中点B 的坐标为(2,0)，点C 的坐标为(0,2)，过点A 、C 的直线交二次函数的图象于点D ．(1)求二次函数和直线AC的函数表达式；(2)连接DB，则△DAB的面积为；(3)在y轴上确定点Q，使得∠AQB=135°，点Q的坐标为；(4)点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以AD为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵二次函数y=-x2+c的图象过点B(2,0)，∴0=-22+c，解得c=4∴二次函数解析式为y=-x2+4∴A点坐标为(-2,0)设直线AC的解析式为y=kx+b∴0=-2k+b2=b，解得：k=1b=2∴直线AC的解析式为y=x+2(2)∵直线AC：y=x+2与二次函数交于点A、D∴联立y=-x2+4y=x+2，解得x=-2y=0或x=1y=3∴D点坐标为：(1,3)∵AB=4∴S△DAB=12AB×y D =12×3×4=6(3)∵C(0,2)，A点坐标为(-2,0)∴∠CAB=45°当Q在正半轴时，∵∠AQB=135°，QA=QB∴∠QAO=22.5°=12∠CAO∴AQ平分∠CAO过Q作PQ⊥AC于P设OQ =x ，则OQ =PQ =x ,CQ =2PQ =2x∴OC =OQ +CQ =2x +x =2解得x =22-2∴Q 点坐标为(0,22-2)当Q 在与轴负半轴时，根据对称性可得Q 点坐标为(0,2-22)∴Q 点坐标为(0,2-22)或(0,22-2)(4)当AD 是矩形边长时过A 作AM ⊥AD 交抛物线于M∵直线AC 的解析式为y =x +2∴设直线AM 的解析式为y =-x +b 1代入A 点(-2,0)得b 1=-2∴直线AM 的解析式为y =-x -2∴联立y =-x 2+4y =-x -2，解得x =-2y =0 或x =3y =-5 ∴M 点坐标为(3,-5)∵此时MN 平行且等于AD∴由A (-2,0)平移到D (1,3)与由M (3,-5)平移到N 的平移方式一致∴N 点坐标为(6,-2)同理：:过D 作DM ⊥AD 交抛物线于M ，此时M (0,4)，N (-3,1)综上所述，存在，N 点坐标为(6,-2)或(-3,1)16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D(2,1)，抛物线的对称轴交直线BC 于点E．(1)求抛物线y =-x 2+bx +c 的表达式；(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h (h >0)，在平移过程中，该抛物线与直线BC 始终有交点，求h 的最大值；(3)M 是(1)中抛物线上一点，N 是直线BC 上一点．是否存在以点D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)解：由D (2,1)可知，-b 2×-1 =24×-1 c -b 24×-1 =1，解得：b =4c =-3 ，∴y =-x 2+4x -3．(2)分别令y =-x 2+4x -3中，x =0，y =0得，B (3，0)，C (0，-3)；设BC 的表达式为：y =kx +n k ≠0 ，将B (3，0)，C (0，-3)代入y =kx +n 得，0=3k +n -3=0+n 解得：k =1n =-3 ；∴BC 的表达式为：y =x -3；抛物线平移后的表达式为：y =-x 2+4x -3-h ，根据题意得，y =-x 2+4x -3-h y =x -3，即x 2-3x +h =0，∵该抛物线与直线BC 始终有交点，∴-3 2-4×1×h ≥0，∴h ≤94，∴h 的最大值为94．(3)存在，理由如下：将x =2代入y =x -3中得E 2，-1 ，①当DE 为平行四边形的一条边时，∵四边形DEMN 是平行四边形，∴DE ∥MN ，DE =MN ，∵DE ∥y 轴，∴MN ∥y 轴，∴设M m，-m2+4m-3，N m，m-3，当-m2+4m-3-m-3=2时，解得：m1=1，m2=2(舍去)，∴N1，-2，当m-3--m2+4m-3=2时，解得：m1=3+172，m2=3-172，∴N3+172，17-3 2或N3-172，-17+32；②当DE为平行四边形的对角线时，设M p，-p2+4p-3，N q，q-3，∵D、E的中点坐标为：(2，0)，∴M、N的中点坐标为：(2，0)，∴p+q2=2-p2+4p-3+q-32=0 ，解得：p1=1 q1=3，p2=2q2=2(舍去)，∴此时点N的坐标为(3，0)；综上分析可知，点N的坐标为：1，-2或3+172，17-32或3-172，-17+32或(3，0)．。

函数与几何综合问题(共25题)(学生版)--2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题32函数与几何综合问题(25题)一、填空题1(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为-8，6，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线y=-2x-6与AB交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段BC上，动点N在直线y=-2x-6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为2(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，直线y=-13x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线y=-43x+2上的一动点，动点E m，0，F m+3，0，连接BE，DF，HD．当BE+DF取最小值时，3BH+5DH的最小值是．3(2023·江苏无锡·统考中考真题)二次函数y=a(x-1)(x-5)a>1 2的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点M3，1的直线将△ABC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a 的值为．二、解答题4(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2-6x+8=0的两个根(OB>OC)．请解答下列问题：(1)求点B 的坐标；(2)若OD :OC =2:1，直线y =-x +b 分别交x 轴、y 轴、AD 于点E ，F ，M ，且M 是AD 的中点，直线EF 交DC 延长线于点N ，求tan ∠MND 的值；(3)在(2)的条件下，点P 在y 轴上，在直线EF 上是否存在点Q ，使△NPQ 是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5(2023·湖南·统考中考真题)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上运动，满足AB 2=BC 2+AC 2，延长AC 至点D ，使得∠DBC =∠CAB ，点E 是弦AC 上一动点(不与点A ，C 重合)，过点E 作弦AB 的垂线，交AB 于点F ，交BC 的延长线于点N ，交⊙O 于点M (点M 在劣弧AC上)．(1)BD 是⊙O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记△BDC ，△ABC ，△ADB 的面积分别为S 1，S 2，S ，若S 1⋅S =S 2 2，求tan D 2的值；(3)若⊙O 的半径为1，设FM =x ，FE ⋅FN ⋅1BC ⋅BN +1AE ⋅AC=y ，试求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．6(2023·湖南·统考中考真题)我们约定：若关于x 的二次函数y 1=a 1x 2+b 1x +c 1与y 2=a 2x 2+b 2x +c 2同时满足a 2-c 1+(b 2+b 1)2+c 2-a 1 =0，b 1-b 22023≠0，则称函数y 1与函数y 2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：(1)若关于x 的二次函数y 1=2x 2+kx +3与y 2=mx 2+x +n 互为“美美与共”函数，求k ，m ，n 的值；(2)对于任意非零实数r ，s ，点P r ，t 与点Q s ，t r ≠s 始终在关于x 的函数y 1=x 2+2rx +s 的图像上运动，函数y 1与y 2互为“美美与共”函数．①求函数y 2的图像的对称轴；②函数y 2的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x 的二次函数y 1=ax 2+bx +c 与它的“美美与共”函数y 2的图像顶点分别为点A ，点B ，函数y 1的图像与x 轴交于不同两点C ，D ，函数y 2的图像与x 轴交于不同两点E ，F ．当CD =EF 时，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．7(2023·江苏无锡·统考中考真题)如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠A =60°，点Q 为CD 的中点，P 为线段AB 上的动点，现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ．(1)当∠QPB =45°时，求四边形BB C C 的面积；(2)当点P 在线段AB 上移动时，设BP =x ，四边形BB C C 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．8(2023·江苏徐州·统考中考真题)如图，在平而直角坐标系中，二次函数y =-3x 2+23x 的图象与x 轴分别交于点O ,A ，顶点为B ．连接OB ,AB ，将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转60°得到线段AC ，连接BC ．点D ,E 分别在线段OB ,BC 上，连接AD ,DE ,EA ,DE 与AB 交于点F ,∠DEA =60°．(1)求点A ,B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①∠EDA 的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，△BDE 的面积为．9(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．10(2023·吉林·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =4cm ，点O 是对角线AC 的中点，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动，点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC -CD 向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M ，连接QO 并延长交折线DA -AB 于点N ，连接PQ ，QM ，MN ，NP ，得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x (s )(0<x <4)，四边形PQMN 的面积为y (cm 2)(1)BP 的长为cm ，CM 的长为cm ．(用含x 的代数式表示)(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 的值．11(2023·广东·统考中考真题)综合运用如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，如图2，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α0°<α<45° ，AB 交直线y =x 于点E ，BC 交y 轴于点F ．(1)当旋转角∠COF 为多少度时，OE =OF ；(直接写出结果，不要求写解答过程)(2)若点A (4,3)，求FC 的长；(3)如图3，对角线AC 交y 轴于点M ，交直线y =x 于点N ，连接FN ，将△OFN 与△OCF 的面积分别记为S 1与S 2，设S =S 1-S 2，AN =n ，求S 关于n 的函数表达式．12(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．13(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A (0,2),B (2,0)．点E 位于第二象限且在直线y =-2x 上，∠EOD =90°，OD =OE ，连接AB ，DE ，AE ，DB ．(1)直接判断△AOB 的形状：△AOB 是三角形；(2)求证：△AOE ≌△BOD ；(3)直线EA 交x 轴于点C (t ,0),t >2．将经过B ，C 两点的抛物线y 1=ax 2+bx -4向左平移2个单位，得到抛物线y 2．①若直线EA 与抛物线y 1有唯一交点，求t 的值；②若抛物线y 2的顶点P 在直线EA 上，求t 的值；③将抛物线y 2再向下平移，2(t -1)2个单位，得到抛物线y 3．若点D 在抛物线y 3上，求点D 的坐标．14(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一边OC 在x 轴正半轴上，顶点A 的坐标为2,23 ，点D 是边OC 上的动点，过点D 作DE ⊥OB 交边OA 于点E ，作DF ∥OB 交边BC 于点F ，连接EF ．设OD =x ,△DEF 的面积为S ．(1)求S 关于x 的函数解析式；(2)当x 取何值时，S 的值最大？请求出最大值．15(2023·天津·统考中考真题)在平面直角坐标系中，O 为原点，菱形ABCD 的顶点A (3,0),B (0,1),D (23,1)，矩形EFGH 的顶点E 0,12 ,F -3,12 ,H 0,32．(1)填空：如图①，点C 的坐标为，点G 的坐标为；(2)将矩形EFGH 沿水平方向向右平移，得到矩形E F G H ，点E ，F ，G ，H 的对应点分别为E ，F ，G ，H ．设EE =t ，矩形E F G H 与菱形ABCD 重叠部分的面积为S ．①如图②，当边E F 与AB 相交于点M 、边G H 与BC 相交于点N ，且矩形E F G H 与菱形ABCD 重叠部分为五边形时，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围：②当233≤t ≤1134时，求S 的取值范围(直接写出结果即可)．16(2023·浙江温州·统考中考真题)如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，BE ⊥CD ，交CD 延长线于点E ，交半圆于点F ，已知OA =32，AC =1．如图2，连接AF ，P 为线段AF 上一点，过点P 作BC 的平行线分别交CE ，BE 于点M ，N ，过点P 作PH ⊥AB 于点H ．设PH =x ，MN =y ．(1)求CE 的长和y 关于x 的函数表达式．(2)当PH <PN ，且长度分别等于PH ，PN ，a 的三条线段组成的三角形与△BCE 相似时，求a 的值．(3)延长PN 交半圆O 于点Q ，当NQ =154x -3时，求MN 的长．17(2023·新疆·统考中考真题)【建立模型】(1)如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC ⊥BC ，AB ⊥BE ，ED ⊥BD ，垂足分别为C ，B ，D ，AB =BE ．求证：△ACB ≌△BDE ；【类比迁移】(2)如图2，一次函数y =3x +3的图象与y 轴交于点A 、与x 轴交于点B ，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到BC 、直线AC 交x 轴于点D ．①求点C 的坐标；②求直线AC 的解析式；【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y =x 2-3x -4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于C点，已知点Q (0，-1)，连接BQ ．抛物线上是否存在点M ，使得tan ∠MBQ =13，若存在，求出点M 的横坐标．18(2023·江苏连云港·统考中考真题)【问题情境建构函数】(1)如图1，在矩形ABCD 中，AB =4,M 是CD 的中点，AE ⊥BM ，垂足为E ．设BC =x ,AE =y ，试用含x 的代数式表示y ．【由数想形新知初探】(2)在上述表达式中，y 与x 成函数关系，其图像如图2所示．若x 取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．【数形结合深度探究】(3)在“x 取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y 随x 的增大而增大；②函数值y 的取值范围是-42<y <42；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点A 、B 、C 、D ，使得四边形ABCD 是平行四边形．其中正确的是．(写出所有正确结论的序号)【抽象回归拓展总结】(4)若将(1)中的“AB=4”改成“AB=2k”，此时y关于x的函数表达式是；一般地，当k≠0,x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质(直接写出3条即可)．19(2023·四川凉山·统考中考真题)阅读理解题：阅读材料：如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα=1 2，则tanβ=13．证明：设BE=k，∵tanα=12，∴AB=2k，易证△AEB≌△EFC AAS∴EC=2k,CF=k，∴FD=k,AD=3k∴tanβ=DFAD =k3k=13，若α+β=45°时，当tanα=12，则tanβ=13．同理：若α+β=45°时，当tanα=13，则tanβ=12．根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线y=3x-9与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA=5．(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出tan ∠BAM 、tan ∠NAE 的值；(3)求直线AE 的解析式．20(2023·山东泰安·统考中考真题)如图1，二次函数y =ax 2+bx +4的图象经过点A (-4,0),B (-1,0)．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P 在二次函数对称轴上，当△BCP 面积为5时，求P 坐标；(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D ，使∠DAB +∠ACB =90°；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D 的坐标；如果不正确，请说明理由．21(2023·湖北恩施·统考中考真题)在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与y 轴交于点A ，抛物线的对称轴与x 轴交于点B ．(1)如图，若A 0,3 ，抛物线的对称轴为x =3．求抛物线的解析式，并直接写出y ≥3时x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，若P 为y 轴上的点，C 为x 轴上方抛物线上的点，当△PBC 为等边三角形时，求点P ，C 的坐标；(3)若抛物线y =-12x 2+bx +c 经过点D m ,2 ，E n ,2 ，F 1,-1 ，且m <n ，求正整数m ，n 的值．22(2023·辽宁营口·统考中考真题)如图，抛物线y =ax 2+bx -1a ≠0 与x 轴交于点A 1,0 和点B ，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D 3,0 ，过点B 作直线l ⊥x 轴，过点D 作DE ⊥CD ，交直线l 于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当BQPQ=57时．求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF=∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．23(2023·山东日照·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy内，抛物线y=-ax2+5ax+2a>0交y 轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．(1)求点C，D的坐标；(2)当a=13时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点P为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M(4,0)，求点P的坐标；(3)坐标平面内有两点E1a ,a+1,F5,a+1，以线段EF为边向上作正方形EFGH．①若a=1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为52时，求a的值．24(2023·江苏无锡·统考中考真题)已知二次函数y=22x2+bx+c的图像与y轴交于点A，且经过点B(4,2)和点C(-1,2)．(1)请直接写出b，c的值；(2)直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y=22x2+bx+c图像上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．25(2023·辽宁·统考中考真题)如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A和点B4，0，与y轴交于点C0，4，点E在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．11。

初中数学函数综合压轴题小汇总,中考生记得查看!

初中数学函数综合压轴题小汇总，中考生记得查看！
初中常见函数1、一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；2、反比例函数，它所对应的图像是双曲线；3、二次函数，它所对应的图像是抛物线。

求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。

典型例
题
解题反思此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数解析式，两点间的结论公式，解本题的关键是相似三角形的性质的运用。

数学函数型综合题的特点
1.以坐标系为桥梁，运用数形结合思想纵观最近几年的压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。

2.以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。

因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。

例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。

3.利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的考试压轴题分类讨论思想解题已成为新的
热点。

典型例题
解题反思本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数
图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，能运用相似比计算线段的长；会运用方程的思想和分类讨论的思想解决问题。

专题14 中考数学必考34个考点函数综合题(解析版)

专题14 函数的综合问题1.一次函数与二次函数的综合。

2.一次函数与反比例函数的综合。

3.二次函数与反比例函数的综合。

4.一次函数、二次函数和反比例函数的综合。

【例题1】(2019黑龙江绥化)一次函数y1＝－x+6与反比例函数y2＝8x(x>0)的图象如图所示.当y1>y2时,自变量x的取值范围是______.第18题图【答案】2<x<4【解析】令－x+6＝8x,解得x1＝2,x2＝4,∴根据图象可得,当y1>y2时,自变量x的取值范围是2<x<4.【例题2】（2019吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+83(a＞0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB 的中点，则ɑ的值为专题知识回顾专题典型题考法及解析【答案】2.【解析】本题主要考查二次函数的综合运用，首先根据二次函数的解析式可得出点A 和点M 的坐标，然后将二次函数的解析式配方写出y=a (x -1)2+83-a 的形式，得出点P 的坐标，进而得出OP 的方程，进而得出点B 的坐标，最后根据M 为线段AB 的中点，可得883a-=4，进而得出答案. 令x =0，可得y =83， ∴点A 的坐标为（0，83）， ∴点M 的坐标为（2，83）. ∵y =ax 2-2ax +83=a (x -1)2+83-a ， ∴抛物线的顶点P 的坐标为（1，83-a ）， ∴直线OP 的方程为y =(83-a )x ，令y =83，可得x =883a-， ∴点B 的坐标为（883a -，83）. ∵M 为线段AB 的中点， ∴883a-=4，解得a =2。

【例题3】（2019广西省贵港市）如图，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为(1,0)，点(4,4)D 在反比例函数(0)k y x x=>的图象上，直线23y x b =+经过点C ，与y 轴交于点E ，连接AC ，AE ．（1）求k ，b 的值；（2）求ACE ∆的面积．【答案】将解析。

函数与几何综合问题专练2023中考真题分类汇编(共25题)(解析版)

专题32函数与几何综合问题（25题）一、填空题1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为()86-，，过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点C 、点A ，直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上，动点N 在直线26y x =--上，若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为【答案】()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】如图，由AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，可得N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，可得N 是圆H 与直线26y x =--的交点，当,M B 重合时，符合题意，可得()8,6M -，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，证明MNK NAJ ≌，设(),26N x x --，可得MK NJ x ==-，266212KN AJ x x ==---=--，而8KJ AB ==，则2128x x ---=，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，∴N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，∴N 是圆H 与直线26y x =--的交点，当,M B 重合时，∵()8,6B -，则()4,3H -，∴4MH AH NH ===，符合题意，∴()8,6M -，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，∴90NAJ ANJ ∠+∠=︒，【答案】392【分析】作出点()32C -，，作CD 直角三角形求得1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，利用待定系数法求得直线DG y ⊥轴于点G ，此时35BH +【详解】解：∵直线123y x =-+则2CP =，3OP =，∵CFP AFD ∠=∠，∴FCP FAD ∠=∠，∴tan tan FCP FAD ∠=∠，∴PF OB PC OA=，即226PF =，∴23PF =，则1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设直线CD 的解析式为y kx =+则321103k b k b +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得311k b =⎧⎨=-⎩∴直线CD 的解析式为3y x =联立，311123y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩即3971010D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；过点D 作DG y ⊥轴于点G ，②如图2，直线BM过AC中点，直线BM解析式为1522y x=-+，AC中点坐标为910a=；③如图3，直线CM过AB中点，AB中点坐标为()3,0，5⑤如图5，直线ME ∥AC ，MN CO ∥，则EMN ACO∽∴12BE AB =，又4AB =，∴22BE =，∵53222BN =-=<，∴不成立；⑥如图6，直线ME ∥BC ，同理可得12AE AB =，∴22AE =，222NE =-，tan tan MEN CBO ∠∠=，∴155222a =-，解得212a +=；综上所述，910a =或225+或212+．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．二、解答题4．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCD Y 的顶点B ，C 在x 轴上，D(1)求点B 的坐标；(2)若:2:1OD OC =，直线y x b =-+分别交x DC 延长线于点N ，求tan MND ∠的值；(3)在（2）的条件下，点P 在y 轴上，在直线存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点【答案】(1)()4,0B -(2)1tan 3MND ∠=(3)存在，等腰三角形的个数是8个，1652Q ⎛- ⎝【分析】（1）解方程得到OB ，OC 的长，从而得到点（2）由:2:1OD OC =，2OC =，得4OD =线y x b =-+中，求得b 的值，从而得到直线的解析式，进而求得点45FEO ∠=︒．过点C 作CH EN ⊥于H ，过点::2:1DO OC NK CK ==，进而得到2NK CK =EC CK =，由211EC OC OE =-=-=可得CK 得到22cos EK EN KEN ==∠，在Rt ECH △中，322NH EN EH =-=，最终可得结果tan MND ∠（3）分PN PQ =，PN NQ =，PQ NQ =三大类求解，共有【详解】（1）解方程2680x x -+=，得14x =OB OC > ，（3）解：由（2）知：直线EF 解析式为设()0,P p ，(),1Q q q -+，①当5PN QN ==时，()()2223025p -+--=，()23q -+解得6p =-或2p =，6522q +=或∴1652524,22Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，2652Q ⎛+ ⎝如图，11PQ N 、12PQ N 、21P Q N ；②当5PQ QN ==时，由①知：1652524,22Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，2652,2Q ⎛+ ⎝；③当5PN PQ ==时，由①知：()10,6P -，()20,2P ，当()10,6P -时，()()22061q q -+-+-解得13q =（舍去），24q =，∴()34,3Q -，如图，当()20,2P 时，()()220215q q -++-=解得13q =（舍去），24q =-，综上，等腰三角形的个数是8个，符合题意的Q 坐标为16525,2Q ⎛- ⎝【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与平行四边形，等腰三角形的综合问题，数形结合思想是解题的关键．5．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点使得DBC CAB ∠=∠，点E 是弦AC 上一动点（不与点交BC 的延长线于点N ，交O 于点M (1)BD 是O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记BDC ABC ADB ，，的面积分别为(3)若O 的半径为1，设FM x =，FE 自变量x 的取值范围．【答案】(1)BD 是O 的切线，证明见解析(2)152+∴在Rt OFM △中，2OF OM =∴211BF BO OF x =+=+-，AF2②若a c=，则A、B关于y轴对称，以综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．(1)当45QPB ∠=︒时，求四边形(2)当点P 在线段AB 上移动时，设【答案】(1)438+(2)23234312x S x =++【分析】（1）连接BD 、可得PBQ 为等腰直角三角形，则四边形ABCD 为菱形，∠PB x=，23BQ=，PBQ(1)求点,A B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①EDA ∠的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，【答案】(1)()20A ，，()13B ，；∵()2313y x =--+，∴抛物线对称轴为1x =，即1ON =，∵将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转∵2OA OB AC BC ====，∴四边形OACB 是菱形，∴BC OA ∥，∵DH BN ⊥，AN BN ⊥，∴DH BC OA ∥∥，∴MBE MHD ∠∠=，MEB MDH ∠∠=∵DE 的中点为点M ，∴MD ME =，∴MBE MHD ≌，∴DH BE =，∵90ANM ∠=︒，∴1809090MBE ANM ∠∠=︒-︒=︒=，∵DE 的中点为点M ，DAE 是等边三角形，∴AM DE ⊥，∴90AME ∠=︒，∴180BME NMA ∠∠+=︒，∴BME NAM ∠∠=，(1)求点,,D E C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <，连接,AF DF ①求证：DFC △是直角三角形；②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点,K P 是直线坐标．【答案】(1)(3,1)C ，(0,2)D ，(6,0)E (2)①证明见解析，②点P 的坐标为(1,3)或(7,3【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；（2）①设(,0),F m 然后利用勾股定理求解，m-①抛物线231y x x =-++交y 轴于点A ，当0x =时，1,y =．(0,1),A ∴1OA ∴=,在Rt AOF 中，90AOF ∠=︒，由勾股定理得222AF OA OF +=，设(,0),F m ,OF m ∴=221AF m ∴=+，(6,0),E ．6,OE ∴=6EF OE OF m ∴=-=-，2221,AF EF += 221(6)21,m m ∴++-=122,4m m ∴==，,OF EF < 2,m ∴=2OF ∴=，(2,0)F ∴．(0,2),D 2OD ∴=，OD OF ∴=．DOF ∴ 是等腰直角三角形，45OFD ∴∠=︒．过点C 作CG x ⊥轴，垂足为G ．(3,1),C 1,3CG OG ∴==，1,GF OG OF =-= ,CG GF ∴=CGF ∴ 是等腰直角三角形，45,GFC ∴∠︒=90,DFC ∴∠=︒DFC ∴ 是直角三角形．②FK 平分,90,DFC DFC ∠∠=︒(1)BP 的长为__________，CM 的长为_________(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 【答案】(1)()4x -；x(2)()(241216024162x x y x x ⎧-+⎪=⎨-+<≤⎪⎩(3)43x =或83x =【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出OM ANP CQM ≌即可；（2）分02x <≤，2<两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；（3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解．【详解】（1）解：依题意，1AP x x =⨯=()cm ，则∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AD BC DAB ∠=∠=︒∥，∵点O 是正方形对角线的中点，∴,OM OP OQ ON ==，则四边形PQMN 是平行四边形，∴MQ PN =，MQ NP ∥∴PNQ MQN ∠=∠，又AD BC ∥，∴ANQ CQN ∠=∠，∴ANP MQC ∠=∠，在,ANP CQM 中，ANP MQC NAP QCM NP MQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ANP CQM ≌，∴()cm MC AP x ==故答案为：()4x -；x ．（2）解：当02x <≤时，点Q 在BC 上，由（1）可得ANP CQM ≌，同理可得PBQ MDN ≌，∵4,2,PB x QB x MC x =-==，42QC x =-，则222MCQ BPQy AB S S =-- ()()164242x x x x =--⨯--241216x x =-+；当24x <≤时，如图所示，则AP x =，224AN CQ x CB x ==-=-，()244PN AP AN x x x =-=--=-+，∴()44416y x x =-+⨯=-+；综上所述，()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩；当四边形PQMN 是菱形时，则∴()()2242x x x -+=解得：0x =（舍去）②如图所示，当PB =424x x -=-，解得x 当四边形PQMN 是菱形时，则综上所述，当四边形【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．(1)当旋转角COF ∠为多少度时，OE OF =；（直接写出结果，不要求写解答过程）(2)若点(4,3)A ，求FC 的长；(3)如图3，对角线AC 交y 轴于点M ，交直线y x =于点N ，连接FN ，将OFN △1S 与2S ，设12S S S =-，AN n =，求S 关于n 的函数表达式．【答案】(1)22.5︒(2)154FC =(3)212S n =【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出AOG ∠=45EOG ∠=︒，即可求解；（2）过点A 作AP x ⊥轴，根据勾股定理及点的坐标得出5OA =，再由相似三角形的判定和性质求解即可；（3）根据正方形的性质及四点共圆条件得出O 、C 、F 、N 四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出FN ON =，90FNO ∠=︒，过点N 作GQ BC ⊥于点G ，交OA 于点形的判定和性质得出,CG OQ CO QG ==，结合图形分别表示出1S ，2S ，得出（2）过点A 作AP x ⊥轴，如图所示：∵(4,3)A ，∴3,4AP OP ==，∴5OA =，∵正方形OABC ，∴5OC OA ==，90C ∠=∴90C APO ∠∠==︒，∵AOP COF ∠∠=，∴OCF OPA ∽ ，∴OC FC OP AP=即543FC =，∴154FC =；（3）∵正方形OABC ，∵BC OA ∥，∴GQ OA ⊥，∵90FNO ∠=︒，∴1290∠∠+=︒，∵1390∠∠+=︒，∴23∠∠=，∴(AAS)FGN NQO ≌ ∴,GN OQ FG QN ==，∵GQ BC ⊥，FCO COQ ∠∠=∴四边形COQG 为矩形，∴,CG OQ CO QG ==，∴(211S S ON OQ ===(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=︒，点的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE Q F +的最小值为m ．①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =-，请直接写出k 的取值范围．【答案】(1)32，2，()1,0-，12(2)()2,3（3）解：①如图2，作DH ⊥∵90BQD BDQ ︒∠+∠=，HDF ∠∴QD HDF ∠=∠，∵QE DF =，DH BQ =，∴(SAS)BQE HDF ≌，∴BE FH =，∴BE QF FH QF QH +=+≥，∴Q ，F ，H 共线时，BE Q F +②如图3，作PT y ∥轴，交设22,1T a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，,P a ⎛ ⎝则21132222S a a ⎛=-+++ ⎝∴04S <≤，∴21044m k <-≤，∴0174k <-≤，∴1317k ≤<．【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与(1)直接判断AOB 的形状：AOB 是_________三角形；(2)求证：AOE BOD △≌△；(3)直线EA 交x 轴于点(,0),2C t t >．将经过B ，C 两点的抛物线21y ax =物线2y ．①若直线EA 与抛物线1y 有唯一交点，求t 的值；②若抛物线2y 的顶点P 在直线EA 上，求t 的值；③将抛物线2y 再向下平移，22(1)t -个单位，得到抛物线3y ．若点D 在抛物线【答案】(1)等腰直角三角形(2)详见解析(3)①3t =；②6t =；③126,55D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由(0,2),(2,0)A B 得到2OA OB ==，又由90AOB ∠=︒，即可得到结论；（2）由90EOD ∠=︒，90AOB ∠=︒得到AOE BOD ∠=∠，又有AO OB =AOE BOD △≌△；（3）①求出直线AC 的解析式和抛物线1y 的解析式，联立得()23x t -+22(3)43(3)0t t t ∆=+-⨯=-=即可得到t 的值；∵90EOD ∠=︒，90AOB ∠=︒，AOB AOD DOE ∴∠-∠=∠-∠AOE BOD ∴∠=∠，∵,AO OB OD OE ==，(SAS)AOE BOD ∴△≌△；（3）①设直线AC 的解析式为(0,2),(,0)A C t ，∴90EMO OND ∠=∠=︒，90DOE ∠=︒ ，∴EOM MEO EOM NOD ∠+∠=∠+∠∴MEO NOD ∠=∠，∵OD OE =，∴(AAS)ODN EOM ≌，∴,ON EM DN OM ==，∵OE 的解析式为2y x =-，∴设22EM OM m ==,∴DN OM m ==，EM x ⊥ 轴,∴OA EM ∥,∴~CAO CEM ，::OC CM OA EM ∴=,22t t m m∴=+,1t m t ∴=-,∴2221t EM ON OM m t ====-，DN 2,11t t D t t ⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭, 抛物线2y 再向下平移22(1)t -个单位，得到抛物线2222(2)y x t x(1)求S 关于x 的函数解析式；(2)当x 取何值时，S 的值最大？请求出最大值．【答案】(1)23232S x x =-+(2)当2x =时，S 的最大值为23∵顶点A 的坐标为()2,23，∴()222234OA =+=，2OG =，∴1cos 2OG AOG AO ∠==，①如图②，当边E F ''与AB 相交于点M 、边G H ''与BC 相交于点N ，且矩形E F G H ''''与菱形为五边形时，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围：②当2311334t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】(1)()3,2，33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)①332t <≤；②3316S ≤≤【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解；（2）①由题意易得3,1EF E F EH E H ''''====，然后可得60ABO ∠=︒，则有32EM =，进而根据割补∵四边形ABCD 是菱形，且(3,0),(0,1),(2A B D ∴()()2230012AB AD ==-+-=，AC BD ⊥∴2AC =，∴()3,2C ，故答案为()3,2，33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）解：①∵点10,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点13,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点∴矩形EFGH 中，EF x ∥轴，EH x ⊥轴，EF ∴矩形E F G H ''''中，E F x ''∥轴，E H x ''⊥轴，由点()3,0A ，点()0,1B ，得3,1OA OB ==．在Rt ABO △中，tan 3OA ABO OB ∠==，得ABO ∠在Rt BME △中，由1tan 60,12EM EB EB =⋅︒=-此时面积S 最大，最大值为133S =⨯=当1134t =时，矩形E F G H ''''和菱形ABCD 由（1）可知B 、D 之间的水平距离为23，则有点由①可知：60D B ∠=∠=︒，(1)求CE的长和y关于x的函数表达式．(2)当PH PN<，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与(3)延长PN交半圆O于点Q，当1534NQ x=-时，求【答案】(1)165CE=，25412y x=-+(2)1615或2740或6041(3)17 8【分析】（1）如图1，连接OD，根据切线的性质得出出165CE=；证明四边形APMC是平行四边形，得出MN（2）根据BCE三边之比为3:4:5，可分为三种情况．当:3:4PH PN=时，分别列出比例式，进而即可求解．∵CD 切半圆O 于点D ，∴OD CE ⊥．∵32OA =，1AC =，∴52OC =，∴2CD =．∵BE CE ⊥，∴OD BE ∥，∴CD CO CE CB=，即5224CE =，∴165CE =．∵MN CB ∥，∴四边形APMC 是平行四边形，∴sin 1sin PH PH CM PA ===∠∵MN ME BC CE =，则90AQB AGQ ∠=∠=︒，∴QAB BQG ∠=∠．∵1534NQ x =-，PN y =。

初三年级中考数学函数综合题汇总(可编辑修改word版)

，初三中考函数综合题汇总1、抛物线 y = ax 2+ bx （ a ≠ 0 ）经过点 A (1 9) ，对称轴是直线 x = 2 ，顶点是 D ，与 x 4（1）求抛物线 y = ax 2 + bx （ a ≠ 0 ）的解析式和顶点 D 的坐标；轴正半轴的交点为点 B ．（2）过点 D 作 y 轴的垂线交 y 轴于点C ，点 M 在射线 BO 上，当以 DC 为直径的⊙ N 和以 MB 为半径的⊙ M相切时，求点 M 的坐标．2、如图，已知二次函数 y = -x 2 + 2mx 的图像经过点 B （1,2），与 x 轴的另一个交点为 A ，点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C ，过点 B 作直线 BM ⊥ x 轴垂足为点 M ．（1）求二次函数的解析式；3 （2）在直线 BM 上有点 P （1，），联结 CP 和 CA ，判断直线 CP 与直线 CA 的位置关系，并说明理由；2（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点 E ，使得以 A 、C 、P 、E 为顶点的四边形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由。

第 24 题33、如图，直线 AB 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ，O 是坐标原点，A （-3，0）且 sin ∠ABO= ，抛物线 y =ax 2+bx +c5经过 A 、B 、C 三点，C （-1，0）. （1）求直线 AB 和抛物线的解析式；（2）若点 D （2，0），在直线 AB 上有点 P ，使得△ABO 和△ADP 相似，求出点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，以 A 为圆心，AP 长为半径画⊙A ，再以 D 为圆心，DO 长为半径画⊙D ，判断⊙A 和⊙D的位置关系，并说明理由.学习指导参考yCD BAPOx4、已知平面直角坐标系 xOy （如图 7），抛物线 y = 1 x 2 + bx + c 经过点 A (-3,0) 、C (0,- 3) .22（1）求该抛物线顶点 P 的坐标；（2）求tan ∠CAP 的值；（3）设Q 是（1）中所求出的抛物线的一个动点，点Q 的横坐标为t ，当点Q 在第四象限时，用含t 的代数式表示△QAC 的面积.图 75、以点 P 为圆心 PO 长为半径作圆交 x 轴交于点 A 、O 两点，过点 A 作直线 AC 交 y 轴于点C ,与圆 P 交于点 B ，sin ∠CAO = 3 5(1) 求点 C 的坐标； (2) 若点 D 是弧 AB 的中点，求经过 A 、 D 、 O 三点的抛物线y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 的解析式；(3) 若直线 y = kx + b (k ≠ 0) 经过点 M (2,0) ，当直线 y = kx + b (k ≠ 0) 与圆 P 相交时，求b 的取值范围．6、如图，点 A （2，6）和点 B （点 B 在点 A 的右侧）在反比例函数的图像上，点 C 在 y 轴上，BC // x 轴，tan ∠ACB = 2 ，二次函数的图像经过 A 、B 、C 三点．（1）求反比例函数和二次函数的解析式；（2）如果点 D 在 x 轴的正半轴上，点 E 在反比例函数的图像上，四边形 ACDE 是平行四边形，求边 CD 的长．yA学习指导参考CBy1- 1 O-11x7、已知抛物线 y = -x 2 + bx + c 经过点 A （0，1)，B (4，3)．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan ∠ABO 的值；（3）过点B 作BC ⊥ x 轴，垂足为C ，在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线段 AB 于点 N ，交抛物线于点 M ，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标．8、已知：如图六，抛物线 y ＝x 2－2x ＋3 与 y 轴交于点 A ，顶点是点 P ，过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B ．平移该抛物线，使其经过 A 、B 两点．（1）求平移后抛物线的解析式及其与 x 轴另一交点 C 的坐标；（2）设点 D 是直线 OP 上的一个点，如果∠CDP ＝∠AOP ，求出点 D 的坐标．（图六）9、已知二次函数 y = -x 2 + bx + c 的图像经过点 P （0,1）与 Q （2,-3）.（1）求此二次函数的解析式；（2）若点 A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点 A 作 x 轴的平行线交二次函数图像于点 B ，分别过点 B 、A 作 x轴的垂线，垂足分别为 C 、D ，且所得四边形 ABCD 恰为正方形.①求正方形 ABCD 的面积；②联结 PA 、PD ，PD 交 AB 于点 E ，求证：△PAD ∽△PEA .10、已知：在平面直角坐标系中，一次函数 y = x + 3 的图像与 y 轴相交于点 A ，二次函数y = -x 2 + bx + c 的图像经过点 A 、B （1，0），D 为顶点．（1）求这个二次函数的解析式，学习指导参考WORD 格式整理版（第24 题并写出顶点 D 的坐标；（2）将上述二次函数的图像沿 y 轴向上或向下平移，使点 D 的对应点 C 在一次函数 y = x + 3 的图像上，求平移后所得图像的表达式；（3）设点 P 在一次函数 y = x + 3 的图像上，且 S ∆ABP = 2S ∆ABC ，求点 P 的坐标．11、已知：如图，点 A （2，0），点 B 在 y 轴正半轴上，且OB = 1OA ．将点 B 绕点 A 顺时针方向旋转90 至2点 C ．旋转前后的点 B 和点 C 都在抛物线 y = - 5x 2 + bx + c 上．6（1）求点 B 、C 的坐标；（2）求该抛物线的表达式；（3）联结 AC ，该抛物线上是否存在异于点 B 的点 D ，使点 D 与 AC 构成以 AC 为直角边的等腰直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的 D 点坐标，如果不存在，请说明理由．12、如图，抛物线 y = x 2 + bx - c 经过直线 y = x - 3 与坐标轴的两个交点 A 、B ，此抛物线与 x 轴的另一个交点为 C ，抛物线的顶点为 D . (1) 求此抛物线的解析式（4 分）； (2) 点 P 为抛物线上的一个动点，求使S ∆APC ∶ S ∆ACD =5∶4 的点 P 的坐标（5 分）；(3) 点 M 为平面直角坐标系上一点，写出使点 M 、A 、B 、D 为平行四边形的点 M 的坐标（3 分）.第 24 题第 2413、将抛物线 y = -x 2 平移，平移后的抛物线与 x 轴交于点 A （-1，0）和点 B （3，0），与 y 轴交于点 C ，顶点为 D 。

初三数学函数综合-中考必做题(详解版)

1
2
3
随着运算次数的增加，运算结果越
4
5
6
7
8
的面积恰好等于正方形的面积，求点
，一次函数解析式为．
，
9
的图象相交于点，与轴相交于点．
10
11
12
13
14
15 16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
，试比较，对应的的范围．
；当时，
．
．
函数
函数基础知识
动点问题的函数图象
分段函数
二次函数
二次函数与方程不等式综合
二次函数与一元二次方程的关系
利用二次函数图象解决不等式问题26
的不等式组，恰有三个整数解，则关于
的图像的公共点的个数为
不等式组的解为：，
∵不等式组恰有个整数解，
．
联立方程组，得
，
这是一个二次函数，开口向上，
27
点关28
29
30。

初三中考数学函数综合题及答案

初三中考数学函数综合题及答案一、单选题1．已知三点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（1，﹣2）都在反比例函数ky x=的图象上，若x 1＜0，x 2＞0，则下列式子正确的是（） A ．y 1＜y 2＜0B ．y 1＜0＜y 2C ．y 1＞y 2＞0D ．y 1＞0＞y 22．下列函数中，y 是x 的一次函数的有（）． ①6y x =-；②223y x =+；③2y x =；④18y x =；⑤2y x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．将二次函数y 213x =-的图象先向下平移2个单位，再把所得图象以原点为中心，旋转180°，所得图象的表达式正确的是（） A ．y ＝﹣3x 2﹣2B ．y ＝3x 2+2C ．2123y x =--D ．2123y x =+ 4．下列各点中，在二次函数2y x =-的图象上的是（） A ．()1,1- B ．()2,2- C ．()3,3- D ．()4,4- 5．下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x ＝－2的是（）A ．222y x x =--B ．222y x x =-+C ．24y x x =--D ．24y x x =-+6．在反比例函数1ky x-=图像的每一个象限内，y 都随x 的增大而增大，则k 的取值范围是（）． A ．0k >B ．1k >C ．0k ≥D ．11k -≤<7．将抛物线()2321y x =-+先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后所得的抛物线解析式是（） A ．()2341y x =-- B ．()2343y x =-+ C ．233y x =+D ．231y x =-8．如图，小手盖住的点的坐标可能为（）A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，﹣1）C ．（1，﹣1）D ．（1，1） 9．如果点()3a a +，到x 轴距离等于4，那么a 的值为（） A ．4B ．7-C ．1D ．7-或110．反比例函数4y x=的图象位于（） A ．第一、二象限 B ．第三、四象限 C ．第二、四象限D ．第一、三象限11．如图，A ，B 两点在双曲线y =3x上，分别经过A ，B 两点向轴作垂线段，已知阴影小矩形的面积为1，则空白两小矩形面积的和1S +2S =( ）A ．2B ．3C ．4D ．612．下列y 关于x 的函数中，一次函数为（） A ．()2y a x b =-+B ．()211y k x =++C ．2y x= D ．221y x =+13．已知点M (-2， a )在第三象限，那么点N (a ， 2 )在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．已知点A （1，m ），B （32，n ），在一次函数y ＝2x +1的图象上，则m 与n 的大小关系是（） A ．m ＞nB ．m ＝nC ．m ＜nD ．无法确定15．如图所示，一次函数11y k x b =+的图象和反比例函数22k y x=的图象交于A （1，2），B （-2，-1）两点，若12y y <，则x 的取值范围是 ( )A ．x <1B ．x <-2C ．-2<x <0 或x >1D ．x <-2 或 0<x <1二、填空题16．如图，已知一次函数y ＝kx +b （k 、b 为常数，且k ≠0）与正比例函数y ＝ax （a 为常数，且a ≠0）相交于点P ，则不等式kx +b ＜ax 的解集是___．17．如图，不解关于x ，y 的方程组1y x y mx n=+⎧⎨=+⎩，请直接写出它的解____．18．已知直线y ＝2x 与y ＝﹣x +b 的交点为(﹣1，a )，则方程组20x y x y b -=⎧⎨+=⎩的解为____．19．如图，直线y ＝－x ＋2与y ＝kx ＋b （k ≠0且k ，b 为常数）的交点坐标为（3，－1），则关于x 的不等式kx ＋b ≥－x ＋2的解集为 ___．20．二次函数 2182y x x =-+ 的顶点坐标为___________三、解答题21．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．22．已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax ﹣2图象经过点P （﹣1，1）． (1)求a 的值和图象的顶点坐标；(2)若点Q （m ，n ）在该二次函数图象上，当﹣1≤m ＜4时，请根据图象直接写出n 的取值范围．23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数243y ax x =+-图象的顶点是A ，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于点D ．点B 的坐标是()1,0．(1)求A ，C 两点的坐标，并根据图象直接写出当0y >时x 的取值范围；(2)将图象向上平移m 个单位后，二次函数图象与x 轴交于E ，F 两点，若6EF =，求m 的值．24．已知二次函数23y ax bx =++的图像经过点（1，4）和点（2，3）． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求该二次函数图像的顶点坐标．(3)当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而减小？25．已知抛物线22(21)y x m x m =+++与x 轴有交点，求m 的取值范围．【参考答案】一、单选题 1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．B 7．A 8．A 9．D 10．D 11．C 12．B 13．B 14．C 15．D 二、填空题 16．x ＞217．12x y =⎧⎨=⎩18．12x y =-⎧⎨=-⎩19．3x ≥20．（8，32）三、解答题21．()223=+-y x【解析】【分析】已知顶点坐标，设成顶点式y=a（x+2）2﹣3，将（﹣3，﹣2）代入即可．【详解】解：设二次函数的解析式为：y=a（x+2）2﹣3，将（﹣3，﹣2）代入得：﹣2=a（﹣3+2）2﹣3，解得：a=1，∴这个二次函数的解析式为：y=（x+2）2﹣3．【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，根据顶点坐标设出二次函数的顶点式是解题的关键．22．(1)a＝1，顶点坐标为（1，﹣3）(2)﹣3≤n＜6【解析】【分析】（1）把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得到a的值，即可得到函数解析式，将解析式化为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标；（2）利用描点法画出函数图象，即可得到n的取值范围．(1)解：把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得a+2a-2=1，∴a＝1，∴y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，∴图象的顶点坐标为（1，﹣3）；(2)解：如图所示：由图象知，当m =-1时，n =1；当m =4时，n =6；图象最低点在此段函数图象上， ∴点Q （m ，n ）在该二次函数图象上，当﹣1≤m ＜4时，﹣3≤n ＜6．【点睛】此题考查了二次函数的知识，利用待定系数法求函数解析式，将函数解析式化为顶点式求顶点坐标，画函数图象，利用函数图象确定纵坐标的取值范围，属于基础题型． 23．(1)(2,1)A ，(3,0)C ，当0y >时，13x <<． (2)8m = 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出a ，再求出点C 的坐标即可解决问题．（2）由题意得抛物线的解析式为243y x x m =-+-+，设二次函数图象与x 轴交于1(E x ，0)，2(F x ，0)两点，则124x x +=，123x x m =-，由12|6|x x -=可得出答案．(1)解：把(1,0)B 代入243y ax x =+-，得043a =+-，解得1a =-，2243(2)1y x x x ∴=-+-=--+，)1(2,A ∴，对称轴为直线2x =，B ，C 关于2x =对称，(3,0)C ∴，∴当0y >时，13x <<．(2)解：抛物线向上平移m 个单位，可得抛物线的解析式为243y x x m =-+-+，设二次函数图象与x 轴交于1(E x ，0)，2(F x ，0)两点，则124x x +=，123x x m =-，12||6x x ∴-=，212()36x x ∴-=，21212()436x x x x ∴+-=， 164(3)36m ∴-⨯-=，8m ∴=．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是能够把二次函数的一般形式化为顶点式． 24．(1)2y x 2x 3=-++ (2)()1,4(3)当1≥x 时，y 随x 的增大而减小【解析】【分析】（1）将点（1，4）和（2，3）代入23y ax bx =++中，得344233a b a b ++=⎧⎨++=⎩，进行计算即可得；（2）将2y x 2x 3=-++配方得()214y x =--+，即可得；（3）根据二次函数的性质得即可得． (1)解：将点（1，4）和（2，3）代入23y ax bx =++中，得344233a b a b ++=⎧⎨++=⎩ 解得12a b =-⎧⎨=⎩则该二次函数表达式为2y x 2x 3=-++． (2)解：2y x 2x 3=-++ 配方得：()214y x =--+，则顶点坐标为（1，4）． (3)解：根据二次函数的性质得，当1≥x 时，y 随x 的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数，解题的关键是掌握二次函数的性质．25．14m ≥-【解析】【分析】根据抛物线与x 轴有交点转化为当0y =时，方程22(21)0x m x m +++=有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于或等于0，解不等式求解即可．【详解】∵抛物线22(21)y x m x m =+++与x 轴有交点， ∴方程22(21)0x m x m +++=有两个实数根． 22(21)40m m ∴∆=+-≥410m ∴+≥解得14m ≥-.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴交点问题，转化为一元二次方程根的判别式是解题的关键．一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．。

最新九年级中考数学专题：二次函数综合题(相似三角形问题)含答案

2023年九年级中考数学专题：二次函数综合题（相似三角形问题）1．如图1，抛物线()221y x m m =--+（m 为常数）与x 轴交于A B 、两点（点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C ．（1）下列说法：①抛物线开口向上，①点C 在y 轴正半轴上；①12m >；①抛物线顶点在直线21y x =-+上，其中正确的是_______；（2）如图2，若直线21y x =-+与该抛物线交于M N 、两点（点M 在点N 下方），试说明：线段MN 的长是一个定值，并求出这个值；（3）在（2）的条件下，设直线21y x =-+与y 轴交于点D ，连接BM BN BD 、、，当:1:2DN MN =时，求此时m 的值，判断MBN △与MDB △是否相似，并说明理由．2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()260y ax ax c a =-+>与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为C ，直线AC 交y 轴于点D ，连接BD ，且ABD △与ABC 的面积之比为1：2．（1）顶点C 的横坐标为__________；（2）求点B 的坐标；（3）连接CO ，将BCO 绕点C 按逆时针方向旋转一定的角度后，点B 与点A 重合，此时点O 恰好也在y 轴上，求抛物线的表达式．3．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ，点D 是直线BC 上方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，交直线BC 于点M ．当2DM ME =时，求点D 的坐标；（3）如图2，设AB 的中点为点N ，过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接CD 、CN ，使得以C 、D 、F 三点为顶点的三角形与CNO 相似，请直接写出点D 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2y a x h k =-+与x 轴相交于O ，A 两点，顶点P 的坐标为()2,1-．点B 为抛物线上一动点，连接,AP AB ，过点B 的直线与抛物线交于另一点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B 的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP ∠=∠，且点C 位于x 轴上方，求点C 的坐标；（3）若点B 的横坐标为t ，90ABC ∠=︒，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出当0t <时，点C 的横坐标的取值范围．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点（1）求证：①ACB =90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE +BF 的最大值；①点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线L 与x 轴交于,A B 两点，且经过点(0,2)C -，抛物线的顶点D 的坐标为325,28⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求抛物线L 的函数表达式；（2）如图1，点E 为第四象限抛物线L 上一动点，过点E 作EG BC ⊥于点G ，求EG 的最大值，及此时点E 的坐标；（3）如图2，连接,AC BC ，过点O 作直线//l BC ，点,P Q 分别为直线l 和抛物线L 上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点,P Q ，使PQB CAB ∽．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）过点A 作AP ①CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积；（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ①x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与①PCA 相似？若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．8．如图，在同一直角坐标系中，抛物线1L ：28y ax bx =++与x 轴交于()8,0A -和点C ，且经过点()2,12B -，若抛物线1L 与抛物线2L 关于y 轴对称，点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为'B ．（1）求抛物线2L 的表达式；（2）现将抛物线2L 向下平移后得到抛物线3L ，抛物线3L 的顶点为M ，抛物线3L 的对称轴与x 轴交于点N ，试问：在x 轴的下方是否存在一点M ，使MNA '与ACB '△相似？若存在，请求出抛物线的3L 表达式；若不存在，说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点(1,0),(3,0)A B -，与y 轴交于点C ，点P 是第一象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC 与OP ，交于点D ，当:PD OD 的值最大时，求点P 的坐标；（3）点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使90CMN ∠=︒，且CMN △与BOC 相似，若存在，请直接写出点M 的坐标．10．如图，已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -、()6,0B 两点，与y 轴交于C 点，设抛物线的顶点为D ．过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ．P 为线段DE 上一动点，(),0F m 为x 轴上一点，且PC PF ⊥．（1）求抛物线的解析式：（2）①当点P 与点D 重合时，求m 的值；①在①的条件下，将COF 绕原点按逆时针方向旋转90︒并平移，得到111C O F △，点C ，O ，F 的对应点分别是点1C ，1O ，1F ，若COF 的两个顶点恰好落在抛物线上，直接写出点1F 的坐标；（3）当点P 在线段DE 上运动时，求m 的变化范围．11．综合与实践如图1，抛物线y ＝﹣83x 2﹣94x +6与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线AC 的表达式；（2）点E 在抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点F ，使得以点A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，设点P 从点O 出发以1个单位长度/秒的速度向终点A 运动，同时点Q 从点A 出发以54个单位长度/秒的速度向终点C 运动，运动时间为t 秒，当①OPQ 的平分线恰好经过OC 的中点时，求t 的值．12．抛物线23y x bx =-++与x 轴交于(3,0),(1,0)A B -两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使12ACPACDSS =，求点P 的坐标；（3）在坐标轴上找一点M ，使以点B ，C ，M 为顶点的三角形与ACD △相似，直接写出点M 的坐标．13．如图，将抛物线2443y x =-+平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C ，新抛物线与x 轴正半轴交于点B ，联结BC ，tanB 4=，设新抛物线与x 轴的另一交点是A ，新抛物线的顶点是D ．（1）求点D 的坐标；（2）设点E 在新抛物线上，联结,AC DC ，如果CE 平分DCA ∠，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线2443y x =-+沿x 轴左右平移，点C 的对应点为F ，当DEF 和ABC 相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(2)3，和(312)--，．（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点A 和点()10B ,，交y 轴于点()0,3C ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 是抛物线上A 、D 之间的一点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，PG y ⊥轴，交抛物线于点G ，过点G 作GF x ⊥轴于点F ，当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作直线MN x ⊥轴交抛物线于点N ，是否存在点M ，使得AMN 与OBC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,2C -．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，求DEAE的最大值；（3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线//l BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使PQB CAB ∽．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图1，在平面直角坐标xoy 系中，已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （﹣4，0）、B（2，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，沿直线AC 平移抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c ，使得A 、C 两点的对应点E 、F 始终在直线AC上．①设在平移过程中抛物线与y 轴交于点M ，求点M 纵坐标的最大值；①试探究抛物线在平移过程中，是否存在这样的点E ，使得以A 、E 、B 为顶点的三角形与①ABF 相似．若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0），B （4，0），E （1，3），与y 轴交于点C ．（1）求该二次函数表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）P 为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P 作PQ ∥AC ，交直线BC 于点Q ，作PM ∥y 轴交BC 于M ．①求证：△PQM ∽△COA ； ②求线段PQ 的长度的最大值．19．如图，直线y x n =-+与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B ．（1）求抛物线的解析式；（2）(m,0)E 为x 轴上一动点，过点E 作ED x ⊥轴，交直线AB 于点D ，交抛物线于点P ，连接BP ． ①点E 在线段OA 上运动，若BPD ∆直角三角形，求点E 的坐标；①点E 在x 轴的正半轴上运动，若45PBD CBO ∠+∠=︒．请直接写出m 的值．20．如图，点A ，B 都在x 轴上，过点A 作x 轴的垂线交抛物线24y x x =-+于点C ，过点B 作x 轴的垂线交该抛物线于点D ，点C ，D 都在第一象限，点D 在点C 的右侧，DE AC ⊥于点E ，连结CD ，BE ，//CD EB ．（1）若2OA =，求AB 的长．（2）若点A 是线段OB 的中点，求点E 的坐标．（3）根据（2）的条件，连结OD ，动点P 在线段OB 上，作PQ OD ⊥交OD 于点Q ，当PDQ 与CDE △相似时，求OQOD的值．答案1．（1）①①①；（3）m =3，相似；m =1，不相似2．（1）3；（2）（5，0）；（3）2y 3．（1）2y x 2x 3=-++；（2）()2,3D ；（3）57,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭或315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭4．（1）214y x x =-或21(2)14y x =--；（2）点C 的坐标为(6,3)或51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）164t t --+；12C x ≥ 5．（1）（2）①9；①(4,6)D 或25(3,)4D ．6．（1）213222y x x =--；（2）max ()=EG E 的坐标为(2,3)-；（3）存在，点P 的坐标为6834,99⎛⎫ ⎪⎝⎭或⎝⎭． 7．（1）A （-1，0），B （1，0），C （0，-1）；（2）四边形ACBP 的面积为4；（3）M 点的坐标为（-2，3）或（43，79）或（4，15）． 8．（1）抛物线2L 的解析式为21382y x x =-++．（2）函数3L 的解析式为：2121322y x x =-+-或2126323y x x =-+-． 9．（1）2 246y x x =-++；（2）点P 的坐标为315,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在，点M 的坐标为939,48⎛⎫ ⎪⎝⎭． 10．（1）2134y x x =--；（2）①4；①1(2，9)16或13(6-，49)144；（3）748m ≤≤ 11．（1）直线AC 的表达式为364y x =+；（2）点E 1的坐标为20(3,)3--；点E 2的坐标为(3,10)-；点E 3的坐标为(3,3-+；点E 4的坐标为(3,3--；（3）t 的值为5．12．（1）223y x x =--+；(1,4)D -；（2）⎝⎭P 或⎝⎭；（3）点M 的坐标为(0,0)或(9,0)-，或10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭． 13．（1）16(1,)3-；（2）(2,4)-；（3）242()433y x =-++或241()4312y x =--+ 14．（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，点D 的坐标分别为3944⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(12)，；（3）当5p x >时，锐角PCO ACO ∠<∠；当5p x =时，锐角PCO ACO ∠=∠；当25p x <<时，锐角PCO ACO ∠>∠．15．（1）223y x x =--+，()1,4-；（2）()2,3P -；（3）存在，()2,0-或2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭16．（1）213222y x x =--；（2）45；（3）存在，点P 的坐标为6834,99⎛⎫ ⎪⎝⎭或⎝⎭17．（1）2142y x x =--+；（2）①6；①存在，E (62--或(62--18．（1）二次函数表达式为：213222y x x =-++ ；（2）△ABC 为直角三角形；（3）； 19．（1）234y x x =-++；（2）①(2,0)或(3,0)；①7m =或134．20．（1；（2）1296,749E ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）2或4932。