高二数学线面距离和面面距离的求法

D E A B
C
13
例1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、 N分别是线段BB1、B1C1的中点，求直线MN到平 面ACD1的距离。
D1 一、转化为点面距离 二、利用法向量法求 点到面的距离 A1 B1
M
C1
N
3 d 2
D A B
C
二.两个平行平面的距离
⑴和两个平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线。公 垂线夹在平行平面之间的部分，叫做这两个平面的公垂线段。 ⑵两个平行平面的公垂 线段都相等。 ⑶两个平行平面的公垂 线段的长度，叫做两个 平行平面的距离。
例3 如图所示, 已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形, ∠BAD=120°, PA⊥面ABCD, 点E是棱PC的中点, 且AB=PA=a, 求点E到面PAB P 的距离。 解：连结AC、BD交于O，连结OE，作 OM⊥AB于M； .E A D 易证：OE∥AP，从而得OE∥面APB， M ∴点E到面PAB的距离等于点O到面PAB O 的距离， 又易证：OM⊥面PAB， B A C ∴点O到面PAB的距离就是OM的长， M 即点E到面PAB的距离等于OM。 在菱形ABCD中，AB=a，∠BAC=60°， C 3 3 a a ∴OA=0.5a，OM= ∴点 E 到面 PAB 的距离等于 4 4
2.直线到与它平行平面的距离
一条直线上任一点到与它平行 的平面的距离，叫做这条直线到平 面的距离。

l
l∥ α
求线面距离
此点为线上的 一任意(特殊)点
求点面距离
D A' B' C'
练 如图，已知在长方体ABCD －A’B’C’D’中，棱AA’=5， AB=12，则直线B’C’到平面 60 。 A’BCD’的距离

A B

A
B
体现了最短，垂直。
求面面距离
求点面距离 此点为面上的一 任意(特殊)点。
例2 若正方体AC1的各棱长均为1，则面 D1 3 。 AB1C与面DA1C1之间的距离是
3
B1
D1
C1
D
B
A1
D A
B1

A
C
C B

B
D
练习: 已知面α∥面β, 线段AB、CD夹在α、β之间, AB=13, CD=5 5, 且它们在β内的射影之差为2，则α和β之间的距离 是 5 。
B O D
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技 ①求点面距离困难时，可利用线面平行，将其转化为另一点到 巧 此面的距离；②利用面面垂直，作交线的垂线，得线面垂直。
小结
方法总结：（空间距离转化为点面距离） 解题步骤： 1、找出或直接(间接)作出线面垂直；
2、证明其符合定义； 3、归结为几何计算或解三角形。
技巧
①求点面距离困难时，可利用线面平行，将其转化 为另一点到此面的距离； ②利用面面垂直，作交线的垂线，得线面垂直。 课本P55. 1~4
练习
作业 ①课本P56练6、习1及补充题。
②优化P56-57 随1，4，强7，8；做在书上。
3.(补充)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4， BC=3，CC1=2。 求证：(1)平面A1BC1∥平面ACD1。
(2)求（1）中两个平行平面间的距 离。
A1 D1 B1 C1
D
C
A
B
9.8.2空间距离的类型和求法 -----线线距离与线面距离
已学的空间距离的类型和求法 1.点到点的距离求法
2.点到直线的距离求法 3.两平行线间的距离求法
4.点到平面的距离求法
一、直线到与它平行平面的距离：
1.定义：
一条直线上的任一点到与它 平行的平面的距离叫做这条直线 到平面的距离。
体现了最短，垂直。