自动控制原理 线性系统的根轨迹法校正
第四章 线性系统的根轨迹法-4-2——【南航 自动控制原理】
根轨迹起于开环极点，终于开环零点。
由根轨迹方程，有
m
n
K (s zi )+ (s pi )=0
i 1
i 1
根轨迹起点 K =0 s pi , i 1, , n n个开环有限极点
由根轨迹方程，又有
m
n
(s zi )+(K )1 (s pi )=0
i 1
i 1
根轨迹终点 K s zi , i 1, , m m个开环有限零点
a
(2k 1)
nm
， k 0, 1,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
=
(a1 n
b1 m
)
由多项式的根与系数关系
n
n
a1 pi b1 zi
i 1
i 1
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
例4.2-1 已知单位反馈系统的开环传递函数为
K G(s)
s(s 3) (s )2 2
0, 0
试分析开环极点参数变化时渐近线。
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
分离点处相邻两条根 轨分迹离分点支处切一线共之有间多的少
夹条角根等轨于迹分支/？l
分离点处根轨迹的分离角d 为
d (2k 1) / l k 0,1,
分离点处，根轨迹进
侧的开环实有限零极点数为奇数。
系统的开环零极点分为 两类：实数零极点和复数 零极点，且复数零点或复 数极点必共轭成对。
系统开环零极点的分布为
图示，取实轴任一点 s=s1
·对复共轭开环极点
p4 j, p5 p4 j,
(s1 j)+(s1 +j)=2
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
自动控制原理-线性系统的根轨迹实验报告
一、 实验结果及分析1.（1） )136)(22()(22++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制： MATLAB 语言程序： 运行结果：num=[1];den=[1 8 27 38 26 0];rlocus(num,den)[r,k]=rlocfind(num,den)gridxlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis')title('Root Locus')选定图中根轨迹与虚轴的交点，单击鼠标左键得：selected_point =0.0021 + 0.9627ik = 28.7425 r =-2.8199 + 2.1667i-2.8199 - 2.1667i-0.0145 + 0.9873i-0.0145 - 0.9873iG=tf([1,12],[1,23,242,1220,1000]);rlocus (G);[k,r]=rlocfind(G)G_c=feedback(G,1);step(G_c)结论：根轨迹与虚轴有交点，所以在K 从零到无穷变化时，系统的稳定性会发生变化。
由根轨迹图和运行结果知，当0<K<28.7425时，系统总是稳定的。
（2） )10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制： MATLAB 语言程序： 运行结果：num=[1 12]；den=[1 23 242 1220 1000];rlocus(num,den)[k,r]=rlocfind(num,den)gridxlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis')title('Root Locus')选定图中根轨迹与虚轴的交点，单击鼠标左键得：selected_point =0.0059 + 9.8758ik =1.0652e+003 r=-11.4165 + 2.9641i -11.4165 - 2.9641i -0.0835 + 9.9528i -0.0835 - 9.9528i 结论：根轨迹与虚轴有交点，所以在K 从零到无穷变化时，系统的稳定性会发生变化。
线性系统的根轨迹-自动控制原理实验报告
自动控制原理实验报告实验题目：线性系统的根轨迹班级：学号：姓名：指导老师：实验时间：一、实验目的1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
二、实验内容同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。
2．1绘制下面系统的根轨迹曲线)136)(22()(22++++=s s s s s Ks G程序：G=tf([1],[1 8 27 38 26 0]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统 step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-12-10-8-6-4-20246-10-8-6-4-20246810Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s0204060801001201400.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围：K>28.74252．2绘制下面系统的根轨迹曲线)10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G 程序：G=tf([1 12],[1 23 242 1220 1000]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统 step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-60-50-40-30-20-100102030-50-40-30-20-1001020304050Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s01234560.0020.0040.0060.0080.010.012Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围： K>1.1202e+032．3绘制下面系统的根轨迹曲线)11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++=s s s s s K s G 程序：G=tf([5 100],[0.08568 1.914 17.14 100 0]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-60-50-40-30-20-10010203040-60-40-200204060Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s012345670.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围：K> 7.8321根据实验结果分析根轨迹的绘制规则：⑴绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值的大小无关。
自动控制原理
L(s)的相角
单位反馈系统的 开环传递函数 一个开环极点 负实轴上点 s1 s2=-1-j
G (s) =
K s
P1=0
∑ ∠( s − z ) −∑ ∠(s − p ) | = −∠s
i =1 i i =1 i
m
n
1
− p1 = −180o
负实轴上都是根轨迹上的点！
∑ ∠( s − z ) −∑ ∠( s − p ) | = −∠s
3.
根轨迹法
一种求取闭环系统的特征根的图解法（1948年 一种求取闭环系统的特征根的图解法（1948年， 由 W. R. Evans在 “ 控制系统的图解分析 ” 一文 Evans 在 控制系统的图解分析” 中提出） 中提出）。 已知开环零极点分布， 已知开环零极点分布，研究一个或几个参数变化 对闭环极点位置的影响， 对闭环极点位置的影响，从而进一步分析系统的 性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等） 性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等）。 以前控制系统根轨迹绘制很麻烦，现在使用 MATLAB非常方便。 MATLAB非常方便。
根 轨 迹
K : 开环增益 K*: 根轨迹增益
C ( s) K* Φ( s ) = = 2 R( s ) s + 2 s + K *
D( s ) = s 2 + 2 s + K * = 0
λ1, 2 = −1 ± 1 − K *
(4).闭环系统极点与标准化参数之间的关系可由图4-2 闭环系统极点与标准化参数之间的关系可由图4 表示
1 + G (s) H (s) = 0
G (s)H (s) = −1
将上式改写成
G ( s) H (s) e
j ∠G ( s ) H ( s )
自动控制原理校正课程设计-- 线性控制系统校正与分析
自动控制原理校正课程设计-- 线性控制系统校正与分析课程设计报告书题目线性控制系统校正与分析院部名称机电工程学院专业10电气工程及其自动（单）班级组长姓名学号设计地点工科楼C 214设计学时1周指导教师金陵科技学院教务处制目录目录 (3)第一章课程设计的目的及题目 (4)1.1课程设计的目的 (4)1.2课程设计的题目 (4)第二章课程设计的任务及要求 (6)2.1课程设计的任务 (6)2.2课程设计的要求 (6)第三章校正函数的设计 (7)3.1设计任务 (7)3.2设计部分 (7)第四章系统动态性能的分析 (10)4.1校正前系统的动态性能分析 (10)4.2校正后系统的动态性能分析 (13)第五章系统的根轨迹分析及幅相特性 (16)5.1校正前系统的根轨迹分析 (16)5.2校正后系统的根轨迹分析 (18)第七章传递函数特征根及bode图 (20)7.1校正前系统的幅相特性和bode图 (20)7.2校正后系统的传递函数的特征根和bode图 (21)第七章总结 (23)参考文献 (24)第一章 课程设计的目的及题目1.1课程设计的目的⑴掌握自动控制原理的时域分析法，根轨迹法，频域分析法，以及各种补偿（校正）装置的作用及用法，能够利用不同的分析法对给定系统进行性能分析，能根据不同的系统性能指标要求进行合理的系统设计，并调试满足系统的指标。
⑵学会使用MATLAB 语言及Simulink 动态仿真工具进行系统仿真与调试。
1.2课程设计的题目 已知单位负反馈系统的开环传递函数)125.0)(1()(0++=s s s K s G ，试用频率法设计串联滞后校正装置，使系统的相角裕量 30>γ，静态速度误差系数110-=s K v 。
\第二章课程设计的任务及要求2.1课程设计的任务设计报告中，根据给定的性能指标选择合适的校正方式对原系统进行校正（须写清楚校正过程），使其满足工作要求。
然后利用MATLAB对未校正系统和校正后系统的性能进行比较分析，针对每一问题分析时应写出程序，输出结果图和结论。
自动控制原理根轨迹法
自动控制原理根轨迹法自动控制原理是现代工程技术中的重要分支，它涉及到机械、电子、计算机等多个领域。
而根轨迹法则是自动控制原理中的一种重要方法，它可以用来分析和设计控制系统，提高系统的稳定性和性能。
本文将从根轨迹法的基本原理、应用场景和优缺点三个方面进行介绍。
一、基本原理根轨迹法是一种基于极点和零点的控制系统分析方法。
在根轨迹图中，系统的极点和零点被表示为一条曲线，称为根轨迹。
根轨迹图可以用来分析系统的稳定性、响应速度和稳态误差等性能指标。
根轨迹法的基本原理是通过改变系统的参数，使得根轨迹图在复平面上移动，从而实现对系统性能的优化。
二、应用场景根轨迹法可以应用于各种控制系统的设计和分析中。
例如，在电机控制系统中，根轨迹法可以用来分析电机的转速响应和负载扰动对系统的影响。
在飞行控制系统中，根轨迹法可以用来设计飞机的自动驾驶系统，提高飞机的稳定性和飞行性能。
在机器人控制系统中，根轨迹法可以用来设计机器人的运动控制系统，实现机器人的精确控制和运动规划。
三、优缺点根轨迹法的优点是可以直观地表示系统的稳定性和性能指标，便于工程师进行控制系统的设计和分析。
此外，根轨迹法还可以用来分析系统的鲁棒性和鲁棒稳定性，提高系统的抗干扰能力和鲁棒性。
但是，根轨迹法也存在一些缺点，例如对于高阶系统，根轨迹法的计算复杂度较高，需要使用计算机进行计算。
此外，根轨迹法也无法处理非线性系统和时变系统，需要使用其他方法进行分析和设计。
总之，根轨迹法是自动控制原理中的一种重要方法，可以用来分析和设计各种控制系统。
在实际工程中，工程师需要根据具体的应用场景和系统要求，选择合适的控制方法和算法，实现对系统的优化和控制。
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
第4章 线性系统的根轨迹法(《自动控制原理》课件)
如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹, 如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹 将会非常不方 人们利用前面介绍的几个式子, 便. 人们利用前面介绍的几个式子 导出一些绘制根轨迹的法则 利用导出的法则, 可方便地绘制出根轨迹的大至形状, 利用导出的法则 可方便地绘制出根轨迹的大至形状 叫概略根 轨迹, 轨迹 这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用 了.
(2) 当0<K<=0.25时, 一个根的绝对值随 的增大而增大 另 的增大而增大, 时 一个根的绝对值随K的增大而增大 一个根的绝对值随K的增大而减小 两根的变化轨迹如下图所示: 的增大而减小, 一个根的绝对值随 的增大而减小 两根的变化轨迹如下图所示 jω ω σ -2 -1.5 -1 0
当K=0.25时, 两根相等 均为 时 两根相等, 均为-1.5 (3) 0.25<K<+∞ 时, 两根为共軛复根 且其实部均为 两根为共軛复根, 且其实部均为-1.5 , 而 +∞ 虚部的绝对值随K的增大而增大 两根的变化轨迹如下图所示: 的增大而增大, 虚部的绝对值随 的增大而增大 两根的变化轨迹如下图所示 jω ω σ
4-2 根轨迹绘制的基本法则
本节通过一个例子, 介绍绘制根轨迹的七条法则, 本节通过一个例子 介绍绘制根轨迹的七条法则 但对法则 不予推导和证明. 不予推导和证明 需指出的是, 需指出的是 绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环 传递函数的零点和极点的具体数值, 一般以K’为参变量 为参变量. 传递函数的零点和极点的具体数值 一般以 为参变量 某闭环系统的开环传递函数为: 例: 某闭环系统的开环传递函数为
阶数. 阶数 K叫开环系统的增益 K’叫开环系统的根轨迹增益 叫开环系统的增益, 叫开环系统的根轨迹增益, 叫开环系统的增益 叫开环系统的根轨迹增益 K与K’的本质相同 仅它们间的值有一系数关系, 即: 与 的本质相同, 仅它们间的值有一系数关系 的本质相同
最新自动控制原理西安电子科技大学第三版课后答案 陕西科技大学自动控制原理考研真题优秀
最新自动控制原理西安电子科技大学第三版课后答案陕西科技大学自动控制原理考研真题优秀自动控制原理西安电子科技大学第三版课后答案陕西科技大学自动控制原理考研真题篇一1)自动控制、自动控制系统的基本概念以及自动控制系统的三种基本控制方式;2)能分析某个自动控制系统的原理并绘制原理方框图;3)自动控制系统的分类以及对控制系统的基本要求。
2.控制系统的数学模型1)掌握控制系统的时域数学模型、控制系统的复域数学模型的建立方法及其相互转换;2)通过结构图的化简或梅逊增益公式求取系统的闭环传递函数、误差传递函数及干扰信号作用下的闭环传递函数等，了解绘制系统结构图的方法。
3.线性系统的时域分析法1)掌握系统性能指标的定义;2)掌握系统稳定性概念、劳斯稳定判据及其应用;3)掌握一阶、二阶系统的动态性能分析，及动态性能指标的计算，掌握二阶系统性能的改善，了解高阶系统动态性能的分析方法;4)掌握稳态误差的定义及计算。
4.线性系统的根轨迹法1)掌握根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能的关系;2)掌握根轨迹绘制的基本法则，灵活应用基本法则绘制系统的根轨迹;3)利用根轨迹分析系统的性能;4)了解参数根轨迹和零度根轨迹的概念及绘制方法。
5.线性系统的频域分析法1)理解频率特性的定义及其几何表示法;2)典型环节的频率特性，掌握系统开环对数频率特性图、幅相曲线图的绘制;3)掌握利用奈奎斯特稳定判据、对数频率稳定性判据判断闭环系统的稳定性;4)掌握相角稳定裕量和幅值稳定裕量的定义及其求取方法，及它们与系统性能的关系;5)开环频率特性与闭环系统性能之间的关系，了解闭环频率特性。
6.线性系统的校正方法1)正确理解控制系统校正的基本概念，校正方式，常用校正装置的特性;2)掌握串联超前校正、滞后校正、滞后-超前校正网络的校正原理及设计方法;3)将性能指标转换为希望开环对数幅频特性，根据希望特性确定最小相位系统的校正装置;4)了解局部反馈校正、复合校正的基本思路与方法。
自动控制原理第六章
G(s)
K0 K p (Ti s 1) Ti s2 (Ts 1)
表明：PI控制器提高系统的型号，可消除控制系统对斜 坡输入信号的稳态误差，改善准确性。
校正前系统闭环特征方程：Ts2+s+K0=0 系统总是稳定的
校正后系统闭环特征方程：TiTs3 Ti s2 K p K0Ti s K p K0 0
调节时间 谐振峰值
ts
3.5
n
Mr
2
1 ,
1 2
0.707
谐振频率 r n 1 2 2 , 0.707
带宽频率 b n 1 2 2 2 4 2 4 4 截止频率 c n 1 4 4 2 2
相角裕度
arctan
低频段：
开环增益充分大， 满足闭环系统的 稳态性能的要求。
中频段：
中频段幅频特性斜 率为 -20dB/dec， 而且有足够的频带 宽度，保证适当的 相角裕度。
高频段：
高频段增益尽 快减小，尽可 能地削弱噪声 的影响。
常用的校正装置设计方法 -均仅适用最小相位系统
1.分析法(试探法)
特点：直观，物理上易于实 现，但要求设计者有一定的 设计经验，设计过程带有试 探性，目前工程上多采用的 方法。
列劳思表：
s3 TiT
K p K0Ti
s2 Ti
K pK0
s1 K p K0 (Ti T )
s0 K p K0
若想使系统稳定，需要Ti>T。如果 Ti 太小，可能造成系 统的不稳定。
5.比例-积分-微分(PID)控制规律
R( s )
E(s)
C(s)
K
p (1
自动控制原理 (2)
4、系统运动稳定性判据。
一十一、线性反馈系统的时间域综合
1、状态反馈和输出反馈；
2、极点配置的设计方法；
3、状态观测器的设计；
4、基于状态观测器的状态反馈系统。
考试总分：150分考试时间：3小时考试方式：笔试
考试题型：分析计算题（150分）
参考书目（材料）
《自动控制原理》，刘胜编著，哈尔滨工程大学出版社，2015年。
《线性系统理论》，陆军等编著，科学出版社，2019年。
2、线性定常系统的运动分析、状态转移阵、脉冲响应阵；
3、线性系统的能控性和能观性判别方法。
九、线性定常系统的坐标变换
1、线性系统状态空间描述在坐标变换下的特性；
2、对偶性原理；
3、线性定常系统能控规范形和能观测规范形；
4、线性系统的结构分解。
一十、李雅普诺夫稳定性分析
1、内部稳定性和外部稳定性；
2、李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念；
3、控制系统稳态误差分析及其计算方法。
三、线性系统的根轨迹法
1．掌握根轨迹定义、根轨迹方程及绘制根轨迹的基本规则；
2．运用根轨迹法分析控制系统。
四、线性系统的频域分析法
1、线性系统频率响应物理意义及其描述方法；
2、典型环节的频率响应(幅相曲线与对数频率特性曲线)；
3、开环系统及闭环系统的频率响应的绘制；
七、线性离散控制系统的分析与校正
1、线性离散控制系统的基本概念、基本定理及数学描述；
2、线性离散控制系统的稳定性分析；
3、线性离散控制系统的暂态、稳态、误差分析；
4、线性离散控制系统的数字校正。
八、线性系统的状态空间描述
1、线性时不变系统状态空间描述和输入输出描述，组合系统的状态空间描述，实现和最小实现；
自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法.详解
系统的信号流图见图4-28，从信号流图中看出，系统中含有一个积分环节， 因此为1型系统，因此系统对阶跃输入信号的稳态误差为0。
K m 变化时系统的根轨迹， 2）为了绘制电动机传递系数（含放大器附加增益） 可将有关参数代入传递函数中，并将系统的特征方程进行整理，等价根轨迹增 益方程为：
1 K* P( s ) ( s 6.93 j 6.93)( s 6.93 j 6.93) 1 K * Q( s ) s 2 ( s 13.86)
当所有根轨迹分支都在左半平面时，系统稳定。 2) 稳态性能：
回忆：稳态性能主要取决于系统的开环增益和积分环节个数。
由根轨迹图不仅可以方便的确定开环增益和积分环节个数，而且可以根据给定系统 的稳态误差要求, 确定闭环极点位置的容许范围。
3)动态性能： 回忆：动态性能形态主要取决于系统的——闭环极点。 从根轨迹图上，可以直观地看到特征根随着参数的变化情况，从而，可以方便地 确定动态性能随着参数的变化情况。
K * lim
s
j 1 i 1 m
n
s pi s zj
lim s
s
nm
, 0 ,
nm nm
（无穷零点）
（无穷极点）
(n m 1)
（续）
且均为实数开环零、极点。
（续）
（续）
小结论： 由两个极点（实数极点或者复数极点）和一个有限零点组成的开环系 统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当 K * 从零变化到无穷时， 闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到重根点的距 离为半径的一个圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。
例如，在上列程序之后增加语句： [k,p]=rlocfind(num,den)
自动控制原理
∫ e(t )dt
0
t
K p 称为比例系数， Ti 为可调积分时间常数。
在串联校正时，PI 控制器相当于在系统中增加一个位于原点的开环极点，同时也增加了一个位于 S 平面左半部的开环零点。位于原点的极点可以提高系统的型别，以消除或减小系统的稳态误差，改 善系统的稳态性能；二增加的负实零点则用来减小系统的阻尼程度，缓和 PI 控制器极点对系统稳定 性及动态过程产生的不利影响。在工程实践中，PI 控制器主要用来改善系统的稳态性能。
P 控制器实质上是一个具有可调增益的放大器。P 控制规律只改变信号 的增益而不影响其相位。在串联校正中，加大控制器增益可以提高系统 的开环增益，减小系统稳态误差，从而提高系统的控制精度，但是会降 低系统的稳定裕度，甚至造成闭环系统不稳定，因此很少单独使用比例 控制规律。
2）比例-积分（PI）控制规律 具有比例积分控制规律的控制器，称为 PI 控制器，其输出信号同时成比例 地反映输入信号及其积分，即
4）复合校正 复合校正方式是在反馈控制回路中，加入前馈校正通路，组成一个有机 整体。可以为扰动补偿方式，或者按输入补偿的方式。
常用的校正方式为串联校正和反馈校正两种； 究竟选用哪种校正方式，取决于系统中的信号性质、技术实现的方 便性、可选用的元器件、抗扰性要求、经济性要求、环境使用条件以及 设计者的经验等因素。 一般来说，串联校正设计比反馈校正设计简单，也比较容易对信号 进行各种必要形式的变化； 相比之下，反馈校正所需元件数目比串联校正少，而且一般不需要 附加放大器。 在性能指标要求较高的控制系统设计中，常常兼用串联校正和反馈 校正两种方式。
4、基本控制规律
选择校正装置的具体形式时，应该首先了解装置所需提供的控制规律， 以便选择相应的元件。包含校正装置在内的控制器，常常采用比例、积 分、微分等基本控制规律，或者采用这些基本规律的某些组合，如：比 例-积分，比例-微分，比例-积分-微分，以实现对被控对象的有效控制。
自动控制原理-胡寿松-第四章
过阻尼系统；
当K＝0. 5时：
临界阻尼系统；
当K＞0. 5时：
欠阻尼系统。
(s)
s2
2K 2s
2K
11
4-1 根轨迹法的基本概念
2. 根轨迹与系统性能
上述分析表明：根轨迹与系统性能之间有 着比较密切的联系。
对于高阶系统而言，用解析的方法绘制系 统的根轨迹图，显然是不适用的。希望能有简 便的图解方法，可根据已知的开环传递函数迅 速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要研究闭 环零、极点与开环零、极点之间的关系。
（2）稳态性能：由开环系统 在坐标原点处的极点数可判断 出系统的型别，而此时的K值 就是相应的静态误差系数。如 果给定系统的稳态误差要求， 则由根轨迹图可以确定闭环极 点位置的容许范围。
G(s) K s(0.5s 1)
10
4-1 根轨迹法的基本概念
2. 根轨迹与系统性能
（3）动态性能：
当0＜K＜0. 5时：
12
3. 闭环零、极点与 开环零、极点之间的关系
一般情况下，前向通路传递函数G(s)可表示为：
f
G(s)
KG
(1s
1)(
2 2
s2
2
1
2
s
1)L
sv (T1s 1)(T22s2 2 2T2s 1)L
KG*
(s zi )
i 1 q
(s pi )
i 1
KG
为前向通路增益；K
* G
为前向通路根轨迹增益。
m
(s zj)
等价为：
K * j1 n
1
(s pi )
2
第四章 线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念
天津大学812 自动控制原理课件 第4章 线性系统的根轨迹法
二、根轨迹方程
根轨迹：当系统某一参数由0变化到无穷大时，闭环系统特征根在s平面上 的轨迹。 由（4-1）可得闭环系统的特征方程为 1 G(s) H (s) 0 由（4-3）式得
(s z )
j
m
K*
(s p )
i i
m
j n
1 1e j ( 2 k 1)
( k 0,1,2,
n m n * i j i i 1 j 1 i 1
例：要求系统闭环主导极点的阻尼比为0.5，试确定系统的根轨迹增益K*、 闭环主导极点和系统开环增益K。
K* G( s) H ( s) , s(s 3)(s 2 2s 2)
ξ =0.5
解：过原点作ξ=0.5的等阻尼线， 等阻尼线与根轨迹分支的交点 即为待求的一个闭环极点 0.41 j 0.71 ，另一共轭闭环极点为 0.41 j 0.71 ； 由根轨迹增益公式，可得2.63,； 由开环传函可得开环增益为 K K * 1 0;.44
j 1
m
z j pi
j 1, j i
n
Pj Pi
Pi 180o
同理可证终止角公式。
例4-3 P148 设系统的开环传递函数为
K * (s 1.5)(s 2 j )(s 2 j ) G( s) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 1.5 j )
连续变化，则根轨迹连续变化；由于代数方程的根关于 实轴对称，根轨迹也关于实轴对称。
法则3：根轨迹的渐近线：当开环极点数n大于开环零数m时，有n-m条根 轨迹分支沿着与实轴交角为 a 、交点为 a 的一组渐近线趋向无 穷远处，其中：
自动控制原理_第4章_线性系统的根轨迹法
4.2 绘制根轨迹的依据--根轨迹方程
R(s)
G ( s) H ( s)
C(s)
一、闭环零极点与开环零极点的关系
* KG
* KH d
G( s)
Π ( s z j )
j 1
a
( s pi ) Π i 1
* a
b
* KG A( s)
B( s)
c
H ( s)
Π ( s zl )
K* G( s) s( s 1)(s 2)
试绘制系统的概略根轨迹。 解：开环极点 p1=0， p2=-1， p3=-2，无开环零点。
实轴上的根轨迹 (-∞，-2]， [-1，0]。 渐进线 n=3，m=0，有三条渐进线。
0 1 2 1 交点 a nm 3
i 1
pi
1/4<K<∞时，s1,s2为一对共轭复根； K=1/2时，s1,2=－1/2±j0.5。
注意：一组根对应同一个K；K 一变，一组根变；K一停， 一组根停；
K=0.5 K=0 -1
jω
j0.5 0
σ
-j0.5 根轨迹：简称根迹，它是指系统中某一 K=0.1875 K=0.25
参数在可能的取值范围内连续变化时， 闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹。
a
pi z j
i 1 j 1
n
m
nm
a
(2k 1) nm
k 0,1,2,, 直到获得(n m)个夹角为止 .
开环传递函数
G ( s) H (s) K * Π ( s z j )
j 1 m
( s pi ) Π i 1
n
K*
自动控制原理 第4章 线性系统的根轨迹法：根轨迹法的基本概念 绘制的基本法则
-1.5
相角条件：92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= –180o 模值条件 K*= 2.26×2.11×2.61 = 6 2.072
k* 6 k 4 1.5 1.5
k * (s 1) G (s )H (s ) (s 0.5)( s 1.5)( s 2)
根轨迹的模值条件与相角条件 没有零点的相角条件和模值条件你会推吗？ 相角条件: (P140) n m
∑ ∠ (s-z ) － ∑ ∠ (s-p ) = (2k+1) π j i j=1 i=1
m 绘制根轨迹的充要条件
k=0, ±1, ±2, …
模值条件:
1+K Kn =
i=1
) ∏︱ ( s - zn ︱ j p s ︱ ︱ ∏ j=1 i * *
规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角 （入射角）
起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的
切线与实轴的夹角
pi
。
m n o pi 1 8 0 zj p p p i j i 1 j 1 j j i
终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开环零点处的
j
-2
-1
0
综上所述： （1）k*从0 ~ ∞ 时，系统的根轨迹是连续变化。可见：
系统的参量变化对系统闭环极点分布的影响。
（2）由根轨迹图，可得系统动、静态性能的信息： 1）稳定性 无论k*值如何变化（ k*>0），闭环极点不出现
在s的右半平面，所以系统是稳定的。
2）稳态误差
I型系统，K为静态速度误差系数。
2019/2/17
特征方程：
S2+2s+2k=0
自动控制原理 第四章 线性系统的根轨迹方法(2011-3) (2)
பைடு நூலகம்β = 45
−ξπ 1−ξ 2
β = 60
[ s]
j
⎧45° < β < 60° ⎨ ⎩ 2 < ωn < 5
−5
−2
0
13
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
= 0.0 σ % = 100% = 0.4 σ % = 25% = 0.5 σ % = 15% = 0.6 σ % = 10% = 0.7 σ % = 5% = 0.8 σ % = 2% = 1.0 σ % = 0%
A
ξ = 0.5
Im
λ3 = −2.34 X
−2
λ1 = −0.33 + j0.58
−1
X
−0.5
60
0
X
Re
λ2 = −0.33 − j0.58
21
三、高阶系统动态性能指标估算
1、高阶系统单位阶跃响应
(1) 高阶系统的单位阶跃响应包括常数项和响应模态。 (2) 除常数项以外，高阶系统的单位阶跃响应是系统模态的组 合，组合系数即部分分式系数。 (3) 模态由闭环极点确定，而部分分式系数与闭环零点、极点 分布有关，闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。
ξ ≥ 1− r
( α)
2
ωd ≤ r
α − r ≤ ωn ≤ α + r
α − r ≤ ξωn ≤ α + r
如果设定区域
ξωn ≥ q
则选择 r ≤ min
(α − q , α
ξ ≥ ξ min
1− ξ
2 min
)
8
[例]：如图系统，求系统具有最小阻尼时K值及相应的 动态性能和稳态误差。
自动控制原理-线性系统的根轨迹法 (2)
閉環控制系統的動態性能與閉環極點在S平面上的 分佈位置是密切相關的,分析系統的性能時,往往要求 確定系統閉環極點的位置.另一方面,在分析和設計系 統時,經常需要研究一個或幾個參量變化時,對系統的 極點和系統性能的影響。
採用分解因式的古典方法求特徵方程式的根通常不容 易,特別是當某一參量發生變化(靈敏度)時,需要反復進 行計算,這時採用上述方法就顯得十分煩瑣,難以在實際 中應用。
K＝0.5 K＝0
該系統對於所有的K都是穩定的 穩態性能：
-1 0
原點處有一個極點 Ⅰ型系統
根軌跡上的K值就 是靜態誤差係數
0 K 0.5 : 过阻尼系 ，階统 躍回應為非週期過程
動態 K＝0.5：临界阻尼 ，階系 躍回统應為非週期過程
性能：
K
0.5：欠阻尼，階系躍统 回應為阻上尼頁振盪下過頁程
返回
根據相角條件,在同一分離點分離的各條根軌跡 分支,它們的切線將均分360度。2條根軌跡在分離 點相隔180度,4條根軌跡在分離點相隔90度。
分離點的座標為:
m
1
n
1
i1 d zi
j1 d p j
分離角：根軌跡進入分離點的切線方向與離開分離點的切 線方向之間的夾角
(2k 1)
l
l－進入並立即離開分離點的 根軌跡條數
根軌跡：當系統某一參數在規定範圍內變化時，相應的系
統閉環特徵方程根在s平面上的位置也隨之變化移動，一個
根形成一條軌跡。
系統特徵根的圖解方法!!!
廣義根軌跡:系統的任意一變化參數形成根軌跡。
狹義根軌跡（通常情況）：
變化參數為開環增益K，且其變化取值範圍為0到∞。
自動控制原理
一 根軌跡的概念
根軌跡法:系統某一參數變化時,繪製特徵方程的根在 S平面的位置變化軌跡的圖解方法。 根軌跡法的優點： 1：從已知的開環零、極點的位置及某一變化參數來求 取閉環極點的分佈，即解決閉環特徵式的求根問題。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Time (seconds)
5
11/11/2013
根轨迹法设计超前校正的思路：
1，给定的动态性能指标 —> 期望闭环极点位置； 2，绘制原系统的根轨迹； 3，相角条件 —> 校正装置应提供的相角； 4，设计校正装置，选择合适的零极点； 5，绘制校正后系统的根轨迹，确定其它闭环极点 和零点，分析对动态性能的影响； 6，验证系统性能。
使闭环复数极点位于 s1,2 3.5 j3.5 3，校正控制器极
点不小于-20。
解：
GsGc
s
127s ss 1s
5.4 20
s1,2 3.5 j3.5 3
1.4
1.2
s3 14 1
Step Response
Amplitude
0.8
验证闭环系统性能 0.6
0.4
0.2
0 0
0.5
1 前页 返1回.5
s1,2 3.5 j3.5 3
模值条件： K s1 s1 1 s1 20 127
s1 5.4
s1
j
-20
-5.4 -1 0
思路
例1：已知单位反馈系统前向传递函数，设计超前校正，
使闭环复数极点位于 s1,2 3.5 j3.5 3，校正控制器极
点不小于-20。
解：
G
s
Gc
s
127
1
ss
1
s s
5.4 20
s1,2 3.5 j3.5 3 其它闭环极点：s3 14
校正后系统的根轨迹
s1
j
-20
-14
-5.4 -1 0 思路
4
11/11/2013
例1：已知单位反馈系统前向传递函数，设计超前校正，
使闭环复数极点位于 s1,2 3.5 j3.5 3，校正控制器极
点不小于-20。
s1
j
-20
-5.4 -1 0
相角条件： s1 a 232.4 20.2 2k 1 思路
3
11/11/2013
例1：已知单位反馈系统前向传递函数，设计超前校正，
使闭环复数极点位于 s1,2 3.5 j3.5 3，校正控制器极
点不小于-20。
解：
GsGc
s
K
1
ss 1
s 5.4 s 20
第四章 线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 广义根轨迹 4-4 线性系统的控制性能分析 4-5 线性系统的根轨迹法校正
11/11/2013
根轨迹法校正的思想：
校正后系统 ≈ 欠阻尼二阶系统
主导极点
动态性能指标
若原系统根轨迹通过该主导极点，进一步考察稳态性能
返回
2
11/11/2013
例1：已知单位反馈系统前向传递函数，设计超前校正，
使闭环复数极点位于 s1,2 3.5 j3.5 3，校正控制器极
点不小于-20。
解：
Gs
1
ss
1
Gc
s
K
sa s 20
s1,2 3.5 j3.5 3
0.5, 7
% 20%, ts 0.26
s1
j
-20
-1 0
思路 返回
例1：已知单位反馈系统前向传递函数，设计超前校正，
使闭环复数极点位于 s1,2 3.5 j3.5 3，校正控制器极
点不小于-20。
解：
GsGc
s
K
1
ss 1
sa s 20
s1,2 3.5 j3.5 3
s1 0 s1 1 120 112.4 232.4
s1 20 20.2 s1 a 72.6 a 5.4
解：
GsGc
s
127s ss 1s
5.4 20
s1,2 3.5 j3.5 3
1.4
1.2
s3 14
1
Step Response
校正后系统
0.8
验证闭环系统性能
0.6
Amplitude
原系统
0.4
0.2
0 0
2
4
6
8
前10 页 返12回
Time (seconds)
例1：已知单位反馈系统前向传递函数，设计超前校正，
未通过该主导极点， 需加入校正装置 或无法同时满足动态和稳态性能，
Rs
-
Gc s Gs Cs
1
11/11/2013
校正装置
Gc
s
K
s s
a b
超前校正 a b 零点在极点右边 改善稳定性、动态性能 稳！快！
滞后校正 a b 零点在极点左边
改善稳态性能
准！
根轨迹法设计超前校正的思路：
1，给定的动态性能指标 —> 期望闭环极点位置； 2，绘制原系统的根轨迹； 3，相角条件 —> 校正装置应提供的相角； 4，设计校正装置，选择合适的零极点； 5，绘制校正后系统的根轨迹，确定其它闭环极点 和零点，分析对动态性能的影响； 6，验证系统性能。
返回
根轨迹法设计滞后校正的思路：
Gc s
K
s s
a b
a b 零点在极点左边 改善稳态性能 准！
a b 1，零点和极点彼此靠近 —> 减小对相角的影响；
—> 根轨迹仍通过期望极点，维持动态性能；
2，零点在极点左边 —> 提供较大稳态增益。
6
11/11/2013
例1：已知单位反馈系统前向传递函数，设计超前校正，
7
使闭环复数极点位于 s1,2 3.5 j3.5 3，校正
127s ss 1s
5.4 20
速度误差系数
Kv
127 5.4 34.29 20
进一步要求 Kv 100
Gc
s
s s
a b
a 3 b
Kv 34.29 3 102.87
Gc
s
s s
0.03 0.01