§2.5等比数列的前n项和(2)学案

【学习目标】1．熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题．
2．能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题．
【学法指导】1．解决与等比数列前n 项和有关问题的关键在于“基本量”以及方程思想方法的灵活
运用．
2．运用等比数列前n 项和解题时要注意“整体思想”方法的灵活运用．
3．利用等比数列的知识解决实际问题，需要从实际问题中抽象出等比数列模型，明确
首项a 1，公比q ，以及项数n 的实际含义，切忌含糊不清．
一．知识导学 1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ,当公比q ≠1时,S n ＝ ＝ ；当q ＝1时，S n ＝ .
2．等比数列前n 项和的性质：
(1)连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )，仍构成 数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数)
(2)S m ＋n ＝S m ＋q m S n (q 为数列{a n }的公比)．
3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6
等于( ) A ．2 B ．73 C ．83
D ．3 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且a ≠1的常数)，则数列{a n }( )
A ．一定是等差数列
B ．一定是等比数列
C ．或者是等差数列，或者是等比数列
D ．既非等差数列，也非等比数列
二．探究与发现
【问题情境】一件家用电器，现价20 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每月为一期，一个
月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期
付款多少元？要解决上述问题，需要了了解复利的计算方法，这正是这一节的主要内
容之一．
【探究点一】等比数列前n 项和S n 与函数的关系
探究 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．
当q ＝1时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图象是正比例函数y ＝a 1x 图象上一些孤立的点．
当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 11－q (1－q n )＝a 1q －1(q n －1)．设A ＝a 1q －1
，则上式可以写为S n ＝A (q n －1)．由此可见，q ≠1时，由等比数列前n 项和S n 构成的点列(1，S 1)，(2，S 2)，(3，S 3)，…，(n ，S n )位于函数y ＝A (q x －1)的图象上．
问题1 若{a n }是等比数列，它的前n 项和为S n ＝3n ＋t ，则t ＝_____.
2015-2016学年高一年级
数学导学案
11
班级 姓名 学号 编写： §2.5等比数列的前n 项和（2）
问题2 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －
1＋t ，则t ＝______.
【探究点二】等比数列前n 项和的性质
问题1 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，求证：S m ＋n ＝S m ＋q m S n .
问题2 在等比数列{a n }中，若连续m 项的和不等于0，则它们仍组成等比数列．即S m ，S 2m －S m ，
S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列．请你证明上述结论．
【探究点三】分期付款问题
问题 在分期付款问题中，贷款a 元，分m 个月付清，月利率为r ，每月还x 元，想一想，每月付款
金额x 元应如何计算？
下面给出了两种推导方法，请你补充完整：
方法一：每个月还款x 元后的剩余欠款按月份构成一个数列，记作{a n }，则有：
经过1个月，还款x 元后，剩余欠款为a 1＝ ；
经过2个月，还款x 元后，剩余欠款为a 2＝a 1(1＋r )－x ＝____________________；
经过3个月，还款x 元后，剩余欠款为a 3＝a 2(1＋r )－x ＝___________________________； ……
经过m 个月，还款x 元后，剩余欠款为a m ＝a m －1(1＋r )－x ＝ .
由于经过m 个月后，欠款还清，故a m ＝0，从而有a (1＋r )m ＝ 即x = . 方法二：我们可以把该问题分开来看：
一方面，每月付款x 元，共付m 次，m 个月后各期付款到期后的本息和为：
期数 1 2 3 …
m －1 m 本息和
… x 从而到期后(m 个月后)，银行共收到付款及利息为：______________________＝[(1＋r )m －1]r
x ； 另一方面贷款a 元，m 个月后应偿还本息和为 ；
由于m 个月后，贷款全部付清，所以有[(1＋r )m －1]r
x ＝ ，故x ＝ . 【典型例题】
例1 已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，
求证：S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．
小结 运用等比数列的前n 项和公式要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通
常用约分或两式相除的方法进行消元．
跟踪训练1 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差
数列．
例2 在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中
项为2.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22
＋…＋S n n 最大时，求n 的值．
例3 某家用电器一件现价20 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812≈1.1)
三．小结
1．深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键．两类数列的性质既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同样，用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．
2．在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处．
3．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求a n还是求S n的问题．。