正交变换法和配方法化二次型标准形(hfuu)

正交变换法和配方法化二次型标准形

1配方法化二次型标准形

用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理： 情形1: 如果二次型()n x x x f ,,,21 含某文字例如1x 的平方项，而011≠a ,则集中二次型中含1x 的所有交叉项，然后与21x 配方，并作非退化线性替换

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==+++=n

n n n x y x y x c x c x c y 2212121111（P c ij ∈）

则()n y y g y d f ,,2211 +=,其中()n y y g ,2是n y y ,,2 的二次型。 对()n y y y g ,,,32 重复上述方法直到化二次型f 为标准形为止.

情形2: 如果二次型()n x x x f ,,,21 不含平方项，及011=a ()n i ,,2,1 =,但含某一个0≠ij a ()j i ≠，则可先作非退化线性替换

()

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≠==-=+=j i k n k y x y y x y y x k

k j i j j

i i ,;,,2,1

把f 化为一个含平方项2i y 的二次型，再用情形1的方法化为标准形.

例1.1：用配方法化二次型

()321,,x x x f =2

33222312121222x x x x x x x x x --+++

为标准形，并写出所用的非退化线性替换.

解：先对1x 配方消去所有含有1x 的项21x ，21x x ，31x x ：

()321,,x x x f =21x +()1322x x x ++2

2x -322x x -23x

=()2321x x x ++-()2

32x x ++2

2x -322x x -23x

=()2

321x x x ++-324x x -232x

再对3x 配方消去所有含3x 的项2

3x ；32x x ：

()321,,x x x f =()2

321x x x ++-()322

322x x x +

=()2

321x x x ++-()2

22

3222x x x ++

作线性替换 ⎪⎩

⎪

⎨⎧=+=++=233

223

211x y x x y x x x y

把二次型化为标准形 ()321,,x x x f =2

3222122y y y +-

注：用配方法所化得的标准形不唯一，如若作非退化线性替换为

()⎪⎩⎪

⎨⎧+==++=323

2

23

21122x x y x y x x x y 或 ⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧+-==-=3232

231

122222222y

y x y x y y x

则二次型化得标准形是()321,,x x x f =2

32221y y y -+

例1.2：用配方法化二次型()321,,x x x f =212x x +312x x -326x x 为标准形，并写出所用的非退化线性替换.

解：作非退化线性替换 ⎪⎩

⎪

⎨⎧=-=+=332

122

11y

x y y x y y x

则 ()321,,x x x f =()()21212y y y y -++()212y y +3y -()216y y -3y

=32312

2

218422y y y y y y +-- 先对1y 配方，()321,,x x x f =()312122y y y --2

22y +328y y

=()2

312y y --2

22y +328y y -232y

再对2y 配方，()321,,x x x f =()2

312y y --()322242y y y --2

32y

=()2312y y --()2

3222y y -+2

36y

作线性替换 ⎪⎩

⎪

⎨⎧=-=-=333

223112y

z y y z y y z

把二次型化为标准形：()321,,x x x f =2

32221622z z z +-

2正交变换法化二次型标准形

正交变换法化二次型标准形的一般步骤：

(1)写出A 的特征方程0=-A E λ,求出A 的全部特征值.

(2)对于各个不同的特征值λ，求出齐次线性方程组()0=-x A E λ的基础解系，即解空间的一个基底（但不一定是标准正交基），然后把它们施密特正交化. (3)把上述求得的n 个两两正交的单位特征向量作为矩阵T 的列向量，TY X =就

是使二次型AX X '化为标准形2

222211n n y y y λλλ+++ 的正交变换.

例2.1：用正交变换化二次型()321,,x x x f =213x +2

33x +214x x +318x x +324x x

为标准形，并求所作的正交变换.

解: 二次型的矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=324202423A , 求出A 的特征值:

由 A E -λ=3

24

22

4

23--------λλλ =()()0812

=-+λλ 得特征值 121-==λλ，83=λ

其次，求属于-1的特征向量 把1-=λ代入

()()⎪⎩

⎪

⎨⎧=-+--=-+-=---0

3240220423321321321x x x x x x x x x λλλ （1） 求得基础解系 ⎪⎩⎪⎨⎧

-=-=)

1,0,1()

0,1,2

1(21αα