物理竞赛课件14刚体动力学运动学问题

例讲 例讲
h= Hn
nn
mi =ki
H2 n

H n
x c

lim
n
mi xi
i1
V
n
lim
ni1
ki
H2 n

kH2 /3
H n

i
H n
O tan-1k
i H
x

3H lim
n
n i1
i3

1 n4
y
质心沿抛物线做往复运
动,回复力为重力之分力:
F mg y x
mg6hxx2 x2
L2
x
F回
x
O
mg
12mgh

x
L2
质心做谐振,周期为 T 2
L2 12hg
♠ 转动惯量
量度刚体转动中惯性大小的物理量,等于刚体中每个 质点的质量mi与该质点到转轴的距离ri的平方的乘 积的总和.
♠ 质心 质心运动定律
能代表整个刚体的平动,运动规律等效于全部质量及外 力集中于此的某一点.
从质心的等效意义出发:
0
x1
m1
x2
x
m2

x C
m ixi mi



yC
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m iyi mi


zC

m izi mi
以质心为坐标原点
mir=0
F=mac
J 1 mr2
n项
2
设任意物体绕某固定轴O的转动惯量为J，绕 通过质心而平行于轴O的转动惯量为Jc，则有
JJc md2
n
n
J m iri2 m i R i2d22 dR icos
i 1
i 1
y
0 n
n
n n
m iR i2 m id22d m miiR xiicosi
mr2 ml2
4 12
Ma2
J圓 2
2a
O
M
J杆JcM2a2
其中
Ma2
4Ma2
2a C M
3 n M
JcJO2nlJim 圓 i1J杆 2a
xC

3 4
H
y
= n
2n
i=i
2n
i
0 i
x R
x 43 xC= n n llR R i i m m n n l lii m m ii n n 1 1ii4 n n 2 1 1R R m 2 scions3 s2 2iR n ii3 c o sss iiin nim ii(R s in icosi)R sCini R
J mr2 ml2 4 12
= n
2n
i
=
i
2n
y
i
n
J4nli lm im in 1 mm iri2
ni14n
rsini
2
0
i x
R
m r2 n li m i n 1 n 1 s in 2 s in 2 2 s in 2 2 s in 22

Rnli m
2 3
12 2
1 2
2
2
如图，一个圆盘半径为R，各处厚度返一回样概，要
在每个象限里，各处的密度也是均匀的，但不同象限里的密度则
不同，它们的密度之比为 1 ∶ 2∶ 3 ∶ 4 ＝1∶2∶3∶4，求这圆
盘的质心位置．
解 : 对题中圆盘:
y
4 R 4R2 2 1 1 2 2 3 34R 2 4 41y xc c 24 R 32 41 43 R2 3 23 4 414 3 Rx
xc 0
yc

8
15
R
以静止水的质心为坐标原 点，建立如图所示坐标，
当振动高度为Δh时，质心 坐标为：
y
h
2
h
O
x
x 1 2 h L 2 1 3 L 2 1 2 h L 2 2 3 L 2 h L 2 L 4L h
L h
6 h
yh h L 2 h 1 22 hL h 2 h2 3h h 2
L h
6h
由上可得
y 6h x2 L2
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i1
i1
ii 1 1
C
Ri mi
θi
ri
d
O
x
由JJcmd2
m
mR2mR2
R
2mR2
J2n li m i n1 1 42 m nr22 m n i2ln 2
mr2 4
ml2 4
nli m i n1ni23
R n li m 2 3 3 2 s in n 2 3 s in s 3 in n 2 1 3 2 2 s in n 2 s in s i n n 2 1
J miri2
例讲
J m r12 r22
2
J
J mr2 n
J 1 mr2 2
nlnm i lm i m r2i nnl1ii mm 1r2min21ir2ii2n ri3Jn rn14i12n rm2r 2
转轴
J 1 mr2 2 J 1 mr2 4
♠ 刚体
不发生形变的理想物体
实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略 时,即可将其视作刚体．
刚体内各质点之间的距离保持不变
刚体内各质点角速度总相同
♠ 刚体的平动与转动
刚体运动时，其上各质点的运动状态（速度、加速度、 位移）总是相同，这种运动称为平动． 刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一 直线做圆周运动，这种运动称为转动，而所绕直线便 称为轴．若转轴是固定不动的，刚体的运动就是定轴 转动．