第八章 刚体的平面运动习题解

第八章 刚体的平面运动习题解[习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。

如ＯＣ＝ ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。

解：椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为：t r r x C 0cos cos ωϕ== t r r y C 0sin sin ωϕ==t 0ωϕ-=（顺时针转为负）。

[习题8-2] 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。

如曲柄ＯＡ以匀加 速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。

解：αω=dtd dt d αω=1C t +=αω100C +⨯=α 01=Ct αω=t dt d αωϕ== tdt d αϕ=2221C t +=αϕ220210C +⨯=α02=C221t αϕ=2cos )(cos )(2t r R r R x A αϕ+=+= 2sin)(sin )(2t r R r R y A αϕ+=+=A A r t r R OA v ωαω=⋅+=⋅=)(t rrR A αω⋅+=t rrR dt d A αϕ⋅+= dt t rrR d A ⋅⋅+=αϕ 322C t r r R A +⋅⋅+=αϕ32020C rrR +⨯⋅+=α 03=C22t rrR A αϕ⋅+=故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为：2cos )(2t r R x A α+= 2sin)(2t r R y A α+=22t rrR A αϕ⋅+=[习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。

已知：如图所示，CB AC =，→A v ，→B v求证：)(21→→→+=B A C v v v证明：→1v→→→→→⋅+=+=AB A BA A B AB v v v v ω)(21)(2121→→→→→→→→→→+=-+=⋅+=+=B A A B A AB A CAA C v v v v v AB v v v v ω 。

本题得证。

[习题8-4] 两平行条沿相同的方向运动，速度大小不同：ｖ1＝６ｍ／ｓ， ｖ２＝２ｍ／ｓ。

齿条之间夹有一半径ｒ＝０.5ｍ的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心Ｏ的速度。

解：运动分析如图所示。

其中，I 为速度瞬心。

15.0262=--o v )/(424210s m v =+⨯=（齿轮中心O 的速度，方向如图所示。

） 2661-=AI )(5.1m AI =齿轮的角速度为：)/(45.161s rad AI v ===ω [习题8-5] 用具有两个不同直径的鼓轮组成的铰车来提升一圆管，设ＢＥ∥ＣＤ，轮轴的转速ｎ＝１０ｒ／ｍｉｎ，ｒ＝５０ｍｍ，Ｒ＝１５０ｍｍ，试求圆管上升的速度。

解：)/(047.1601014.32602s rad n =⨯⨯==πω )/(05.157047.1150s mm R v E =⨯==ω（向上）→Ev Dx)/(35.52047.150s mm r v D =⨯==ω（向下）钢管作平面运动，其中心的速度（习题8－3结论）为：)/(35.52)35.5205.157(210s mm v =-=（方向：向上。

） [习题8-6] 两刚体Ｍ，Ｎ用铰Ｃ连结，作平面平行运动。

已知ＡＣ＝ＢＣ＝６００ｍｍ，在图示位置，ｖＡ＝２００ｍｍ／ｓ， ｖＢ＝１００ｍｍ／ｓ，方向如图所示。

试求Ｃ点的速度。

解：→→→+=CB B C v v v BC C BC B v v ][][→→= Cx v =0 0=Cx v→→→+=CA A C v v v AC C AC A v v ][][→→=0030cos 30cos cy A v v -=)/(200s mm v v A cy =-=s mm v v cy C /200-==（方向沿着负y 轴方向）[习题8-7] 题8-６中若ｖＢ与ＢＣ的夹角为６０°，其它条件相同，试求Ｃ点的速度。

→Bv xx解：运动分析如图所示。

→→→+=CB B C v v v BC C BC B v v ][][→→= Cx B v v =060cos)/(505.0100s mm v Cx =⨯=→→→+=CA A C v v v AC C AC A v v ][][→→=00060cos 30cos 30cos cx cy A v v v +-=5.050866.0866.0200⨯+⨯-=⨯cy v 25866.02.173+⨯-=cy v)/(13.171866.02.17325s mm v cy -=-=)/(29.178)13.171(502222s mm v v v cy cx c =-+=+=071.7329.17850arccos arccos===c cx v v α[习题8-8] 杆ＯＢ以ω＝２ｒａｄ／ｓ的匀角速度绕Ｏ转动，并带动杆ＡＤ；杆ＡＤ上的Ａ点沿水平轴Ｏｘ运动, Ｃ点沿铅垂轴Ｏｙ运动。

已知ＡＢ＝ＯＢ＝ＢＣ＝ＤＣ＝１２０ｍｍ，求当φ＝４５°时杆上Ｄ点的速度。

解：)/(2402120smmOBvB=⨯=⋅=ω)/(2120240sradOBvIBvBBAD====ω22135cos2CDICCDICID⋅-+=2212021202120)2120(22⨯⨯⨯++=)(33.2685120mm==)/(66.5636233.268smmIDvADD=⨯=⋅=ω[习题8-9] 图示一曲柄机构，曲柄ＯＡ可绕Ｏ轴转动，带动杆ＡＣ在套管Ｂ内滑动，套管Ｂ及与其刚连的ＢＤ杆又可绕通过Ｂ铰而与图示平面垂直的水平轴运动。

已知：ＯＡ＝ＢＤ＝３００ｍｍ，ＯＢ＝４００ｍｍ，当ＯＡ转至铅直位置时，其角速度ω０＝２ｒａｄ／ｓ，试求Ｄ点的速度。

解：解：BD杆与AC杆的角速度相同，即：ACBDωω=，确定了ACω，问题便可解决。

AC杆作平面运动。

OA与BD作定轴转动。

如图1所示，I为AC杆此时的速度瞬心，图中'Bv为AC杆上此瞬时与铰B重合的'B的速度。

AIAIABABOA500500300cos====α)(32500mmAI=→Bv )/(60023000s rad OA v A =⨯=⋅=ω)/(72.03/2500600s rad AI v A BD AC ====ωω )/(21672.0300s mm BD v BD D =⨯=⋅=ω[习题8-10] 图示一传动机构,当ＯＡ往复摇摆时可使圆轮绕Ｏ１轴转动。

设ＯＡ＝１５０ｍｍ，Ｏ１Ｂ＝１００ｍｍ，在图示位置，ω＝２ｒａｄ／ｓ，试求圆轮转动的角速度。

解：OA 作定轴转动，AB 作平面运动。

圆轮作定轴转动。

)/(3002150s mm OA v A =⨯=⋅=ω→→→+=BA A B v v v AB A AB B v v ][][→→=)/(8.259866.030030cos 0s mm v v A B =⨯==)/(6.2)/(598.21008.25911s rad s rad B O v B O ≈===ω [习题8-11] 在瓦特行星传动机构中，杆Ｏ１Ａ绕Ｏ１轴转动，并借杆ＡＢ带动曲柄ＯＢ，而曲柄ＯB 活动地装置在Ｏ轴上。

在Ｏ轴上装有齿轮Ⅰ；齿轮Ⅱ的轴安装在杆ＡＢ的Ｂ端。

已知：mm r r 330021==， Ｏ１Ａ＝７５０ｍｍ，ＡＢ＝１５００ｍｍ，又杆Ｏ１Ａ的角速度ωＯ１＝６ｒａｄ／ｓ，求当α＝６０°与β＝９０°时，曲柄ＯＢ及轮Ⅰ的角速度。

v A解：O 1A 作定轴转动，AB 作平面运动。

圆轮O 及OB 作定轴转动。

)/(4500675011s mm A O v O A =⨯=⋅=ω→→→+=BA A B v v v AB A AB B v v ][][→→=)/(3897866.0450030cos 0s mm v v A B =⨯==)/(75.33300232250s rad OB v B OB =⨯==ω )(30005.0150030sin mm AB AI ===)/(5.130004500s rad AI v A AB ===ω 两轮啮合点（OB 的中点）的速度：)/(6.31175.1)732.1300866.03000()BI (2s mm r v AB nhd =⨯⨯-⨯=⋅ω－＝)/(6732.13006.31171s rad r v nhd I =⨯==ω [习题8-12] 活塞Ｃ由绕固定轴Ｏ′转动的齿扇带动齿条而上下运动。

在题8-１２附图所示位置，曲柄ＯＡ的角速度ω０＝３ｒａｄ／ｓ，已知ｒ＝２００ｍｍ，ａ＝１００ｍｍ，ｂ＝２００ｍｍ，求活塞Ｃ的速度。

'O 'ω解：)/(60032000s rad OA v A =⨯=⋅=ω→→→+=BA A B v v v AB A AB B v v ][][→→= 60030cos 0==A B v v)/(84.692866.0600s mm v B ==)/(464.320084.692's rad b v B B O ===ω )/(4.346464.3100's mm a v v B O C =⨯==ω＝啮合点 （活塞的速度，方向向上）[习题8-13] 在图示机构中，杆ＯＣ可绕Ｏ转动。

套筒ＡＢ可沿ＯＣ杆滑动。

与套筒ＡＢ的Ａ端相铰连的滑块可在水平直槽内滑动。

已知ω＝２ｒａｄ／ｓ，ｂ＝２００ｍｍ，套筒长ＡＢ＝２００ｍｍ，求φ＝３０°时套筒Ｂ端的速度。

解： 动点：A 点。

动系：固连于AC 杆的坐标系。

静系：固连于地面的坐标系。

相对运动：A 对于AC 的运动。

→vv .0F牵连运动：AC 杆上与A 相重点相对于地面的运动。

绝对运动：A 相对于地面的运动。

→→→+=r e A v v v)/(4622866.0200230cos 0s mm b OA v e =⨯=⨯=⋅=ω)/(533866.046230cos 0s mm v v e A === →→→+=BA A B v v v)/(4002200s mm AB v BA =⨯=⋅=ω022150cos 2BA A BA A B v v v v v -+=866.0400533240053322⨯⨯⨯++=)/(902s mm ≈[习题8-14] 图示矩形板BDHF 用两根长0.15m 的连杆悬挂，已知图示瞬时连杆AB 的角速度为4rad/s ，其方向为顺时针。

试求：(1)板的角速度；(2)板中心G 的速度；(3)板上F 点的速度；(4)找出板中速度等于或小于0.15m/s 的点。

解：(1)求板的角速度)/(32.0415.0s rad BI AB BI v AB B =⨯=⋅=ωω＝板 (2)求板中心G 的速度)(1732.030cos 2.00m IJ ==G)(0482.0215.01732.0m IG =-= )/(0.144630.0482s m IG v G ＝＝板⨯⋅=ω(3)求板上F 点的速度)(1243.0)1732.025.0(1.022m IF =-+=)/(0.37330.1243s m IF v F ＝＝板⨯⋅=ω(4)求板中速度等于或小于0.15m/s 的点15.0≤⋅=板ωx v x)(05.03/15.0m x =≤板中速度等于或小于0.15m/s 的点在以瞬心I 为圆心，半径为m 05.0的圆内：圆周上速度为s m /15.0，圆内速度小于s m /15.0。