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三角函数题型总结含答案

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含绝对值的三角函数题型归纳

含绝对值的三角函数题型归纳

含绝对值的三角函数题型归纳1.sin .y x =的图象2.cos cos y x y x ==与的图象.3.tan y x =的图象.4.sin y x y x ==与的图象.5.tan y x y x ==与的图象.题型一：含绝对值的三角函数判断与应用1．关于三角函数的图像，有下列说法：①sin ||y x =与sin y x =的图像相同；②cos()y x =-与cos ||y x =的图像相同；③|sin |y x =与sin()y x =-图像关于x 轴对称；④cos y x =与cos()y x =-图像关于y 轴对称.其中正确的是__________.（写出所有正确说法的序号）【答案】②④【解析】对于②，()cos cos ,cos ||cos y x x y x x =-===，故其图像相同；对于④，()coscos y x x =-=，故其图像关于y 轴对称；由函数图像可知①③均不正确.故正确的说法是②④.故填②④2.图中的曲线对应的函数解析式是（）A．|sin |y x =B．sin ||y x =C．sin ||y x =-D．|sin |y x =-【答案】C【解析】当x>0,所以y=-sinx,又因为此函数为偶函数，所以y=－sin|x|.3（多选）.给出下列四个命题，其中正确的命题有（）A.函数tan y x =的图象关于点(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭对称B.函数sin y x =是最小正周期为π的周期函数C.θ为第二象限的角，且cos tan θθ>，则sin cos θθ>.D.函数2cos sin y x x =+的最小值为1-答案AD 解：对于A：函数tan y x =的图象关于点(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭对称，故A 正确；对于B：函数sin y x ==sin ,0sin ,0x x x x ≥⎧⎨-<⎩，图象关于y 轴对称，不是周期函数，故B 错误；对于C：由为第二象限的角,得tan sin θθ>,由cos tan θθ>,得sin cos θθ<,故C 错误;对于D：函数22215cos sin sin sin 1sin ,24y x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭当sin 1x =-时，函数的最小值为-1，故D 正确．故选：AD．3．函数sin sin y x x =-的值域是（）A.0B.[]1,1- C.[]0,1D.[]2,0-【答案】D【解析】：00y sinx sinx 20sinx sinx sinx >⎧=-=⎨<⎩，，，由此值域为[]y 2,0∈-4．在()0,2π内使sin cos x x >成立的x 的取值范围是（）A.3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.53,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.57,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A，【解析】∵sin cos x x >，∴sin 0x >，∴()0,x π∈.在同一坐标系中画出sin y x =，()0,x π∈与cos y x =，()0,x π∈的图像，如图.观察图像易得使sin cos x x >成立的3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选A.5.已知函数()sin cos f x x x =，则（D ）A.()f x 的值域为[]1,1- B.()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上单调C.π为()f x 的周期D.,02π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心6.（多选）.已知函数()[]sin cos f x x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大正数部分），则（AB）A.()f x 的最小正周期为2πB.()f x 是偶函数C.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 的值域为[]sin1,sin1-.题型二：方程零点与函数交点问题1．（2022·全国课时练）方程cos x x =在(),-∞+∞内（）A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根【答案】C【解析】在同一坐标系中作出函数y x =及函数cos y x =的图象，如图所示．发现有2个交点，所以方程cos x x =有2个根．2．方程3sin ([2,2])xx x ππ=∈-的实数解有_______________个.【答案】2.【解析】在区间[]2π,2π-上，分别画出3x y =和sin y x =的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像在区间[]2π,2π-上有两个交点，也即3sin ([2,2])x x x ππ=∈-的实数解有2个.故填：2.3．函数()lg cos f x x x =-在(),-∞+∞内的零点个数为__________．【答案】6.【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数lg y x =和cos y x =的图像如图，结合图像的对称性可以看出两函数lg y x =和cos y x =的图像应有六个交点，即函数()lg cos f x x x =-在(),-∞+∞内有六个零点，应填答案6。

三角函数题型学霸总结(含答案)-

三角函数题型学霸总结(含答案)-

三角函数题型学霸总结（含答案）阳光老师：祝你学业有成一、选择题（本大题共30小题，共150.0分）1.点在函数的图象上，则m等于A. 0B. 1C.D. 2【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了正弦函数的性质，属于基础题由题意知，求得m 的值．【解答】解：由题意知，所以，所以．2.用五点法画，的图象时，下列哪个点不是关键点A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数图象的作法，属于基础题．熟练掌握五点法作图即可．【解答】解：用“五点法”画，的简图时，横坐标分别为，纵坐标分别为0，1，0，，0，故选A．3.函数y x，x的大致图象是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图像，属于基础题利用“五点法”画出函数图像即可得出答案．【解答】解：“五点法”作图：x0010010121故选B．4.用“五点法”作出函数的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数图象的画法以及余弦函数的性质，属于基础题．分别令，，，，得，3，4，3，2，即可得到五点，再对照选项，即可得到答案．【解答】解：，分别令，，，，得，3，4，3，2，所以五个关键点为，，，，，可知A不属于．故选A．5.已知函数的图象与直线恰有四个公共点，，，，其中，则A. B. 0 C. 1 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角函数图象的作法及利用导数求函数图象的切线方程，属于较难题．由三角函数图象及利用导数求函数图象的切线方程可得：切点坐标为，切线方程为：，又切线过点，则，即，得解．【解答】解：由得其图象如图所示，当，，，由图知切点坐标为，切线方程为：，又切线过点，则，即，故选A．6.函数的部分图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断，函数奇偶性的运用，属于基础题．先判断出此函数是奇函数，再根据时，函数值为正即可找出可能的图象．【解答】解：函数是奇函数，故其图象关于原点对称，故排除B；又当时，函数值为正，仅有A满足，故它的图象可能是A中的图．故选A．7.函数恰有两个零点，则m的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的图象及函数零点．考查数形结合以及计算能力，属于中档题．将零点个数问题转化为交点问题，即与的交点个数，作出图象，数形结合可得答案．【解答】解：，的零点个数，就是与的交点个数，作出的图象，如图，由图象可知当或时，函数与有两个交点，故当函数恰有两个零点时，m的取值范围为．故选C．8.下列关于函数的表述正确的是A. 函数的最小正周期是B. 当时，函数取得最大值2C. 函数是奇函数D. 函数的值域为【答案】D【解析】【分析】本题主要考查正弦型函数的图象性质，函数的奇偶性、周期性及值域等，属于基础题．利用正弦型函数的性质，可得奇偶性、周期性及函数的值域，逐项分析，可得正确答案．【解答】解：函数的最小正周期是，故A错误；B.当时，函数，故B错误；C.函数是非奇非偶函数，故C错误；D.因为，故函数的值域为，故D正确．故选D．9.下列函数中，周期为，且在上为减函数的是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查正余弦函数，以及三角函数单调性和单调区间和周期性，属于基础题，可直接利用相关定义和正余弦函数单调性以及单调区间进行作答．【解答】解：考虑函数周期为，于是对形如的三角函数，必有，因此排除选C、D，又时，有，又因为正弦函数在区间上单调递减，于是选项A符合题意，余弦函数在区间上单调递增，故选项B错误．故本题选项为A．10.若函数与函数在区间上的单调性相同，则的一个值是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的单调性与单调区间、正弦、余弦函数的图象与性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：在区间上是单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故排除A．在单调递增，在上单调递减，故排除B．在单调递增，在上单调递减，故排除C．在区间上也是单调递减，故选D．11.已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数的图象A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的性质及函数图象变换，同时考查诱导公式，利用函数的周期性、函象变换规律、诱导公式，求得的解析式，再利用函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以最小正周期为，所以，则把其图象向左平移个单位后得到函数的图象，因为得到的图象关于y轴对称，所以，，又，所以，所以，当时，函数，所以的图象关于点对称．故选A．12.下列函数既是奇函数又在上是增函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了诱导公式，正弦、余弦函数的图象与性质，函数的定义域与值域，对数函数及其性质，复合函数的单调性，函数的奇偶性和指数函数及其性质．利用诱导公式和正弦的奇偶性对A进行判断，再利用函数的定义域对B进行判断，再利用对数函数的单调性，结合复合函数的单调性对C进行判断，最后利用指数函数的单调性和复合函数的单调性，结合函数的奇偶性对D进行判断，从而得结论．【解答】解：对于A，因为是上的减函数，所以A不符合题目条件对于B，因为函数在没有定义，所以B不符合题目条件对于C，因为是其定义域内的减函数，所以C不符合题目条件对于D，因为函数是奇函数，且在上是增函数，所以D符合题目条件．故选D．13.已知函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数的图象，则函数A. 在上是增函数B. 其图象关于直线对称C. 函数是偶函数D. 在区间上的值域为【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角函数图象的变换、三角函数图象的性质及三角函数的值域，属于中档题．由题意，先得到，根据三角函数图象的变换得到，再逐个分析选项即可得解．【解答】解：，因为函数的零点构成一个公差为的等差数列，所以函数的最小正周期，则，即，把函数的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数的图象，则，易得：是在上为减函数，其图象关于直线对称，且函数为奇函数，故选项A，B，C错误，当时，，函数的值域为，故选项D正确，故选：D．14.已知，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列的后三项的最大值的求法，涉及圆的参数方程，三角函数的辅助角公式和三角函数的性质，等差数列的性质等，是中档题．根据题意，设插入的三个数为a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，由等差数列的性质可得b、c的值，分析可得这个等差数列后三项和为，进而根据，设，，解答表示为角的三角函数形式的表达式，利用辅助角公式化简，利用三角函数性质能求出最大值．【解答】解：根据题意，设插入的三个数为a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，则有，则，，则这个等差数列后三项和为，又由，设，，则，即这个等差数列后三项和的最大值为；故选：C．15.已知，的最大值为a，最小值为b，的最大值为c，最小值为d，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，，，即，，，，又，．故选：A．本题考查了三角函数的性质的运用和复合函数的值域计算．属于中档题．16.已知直线与函数，其中的相邻两交点间的距离为，则函数的单调递增区间为A. B.C. D.【答案】B【解析】解：与函数，其中的相邻两交点间的距离为，函数的周期，即，得，则，由，，得，，即函数的单调递增区间为，，故选：B．根据最值点之间的关系求出周期和，结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，根据最值性求出函数的周期和，以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键．难度不大．17.已知函数，下列结论中正确的是A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的图象关于点对称D. 函数在内是增函数．【答案】D【解析】解：A错，最小正周期为，当时，，B错，当时，，单调递增，D成立，故选：D．利用正弦函数的性质判断即可．考查正弦函数的图象和性质的应用，基础题．18.函数的最小正周期是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：对于，，函数是函数轴上方的图象不动将x轴下方的图象向上对折得到的，如图示，故，故选：C．先求出的周期，再由函数是函数轴上方的图象不动将x 轴下方的图象向上对折得到，故其周期是原来的一半，得到答案．本题主要考查三角函数的最小正周期的求法和加绝对值后周期的变化．对于三角函数不仅要会画简单三角函数的图象还要会画加上绝对值后的图象．19.关于函数，给出下列命题：函数在上是增函数；函数的图象关于点对称；为得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度．其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．由时，可得，由的单调性即可判断；由可得，，即可判断；根据函数的图象平行移动规则即可判断．【解答】解：对于，时，，在上不是增函数，故错；对于，由可得，，可得函数的图象关于点对称，故正确；对于，函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度可得，故正确；故选：C．20.已知函数是上的增函数，且满足，则的值组成的集合为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正弦函数的性质，解决本题的关键是根据题意得到的值，属于较难题．首先根据函数在上是单调的得到，再结合，函数在上是增函数，从而得到的值，进而求得的值．【解答】解：函数是上的增函数，，，又，或当时，，2，10；当时，，6，．又函数在上是增函数，或，则当时，，当时，，的值组成的集合为故选A．21.函数的定义域为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的定义域，根据题意列出不等式，利用正弦函数的图象与性质解之即可．【解答】解：，，，．故选C．22.函数的值域为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，当时，函数取最大值，当时，函数取最小值，．故选：A．由，可得，利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23.函数的值域为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象与性质、辅助角公式，属于中档题由题意，令，去绝对值，再利用辅助角化简，结合正弦函数的性质求解即可．【解答】解：由题意，令，则，因为，所以，所以，即，所以，所以函数的值域为．故选A．24.函数在下面哪个区间内是增函数A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的单调性，属于基础题．求导，利用导函数大于零，解三角不等式，进而求得结果．【解答】解：令，则，可得，结合选项可知B正确，故选B．25.函数的值域是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查求余弦函数在给定区间上的值域，属于基础题．【解答】解：因为在递增，递减，且，所以的值域是．故选D．26.下列函数中，最小正周期为的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【试题解析】解：由于函数不是周期函数，故排除A；由于函数的周期为，故B不正确；由于函数的周期为，故排除C；由于函数的周期为，故D正确，故选：D．由题意利用三角函数的周期性，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．27.下列函数中，最小正周期是且图象关于直线对称的是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角函数的周期与对称性，直接由三角函数的性质求出最小正周期与对称轴即可得到答案．【解答】解：由题意知，当时，y可取得最值，即或．对于A，将代入，可得，故排除A；对于B，将代入，可得，故B正确；对于C，的周期为，故排除C；对于D，将代入，可得，故排除D．故选B．28.函数的图象与直线交点的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦函数的图象，属于基础题利用“五点作图法”作出函数的图象，确定出与直线只有1个交点．【解答】解：由函数的图象如图所示，可知其与直线只有1个交点．故选B．29.函数的定义域为A. B.C. D. R【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是求函数的定义域和余弦函数的图象与性质，属于基础题．要使函数有意义需满足，再结合余弦函数的性质求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则，得，所以，．故选C．30.下列不等式正确的是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查诱导公式，正余弦函数的图像和性质根据诱导公式化简，再由正余弦函数的性质比较大小．【解答】解：在单调递增，，，故此A选项错误；，，所以B正确；对于C，由结合正切函数的单调性，可得，得C正确对于D，，，，此时余弦函数为减函数，，即，故D错误．故选BC．二、不定项选择题（本大题共7小题，共28.0分）31.关于函数，下列选项正确的是A. 是偶函数B. 在区间单调递增C. 在有4个零点D. 的最大值为2【答案】AD【解析】【分析】本题考查三角函数的性质，根据条件结合三角函数的图象和性质逐项判断即可，属于基函数的性质；在当时，，利用零点定义借助奇偶性即可得到答案；利用最值定义即可判断．【解答】解：，故是偶函数，A对；时，，故在区间单调递减，B错；当时，，令得到或，又在是偶函数，故在有3个零点，分别为，C错；，故，又，故的最大值为2，D对．故选AD．32.函数在一个周期内的图象如图所示，则A. 该函数的解析式为B. 该函数的对称中心为C. 该函数的单调递增区间是D. 把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到该函数图象【答案】ACD【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质，考查正弦函数的图象与性质，属于中档题目．根据函数图象得出函数解析式，再借助正弦函数的图象与性质得出答案即可．【解答】解：由图可知，函数的周期为，故即，代入最高点有．因为故故A正确．对B，的对称中心：故该函数的对称中心为故B错误．对C，单调递增区间为，解得故C正确．对D，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到故D正确．故选ACD．33.下面选项正确的有A. 存在实数x，使B. 若，是锐角的内角，则C. 函数是偶函数D. 函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象【答案】ABC【解析】【分析】本题考查辅助角公式，正弦函数的性质，诱导公式的运用，考查余弦函数的性质，函数的图象与性质，属于中档题．将各个选项进行逐一分析求解即可．【解答】解：A选项：，则，又，存在x，使得，可知A正确；B 选项：为锐角三角形，，即，，又且在上单调递增，，可知B正确；C选项：，则，则为偶函数，可知C正确；D 选项：向右平移个单位得：，可知D错误．故选A B C．34.以下关于正弦定理或其变形正确的有A. 在中，若，则B. 在中，C. 在中，若，则，若，则都成立D. 在中，【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查正弦定理及其变形，还考查了理解辨析的能力，属于中档题．A.根据内角的范围，由，得或，再边角转化判断B.在中，根据正弦定理得：，再结合正弦函数的值域判断C.根据判断D.根据正弦定理，由判断．【解答】解：在中，若，则或，所以或，故A错误．B.在中，由正弦定理得：，因为所以，故B正确．C.在中，由正弦定理得，所以是充要条件，故C正确．D.在中，由正弦定理得，所以，故D正确．故选：BCD．35.已知函数，下列结论中正确的是A. 函数的周期为的偶函数B. 函数在区间上是单调减函数C. 若函数的定义域为，则值域为D. 函数的图象与的图象重合【答案】BD【解析】【分析】本题主要考查了余弦函数的图像与性质，函数的奇偶性以及三角函数的定义域及值域，属于中档题．根据三角函数的性质对各选项进行分析，判断正误即可．【解答】解：对于A，由题意可得：，因为，，所以，故A不正确，对于B，当时函数单调减函数，解得，故B正确．对于C，由B可知，是单调增区间，是单调减区间，最大为，下边界为，或者，因为，值域为，故C不正确，对于D，，两图像重合，故D正确，故选BD．36.如图，已知函数其中，，的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，，，则下列说法正确的有．A. 的最小正周期为12B.C. 的最大值为D. 在区间上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象和性质，涉及向量的坐标运算，属于中档题．由函数的图象以及，，，，求出A，BC，D坐标，代入解析式，求出，，A的值，再利用正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：由题意可得：，，，，，，．，，，，把代入上式可得：，．解得，，可得周期，故A正确．，，解得，故B错误．，，解得．函数，故C正确．时，，，可得：函数在单调递增．综上可得：ACD正确．故选ACD．37.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列判断正确的是A. 曲线关于直线对称B. 曲线关于点对称C. 函数在上单调递增D. 函数在上单调递减【答案】ABC【解析】【分析】本题考查三角函数的图象的变换，函数的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于中档题．利用三角函数的图象变换，结合三角函数的简单性质，判断选项的正误即可．【解答】解：将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得函数的图象，令，得，故曲线关于直线对称，故A正确；令，得，故曲线关于点对称，故B正确；在上，，函数单调递增，故C正确；在上，，函数没有单调性，故D错误，故选：ABC．三、填空题（本大题共7小题，共35.0分）38.设函数，若函数在内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，正余弦函数图象的画法．画出函数的图象，问题转化为和在内恰有4个不同的交点，结合图象读出即可．【解答】解：画出函数在的图象，如图示：若函数在内恰有4个不同的零点，即和在内恰有4个不同的交点，结合图象，．故答案为．39.函数的定义域是__________．【答案】【解析】【试题解析】【分析】本题考查了函数的定义域，根据对数函数的性质可得，然后根据正弦函数的性质解不等式可得答案．【解答】解：由题意可得，函数满足，即．由正弦函数的图象知，在上的解集为，所以在R上的解集为，故函数的定义域为．40.设锐角三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则c的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及正弦函数的性质，属于中档题．根据已知及余弦定理化简可得，结合正弦定理与正弦函数的性质可得c的取值范围．【解答】解：由及余弦定理得，，，又为锐角三角形，，由正弦定理得，，由，得，，，的取值范围为，故答案为．41.若在上是减函数，则a的最大值是________．【答案】【解析】【分析】本题考查辅助角公式，正弦函数的单调性，属于基础题．利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的单调性求得a的最大值．【解答】解：，当，即时，单调递增，单调递减．函数在上是减函数，，，的最大值为．故答案为．42.四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为______．【答案】【解析】【试题解析】【分析】本题考查棱锥体积的求法，考查了线面垂直、面面垂直的判定及性质定理，考查了运算求解能力，逻辑思维能力，是较难题．由题意可知，平面平面ABCD，过作于，根据线面，面面垂直的判定及性质定理可证平面ABCD，表示出，设，结合勾股定理计算得，通过求解SO的取值范围，从而四棱锥的体积取值范围可求．【解答】解：如图：，，，平面SAB，，则平面平面ABCD，过S作于O，平面SAB，平面平面，则平面ABCD，因为平面ABCD，所以．故，在中，，设，则，，在中，，因此在中，，则有，又，所以，所以，则，四棱锥的体积取值范围为．故答案为．43.如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正弦、余弦函数的图象与性质，属于一般题．由题意知，，解得，当时，．【解答】解：由题意知，，解得，当时，．44.在区间范围内，函数与函数的图象交点有______个．【答案】1【解析】【试题解析】解：因为“”，故与，在内的图象无交点，又它们都是奇函数，从而与，在内的图象也无交点，所以在区间范围内，函数与函数的图象交点的个数为1个，即坐标原点．故答案为：1通过，以及与的奇偶性，分，求解即可．本题是基础题，考查正切函数，正弦函数的图象及性质；可以在同一坐标系中，作出与，在内的图象，容易误认为3个交点．四、解答题（本大题共8小题，共96.0分）45.已知点，是函数图象上的任意两点，角的终边经过点，且当时，的最小值为．求函数的解析式求函数的单调递增区间当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：角的终边经过点，．，．由时，的最小值为，得，即，，令，，得，函数的单调递增区间为，当时，，，恒成立，等价于恒成立，又，实数m的取值范围是【解析】利用三角函数的定义求出的值，由时，的最小值为，可得函数的周期，从而求出，进而可求得函数的解析式，属于中档题．利用正弦函数的单调区间，可求函数的单调区间．当时，不等式恒成立，等价于，由此可求实数m的取值范围．46.设函数，．已知，函数是偶函数，求的值；求函数的值域．【答案】解：由，得，为偶函数，，，或，，，，，函数的值域为：．【解析】本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属中档题．函数是偶函数，则，根据的范围可得结果；化简函数得，然后根据x的范围求值域即可．47.已知函数，．Ⅰ求函数的最小正周期与单调增区间；Ⅱ求函数在上的最大值与最小值．【答案】解：由题意得，，Ⅰ的最小正周期为：，令得，，所以函数的单调增区间是；Ⅱ因为，所以，所以，即，所以，当且仅当时，取最小值，当且仅当时，即时最大值．【解析】根据题意、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式运算化简，Ⅰ由三角函数的周期公式求出周期，再由正弦函数的单调递增区间求出此函数的增区间；Ⅱ由x的范围求出求出的范围，再由正弦函数的性质求出次函数的最大值、最小值．本题考查正弦函数的单调性、最值，以及三角恒等变换的公式的应用，考查了整体思想的应用．48.设．Ⅰ求的单调区间；Ⅱ在锐角中，角的对边分别为，若，，求面积的最大值．【答案】解：Ⅰ由题意知：．由，，可得，；由，，可得，．所以的单调递增区间是；单调递减区间是．Ⅱ由，得，由题意知角A为锐角，所以．由余弦定理，可得，即，当且仅当时等号成立．因此，所以面积的最大值为．【解析】本题主要考查了三角恒等变形，三角函数的图象与性质，余弦定理，三角形面积公式以及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．Ⅰ利用二倍角公式和诱导公式化简，再利用三角函数的单调性即可求出单调区间；Ⅱ先求出角A，再利用余弦定理和基本不等式求出bc的最大值，即可求出面积的最大值．49.设函数．求的最小正周期和对称中心；当时，求函数的最值．【答案】解：，的最小正周期是，令，，解得，，可得对称中心为，．当时，，可得，可得函数，即函数的最小值为，最大值为．【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式，利用三角函数。

三角函数题型汇总（附答案）

三角函数题型汇总（附答案）

三角函数训练题（1）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.命题p :α是第二象限角，命题q:α是钝角，则p 是q 的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件2.若角α满足sin αcos α<0,cos α-sin α<0,则α在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.集合M ={x |x =42ππ±k ,k ∈Z }与N ={x |x =4πk ,k ∈Z }之间的关系是( )A.M NB.N MC.M =ND.M ∩N=∅4.已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是( )A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(1)、(3)D.(2)、(4)5.设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于( )A.52B.-52C.51D.-51 6.若cos(π+α)=-23,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于( )A.-23B.23C.21D.±237.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( )A.若α、β是第一象限角，则cos α>cos βB.若α、β是第二象限角，则tan α>tan βC.若α、β是第三象限角，则cos α>cos βD.若α、β是第四象限角，则tan α>tan β8.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A.2B.1sin 2C.2sin1D.sin29.如果sin x +cos x =51,且0<x <π,那么cot x 的值是( )A.-34 B.-34或-43 C.-43 D.34或-43 10.已知①1+cos α-sin β+sin αsin β=0,②1-cos α-cos β+sin αcos β=0.则sin α的值为( )A.3101- B.351- C.212- D.221-二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.tan300°+cot765°的值是_______.12.已知tan α=3,则sin 2α-3sin αcos α+4cos 2α的值是______.13.若扇形的中心角为3π,则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为______.14.若θ满足cos θ>-21,则角θ的取值集合是______.三、解答题(本题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)设一扇形的周长为C (C >0),当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？16.(本小题满分10分)设90°<α<180°,角α的终边上一点为P (x ,5),且cos α=42x , 求sin α与tan α的值.17.(本小题满分12分)已知sin α是方程5x 2-7x -6=0的根，求)(cos )2cos()2cos()2(tan )23sin()23sin(22απαπαπαπαππα-⋅+⋅--⋅-⋅--的值.18.(本小题满分12分)已知sin α+cos α=-553,且|sin α|>|cos α|,求cos 3α-sin 3α的值.19.(本小题满分12分) 已知sin(5π-α)=2 cos(27π+β)和3cos(-α)=- 2cos(π+β),且0<α<π,0<β<π,求α和β的值.三角函数训练题（2）参考答案：1．解析：“钝角”用集合表示为{α|90°<α<180°},令集合为A ；“第二象限角”用集合表示为{α|k ²360°+90°<α<k ²360°+180°,k ∈Z },令集合为B .显然A B .答案：B2．解析：由sin αcos α<0知sin α与cos α异号；当cos α-sin α<0,知sin α>cos α.故sin α>0,cos α<0.∴α在第二象限.答案：B 3．解法一：通过对k 的取值，找出M 与N 中角x 的所有的终边进行判断.解法二：∵M ={x |x =4π²(2k ±1),k ∈Z },而2k ±1为奇数，∴M N .答案：A4．解析：787°=2³360°+67°,-957°=-3³360°+123°. -289°=-1³360°+71°,1711°=4³360°+271°. ∴在第一象限的角是(1)、(3). 答案：C5．解析：∵r=a a a 5)4()3(22-=+-.α为第四象限. ∴53cos ,54sin ==-==r x r y αα.故sin α+2cos α=52. 答案：A6．解析：∵cos(π+α)=- 21,∴cos α=21,又∵23π<α<2π. ∴sin α=-23cos 12-=-α.故sin(2π-α)=-sin α=23. 答案：B 7．答案：D8．解析：∵圆的半径r =1sin 2,α=2 ∴弧度l=r ²α=1sin 2. 答案：B9．分析：若把sin x 、cos x 看成两个未知数，仅有sin x +cos x =51是不够的，还要利用sin 2x +cos 2x =1这一恒等式.解析：∵0<x <π,且2sin x cos x =(sin x +cos x )2-1=-2524. ∴cos x <0.故sin x -cos x =57cos sin 4)cos (sin 2=-+x x x x ,结合sin x +cos x =51,可得sin x =54,cos x =-53,故co t x =-43.答案：C10．分析：已知条件复杂，但所求很简单，由方程思想，只要由①、②中消去β即可.解析：由已知可得：sin β=ααsin 1cos 1-+,cos β=ααsin 1cos 1--.以上两式平方相加得：2(1+cos 2α)=1-2sin α+sin 2α.即：3sin 2α-2sin α-3=0.故sin α=3101-或sin α=3101+ (舍). 答案：A11．解析：原式=tan(360°-60°)+cot (2³360°+45°)=-tan60°+cot45°=1-3.答案：1-312．分析：将条件式化为含sin α和cos α的式子，或者将待求式化为仅含tan α的式子.解法一：由tan α=3得sin α=3cos α,∴1-cos 2α=9cos 2α.∴cos 2α=101.故原式=(1-cos 2α)-9cos 2α+4cos 2α=1-6cos 2α=52.解法二：∵sin 2α+cos 2α=1.∴原式=52194991tan 4tan 3tan cos sin cos 4cos sin 3sin 222222=++-=++-=++-ααααααααα 答案：5213．分析：扇形的内切圆是指与扇形的两条半径及弧均相切的圆.解析：设扇形的圆半径为R ，其内切圆的半径为r ,则由扇形中心角为3π知：2r +r =R ,即R =3r .∴S 扇=21αR 2=6πR 2,S 圆=9πR 2.故S 扇∶S 圆=23. 答案：23 14．分析：对于简单的三角不等式，用三角函数线写出它们的解集，是一种直观有效的方法.其过程是：一定终边，二定区域；三写表达式.解析：先作出余弦线OM =-21，过M 作垂直于x 轴的直线交单位圆于P 1、P 2两点，则OP 1、OP 2是cos θ=21时θ的终边.要cos θ>-21,M 点该沿x 轴向哪个方向移动？这是确定区域的关键.当M 点向右移动最后到达单位圆与x 轴正向的交点时，OP 1、OP 2也随之运动，它们扫过的区域就是角θ终边所在区域.从而可写出角θ的集合是{θ|2k π-32π<θ<2k π+32π,k ∈Z }.答案：{θ|2k π-32π<θ<2k π+32π,k ∈Z }15．解：设扇形的中心角为α，半径为r ,面积为S ，弧长为l,则：l+2r =C ,即l=C -2r .∴16)4()2(212122C C r r r C lr S +--=⋅-==.故当r =4C时，S max =162C ,此时：α=.2422=-=-=CCC rrC r l∴当α=2时，S max =162C .16．解：由三角函数的定义得：cos α=52+x x ,又cos α=42x , ∴34252±=⇒=+x x x x . 由已知可得：x <0,∴x =-3. 故cos α=-46,sin α=410,ta n α=-315. 17．解：∵sin α是方程5x 2-7x -6=0的根. ∴sin α=-53或sin α=2(舍).故sin 2α=259,cos 2α=⇒2516tan 2α=169. ∴原式=169tan cot )sin (sin tan )cos (cos 222==⋅-⋅⋅-⋅ααααααα.18．分析：对于sin α+cos α,sin α-cos α及sin αcos α三个式子，只要已知其中一个就可以求出另外两个，因此本题可先求出sin αcos α,进而求出sin α-cos α,最后得到所求值.解：∵sin α+cos α=-553, ∴两边平方得：1+2sin αcos α=⇒59sin αcos α=52. 故(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=51.由sin α+cos α<0及sin αcos α>0知sin α<0,cos α<0. 又∵|sin α|>|cos α|,∴-sin α>-cos α cos α-sin α>0.∴cos α-sin α=55. 因此，cos 3α-sin 3α=(cos α-sin α)(1+sin αcos α)=55³(1+52)=2557. 评注：本题也可将已知式与sin 2α+cos 2α=1联解，分别求出sin α与cos α的值，然后再代入计算.19．分析：运用诱导公式、同角三角函数的关系及消元法.在三角关系式中，一般都是利用平方关系进行消元.解：由已知得sin α=2sin β ①3cos α=2cos β ② 由①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2. 即：sin 2α+3(1-sin 2α)=2. ∴sin 2α=⇒21sin α=±22,由于0<α<π,所以sin α=22. 故α=4π或43π. 当α=4π时，cos β=23,又0<β<π,∴β=6π, 当α=43π时，cos β=-23,又0<β<π,∴β=65π.综上可得：α=4π,β=6π或α=43π,β=65π.三角函数训练题（2）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.cos24°cos36°-cos66°cos54°的值等于( ) A.0 B.21 C.23 D.-21 2.在△ABC 中，如果sin A =2sin C cos B .那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 3.︒-︒80sin 310sin 1的值是( ) A.1 B.2 C.4 D.41 4.tan20°+4sin20°的值是( )A.1B.2C.3D.336+ 5.tan θ和tan(4π-θ)是方程x 2+px +q =0的两根，则p 、q 之间的关系是( )A.p +q +1=0B.p -q -1=0C.p +q -1=0D.p -q +1=06.设sin x +sin y =22,则cos x +cos y 的取值范围是( ) A.［0,214］ B.(- 214,0] C.［-214,214］ D.［-21,27］7.M =sin α²tan 2α+cos α,N =tan 8(tan 8ππ+2),则M 与N 的关系是( )A.M >NB.M =NC.M <ND.大小与α有关8.已知sin α+sin β=3 (cos β-cos α),α,β∈(0,2π),那么sin3α+sin3β的值是( )A.1B.23C.21D.09.已知tan α、tan β是方程x 2+33x +4=0的两个根，且α、β∈(-2,2ππ),则α+β的值是( )A.3π B.-32πC. 3π或-32πD.- 3π或32π10.(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°)的值是( ) A.16 B.8 C.4 D.2二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.已知tan x =34(π<x <2π).则cos(2x -3π)cos(3π-x )-sin(2x -3π)sin(3π-x )=______.12.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-3cos(θ+15°)的值等于______.13.log 4cos5π+log 4cos 52π的值等于______.14.已知tan(α+β)=52,tan(β-41)4=π,则sin(α+4π)²sin(4π-α)的值为___.三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)求值：212cos 412csc )312tan 3(2-︒︒-︒.16.(本小题满分10分) 已知cot β=βαsin sin ,5=sin(α+β),求cot(α+β)的值.17.(本小题满分12分)已知tan2θ=-22,x <2θ<2π,求)4sin(21sin 2cos 22πθθθ+--的值.18.(本小题满分12分)是否存在锐角α和β，使得(1)α+β=32π;(2)tan 2αtan β=2-3同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，说明理由.19.(本小题满分12分)已知△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，且BC A cos 2cos 1cos 1-=+,求cos 2CA -的值.三角函数训练题（2）参考答案：1．解析：原式=cos24°cos36°-sin24°sin36°=cos(24°+36°)=cos60°=21.答案：B2．解析：∵A +B +C =π,∴A =π-(B +C ).由已知可得：sin(B +C )=2sin C cos B ⇒sin B cos C +cos B sin C =2sin C cos B ⇒sin B cos C -cos B sin C =0⇒sin(B -C )=0. ∴B =C ,故△ABC 为等腰三角形. 答案：C3．解析：原式=︒︒-︒=︒-︒20sin 2110sin 310cos 10cos 310sin 1420sin 70cos 420sin )1060cos(420sin )10sin 2310cos 21(4=︒︒=︒︒+︒=︒︒-︒=.答案：C4．分析：运用三角变形的通法：化弦法、异角化同角.解析：原式=︒︒︒+︒=︒+︒︒20cos 20cos 20sin 420sin 20sin 420cos 20sin.320cos )20sin 20cos 3(20sin 20cos )2060sin(220sin 20cos 40sin 220sin =︒︒-︒+︒=︒︒-︒+︒=︒︒+︒=答案：C5．解析：由根与系数关系得tan θ+tan(4π-θ)=-p ,tan θ²tan(4π-θ)=q .又4π=θ+(4π-θ) ∴tan4π=tan ［θ+( tan-θ)］=qp--1 故p -q +1=0. 答案：D6．解析：设cos x +cos y =t ,又sin x +sin y =22. 两式平方相加得2+2cos(x -y )=t 2+21 即cos(x -y )=4322-t ,由于|cos(x -y )|≤1.故-1≤4322-t ≤1⇒t 2≤21427-⇒≤t ≤214.答案：C7．解析：12s i n212s in 2)2si n 21(2co s 2s i n 22cos2s i n 222=-+=-+⋅=αααααααM .14cos14sin 24cos 124cos 14sin 24cos18cos 4sin8sin )28cos 8sin(8cos8sin22=++-=++-=+=+=πππππππππππππN∴M =N . 答案：B8．分析：先从已知式中求出α与β的关系，然后代入求值. 解析：由已知得：sin α+3cos α=3cos β-sin β.即cos(α-6π)=cos(β+6π) 又α-6π∈(-6π,3π),β+6π∈(6π,32π)故α-6π=β+6π⇒α=β+3π,∴sin3α+sin3β=sin(3β+π)+sin3β=0. 答案：D 9．解析：由韦达定理得：tan α+tan β=-33,tan αtan β=4 ∴tan(α+β)=3tan tan 1tan tan =-+βαβα.又∵α、β∈(-2,2ππ),且tan α+tan β<0,tan αtan β>0. ∴tan α<0,tan β<0.故α、β∈(-2π,0)从而α+β∈(-π,0),∴α+β=-32π.答案：B 10．分析：本题中所涉及的角均为非特殊角，但两角之和为45°特殊角，为此，将因式重组来求.解析：∵tan45°=tan(21°+24°)=︒︒-︒+︒24tan 21tan 124tan 21tan∴1-tan21°tan24°=tan21°+tan24° 即1+tan21°+tan24°+tan21°tan24°=2 即(1+tan21°)(1+tan24°)=2.(同理，由tan45°+tan(22°+23°)可得 (1+tan22°)(1+tan23°)=2.故(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°)=4. 答案：C11．解析：原式=cos ［(2x -3π)+(3π-x )］=cos x .∵tan x =34>0且π<x <2π,∴π<x <23π.故cos x <0,从而得cos x =-52.答案：-5312．分析：观察所给角易得θ+75°=(θ+15°)+60°,θ+45°=(θ+15°)+30°.考查两角和的正弦余弦公式及换元法的运用.解析：令θ+15°=α,则原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)-3cos α=21sin α+23cos α+23cos α-21sin α-3cos α=0.答案：013．解析：∵5sin252cos 5cos 5sin252cos 5cos ππππππ=415sin454sin 5sin 252cos 52sin ===πππππ ∴原式=log 4141log )52cos 5(cos 4-==ππ答案：-114．解析：∵tan(α+4π)=tan ［(α+β)-(β-4π)=223,∴原式=sin(α+4π)cos(α+4π)=)4(sin )4(cos )4cos()4sin(22παπαπαπα+++++49366)4(tan 1)4tan(2=+++=παπα. 答案：4936615．分析：本题中函数种类较多，在变换过程中，常用“切割化弦”的基本方法，考查公式的灵活运用.解：原式=)112cos 2(24sin 12cos 312sin 3)112cos 2(212sin 1)312cos 12sin 3(22-︒⋅︒︒-︒=-︒︒⋅-︒︒ ︒⋅︒︒-︒=24cos 24sin )12cos 2312sin 21(323448sin 21)6012sin(32-=︒︒-︒=16．分析：条件式中出现α、β及α+β角，要得到所求三角式的α+β角，显然就需对角α进行变换.即α=(α+β)-β.解：∵βαsin sin =sin(α+β). ∴sin ［(α+β)-β］=sin β²sin(α+β).即sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin βsin(α+β). ∴sin(α+β)cos β=sin β［sin(α+β)+cos(α+β)］ ∴)sin()cos()sin(sin cos βαβαβαββ++++=即cot β=1+cot(α+β) ∴cot(α+β)=cot β-1=5-1.评注：三角变换的基本原则是化异为同，可以从角及函数名称、式子结构等方面分析思考，逐步实行由异向同的转化.17．分析：求三角函数的值，一般先要进行化简，至于化成哪一种函数，可由已知条件来确定.本题中由已知可求得tan θ的值，所以应将所求的式子化成正切函数式.解：原式=)4sin(2)4sin(2)4sin(2sin cos θπθππθθθ+-=+- ∵2)4()4(πθπθπ=++-∴原式=θθθπθπθπtan 1tan 1)4tan()4cos()4sin(+-=-=--.由已知tan2θ=-22得22tan 1tan 22-=-θθ解得tan θ=-22或tan θ=2. ∴π<2θ<2π，∴2π<θ<π,故tan θ=-22.故原式=223221221+=-+. 评注：以上所给解法，似乎有点复杂，但对于提高学生的三角变换能力大有好处.本题也可将所求式化成θθθθsin cos sin cos +-,注意到此时分子、分母均是关于si n θ、cos θ的齐次式.通过同时除以cos θ,即可化成θθtan 1tan 1+-.18．分析：这是一道探索性问题的题目，要求根据(1)、(2)联解，若能求出锐角α和β，则说明存在，否则，不存在.由于条件(2)涉及到2α与β的正切，所以需将条件(1)变成2α+β=3π,然后取正切，再与(2)联立求解.解：由(1)得：2α+β=3π,∴3tan 2tan 1tan 2tan)2tan(=-+=+βαβαβα将(2)代入上式得tan 2α+tan β=3-3. 因此，tan2α与tan β是一元二次方程x 2-(3-3)x +2-3=0的两根，解之得x 1=1,x 2=2-3.若tan2α=1,由于0<2α<4π.所以这样的α不存在； 故只能是tan 2α=2-3,tan β=1.由于α、β均为锐角，所以α=6π,β=4π故存在锐角α=6π,β=4π使(1)、(2)同时成立.19．解法一：依题意得B =3π,设A =3π+α,C =3π-α,则2CA -=α.同时有：3cos2)3cos(1)3cos(1παπαπ-=-++即22sin 3cos 2sin 3cos 2-=++-αααα023cos 2cos 242sin 3cos cos 2222=-+⇒-=-⇒ααααα ∴cos α=22或cos α=-423 (舍去)即cos222=-C A . 解法二：依题意得C C A C C A C A B -=--=-=+=32,232,32,3ππππ,不妨设cos(C -3π)=x .由已知得CC C C CC CA cos )32cos(cos )32cos(cos 1)32cos(1cos 1cos 1-+-=+-=+πππ∵cos(π32-C )+cos C=cos 32πcos C +sin 32πsin C +cos C=21cos C +23sin C =cos(3π-C ). cos(32π-C )cos C =cos 32πcos 2C+sin 32πsin C cos C)3(cos 43]1)3(cos 2[2141)232cos(21412sin 43)2cos 1(4122C C C C C -+-=--+-=-+-=++-=πππ∴22432-=+-x x 即0232242=-+x x∴x =22或x =-423 (舍去).故222cos=-C A . 解法三：依题意得B =3π,由已知得22cos 1cos 1-=+C A即cos A +cos C =-22cos A cos C利用积化和差及和差化积公式，并注意到A +C =32π,可得2cos22cos 2-=-+CA C A ［cos(A +C )+cos(A -C )］ 即22cos 22222cos2+--=-CA C A . 即0232cos 22cos 242=--+-CA C A ∴222cos=-C A 或4232cos -=-C A (舍去). 故222cos=-C A . 评注：解法三运用了和差化积及积化和差公式，这组公式虽不要求记忆，但在给出公式的情况下会运用.(3)1.在半经为2米的圆中，120°的圆心角所对的弧长为_____（34π）米。

初中三角函数知识点总结及典型习题含答案)

初中三角函数知识点总结及典型习题含答案)

初中三角函数知识点总结及典型习题含答案)初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型题1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2.2.在直角三角形ABC中，若∠C为直角，则∠A的三角函数为：正弦函数sinA=对边a/斜边c，取值范围为[0,1]。

余弦函数cosA=邻边b/斜边c，取值范围为[0,1]。

正切函数tanA=对边a/邻边b，取值范围为R（实数集）。

3.任意锐角的正弦值等于其余角的余弦值，余弦值等于其余角的正弦值，即sinA=cosB，cosA=sinB，其中A+B=90°。

4.特殊角的三角函数值：30°：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=1/√3.45°：sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1.60°：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3.6.正弦、余弦的增减性：当0°≤A≤90°时，XXX随A的增大而增大，cosA随A的增大而减小。

7.正切的增减性：当0°<A<90°时，XXX随A的增大而增大。

8.解直角三角形的方法：已知边和角（其中必有一边）→求所有未知的边和角。

依据：①边的关系：a^2+b^2=c^2；②角的关系：A+B=90°；③三角函数的定义。

9.应用举例：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，用i=h/l表示。

方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角。

方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角。

例1：在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，sinA=3/5，求XXX的值。

高中数学三角函数与解三角形题型总结最新最全版含答案

高中数学三角函数与解三角形题型总结最新最全版含答案

三角函数1、三角函数对称性。

（1）涉及奇偶性的初相:对称中心可以是正弦、余弦函数的函数值为0，对称轴可以使正弦、余弦的函数值得到最大最小值。

)(x f =）（j w +x A sin ），（00¹¹w A 的图象关于直线x=t 对称Û)(t f =±A ；)(x f =）（j w +x A sin ），（00¹¹w A 的图象关于点（的图象关于点（t t ，0）对称Û)(t f =0=0；；1.【2012全国1，文3】若函数()sin 3x f x j +=(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( C )A ．π2 B ．2π3 C ．3π2 D ．5π32、已知()sin()cos()f x x x j j =-+-为奇函数，则j 的一个取值为（D ）A ．0B ．pC ．2pD ．4p3、（2017盐城三模）若()3sin()cos()()22f x x x ppq q q =+-+-££是定义在R 上的偶函数，则q =▲.3p-2.用代数符号的对称轴与对称中心的判定,注意周期性与对称性的联系①若()y f x =图像有相邻两条对称轴,()x a x b a b ==¹，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-；（简单记为“相邻两轴距离，半个周期”）②若()y f x =图像有相邻两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ¹，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-；（简单记为“相邻两心距离，半个周期”）③如果函数()y f x =的图像有相邻一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =¹，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-；（简单记为“相邻轴心距离，四分之一个周期”） 1.（2018·东城区期末·2）函数3sin(2)4y x p=+图像的两条相邻对称轴之间的距离是CA.2pB. pC.2p D.4p2．（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（B ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为43（2018全国新课标Ⅱ文）若在是减函数，则的最大值是（C ）A ．B ．C ．D ．j ()cos sin f x x x =-[0,]a a π4π23π4π4．（2018全国新课标Ⅱ理）若在是减函数，则的最大值是（的最大值是（ A ） A ． B ． C ． D ．5．（2018全国新课标Ⅲ文）函数的最小正周期为（C ）A ．B ．C ．D ．6．（2018北京文）在平面坐标系中，，，，是圆上的四段弧（如图），点在其中一段上，角以为始边，为终边，为终边，若，则所在的圆弧是（C ） A ．B ．C ．D ．7．（2018全国新课标Ⅰ文）已知角a 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23a =，则ab -=（B ）A ．15B ．55C ．255D ．18、【2012年新课标卷文9】已知>0，，直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴，则= A （A ）π4（B ）π3（C ）π2（D ）3π49、（河南省内黄一中2014届高三12月月考）若函数，满足，则的值为的值为 C A C A ． B ． C ．0 D ．10.【广东省佛山市2017届高三教学质量检测（一）】下列函数中，同时满足两个条件“①x R "Î，01212f x f x p p æöæö++-=ç÷ç÷èøèø；②当63x p p -<<时，()'0f x >”的一个函数是（”的一个函数是（C C ） A ．()sin 26f x x p æö=+ç÷èø B ．()cos 23f x x p æö=+ç÷èø C.()sin 26f x x p æö=-ç÷èø D ．()cos 26f x xp æö=-ç÷èø11、（潮州市2016届高三上期末）函数()c o s f x x x =-[,a a -a π4π23π4π2t a n()1tan x f x x=+4p 2p p 2p »AB »CD »EF ¼GH 221x y +=P a Ox OP t a n c o s a aa <<P »AB »CD »EF ¼GH w 0j p <<x 4p x 54p ()s i n (f x x wj =+j ()s i n (f x x j =+()(f a x f a x+=-()6f a p +321±12()sin()(0,)2f x x p w j w j =+><｜｜的部分图象如图所示，如果12,(,)63x x p p Î-，且12()()f x f x =，则12()2x x f +等于DA 、12B 、22C 、32D 、112．【2018北京大兴联考】设函数（是常数），若，则，，之间的大小关系可能是（之间的大小关系可能是（ B B ） A. B. C. D. 13．【2018辽宁庄河两校联考】已知函数（为常数，）的图像关于直线对称，则函数的图象（的图象（C C） 根据条件可得(0)()3f f p = A. 关于点对称对称 B. B.关于点对称C. 关于直线对称对称 D. D. 关于直线对称对称14.【2017天津，理7文7】设函数()2sin()f x x w j =+，x ÎR ，其中0w >，||j <p .若5()28f p =，()08f 11p =，且()f x 的最小正周期大于2p ，则，则A （A ）23w =，12j p = （B ）23w =，12j 11p =- （C ）13w =，24j 11p =- （D ）13w =，24j 7p=15．（2018全国新课标Ⅰ理）已知函数，则的最小值是_____________．3、三角函数图像变换，五点法画三角函数sin()y A x B w j =++图像。

三角函数公式练习题及答案详解

三角函数公式练习题及答案详解

三角函数公式1． 同角三角函数基本关系式sin 2α＋cos 2α=1sin αcos α=tan α tan αcot α=12． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一） sin(π－α)＝___________ sin(π+α)＝ ___________cos(π－α)＝___________ cos(π+α)＝___________tan(π－α)＝___________ tan(π+α)＝___________sin(2π－α)＝___________ sin(2π+α)＝___________cos(2π－α)＝___________ cos(2π+α)＝___________tan(2π－α)＝___________ tan(2π+α)＝___________（二） sin(π2 －α)＝____________ sin(π2+α)＝____________ cos(π2 －α)＝____________ cos(π2+α)＝_____________ tan(π2 －α)＝____________ tan(π2+α)＝_____________ sin(3π2 －α)＝____________ sin(3π2+α)＝____________ cos(3π2 －α)＝____________ cos(3π2+α)＝____________ tan(3π2 －α)＝____________ tan(3π2+α)＝____________ sin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α公式的配套练习sin(7π－α)＝___________ cos(5π2－α)＝___________ cos(11π－α)＝__________ sin(9π2+α)＝____________ 3． 两角和与差的三角函数cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin βcos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin βsin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin βsin (α－β)=sin αcos β－cos αsin βtan(α+β)= tan α+tan β1－tan αtan βtan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β 4． 二倍角公式sin2α=2sin αcos αcos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2αtan2α=2tan α1－tan 2α5． 公式的变形（1） 升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α 1—cos2α＝2sin 2α（2） 降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2 sin 2α＝1－cos2α2（3） 正切公式变形：tan α+tan β＝tan(α+β)（1－tan αtan β）tan α－tan β＝tan(α－β)（1＋tan αtan β)（4） 万能公式（用tan α表示其他三角函数值）sin2α＝2tan α1+tan 2α cos2α＝1－tan 2α1+tan 2α tan2α＝2tan α1－tan 2α6． 插入辅助角公式asinx ＋bcosx=a 2+b 2 sin(x+φ) (tan φ= b a) 特殊地：sinx ±cosx ＝ 2 sin(x ±π4) 7． 熟悉形式的变形（如何变形）1±sinx ±cosx 1±sinx 1±cosx tanx ＋cotx1－tan α1＋tan α 1＋tan α1－tan α若A 、B 是锐角，A+B ＝π4 ，则（1＋tanA ）(1+tanB)=2 cos αcos2αcos22α…cos2 n α= sin2 n+1α 2 n+1sin α8． 在三角形中的结论（如何证明）若：A ＋B ＋C=π A+B+C 2 =π2tanA ＋tanB ＋tanC=tanAtanBtanCtan A 2 tan B 2 ＋tan B 2 tan C 2 ＋tan C 2 tan A 2＝19．求值问题（1）已知角求值题如：sin555°（2）已知值求值问题常用拼角、凑角如：1）已知若cos(π4 －α)＝35 ，sin(3π4 ＋β)＝513， 又π4 <α<3π4 ,0<β<π4,求sin(α＋β)。

(完整版)高考三角函数经典解答题及答案

(完整版)高考三角函数经典解答题及答案

(完整版)高考三角函数经典解答题及答案1. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 a²+c²-b²=(1) 求 sin²(2A+C)+cos²B 的值；(2) 若 b=2，求△ABC 面积的最大值。

解：(1) 由余弦定理：cosB=(a²+ c²- b²)/(2ac)=4/√115，得sinB=√(1-cos²B)=3√(23)/23。

由正弦定理sin²(2A+C)+cos²B=4sin²B+cos²B=13/23。

2. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB。

(I) 求 cosB 的值；(II) 若 BA·BC=2，且b=√2，求 a 和 c·b 的值。

解：(I) 由正弦定理得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即 sin(B+C)=3sinAcosB，可得 sinA=3sinAcosB/sinB。

又sinA≠0，因此 cosB=1/3。

3. 已知向量 m=(sinB,1-cosB)，向量 n=(2,k)，且 m 与 n 所成角为π/3，其中 A、B、C 是△ABC 的内角。

(1) 求角 B 的大小；(2) 求 sinA+sinC 的取值范围。

解：(1) ∠m与∠n所成角为π/3，且 m·n=2sinB+ k(1-cosB)=2√3/2cosB+k√(1-cos²B)，又 m·n=2cosB+k(1-cosB)，解得 k=4/3。

三角函数的图象与性质6大题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

三角函数的图象与性质6大题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

三角函数的图象与性质6大题型【题型目录】题型一：三角函数的周期性题型二：三角函数对称性题型三：三角函数的奇偶性题型四：三角函数的单调性题型五：三角函数的值域题型六：三角函数的图像【典例例题】题型一：三角函数的周期性【例1】（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）．A ．tan y x =B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．sin y x=【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①sin y x =；②sin y x =；③tan y x =；④12cos y x =+，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，但不是周期函数，∴排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，最小正周期是π，∴②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，tan y x =是偶函数，最小正周期为π，∴③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，12cos y x =+是偶函数，最小正周期为2π，∴排除④.故选：B.【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数ππ()sin 2cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【例4】设函数()c x b x x f ++=sin 2cos ，则()x f 的最小正周期()A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【解析】因x y 2cos =的最小正周期为ππ==22T ，x y sin =的最小正周期为ππ212==T 所以当0≠b 时，()x f 的最小正周期为π2；当0=b 时，()x f 的最小正周期为π；【例5】（2022·全国·高一课时练习）函数22cos 14y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【例6】（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数()2sin6cos6f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．3πC ．32πD ．6π【例7】（2022·全国·高一专题练习）()|sin ||cos |f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π【题型专练】1.（2023全国高三题型专练）在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（）A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】∵cos |2|y x ==cos2x ，∴T =22π=π；|cos |y x =图象是将y =cos x 在x 轴下方的图象对称翻折到x 轴上方得到，所以周期为π，由周期公式知，cos(2)6y x π=+为π，tan(2)4y x π=-为2π，故选：C .2.（2022·河北深州市中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()()sin cos y x x ππ=+-C ．22cos cos 2y x x π⎛⎫=-+ ⎪D ．sin 2y x=3.（2022·北京昌平·高一期末）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．22cos sin y x x=-4.（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数()2sin cos f x x x x =+的最小正周期是________．5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()cos f x x x ωω=-(0)ω>的最小正周期为π，则ω=___．6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）函数2cos cos cos 2y x x x π⎛⎫=+- ⎪的最小正周期为__________．题型二：三角函数对称性【例1】（江西省“红色十校”2023届高三上学期第一联考数学（文）试题）已知函数π()sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的两个相邻的零点为12,33-，则()f x 的一条对称轴是（）A ．16x =-B ．56x =-C ．13x =D ．23x =，【例2】（2022全国高一课时练习）函数cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称D ．关于直线3x π=对称【答案】D【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为,2)0(k ππ+，令232x k πππ+=+，得212k x ππ=+，k Z ∈，易知A 、B 错误；由余弦函数的对称轴为x k π=，令23x k ππ+=，得26k x ππ=-，k Z ∈，当1k =时，3x π=，易知C 错误，D 正确；故选：D 【例3】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（）A ．5π6B ．2π3C ．5π12D ．π6【例4】（2023福建省福州屏东中学高三开学考试多选题）已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a 的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π故结合正弦函数的性质可知，若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，不妨设12x x <，则12x x -取得最大值时满足1266x ππ-=且25266x ππ-=，所以，12x x -的最大值为3π，故错误.故选：AC【例5】(2023江西省高三月考)若函数y cos 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω∈N +)图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【解析】当6x π=时，0y =，即cos 066πωπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，()662k k Z πωπππ∴+=+∈，解得62k ω=+，N ω*∈ ，故当0k =时，ω取最小值2.【例6】【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.【题型专练】1.(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为()A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈D ．1+,24x k k Zππ=∈【答案】C【解析】由已知，()cos 2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈.故选：C.2.【2017·天津卷】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5(28f π=，(08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ．3．（2023·全国·高三专题练习）将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（）A ．712πB ．4πC ．12πD ．6π4.【2018·江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ5．（2022·广西南宁·高二开学考试多选题）把函数()sin f x x =的图像向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．单调递增区间5πππ,π()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．图像的一个对移中心为π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．图像的一条对称轴为直线π12x =题型三：三角函数的奇偶性【例1】（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭向左平移θ个单位后为偶函数，其中0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.则θ的值为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【例2】（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数sin y x =，cos y x =，sin y x =，tan y x =，下列说法错误的是（）A ．sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心B ．cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴C ．sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴D ．tan y x =是偶函数，最小正周期是π，没有对称中心由图可知，函数sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心，A 对；对于B 选项，如下图所示：由图可知，cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴，B 对；对于C 选项，如下图所示：由图可知，sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C 对；对于D 选项，如下图所示：由图可知，函数tan y x =是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D 错.故选：D.【例3】（2022·陕西师大附中高一期中）已知函数2π()sin ()24f x x =++，若(lg5)a f =，1(lg 5b f =，则（）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．5a b +=D ．5a b -=【例4】（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）将函数()sin 22f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π【例5】（2022·四川成都·模拟预测（理））函数2()ln(2)sin(1)211f x x x x x x -=+--+++在[0,2]上的最大值与最小值的和为（）A ．-2B ．2C ．4D ．6【例6】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数()2cos(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则ϕ=（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π【例7】（2022·陕西·定边县第四中学高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=处取到最大值，则4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．奇函数B ．偶函数C ．关于点(),0π中心对称D ．关于2x π=轴对称【例8】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数()f x =___________.【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．cos y x =B ．cos y x=C ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪D ．tan cos y x x=-2.（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））已知函数()e e sin x xf x x a -=-++，若()1ln 1,ln 3f m f m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则=a （）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3.（2022·湖南·周南中学高二期末）函数为()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭偶函数的一个充分条件是（）A ．6π=ϕB ．3πϕ=C ．2ϕπ=D ．()3k k πϕπ=+∈Z故选：A4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知函数()πcos 2(0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1f x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4可得()h t 的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．6.（2022辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数()f x =______．【答案】cos2πx【解析】因为函数cos y x ω=的周期为2π||ω，所以函数cos 2πy x =的周期为1.故答案为：cos2πx .（答案不唯一）7.（2022·全国·高三专题练习）已知()2sin()cos f x x x α=++是奇函数，则sin α的值为______．8．（2022·河南·高二开学考试）将函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度后得到偶函数()g x 的图像，则ω的最小值是______．【答案】1039.（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①()02f =；②()()πf x f x +=的函数()f x =______（注：()f x 不是常数函数）．题型四：三角函数的单调性【例1】（湖南省永州市2023届高三上学期第一次高考适应性考试数学试题）将函数2()cos cos 1f x x x x =+-的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x 的单调递增区间是（）A ．ππππ,(Z)12262k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．ππ5ππ,(Z)242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．π2π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥D ．π5π2π,2π(Z)66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥故选：A【例2】（2022·陕西师大附中高一期中）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（）A ．sin3sin2sin1＜＜B ．sin3sin1sin2＜＜C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【例3】（2022·全国·高一单元测试）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x=也是以【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6当ππ,π2u k k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，函数sin y u =递增．即πππ,π42x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，解得：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，所以函数sin()4πy x =+的单调递增区间是πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.故答案为：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数πsin(2)3y x =-+的单调递减区间是（）A ．π5π[π,π],Z 1212k k k -+∈B ．π5π[2π,2π],Z 1212k k k -+∈C ．π5π[π,πZ66k k k -+∈D ．π5π[2π,2πZ66k k k -+∈【题型专练】1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数2sin()y x ωθ=+为偶函数(0)θπ<<，其图像与直线2y =的两个交点的横坐标分别为12x x 、，若21||x x -的最小值为π，则该函数的一个单调递增区间为（）A ．ππ,24⎛⎫-- ⎪B ．ππ,44⎛⎫- ⎪C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭2.（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知函数()sin(),022f x x ππωϕϕω⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，若()00166f x f x ππ⎛⎫⎛⎫==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0min6x ππ-=，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．2,()63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．22,2()63Z k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．,()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪D ．2,2()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪3.（2022六盘山高级中学）函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为（）A ．5,()212212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为函数tan y x =的单调递增区间为,()22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以2()223,k k k x Z πππππ-<-<+∈，解得5,()212212k k x k Z ππππ-<<+∈，所以函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.故选：B 4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中()0,2πϕ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是（）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥()k ∈Z D ．,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥()k ∈Z 5.（2022·全国·高二单元测试）已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则（）．A ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()g x 图像的一条对称轴是π6x =C ．()g x 在5π5π,66⎛⎫- ⎪上递减D ．()g x 在ππ,33⎛⎫- ⎪的值域为(0,1)6．(2022天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，给出下列结论：①()f x 的一个周期为π②()y f x =的图象关于直线12x π=对称③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称④()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】对于①，2T ππω==，故①正确；对于②，12x π=时，(112f π=，函数取得最大值，故②正确；对于③，6x π=-时，()06f π-=，故③正确；对于④，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，当712x π=时，7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数取得最小值，()f x ∴在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有增有减，故④不正确.故选：C ．7．（2022·全国·高一课时练习）关于函数1()sin sin f x x x=+，下列说法正确的是（）A ．()f x 的一个周期是πB ．()f x 的最小值为2C ．()f x 在π(0,2上单调递增D ．()f x 的图象关于直线π2x =对称上单调递减，而8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））若()sin cos f x x x =+在[]0,a 是增函数，则a 的最大值是（）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π9．（2022·全国·高一专题练习）若函数()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()cos 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都在区间()(),0πa b a b <<<上单调递减，则b a -的最大值为（）A ．π3B ．π2C ．6πD ．π10．（2022·全国·高三专题练习）将函数()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,64ππ-上为增函数，则ω最大值为（）A ．32B ．2C ．3D ．11．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知直线8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值题型五：三角函数的值域【例1】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））下列函数中，最大值是1的函数是（）A ．|sin ||cos |=+y x xB ．2cos 4sin 4y x x =+-C ．cos tan y x x =⋅D ．y =【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数1ππ()sin()cos()363f x x x =++-的最大值是（）A ．43B ．23C ．1D ．13【答案】8【解析】【分析】由题意可得()22sin sin 1f x x x =-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]221,0,1y t t t =-++∈,利用二次函数的性质可求f (x )的最大值．【详解】解:()22cos 2sin 2sin sin 12sin sin 1f x x x x x x x =+=-++=-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]2219212,0,148y t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭,当14t =时,y 取得最大值为98,故答案为:98．【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））已知函数()()2πsin sin 022f x x x x ωωωω⎛⎫+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22⎡-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【例5】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且对任意实数x 均有4()33f f x f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则ϕ=（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22sin s ()3in f x x x π+=+，则()f x 的最小值为（）A ．12B ．14C ．D ．2【例7】（2022·全国·高三专题练习）函数2()cos 2f x x x =+-0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________．【答案】14-##-0.25【解析】【详解】22()1sin 2sin 1f x x x x x =--=--=21sin24x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以当sin x =时，有最大值14-．故答案为14-.【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1C ．()f x的最大值为3，最小值为34D ．()f x的最大值为33【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程2cos sin 20x x a -+=在02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，那么实数a 的取值范围（）A ．58a -≤B ．102a -≤≤C ．1122a -＜≤D ．12a -＜≤0【题型专练】1．（2022·江西九江·高一期末）函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（）A ．14B ．12C ．234-D ．414-2．（2022·河南焦作·高一期末）函数2cos22cos y x x =+的最小值为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】C【分析】利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.【详解】2cos 22cos cos 2cos 212cos 21y x x x x x =+=++=+ ，min 211y ∴=-+=-.故选：C.3.【2018·北京卷】设函数f （x ）=πcos(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.4．（2022·广西南宁·高二开学考试）已知函数ππ()sin ,0,36f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢，则函数()f x 的最大值为__________．5．（2022·全国·高一课时练习）函数()1sin cos =++f x x x的值域为_____________．6．（2022·全国·高一专题练习）若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤恒成立，则a 取值范围是_________.【答案】(,2]-∞-【分析】根据给定条件，脱去法则“f ”，再利用含sin x 的二次函数求解作答.【详解】因奇函数()f x 在R 上单调递减，则R x ∀∈，2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤2(cos 3sin )(sin )f x x f a x ⇔-≤-22cos 3sin sin cos 2sin x x a x a x x ⇔-≥-⇔≤-，令222cos 2sin sin 2sin 1(sin 1)2y x x x x x =-=--+=-++，而1sin 1x -≤≤，因此当sin 1x =时，min 2y =-，即有2a ≤-，所以a 取值范围是(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间[-1,1]或其子区间上的最值求解.7.【2018·全国Ⅲ】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤ ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.8.（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-（R x ∈）.求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥上的最大值和最小值.9．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知函数()2cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈．(1)求()f x 的最小值()g a ；(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围，并求所有零点之和．题型六：三角函数的图像【例1】（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【例2】（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()2f π的值为（）A ．B ．C ．D ．1-的部分图象知，【例3】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）如图表示电流强度I 与时间t 的关系()()()sin 0,0I A x A ωϕω=+>>在一个周期内的图像，则下列说法正确得是（）A ．50πω=B ．π6ϕ=C ．0=t 时，I =D ．1300100t I ==时，【例4】（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()f x 在5[,63ππ--上的值域为[2,1]-【例5】（2022·河北·沧县风化店中学高二开学考试多选题）函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且满足223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，现将()f x 图象沿x 轴向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象.下列说法正确的是（）A ．()g x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．()g x 的图象关于56x π=对称C ．()g x 是奇函数D ．()g x 的最小正周期为23π【例6】（2022·福建·高三阶段练习多选题）函数()sin()(0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，则（）A ．3π2ωϕ+=B ．(2)2f -=-C ．()f x 在区间()0,2022上存在506个零点D ．将()f x 的图像向右平移3个单位长度后，得到函数π()cos 4g x x ⎛⎫=- ⎪的图像【例7】（2022·江苏南通·高三开学考试多选题）已知函数()()sin 20,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移π12个单位后得到sin2y x =的图象C ．()f x 在区间π,2π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递増D ．π6f x ⎛⎫+ ⎪为偶函数【例8】（2022·全国·高一单元测试多选题）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-【题型专练】1．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A ．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于直线8x π=-对称C ．()g x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()()f x g x +的最小值为4-2．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习多选题）函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()12sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 图像上的所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度，得到函数()h x 的图像，则函数()h x 是奇函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪恒成立，则a 的取值范围为)2,+∞3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中ππ,2,,0123A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称C ．()f x 在2ππ,3⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减D ．直线7π12x =为()f x 图象的一条对称轴4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数π()sin()(R,0,0,)2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．直线πx =是()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 图象的对称中心为π(π,0)12k -+，Z k ∈C ．()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象5．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试多选题）函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）．A ．该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．该函数图象的对称中心为ππ,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Zk ∈D ．把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象6．（2021·福建·福州十八中高三开学考试多选题）已知函数()sin()(010f x x ωϕω=+<<，0π)ϕ<<的部分图象。

(完整版)高考大题-三角函数题型汇总精华(含答案解释)

(完整版)高考大题-三角函数题型汇总精华(含答案解释)

【模拟演练】1、[2014·江西卷16] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值．2、[2014·北京卷16] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图像如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．3、[2014·福建卷18] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．4、( 06湖南）如图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.（1）证明 sin cos 20αβ+=; （2）若求β的值.BDCαβ A图5、（07福建）在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．6、（07浙江）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．7、（07山东）如图,甲船以每小时302海里的速度向正北 方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时, 乙船位于甲船的北偏西105︒的方向1B 处,此时两船相距20 海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的 北偏西120︒方向的2B 处,此时两船相距102海里, 问乙船每小时航行多少海里?8、（2013年全国新课标2）在ABC ∆中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，已知B cC b a sin cos +=（1）求B ；（2）若b=2, 求ABC S ∆的最大值。

三角函数中的常考题型及其解法

三角函数中的常考题型及其解法

三角函数中的常考题型及其解法三角函数中常考题型及解法：一、求解三角函数值1、求正弦函数值解法：使用正弦定理进行求解，总结如下：（1）正弦定理（用于直角三角形）：a/sinA=b/sinB=c/sinC；（2）正弦表：常记正弦值，如15°的正弦值是0.2588；（3）半角公式：sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]；（4）倍角公式：sin2x=2sinxcosex。

2、求余弦函数值解法：使用余弦定理进行求解，总结如下：（1）余弦定理（用于直角三角形）：a²=b²+c²-2bc·cosA；（2）余弦表：常记余弦值，如45°的余弦值是0.7071；（3）化简余弦值：常用公式或知识点化简余弦值，如极限化简，勾股定理等；（4）半角公式：cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]；（5）倍角公式：cos2x=cos²x-sin²x。

三、求解三角函数表达式1、求正弦函数表达式解法：（1）可用图像法求解，如求函数y=2sin(x+π/6)的图形，可将之前已知的普通正弦图形向右移动π/6，并放大2倍；（2）也可用公式求解，如求函数y=2sin(x+π/6)，用单位正弦函数表示法，则有y=2sin(x)·cos(π/6)+2cos(x)·sin(π/6)。

2、求余弦函数表达式解法：（1）可用图像法求解，如求函数y=2cos(x+π/6)的图形，可先求出正弦函数的图像，再进行垂直翻转；（2）也可用公式求解，如求函数y=2cos(x+π/6)，用单位余弦函数表示法，则有y=2cos(x)·cos(π/6)-2sin(x)·sin(π/6)。

三角函数正切函数题型总结(含答案)

三角函数正切函数题型总结(含答案)

三角函数正切函数题型总结（含答案）一、单选题（本大题共15小题，共75.0分） 1. 已知sinθ=45，θ∈(π2,3π2)，则tan θ2= A. −2B. −12C. 12D. 2【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同角三角函数的关系以及正弦、余弦的二倍角公式，属于基础题． 因为tan θ2=sinθ2cosθ2=sin θ2cosθ2cos 2θ2=sinθ1+cosθ，所以根据同角三角函数的关系求出cosθ，即可求出tan θ2．【解答】解：∵sinθ=45，θ∈(π2,3π2)，∴cosθ=−√1−sin 2θ=−√1−(45)2=−35，∴tan θ2=sinθ2cosθ2=sin θ2cos θ2cos 2θ2=sinθ1+cosθ=451−35=2．故选D ．2. 已知sinθ=35，且sin2θ<0，则tanθ=( )A. −34B. 34C. −34或34D. 45【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同角三角函数基本关系，属于基础题．由题意易知cosθ<0.然后根据同角三角函数基本关系即可求解． 【解答】解：∵sin 2θ=2sinθcosθ<0， ∵sinθ=35，则cosθ<0， 故cosθ=−√1−sin 2θ=−45，故tan θ=sinθcosθ=−34， 故选A ．3. 已知cos θ=−35，π<θ<2π，则sin θ2等于( )A. 45B. 25√5C. −25√5D. ±25√5【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同角三角函数关系式，二倍角公式及应用，属于较易题． 根据二倍角余弦公式可以得出答案． 【解答】解：因为π<θ<2π，所以π2<θ2<π， 所以sin θ2>0， 所以sin θ2=√1−cosθ2=√1+352=2√55． 故选B ．4. θ∈[0,π]，cosθ=34，则tan θ2=( )A. √7B. √77C. 7D. 17【答案】B 【解析】 【分析】由条件利用二倍角公式求得cos θ2 和sin θ2的值，再利用同角三角函数的基本关系式求得tan θ2的值．本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，属于中档题． 【解答】 解：∵cos 2θ2=1+cosθ2=78，又θ2∈[0,π2]，∴cos θ2=√144，∴sin θ2=√1−cos 2θ2=√24，∴tan θ2=sinθ2cosθ2=√77， 故选：B ．5. 已知θ∈(−π2,0)，且3cos2θ+4cosθ+1=0，则sin2θ=( )A. −4√29B. −2√23C. 4√29D. 2√23【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．化简可得3cos 2θ+2cosθ−1=0，解得cosθ的值，再根据同角三角函数的基本关系，可得出sinθ，再根据二倍角公式，可得出sin2θ的值． 【解析】解：因为θ∈(−π2,0)，则cosθ∈(0,1)，由已知得3(2cos 2θ−1)+4cosθ+1=0，即3cos 2θ+2cosθ−1=0， 解得cosθ=13，或cosθ=−1(舍去)， 从而可得sinθ= −√1−cos 2θ=−2√23， 所以sin2θ=2sinθcosθ=−4√29． 故选A ．6. 已知cosθsinθ=53cos (2π−θ)，|θ|<π2，则sin2θ=( )A. 625B. 1225C. 1825D. 2425【答案】D 【解析】 【分析】本题考查诱导公式、同角三角函数之间的关系及二倍角公式，属于基础题．根据题意可得sinθ=35，然后利用同角三角函数之间的关系可得cosθ=√1−sin 2θ=45，进而利用二倍角公式即可求得结果． 【解答】解：由cosθsinθ=53cos(2π−θ)，得cosθsinθ=53cosθ， 则sinθ=35， ∵|θ|<π2，∴cosθ=√1−sin 2θ=45， ∴sin2θ=2sinθcosθ=2425． 故选D ．7. 已知cosθ⋅tanθ=34，则sin (π2−2θ)=( )A. 3√78B. ±√74 C. −12D. −18【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同角间的基本关系式，诱导公式，二倍角公式，先求出sinθ的值，利用诱导公式得sin(π2−2θ)=cos2θ，再利用二倍角公式求解． 属于中档题． 【解答】解：∵cosθ⋅tanθ=sinθ=34，∴sin(π2−2θ)=cos2θ=1−2sin 2θ=1−2×(34)2=−18． 故选D ．8. 若tan α2=12，则sinα=A. 35B. ±45C. −45D. 45【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系及二倍角公式即可得解，本题考查三角函数同角关系，二倍角正弦及三角函数求值等．【解答】解：因为tanα2=12，所以sinα=2sinα2cosα2=2sinα2cosα2sin2α2+cos2α2=2tanα21+tan2α2=45．故选D．9.已知2π<θ<4π，且sinθ=−35,cosθ<0，则tanθ2的值等于()A. −3B. 3C. −13D. 13【答案】A【解析】【分析】本题考查三角恒等变换公式应用，基础题；利用已知求出cosθ，再利用二倍角公式求解即可，【解答】解：由题意，cosθ=−√1−sin2θ=−45所以tanθ2=sinθ2cosθ2=sinθ2cosθ2cos2θ2=12sinθcosθ+12=sinθcosθ+1=−35−45+1=−3故选：A．10.已知sin2A=−2425,A∈(π,2π)，则cosA=A. 35B. 45C. 35或45D. −35或−45【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式和同角三角函数基本关系．【解答】解：∵sin2A=2sinAcosA=−2425，∵(sinA+cosA)2=1−2425=125，，又∵A∈(π,2π)，sinAcosA=−1225，∴sinA−cosA=−7 5故cosA=35或45．故选C．11.已知θ∈(0,π)，，则tan(π+2θ)=()A. 2√23B. 4√27C. √23D. 2√27【答案】B【解析】【分析】本题考查同角三角函数关系，二倍角公式，属于基础题．【解答】解：由题意得，则，则．故选B．12.已知θ∈(−π2,0)，sin(π4+θ)=35，则tan2θ的值为()A. −724B. 247C. 724D. −247【答案】A【解析】【分析】本题考查同角三角函数的关系，和差角公式，属于基础题．先由同角三角函数关系，求得tan(θ+π4)=34，再把tan(θ+π4)=tanθ+11−tanθ，结合和差角公式和二倍角公式计算即得．【解答】解：因为θ∈(−π2,0)，所以，又sin (θ+π4)=35，所以cos(θ+π4)=√1−(35)2=45，可得tan(θ+π4)=sin(θ+π4)cos(θ+π4)=34则tan(θ+π4)=tanθ+11−tanθ=34，所以tanθ=−17．所以tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2×(−17)1−(−17)2=−724．故选A．13.若tanθ=√3，则sin2θ1+cos2θ=()A. √3B. −√3C. √33D. −√33【答案】A【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式及其应用，属于基础题．由同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简可得tan θ，即可得结果．【解答】解：sin2θ1+cos2θ=2sinθcosθ1+2cos2θ−1=tanθ=√3．故选A．14.设θ∈(π4,π2),sin2θ=116，则cosθ−sinθ的值是()A. √154B. −√154C. 34D. −34【答案】B【解析】【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系以及二倍角公式，属于基础题．根据sin2θ=2sinθcosθ=116，结合，即可得到答案．【解答】解：∵sin2θ=2sinθcosθ=116，且θ∈(π4,π2)，，∴cosθ−sinθ=−√1−2sinθcosθ=−√154． 故选B ．15. 已知cosθ=35，tanθ<0，则sin(π−2θ)=A. −2425B. −1225C. −45D. 2425【答案】A 【解析】 【分析】此题考查诱导公式、二倍角公式和同角三角函数的基本关系，属于基础题． 利用同角三角函数的基本关系求得sinθ=−√1−cos 2θ=−√1−925=−45，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可． 【解答】解：因为cosθ=35,tanθ<0，则θ为第四象限角， sinθ=−√1−cos 2θ=−√1−925=−45，则sin (π−2θ)=sin2θ=2sinθcosθ=2×(−45)×35=−2425， 故选A ．。

(完整版)高考大题-三角函数题型汇总精华(含答案解释)

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【模拟演练】nn1、［2014 •西卷16］已知函数f(x) = (a+ 2COS2X)COS(2X+ 0 )为奇函数，且f 才=°，其中a€R , 0€ (0，冗).n n(1)求a, 0 的值；(2)若f 才=-5，a ~2， n，求sin a + —的值.n2、［2014北京卷16］函数f(x) = 3S in 2x+ —的部分图像如图所示.(1)写出f(x)的最小正周期及图中X0, y°的值；n n⑵求f(x)在区间—㊁，—12上的最大值和最小值.3、［2014 福建卷18］已知函数f(x) = 2COS x(sin x + COS x).5 n(1)求f —的值；⑵求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.4、( 06 湖南)如图，D是直角△ ABC斜边BC上一点，AB=AD,记/ CAD= , / ABC=(1)证明sin COS2 0;(2)若AC=..3 DC,求的值.1 35、（07福建）在厶ABC 中，聞A 4，tanB 5 -（I）求角C的大小；（n）若△ ABC最大边的边长为.17，求最小边的边长.6、（07 浙江）已知△ ABC 的周长为.2 1,且si nA si nB /2si nC .（I ）求边AB的长；（II ）若△ ABC的面积为^sinC，求角C的度数.67、（07山东）如图，甲船以每小时30「2海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A i处时,乙船位于甲船的北偏西105的方向B1处，此时两船相距20 海里•当甲船航行20分钟到达A,处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10.2海里, 问乙船每小时航行多少海里？8、（2013年全国新课标2）在ABC中，角A , B, C所对的边分别为a,b,c，已知a bcosC csin B（1）求B；（2）若b=2,求S ABC的最大值。

9、(2016年北京高考)在ABC中，a2 c2b2、 2ac(1)求角B的大小；(2)求2cosA cosC的最大值。

2024年高考数学一模《三角函数》题型及答案

2024年高考数学一模《三角函数》题型及答案

三角函数题型01任意角的三角函数题型02两角和与差的三角函数题型03三角函数的图象与性质题型04解三角形题型01任意角的三角函数1(2024·辽宁沈阳·统考一模)sin x =1的一个充分不必要条件是.2(2024·重庆·统考一模)英国著名数学家布鲁克·泰勒(Taylor Brook )以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯，其中n !=1×2×3×⋯×n ．根据该展开式可知，与2-233!+255!-277!+⋯的值最接近的是()A.sin2°B.sin24.6°C.cos24.6°D.cos65.4°3(2024·福建厦门·统考一模)若sin α+π4 =-35，则cos α-π4 =．4(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)下列说法正确的是()A.cos2sin3<0B.若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则扇形的面积为3π2C.终边落在直线y =x 上的角的集合是α α=π4+2k π,k ∈Z D.函数y =tan 2x -π6 的定义域为x x ≠π3+k π2,k ∈Z ，π为该函数的一个周期5(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)已知函数f (x )=cos xx，若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则下列结论一定正确的是()A.f (sin A )>f (sin B )B.f (cos A )>f (cos B )C.f (sin A )>f (cos B )D.f (cos A )>f (sin B )6(2024·河北·校联考一模)在△ABC 中，若A =nB n ∈N * ，则()A.对任意的n ≥2，都有sin A <n sin BB.对任意的n ≥2，都有tan A <n tan BC.存在n ，使sin A >n sin B 成立D.存在n ，使tan A >n tan B 成立题型02两角和与差的三角函数7(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)若cos α+π4 =35，则sin2α=()A.725B.-725C.925D.-9258(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知cos α+π6 =14，则sin 2α-π6 =()A.78B.-78C.38D.-389(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知sin π2-θ +cos π3-θ =1，则cos 2θ-π3=()A.13B.-13C.33D.-3310(2024·浙江·校联考一模)已知α是第二象限角，β∈0,π2 ,tan α+π4 =-14，现将角α的终边逆时针旋转β后得到角γ，若tan γ=17，则tan β=．11(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知tan α-11+tan α=2，则sin 2α+π6的值为()A.-4+3310B.-4-3310C.4+3310D.4-331012(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知α∈0,π ，且3tan α=10cos2α，则cos α可能为()A.-1010B.-55C.1010D.5513(2024·吉林延边·统考一模)已知函数f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx ,ω>0 的最小正周期为4π．(1)求ω的值，并写出f x 的对称轴方程；(2)在△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c 满足2a -c cos B =b ⋅cos C ，求函数f A 的取值范围．题型03三角函数的图象与性质14(2024·福建厦门·统考一模)已知函数f (x )=2sin 2x -π3，则()A.f (x )的最小正周期为π2B.f (x )的图象关于点2π3,0 成中心对称C.f (x )在区间0,π3上单调递增D.若f (x )的图象关于直线x =x 0对称，则sin2x 0=1215(2024·吉林延边·统考一模)将函数f x =sin ωx +π6 (ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是()A.13B.23C.43D.5316(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知函数f x =cos2x +a cos x +2，则下列说法正确的有()A.当a =0时，f x 的最小正周期为πB.当a =1时，f x 的最小值为78C.当a =3时，f x 在区间0,2π 上有4个零点D.若f x 在0,π3上单调递减，则a ≥217(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知函数f (x )=sin ωx +3cos ωx (ω>0)满足:f π6=2,f 2π3=0,则()A.曲线y =f (x )关于直线x =7π6对称 B.函数y =f x -π3是奇函数C.函数y =f (x )在π6,7π6单调递减 D.函数y =f (x )的值域为[-2,2]18(2024·辽宁沈阳·统考一模)如图，点A ,B ,C 是函数f x =sin ωx +φ (ω>0)的图象与直线y =32相邻的三个交点，且BC -AB =π3,f -π12=0，则()A.ω=4B.f 9π8 =12C.函数f x 在π3,π2上单调递减D.若将函数f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ 的最小值为π2419(2024·重庆·统考一模)已知f x =2a sin ωx ⋅cos ωx +b cos2ωx ω>0,a >0,b >0 的部分图象如图所示，当x ∈0,3π4时，f x 的最大值为．20(2024·云南曲靖·统考一模)函数f x =A sin ωx +φ (其中A >0，ω>0，φ ≤π2)的部分图象如图所示，则()A.f 0=-1B.函数f x 的最小正周期是2πC.函数f x 的图象关于直线x=π3对称D.将函数f x 的图象向左平移π6个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称21(2024·浙江·校联考一模)已知函数y=2sinωx+φ，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且点1,0是函数的一个对称点，则ω和φ的值可能是()A.ω=-π3,φ=-π3B.ω=-π3,φ=2π3C.ω=π3,φ=π3D.ω=π3,φ=2π322(2024·广东深圳·校考一模)已知函数f x =cosωx+π3+1(ω>0)的最小正周期为π，则f x 在区间0,π2上的最大值为()A.12B.1 C.32D.223(2024·山西晋城·统考一模)若函数f(x)=cosωx(0<ω<100)在π,5π2上至少有两个极大值点和两个零点，则ω的取值范围为．24(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数f x =A sinωx+φA>0,ω>0,φ <π的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A.ω=2，频率为1π，初相为π6B.函数f x 的图象关于直线x=-π6对称C.函数f x 在π12,13π24上的值域为0,2D.若把f x 图像上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向左平移π12个单位，则所得函数是y=2sin3x+π12题型04解三角形25(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠ADC=67.5°，从C点测得∠ACD=45°，∠BCE=75°，从E点测得∠BEC=60°．若测得DC=23，CE=2(单位：百米)，则A，B两点的距离为()A.6B.22C.3D.2326(2024·广东深圳·校考一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =3，b =5，c =2a cos A ，则cos A =() A.13B.24C.33D.6327(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且c -b =2b cos A ，则下列结论正确的有()A.A =2BB.B 的取值范围为0,π4C.ab的取值范围为2,3 D.1tan B -1tan A+2sin A 的最小值为2228(2024·福建厦门·统考一模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2cos B +ab cos A =2c ．(1)求a ；(2)若A =2π3，且△ABC 的周长为2+5，求△ABC 的面积．29(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知a -bc=sin A -sin Csin A +sin B．(1)求角B 的大小；(2)若b =2，求△ABC 周长的最大值．30(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且cos C =-14,c=2a.(1)求sin A的值；(2)若△ABC的周长为18，求△ABC的面积.31(2024·浙江·校联考一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知c2b2+c2-a2=sin Csin B．(1)求角A；(2)设边BC的中点为D，若a=7，且△ABC的面积为334，求AD的长．32(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知在△ABC中，3sin(A+B)=1+2sin2C 2．(1)求角C的大小；(2)若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．33(2024·辽宁沈阳·统考一模)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且b2=ac+a2.(1)求证：B=2A；(2)当3c+7a3b取最小值时，求cos B的值.34(2024·重庆·统考一模)在梯形ABCD中，AB⎳CD,∠ABC为钝角，AB=BC=2,CD=4，sin∠BCD=154．(1)求cos∠BDC；(2)设点E为AD的中点，求BE的长．35(2024·山西晋城·统考一模)在△ABC中，AB=33，AC=53，BC=73．(1)求A的大小；(2)求△ABC外接圆的半径与内切圆的半径．36(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知B =π4,4b cos C =2c +2a .(1)求tan C ；(2)若△ABC 的面积为32，求BC 边上的中线长.37(2024·云南曲靖·统考一模)在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且c =2a cos C -2b ．(1)求A ；(2)线段BC 上一点D 满足BD =14BC ,AD =BD=1，求AB 的长度．三角函数题型01任意角的三角函数题型02两角和与差的三角函数题型03三角函数的图象与性质题型04解三角形题型01任意角的三角函数1(2024·辽宁沈阳·统考一模)sin x =1的一个充分不必要条件是.【答案】x =π2(答案不唯一)【分析】根据三角函数的性质结合充分不必要条件即可求解.【详解】因为x =π2时sin x =1，由sin x =1可得x =π2+2k π,k ∈Z ,故sin x =1的一个充分不必要条件是x =π2，故答案为：x =π2(答案不唯一)2(2024·重庆·统考一模)英国著名数学家布鲁克·泰勒(Taylor Brook )以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯，其中n !=1×2×3×⋯×n ．根据该展开式可知，与2-233!+255!-277!+⋯的值最接近的是()A.sin2° B.sin24.6°C.cos24.6°D.cos65.4°【答案】C【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可.【详解】原式=sin2≈sin 2×57.3° =sin 90°+24.6° =cos24.6°，故选：C .3(2024·福建厦门·统考一模)若sin α+π4 =-35，则cos α-π4 =．【答案】-35/-0.6【分析】应用诱导公式有cos α-π4 =cos α+π4 -π2=sin α+π4 ，即可求值.【详解】cos α-π4 =cos α+π4 -π2=sin α+π4 =-35.故答案为：-354(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)下列说法正确的是()A.cos2sin3<0B.若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则扇形的面积为3π2C.终边落在直线y =x 上的角的集合是α α=π4+2k π,k ∈ZD.函数y =tan 2x -π6 的定义域为x x ≠π3+k π2,k ∈Z ，π为该函数的一个周期【答案】ABD【分析】根据三角函数在各象限内的符号可判断出A 正确；根据扇形弧长和面积公式可知B 正确；由终边相同的角的集合表示方法可知C 错误；根据正切型函数定义域和周期的判断方法可知D 正确.【详解】对于A ，∵2,3均为第二象限角，∴cos2<0，sin3>0，∴cos2sin3<0，A 正确；对于B ，设扇形的半径为r ，则π3r =π，解得：r =3，∴扇形的面积S =12×π3×32=3π2，B 正确；对于C ，终边落在直线y =x 上的角的集合为α α=π4+k π,k ∈Z ，C 错误；对于D ，由2x -π6≠π2+k πk ∈Z 得：x ≠π3+k π2k ∈Z ，∴y =tan 2x -π6 的定义域为x x ≠π3+k π2,k ∈Z ；又tan 2x +π -π6 =tan 2π+2x -π6 =tan 2x -π6 ，∴π是y =tan 2x -π6 的一个周期，D 正确.故选：ABD .5(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)已知函数f (x )=cos xx，若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则下列结论一定正确的是()A.f (sin A )>f (sin B )B.f (cos A )>f (cos B )C.f (sin A )>f (cos B )D.f (cos A )>f (sin B )【答案】D【分析】由已知可得π2>A >π2-B >0，根据余弦函数的单调性，得出cos A <sin B ，由f x 的单调性即可判断选项.【详解】因为f (x )=cos x x ，所以f (x )=-x sin x -cos xx 2，当x ∈0,π2 时，sin x >0,cos x >0，所以-x sin x -cos xx2<0，即f (x )<0，所以f x 在0,π2上单调递减.因为A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，所以A +B >π2，则π2>A >π2-B >0，因为y =cos x 在0,π2 上单调递减，所以0<cos A <cos π2-B =sin B <1<π2，故f (cos A )>f (sin B )，故D 正确.同理可得f (cos B )>f (sin A )，C 错误；而A ,B 的大小不确定，故sin A 与sin B ，cos A 与cos B 的大小关系均不确定，所以f (sin A )与f (sin B )，f (cos A )与f (cos B )的大小关系也均不确定，AB 不能判断.故选：D6(2024·河北·校联考一模)在△ABC 中，若A =nB n ∈N * ，则()A.对任意的n ≥2，都有sin A <n sin BB.对任意的n ≥2，都有tan A <n tan BC.存在n ，使sin A >n sin B 成立D.存在n ，使tan A >n tan B 成立【答案】AD【分析】根据给定条件，举例说明判断BD；构造函数，借助导数探讨单调性判断AC.【详解】在△ABC中，当A=3B时，n=3，取B=π12，则A=π4，tan A=1，tan B=tanπ3-π4=3-11+3=2-3，3tan B=3(2-3)，则tan A>3tan B，B错，D对；显然0<A<π0<B<π0<C<π，即0<nB<π0<B<π0<π-B-nB<π，则0<B<πn+1，令f(x )=sin nx-n sin x，0<x<πn+1,n≥2，f (x)=n cos nx-n cos x=n(cos nx-cos x)<0，因此函数f(x)在0,πn+1上单调递减，则f(x)<f(0)=0，即sin nB<n sin B，从而sin A<n sin B，A对，C错.故选：AD【点睛】思路点睛：涉及不同变量的数式大小比较，细心挖掘问题的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解作答.题型02两角和与差的三角函数7(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)若cosα+π4=35，则sin2α=()A.725B.-725C.925D.-925【答案】A【分析】根据二倍角的余弦公式和诱导公式即可.【详解】cos2α+π4=2cos2α+π4-1=2×35 2-1=-725,所以sin2α=-cos2α+π2=725，故选：A.8(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知cosα+π6=14，则sin2α-π6=()A.78B.-78C.38D.-38【答案】A【分析】利用换元法，结合诱导公式、二倍角公式等知识求得正确答案.【详解】设α+π6=t，则α=t-π6,cos t=14,sin2α-π6=sin2t-π6-π6=sin2t-π2=-cos2t=-2cos2t-1=-2×142-1=78.故选：A9(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知sinπ2-θ+cosπ3-θ=1，则cos2θ-π3=()A.13B.-13C.33D.-33【答案】B【分析】根据和差角公式以及诱导公式可得32cos θ+32sin θ=1，由辅助角公式以及二倍角公式即可求解.【详解】由sin π2-θ+cos π3-θ =1得cos θ+12cos θ+32sin θ=1，进而可得32cos θ+32sin θ=1，结合辅助角公式得3cos θ-π6=1，则cos θ-π6 =33,∴cos 2θ-π3 =2cos 2θ-π6 -1=-13，故选：B .10(2024·浙江·校联考一模)已知α是第二象限角，β∈0,π2,tan α+π4 =-14，现将角α的终边逆时针旋转β后得到角γ，若tan γ=17，则tan β=．【答案】198/2.375【分析】由两角和的正切公式先得tan α=-53，进一步由两角差的正切公式即可求解.【详解】由题意tan α+π4 =tan α+11-tan α=-14，且γ=α+β，tan γ=tan α+β =17，解得tan α=-53，所以tan β=tan α+β-α =17--53 1+-53 ×17=198.故答案为：198.11(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知tan α-11+tan α=2，则sin 2α+π6的值为()A.-4+3310B.-4-3310C.4+3310D.4-3310【答案】A【分析】先由已知条件求出tan α的值，再利用三角函数恒等变换公式求出sin2α,cos2α的值，然后对sin 2α+π6利用两角和的正弦公式化简计算即可【详解】由tan α-11+tan α=2，得tan α=-3，所以sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan αtan 2α+1=-610=-35，cos2α=cos 2α-sin 2αsin 2α+cos 2α=1-tan 2αtan 2α+1=1-910=-45，所以sin 2α+π6 =sin2αcos π6+cos2αsinπ6=-35×32+-45 ×12=-4+3310，故选：A12(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知α∈0,π ，且3tan α=10cos2α，则cos α可能为()A.-1010B.-55C.1010D.55【答案】B【分析】由3tan α=10cos2α得3tan α=10×1-tan 2α1+tan 2α，化简后可求出tan α，再利用同角三角函数的关系可求出cos α.【详解】由3tan α=10cos2α，得3tan α=10(cos 2α-sin 2α)，所以3tan α=10×cos 2α-sin 2αcos 2α+sin 2α，所以3tan α=10×1-tan 2α1+tan 2α，整理得3tan 3α+10tan 2α+3tan α-10=0，(tan α+2)(3tan 2α+4tan α-5)=0，所以tan α+2=0或3tan 2α+4tan α-5=0，所以tan α=-2或tan α=-2±193，①当tan α=-2时，sin αcos α=-2，α∈π2,π ，因为sin 2α+cos 2α=1，所以5cos 2α=1，所以cos α=±55，因为α∈π2,π ，所以cos α=-55，②当tan α=-2+193时，sin αcos α=-2+193,α∈0,π2，因为sin 2α+cos 2α=1，所以19-23cos α 2+cos 2α=1，由于α∈0,π2 ，所以解得cos α=932-419，③当tan α=-2-193时，sin αcos α=-2-193,α∈π2,π ，因为sin 2α+cos 2α=1，所以-19-23cos α 2+cos 2α=1，由于α∈π2,π ，所以解得cos α=-932+419，综上，cos α=-55，或cos α=932-419，或cos α=-932+419，故选：B13(2024·吉林延边·统考一模)已知函数f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx ,ω>0 的最小正周期为4π．(1)求ω的值，并写出f x 的对称轴方程；(2)在△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c 满足2a -c cos B =b ⋅cos C ，求函数f A 的取值范围．【答案】(1)ω=14,x =2π3+2k π,k ∈Z(2)12,1 【分析】(1)利用三角函数的恒等变换化简函数f (x )=sin 2ωx +π6，再根据周期求出ω的值,利用整体法即可求解对称轴.(2)把已知的等式变形并利用正弦定理可得cos B =12，故B =π3，故f (A )=sin 12A +π6 ,0<A <2π3，根据正弦函数的定义域和值域求出f A 的取值范围．【详解】(1)f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx =12+32sin2ωx -sin 2ωx =12+32sin2ωx -1-cos2ωx2=32sin2ωx +12cos2ωx =sin 2ωx +π6 ．∵T =2π2ω=4π，∴ω=14．故f x =sin 12x +π6 令12x +π6=π2+k π,k ∈Z ，解得x =2π3+2k π,k ∈Z ，故对称轴方程为：x =2π3+2k π,k ∈Z(2)由2a -c cos B =b ⋅cos C 得(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ，∴2sin A cos B =sin B cos C +cos B sin C =sin (B +C )=sin A ．∵sin A ≠0，∴cos B =12，B ∈0,π ,∴B =π3．∴f (A )=sin 12A +π6 ,0<A <2π3，∴π6<A 2+π6<π2，∴12<sin A 2+π6 <1，∴f (A )∈12,1 题型03三角函数的图象与性质14(2024·福建厦门·统考一模)已知函数f (x )=2sin 2x -π3，则()A.f (x )的最小正周期为π2B.f (x )的图象关于点2π3,0 成中心对称C.f (x )在区间0,π3上单调递增D.若f (x )的图象关于直线x =x 0对称，则sin2x 0=12【答案】BC【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误.【详解】由f (x )=2sin 2x -π3 ，最小正周期T =2π2=π，A 错；由f 2π3=2sin 2×2π3-π3 =0，即2π3,0 是对称中心，B 对；由x ∈0,π3 ，则2x -π3∈-π3,π3 ，显然f (x )在区间0,π3 上单调递增，C 对；由题意2x 0-π3=k π+π2⇒2x 0=k π+5π6，故sin2x 0=±12，D 错.故选：BC15(2024·吉林延边·统考一模)将函数f x =sin ωx +π6 (ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是()A.13B.23C.43D.53【答案】B【分析】得出平移后的方程后，再根据正弦型函数的性质即可得到答案.【详解】结合题意可得f x +π2 =sin ωx +π2 +π6 =sin ωx +π2ω+π6,(ω>0)，因为曲线C 关于y 轴对称，所以π2ω+π6=k π+π2,k ∈Z ，解得ω=2k +23,k ∈Z ,因为ω>0，所以当k =0时，ω有最小值23.故选：B .16(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知函数f x =cos2x +a cos x +2，则下列说法正确的有()A.当a =0时，f x 的最小正周期为πB.当a =1时，f x 的最小值为78C.当a =3时，f x 在区间0,2π 上有4个零点D.若f x 在0,π3 上单调递减，则a ≥2【答案】AB【分析】根据三角函数的周期性、含cos x 的二次项函数的值域、三角函数的零点、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】当a =0时，f x =cos2x +2，所以f x 的最小正周期为π，A 选项正确；当a =0时，f x =cos2x +cos x +2=2cos 2x +cos x +1=2cos x +14 2+78≥78，所以f x 的最小值为78，B 选项正确；当a =4时，f x =cos2x +3cos x +2=2cos 2x +3cos x +1=2cos x +1 cos x +1 ，令f x =0，解得cos x =-12或cos x =-1，此时x =2π3或x =4π3或x =π，f x 在区间0,2π 上有3个零点，C 选项错误；f x =cos2x +a cos x +2=2cos 2x +a cos x +1，设t =cos x ，cos x 在0,π3 上单调递减，则t ∈12,1 ，根据复合函数的单调性，g t =2t 2+at +1在12,1 上单调递增，所以-a 4≤12，解得a ≥-2，D 选项错误.故选：AB17(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知函数f (x )=sin ωx +3cos ωx (ω>0)满足:f π6=2,f 2π3=0,则()A.曲线y =f (x )关于直线x =7π6对称 B.函数y =f x -π3是奇函数C.函数y =f (x )在π6,7π6单调递减 D.函数y =f (x )的值域为[-2,2]【答案】ABD【分析】用辅助角公式化简f (x ),再利用f π6=2,f 2π3 =0,得出ω的取值集合,再结合三角函数性质逐项判断即可.【详解】f (x )=2sin ωx +π3,所以函数y =f (x )的值域为[-2,2],故D 正确；因为f 2π3=0,所以2π3ω+π3=k 1π,k 1∈Z ,所以ω=3k 1-12,k 1∈Z ，因为f π6 =2,所以π6ω+π3=π2+2k 2π,k 2∈Z ,所以ω=12k 2+1,k 2∈Z ，所以3k 1-12=12k 2+1,即k 1=8k 2+1，所以ω∈{1,13,25,37⋯}，因为f 7π6 =2sin 12k 2+1 7π6+π3 =2sin 14k 2π+3π2=-2，所以曲线y =f (x )关于直线x =7π6对称,故A 正确；因为f x -π3 =2sin 12k 2+1 x -π3 +π3 =2sin 12k 2+1 x -4k 2π =2sin 12k 2+1 x即f x -π3 =-f -x -π3，所以函数y =f x -π3是奇函数,故B 正确；取ω=13,则最小正周期T =2πω=2π13<7π6-π6=π,故C 错误.故选：ABD 18(2024·辽宁沈阳·统考一模)如图，点A ,B ,C 是函数f x =sin ωx +φ (ω>0)的图象与直线y =32相邻的三个交点，且BC -AB =π3,f -π12=0，则()A.ω=4B.f 9π8 =12C.函数f x 在π3,π2上单调递减D.若将函数f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ 的最小值为π24【答案】ACD【分析】令f x =32求得x A ,x B ,x C 根据BC -AB =π3求得ω=4，根据f -π12=0求得f x 的解析式，再逐项验证BCD 选项.【详解】令f x =sin ωx +φ =32得，ωx +φ=π3+2k π或ωx +φ=2π3+2k π，k ∈Z ，由图可知：ωx A +φ=π3+2k π，ωx C +φ=π3+2k π+2π，ωx B +φ=2π3+2k π，所以BC =x C -x B =1ω-π3+2π ，AB =x B -x A =1ω⋅π3，所以π3=BC -AB =1ω-2π3+2π ，所以ω=4，故A 选项正确，所以f x =sin 4x +φ ，由f -π12=0得sin -π3+φ =0，所以-π3+φ=π+2k π，k ∈Z ，所以φ=4π3+2k π，k ∈Z ，所以f x =sin 4x +4π3+2k π =sin 4x +4π3 =-sin 4x +π3 ，f 9π8 =-sin 9π2+π3 =-12，故B 错误.当x ∈π3,π2 时，4x +π3∈5π3,2π+π3，因为y =-sin t 在t ∈5π3,2π+π3 为减函数，故f x 在π3,π2上单调递减，故C 正确；将函数f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得g x =-sin 4x +4θ+π3，(θ<0时向右平移，θ>0时向左平移)，g x 为偶函数得4θ+π3=π2+k π，k ∈Z ，所以θ=π24+k π4，k ∈Z ，则θ 的最小值为π24，故D 正确.故选：ACD .19(2024·重庆·统考一模)已知f x =2a sin ωx ⋅cos ωx +b cos2ωx ω>0,a >0,b >0 的部分图象如图所示，当x ∈0,3π4时，f x 的最大值为．【答案】3【分析】由图象求出函数f x 的解析式，然后利用正弦型函数的基本性质可求得函数f x 在0,3π4上的最大值.【详解】因为f x =2a sin ωx ⋅cos ωx +b cos2ωx =a sin2ωx +b cos2ωx ω>0,a >0,b >0 ，设f x =A sin 2ωx +φ A >0,ω>0 ，由图可知，函数f x 的最小正周期为T =4×π6+π12 =π，则2ω=2πT =2ππ=2，又因为A =f x max -f x min 2=2+22=2，则f x =2sin 2x +φ ，因为f -π12 =2sin φ-π6 =2，可得sin φ-π6 =1，所以，φ-π6=π2+2k πk ∈Z ，则φ=2π3+2k πk ∈Z ，则f x =2sin 2x +2π3+2k π =2sin 2x +2π3 ，当0≤x ≤3π4时，2π3≤2x +2π3≤13π6，故f x max =2sin 2π3=2×32= 3.故答案为：3.20(2024·云南曲靖·统考一模)函数f x =A sin ωx +φ (其中A >0，ω>0，φ ≤π2)的部分图象如图所示，则()A.f 0 =-1B.函数f x 的最小正周期是2πC.函数f x 的图象关于直线x =π3对称D.将函数f x 的图象向左平移π6个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称【答案】AC【分析】利用图象求出函数f x 的解析式，代值计算可判断A 选项；利用正弦型函数的周期性可判断B 选项；利用正弦型函数的对称性可判断C 选项；利用三角函数图象变换可判断D 选项.【详解】由图可知，A =f x max -f x min 2=2--22=2，函数f x 的最小正周期T 满足3T 4=7π12--π6 =3π4，则T =π，ω=2πT =2ππ=2，B 错；所以，f x =2sin 2x +φ ，f -π6 =2sin 2×-π6 +φ =2sin φ-π3 =-2，可得sin φ-π3 =-1，因为-π2≤φ≤π2，所以，-5π6≤φ-π3≤π6，则φ-π3=-π2，可得φ=-π6，所以，f x =2sin 2x -π6 ，则f 0 =2sin -π6=-1，A 对；f π3 =2sin 2×π3-π6 =2sin π2=2=f x max ，所以，函数f x 的图象关于直线x =π3对称，C 对；将函数f x 的图象向左平移π6个单位长度以后，得到函数y =2sin 2x +π6 -π6 =2sin 2x +π6 的图象，所得函数为非奇非偶函数，D 错.故选：AC .21(2024·浙江·校联考一模)已知函数y =2sin ωx +φ ，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且点1,0 是函数的一个对称点，则ω和φ的值可能是()A.ω=-π3,φ=-π3B.ω=-π3,φ=2π3C.ω=π3,φ=π3D.ω=π3,φ=2π3【答案】D【分析】由题意首先得ω=π3，进一步由ω+φ=k π,k ∈Z ，对比选项即可得解.【详解】由题意函数的周期T 满足，T 2=52-42=3=2π2ω ，所以ω=±π3，又点1,0 是函数的一个对称点，所以ω+φ=k π,k ∈Z ，所以ω=π3φ=k π-π3,k ∈Z 或ω=-π3φ=k π+π3,k ∈Z，对比选项可知，只有当ω=π3φ=2π3k =1时满足题意.故选：D .22(2024·广东深圳·校考一模)已知函数f x =cos ωx +π3+1(ω>0)的最小正周期为π，则f x 在区间0,π2上的最大值为()A.12B.1C.32D.2【答案】C【分析】由周期公式求得ω，结合换元法即可求得最大值.【详解】由题意T =2πω=π，解得ω=2，所以f x =cos 2x +π3+1，当x ∈0,π2 时，t =2x +π3∈π3,4π3，所以f x 在区间0,π2 上的最大值为cos π3+1=32，当且仅当x =0时等号成立.故选：C .23(2024·山西晋城·统考一模)若函数f (x )=cos ωx (0<ω<100)在π,5π2上至少有两个极大值点和两个零点，则ω的取值范围为．【答案】85,2 ∪125,100 【分析】先求出极大值点表达式，利用题干条件列不等式赋值求解.【详解】令ωx =2k π，k ∈Z ，得f (x )的极大值点为x =2k πω，k ∈Z ，则存在整数k ，使得ω>02k πω>π2k +1 πω<5π2，解得4(k +1)5<ω<2k (k ∈N *)．因为函数y =cos x 在两个相邻的极大值点之间有两个零点，所以4(k +1)5<ω<2k (k ∈N *)．当k =1时，85<ω<2．当k =2时，125<ω<4．当k ≥2时，4(k +1)5<4(k +2)5<2k ．又0<ω<100，所以ω的取值范围为85,2 ∪125,4 ∪165,6 ∪⋅⋅⋅∪2045,100 =85,2 ∪125,100 ．故答案为：85,2 ∪125,100【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象及其性质，求出4k +15<ω<2k k ∈N * 并赋值计算是解决问题关键.24(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数f x =A sin ωx +φ A >0,ω>0,φ <π 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A.ω=2，频率为1π，初相为π6B.函数f x 的图象关于直线x =-π6对称C.函数f x 在π12,13π24上的值域为0,2 D.若把f x 图像上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向左平移π12个单位，则所得函数是y =2sin 3x +π12【答案】BCD【分析】根据图象求出三角函数解析式，再根据正弦函数图象与性质以及函数平移的原则即可判断.【详解】由图象可得A =2,34T =13π12-π3=3π4,∴T =π，频率是1T =1π,ω=2ππ=2,∵f π3 =2,∴f π3 =2sin 2π3+φ =2，即sin 2π3+φ =1,∴2π3+φ=2k π+π2(k ∈Z )，∴φ=2k π-π6(k ∈Z ),∵|φ|<π,∴φ=-π6，对于A ，∴f (x )=2sin 2x -π6 ，初相是-π6，故A 错误；对于B ，f -π6 =2sin -π3-π6=-2，故B 正确；对于C ，因为x ∈π12,13π24 ，所以2x -π6∈0,11π12，∴f (x )=2sin 2x -π6在π12,13π24上的值域为[0,2]，故C 正确；对于D ，把f (x )的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数为y =2sin 3x -π6，又向左平移π12个单位，得到的函数为y =2sin 3x +π12 -π6 =2sin 3x +π12 ，故D 正确；故选：BCD .题型04解三角形25(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)如图，为了测量某湿地A ，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C ，D ，E ．从D 点测得∠ADC =67.5°，从C 点测得∠ACD =45°，∠BCE =75°，从E 点测得∠BEC =60°．若测得DC =23，CE =2(单位：百米)，则A ，B 两点的距离为()A.6B.22C.3D.23【答案】C【分析】在△ADC 中，求得AC =DC ；在△BCE 中，利用正弦定理求得BC ；再在△ABC 中，利用余弦定理即可求得结果.【详解】根据题意，在△ADC 中，∠ACD =45°，∠ADC =67.5°，DC =23，则∠DAC =180°-45°-67.5°=67.5°，则AC =DC =23，在△BCE 中，∠BCE =75°，∠BEC =60°，CE =2，则∠EBC =180°-75°-60°=45°，则有CE sin ∠EBC =BC sin ∠BEC ，变形可得BC =CE ⋅sin ∠BEC sin ∠EBC =2×3222=3，在△ABC 中，AC =23，BC =3，∠ACB =180°-∠ACD -∠BCE =60°，则AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos ∠ACB =9，则AB =3．故选：C .【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及距离的求解，属基础题.26(2024·广东深圳·校考一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =3，b =5，c =2a cos A ，则cos A =()A.13B.24C.33D.63【答案】D【分析】由已知结合余弦定理进行化简即可求解.【详解】解：因为c =2a cos A ，由余弦定理可得c =2a ⋅b 2+c 2-a 22bc，将a =3，b =5代入整理得c =26，所以cos A =c 2a =63.故选：D .27(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且c -b =2b cos A ，则下列结论正确的有()A.A =2BB.B 的取值范围为0,π4C.ab的取值范围为2,3 D.1tan B -1tan A+2sin A 的最小值为22【答案】AC【分析】用正弦定理可判断A 项，由锐角三角形可判断B 项，用倍角公式可判断C 项，切化弦后用取等条件即可判断D 项.【详解】在△ABC 中，由正弦定理可将式子c -b =2b cos A 化为sin C -sin B =2sin B cos A ，把sin C =sin A +B =sin A cos B +cos A sin B 代入整理得，sin A -B =sin B ，解得A -B =B 或A -B +B =π，即A =2B 或A =π(舍去)，所以A =2B ，选项A 正确；选项B ：因为△ABC 为锐角三角形，A =2B ，所以C =π-3B ，由0<B <π2,0<2B <π2,0<π-3B <π2,解得B ∈π6,π4 ，故选项B 错误；选项C ：a b=sin A sin B =sin2B sin B =2cos B ，因为B ∈π6,π4 ，所以cos B ∈22,32 ，2cos B ∈2,3 ，即ab的取值范围为2,3 ，故选项C 正确；选项D ：1tan B -1tan A +2sin A =sin A -B sin A sin B +2sin A =1sin A+2sin A ≥21sin A ×2sin A =22，当且仅当1sin A=2sin A 即sin A =±22时取等，但因为B ∈π6,π4 ，所以A =2B ∈π3,π2 ,sin A ∈32,1 ，无法取到等号，故D 错.故选：AC .28(2024·福建厦门·统考一模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2cos B +ab cos A =2c ．(1)求a ；(2)若A =2π3，且△ABC 的周长为2+5，求△ABC 的面积．【答案】(1)a =2；(2)34.【分析】(1)应用正弦边角关系及和角正弦公式有a sin (A +B )=2sin C ，再由三角形内角性质即可求边长；(2)应用余弦定理及已知得b 2+c 2+bc =4且b +c =5，进而求得bc =1，最后应用面积公式求面积.【详解】(1)由题设a (a cos B +b cos A )=2c ，由正弦定理有a (sin A cos B +sin B cos A )=2sin C ，所以a sin (A +B )=2sin C ，而A +B =π-C ，故a sin C =2sin C ，又sin C >0，所以a =2.(2)由(1)及已知，有cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-42bc=-12，可得b 2+c 2+bc =4，又a +b +c =2+5，即b +c =5，所以(b +c )2-bc =5-bc =4⇒bc =1，故S △ABC =12bc sin A =34.29(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知a -bc=sin A -sin Csin A +sin B．(1)求角B 的大小；(2)若b =2，求△ABC 周长的最大值．【答案】(1)B =π3(2)6【分析】(1)根据题意利用正、余弦定理进行边角转化，进而可得结果；(2)根据a 2+c 2-b 2=ac ，结合基本不等式运算求解.【详解】(1)因为a -b c =sin A -sin C sin A +sin B，由正弦定理可得a -b c =a -ca +b ，整理得a 2+c 2-b 2=ac ，由余弦定理可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =ac 2ac =12，且B ∈0,π ，所以B =π3.(2)由(1)可知：a 2+c 2-b 2=ac ，整理得a +c 2-4=3ac ，即ac =a +c 2-43，因为ac ≤a +c24，当且仅当a =c =2时，等号成立，则a +c 2-43≤a +c 24，可得a +c 2≤16，即a +c ≤4，所以△ABC 周长的最大值为4+2=6.30(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且cos C =-14,c =2a .(1)求sin A 的值；(2)若△ABC 的周长为18，求△ABC 的面积.【答案】(1)158(2)315【分析】(1)由正弦定理边化角结合同角三角函数关系求解;(2)由余弦定理解方程得边长，再利用面积公式求解.【详解】(1)因为0<C <π，cos C =-14，所以sin C =1-cos 2C =154.因为c =2a ，所以sin C =2sin A ，则sin A =sin C 2=158.(2)因为cos C =-14，所以c 2=a 2+b 2+12ab .因为c =2a ，所以3a 2-12ab -b 2=0，解得b =32a .因为△ABC 的周长为18，所以a +b +c =92a =18，解得a =4，则b =6,c =8.故△ABC 的面积为12bc sin A =12×6×8×158=315.31(2024·浙江·校联考一模)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知c 2b 2+c 2-a2=sin Csin B．(1)求角A ；(2)设边BC 的中点为D ，若a =7，且△ABC 的面积为334，求AD 的长．【答案】(1)A =π3(2)132【分析】(1)根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到b 2+c 2-a 2=bc ，再结合余弦定理即可求出角A ；(2)根据三角形面积公式得到bc =3和b 2+c 2=10，再结合中线向量公式计算即可.【详解】(1)在△ABC 中，由正弦定理得，sin C sin B =cb，因为c 2b 2+c 2-a 2=sin C sin B ，所以c 2b 2+c 2-a 2=cb ，化简得，b 2+c 2-a 2=bc ，在△ABC 中，由余弦定理得，cos A =b 2+c 2-a 22bc=12，又因为0<A <π，所以A =π3(2)由S △ABC =12bc sin A =34bc =334，得bc =3，由a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，得7=b 2+c 2-3，所以b 2+c 2=10．又因为边BC 的中点为D ，所以AD =12AB +AC，所以AD =12(AB +AC )2=12b 2+c 2+2bc cos A =12×10+2×3×12=13232(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知在△ABC 中，3sin (A +B )=1+2sin 2C2．(1)求角C 的大小；(2)若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值．【答案】(1)π3；(2)4+23．【分析】(1)利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得sin C +π6=1，再根据角的范围可得解；(2)利用正弦定理求出AB ，求出∠AIB ，设出∠ABI ，将AI ,BI 用∠ABI 表示，根据三角函数知识求出AI +BI 的最大值可得解.【详解】(1)∵3sin (A +B )=1+2sin 2C2，且A +B +C =π，∴3sin C =1+1-cos C =2-cos C ，即3sin C +cos C =2，∴sin C +π6=1．∵C ∈(0，π)，∴C +π6∈π6，7π6 ，∴C +π6=π2，即C =π3．(2)∵△ABC 的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，AB sin ∠ACB =ABsin π3=2×2=4，∴AB =23，∵∠ACB =π3，∴∠ABC +∠BAC =2π3，∵∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，∴∠ABI +∠BAI =π3，∴∠AIB =2π3，设∠ABI =θ，则∠BAI =π3-θ，且0<θ<π3，在△ABI 中，由正弦定理得，BI sin π3-θ =AI sin θ=AB sin ∠AIB =23sin 2π3=4，∴BI =4sin π3-θ ，AI =4sin θ，∴△ABI 的周长为23+4sin π3-θ +4sin θ=23+432cos θ-12sin θ +4sin θ=23+23cos θ+2sin θ=4sin θ+π3+23，∵0<θ<π3，∴π3<θ+π3<2π3，∴当θ+π3=π2，即θ=π6时，△ABI 的周长取得最大值，最大值为4+23，故△ABI 的周长的最大值为4+23．【点睛】关键点点睛：将AI ,BI 用∠ABI 表示，根据三角函数知识求出AI +BI 的最大值是解题关键.33(2024·辽宁沈阳·统考一模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且b 2=ac +a 2.(1)求证：B =2A ；(2)当3c +7a 3b取最小值时，求cos B 的值.【答案】(1)证明见解析(2)cos B =-13【分析】(1)利用余弦定理并结合正弦函数两角和差公式化简即可求解.(2)利用基本不等式求得3c +7a 3b的最小值时的取等条件b =233a ，再结合余弦定理从而求解.【详解】(1)证明：由余弦定理知b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，又因为b 2=a 2+ac ，所以a 2+ac =a 2+c 2-2ac ⋅cos B ，化简得a =c -2a cos B ，所以sin A =sin C -2sin A cos B ，因为A +B +C =π，所以sin A =sin A +B -2sin A cos B ，所以sin A =sin A cos B +cos A sin B -2sin A cos B =cos A sin B -sin A cos B ，所以sin A =sin B -A ，因为A ∈0,π ,B -A ∈-π,π ，所以A =B -A 或A +B -A =π(舍)，所以B =2A .(2)由题知，3c +7a 3b =3ac +7a 23ab =3b 2-a 2 +7a 23ab=b a +43⋅a b ≥243=433，当且仅当b =233a 时取等，又因为b 2=ac +a 2，所以c =13a ，所以cos B =a 2+c 2-b22ac=a 2+13a 2-233a22a ×13a=-13.34(2024·重庆·统考一模)在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ,∠ABC 为钝角，AB =BC =2,CD =4，sin ∠BCD =154．(1)求cos ∠BDC ；(2)设点E 为AD 的中点，求BE 的长．【答案】(1)78；(2)342【分析】(1)在△BCD 中利用余弦定理求出BD ，再利用二倍角的余弦公式计算即得.(2)利用(1)的结论，借助向量数量积求出BE 的长.【详解】(1)在梯形ABCD 中，由AB ⎳CD ,∠ABC 为钝角，得∠BCD 是锐角，在△BCD 中，sin ∠BCD =154，则cos ∠BCD =1-sin 2∠BCD =14，由余弦定理得BD =22+42-2×2×4×14=4，即△BCD 为等腰三角形，所以cos ∠BDC =cos (π-2∠BCD )=-cos2∠BCD =1-2cos 2∠BCD =78.(2)由AB ⎳CD ，得∠ABD =∠BDC ，由点E 为AD 的中点，得BE =12(BA +BD)，所以|BE |=12BA 2+BD 2+2BA ⋅BD =1222+42+2×2×4×78=342.35(2024·山西晋城·统考一模)在△ABC 中，AB =33，AC =53，BC =73．(1)求A 的大小；(2)求△ABC 外接圆的半径与内切圆的半径．【答案】(1)A =2π3(2)32【分析】(1)由余弦定理即可求解；(2)由正弦定理求出外接圆半径，由等面积法求出内切圆半径.【详解】(1)由余弦定理得cos A =AB 2+AC 2-BC 22AB ⋅AC=-12，因为0<A <π，所以A =2π3．(2)设△ABC 外接圆的半径与内切圆的半径分别为R ，r ，由正弦定理得2R =BC sin A=7332=14，则R =7．△ABC 的面积S =12AB ⋅AC ⋅sin A =4534，由12r (AB +AC +BC )=S ，得r =2S AB +AC +BC =32．36(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知B =π4,4b cos C =2c +2a .(1)求tan C ；。

三角函数题型综合练习(含答案)(文科)

三角函数题型综合练习(含答案)(文科)

三角函数题型综合练习（一）三角函数的图像与性质 一、选择题1.已知a 是第二象限角,5sin ,cos 13a a ==则（ ）【答案】A A ．1213-B ．513- C ．513 D ．12132.函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为 ( ) 【答案】C ;3.函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是 ( )【答案】AA ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π4.将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ,则ϕ的值可以是 （ ）【答案】BA ．35π B ．65π C ．2πD ．6π5．将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是 （ ） 【答案】B A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π66.若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（ ）【答案】BA ．5B ．4C ．3D ．27、函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）【答案】BA ．1-B ．CD ．08.函数x x x y sin cos +=的图象大致为 （ ）【答案D9.（函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 （ ）【答案】A ．π,1B ．π,2C ．2π,1D ．2π,210.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图像向右平移2π个单位后,与函数sin(2)3y x π=+的图像重合,则||ϕ=___________.【答案】56π11.设f(x)=sin3x+cos3x,若对任意实数x 都有|f(x)|≤a,则实数a 的取值范围是_____.【答案】2a ≥12.已知函数(1) 求2()3f π的值; (2) 求使 1()4f x <成立的x 的取值集合【答案】解: (1) 41)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos(cos cos )(+⋅+⋅=⋅+⋅⋅=x x x x x x f ππ41)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=⇒++=ππππf f x 所以. (2)由(1)知,)2,2()62(0)62sin(4141)62sin(21)(f ππππππk k x x x x -∈+⇒<+⇒<++=.),12,127(.),12,127(Z k k k Z k k k x ∈--∈--∈⇒ππππππππ所以不等式的解集是：13.已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1) 求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解答：133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2)33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,4sin5θ=-, 1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--+=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭14.设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->,且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π,(Ⅰ)求ω的值 (Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值 )32sin(2sin 212cos 232cos 2122cos 1.323cos sin sin 323)(12πωωωωωωω--=-=---=--=x x x x x x x x x f ）解：（因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离是4π，14422,0=⇒⨯=>ωπωπω所以，又23)(11)32sin(23,38323523),32sin()()1(2≤≤-≤-≤-≤-≤≤≤--=x f x x x x x f 因此所以时当知）由（πππππππ()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值是23，最小值是-1 15.已知函数21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）. (I)求f x （）的最小正周期及最大值; (II)若(,)2παπ∈,且f α=（）求α的值. 【答案】解:(I)因为21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）=1cos 2sin 2cos 42x x x + =1(sin 4cos 4)2x x +)4x π+,所以()f x 的最小正周期为2π,. (II)因为f α=（）所以sin(4)14πα+=. 因为(,)2παπ∈, 所以9174(,)444πππα+∈,所以5442ππα+=,故916πα=. 16.本题共有2个小题.第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>. (1)令1ω=,判断函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性并说明理由;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再往上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像.对任意的a R ∈,求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值.【答案】法一:解:(1)()2sin 2sin()2sin 2cos )24F x x x x x x ππ=++=+=+ ()F x 是非奇函数非偶函数.∵()0,()44F F ππ-==∴()(),()()4444F F F F ππππ-≠-≠-∴函数()()()2F x f x f x π=++是既不是奇函数也不是偶函数.(2)2ω=时,()2sin 2f x x =,()2sin 2()12sin(2)163g x x x ππ=++=++, 其最小正周期T π=由2sin(2)103x π++=,得1sin(2)32x π+=-, ∴2(1),36k x k k Z πππ+=--⋅∈,即(1),2126k k x k Z πππ=--⋅-∈ 区间[],10a a π+的长度为10个周期,若零点不在区间的端点,则每个周期有2个零点;若零点在区间的端点,则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点,其它区间仍是2个零点; 故当(1),2126k k a k Z πππ=--⋅-∈时,21个,否则20个. 法二:16.设函数()sin sin()3f x x x π=++.(Ⅰ)求()f x 的最小值,并求使()f x 取得最小值的x 的集合;(Ⅱ)不画图,说明函数()y f x =的图像可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到. 【答案】解:(1)3sincos 3cossin sin )(ππx x x x f ++=x x x x x cos 23sin 23cos 23sin 21sin +=++=)6sin(3)6sin()23()23(22ππ+=++=x x当1)6sin(-=+πx 时,3)(min -=x f ,此时)(,234,2236Z k k x k x ∈+=∴+=+πππππ所以,)(x f 的最小值为3-,此时x 的集合},234|{Z k k x x ∈+=ππ.(2)x y sin =横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍,得x y sin 3=; 然后x y sin 3=向左平移6π个单位,得)6sin(3)(π+=x x f二、与恒等变换有关的题型1．在锐角∆ABC 中,角A,B 所对的边长分别为a,b. 若2sinB=3b,则角A 等于______（ ）【答案】AA ．3πB ．4π C ．6πD ．12π2. sincos 2αα==若 （ ）【答案】C A ．23-B ．13-C ．13D ．233.（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知sin2α=,则cos 2(α+)= （ ）【答案】AA ．B ．C ．D ．4.已知51sin()25πα+=,那么cos α= （ ）【答案】C A ．25- B ．15- C ．15 D ．255.设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________【答案】36.若1cos cos sin sin 3x y x y +=,则()cos 22x y -=________.【答案】79-7.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______.【答案】;三、与三角形有关的题型1.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ,b ,c .若2220a ab b c ++-=,则角C 的大小是________2.设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ）【答案】AA ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 3.在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则 （ ）【答案】AA ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 4．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC 的面积为（ ）【答案】BA ．2+2B ．+1C ．2-2D ．-15． ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、,若2B A =,1a =,b =,则c =（ ）【答案】BA ．B ．2CD ．16.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =（ ）【答案】BA ．3πB ．23πC ．34π D ．56π 7.已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b = （ ）【答案】DA ．10B ．9C ．8D ．58.在△ABC 中,3,5a b ==,1sin 3A =,则sin B = （ ）【答案】BA ．15B ．59 C D ．19.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B (II)若1sin sin 4A C =,求C . 【答案】(Ⅰ)因为()()a b c a b c ac ++-+=,所以222a cb ac +-=-.由余弦定理得,2221cos 22a cb B ac +-==-,因此,0120B =.(Ⅱ)由(Ⅰ)知060A C +=,所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+ cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+cos()2sin sin A C A C =++ 122=+=故030A C -=或030A C -=-, 因此,015C =或045C =.10.在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值; (Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】11.在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2asinB=3b .(Ⅰ)求角A 的大小. (Ⅱ) 若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:2sin sin A B B =,且(0,)sin 0sin 22B B A π∈∴≠∴=,且(0,)23A A ππ∈∴=;(Ⅱ)由(1)知1cos 2A =,由已知得到:222128362()3366433623b c bc b c bc bc bc =+-⨯⇒+-=⇒-=⇒=,所以12823ABCS =⨯=12.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且222a b c =+.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)设a =S 为△ABC 的面积,求3cos cos S B C +的最大值,并指出此时B 的值.13.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3cos()cos sin()sin()5A B B A B A c ---+=-.(Ⅰ)求sin A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影.【答案】解:(Ⅰ)由3cos()cos sin()sin()5A B B A B A c ---+=- 得53sin )sin(cos )cos(-=---B B A B B A ,则 53)cos(-=+-B B A ,即 53cos -=A又π<<A 0,则 54sin =A(Ⅱ)由正弦定理,有 BbA a sin sin =,所以22sin sin ==a A b B , 由题知b a >,则 B A >,故4π=B .根据余弦定理,有 )53(525)24(222-⨯⨯-+=c c ,解得 1=c 或 7-=c (负值舍去),向量BA 在BC =B cos 2214.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求证:a,b,c 成等差数列;(2) 若C=23π,求ab的值. 【答案】解:(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin 2B=1.故sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B 因为sinB 不为0,所以sinA+sinC=2sinB 再由正弦定理得a+c=2b,所以a,b,c 成等差数列 (2)由余弦定理知2222cos c a b ac C =+-得2222(2)2cos 3b a a b ac π-=+-化简得35a b =15.在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c . 已知cos23cos()1A B C -+=.(Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)若△ABC 的面积S =5b =,求sin sin B C 的值.【答案】(Ⅰ)由cos23cos()1A B C -+=,得22cos 3cos 20A A +-=,即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=,解得1cos 2A = 或cos 2A =-(舍去).因为0πA <<,所以π3A =.(Ⅱ)由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =,知4c =.由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =.又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.(四)综合题1.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值 【答案】2.已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . 最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π.(Ⅱ) 上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.3.如图,在等腰直角三角形OPQ ∆中,90OPQ ∠=,OP =,点M 在线段PQ 上.(1)若OM =求PM 的长;(2)若点N 在线段MQ 上,且30MON ∠=,问:当POM ∠取何值时,OMN ∆的面积最小?并求出面积的最小值.【答案】解:(Ⅰ)在OMP ∆中,45OPM ∠=︒,OM =OP =,由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒,得2430MP MP -+=,解得1MP =或3MP =.(Ⅱ)设POM α∠=,060α︒≤≤︒,在OMP ∆中,由正弦定理,得sin sin OM OPOPM OMP =∠∠,所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+,同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMN S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠ ()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+ ()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒=====因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,所以当30α=︒时,()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值.即230POM ∠=︒时,OMN∆的面积的最小值为8-.2．（。

三角函数平移题型学霸总结一(含答案)

三角函数平移题型学霸总结一(含答案)

三角函数平移题型学霸总结一（含答案）阳光老师：祝你学业有成一、选择题（本大题共11小题，共55.0分）1.要得到函数y=3sin(2x+π4)的图象，只需将y=3sin2x的图象()A. 向左平移π8个单位 B. 向右平移π8个单位C. 向左平移π4个单位 D. 向右平移π4个单位【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．由y=3sin(2x+π4)=3sin[2(x+π8)]，根据左加右减的平移原理，即可得到结果．【解答】解：y=3sin(2x+π4)=3sin[2(x+π8)]，因此将函数y=3sin2x的图象向左平移π8个单位，即可得到函数y=3sin(2x+π4)的图象．故选A.2.将函数y=sin(2x+π4)(x∈R)的图象向右平移π8个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，则所得图象的函数解析式为()A. y=cosxB. y=cos4xC. y=sinxD. y=sin4x 【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数图象的变换，是基础题．根据图象的伸缩和平移变换规则求解即可．【解答】sin [2(x −π8)+π4]=sin2x ，再将y =sin2x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，则所得图象的函数解析式为y =sin4x ． 故选D ．3. 为得到函数y =cos (x +π3)的图象，只需将函数y =sinx 的图象( )A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移5π6个单位长度D. 向右平移5π6个单位长度【答案】C 【解析】【分析】本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质、函数图象的变换的相关知识，试题难度较易 【解答】解：故选C ．4. 为了得到函数y =sin (2x +π3)的图象，只需要把函数y =sinx 的图象上( )A. 各点的横坐标缩短到原来的12，再向左平移π3个单位长度 B. 各点的横坐标缩短到原来的12，再向左平移π6个单位长度 C. 各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π3个单位长度 D. 各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位长度【答案】B 【解析】【分析】本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易 【解答】解：y =sinx 图象上各点的横坐标缩短到原来的12，得到y =sin2x 的图象， 再向左平移π6个单位长度得到y =sin [2(x +π6)]=sin (2x +π3)的图象，故选B．5.将正弦曲线向右平移π4个单位长度，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到的函数图象是()A. y=2sin(x+π4) B. y=2sin(x−π4)C. y=12sin(x+π4) D. y=12sin(x−π4)【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：y=sinx→y=sin(x−π4)→y=2sin(x−π4)．故选B．6.已知f(x)=sin(x+π2)，g(x)=cos(x−π2)，则f(x)的图象()A. 与g(x)的图象相同B. 与g(x)的图象关于y轴对称C. 向左平移π2个单位长度，得g(x)的图象D. 向右平移π2个单位长度，得g(x)的图象【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)、诱导公式、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：由诱导公式，得f(x)=sin(x+π2)=cosx，所以f(x)=sin(x+π2)=cosx的图象向右平移π2个单位长度，得到g(x)的图象．故选D．7.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω,φ的值分别是()A. 2,−π3B. 2,−π6C. 4,−π6D. 4,π3【答案】A【解析】【分析】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于中等题．【解答】解：由题意可知T=2×(11π12−5π12)=π，∴ω=2，x=5π12时，函数取得最大值2，可得：2sin(2×5π12+φ)=2，，即，又∵−π2<φ<π2，所以当k=0时，φ=−π3.故选A.8.函数的部分图象如图所示，如果x1,x2∈(π6,2π3)，且f(x1)=f(x2)，则f(x1+x2)=()A. −√32B. −12C. 12D. √32【答案】A【解析】【分析】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题．通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到解：由函数的部分图象，可得12⋅2πω=2π3−π6=π2，∴ω=2，再根据五点法作图可得：2×π6+φ=0，，因此f(x)=sin(2x−π3)，在x1,x2∈(π6,2π3)上，f(x1)=f(x2)，则12(x1+x2)=π6+2π32，∴x1+x2=5π6，∴f(x1+x2)=sin(2×5π6−π3)=sin4π3．故选A．9.用“五点法”作函数y=cos (4x− π 6)在一个周期内的图像时，第四个关键点的坐标是()A. (5 π 12,0) B. (−5π12,1) C. D. (−5 π 12,0)【答案】A 【解析】【分析】本题考查“五点法”作图，属于基础题.令4x− π 6=3π 2即可求解．【解答】解：令4x−π6=3π2，得x=5π12，∴该点坐标为(5π 12,0)．故选A．10.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2014)=()A. √2B. 2+2√2C. √2+2D. √2−2【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角函数的图象与性质、由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式和特殊角的三角函数值等知识，属于中档题．根据函数的最值和周期公式，算出A=2且，再由函数取最大值时相应x的值列式算出φ=0，从而得到函数解析式为，由此利用函数的周期为8和特殊角的三角函数值加以计算，即可得到f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2014)的值．【解答】解：根据题意，可得函数的周期T=8，最大值为2，∴A=2，，解得，可得函数解析式为，∵当x=2时，函数有最大值为2，．取k=1得φ=0，得函数解析式为，因此，f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)∵函数的周期T=8，可得f(1)+f(2)+⋯+f(8)=0，∴f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2014)=251×[f(1)+f(2)+⋯+f(8)]+[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]=√2．故选A．A. (−π8,0) B. (π8,0) C. (0,0) D. (−π4,0)【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数对称中心的求解，根据正弦函数的图象和性质是解决本题的关键．根据正弦函数的性质即可得到结论．【解答】解：由，解得：．即函数的对称中心为，当k=0，得图象的一个对称中心为．故选A．二、不定项选择题（本大题共4小题，共16.0分）12.已知函数f(x)=sin(2x+π3)，将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为奇函数，则φ的值可以为()A. π12B. π6C. π3D. 2π3【答案】BD【解析】【分析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：将函数f(x)图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后，得到的图象对应的解析式为g(x)=sin[2(x−φ)+π3]=sin(2x−2φ+π3)．由g(x)为奇函数可得−2φ+π3=kπ(k∈Z)，故φ=π6−kπ2(k∈Z)，又φ>0，结合选项，所以φ的值可以为π6，23π.故应选BD．13.有下列四种变换方式，其中能将正弦函数y=sinx的图象变为y=sin(2x+π4)的图A. 向左平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)B. 横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π8个单位长度C. 横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度D. 向左平移π8个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)【答案】AB【解析】【分析】本题考查了函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：A.向左平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，则正弦函数y=sinx的图象变为y=sin (2x+π4)的图象；B.横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π8个单位长度，正弦函数y=sinx的图象变为y=sin 2(x+π8)=sin (2x+π4)的图象；C.横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度，正弦函数y=sinx的图象变为y=sin 2(x+π4)=sin (2x+π2)的图象；D.向左平移π8个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，正弦函数y=sinx的图象变为y=sin (2x+π8)的图象，因此A和B符合题意，故选AB．14.(多选)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(3π4,0)对称，且在区间[0,π2]上是单调函数，则ω的值可以是()A. 23B. 43C. 2D. 83【答案】AC【解析】根据正弦函数的图象与性质，建立条件关系即可求出ω的值．本题给出函数f(x)=sin(ωx+ϕ)满足的条件，求参数的值，着重考查了三角函数的图象与性质、函数的奇偶性和图象的对称性等知识，属于中档题．由f(x)是偶函数，得f(−x)=f(x)，即sin(−ωx+φ)=sin(ωx+φ)，所以−cosφsinωx=cosφsinωx，对任意x都成立，且ω>0，所以得cosφ=0依题设0<φ<π，所以解得φ=π2，由f(x)的图象关于点M对称，得f(3π4−x)=−f(3π4+x)，取x=0，得f(3π4)=sin(3ωπ4+π2)=cos3ωπ4，∴f(3π4)=sin(3ωπ4+π2)=cos3ωπ4，∴cos3ωπ4=0，又ω>0，得3ωπ4=π2+kπ，k=1，2，3，∴ω=23(2k+1)，k=0，1，2，当k=0时，ω=23，f(x)=sin(x+π2)在[0,π2]上是减函数，满足题意;当k=1时，ω=2，f(x)=sin(2x+π2)在[0,π2]上是减函数;当k=2时，ω=103，f(x)=(103x+π2)在[0,π2]上不是单调函数;所以，综合得ω=23或2．故选：AC．15.将函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象的函数()A. 在区间[π12,7π12]上单调递减 B. 在区间[π12,7π12]上单调递增C. 在区间[−π6,π3]上单调递减 D. 在区间[−π6,π3]上单调递增【解析】【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，根据左加右减上加下减的原则，即可直接求出将函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数的解析式，进而利用正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：将函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得函数的解析式：y=3sin[2(x−π2)+π3]=3sin(2x−2π3).令2kπ−π2⩽2x−2π3⩽2kπ+π2，k∈Z，可得：kπ+π12⩽x⩽kπ+7π12，k∈Z，可得：当k=0时，对应的函数y=3sin(2x−2π3)的单调递增区间为[π12,7π12]．故选：B．三、填空题（本大题共11小题，共55.0分）16.函数y=12sin(2x−π4)的图象可以看作把函数y=12sin2x的图象向平移个单位长度得到的．【答案】右；π8【解析】【分析】本题考查了函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：∵y=12sin(2x−π4)=12sin[2(x−π8)]，∴由y=12sin2x的图象向右平移π8个单位长度便得到y=12sin(2x−π4)的图象．17.已知函数y=f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移π2个单位长度，这样得到的曲线和y=【答案】f(x)=−12cos2x 【解析】【分析】本题考查了函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)、函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质、诱导公式的相关知识，试题难度较易【解答】解：将y =2sinx 的图象向右平移π2个单位长度可得y =2sin (x −π2)的图象， 然后将所得图象上各点横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，可得y =2sin (2x −π2)的图象，再将所得图象上各点纵坐标缩小为原来的14，横坐标不变，可得y =12sin (2x −π2)的图象，即f(x)=−12cos2x 的图象．所以f(x)的解析式为f(x)=−12cos2x ．18. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω=________．【答案】3 【解析】【分析】本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质的相关知识，试题难度一般 【解答】解：根据图象可知T =23π． ∵y =Asin(ωx +φ)(ω>0)，T =2πω，∴2πω=23π，∴ω=3．19. 如图所示是函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象，则ω=________，φ=________．【答案】2；π6 【解析】 【分析】本题考查函数y =Asin (ωx +φ)的图形和性质，把x =0，x =11π12代入函数解析式，然后结合条件进行求解即可． 【解答】解：当x =0时，sin(ωx +φ)=12，则φ=π6或φ=56π；当x =11π12时，sin(ωx +φ)=0，则11π12ω+φ=2π.当φ=π6时，1112πω+π6=kπ，得ω=−211+1211k ，k ∈Z .当φ=56π时，1112πω+5π6=kπ，得ω=−1011+1211k ，k ∈Z .因为34T <1112π<T ，所以34⋅2πω<1112π<2πω，所以1811<ω<2411.所以φ=π6，ω=220. 把函数y =2sin (x +2π3)的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m的最小正值是________． 【答案】5π6 【解析】【分析】本题考查了函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)、函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易 【解答】解：把y =2sin (x +2π3)的图象向左平移m 个单位， 则y =2sin (x +m +2π3)，其图象关于y 轴对称，∴m +2π3=kπ+π2，k ∈Z ．∴m =kπ−π6，k ∈Z ．∴当k =1时，m 取最小正值，为5π6．21.已知函数f(x)=2sin(2x+π6)+a+1(其中a为常数).若x∈[0,π2]时，f(x)的最大值为4，则a=________．【答案】1【解析】【分析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：∵0⩽x⩽π2，∴0≤2x≤π，∴π6⩽2x+π6⩽7π6，∴−12⩽sin (2x+π6)⩽1，∴f(x)的最大值为2+a+1=4，∴a=1．22.将函数y=cos(2x+φ)(−π<φ<π)的图象向右平移π2个单位长度后，与函数y=sin(2x+π3)的图象重合，则φ=________．【答案】5π6【解析】【分析】本题考查了函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的相关知识，试题难度一般【解答】解：设y=f(x)=cos(2x+φ)(−π<φ<π)，其图象向右平移π2个单位长度后解析式为因为和y=sin (2x+π3)的图象重合，所以，所以，又因为−π<φ<π，所以，故答案为．23. 要得到y =sin (x2+π3)的图象，需将函数y =cos x2的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度． 【答案】11π3【解析】【分析】本题考查了函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)、诱导公式、函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易 【解答】解：y =sin(x2+π3)=cos[π2−(x2+π3)]=cos(x2−π6)=cos(x2+11π6)=cos 12(x +113π)，∴将函数y =cos x2的图象上所有的点向左平移11π3个长度单位，即可得到y =sin(x2+π3)的图象， 故答案为：11π3．24. 把函数y =2cos (x3+π6)的图象向右平移π2个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象的函数解析式为________． 【答案】y =2cos 2x 3 【解析】【分析】本题考查了函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)、函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质的相关知识，试题难度一般【解答】解：将函数y =2cos(x3+π6)的图象向右平移π2个单位，可得函数y =2cos[13(x −π2)+π6]=2cos x3的图象; 再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的函数y =2cos 2x 3的图象，故答案为：y=2cos2x3．25.关于函数y=3sin(2x−π3)的图象，给出下列四个结论：①关于直线x=11π12对称；②关于点(2π3,0)对称；③在区间(−π12,5π12)上是增函数；④可由函数y=3sin2x的图象向右平移π3个单位长度得到．其中正确的是________.(填序号)【答案】①②③【解析】【分析】本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的性质，涉及函数图象的平移，属于中档题．根据函数的对称性可判断①②，根据函数单调性可判断③，根据函数的平移可判断④．【解答】解：当时，，所以函数关于直线对称，①正确；当时，，所以函数关于对称，②正确；由，得，所以当k=0时，③正确；把函数y=3sin2x向右平移后得到，④错误．故答案为：①②③．26.将函数f(x)=−sin(2x+φ)的图象向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的最小正值为________．【答案】π4【解析】【分析】本题考查三角函数的平移变换，属于基础题．由函数的平移变换得为偶函数，则，从而求得φ的最小正值．【解答】解：函数f(x)=−sin(2x+φ)的图象向左平移π8个单位长度后，得到，由题意为偶函数，，即，则φ的最小正值为π4．故答案为π4．四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）27.已知函数y=12sin(2x+π6)，x∈R．(1)用五点法作出它的简图；(2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【答案】解：(1)列表：2x+π60π2π3π22πx−π12π65π122π311π12y=12sin(2x+π6)0120−12描点画图，如下图所示：(2)函数y =sinx 的图象向左平移π6个单位，得到函数y =sin (x +π6)的图象， 再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的12得到函数y =sin (2x +π6)的图象， 再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的12得到函数y =12sin (2x +π6)的图象． 【解析】本题考查了函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)、三角函数的图象画法、函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易28. 已知振动曲线y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)上的一个最高点的坐标为(π8,√2)，周期为π，且φ∈(−π2,π2)． (1)试求振动曲线的函数解析式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在一个周期上的图象(要求列表)． 【答案】解：(1)由题意知A =√2，T =π，ω=2πT=2ππ=2，∴y =√2sin(2x +φ)．又图象过点(π8,√2)，即√2=√2sin (2×π8+φ)，即sin (π4+φ)=1， 从而π4+φ=2kπ+π2，k ∈Z ，φ=2kπ+π4，k ∈Z ． 又∵φ∈(−π2,π2)，∴φ=π4， ∴y =√2sin (2x +π4)． (2)按五个关键点列表：2x +π40 π2 π 3π2 2π x −π8 π8 3π8 5π8 7π8 y√2−√2描点作图，如图所示：【解析】本题考查了三角函数的图象画法、函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易29. 设函数f(x)=sin (kx 5+π3)，其中k ≠0．(1)写出f(x)的最大值M ，最小值m 和最小正周期T ．(2)试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M 或m ． 【答案】解：(1)∵f(x)=sin(k 5x +π3)(k ≠0) ∴M =1，m =−1，T =2π|k5|=10π|k|;(2)由题意知，函数f(x)在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，至少有一个值是M 或一个值是m ， ∴T ≤2，即10π|k|≤2， ∴|k|≥5π>15.7，∵k ∈N ∗， ∴最小正整数k 为16．【解析】本题考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，解题的关键是掌握周期公式以及对问题的正确转化如在第二问中对使得当自变量x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M 和一个值是m 理解与转化.正确转化问题对解题很重要．(1)根据三角函数的解析式求出其最值，由公式求出最小正周期T;(2)函数f(x)至少有一个值是M 或一个值是m 说明函数此时的k 值满足函数的周期小于等于2，即T ≤12，由此建立关于参数的方30. 已知ω>0，函数f(x)=sin (ωx +π4)在区间(π2,π)上单调递减，求ω的取值范围．【答案】解：ω>0，x∈(π2,π)，函数f(x)=sin (ωx+π4)在区间(π2,π)上单调递减，周期，则0<ω⩽2，解得12⩽ω⩽54．【解析】本题主要考查函数y=A(ωx+φ)的性质，关键是熟练掌握函数y=A(ωx+φ)的单调性．根据函数f(x)=sin (ωx+π4)在区间(π2,π)上单调递减，列不等式组，可得ω的取值范围．。

三角函数诱导公式题型学霸总结 (含答案)-

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三角函数诱导公式题型学霸总结（含答案）阳光老师：祝你学业有成一、选择题（本大题共18小题，共90.0分）1.已知α∈(π2,π).若cos (π6−α)=−√24，则sin (α+5π6)的值为()A. −√24B. √24C. −√144D. √144【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于简单题．直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系，化简求值即可．【解答】解：，又α∈(π2,π)，∴−α∈(−π,−π2)，，．故选C ．2.当θ∈(0,π)时，若cos(5π6−θ)=−35，则tan(θ+π6)的值为()A. 34B. −34C. −43D. 43【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的诱导公式，属基础题．首先根据题中所给的角的范围结合题意，求得，利用诱导公式以及同角三角函数关系求值即可．【解答】解：，∴−θ∈(−π,0)， ∴56π−θ∈(−π6,5π6)，∵cos (5π6−θ)=−35<0，，∴sin (56π−θ)=√1−cos 2(56π−θ)=45，∴tan (θ+π6)=tan (θ+π6−π)=−tan (5π6−θ)=−sin(5π6−θ)cos(5π6−θ)=43． 故选D ．3. sin 585°的值为( )A. −√22B. √22C. −√32D. √32【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查任意角的三角函数的计算． 【解答】解：sin(585∘)=sin(585∘−720∘)=sin(−135∘)=−√22．故选A ．4. 若sin (α+3π2)=35，且α是第三象限角，则cos (α+2019π2)= ( )A. 35B. −35C. 45D. −45【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系的应用等知识，属于基础题．由题意结合诱导公式首先求得cos α=−35，然后结合同角三角函数基本关系求得sin α=−45，最后由诱导公式求解cos (α+2019π2)的值即可．【解答】解：sin (α+3π2)=−cos α=35,∴cos α=−35,∵α是第三象限角，所以sin α=−√1−cos2α=−45，cos (α+2019π2)=cos (1008π+α+3π2)=sin α=−45．故选D．5.已知角α的终边在直线y=√3x上，则cos(π2+2α)=()A. √32B. −√32C. ±√32D. ±12【答案】B【解析】【分析】本题考查任意角三角函数的定义，同角三角函数的关系，诱导公式，二倍角公式．法一：由题得，再把cos(π2+2α)化为，代值计算即得．法二：由题可得与同号，把cos(π2+2α)化为，判断其符号即可得出．【解答】解：法一：由角α的终边在直线y=√3x上得，cos(π2+2α)=−sin2α=−2sinαcosα=−2sinαcosαsin2α+cos2α=−2tanαtan2α+1=−√32．故选B．法二：由角α的终边在直线y=√3x上得，与同号，则，故选B．6.在直角坐标系中，若α与β的终边关于y轴对称，则下列等式恒成立的是()A. sin(α+π)=sinβB. sin(α−π)=sinβC. sin(2π−α)=−sinβD. sin(−α)=sinβ【答案】C【解析】【分析】本题考查诱导公式的应用，属于基础题．令α，β∈[0,2π)，由α与β的终边关于y轴对称，得α+β=π或3π，由诱导公式逐个进行判断．【解答】解：不妨令α，β∈[0,2π)，∵α与β的终边关于y轴对称，∴α+β=π或3π，∴sin(α+π)=sin(−β)=−sinβ，故A错;sin(α−π)=sin(−β)=−sinβ，故B错;sin(2π−α)=sin(−α)=sin(β−π)=−sinβ，故C正确，sin(−α)=sin(β−π)=−sinβ，故D错;故选C．7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数y=f(x)的图象向左平移π3个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y=f(x)的图象()A. 关于点(π12,0)对称 B. 关于点(−π12,0)对称C. 关于直线x=π12对称 D. 关于直线x=−π12对称【答案】A【解析】【分析】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的性质及函数图象变换，同时考查诱导公式，利用函数的周期性、函象变换规律、诱导公式，求得f(x)的解析式，再利用函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：因为函数f(x)=sin (ωx+φ)图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期为π，所以2πω=π，则ω=2把其图象向左平移π3个单位后得到函数的图象，因为得到的图象关于y轴对称，所以，k∈Z，又，所以，所以f(x)=sin(2x−π6)，当x=π12时，函数f(x)=0，所以y=f(x)的图象关于点(π12,0)对称．故选A．8.cos17°sin43°+sin163°sin47°=()A. 12B. −12C. √32D. −√32【答案】C【解析】【分析】本题考查两角和的正弦公式，属于基础题．直接利用两角和的正弦公式求解即可．【解答】解：cos17°sin43°+sin163°sin47°=cos17°sin43°+sin(180°−17°)cos43°=cos17°sin43°+sin17°cos43°=sin(17°+43°)=sin60°=√32．故选C．9.若锐角α满足sin(α+π2)=35，则sinα=()A. 25B. 35C. 34D. 45【答案】D【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系和诱导公式的运用，属于基础题．由题意利用同角三角函数的基本关系，求得sinα的值．【解答】解：锐角α满足sin(α+π2)=cosα=35，则sinα=√1−cos2α=45，故选D．10.sin660°的值为()．A. 12B. −12C. √32D. −√32【答案】D【解析】【试题剖析】【试题解析】【分析】本题考查利用诱导公式化简求得答案，属于基本题型．根据诱导公式可得sin660°=sin(660°−720°)=sin(−60°)，即可求解。

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.
36、已知
..
37. 已知为第二象限的角, , 为第一象限的角, , 求的值.
38、已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_.
三、解答题：
39、已知A、B、C的坐标分别为A, B, C, .
(1) 若, 求角的值; (2) 若, 求的值.
40、已知.
(1) 求的值; (2) 求的值.
D．
6．函数f(x)=sinx在区间[a，b]上是增函数，且f(a)=-1，f(b)=1,则
sin的值为
A．1 B． C．-1 D．0 7、已知函数
，若
，则x的取值范围为 A．
B．
C．
D．
8．设函数y＝sin(ωx＋φ)＋1(ω>0)的一段图象如右图所示，则周 期T、初相φ的值依次为( )
A．π，－ B．2π， C．π，－ D．2π，－ 9．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝fsinx在[0，π]上的 大致图象是( )
34、 35、36、－ 37、
38、
三、解答题 39、解：(1)∵, ∴点C在上, 则.
(2)
则
原式＝ 40、解：(1) ， ，又 ， ． (2) 原式 41、（1）；（2）． 42、解：（Ⅰ）…4 分 列表：
01
2
3
4
12
1
0
1
描点画图,如下所示
…………………… 6分
…………8分
（Ⅱ）. …10分 而的周期为4，， ……12 分 43．解：（Ⅰ）依题意得,，……2 分 因为,为锐角，所以= ……………4 分 （的值由的纵坐标给出亦可） （Ⅰ） ………6 分 （Ⅱ）设点的坐标为，则 ……① ……………………7分 ∵ 向量与夹角为 ∴ ， ………9分 故，即 ……② ………10分 联立方程①②，解得:，或 ……11分 ∴ 点的坐标为或． …………………………………………12分 44、【答案】解:(Ⅰ) =. 最小正周期. 所以最小正周期为. (Ⅱ) . . 所以,f (x) 在上的最大值和最小值分别为. 45、【答案】解: (Ⅰ) .所以 (Ⅱ)所以 46、 （I）解：由
A．
B．
C．
D． B
16、若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图像向右平移φ个单位，所得图
像关于y轴对称，则φ的最小正值是( )A. B. C. D.
17、方程sinx = lgx的实根有 （ ）
A．1个
B．3个
C．2个
D．
无穷多个
18、函数y = sin2x+acos2x的图象关于直线x=－ 对称,则a的值
一个周期上的简图；
(Ⅱ)计算f(1)+ f(2)+…+ f(2012)的值。 43、
在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角、，它们的终边 分别与单位圆O相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、 (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)若点C为单位圆O上异于A、B的一点，且向量与夹角为，求点C的坐 标。 44、已知向量, 设函数. (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值. 45、已知函数的最小正周期为. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)讨论在区间上的单调性. 46、已知函数
， 得
. 所以
的定义域为
的最小正周期为
（II）解：由
得
整理得 因为 ，所以 因此 由 ，得 . 所以
47. 解法一: 由已知，得 又 所以
解法二: 由已知，得
（Ⅰ）求
的定义域与最小正周期；（II）设
，若
求
的大小． 47、已知向量, 和且 求的值.
三角函数综合训练答案
一、选择题：1-5 CDADC 6-10DBCAC 11-15ADBAB 16-20CBCBA
二、填空题：
21、b>c>a 22、23．--24、
25、
26、
27、28、
29、 30、
31、 32、 33 、
_________.
22．若，是第四象限角,则＝___
23、已知则
.
24、若且
，则不等式解集为_______
25、若 则不等式解集为______ ，
26、若<1,则不等式解集为______
27、若，且、均为锐角，则的值为________
28、已知角的终边上一点，且，则=________
29、已知，则
10．函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( ) A．f(x)＝x＋sinx B．f(x)＝ C．f(x)＝xcosx D．f(x)＝x··
11、已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函 数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象( )
．
30．振动量y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别是－π和，则它
的相位是________．
31．已知为锐角，
则a+2的值______
32、若方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则常数k的取值范围________
33．
已知 <
的
值为_____
34、 已知, 则 的值__________
35. 若 则
三角函数综合训练2015.07.03
一、选择题
1、下列各项中，与sin(-3310)最接近的数是A．
B．
C．
D．
2、 ( )
A. 2
B.
C. 4
D.
3、sin·cos·tan的值是（ ）A．－ B． C．－ D．
4 化简: =
. A. 0 B. C. D. 1
5.已知，，那么的值为A． B． C．
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D、向右平移个单位长度
12、已知函数y=f(x),将f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩
大到原来的2倍,然
后把所得到的图象沿x轴向左平移个单位,这
样得到的曲线与y=3sinx的图象相同, 那么y=f(x)的解析式为 （
14、已知y=Asin(ωx+φ)在同一周期内,x=时有最大值, x = 时有最小值
－ ,则函数的解析式为 （ ）
A．y=2sin()
B．y=sin(3x+ )
C．y=sin (3x— )
D．y= sin(3x－ )
15、把函数y=cos(x + )的图象向右平移φ个单位,所得到的图ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ正好是
关于y轴对称,则φ的最小正值是 （ ）
为（）
A．1
B．－
C．－1 D．
19、若且同时满足和，那么角θ的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
20、函数的图象（ ）
A．关于点（－，0）对称B．关于原点对称C．关于y轴对称 D．关于直
线x=对称
二、填空题、
21、设a= logtan70°, b=logsin25°,c=()cos25°,则它们的大小关系为
）
A．f(x)=3sin()B．f(x)=3sin(2x+)
C．f(x)=3sin( )
D．f(x)=3sin(2x－)
13、y= logsin(2x +)的单调递减区间是 （ ）
A．[kπ－,kπ](k∈Z)
B．(kπ－ ,kπ+ )(k∈Z)
C．[kπ－ ,kπ+ ] (k∈Z)
D． (kπ－, kπ+)(k∈Z)
41、已知交流电的电流强度（安培）与时间（秒）满足函数关系式，其
中，，．
（1）如图所示的是一个周期内的函数图象，试写出的解析式．
（2）如果在任意一段秒的时间内电流强度能同时取得最大值和最小
值，那么正整数的最小值是多少？
42、已知函数f(x)=
(Ⅰ)把f(x)解析式化为f(x)=+b的形式，并用五点法作出函数f(x)在
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