专题13.3 双曲线(精讲精析篇)(解析版)

专题13.3 双曲线（精讲精析篇）

提纲挈领

点点突破

热门考点01 双曲线的定义

1．双曲线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线

(1)在平面内；

(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；

(3)这一定值一定要小于两定点的距离．

2．双曲线的标准方程

标准方程x2

a2－

y2

b2＝1(a>0，b>0)

y2

a2－

x2

b2＝1(a>0，b>0)

图形

【典例1】（2020·浙江省高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|P A|–|PB|=2，且P为函数y=2

34x

|OP|=（）

A．22

B．

410

C

．7D．10

【答案】D

【解析】

因为||||24

PA PB

-=<，所以点P在以,A B为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1

c a

==可得，222413

b c a

=-=-=，即双曲线的右支方程为()

2

210

3

y

x x

-=>，而点P还在函数2

34

y x

=-的图象上，所以，

由

()

2

2

210

3

34

y

x x

y x

⎧

⎪

⎨

->

-

=

=

⎪

⎩

，解得

13

33

x

y

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪=

⎪⎩

，即

1327

10

44

OP=+=．

故选：D.

【典例2】（2020·全国高二课时练习）已知F为双曲线

22

:1

49

x y

C-=的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点(13,0)

A在线段PQ上，则PQF

△的周长为________．【答案】32

【解析】

根据题意，双曲线

22

:1

49

x y

C-=的左焦点(13,0)

F-，所以点(13,0)

A是双曲线的右焦点，虚轴长为：6；双曲线图象如图：

||||24PF AP a -==① ||||24QF QA a -== ②

而||12PQ =，

①＋②得：||||||8PF QF PQ +-=，

∴周长为||||||82||32PF QF PQ PQ ++=+=． 故答案为：32． 【总结提升】

1.双曲线定义的主要应用

(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．

(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．

2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．

4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．

热门考点02 双曲线的标准方程

【典例3】（2017·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的

渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）

A.22

1412

x y -= B.221124x y -= C.2213x y -= D.2

2

13

y x -=

【答案】D 【解析】

由题意结合双曲线的渐近线方程可得：

2222tan 603c c a b

b

a

⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：22

1,3a b ==，

双曲线方程为：2

2

13

y x -=.

本题选择D 选项. 【总结提升】

1．求双曲线方程的思路

(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：

一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为2

2

1(0)mx ny mn -=>，

②与22221x y a b

-=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a b λλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22

(0)

x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.

2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：

(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．

(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；

(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；

(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：

(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C 可以变形为x 2C A ＋y 2

C B ＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2

＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 2

1B ＝1.因此，

当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．

(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2

b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2

b 2－λ＝1(a >0，b >0)．