广西南宁市第三中学2019-2020学年高三期末大联考文科数学试题
广西南宁三中2019-2020学年下学期高二期末考试(普通班)文科数学试题(PDF版,无答案)
D. f (cos A) f (cos B)
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．若 t u ，则 t u________．
x y 0
14．已知实数 x, y 满足约束条件 x y 2 0 ，则 z x y 1 的最大值为________．
x 2 y 0
A. (1,1)
B． (1,0)
C． (0,1)
D. (, 1) (1, )
5．已知向量 a =（m，2），b =（ 3 ，1），若向量 a 在向量 b 方向上的投影为－2，则向量 a 与向量 b 的夹角是( )
A．30°
B．60°
6.下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若 x 1 ，则 x2 1 ”的否命题
)
A．1
B．2
C．3
D．4
12. 定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (x 2) f (x) ，且在区间[3,2]上是增函数，若 A, B 是锐角三角形的两
个内角，则（ ）
A. f (sin A) f (cos B)
B. f (sin A) f (cos B)C.Βιβλιοθήκη f (sin A) f (sin B)
3
15.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒 若一名行人来到该路口遇到红灯，则至 少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为________. 16．已知函数 f (x) ln(ex ax a) 的值域为 R ，其中 a 0 ，则 a 的最大值为________.
4
21．如图，椭圆 C： x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 经过点 P(1, 3) ，离心率 e 2
广西南宁三中2019-2020学年下学期高二期末考试(重点班)文科数学试题
广西南宁三中2019-2020学年下学期高二期末考试（重点班)文科数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 已知集合，集合，则（）A．B．C．D．2. 设为虚数单位，复数满足，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：“我没有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4. 已知函数，，则下列说法不正确的是（）A．最大值为B．最小值为C．函数在区间上单调递增D．是它的极大值点5. 函数的值域是（）C．D．A．B．6. 以下四个命题：①若为假命题，则p，q均为假命题；②对于命题则Øp为：；③是函数在区间上为增函数的充分不必要条件；④为偶函数的充要条件是其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47. 已知函数（其中p，q为常数）满足，则的值为（）A．10 B．C．D．8. 已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（）A．B．C．D．9. 已知函数.若过点存在3条直线与曲线相切，则的取值范围为( )A．B．C．D．10. 定义在上的奇函数满足，并且当时，，则（）A．B．C．D．11. 已知函数满足，且时，，则当时，与的图象的交点个数为( )A．13 B．12 C．11 D．1012. 已知函数，与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．二、填空题13. 计算:___________.14. 函数的单调减区间为_______ ．15. 若曲线在点处的切线平行于轴，则．16. 已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值集合是________．三、解答题17. 如图，中，，，是边上一点.（1）若，，求；（2）若，求面积的最大值.18. 如图，三棱柱中，D是的中点.（1）证明：平面；（2）若是边长为2的正三角形，且，，平面平面，求三棱锥的体积.19. 近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积（单位：亩） 1 2 3 4 5管理时间（单位：月）8 10 13 25 24并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示: 愿意参与管理不愿意参与管理男性村民150 50女性村民50（1）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望．参考公式：0.100 0.050 0.025 0.010 0.0012.7063.841 5.024 6.635 10.828参考数据：20. 已知椭圆：的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若不经过点的直线：与椭圆交于两点，且与圆相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.21. 已知函数，．（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点为曲线上的动点，点在线段的延长线上且满足点的轨迹为. （1）求曲线的极坐标方程；（2）设点的极坐标为，求面积的最小值.23. 设函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）对任意，恒有，求实数的取值范围．。
广西南宁市第三中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 含解析
南宁三中2019-2020下学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.1.设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ）A. {0,1,2}B. {1,1,2}-C. {1,0,2}-D. {1,0,1}- 【答案】B【解析】【分析】先化简集合A,再求U C A .【详解】由21x < 得： 11x -<< ，所以{}0A = ，因此{}1,1,2U A =- ，故答案为B【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.2.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成方式为（ ）A. 上面为圆台，下面为圆柱B. 上面为圆台，下面为棱柱C. 上面为棱台，下面为棱柱D. 上面为棱台，下面为圆柱【答案】A【解析】【分析】 观察三视图判断上面和下面几何体的形状即可.【详解】结合图形分析知上面为圆台，下面为圆柱.故选：A.【点睛】本题考查利用三视图判断几何体的形状，考查学生的空间想象能力，是基础题． 3.下面说法正确的是（ ）.A. 经过定点()00,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示B. 不经过原点的直线都可以用方程1x y a b+=表示 C. 经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示D. 经过任意两个不同的点()()1122,,,P x y Q x y 的直线都可以用方程()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示【答案】D【解析】【分析】根据点斜式、截距式、斜截式法、两点式方程特征逐一分析判断.【详解】经过定点()00,P x y 且斜率存在的直线才可用方程()00y y k x x -=-表示，所以A 错；不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程1x y a b+=表示，所以B 错； 经过定点(0,)A b 且斜率存在的直线才可用方程y kx b =+表示，所以C 错；当12x x ≠时，经过点()()1122,,,P x y Q x y 的直线可以用方程()211121y y y y x x x x --=--，即()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，当12x x =时，经过点()()1122,,,P x y Q x y 的直线可以用方程1x x =，即()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，因此经过任意两个不同的点()()1122,,,P x y Q x y 的直线都可以用方程()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，所以D 对；故选：D【点睛】本题考查直线几种方程的辨析，考查基本分析判断能力，属基础题.4.角θ的顶点在坐标原点，始边在x 轴正半轴上，且终边过点(3,4)P -，则tan θ=（ ）A. 43B. 43-C. 34D. 34- 【答案】B 【解析】【分析】由题意结合任意角的三角函数值的定义运算即可得解.【详解】由题意可得44tan 33y x θ===--. 故选：B.【点睛】本题考查了任意角三角函数值的定义，考查了运算求解能力，属于基础题. 5.在数列{}n a 中，112a =，111n n a a -=-（2n ≥，n ∈+N ），则2020a =（ ） A. 12B. 1C. 1-D. 2 【答案】A 【解析】【分析】通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案. 【详解】解：2111121a a =-=-=-，3211112a a =-=+=，431111122a a =-=-=， 可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列， 202036731112a a a ⨯+∴===. 故选：A.【点睛】本题考查数列的周期性，关键是通过递推式求出前几项观察出周期，是基础题. 6.2m ax b =+，2n bx a =+，且m n >，a b >，则（ ） A. x a b >+B. x a b <+C. x a b >-D. x a b <-【答案】A【解析】。
广西南宁市第三中学2019届高三10月月考数学(文)试卷(含答案)
南宁三中2018～2019学年度上学期高三月考（三）文科数学试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2B ．{}1,3,5C ．{}4,6D ．{}4,6,7,82．已知复数21i z i=+(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列各式中的值为12的是（ ） A ．22sin 151-oB ．22cos 15sin 15-o oC ．2sin15cos15o oD ．22sin 15cos 15+o o4. 与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是( )A ．若a ∉M ，则b ∉MB ．若b ∉M ，则a ∈MC ．若b ∈M ，则a ∉MD ．若a ∉M ，则b ∈M5．某公司的班车分别在8:00，8:30时刻发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过15分钟的概率是（ ）A ．13B ．38C ．23D ．586．函数()()sin f x x ωϕ=+ (0,2πωϕ><)的图像如图所示，为了得到sin y x ω=的图像，只需把()y f x =的图像上所有点（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度A U7．下列函数中，其图像与函数x y ln =的图像关于)0,2(对称的是（ ）A ．)2ln(x y --=B ．)2ln(x y +-=C ．)4ln(x y +-=D ．)4ln(x y --=8．直线3y kx =+与圆22(2)(2)4x y -+-=相交于M,N两点，若MN ≥k 的取值范围是( )A.4[,0]3-B. 4(,][0,)3-∞-+∞UC.[D.2[,0]3-9．函数2()(1)sin f x x x =-的图象大致是（ ）AB C D10．设F 为抛物线x y 82=的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0u u u r u u u r u u u r，则FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r（ ）A ．18B ．12C ．8D ．611．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2)cos (2cos cos )a b C c B A -=-，则角A 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛30π，B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛30π，C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛60π，D ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．已知A ，B ，C ，D 是球面上不共面的四点，AB=BC=AD=2,BD=AC=22, BC ⊥AD,则此球的表面积为（ ）A.π3B.π6C.π12D.π34二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年12月广西壮族自治区南宁市第三中学高2020届高2017级高二12月月考文科数学试题及参考答案解析
2019～2020学年广西壮族自治区南宁市第三中学高二12月月考数学(文)试题一、单选题 1.已知集合,,则( )A.B.C.D.【试题参考答案】C 【试题解析】依题意得：,所以,故,故选C.2.若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2,则a 等于( )A.23 C.32D.1【试题参考答案】D【试题解析】由222231323x y c a b e a a 可知虚轴，而离心率+-=====,解得a=1或a=3,参照选项知而应选D.3.若实数x ,y 满足2211y x y x y x ≥-⎧⎪≥-+⎨⎪≤+⎩,则3z x y =-的最大值是A.2-B.1-C.5D.3【试题参考答案】C【试题解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点()3,4处取得最大值为5.4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.1B.13C.12D.14【试题参考答案】B【试题解析】首先由三视图得到几何体为四棱锥,根据图中数据明确底面和高,即可求得该几何体的体积.由已知三视图得到几何体是四棱锥,底面是两边分别为2的平行四边形,高为1,如图所示：∴该几何体的体积为111211323V =⨯⨯⨯⨯= 故选B.本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键,不但要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响,对简单组合体三视图问题,先看俯视图确定底面的形状,根据正视图和侧视图,确定组合体的形状.5.“x a >”是“x a >”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【试题参考答案】B【试题解析】将两个条件相互推导,根据能否推导的情况选出正确选项.当“x a >”时,如1,1x a ==-,x a =,故不能推出“x a >” .当“x a >”时,必然有“x a >”.故“x a >”是“x a >”的必要不充分条件.本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查含有绝对值的不等式,属于基础题. 6.已知22log 3a =,4logb π=,30.6c =则a ,b ,c 的大小关系为() A.b c a >> B.c b a >>C.b a c >>D.c a b >>【试题参考答案】B【试题解析】采用“0,1”分段法,找到小于0、在0~1之间和大于1的数,由此判断出三者因为010.6c >=,401log 4b <<=,0a <,所以c b a >>.故选B.本题考查指数与对数值的大小比较,考查运算求解能力,属于基础题.7.某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目,若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除5人,剩下的810人再按系统抽样的方法抽取,则每人入选的概率( ) A.不全相等 B.均不相等C.都相等,且为6163D.都相等,且为127【试题参考答案】C【试题解析】抽样要保证机会均等,由此得出正确选项.抽样要保证机会均等,故从815名学生中抽取30名,概率为306815163=,故选C.本小题主要考查简单随机抽样、系统抽样等抽样方法的概念,属于基础题.8.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)- g(x)在x ∈[a,b]上有两个不同的解,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x 2-3x+4与g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则m 的取值范围为( ). A.9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦B.[]1,0-C.(],2-∞-D.9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【试题参考答案】A 【试题解析】∵2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”∴函数2()()()54y h x f x g x x x m ==-=-+-在[0,3]上有两个不同零点∴(0)40(3)20525()4024h m h m h m ⎧⎪=-≥⎪=--≥⎨⎪⎪=-+-<⎩,解得924m -<≤-.9.已知数列{}n a 满足11a =,*12()n n n a a n N +⋅=∈,n S 是数列{}n a 的前n 项和,则( ) A.201820182a =B.10092018323S =⋅- C.数列21{}n a -是等差数列 D.数列{}n a 是等比数列【试题参考答案】B【试题解析】分析：由11a =,()*12n n n a a n N +⋅=∈可知数列{}n a 隔项成等比,再结合等比的有关性质即可作出判断.详解：数列{}n a 满足11a =,()*12n n n a a n N +⋅=∈, 当n 2≥时,112n n n a a --⋅=两式作商可得：112n n a a +-=, ∴数列{}n a 的奇数项135a a a L ，，，,成等比, 偶数项246a a a L ，，，,成等比, 对于A 来说,20181100810092201822222aa -=⨯=⨯=,错误；对于B 来说,()()2018132017242018S a a a a a a L L =+++++++()()1009100910091122123231212⨯-⨯-=+=⋅---,正确；对于C 来说,数列{}21n a -是等比数列 ,错误； 对于D 来说,数列{}n a 不是等比数列,错误, 故选：B：本题考查了由递推关系求通项,常用方法有：累加法,累乘法,构造等比数列法,取倒数法,取对数法等等,本题考查的是隔项成等比数列的方法,注意偶数项的首项与原数列首项的关系.10.已知 12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且| PF 2 |>| PF 1 |,椭圆的离心率为1e ,双曲线的离心率为2e ,112||||PF F F =,则2133e e +的最小值为( ) A.4B.6C. D.8【试题解析】由题意可得112||||2PF F F c ==,再设椭圆和双曲线得方程,再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得2133e e +的表达式,化简后再用均值不等式即可求解.由题意得：112||||2PF F F c ==,设椭圆方程为221122111(0)x y a b a b +=>>,双曲线方程为222222221(0,0)x y a b a b -=>>,又∵121212||||2,||||2PF PF a PF PF a +=-=. ∴2122||+22,||22PF c a PF c a =-=,∴122a a c -=,则22112122393333e a a a c c e a c ca ++=+= 2222229(2)3633c a a c a c ca c a ++==++2236683a c c a =++≥=,当且仅当2233a c c a =,即23e =时等号成立.则2133e e +的最小值为8. 故答案为：8.考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率,其中将2133e e +化为22911(18)18)833a c c a ++≥=为解题关键,注意取等号. 11.设棱锥M ABCD -的底面是正方形,且,MA MD MA AB =⊥,AMD △的面积为1,则能够放入这个棱锥的最大球的半径为A.21-C.12-D.1【试题解析】设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球,然后找出球心所在的三角形,设AD EF a ==,求出内切圆半径然后利用基本不等式即可求出最大值.解：AB AD ⊥Q ,AB MA ⊥,AB ∴⊥平面MAD ,由此,面MAD ⊥面ABCD . 记E 是AD 的中点,从而ME AD ⊥.ME ∴⊥平面ABCD ,ME EF ⊥.设球O 是与平面MAD 、平面ABCD 、平面MBC 都相切的球. 不妨设O ∈平面MEF ,于是O 是MEF V 的内心. 设球O 的半径为r ,则2MEFS r EF EM MF=++V设AD EF a ==,1AMD S =V Q所以2ME a ∴=,222MF a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以222122222r a a a a =≤=-+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭.当且仅当2a a=,即2a =时,等号成立. ∴当2AD ME ==时,满足条件的最大半径为21-.涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空间问题化归为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系,属于中档题.12.定义在上的函数对任意都有,且函数的图象关于成中心对称,若满足不等式,则当时,的取值范围是( )A.B.C.D.【试题解析】试题分析：由已知条件知函数为奇函数且在上为减函数,由有,所以,,若以为横坐标,为纵坐标,建立平面直角坐标系,如图所示,阴影部分为不等式表示的平面区域,即及其内部,,令,则,求出,所以,解得,∴的取值范围是,选D.【考点】1.函数的基本性质；2.线性规划.【方法】本题主要考查了函数的性质:单调性和奇偶性,以及线性规划的相关知识,属于中档题.利用已知条件得出函数是上的减函数,由函数的图象关于成中心对称,根据图象的平移,得出的图象关于原点成中心对称,所以为奇函数,解不等式,得出,画出不等式组表示的平面区域,,则,通过图形求关于的一次函数的斜率得出的范围,从而求出的范围.二、填空题13.已知x,y满足方程(x﹣2)2+y2＝1,则yx的最大值为__________3【试题解析】求出圆的圆心坐标,圆的半径,利用圆心到直线的距离等于半径求出k的值即可.设y k x =,即kx ﹣y ＝0,要求x ,y 满足方程(x ﹣2)2+y 2＝1,yx的最大值, 就是求圆的圆心到直线的距离等于半径,即：2211k k=+,解得k 3=±,所求y x 的最大值为：3.故答案为3.本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,考查了表达式yx的几何意义,考查计算能力. 14.若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为__★__【试题参考答案】【试题解析】根据椭圆的标准方程及焦点在轴上,可得k 的不等式组,解不等式组即可得k 的取值范围。
广西南宁三中2019-2020学年高二下学期期末考试(普通班)文科数学试题 Word版含解析
广西南宁三中2021届高二下学期期末考试卷文科数学一、选择题1. 设集合{}22,,A x x =，若1A ∈,则x 的值为 （ ）A. 1-B. ±1C. 1D. 0【答案】A 【解析】2111A x orx ∈∴== ，若211x x =⇒= ，不满足集合元素的互异性，故21x =， 1.x =- 故结果选A.2. 设i 为虚数单位，复数z =41i-，则|z －i|=（ ）A.B.C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】先对复数进行化简，求出z i -的值，再利用复数z a bi =+的模长计算公式z =算可得答案.【详解】解：z =41i-=4(1)(1)(1)i i i ++-=2(1+i )，所以|z －i |=|2＋i 故选：D .【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数模的求解，考查学生的计算能力，属于基础题. 3. 设a ，b 都是不等于1的正数，则“log 0a b <”是“()()110a b --<”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】分析：先判断p ⇒q 与q ⇒p 的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．然后判断“log a b ＜0”⇒“（a-1）（b-1）＜0”与“（a-1）（b-1）＜0”⇒“log a b ＜0”的真假即可得到答案．详解：由前提条件log a b 有意义， 则a >0，a ≠1，b >0则若log a b <0，则“(a −1)(b −1)<0 若“(a −1)(b −1)<0”，则“log a b <0” 故“log a b ”是“(a −1)(b −1)<0”的充要条件 故选：C点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．4. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且是增函数，若()11f =，则不等式()1f x <的解集为（ ） A. ()1,1-B. ()1,0-C. ()0,1D.(,1)(1,)-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】由不等式()1f x <得()11f x -<<，利用()11f =，()()111f f -=-=-转化，然后利用单调性即可求解.【详解】由不等式()1f x <得()11f x -<<，()f x 是奇函数，∴()()111f f -=-=-， ()(1)(1)f f x f ∴-<<，()f x 在R 上是增函数，11x ∴-<<，∴不等式()1f x <的解集为()1,1-.故答案为：A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解题的关键是转化对应的函数值. 5. 已知向量(),2(31),,a m b ==，若向量a 在向量b 方向上的投影为2-，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合向量数量积的定义可求m ，然后根据向量夹角公式即可求解．【详解】解：由数量积的定义知向量a 在向量b 方向上的投影为3||cos ,2||a b m a a b b ⋅+⋅〈〉===-，所以m =-，所以621cos ,422||||a b a b a b ⋅-+〈〉===-⨯，所以夹角,120a b ︒〈〉=.故选：C.【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义及性质的简单应用，属于基础题． 6. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 命题“若1x >，则21x >”的否命题 B. 命题“x R ∀∈，2230x x ++≥”的否定 C. 命题“若11x>，则1x >”的逆否命题 D. 命题“若x y >，则x y >”的逆命题【答案】D 【解析】 【分析】根据四种命题真假性之间的关系，以及四种命题的概念，命题否定的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，命题“若1x >，则21x >”的否命题是：“若1x ≤，则21x ≤”，因为21-<，但()2221->，故“若1x ≤，则21x ≤”为假命题；B 选项，因为()2223120x x x ++=++>，x R ∀∈恒成立，所以命题“x R ∀∈，2230x x ++≥”为真命题，其否为假命题；C 选项，若11x >，则01x <<；所以命题“若11x>，则1x >”是假命题，其逆否命题也是假命题；D 选项，命题“若x y >，则x y >”的逆命题为：“若x y >，则x y >”，显然是真命题； 故选：D.【点睛】本题主要考查四种命题真假的判定，以及命题否定的判定，属于基础题型. 7. 函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数在()f x '在(),a b 的图象如图所示，则函数()f x 在(),a b 内极值点有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C 【解析】【详解】分析：根据极值的定义，观察图象知导数值变化的个数，即为极值点的个数． 详解：∵函数极值点满足导数为0，且左右两侧导数一正一负，观察导函数图象，可得，满足条件的点为c ，d ，e ，f 共4个 故选C点睛：本题主要是通过导函数的图象研究函数的极值问题．如果是导函数，则需要看导数值的正负变化，如果是原函数，则看的是函数的单调性的变化．8. 己知函数()1,0,0x x f x x e x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，若函数()()F x f x kx =-有且仅有2个零点，则实数k 的值为（ ） A. e B. 1-C. e -D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先画出函数()1,0,0x x f x x e x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩的大致图像，由题意，得到函数()f x 与直线y kx =的图像有且仅有两个交点，结合图像，得到直线y kx =与()()0xf x e x =≥相切，与曲线()()10f x x x=<相交，根据导数的几何意义，即可求出结果. 【详解】画出函数()1,0,0x x f x x e x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩的大致图像如下，因为函数()()F x f x kx =-有且仅有2个零点， 所以方程()f x kx =有两不等实根，即函数()f x 与直线y kx =的图像有且仅有两个交点， 由图像可得，只需直线y kx =与()()0xf x e x =≥相切，与曲线()()10f x x x=<相交， 设直线y kx =与()()0xf x ex =≥相切于点()00,P x y ，因为()xf x e '=，所以()00x f x e '=，因此曲线()()0xf x ex =≥在点()00,P x y 处的切线方程为：()000-=-xx y e e x x ，即()0001xxy e x x e =+-， 因为y kx =即为该切线方程，所以()00001xx k e x e⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得01x k e =⎧⎨=⎩. 故选：A.【点睛】本题主要考查由函数零点个数求参数，考查导数的几何意义，属于常考题型.9. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，实轴的两个端点分别为1A 、2A ，虚轴的两个端点分别为1B 、2B .以坐标原点O 为圆心，12||B B 为直径的圆()O b a >与双曲线交于点M （位于第二象限），若过点M 作圆的切线恰过左焦点1F ，则双曲线的离心率是（ ） A.3 B. 2C.6D.7【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，利用勾股定理得出1MF a =，利用双曲线的定义得出23MF a =，计算出1cos MFO ∠，然后在12MF F △中，利用余弦定理可得出关于a 、c 的齐次等式，进而可求得该双曲线的离心率的值.【详解】由题意作出草图，如下：1F M 与圆O 切于M ，1F M OM ∴⊥，且1OF c =，OM b =，故2211MF OF OMa =-=.由双曲线的定义知2123MF MF a a =+=.在1Rt F MO 中，1cos aMFO c∠=， 在12MF F △中，由余弦定理，得()()2221223cos 22a c a a MF F a cc+-∠==⨯⨯，即22412c a =，故离心率3e =故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，同时也考查了利用双曲线的定义处理焦点三角形的问题，涉及了余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 10. 锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且2sin 2tan C a b B b-=，则ba 的取值范围为（ ） A. 1(,)2+∞ B. ()0,2C. 1(,2)2D. (0,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】先将原等式变形为2sin 2tan tan b C a B b B =-，再结合同角三角函数的商数关系和正弦定理，将角化为边，可得2cos 2c B a b =-；由余弦定理可推出3C π=，23A B π+=；结合锐角ABC ∆，可解得(6A π∈，)2π，从而有1tan A∈，而2sin()sin 3sin sin A b B a A Aπ-==，根据正弦的两角差公式展开化简后即可得解． 【详解】2sin 2tan C a bB b -=，2sin 2tan tan bC a B b B ∴=-， sin tan cos BB B=，2sin cos 2sin sin b C B a B b B ∴=-，由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==， 22cos 2bc B ab b ∴=-，即2cos 2c B a b =-，由余弦定理知，2222cos 22a c b a bB ac c+--==，整理得222a b c ab +-=，2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===，(0,)C π∈，3C π∴=，23A B π+=． 锐角ABC ∆，A ∴、(0,)2B π∈，2(0,)32B A ππ∴=-∈，解得(6A π∈，)2π，tan )A ∴∈+∞，1tan A ∈，∴21sin()sin sin 3111322(,2)sin sin sin tan 22A A AbB aAA A A π-+====+∈． 故选：C ．【点睛】本题考查解三角形中的正弦定理和余弦定理的综合应用，还涉及正弦的两角差公式、同角三角函数的商数关系等，利用正弦定理将角化边是解题的突破口，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11. 已知函数2()sin cos cos =+f x x x x ，x ∈R ，则下列命题中：①()f x 的最小正周期是π，；②()f x 的单调增区问是3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；③()()1sin 22f x f x x π+-=+；④将()f x 的图象向右平移4π个单位可得函数2sin sin cos y x x x =+的图象；其中正确个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】先将()f x 化为1()sin 2242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用周期公式和正弦函数的图象和性质可判断①②④正确与否，利用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角变换公式可证③正确，从而可得正确的选项.【详解】111()sin 2(1cos2)22242f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为T π=，故①正确； 令222242k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，则3+88k x k ππππ-≤≤， 故单调增区间为3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，所以②正确；22()sin cos cos sin cos cos 2222f x f x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222sin cos sin cos 1sin2x x x x x =++=+.故③正确；将()f x 的图象向右平移4π个单位后，所得图象对应的解析式为：2sin cos cos 444y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即cos2+1111sin 24sin 2cos222222x x y x x ππ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭=-+=-+ ⎪⎝⎭ ()22112sin cos 12sin sin cos sin 22x x x x x x +=--+=+， 故④正确. 故选：D.【点睛】形如()22sinsin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()sin 2'f x A x B ωϕ'=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．与三角函数图象有关的平移中，注意利用“左加右减”（注意仅对x 作变换）来帮助记忆.12. 定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间[]3,2--上是增函数，若A ，B 是锐角三角形的两个内角，则（ ）A. ()()sin cos f A f B >B. ()()sin cos f A f B <C. ()()sin sin f A f B >D. ()()cos cos f A f B >【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先得到()f x 是周期为2的函数，再由函数单调性和奇偶性，得出()f x 在区间[]0,1上是减函数；根据三角形是锐角三角，得到022B A ππ<-<<，得出0sin sin 12B A π⎛⎫<-<< ⎪⎝⎭，从而可得出结果.【详解】因为偶函数()f x 满足()()2f x f x +=-，所以()()()2f x f x f x +=-=， 即函数()f x 是周期为2的函数，又()f x 在区间[]3,2--上是增函数，所以()f x 在区间[]1,0-上是增函数， 因为偶函数关于y 轴对称，所以()f x 在区间[]0,1上是减函数；又A ，B 是锐角三角形的两个内角， 所以20202A B A B πππ⎧+>⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即022B A ππ<-<<，因此0sin sin 12B A π⎛⎫<-<< ⎪⎝⎭， 即0cos sin 1B A <<<，所以()()sin cos f A f B <.故选：B.【点睛】本题主要考查由函数的基本性质比较大小，涉及正弦函数的单调性，属于常考题型.二、填空题13. 若4tan 3α=，则cos2=α___________. 【答案】725-【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式以及“1”的灵活变换，求得所给式子的值. 【详解】4tan 3α=， 222222161cos sin 1tan 9cos 216cos sin 1tan 19ααααααα---===+++ 725=-， 故答案为：725- 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，属于中档题.14. 已知实数x ，y 满足约束条件02020x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则13z x y =-+的最大值为___________. 【答案】1【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数13z x y =-+对应的直线进行平移并观察z 的变化，即可得到最大值． 【详解】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分，将目标函数13z x y =-+对应的直线进行平移并观察z 的变化， 通过观察发现，当直线经过42,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，z 取得最大值， max 4211333z ∴=-+=. 故答案为：1.【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．15. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为__________．【答案】58.【解析】分析：由题意结合几何关系计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合几何概型计算公式可知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率： 401525540408p -===. 点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．16. 已知函数()ln()x f x e ax a =+-的值域为R ，其中0a <，则a 的最大值为___________.【答案】﹣e 2【解析】【分析】设g （x ）＝x e ax a +-，由题意得g （x ）能取到一切的正实数，即存在x ，使得g （x ）≤0，原问题转化为g （x ）min ≤0，然后利用导数求出函数g （x ）的单调性，进而得最小值，列出关于a 的不等式即可得解．【详解】设g （x ）＝x e ax a +-，若f （x ）的值域为R ，则g （x ）能取到一切的正实数，即存在x ，使得g （x ）≤0，原问题转化为g （x ）min ≤0．令g '（x ）＝e x +a ＝0，0a <，解得x ＝ln （﹣a ），当x ＜ln （﹣a ）时，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减；当x ＞ln （﹣a ）时，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增．∴g （x ）min ＝g （ln （﹣a ））＝()()ln ln a e a a a -+--＝a [ln （﹣a ）﹣2]≤0， ∵a ＜0，∴ln （﹣a ）﹣2≥0，解得a ≤﹣e 2． ∴a 的最大值为﹣e 2．故答案为：﹣e 2．【点睛】本题考查对数函数的值域，还涉及利用导数研究函数的单调性与最值问题，构造新函数，将原问题转化为新函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 三、解答题17. 设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知33S =-，77S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设42n an b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）3n a n =-（2）(1)212n n n +-+ 【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a的公差为d，由条件建立方程组解出1a和d即可；（2）31422n nnb n n--=⋅+=+，利用等差等比数列的前n项和公式计算即可.【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为d，∵33S=-，77S=，∴11133232177672a da d⎧+⨯⨯=-⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩，解得121ad=-⎧⎨=⎩，∴2(1)13na n n=-+-⨯=-；（2）由（1）得31422n nnb n n--=⋅+=+，∴()01112222(123)nn nT b b b n-=++⋯+⋅=++⋯+++++⋯+12(1)(1)211222nnn n n n-++=+=-+-.【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.18. 2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为研究学生网上学习的情况，某校社团对男女各10名学生进行了网上在线学习的问卷调查，每名学生给出评分（满分100分），得到如图所示的茎叶图.（1）根据茎叶图判断男生组和女生组哪个组对网课的评价更高？并说明理由；（2）如图是按该20名学生的评分绘制的频率分布直方图，求a的值并估计这20名学生评分的平均值（同一组中的数据用该组区间中点值作为代表）；（3）求该20名学生评分的中位数m，并将评分超过m和不超过m的学生数填入下面的列联表：超过m不超过m男生女生根据列联表，能否有85%的把握认为男生和女生的评分有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()2P K k0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【答案】（1）男生对网课的评价更高，详见解析（2）0.045a=；平均值为74（3）中位数为74.5，填表见解析；没有【解析】【分析】（1）男生对网课的评价更高，可以根据中位数，平均值，不低于70分的人数得到答案.（2）根据比例关系得到0.045a =，再计算平均值得到答案.（3）计算中位数，完善列联表，计算20.8 2.072K =<，对比临界值表得到答案.【详解】（1）男生对网课的评价更高，理由如下：①由茎叶图可知，评价分数不低于70分的男生比女生多2人（或33.3%），因此男生对网课的评价更高.②由茎叶图可知，男生评分的中位数为77，女生评分的中位数为72，因此男生对网课的评价更高. ③由茎叶图可知，男生评分的平均分数为686970747778798386967810+++++++++=， 女生评分的平均分数为5558636471737576818670.210+++++++++=，因此男生对网课的评价更高.以上给出了3种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知这20名学生评分在[70,80)内的有9人，则9100.04520a =÷=， 这20名学生评分的平均值为： (550.01650.02750.045850.02950.005)1074⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（3）由茎叶图知该20名学生评分的中位数为747574.52m +==，222()20(3616)0.8 2.072()()()()10101010n ad bc K a b c d a c b d --===<++++⨯⨯⨯. 所以没有85%的把握认为男生和女生的评分有差异.【点睛】本题考查了茎叶图，根据茎叶图计算平均值，独立性检验，意在考查学生计算能力和综合应用能力.19. 图1是直角梯形ABCD ，//AB DC ，90D ∠=︒，2AB =，3DC =，3AD =，点E 在DC 上，2CE ED =，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且16AC =，如图2.()1证明：平面1BC E ⊥平面ABED ；()2求点B 到平面1AC D 的距离.【答案】()1证明见解析；()2477. 【解析】【分析】 ()1在图1中，连接AE ，由已知得四边形ABCE 为菱形，连接AC 交BE 于点F ，得CF BE ⊥，证明1C F AF ⊥，再由线面垂直的判定可得1C F ⊥平面ABED ，从而得到平面1BC E ⊥平面ABED ；()2取AD 的中点N ，连接FN ，1C N 和BD ，设B 到平面1AC D 的距离为h ，在三棱锥1C ABD ﹣中，利用11C ABDB ACD V V --=，求解点B 到平面1AC D 的距离. 【详解】解：()1证明：在图1中，连接AE ，由已知得2AE =，//CE BA ，且CE BA AE ==，∴四边形ABCE 为菱形，连接AC 交BE 于点F ，∴CF BE ⊥，在Rt ACD △中，()223323AC =+=∴3AF CF ==图2中，16AC =22211AF C F AC +=，∴1C F AF ⊥.由题意知，1C F BE ⊥，且AF BE F ⋂=，∴1C F ⊥平面ABED ，又1C F ⊂平面1BC E ，∴平面1BC E ⊥平面ABED ；()2如图，取AD 的中点N ，连接FN ，1C N 和BD ，设B 到平面1AC D 的距离为h ， 在直角梯形ABED 中，FN 为中位线，则FN AD ⊥，32FN =， 由()1得1C F ⊥平面ABED ，AD ⊂平面ABED ， ∴1C F AD ⊥，又1FN C F F ⋂=，得AD ⊥平面1C FN ，又1C N ⊂平面1C FN ，∴1C N AD ⊥，且2211921342C N FN C F =+=+=. 在三棱锥1C ABD ﹣中，11C ABDB ACD V V --=， 即1111113232AB AD C F AD C N h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， ∴112347212AB C F h C N ⨯⨯===. 即点B 到平面1AC D 的距离为477.【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，利用等体积法的思想，属于中档题.20. 已知函数()()ln 1,f x x x k x k R =-+∈（1）若1k =-，求()f x 的最值；（2）对于任意2[2,]x e ∈，都有()2f x x k >--成立，求整数k 的最大值.【答案】（1）最小值为1e-，没有最大值；（2）3. 【解析】【分析】 （1）当1k =-时，利用导数求得()f x 的最值.（2）利用分离常数法化简不等式()2f x x k >--，通过构造函数法，结合导数求得k 的范围，由此求得整数k 的最大值.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+.()'1ln f x x =+，令'0f x 解得1=x e ， 所以()f x 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()'0f x <，()f x 递减；在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()'0f x >，()f x 递增， 所以()f x 在1=x e 处取得极小值也即是最小值为1111ln f e ee e ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，无最大值. （2）依题意对于任意2[2,]x e ∈，都有()2f x x k >--成立，即对于任意2[2,]x e ∈，都有()ln 12x x k x x k -+>--， 即对于任意2[2,]x e ∈，都有ln 1x x x k x +<-成立. 令()2,[2,]ln 1x x x g x x x e ∈+=-，则 ()()()()()'221ln 11ln ln 211x x x x x x x x x g x x x ⎛⎫+⋅+--+ ⎪-+-⎝⎭==--. 令()2]ln 2,[2,h x x x e x =-∈+-， ()'111x h x x x-=-+=，所以当2[2,]x e ∈时()'0h x >，()h x 递增. ()2ln 222ln 20h =-+-=-<，()2222ln 240h e e e e =-+-=->，所以存在202,x e ⎡⎤∈⎣⎦，使得()00h x =，即00ln 20x x -+-=，即00ln 2x x =-①，()3ln332ln310h =-+-=-+<，()4ln 442ln 420h =-+-=-+>，所以()03,4x ∈.所以在区间()02,x 上，()0h x <，()'0g x <，()g x 递减， 在区间()20,x e 上，()0h x >，()'0g x >，()g x 递增， 所以()()0000min 0ln 1x x x g x g x x +==-，将①代入上式得 ()()()()20000000000min 0002ln 3,4111x x x x x x x x g x g x x x x x -++-=====∈---， 所以()()0min 3,4k g x x <=∈，所以整数k 的最大值为3.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式恒成立问题，属于难题.21. 如图，椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：经过点P （1.），离心率e=，直线l 的方程为x=4.（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k .问：是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在 【解析】2231911124Pa b+=（）由（，）在椭圆上得：① 222,3a cb c=∴=②②代入①得222221,4,3, 1.43x yc a b C===∴+=椭圆：考点：本题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的交点等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理能力，推理论证能力和计算能力.请考生在（22）、（23）两题中任选一题做答.注意：只能做所选定题目.如果多做，则按所做第一题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑.22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2515xyθθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若点P的极坐标为()1,π，过P的直线与曲线C交于A，B两点，求11PA PB+的最大值．【答案】（1）4cos2sinρθθ=-（2）2105【解析】【分析】（1）先将2515xyθθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩中的θ消去得普通方程，再利用cos sinx yρθρθ==，可得极坐标方程；（2）先求出AB 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，利用韦达定理及三角函数的性质可得11PA PB+的最大值. 【详解】解：（1）由21x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，得()()22215x y -++=， 即2242x y x y +=-，所以24cos 2sin ρρθρθ=-，即4cos 2sin ρθθ=-，故曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-.（2）因为P 的极坐标为()1,π，所以P 的直角坐标为()1,0-， 故可设AB 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）. 将1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入()()22215x y -++=，得()22sin 6cos 50t t αα+-+=， 设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则122sin 6cos t t αα+=-+，1250t t =>， 所以1112122sin 6cos 11115t t PA PB t t t t αα+-+=+===， 故11PA PB +. 【点睛】本题考查普通方程，参数方程，极坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数几何意义的应用，是中档题. 23. 已知函数()3f x x x a =-++．（1）当2a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()5f x x ≤-的解集包含[]1,3，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}14x x x ≤≥或（2）[]3,1a ∈--【解析】【分析】（1）利用分类讨论法，求得不等式的解集．（2）（2）原命题等价于35x x a x -++≤-在[]1,3上恒成立，即22x a x --≤≤-+在[]1,3上恒成立，由此求得a 的范围．【详解】解：（1）当2a =-时，()3f x ≥，323x x ∴-+-≥2523x x ≤⎧∴⎨-≥⎩或2313x <<⎧⎨≥⎩或3253x x ≥⎧⎨-≥⎩1x ∴≤或x ∈∅或4x ≥， 所以不等式的解集为{1x x ≤或4}x ≥．（2）()5f x x ≤-，35x x a x ∴-++≤-由于[]1,3x ∈，所以上式2x a ⇔+≤，所以22x a x --≤≤-+在区间[]1,3上恒成立，所以[]3,1a ∈--．【点睛】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。
2019-2020学年南宁三中重点班高二下学期期末数学试卷(文科)(含答案解析)
2019-2020学年南宁三中重点班高二下学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设全集U ={(x,y)|x ∈R ，y ∈R}，A ={(x,y)|(x −1)cosa +ysina =2}，则集合∁U A 对应的封闭图形面积是( )A. 2πB. 4πC. 6πD. 8π2.复数，则实数a 的值是( ) A.B.C.D. −3.观察等式由此得出以下推广命题不正确的是A.B.C.D.4.函数f(x)={2x 3+3x 2 x ≤0ax ex ,x >0在[−2,2]上的最大值为1，则实数a 的取值范围是( )A. [0,+∞)B. [0,e]C. (−∞,0]D. (−∞,e]5.已知函数y =f(n)，满足f(1)=8，且f(n +1)=f(n)+7，n ∈N +.则f(3)=( )A. 7B. 15C. 22D. 286.设函数f(x)的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意x ∈M(M ⊆D)，有x +l ∈D ，且f(x +l)≥f(x)，则称f(x)为M 上的l 高调函数．现给出下列命题：①函数f(x)=2−x 为R 上的1高调函数；②函数f(x)=sin2x 为R 上的π高调函数；③如果定义域为[−1,+∞)的函数f(x)=x 2为[−1,+∞)上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2,+∞)；④函数f(x)=lg(|x −2|+1)为[1,+∞)上的2高调函数．其中真命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 37.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,+∞)上单调递增，若实数a 满足f(lga)+f(lg 1a )≤2f(1)，则a 的取值范围是( )A. (−∞,10]B. [110,10]C. (0,10]D. [110,1]8.若曲线f(x)=ax 2−lnx 在点M(1,a)处的切线平行于x 轴，则a 的值为( )A. −2B. 2C. −12D. 129.点P 在曲线y =x 3−x +23上移动时，过点P 的切线的倾斜角的取值范围是( )A. [0,π)B. (0,π2)∪[3π4,π)C. [0,π2)∪(π2,3π4]D. [0,π2)∪[3π4,π)10. 若函数f(x)在R 上是单调递减的奇函数，则下列关系式成立的是( )A. f(3)<f(4)B. f(3)<−f(−4)C. −f(−3)<f(−4)D. f(−3)>f(−4)11. 已知函数f(x)={7x−32x+2,x ∈(12,1]−13x +16,x ∈[0,12]函数g(x)=asin(π6x)−2a +2(a >0)，若存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则实数a 的取值范围是( )A. [12,43]B. (0,12]C. [23,43]D. [12,1]12. 函数f(x)=sinx 在区间(0,2π)上可找到n 个不同数x 1，x 2，…，x n ，使得f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=⋯=f(x n )x n，则n 的最大值等于( )A. 1B. 2C. 4D. 6二、单空题（本大题共3小题，共15.0分） 13. 14、．14. 内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱的高为______ ．15. 已知函数f(x)=ax 3−x 2+1在(0,1)上有增区间，则a 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共8小题，共87.0分）16. 已知函数f(x)=x 3+ax +b 的图象关于坐标原点对称，且与x 轴相切． (1)求实数a ，b 的值．(2)是否存在正实数m ，n ，使函数g(x)=3−|f(x)|在区间[m,n]上的值域仍为[m,n]？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由．17. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(√3cosx,1),n ⃗ =(sinx,cos 2x −1)，函数f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +12， (1)若x ∈[0,π4],f(x)=√33，求cos2x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，且满足2bcosA ≤2c −√3a ，当B 取最大值时，a =1，△ABC 面积为√34，求a+csinA+sinC 的值．18. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =BC =AB =2，AA 1=3，D 点是AB 的中点(1)求证：BC 1//平面CA 1D . (2)求三棱锥B −A 1DC 的体积．19. 某校推行选修数学校本课程，每位同学可以从甲、乙两个科目中人选一个．已知某班第一小组和第二小组个六位同学的选课情况如下表：科目甲 科目乙 第一小组 1 5 第二小组24现从第一小组、第二小组中各选2人进行课程交流． (Ⅰ)求选出的4人均选修科目乙的概率；(Ⅱ)选出的4人中选修科目甲的人数记为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√22，且过点(√22,√32)． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线AB ，DE 分别交椭圆于A ，B ，D ，E ，且M ，N 分别为AB ，DE 的中点，若AB 的斜率为2，求△MNF 面积．21. 已知函数f(x)=e a−x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R ． (Ⅰ)求函数g(x)=xf(x)的单调区间；(Ⅱ)试确定函数ℎ(x)=f(x)+x 的零点个数，并说明理由．22. 已知曲线C ：{x =4cosθy =3sinθ(θ为参数)． (1)将C 的方程化为普通方程；(2)若点P(x,y)是曲线C 上的动点，求3x +4y 的取值范围．23. 设函数f(x)=|x −1|，g(x)=|x −2|． (Ⅰ)解不等式f(x)+g(x)<2；(Ⅱ)对于实数x ，y ，若f(x)≤1，g(y)≤1，求证|x −2y +3|≤3．【答案与解析】1.答案：B=2，解析：解：∵点(1,0)到直线(x−1)cosa+ysina=2的距离d=√cos2a+sin2a∴直线(x−1)cosa+ysina=2始终与圆(x−1)2+y2=4相切，∴集合A表示除圆(x−1)2+y2=4上以外所有的点组成的集合，∴对应的封闭图形面积为π×22=4π．故选：B．根据点(1,0)到直线(x−1)cosa+ysina=2的距离恒为2，判断集合A表示的平面区域，从而得集合∁U A对应的封闭图形，利用面积公式求解．本题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：试题分析：，选B．考点：复数．3.答案：A解析：试题分析：观察，照此规律，可以得到的一般结果应该是，sin2α+cos2(30°+α)+sinαcos(30°+α)右边的式子：故得出的推广命题为：sin2α+cos2(30°+α)+sinαcos(30°+α)=对照选项得：不正确的是A.故答案为A．考点：归纳推理点评：本题主要考查了归纳推理，解题的关键是发现两角之间的关系，同时考查了分析问题的能力，属于基础题4.答案：D解析：分别讨论x≤0，x>0时的情况，x≤0时，通过求导得到f(x)max=f(−1)=1，x>0时，讨论①a> 0时，②a≤0时a的范围，综合得出结论．本题考察了函数的单调性，导数的应用，求函数的最值问题，求参数的范围，是一道基础题．解：x≤0时，f′(x)=6x(x+1)，令f′(x)=0，解得：x=−1，x=0，∴f(x)在(−∞,−1)递增，在(−1,0)递减，∴f(x)max=f(−1)=1，x>0时，f′(x)=ae x(1−x)，e2x①a>0时，若f′(x)>0，则0<x<1，若f′(x)<0，则x>1，≤1，∴f(x)max=f(1)=ae解得：a≤e，②a≤0时，f(x)≤0，符合题意，综上：a≤e，故选D．5.答案：C解析：解：∵f(1)=8，且f(n+1)=f(n)+7，n∈N+，∴f(2)=f(1)+7=8+7=15，f(3)=15+7=22．故选：C．由题设条件，利用递推思想能求出f(3)．本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．6.答案：D解析：解：因为f(x)=2−x为R上的减函数，显然不满足对于任意x∈R，有x+l∈R，且f(x+l)≥f(x)，所以①错误；因为函数f(x)=sin2x的最小正周期为π，对于任意x∈R，有x+π∈R，且f(x+π)=f(x)，所以②正确；根据函数f(x)=x2在[−1,+∞)上图象，结合高调函数的定义可知，m≥2，因此实数m的取值范围是[2,+∞)，③正确；根据函数f(x)=|x−2|+1的图象关于直线x=2对称，从高调函数的定义出发，可知函数f(x)= lg(|x−2|+1)为[1,+∞)上的2高调函数，④正确；故选：D．从高调函数的定义出发，对每个命题进行分析、判断．本题考查新概念函数，需要从函数的定义进行分析、判断，属于中档题目．7.答案：B解析：解：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(lga)+f(lg1)≤2f(1)，等价为f(lga)+f(−lga)=2f(lga)≤2f(1)，a即f(lga)≤f(1)．∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+∞)单调递增，∴f(lga)≤f(1)等价为f(|lga|)≤f(1)．即|lga|≤1，∴−1≤lga≤1，≤a≤10，解得110故选：B．根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化即可得到结论．本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用．8.答案：D解析：解：∵f(x)=ax2−lnx，∴f′(x)=2ax−1，x则曲线f(x)=ax2−lnx在点M(1,a)处的切线的斜率k=f′(1)=2a−1=0，．解得：a=12故选：D．求出原函数的导函数，得到函数f(x)=ax2−lnx在点M(1,a)处的导数，由切线平行于x轴得到导数值等于0，由此列式求得a的值．本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线过某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．9.答案：D解析：解：设点P处切线的倾斜角为α，∵tanα=3x2−1，∴tanα∈[−1,+∞)．当tanα∈[0,+∞)时，α∈[0,π2)；当tanα∈[−1,0)时，α∈[3π4,π)．∴α∈[0,π2)∪[3π4，π)．故选D．根据导数的几何意义可知切线的斜率即为该点处的导数，再根据导数的取值范围求出斜率的范围，最后再根据斜率与倾斜角之间的关系k=tanα，求出α的范围即可．此题考查了利用导数研究曲线上某点切线的方程，直线倾斜角与斜率的关系，以及正切函数的图象与性质．要求学生掌握导函数在某点的函数值即为过这点切线方程的斜率，且直线的斜率为倾斜角的正切值，掌握正切函数的图象与性质．10.答案：C解析：解：∵函数f(x)在R上是单调递减的奇函数，∴f(3)>f(4)，故A错误，f(3)>f(4)=−f(−4)，故B错误，−f(−3)=f(3)<f(−4)，故C正确，f(−3)<f(−4)，故D错误，故选：C根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．11.答案：A解析：解：x∈[0,12]时，f(x)=−13x+16为单调减函数，∴f(x)∈[0,16]；x∈(12,1]时，f(x)=7x−32x+2=72−102x+2为单调增函数，∴f(x)∈(16,1]，∴函数f(x)的值域为[0,1]；函数g(x)=asin(π6x)−2a+2(a>0)，x∈[0,1]时，值域是[2−2a,2−3a2]∵存在x1、x2∈[0,1]使得f(x1)=g(x2)成立，∴[0,1]∩[2−2a,2−3a2]≠⌀若[0,1]∩[2−2a,2−3a2]=⌀，则2−2a>1或2−3a2<0，即a<12或a>43∴[0,1]∩[2−2a,2−3a2]≠⌀时，实数a的取值范围是[12,43]故选A根据x的范围确定函数f(x)的值域和g(x)的值域，进而根据f(x1)=g(x2)成立，推出值域的交集非空，先求当二者的交集为空集时，a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．本题主要考查了三角函数的最值，函数的值域问题，不等式的应用，解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．12.答案：B解析：解：设f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n=k，则条件等价为f(x)=kx在区间(0,2π)上的根的个数，作出函数f(x)和y=kx的图象，由图象可知y=kx与函数f(x)在区间(0,2π)上的交点个数最多为2，故选：B．设f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n=k，则条件等价为f(x)=kx在区间(0,2π)上的根的个数，作出函数f(x)和y=kx的图象，数形结合可得结论．本题主要考查函数交点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题．13.答案：3解析：本题考查了对数和指数幂的运算解：故原式=故答案为3．14.答案：2√3R3解析：解：设球内接圆柱的高为h，圆柱底面半径为r则ℎ2+(2r)2=(2R)2，得r2=R2−14ℎ2.(0<ℎ<2R)∴圆柱的体积为V(ℎ)=πr2ℎ=πℎ(R2−14ℎ2)=πR2ℎ−14πℎ3.(0<ℎ<2R)求导数，得V′(ℎ)=πR 2−34πℎ2=π(R +√3ℎ2)(R −√3ℎ2)∴0<ℎ<2√3R3时，V′(ℎ)>0；2√3R 3<ℎ<2R 时，V′(ℎ)<0由此可得：V(ℎ)在区间(0,2√3R 3)上是增函数；在区间(2√3R3,2R)上是减函数 ∴当ℎ=2√3R3时，V(ℎ)取得最大值． 故答案为：2√3R3． 设球内接圆柱的高为h ，圆柱底面半径为r ，得圆柱体积V 关于h 的函数表达式：V(ℎ)=πR 2ℎ−14πℎ3(0<ℎ<2R).利用求导数的方法，讨论函数V(ℎ)的单调性，可得当ℎ=2√3R 3时，V(ℎ)取得最大值，得到本题的答案．本题主要考查了球和圆柱的有关知识以及函数建模以及用导数这一工具求最值的方法，属于中档题．15.答案：(23,+∞)解析：解：函数f(x)=ax 3−x 2+1． 可得f′(x)=3ax 2−2x ．函数f(x)=ax 3−x 2+1在(0,1)上有增区间，可知导函数在(0,1)上有极值点， 导函数在(0,1)上有解，或a =0时，3ax 2−2x ≥0恒成立(显然不成立)． 可得23a ∈(0,1)，解得：a >23， 故答案为：(23 , +∞)．求出函数的导数，利用导函数在(0,1)上有极值点，导函数有零点，或导函数非负，求解a 的范围即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及单调区间的求法，考查计算能力．16.答案：解：(1)由f(x)的图象关于坐标原点对称，即有f(−x)=−f(x)可得b =0， 设曲线C 与x 轴切于T(t,0)，则{f(t)=0f′(t)=0⇒{t 3+at =03t 2+a =0⇒a =t =0⇒f(x)=x 3． (2)假设存在正实数m ，n 满足题意． 因g(x)=3−x 3在区间[m,n]上是减函数，故{g(m)=n g(n)=m ⇒{m 3+n =3n 3+m =3，两式相减可得m 2+mn +n 2=1⇒(m +n)2−mn =1， 由于mn <(m+n)24⇒(m +n)2−(m+n)24<1⇒m +n <√3．由0<m <n ，⇒m <3，n <3⇒m 3+n <33<3，与条件矛盾， 此时m ，n 不存在．解析：(1)利用已知条件，说明函数是奇函数，求出b 的值，利用函数与x 轴相切，求出a 的值即可； (2)假设存在正实数m ，n 满足题意，因g(x)=3−x 3在区间[m,n]上是减函数，利用{g(m)=n g(n)=m⇒{m 3+n =3n 3+m =3，两式相减，结合基本不等式，即可得到与条件矛盾，此时m ，n 不存在． 本题考查函数的导数与曲线的切线方程的求法，函数的零点，函数的值域的应用，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．17.答案：解：(1)向量m ⃗⃗⃗ =(√3cosx,1),n ⃗ =(sinx,cos 2x −1)，则：函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +12， =√3sinxcosx +cos 2x −1+12， =√32sin2x +12cos2x ，=sin(2x +π6)，由于：x ∈[0,π4],f(x)=√33，则：sin(2x +π6)=√33，由于：2x +π6∈[π6,2π3]，解得：cos(2x +π6)=√63， cos2x =cos[(2x +π6)−π6]，=cos(2x +π6)cos π6+sin(2x +π6)sin π6， =√22+√36， (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ， 且满足2bcosA ≤2c −√3a ， 整理得：2b ⋅b 2+c 2−a 22bc≤2c −√3a ，整理得：cosB=a2+c2−b22ac ≥√32，所以：0<B≤π6，当B=π6时，a=1，△ABC面积为√34，则：12acsinB=√34，解得：c=√3，利用余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB，解得：b=1所以：a+csinA+sinC =bsinB=2解析：(1)首先利用向量数量积的坐标运算把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用角的恒等变换求出结果．(2)利用余弦定理对关系式进行变换求出B的范围，再利用三角形的面积公式和正弦定理，求出结果．本题考查的知识点：向量数量积的坐标运算，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，角的恒等变换，余弦定理和正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题型．18.答案：证明：(1)连接A C1交AC于E点，连接DE，∵ABC−A1B1C1为直三棱柱，故AA 1C1C为矩形，∴E是AB的中点，又∵D点是AB的中点，∴DE//BC1，又DE在平面CA1D内，∴BC1//平面CA1D.(2)三棱锥B−A1DC的体积即为三棱锥A1−BDC的体积．由题易得三棱锥A1−BDC的高ℎ=A A1=3，又∵AB=BC=AC=2，D为AB的中点，∴三角形ABC的面积S=12×AB×CD×12=√32，∴三棱锥A1−BDC的体积V=13Sℎ=√32．解析：(1)连接A C1交AC于E点，连接DE，推导出E是AB的中点，从而DE//BC1，由此能证明BC1//平面CA1D.(2)三棱锥B −A 1DC 的体积即为三棱锥A 1−BDC 的体积．由此能求出三棱锥A 1−BDC 的体积． 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：(本小题满分13分)解：(Ⅰ)从第一小组、第二小组中各选2人进行课程交流，选出的4人均选修科目乙的概率P =C 52C 62×C 42C 62=415；(Ⅱ)X 可能的取值为0，1，2，3，P(X =0)=C 52C 42C 62C 62=415，P(X =1)=C 52C 21C 41+C 51C 42C 62C 62=2245，P(X =2)=C 51C 21C 41+C 52C 22C 62C 62=29，P(X =3)=C 51C 62C 62=145∴X 的分布列为：∴E(X)=0×415+1×2245+2×29+3×145=1．解析：(Ⅰ)直接利用古典概型的概率求解即可．(Ⅱ)判断X 可能的取值为0，1，2，3，求出概率，列出分布列，然后求解期望即可． 本题考查古典概型的概率的求法，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力． 20.答案：解：(1)由题意可得{e =ca =√2212a 2+14b 2=1，解得a 2=2，b 2=1， 所以椭圆的方程为x 22+y 2=1；(2)由题意知，直线的方程为y =2x −2，设点A(x 1,y 1)，B(x 1,y 2)， 直线AB 与椭圆C 联立，可得9x 2−16x +6=0， 根据韦达定理得：x 1+x 2=169，y 2+y 2=−49，M 为AB 的中点， 所以M(89,−29)，又F(1,0)，所以|MF|=√59，同理可得|NF|=√53，所以△MNF 面积S △MNF =12|MF|⋅|NF|=12×√59×√53=554．解析：本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式的应用，考查转化思想，属于中档题．(1)根据椭圆的离心率公式及待定系数法求得a 和b 的值，求得椭圆方程；(2)求得直线AB的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理求得M点坐标，求得|MF|，同理求得|NF|，即可求得△MNF面积．21.答案：解：(Ⅰ)∵g(x)=xe a−x，x∈R，∴g′(x)=(1−x)e a−x.令g′(x)=0，得x=1．当x变化时，g(x)和g′(x)的变化情况如下：故g(x)的单调递减区间为(1,+∞)；单调递增区间为(−∞,1).(Ⅱ)∵ℎ(x)=e a−x+x，∴ℎ′(x)=1−e a−x．令ℎ′(x)=0，得x=a．当x变化时，ℎ(x)和ℎ′(x)的变化情况如下：即ℎ(x)的单调递增区间为(a,+∞)；单调递减区间为(−∞,a).∴ℎ(x)的最小值为ℎ(a)=1+a．①当1+a>0，即a>−1时，函数ℎ(x)不存在零点．②当1+a=0，即a=−1时，函数ℎ(x)有一个零点．③当1+a<0，即a<−1时，ℎ(0)=e a>0，下证：ℎ(2a)>0．令m(x)=e x−2x，则m′(x)=e x−2．解m′(x)=e x−2=0得x=ln2．当x>ln2时，m′(x)>0，∴函数m(x)在[ln2,+∞)上是增函数．取x=−a>1>ln2，得：m(−a)=e−a+2a>e ln2−2ln2=2−2ln2>0．∴ℎ(2a)=e −a +2a =m(−a)>0． 结合函数ℎ(x)的单调性可知， 此时函数ℎ(x)有两个零点．综上，当a >−1时，函数ℎ(x)不存在零点； a =−1时，函数ℎ(x)有一个零点； 当a <−1时，函数ℎ(x)有两个零点．解析：(Ⅰ)由g(x)=xe a−x ，x ∈R ，得g′(x)=(1−x)e a−x ，令g′(x)=0，得x =1.从而求出函数的单调区间；(Ⅱ)由ℎ(x)=e a−x +x ，得ℎ′(x)=1−e a−x .令ℎ′(x)=0，得x =a.求出函数的单调区间，得到ℎ(x)的最小值为ℎ(a)=1+a.再通过讨论a 的范围，综合得出函数的零点个数．本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的最值问题，函数的零点的判断问题，渗透了分类讨论思想，是一道中档题．22.答案：解：(1)∵{x =4cosθy =3sinθ，∴{cosθ=x4sinθ=y 3，∴曲线C 的普通方程为x 216+y 29=1． (2)∵3x +4y =12cosθ+12sinθ=12√2sin(θ+π4).∴当sin(θ+π4)=1时，3x +4y 取得最大值12√2， 当sin(θ+π4)=−1时，3x +4y 取得最小值−12√2． ∴3x +4y 的取值范围是[−12√2,12√2].解析：(1)根据参数得平方和等于1消去参数得到普通方程；(2)把参数方程代入3x +4y 得到关于θ的三角函数，根据三角函数的性质求出最值． 本题考查了参数方程与普通方程的转化，参数方程的应用，属于基础题． 23.答案：解：(1)令y =|x −1|+|x −2|，则y ={3−2x , x ≤11 , 1<x <22x −3 , x ≥2，作出函数y =|x −1|+|x −2|的图象，它与直线y =2的交点为(12,2)和(52,2)． 所以f(x)+g(x)<2的解集为(12,52).------------(5分)(Ⅱ)因为|x −2y +3|=|(x −1)−2(y −2)|≤|x −1|+2|y −2|=f(x)+2g(y)≤3， 所以|x −2y +3|≤3成立．--------(10分)解析：(1)令y=|x−1|+|x−2|，则y={3−2x , x≤11 , 1<x<22x−3 , x≥2，作出函数y=|x−1|+|x−2|的图象，它与直线y=2的交点为(12,2)和(52,2)，由此得到不等式的解集．(Ⅱ)因为|x−2y+3|=|(x−1)−2(y−2)|≤|x−1|+2|y−2|=f(x)+2g(y)，再根据f(x)≤1，g(y)≤1证得结论．本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的性质应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．。
广西南宁市第三中学2020届高三9月月考数学(文)试题
南宁三中2020届高三（考试二）数学（文科）命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合.）1. 已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =（ ）A ．{0,1}B ．{0,1,2}C ．{1,0,1}-D ．{1,0,1,2}-2.是虚数单位，则复数212i ii ++等于（ ） A ．1 B ．-1 C ． D ． 3. 已知，则“1>a ”是“11<a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．下列函数中，与函数31x y =定义域相同的函数为（ ）A ．x y 1= B ．x x y ln =C ．x xe y =D ．x x y sin = 5．已知2.12=a ，8.021-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，2log 25=c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a 6．经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1:3:6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中中年人数为12人，则n=（ ）A ．30B ．40C ．60D ．807. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35,13783==+S a a ，则8a ＝（ ）A ．8B ．9C ．10D ．118. 函数 的图象大致为（ ）x x x y sin cos +=9．在平面区域⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x内随机取一点，则所取的点恰好满足x y +≤ ） A ．161 B ．81 C ．41 D ．21 10．下面有5个命题中，真命题的编号是（ ）①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π．②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈． ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有3个公共点． ④把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象． ⑤函数sin()2y x π=-在[0,]π上是减函数．A ．①④B ．①③④C ．③④D ．②③⑤11．设12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使1||||OP OF =（O 为坐标原点），且12|||PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A．12 B1-C．12 D ．1 12．已知函数，函数 满足 ，若函 数 恰有 个零点，则所有这些零点之和为（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．在等比数列{}n a 中，0>n a ，且110323927log log a a a a ⋅=+，_____________. 14．若向量,a b 的夹角为3π，且2,1a b ==，则a 与2a b +的夹角为_____________. 15．已知函数41,(,1)()2log ,(1,)xx f x x x ⎧⎛⎫∈-∞⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪∈+∞⎩，则()1>x f 的解集为_____________.()()R x x x x f ∈+=sin 3()()()x g x f x h --=1()x g ()()()R x x g x g ∈=-+02202116．已知四面体P －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为________．三．解答题：（共70分。
2019-2020学年广西南宁市第三中学高二10月月考数学(文)试题
南宁三中2019~2020学年度上学期高二月考（二）文科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合．）1．现要完成下列3项抽样调查：①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格；②某中学共有480名教职工，其中一线教师360名，行政人员48名，后勤人员72名.为了解教职工对学校校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本；③某中学报告厅有28排，每排有35个座位，一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请28名听众进行座谈.较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样2．现有60瓶矿泉水，编号从1至60．若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽的编号可能为()A．3，13，23，33，43，53 B．2，14，26，38，42，56C．5，8，31，36，48，54 D．5，10，15，20，25，303．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．已知a ，b ，c 是两两不同的三条直线，下列说法正确的是( ) A ．若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面 B ．若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交 C ．若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等D ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c5．若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A ．7B ．172 C ．14 D ．176．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A ．100B ．150C ．200D ．2507．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝18．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．89．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为( )A ．1169B ．677C ．36D ．36710．过点(3,1)作圆(x -2)2+(y -2)2=4的弦，则最短弦的长为（ ）A ．2B C ．D ．411．已知点A ,B ,C ,D 均在球O 上，3AB BC AC ===，若三棱锥D -ABC 体积的最大值为，则球O 的体积为( ) A ．32π B ．16π C ．π316 D ．π33212．曲线y ＝1与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( ) A ．(512，34] B ．(13，34] C ．(0，512) D ．(512，＋∞) 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm ．（第13题）14．总体由编号为01，02，03，...，49，50的50个个体组成，利用随机数表（如上图，选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为________ 15．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．16．已知圆O ：x 2＋y 2＝9及点C (2，1)，过点C 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ的面积最大时，直线l 的方程为________．14题）三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）(1)求经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．(2)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，求圆C 的面积．18．（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H．(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形．19．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cosC)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n．(1)求角B的大小；(2)若b＝3，求a＋c的范围．20．（12分）如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于,A B 的一点，矩形ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面，且22AB AD ==． (1)求证：EA EC ⊥；(2)设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F ，1EF =，求E 到平面ADF 的距离.21．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且S 3＋S 5＝50，a 1，a 4，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设24(1)(1)n n n b a a +=--，求数列{b n }的前n 项和T n ．22．（12分）已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．高二月考（二）文科数学试题参考答案1．B ①总体数量较少，抽取样本数量较少，采用简单随机抽样；②不同岗位员工差异明显，且会影响到统计结果，因此采用分层抽样；③总体数量较多，且排数与抽取样本个数相同，因此采用系统抽样.2．A 根据系统抽样原则，可知所抽取编号应成公差为10的等差数列，B 选项编号公差为12；C 选项编号不成等差；D 选项编号公差为5；A 选项编号满足公差为10的等差数列，正确 3．B 直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°．4．C 若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 相交、平行或异面；若a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交、平行或异面；若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ，c 相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C 正确．5．B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172．6．A 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y＋1)2＝1．7．A 由题意，抽样比为703 500＝150，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n ＝5 000×150＝100． 8．B 初始值S ＝4，n ＝1．循环第一次：S ＝8，n ＝2；循环第二次：S ＝2，n ＝3；循环第三次：S ＝4，n ＝4，满足n>3，输出S ＝4．9．D 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4．所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367．10．C 设A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r=2，当弦过点A 且与CA 垂直时为最短弦，||CA ==11．D 如图，设是的外心，则三棱锥体积最大时，平面，球心在上．∵，∴，即，∴． 又，∴，．∵平面，∴，设球半径为，则由，得，解得，∴球体积为．12．A 据题意画出图形，如图，直线l 过A(2,4)，B(－2，－1)，又曲线y ＝1图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d ＝r ＝2，2=，解得k ＝512；当直线l 过B 点时，直线l 的斜率为()4122---＝34，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为(512，34] 13．24 底部周长在[80，90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90，100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24． 14．43 根据题意，从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次是08,02,14,07,4315．(x －2)2＋(y －1)2＝5 由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5．16．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标分别为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝25．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠12，则圆心到直线PQ 的距离为d ＝|1－2k |k 2＋1，且|PQ |＝29－d 2，则S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝（9－d 2）d 2≤⎝⎛⎭⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92．因为25<92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时，由4k2－4k＋1k2＋1＝92，解得k＝－7或k＝－1，则直线l的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0．17．(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0，0)和(4，1)，∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0．若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a ＝1，∵l 过点(4，1)，∴4a ＋1a ＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0．综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0．(2)圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2． 又由|AB |＝23，得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π．18．(1)解 由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，又BD ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23． (2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH ．同理，EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥平面BDC ，BC ⊂平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ，∴四边形EFGH 是矩形．19．(1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ，∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0，∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0．即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A ．∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12．∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3．(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2， 当且仅当a ＝c 时取等号．∴(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2．又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2]．即a ＋c 的取值范围是(3，2]．20．(1)证明：因为矩形ABCD ⊥平面ABE ，CB ⊂平面ABCD 且CB AB ⊥，所以CB ⊥平面ABE ，从而AE BC ⊥，①又因为在半圆ABE 中，AB 为直径，所以90AEB ∠=︒，即AE BE ⊥，②由①②知AE ⊥平面BCE ，故有EA EC ⊥．(2)因为AB //CD ，所以AB //平面DCE ．又因为平面DCE ⋂平面ABE EF =， 所以AB //EF ，在等腰梯形ABEF 中，1EF =，1AF =，120AFE ∠=︒，所以1sin1202AEF S EF AF ∆=⨯⨯⨯︒=1122ADF S AF AD =⨯= 设所求距离为d ，则E ADF D AEF V V --=，即1133ADF AEF S A d S D ∆∆⨯=⨯⨯⨯，即11112343d ⨯=⨯⨯⨯，得2d = 21．(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3×22d ＋5a 1＋4×52d ＝50，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1． (2)41111()2(24)(2)22n b n n n n n n ===-⨯+++，则111111111111111323(1)()()...()(1)2322423522221242(1)(2)n n T n n n n n n +=-+-+-++-=+--=-+++++22．(1)设圆心C (a ，0)⎝⎛⎭⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4．(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1），得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1． 若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。
2019年12月三省三校(贵阳一中、云师大附中、南宁三中)2020届高三12月联考数学(文)试卷及答案
………………………………………………………………………………………（3分）
的单调递增区间为 的单调递减区间为 ．
………………………………………………………………………………………（4分）
（2） ，
令 其中 ．……………………………………（5分）
令 ，
，……………………………………………………（6分）
2019年12月三省三校2020届高三12月联考
数学（文）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
C
D
B
C
B
D
C
D
B
B
【解析】1．依题有Fra bibliotek受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有2300*0.7 1610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C．
12．设点 ， ，由三角函数的定义得 将直线 的方程与圆的方程联立 得 ，由韦达定理得 所以
因此，当 是常数时， 是常数，故选B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
5
【解析】
13．由 ，得 ，即 ，故 ，则向量 与 的夹角为 ．
14．由 的表达式知， 为等差数列，设公差为d，则 成等比数列，故 ，即 ，解得 或 ，若 ，与 矛盾，故 ．
法一： ，
．……………………………………………………………………………（6分）
法二：
．………………………………………………（6分）
【KS5U解析】广西南宁市第三中学2020届高三上学期期末考试大联考文科数学试题 Word版含解析
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 中元素的个数为（ ）
A.2B.3C.4D.5
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合 ，根据交集的定义，即可求解.
【详解】因为 ，
，
所以 ，所以 中元素的个数为3.
直线l与双曲线左、右支均相交，
所以 .
故选:C.
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，数形结合是解题的关键，属于中档题.
11.在如图所示的平面四边形ABCD中， ， ， ， ，则 的最小值为（）
A. 4B.8C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
在 中由三角函数求出 ，在 中由余弦定理得 ，再由基本不等式可得 即可求出 的最小值.
执行第四次循环： ， ，满足条件；
执行第五次循环： ， ，满足条件，
退出循环，所以输出S的值为-12.
故选:D.
【点睛】本题考查循环结构的运算，属于基础题.
10.设F是双曲线 的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
A. 83.5；83B. 84；84.5C. 85；84D. 84.5；84.5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据茎叶图，即可求出 小区“空巢老人”年龄的平均数和B小区“空巢老人”年龄的中位数.
【详解】解：A小区“空巢老人”年龄的平均数为 ，
B小区“空巢老人”年龄的中位数为 .
故选：
【点睛】本题考查茎叶图数据的处理，涉及到平均数和中位数，考查运算能力，属于基础题.
广西壮族自治区南宁市第三职业高级中学2019-2020学年高三数学文期末试卷含解析
广西壮族自治区南宁市第三职业高级中学2019-2020学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知三角形所在平面与矩形所在平面互相垂直，，，若点都在同一球面上，则此球的表面积等于A. B.. C. D.参考答案：C2. 函数是定义在上的可导函数，导函数记为,当且时，，若曲线在处的切线斜率为，则()A．B．C．D．1参考答案：A3. 下列命题的说法错误的是 ( )A．若复合命题为假命题，则都是假命题．B．“”是“”的充分不必要条件．C．对于命题则．D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”．参考答案：A【知识点】全称命题；复合命题的真假．A2解析：若为假命题，则至少有一个为假命题．故选A．【思路点拨】本题考查的是全称命题、复合命题的真假问题、充要条件等．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想．值得同学们体会反思．4. 已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为f′(x)，当x∈(－∞，0]时，恒有xf′(x)<f(－x)，令F(x)＝xf(x)，则满足F(3)>F(2x－1)的实数x的取值范围是( C )A. B．(－2,1) C．(－1,2) D.参考答案：【知识点】函数的单调性与导数的关系；导数的运算．B11C 解析：由F(x)＝xf(x)，得F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝xf′(x)－f(－x)<0，所以F(x)在(－∞，0)上单调递减，又可证F(x)为偶函数，从而F(x)在[0，＋∞)上单调递增，故原不等式可化为－3<2x－1<3，解得－1<x<2.【思路点拨】根据函数的奇偶性和条件，判断函数F（x）的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可.5. 若是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线，；②存在一个平面，；③存在两条平行直线∥∥；④存在两条异面直线∥∥．那么可以是∥的充分条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个参考答案：C①可以；②也有可能相交，所以不正确；③也有可能相交，所以不正确；④根据异面直线的性质可知④可以，所以可以是∥的充分条件有2个，选C.6. 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用，结合与，由平面向量数量积的运算法则可得结果.【详解】由，可得，如图，连接，则，所以，，故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算及平面向量的数量积,属于中档题.数量积的运算主要注意两点：一是向量的平方等于向量模的平方；二是平面向量数量积公式.7. 已知i是虚数单位，复数=( )A．i B．i C．i D．i参考答案：D考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的除法运算法则化简，求解即可．解答：解：复数===i．故选：D．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．8. 若，则（）A． B． C． D．参考答案：B9. 若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，且C=60°，则的值为（A）（B）1 （C）（D）参考答案：C由得，又，解得，选C.10. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是A.平行B.相交C.异面但不垂直D. 异面且垂直参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知i为虚数单位，那么（1+2i）2等于．参考答案：﹣3+4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的乘法运算化简（1+2i）2即可．【解答】解：（1+2i）2=1+4i+4i2=﹣3+4i，故答案为：﹣3+4i．12. 已知三点A（1,2），B（3，5），C（5,6），则三角形ABC的面积为参考答案：2则【考点】三角形面积，向量的模长、夹角13. 若f(x)=在区间（－2，＋）上是增函数，则a的取值范围是 .参考答案：略14. 已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b?1,且a?(0,3)，则对于任意的b?R,函数F(x)=f(x)?x总有两个不同的零点的概率是__________.参考答案：略15. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB=3，BC =4，AA1=5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．参考答案：50π是直三棱柱，，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，是球的直径，；，，；故该球的表面积为16. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则这它们面积的比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体（各棱长均相等的四面体）的棱长的比为1：2，则他们的体积的比为________________参考答案：1:817. 设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ＞c+1)= P(ξ＞c-1),则c= ____ _.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广西省2020届高三期末大联考文科数学试卷
2020届高三期末大联考文数试卷本试卷共4页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效.5. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合21|4A x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}|23,B x x x Z =-≤<∈，则A B I 中元素的个数为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 52. 已知复数z 满足1z i i ⋅=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 随着人口老龄化的不断加快，我国出现了一个特殊的群体一一“空巢老人”.这些老人或经济困难，或心理寂寞，亟需来自社会的关心关爱.为此，社区志愿者开展了“暖巢行动”，其中A ，B 两个小区“空巢老人“的年龄如图所示，则A 小区“空巢老人”年龄的平均数和B 小区“空巢老人”年龄的中位数分别是（ ）A. 83.5；83B. 84；84.5C. 85；84D. 84.5；84.54. 已知ln 2a =，ln b π=，125ln 24c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. b c a <<B. c a b <<C. a b c <<D. a c b <<5. 民间有一种五巧板拼图游戏，这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2）.若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ）A.518B.13C.718D.496.4sincos 3615tan4πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=（ ）A.34B.C. 34-D. 14-7. 已知函数()y f x =的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A. 21cos 1xx -+ B. 21sin 1x x ++ C.2sin 1x x + D. 2sin 1x xx ⋅+ 8. 已知向量()1,2a =r ，()2,1b =-r ，(),c x y =r，若()a b c +⊥r r r，则b r 在c r 上的投影为（ ）A.B.C.D. 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A. -2B. -6C. -8D. -1210. 设F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 作斜率为-3的直线l 与双曲线左、右支均相交，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A. (B. (C.)+∞D.)+∞11. 在如图所示的平面四边形ABCD 中，4AB =，30CAB ∠=︒，AC CB ⊥，120ADC ∠=︒，则22DA DC +的最小值为（ ）A. 4B. 8C.D. 12. 已知函数2cos 12cos ()1sin cos f x x x θθθθ+=-+++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若存在()0,1x ∈，使不等式()0f x <成立，则θ的取值范围为（ ）A. 0,12π⎛⎫⎪⎝⎭B. 5,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C. 50,,12122πππ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭U D. 5,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 已知函数()2ln f x x x =+，则曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线在y 轴上的截距为______.14. 已知椭圆C ：221(0)9x y a a +=>的右焦点为F ，点M 在C 上，点N 为线段MF 的中点，点O 为坐标原点，若24MF ON ==，则C 的离心率为______.15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424a =，696a =，且90a >，则满足不等式93n S >成立的最小正整数n 为______.16. 在平面直角坐标系xOy 中，圆221x y +=与x 轴，y 轴的正方向分别交于点A ，B ，点P 为劣弧AB上一动点，且OQ OA OP =+u u u r u u u r u u u r，当四边形OAQP 的面积最大时，OQ u u u r 的值为______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在数列{}n a 中，有()2*1232n a a a a n n n N +++⋅⋅⋅+=+∈. （1）证明：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式； （2）记11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.它是中国政府坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开放市场的重要举措，有利于促进世界各国加强经贸交流合作，促进全球贸易和世界经济增长，推动开放世界经济发展.某机构为了解人们对“进博会”的关注度是否与性别有关，随机抽取了100名不同性别的人员（男、女各50名）进行问卷调查，并得到如下22⨯列联表：（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关；（2）若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况，再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因，求这2人中至少有一名女性的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.参考数据：19. 在如图所示的三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，12AB AA a ==.（1）若AB BC ⊥，证明：1BC AB ⊥；（2）若底面ABC 为正三角形，求点1B 到平面1A BC 的距离.20. 在平面直角坐标系xOy 中，点(),M x y 1y =+.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）作曲线C 关于x 轴对称的曲线，记为'C ，在曲线C 上任取一点()00,P x y ，过点P 作曲线C 的切线l ，若切线l 与曲线'C 交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作曲线'C 的切线1l ，2l ，证明：1l ，2l 的交点必在曲线C 上.21. 已知函数()2ln 1f x x mx =++，m R ∈.（1）当2m =-时，求函数()f x 的单调区间及极值； （2）讨论函数()f x 的零点个数.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为35cos 45sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）过点()2,0P ，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11PM PN +的值. 23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数()42f x x ax =+--. （1）当2a =时，解不等式()3f x x ≥； （2）当12x ≥时，不等式()24f x x ≥-成立，求实数a 的取值范围.1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。
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广西南宁市第三中学2019-2020学年高三期末大联
考文科数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，则中元素的
个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
2. 已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3. 随着人口老龄化的不断加快，我国出现了一个特殊的群体——“空巢老人”.这些老人或经济困难，或心理寂寞，亟需来自社会的关心关爱。
为此，社区志愿者开展了“暖巢行动”，其中A，B两个小区“空巢老人”的年龄如图所示，则A小区“空巢老人”年龄的平均数和B小区“空巢老人”年龄的中位数分别是（）
A．83.5；83 B．84；84.5 C．85；84 D．84.5；84.5
4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．
5. 民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，
它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则
该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）
A．B．C．D．
6. （）
A．B．C．D．
7. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为
（）
A．B．C．D．
8. 已知向量，，，若，则在上的投影为（）
A．B．C．D．
9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）
A．-2 B．-6 C．-8 D．-12
10. 设F是双曲线的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．
11. 在如图所示的平面四边形ABCD中，，，，
，则的最小值为（）
A．4 B．8 C．D．
12. 已知函数，，若存在
，使不等式成立，则的取值范围为（）
A．B．
C．D．
二、填空题
13. 已知函数，则曲线在点处的切线在y轴上的截距为________.
14. 已知椭圆的右焦点为F，点M在C上，点N为线段MF 的中点，点O为坐标原点，若，则C的离心率为________.
15. 已知等比数列的前n项和为，，，且，则满足不等式成立的最小正整数n为________.
16. 在平面直角坐标系xOy中，圆与x轴，y轴的正方向分别交于点A，B，点P为劣弧AB上一动点，且，当四边形OAQP的面积最大时，的值为___________.
三、解答题
17. 在数列中，有.
（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；
（2）记，求数列的前n项和.
18. 第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.它是中国政府坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开放市场的重要举措，有利于促进世界各国加强经贸交流合作，促进全球贸易和世界经济增长，推动开放世界经济发展.某机构为了解人们对“进博会”的关注度是否与性别有关，随机抽取了100名不同性别的人员（男、女各50名）进行问卷调
男性女性合计
关注度极
35 14 49
高
关注度一
15 36 51
般
合计50 50 100
（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关；
（2）若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况，再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因，求这2人中至少有一名女性的概率.
附：.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19. 在如图所示的三棱柱中，底面ABC，.
（1）若，证明：；
（2）若底面ABC为正三角形，求点到平面的距离.
20. 在平面直角坐标系中,点满足方程. （1）求点的轨迹的方程；
（2）作曲线关于轴对称的曲线,记为,在曲线上任取一点,过点作曲线的切线,若切线与曲线交于,两点,过点,分别作曲线的切线,,证明：,的交点必在曲线上.
21. 已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间及极值；
（2）讨论函数的零点个数.
22. 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C的极坐标方程；
（2）过点，倾斜角为的直线l与曲线C相交于M，N两点，求
的值.
23. 已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，不等式成立，求实数a的取值范围.。