不定积分习题与答案
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分(A)求下列不定积分dx~~2X(x 2)2dxdx2) xV x2x .2dx 4) 1 x1、1) 3)5)7) 2、1) 3) 5) 7) 9) 11) 13) 15) 17)2 3X 53^△dx cos2x2 ；~2~dx6)cos xsin xX 3(2e )dxx求下列不定积分(第一换元法)(1 —y^'xYxdX8) x3(3 2x) dxsin t ..dtxtdxcosxsin xdx2) 32 3xdx,) xl n x In (I n x)xcos(x2)dxsinx , 厂dxcos xdx2x2 1sin 2xcos3xdxdxx x6) e e“、cos3xdx12)tan3x secxdx14)3x9 x2dx16)______ 13cos2 x—dx4sin x10 2arccosxdxarctan x ,dx 18) x(1 x)3、求下列不定积分（第二换元法）1) 2)sinxdx3) 4)2x----------- d x, (a 0)2 2.a x5)7) 4、1) 3) 5)7) 5、1)2)3)dx6)dx1 \2xdxx -J x28)dx1 T x2求下列不定积分（分部积分法）xSnxdxx2In xdxx2arcta nxdxIn2xdx求下列不定积分（有理函数积分）3xdxx 32x 32x 3xdxx(x21)1、一曲线通过点方程。
2、已知一个函数2)4)6)8)arcs inxdxe 2x sin -dx2x2cosxdx2 2 xx cos dx2(B)（M,3），且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,F（x）的导函数为1 x2，且当x 1时函数值为2求该曲线的，试求此函数。
3、证明：若f(x)dx F(x)c，则f (ax b)dx 丄F(axa b) c,(a 0)o sin x4、设f(x)的一个原函数为求xf(x)dx。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分 （Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx ２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221 ５）⎰⋅-⋅dxxxx32532 ６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x32(⎰+ ８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23( ２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos ６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰ ８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx 12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin 14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211 ２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx ６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx ８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法） １）inxdxxs⎰ ２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2 ６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln ８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dxxx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx （Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。
3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。
不定积分例题及答案_理工类
第4章不定积分内容概要名称主要内容不设 f x ，x I ，若存在函数F x ，使得对任意x I 均有F x f x 定积或dF x f xdx ，则称F x 为f x 的一个原函数。
分的f x 的全部原函数称为 f x 在区间I 上的不定积分，记为概念 f xdx F x C 注：1）若（f x 连续，则必可积；2 ）若F x G x 均为 f x 的原函数，则（ F x G x C 。
故不定积分的表达式不唯一。
性 d f xdx f x 或d f xdx f xdx ；dx 性质1：质不性质2：F xdx F x C 或dF x F x C ；定积性质3：f x g xdx f xdx g xdx ，为非零常数。
分计设 f u 的原函数为 F u ，u x 可导，则有换元公式：算第一换元方积分法法（凑微分法）f x xdx f xd x F x C 第二类设x t 单调、可导且导数不为零，f t t 有原函数F t ，换元积分法f xdx f t t dt F t C F 1 则x C 分部积分法u xv xdx u xdv x u xv x v xdu x 有理函数积若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理分按情况确定。
本章在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；的地后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求位与解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。
从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中作用起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。
这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！dx★1 x 2 x 5 1思路: 被积函数x 2 ，由积分表中的公式（2）可解。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。
3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。
不定积分例题与答案
求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的荃本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和荃本积分公式，査接求出不定积分!★(1),旅思路：被积函敌|:,由积分表中的公式(2)可解。
K 77T 八★⑶思路:根裾不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：j<2x +.K 2Wt = j2,rfA + f.rdv = -L.+lx i +C ★⑷J 仮(.丫-3皿 思酪:根拐不定积分的线性性质，将被积函薮分为两项，分别积分。
J7xU-3)rfv = |x-dv-3jA"dv = ^.v* -2.V-+C★★⑸『竺上竺旦厶息」廉:观察到3xJ3.E=w+ 1后，根拐不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
丿 ~-V+ 1 ~~.C+ 1~"*A x 2+11 ,根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：JI ' 心=j rfv-j ]:心=A -arctan .v+C.注.容島看出(5)(6)两題的解SI 思绝是一致的• 一般地，如果被积函数为一个有理的假分丈.谨常先将其分解为一个荃或加上或 减去一个真分丈的形丈.再分项积分.★(7) |(三二+W 心思路:分项积分。
4-~-r^ = J 'z£v -|-^<tv + 3|x 'rfv-4j.t u rfv★(8)上3 2 思路:分项积分。
■ J< ] 3 - F k£v = 3j J , dx-2jdr = 3arctan .v-2arcsinx + C.★★⑺j 后眾小思路:皿着看到皿頁=严—“直接积分。
解：J 厶斥曲Y = =加+ U息话:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
X ，.思路:注意到r_ JI + x* x l+x 2 l+.r 1+x 2 解: ★⑵ =x + arctan .v + C解：严小+认=★★(10) I忌路:裂项分项积分。
最新不定积分习题与答案
精品文档不定积分（Ａ）１、求下列不定积分dxdx??2xx2x２）１）?dx2?dx)(x?22x1?４）３）2x??dxdx x223xsincosx５）６）xx2?5?2?3x2cos13x??dxxx(2e?)dx(1?)2xx８）７）２、求下列不定积分（第一换元法）dx?3?dx)(3?2x3x32?２）１）dx tsin??dt)xlnxln(lnx t４）３）dxdx??x?x xsincosxe?e６）５）?dx2?dx)xcos(x4x1?８）７）3x3x1?xsin?dx?dx2x49?3xcos）10９）dx?3?dxxcos21?2x12）11 ）3??xdxxsin2xcos3xdxtansec14) 13)??dxdx222x9?x?4sin3cosx16) 15)3x1??dxdx)x?(x12x?117) 18)x2arccos arctanx10精品文档．精品文档3、求下列不定积分（第二换元法）1?dx?dxxsin2xx?1２）１）?)0(a?dx,?dx22x?a x４）３）2x24x?dx dx??32)1(x?x21?６）５）dxdx??22?1?x1?x1?x７）８）４、求下列不定积分（分部积分法）??xdxarcsinxsinxdx１）２）x x?2?dxsine2?xdxxln2４）３）?dxxcos2?xdxln2８）７）22??xdxxxcosarctanxdx６）５）x22５、求下列不定积分（有理函数积分）3x?dx3x?１）3x?2?dx210??3xx２）dx?2)?x(x1 3 ）（Ｂ）2)3e,(、一曲线通过点，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的1 方程。
13?2)(xFx1?1x?2的导函数为2、已知一个函数，且当，试求此函数。
时函数值为精品文档．精品文档?cx)?f(x)dx?F(，则3、证明：若1?)?0?F(axb)?c,(af(ax?b)dx?a。
不定积分例题及答案
求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数52x-，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C--=-+⎰ ★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰ ★★(5)4223311x x dxx +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x Cx x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2思路:分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++★(8)23(1x+⎰思路:分项积分。
高等数学不定积分例题及答案
第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路:52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x xx x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。
不定积分作业参考答案
tan
4
xdx tan 2 x( sex 2 x 1)dx
tan 2 xd tan x (sec 2 x 1)dx
22
高等数学作业题集（第二册）
(17) 解
sin 2 x cos 3xdx ；
(18) 解
sin x cos x dx ；
1
sin 2 x cos 3xdx
1
1 sin x dx
1 dx 2x 5 1 dx ( x 1) 2 4
x
2
sec x x tan x C
2．求下列不定积分：
1 1 x 1 2d ( ) 4 ( x 1) 2 1 2 2 1 x 1 arctan C 2 2
1 1 2 dx 2 2 2 (a x )(a 2 x 2 ) 1 1 1 1 2 2 2 2 dx 2 2 2a a x a x 2
(16) 解
1 1 d (1 x) 2 3 (1 x) (1 x) 1 1 C x 1 2(1 x) 2
(3)
解 当x0时 令 x sec t , 0 t
2
，则
dx sec t tan tdt ，于是
x
1 x 1
2
dx
sec t tan t dt sec t tan t
1 t C arccos C x
当 x 0 时， x 0 ，此时
x
1
2
x 1
xedxxedxlndxlndxlnlnlnlnlnlnlnlnlnln一元函数积分学213xdxln24cosxdxtanxdxcosxdxtanxdxcoscostantanxsexxdxxdxtantansecsinsintantan22高等数学作业题集第二册17sinsincosdxsincosdxcossincossin5sinsectandxsin5sinxdxxdxtantancos5cos10sincossincostansecsincossincostansecsincossincostantansecsincossincossincossecsec21sinsincossincos2sintdcoscos23sincoscossectan一元函数积分学23dxtdtsec2secdxtdtsectandxseclnsectansectansectandxdttantan于是dxtdtsectansecdxdtsinsin于是dxtdt2cos2cos2sindxtdtsinsindtdt于是dxtdtcscsindxdt24高等数学作业题集第二册coscoscossincoscotsindttdt于是dxtdtsincscsecsecdxdtcotsincossintdtlnln从而ln一元函数积分学三分部积分法1
不定积分练习题 带答案
不定积分练习题带答案题目一计算以下不定积分：$$ \\int (3x^2 - 4x + 2)dx $$解答：首先，根据不定积分的性质，我们可以将不定积分的运算符号移到每个项上，然后分别对每个项进行积分。
$$ \\int (3x^2 - 4x + 2)dx = \\int 3x^2dx - \\int 4xdx +\\int 2dx $$对每个项分别进行积分运算：$$ \\int 3x^2dx = \\frac{3}{3}x^3 + C_1 = x^3 + C_1 $$$$ \\int 4xdx = 4 \\cdot \\frac{1}{2}x^2 + C_2 = 2x^2 + C_2 $$$$ \\int 2dx = 2x + C_3 $$将每个项的积分结果相加，得到最终的答案：$$ \\int (3x^2 - 4x + 2)dx = x^3 + 2x^2 + 2x + C $$这里的C是常数，表示积分常数，它可以任意取值。
题目二计算以下不定积分：$$ \\int \\frac{1}{x}dx $$解答：对于这个不定积分，我们可以使用换元积分法来计算。
令$ u = \ln|x| $，则 $ du = \frac{1}{x}dx $。
将 $ u = \ln|x| $ 代入原积分，得到：$$ \\int \\frac{1}{x}dx = \\int du = u + C = \\ln|x| + C $$这里的C是常数，表示积分常数，它可以任意取值。
题目三计算以下不定积分：$$ \\int e^x dx $$解答：这个不定积分是一个基本的指数函数积分。
根据指数函数的性质，对于任意实数 $ a $，有 $ \int e^{ax} dx =\frac{1}{a}e^{ax} + C $。
将原积分与上述性质进行对比，可以看出 a=1，所以：$$ \\int e^x dx = \\frac{1}{1} e^x + C = e^x + C $$这里的C是常数，表示积分常数，它可以任意取值。
不定积分例题及标准答案
第4章不定积分
习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分!
★(１）
思路: 被积函数5
2
x -=,由积分表中的公式（2)可解。
解:53
22
23x dx x C --==-+⎰
★（2）dx
⎰
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项，分别积分。
解:1
14111
3332223()2
4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★（3)22x x dx +⎰（）
思路：根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:22
32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）
★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分。
解：3153
222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰ ★★（5)4223311x x dx x +++⎰
思路:观察到422223311311
x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x
++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6）2
21x dx x +⎰
思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
(整理)§4不定积分习题与答案.
3、 (1) ln csct cot t c
（ 2） 2( x cos x sin x ) c
x2 4
2
（ 3） 2(tan
arccos ) c
2
x
a2
x
(4) (arcsin
2
a
x a2
a2
x2)
c
x
(5)
c
1 x2
(6) 2x ln(1 2x) c
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1 (7) (arcsin x ln x
(3) ln x 1 ln( x 2 1) c 2
(4) ln x
1 ln x 1
1 ln( x2
1)
1 arctanx
c
2
4
2
1 x2 1
3
2x 1
(5) 2 ln x2 x 1
arctan 3
3
c
1、 设曲线 y
(B)
f ( x) ，由导数的几何意义： y
11 ， dx
ln x
c ，点 (e2 ,3) 代入即可。
１） (3 2x) 3dx
dx
２）
3 2 3x
３） sin t dt t
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dx
４）
x ln xln(ln x)
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５）
dx
cos x sin x
７） x cos(x2 ) dx
dx
６）
ex e x ８） 3 x3 dx
1 x4
９）
sin x
3
dx
cos x
10）
1 x dx
9 4x2
dx
x2 )
c
3
(完整版)不定积分例题及答案理工类吴赣昌(可编辑修改word版)
第 4 章不定积分知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！d ⎡⎰ ⎤ ⎡⎰ ⎤ 性质 1： f (x )dx = f (x ) 或 d f (x )dx = f (x )dx ；dx ⎣⎦⎣⎦性质 2： ⎰ F '(x )dx = F (x ) + C 或⎰ dF (x ) = F (x ) + C ； 性质 3：⎰[f (x ) ± g (x )]dx =⎰ f (x )dx ± ⎰ g (x )dx ，,为非零常数。
设 f (u ) 的 原函数为 F (u ) ， u =(x ) 可导，则有换元公式：⎰ f ((x ))'(x )dx = ⎰ f ((x ))d(x ) = F ((x )) + C设 x =(t ) 单调、可导且导数不为零， f [(t )]'(t ) 有原函数 F (t ) ，则⎰ f (x )dx = ⎰ f ((t ))'(t )dt = F (t ) + C = F (-1(x )) + Cx 2 xx 2x⎰ x1 ★(1)⎰思路: 被积函数1 = x- 5 2，由积分表中的公式（2）可解。
解 ：⎰dx= ⎰ x 1- 52 2dx = - 3 - 3 x 2+ C★(2) ⎰( -dx x思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
11-11- 1 3 41解： ⎰ ( 3 x - )dx = ⎰ (x 3 - x 2 )dx = ⎰ x 3dx - ⎰ x 2dx = x 3 - 2x 2 + C 4★(3) ⎰（2x+ x 2）dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
x2x22x1 3解： ⎰（2 + x ）dx = ⎰ 2 dx + x dx = + x + Cln 2 3★(4)⎰x (x - 3)dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
不定积分例题及答案
不定积分例题及答案求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)2xx思路: 被积函数522xx x-，由积分表中的公式（2）可解。
解：5322223x dx x Cxx--=-+⎰ ★(2)3(x dxx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()()24dx x x dx x dx x dx x x C x--=-=-=-+⎰⎰⎰⎰3x ★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)(3)x x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：315322222(3)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰x ★★(5)4223311x x dxx +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x Cx x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2思路:分项积分。
不定积分测验题及答案
不定积分测验题一、 选择题：1、 设)(,)(21x F x F 是区间I 内连续函数)(x f 的两个不同的原函数，且0)(≠x f ,则在区间I 内必有（ ）（A ） C x F x F =+)()(21；（B ） C x F x F =⋅)()(21；（C ） )()(21x CF x F =；（D ） C x F x F =-)()(21.2、若,)()('x f x F =则⎰)(x dF =（ ）（A ）)(x f ； （B ） )(x F ；（C ）C x f +)(； （D ） C x F +)(.3、)(x f 在某区间内具备了条件（ ）就可保证它的原函数一定存在（A ） 有极限存在；（B ） 连续；（C ）有界；（D ）有有限个间断点4、下列结论正确的是（ ）（A ） 初等函数必存在原函数；（B ） 每个不定积分都可以表示为初等函数；（C ） 初等函数的原函数必定是初等函数；（D ） C B A ,,都不对 .5、函数2)()(x x x f +=的一个原函数=)(x F ( ) (A)334x ; (B)234x x ; (C))(3222x x x +; (D))(322x x x + .6、已知一个函数的导数为x y 2='，21==y x 时且,这个函数是（ ）（A ）;2C x y +=（B ）;12+=x y （C ）C x y +=22; （D ）.1+=x y7、下列积分能用初等函数表出的是（ ）（A ）⎰-dx e x 2； （B ）⎰+31xdx ； （C ）⎰dx x ln 1； （D ）⎰dx xx ln . 8、⎰+=,)()(C x F dx x f 且,b at x +=则⎰=dt t f )(（ ）（A ）C x F +)(； （B ）C t F +)(;（C ）C b at F a ++)(1;（D ）C b at F ++)(.9、⎰=dx xx 2ln （ ） （A ）C xx x ++1ln 1; （B ）C xx x ++-1ln 1; （C ）C xx x +-1ln 1； （D ）C xx x +--1ln 1.10、⎰=+10)14(x dx （ ） （A ）C x ++9)14(191； （B ）C x ++9)14(1361； （C ）C x ++-9)14(1361； （D ）C x ++-11)14(1361.二、求下列不定积分：1、⎰dx xx 1cos 12; 2、⎰++522x x dx ; 3、⎰++++dx xx x 2215)1ln(; 4、⎰+)1(2x x e e dx ;测验题答案一、1、D ；2、D ；3、B ；4、D ；5、D ；6、B ；7、D ；8、B ；9、D ； 10、C.二、1、C x+-1sin ； 2、C x ++21arctan 21； 3、C x x ++++322]5)1[ln(32； 4、C e e x x +---)arctan(；。
高等数学100题不定积分及答案
c
∫ 46、 exdx = ex + c
∫ 47、 e2xdx =
1 2
e2x
+
c
∫ 48、 xexdx = xex − ex + c
∫ 49、 x2exdx = x2ex − 2( x −1)ex + c
∫ 50、 axdx = ax + c
ln a
∫ 51、 axexdx = axex + c
ln(ae)
c
∫ 98、 cos x − sin xdx = ln | sin x + cos x | +c sin x + cos x
∫ 99、 sin x + 2 cos x dx = 3sin x + 4 cos x
11 25
x
+
2 25
ln
|
3sin
x
+
4
cos
x
|
+c
∫ 100、
dx
=
1 5
ln
|
csc( x
−
x 2
1−
x2
+
1 2
arcsin
x
+
c
∫ 24、
x3 dx = 1− x2
1 3
(1 −
x
2
)
3 2
− (1−
x
2
)
1 2
+c
∫ 25、 ln xdx = x ln x − x + c
∫ 26、 ln x dx =
x
1 2
ln 2
x
+
c
不定积分练习题及答案(可打印修改)
2
2
2
2
22) ln 1 e2x ex c 23) x cot x ln sin x x ln csc x cot x c sin x
24) 1 (x 1)96 3 (x 1)97 3 (x 1)98 1 (x 1)99 c 25)e2x tan x c
96
97
98
9
26) arctan x 1 (arctan x)2 1 ln x2 c
1 arcsin
x c
2
(B) arcsin x c
(D) arcsin(2x 1) c
(C) 2arcsin(2x 1) c
16、若f在(x上) 的[某a,b原] 函数为零，则在上必有__[a_,_b]
( A) f (x)的原函数恒等于零；的(B不) f定(x积) 分恒等于零；
(C) f (x)恒等于零；不(D恒) f等(x于) 零, 但导函数恒为零。f '(x)
f
1 (x)
dx
__________;
9、、 f '(ln x) 1 x, f (x) ________;
10、、、、、、、f、、(、x) (a,b)
(a,b) f (x) ______;
( A)、、、、、、、、、、、、、、、、、 (B)
(C)
(D)
11、、、 xf (x)dx x sin x sin xdx, f (x) ______;
arctan x
(26)
dx
x2 (1 x2 )
arctan ex
(27)
dx
e2x
(28)设f求(s：in2 x) x , sin x
x f (x)dx 1 x
(29)已知f的(x一) 个原函数为求：ln2 x, xf '(x)dx
(整理)4不定积分习题与答案.
学习资料收集于网络，仅供参考1 1)1、求下列不定积分 1) dx 3) (x _2)2dx 5) 7)第四章不定积分xx23-52 ,dx3x (2ex 3)dx x2、求下列不定积分（第一换元法） 1)(3 _2x)3dx 3 5 7)xcos(x 2)dx9)sin x cos xdx11)2x2-113) sin 2xcos3xdx15)—X102arccosx17)—x3、求下列不定积分（第二换元法）dxx d x 2(A)2)4)6)8)dx2「 X2dx1 xcos2xJ 2 i2dx cos xsin x2)dx32 -3x4)dxx In xln(In x)6)8)dx x . x e e10) . ------------ 2dx 丁9 —4x 2 12)cos 3 xdx14) tan 3 xsecxdx16)3cos 2x 4sin218)册喻'dx *x(1+x)■2) sin - xdx-dx x学习资料收集于网络，仅供参考2x4)------------- dx, (a 0)、a - x4、求下列不定积分(分部积分法) 1) xSnxdx 2) arcs in xdx3)x 2 In xdx 4)_2x .x , e sin dx25) x 2 arcta nxdx 6) x 2cosxdx7)In 2xdx8)2 2xx cos dx25、求下列不定积分(有理函数积分)3,dx3)x(x 2 1)(B)1、一曲线通过点(e 2,3),且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,线的方程。
132、 已知一个函数F (x)的导函数为 ----------- ，且当X = 1时函数值为，试求此函数。
U1—X 223、证明：若f (x)dx 二 F (x) • c ，贝U1f (ax b)dx F (ax b) c,(a = 0)。
asin x4、 设f (x)的一个原函数为 ，求xf (x)dx 。
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不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax６）⎰+xdx2 1７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。
3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。
4、设)(x f 的一个原函数为x xsin ，求⎰'dxx f x )(。
5、求下列不定积分１）dx x ⎰2cos 2 ２）dx x ⎰-2sin 1３）⎰+dxx x211arctan４）dxx xx⎰+-11５）⎰++))((2222b x a x dx ６）dxx a xx ⎰-27）⎰+dxxxx ln 1ln 8）⎰+dxx xe x232arctan )1(（Ｃ）求以下积分１）⎰-dxe xe x x 12)⎰+xx dxsin 2)2sin(３）dx e e x x⎰2arctan ４）dx x x ⎰+4351 ５）dx x x x ⎰+-185 ６）dx x x xx ⎰+cos sin cos sin５、（１）用倍角公式：2cos 12cos 2xx +=（２）注意0sin cos ≥-x x 或0sin cos <-x x 两种情况。
（３）利用)cot (11,cot 1arctan 2x arc d dx x x arc x -=+=。
（４）先分子有理化，在分开作三角代换。
（５）化为部分分式之和后积分。
（６）可令t a x 2sin 2=。
（７）可令,sin )(2t a b a x -=-则t a b x b 2cos )(-=-。
（８）令t x =+ln 1。
（９）分部积分后移项，整理。
（１０）凑xearctan 后分部积分，再移项，整理。
（１１）令t x=2tan。
（１２）变形为⎰-⋅--4)2(23x x x dx后，令t x x =--23，再由2211t x =--，两端微分得tdt dx x 2)2(12=-。
（Ｃ）1） 解：令1-=xe u ，则du u udx u x 2212),1ln(+=+=所以原式du u u u u du u ⎰⎰+-+=+=222214)1ln(2)1ln(2c u u u u ++-+=arctan 44)1ln(22c e e e x x x x +-+---=1arctan 414122）解：方法一：原式⎰⎰⎰==+=2cos 2tan )2(tan 412cos 2sin )2(41)cos 1(sin 223x x xd x x x d x x dx c x x x d x x++=+=⎰2tan ln 412tan 81)2(tan 2tan 2tan 14122方法二：令t x=2tan方法三：变形为⎰+-)cos 1)(cos 1(2sin 2x x xdx，然后令u x =cos再化成部分分式积分。
3）解：原式)(arctan 212⎰--=xx e d e])1()(arctan [21222⎰+--=-xx x xx e e e d e e （令u e x =）])1(arctan [21222⎰+--=-u u du e e x x]1arctan [21222⎰⎰++--=-u duu du e e x x []ce e e e x x x x +++-=--arctan arctan 2124）解：原式)](11)(11[31)(131********433x d x x d x x x d x x ⎰⎰⎰+-++=+=)]1()1()1()1([3134133433++-++=⎰⎰-x d x x d xc x x ++-+=433473)1(94)1(2145）解：原式⎰⎰-++=+-=----2)()(2122222443x x x x d dx x x x x ，令22-+=x x u cu u u du ++-=-=⎰22ln 2412212cx x x x ++++-=1212ln24124246）解：原式dxx x x x ⎰+-+=cos sin 11cos sin 221dx x x dx x x x x ⎰⎰+-++=cos sin 121cos sin )cos (sin 212⎰++--=)4sin()4(221)cos (sin 21ππx x d x x ⎰+-++-=)4(cos 1)4cos(221)cos (sin 212ππx x d x x)4cos(])4cos(11)4cos(11[241)cos (sin 21πππ+++++-+-=⎰x d x x x x cx x x x ++-+++-=)4cos(1)4cos(1ln 241)cos (sin 21ππ。