正交变换法和配方法化二次型标准形(hfuu)
二次型化为标准形的几种方法
二次型化为标准形的几种方法2015届本科毕业论文题目：二次型化为标准型方法所在学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学11-2班学生姓名：赵江南指导教师：艾合买提答辩日期：2015年5月5日目录1 引言................................................ 错误!未定义书签。
2 关于二次型定义...................................... 错误!未定义书签。
3 二次型化为标准型的方法 (1)3.1 正交变换法 (1)3.2. 配方法 (3)3.3. 初等变换法 (5)3.4. 雅可比方法 (7)3.5. 偏导数法 (8)4. 小结 (12)参考文献 (13)致谢 (14)二次型化为标准形的几种方法摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。
这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。
正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。
其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。
关键词：正交变换法；配方法；初等变换法；雅可比方法；偏导数法Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observedto formula.Key words: orthogonal transform method ; match method ;elementary transformation; jacobian method ;partial derivative method易见矩阵的初等保号变换不改变二次型的正定性，负定性，半正定型，半负定性.引理1 非退化线性替换不改变实二次型的负定，正定，半正定，半负定，不定. 证明 设),,,(21n x x x g =AX X '是负定二次型，并且CY X = (0≠C ) 是非退化线性替换.),,,(21n x x x g =AX X '，BY Y y y y f n '=),,(21 )(AC C B '=，并且对任意nn R k k k ∈≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡021 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n k k k C c c c 2121，结果0),,,(),,(2121<=n n c c c g k k k f ，即),,(21n y y y f 是负定二次型.反之设),,(21n y y y f 是负定：AX X x x x g X C Y BY Y y y y f n n '=='=-),,(),,,(21121 其中011≠=-CC于是得到),,,(21n x x x g X AX '=是负定的，也就是非退化线性替换不会改变正定二次型的负定性. 同理，非退化线行替换不改变正定二次型的半负定、半正定性、和不定性。
用配方法化二次型为标准形
y1 1 0 1 z1 即 y 2 0 1 2 z 2 y 0 0 1 z 3 3
得
2 2 2 f 2 z1 2z2 6z3 .
所用变换矩阵为
1 1 0 1 0 1 C 1 1 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 3 1 1 1 1 1. 0 0 1
C
2 0.
二、小结
将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．
代入 f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 ,
得
2 2 f 2 y1 2 y2 4 y1 y3 8 y2 y3 .
再配方，得
2 f 2 y1 y3 2 y2 2 y3 y3 z 2 y2 2 y3 z y 3 3 y1 z1 z 3 y2 z 2 2z3 , y z 3 3
例1 化二次型
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x 2 2 x1 x3 6 x 2 x 3
为标准形, 并求所用的变换矩阵 .
解
含有 x1的项配方 含有平方项 2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
第三节 正交变换法化二次型为标准型.
1 求矩阵A的特征值, 2 求特征值的特征向量, 3 将属于同一特征值的特征向量正交化, 4 单位化特征向量, 5 单位化的向量为列，构造正交矩阵；
从而正交对角化对称矩阵.
例1：设对称矩阵 2 2 4 A 2 4 2 2 2 4 求一个正交矩阵C，使得C T AC 为 对角矩阵，并写出此矩阵.
定理2 设 A为 n阶对称矩阵, 是A 的k 重特征根, 则矩阵A的对应于的特征 子空间的维数恰等于k ,即齐次线性方程组： ( E A) X 0的基础解系恰有k 个解向量， 亦即：r ( E A) n k , 从而对应特征值
恰有 k 个线性无关的特征向量.
对比复习：第五章 定理6：设0是n阶矩阵A的k 重特征值， 则A的对应于0的特征子空间的维数 不超过重数k .
此式表明，当C为正交矩阵时，由上式 所得的对角矩阵既与A合同，又与A相 似，且对角线元素全是A的全部特征值。
由第五章矩阵可以相似对角化的条件，只 要说明矩阵A的特征值都是实数，且一定 有n个特征向量组成的标准正交组,则问题 就可以得到完全解决. 定理1 n阶对称矩阵的特征值必为实数.
定理1的意义
由于对称矩阵A的特征值 i 为实数, 所以齐次 线性方程组 ( A i E)x 0 是实系数方程组 ,由 A i E 0知必有实的基础解 系, 从而对应的特征向量可 以取实向量.
T T T
T 1 T 1
(1 2 ) X X 2 0, 1 2 , 故：X X 2 0, 即二者正交.
由定理3，结合矩阵相似对角化的理论，
可得以下定理4：
定理4 对n阶对称矩阵A，一定存在 正交矩阵C ,使得： 1 2 T 1 C AC C AC O . n
正交变换法和配方法化二次型标准形(hfuu)
正交变换法和配方法化二次型标准形1配方法化二次型标准形用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理： 情形1: 如果二次型()n x x x f ,,,21 含某文字例如1x 的平方项，而011≠a ,则集中二次型中含1x 的所有交叉项，然后与21x 配方，并作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=nn n n x y x y x c x c x c y 2212121111（P c ij ∈）则()n y y g y d f ,,2211 +=,其中()n y y g ,2是n y y ,,2 的二次型。
对()n y y y g ,,,32 重复上述方法直到化二次型f 为标准形为止.情形2: 如果二次型()n x x x f ,,,21 不含平方项，及011=a ()n i ,,2,1 =,但含某一个0≠ij a ()j i ≠，则可先作非退化线性替换()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠==-=+=j i k n k y x y y x y y x kk j i j ji i ,;,,2,1把f 化为一个含平方项2i y 的二次型，再用情形1的方法化为标准形.例1.1：用配方法化二次型()321,,x x x f =233222312121222x x x x x x x x x --+++为标准形，并写出所用的非退化线性替换.解：先对1x 配方消去所有含有1x 的项21x ，21x x ，31x x ：()321,,x x x f =21x +()1322x x x ++22x -322x x -23x=()2321x x x ++-()232x x ++22x -322x x -23x=()2321x x x ++-324x x -232x再对3x 配方消去所有含3x 的项23x ；32x x ：()321,,x x x f =()2321x x x ++-()322322x x x +=()2321x x x ++-()2223222x x x ++作线性替换 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=233223211x y x x y x x x y把二次型化为标准形 ()321,,x x x f =23222122y y y +-注：用配方法所化得的标准形不唯一，如若作非退化线性替换为()⎪⎩⎪⎨⎧+==++=32322321122x x y x y x x x y 或 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=3232231122222222yy x y x y y x则二次型化得标准形是()321,,x x x f =232221y y y -+例1.2：用配方法化二次型()321,,x x x f =212x x +312x x -326x x 为标准形，并写出所用的非退化线性替换.解：作非退化线性替换 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x则 ()321,,x x x f =()()21212y y y y -++()212y y +3y -()216y y -3y=323122218422y y y y y y +-- 先对1y 配方，()321,,x x x f =()312122y y y --222y +328y y=()2312y y --222y +328y y -232y再对2y 配方，()321,,x x x f =()2312y y --()322242y y y --232y=()2312y y --()23222y y -+236y作线性替换 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=333223112yz y y z y y z把二次型化为标准形：()321,,x x x f =232221622z z z +-2正交变换法化二次型标准形正交变换法化二次型标准形的一般步骤：(1)写出A 的特征方程0=-A E λ,求出A 的全部特征值.(2)对于各个不同的特征值λ，求出齐次线性方程组()0=-x A E λ的基础解系，即解空间的一个基底（但不一定是标准正交基），然后把它们施密特正交化. (3)把上述求得的n 个两两正交的单位特征向量作为矩阵T 的列向量，TY X =就是使二次型AX X '化为标准形2222211n n y y y λλλ+++ 的正交变换.例2.1：用正交变换化二次型()321,,x x x f =213x +233x +214x x +318x x +324x x为标准形，并求所作的正交变换.解: 二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=324202423A , 求出A 的特征值:由 A E -λ=32422423--------λλλ =()()0812=-+λλ 得特征值 121-==λλ，83=λ其次，求属于-1的特征向量 把1-=λ代入()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-=---03240220423321321321x x x x x x x x x λλλ （1） 求得基础解系 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)1,0,1()0,1,21(21αα把它正交化，得 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=-==)1,52,54(,,)0,1,21(11122211βββααβαβ 再单位化，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-==)455,452,454()0,52,51(222111ββηββη再求属于8的特征向量，把8=λ代入（1），求得基础解系 )2,1,2(3=α 把它单位化得 )32,31,32(3=η 于是正交矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=32455031452523245451T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=811'AT T 作非退化线性替换TY X =,二次型的标准形为()321,,x x x f =2322218y y y --3 两种方法的比较例3.1：用可逆线性变换化下列二次型为标准形.()321,,x x x f =133221x x x x x x ++解：方法1) 用配方法作非退化线性替换 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x()321,,x x x f =()()2121y y y y -++()21y y -3y +()21y y +3y=3122212y y y y +-=()2322231y y y y --+令 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=3322311yz y z y y z则二次型的标准形为()321,,x x x f =232221z z z --方法2) 用正交变换法二次型的矩阵 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛021212102121210 由 A E -λ=λλλ212121212121------=2)21)(1(+-λλ得特征值 2121-==λλ 13=λ，把21-=λ代入⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--021210212102121321321321x x x x x x x x x λλλ （1）求得基础解系 ⎩⎨⎧-=-=)1,0,1()0,1,1(21αα正交化，得 ()()⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-==)1,21,21(,,)0,1,1(11122211βββααβαβ 再单位化，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-==)62,61,61()0,21,21(222111ββηββη把1=λ代入（1），求得基础解系 )1,1,1(3=α把它单位化得 )31,31,31(3=η令()321,,ηηη=T ,则T 为正交矩阵，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=21000210001'AT T 作非退化线性替换TY X =,二次型的标准形为()321,,x x x f =2322212121y y y --。
数学化二次型为标准形的几种方法
化二次型为标准形的几种方法摘要二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明．其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方．关键词：正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法reduce the quadratic forms to thestandard formsAbstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula.Keywords:orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method一、 引言二次型的本质是一个关于n 个变量二次齐次函数，在它的表达式中除了平方项就是交叉项，没有一次项或常数项，其具体定义为：设P 是一个数域，一个系数在数域P 中12,n x x x ⋯的二次齐次多项式2121112121211222222f(,,,,)2...2...2...n n n n n nn n x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++=11n nij ijj i a x x==∑∑，称为数域P 上的一个n 元二次型．二次型具有广泛的应用性，在工程技术、经济管理、社会科学以及数学的其他分支中均需要运用到二次型，在实际运用过程中经常需要将二次型化为标准形，很多同学能够根据标准的步骤将二次型化为标准形，但是却不能很好地根据所给的题目运用最适宜的方法进行解决．本文参考已有的研究结果，总结化二次型为标准形的几种方法，分析每种方法的解题原理和过程，归纳其应用特点，帮助《线性代数》的初学者根据题目的特点和要求采取最佳的方法解决问题，达到简明快速的目的．关于二次型化为标准型的问题，许多数学学者作了较深入的研究，获得了许多具有研究价值和参考价值的成果．庄瓦金在文【11】中给出了二次型的定义及其若干性质．陈惠汝、刘红超在文【12】中将二次型和非退化线性替换用矩阵形式表示，对二次型化为标准形问题采取两种转化思路：一是联系矩阵的初等变换，把问题转化为矩阵合同变换问题；二是借助实对称矩阵特征值与特征向量的有关理论，把问题转化为用正交变换化实对称矩阵为对角形的问题．这两种转化思路产生了二次型化为标准形的两种方法，即合同变换法(也称初等变换法)和正交变换法．李五明，张永金，张栋春在【7】中给出了实二次型化为标准形的方法．通过观察各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换．使用配方法将二次型化为标准形问题时采取两种转化思路：一是含有平方项时，把平方项集中，然后配方，化为标准形；二是不含平方项时构造平方项，进行逆变换，继续第一步进行配方，这种转化思路产生了二次型化为标准形的方法，即配方法．胡明琼在【9】中给出了二次型化为标准形的方法．此方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．这种转化思路产生了又一种二次型化为标准形的方法，即合雅可比方法．郭佑镇在【8】中给出了实二次型的化简及应用偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间关系这一原理，依据配方法而提出的化二次型为标准行的新方法，解题思路与配方法极为相似．把问题转化为用偏导数法实解决问题．这种转化思路产生了二次型化为标准形的另一种方法，即偏导数法．孙秀花在文【13】讨论了化二次型为标准形的两种常用方法的区别：正交变换法的第一步是将二次型写成矩阵形式，然后将二次型的矩阵通过单位正交化方法进行对角化，最后利用正交矩阵得到正交变换，利用特征值得到标准形．正交变换法需要求出二次型矩阵的全部特征值，即求特征方程的根，由于代数方程没有统一的求根公式，因此在操作上存在一定的困难．而配方法避免了求解矩阵特征值的问题，因而使用起来比较方便．以上学者的研究为本文介绍的化二次型为标准形的六种方法奠定了基础，为以后的研究工作做出了重要贡献.本文梳理了已有的研究成果，并对六种方法做出总结，希望能够对未来的相关研究作出贡献．二、 化二次型为标准形的六种方法（一）正交变换法由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性替换将此实二次型化为标准形．定理1任意一个实二次型TAX f X =＝11nnij i j i j a x x ==∑∑（其中ij ji a a =）都可以经过正交线性替换变成平方和2221122...n ny y y λλλ+++，其中平方项的系数12,...,n λλλ就是矩阵A 的全部特征根．由此定理得到的化二次型为标准形的方法称为正交变换法，此法的解题步骤为：1. 将实二次型表示成矩阵形式T AX f X =，并写出矩阵A ；2. 求出矩阵A 的所有特征值12,...,i λλλ，它们的重数分别记为21,...,i k k k （21...i k k k +++=n ）○3求出每个特征值所对应的特征向量，因为21...i k k k +++=n ，所以共有n 个特征向量21...,,i ξξξ．具体方法是：列出方程1()0E A X λ→-=，解出与1λ对应的1k 个线性无关的特征向量；同理求出其他的特征值23,...,i λλλ所对应的特征向量．○4将n 个特征向量21...,,i ξξξ，先后施行正交化和单位化，得到单位正交向量组21,,,n ηηη，并记C =21)(,,T n ηηη；○5作正交变换X CY =，则二次型f 化为标准形f =2221122...n ny y y λλλ+++． 例1 用正交变换方法化二次型222212341234121314232434,,,)264462(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x =+++-+--+-为标准形．解：（1）二次型的矩阵为A =1132112332112311⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-------- 由A 的特征多项式E A λ-=1132112332112311λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--------=(3)(7)(1)(1)λλλλ+--+ 得A 的特征值为1λ=-3，2λ=7，3λ=-1，4λ=1．（2）将1λ=-3代入1()0E A X λ-=中，得到方程组12341234123412324320423032402340x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩ 解此方程组可得出基础解系1α=(1,1,1,1)T --，同样地，分别把2λ=7，3λ=-1，4λ=1 代入()0E A X λ-=中，求解方程组得与2λ=7，3λ=-1，4λ=1对应的基础解系依次为2α=(1,1,1,1)T--，3α=(1,1,1,1)T--，4α=222211223344d x d x d x d x +++． （3）将1234,,,αααα正交化：1α=1β=(1,1,1,1)T--2β=2α-21111(,)(,)αββββ=(1,1,1,1)T -- 3β=3α-3132121122(,)(,)(,)(,)αβαβββββββ-=(-1,-1,1,1)T 4β=4α-434142123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)αβαβαββββββββββ--=(1,1,1,1)T 将正交向量组1234,,,ββββ，单位化得单位正交向量组：11=(1,1,1,1)2T η--，21(1,1,1,1)2T η=--，31(1,1,1,1)2T η=--，41(1,1,1,1)2Tη=（4）令C =121111111111111111⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭------，于是正交线性替换1234x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=121111111111111111⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭------1234y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭将二次型化为标准形f =2222123173y y y y +-+-．（二） 配方法使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式及平方差公式逐个消去非平方项，并构造新的平方项．定理92【】数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122...n nd x d x d x +++的形式． 用配方法化二次型为标准形的关键是构造平方项，其方法是利用完全平方公式、平方差公式逐步消去交叉项，同时构造新的平方项．具体解题思路可分两种情形来处理：(1) 若二次型中含有某变量i x 的平方项和交叉项，则可先将含i x 的交叉项合并在一起，使之与2i x 配方成为完全平方项，然后类似地对剩下的1n -个变量进行配方，直到各项全部化为平方项为止；(2) 若二次型中没有平方项，则可先利用平方差公式将二次型化为含有平方项的二次型，例如，当二次型中出现交叉项i j x x 时，先作可逆线性替换i i j x y y =+，j i j x y y =-，k k x y =（,k i j ≠），使之成为含有2i y ,2j y 的二次型，然后按照情形（1）的方法进行配方．例２ 用配方法化二次型23(,,)f x x x =22112223224x x x x x x +++为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．解：原二次型中含有1x 的平方项，先将含有1x 的项集中，利用平方和公式消去12x x ， 然后对23,x x 配平方，消去23x x 项.此过程为23(,,)f x x x =221122(2)x x x x +++222233(44)x x x x ++-234x ()()2221223324x x x x x =+++-于是作非退化线性替换11221233+2y x x y x x y x =+⎧⎪=⎨⎪=⎩，由此得11232233322x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，于是二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221234y y y +-，所用的线性替换矩阵为C =112012001-⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭． 例3 将二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++化为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．解：由于所给的二次型中无平方项，故需要构造出平方项，令11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 即123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭代入原二次型得23(,,)f x x x =12121231234()()2()2()y y y y y y y y y y -+-+++-221213444y y y y =-++此时就可以按照情形（1）中的步骤进行，将含有1y 的项集中，消去13y y ，再分别对 23,y y 配平方即可．所以有23(,,)f x x x =221213444y y y y -++2222113332444y y y y y y =-++-+ ()222133224y y y y =--++作非退化线性替换11322332z y y z y z y =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，或写成11222331122y z z y z y z ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 即123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=11022010001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123z z z ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭于是二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221234z z z -++，所用的线性替换矩阵为C =110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭11022010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭=1112211122001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭从以上配方法的过程可以看出，将一般二次型通过配方法化成标准形，实际上就是通过一系列的非退化线性替换将n 个元逐渐配方的过程，这个过程用矩阵的形式表示出来就是将二次型化为标准形的第三种方法------初等变换法．这种方法的实质就是将二次型矩阵通过一系列的合同变换（即进行矩阵的初等行、列变换），逐步地化成与它合同且在形式上又比较简单的矩阵，最后得到对角矩阵的过程．定理[7]3 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵．即对于任意一个对称矩阵A ，都可以找到一个可逆矩阵C 使TC AC 成对角形．根据初等矩阵的有关性质知，用初等矩阵左乘A 相当于对A 作一次初等行变换；用初等矩阵右乘A 相当于对A 作一次初等列变换，任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角阵，对初等矩阵施行一个初等行变换，同时要对矩阵作一次相应的列变换，以保证每对变换作过以后得到的矩阵与原来的矩阵合同．具体的解题步骤为：（1）写出二次型()12,n f x x x 的矩阵A ,A 与E 构成2n n ⨯矩阵A E ⎛⎫⎪⎝⎭（2）对A 进行初等行变换和相同的初等列变换，化成与A 合同的但是形式较为简单的矩阵，直至将A 化成对角矩阵；但是对E 只进行其中的列变换.，用C D 、分别表示A E 、变化后的矩阵．（3）写出正交变换过程中所进行的一系列非退化线性替换X CY =，此线性替换将化原二次型化为标准形()12,n f x x x ='Y DY ．此过程可简单表示为：A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭A E −−−−−−−−−→对进行同样的初等行、列变换对只进行其中的列变换D C ⎛⎫⎪⎝⎭． 例4 用初等变换法将二次型23(,,)f x x x =22211213223322243x x x x x x x x x +-+++变为标准形． 解：首先写出二次型23(,,)f x x x 的矩阵A =111122123-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭然后构造出63⨯矩阵A E ⎛⎫⎪⎝⎭=111122123100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2113-r ,+r r r −−−−→111013032100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2113-,+j j j j −−−−→100013032111010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭26364656-3,i -9,i +3,-3i i i i i i −−−−−−−→100010037114013001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭32-3,i i −−−→ 10001000711*******⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎪- ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭从以上过程可以看出C =114013001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，最后作可逆线性替换X CY =，则23(,,)f x x x = '100010007Y Y⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭（四）雅可比(Jacobi)方法此方法利用二次型的矩阵的顺序主子式（也即雅可比行列式）来确定 标准形中各平方项的系数 .这种方法较为简便，但是有条件限制，它需要二 次型的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．1. 几个相关定义[1]定义 V 是数域P 上一个线性空间，f (,)αβ是V 上一个二元函数，如果f (,)αβ有下列性质：（1）11221122f (,k +)=k f (,)+k f (,)k αββαβαβ； （2）11221122f (k +,)=k f (,)+k f (,)k βββαβαβ；其中1212,,,,,αααβββ是V 中任意向量，12k ,k 是P 中任意数，则称f (,)αβ为V 上的一个双线性函数．[11]定义 f (,)αβ线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 中任意两个向量α,β都有f (,)αβ=f (,)βα，则称f (,)αβ为对称双线性函数．[11]定义 设f (,)αβ是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数.12n ,,...,εεε是V 的一组基，则矩阵11)1n n 1)n n)f (,f (,)A=f (,f (,εεεεεεεε⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭称为 f (,)αβ在12n ,,...,εεε下的度量矩阵．2. 解题步骤雅可比方法的计算步骤归纳如下：（1）在矩阵A 的非对角线元素中选取一个非零元素 ija .一般说来，取绝对值最大的非对角线元素;（2） 由公式jjii ij a a a tan -=22θ求出θ，从而得平面旋转矩阵IJ P P=1; （3） 111AP P A T=,1A 的元素由公式(9)计算． （4） 以1A 代替A ，重复第一、二、三步求出2A 及2P ，继续重复这一过程，直到m A 的非对角线元素全化为充分小(即小于允许误差)时为止．（5） m A 的对角线元素为A 的全部特征值的近似值,m P ...P PP 21=的第j 列为对应于特征值j λ(jλ为m A 的对角线上第j 个元素)的特征向量．例5 用雅可比方法将二次型123(,,)f x x x =2221231213234x x x x x x x ++++化为标准形．解：二次型的矩阵32223A =102201⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，顺序主子式1=2∆，21=-4∆，31=-44∆都不等于零，所以能采用雅可比方法．设1231000,1,0001εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，双线性函数f (,)αβ关于基123,,εεε的矩阵为A , 则A=()()()()()()()()()111213212223313233f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,εεεεεεεεεεεεεεεεεε⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=3222310221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭再设111121212223131232333c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎨⎪=++⎩系数11c 可由条件()11f ,1ηε=求出，即()111111c f ,2c 1εε==，从而得出1112c =，所以11111121020c ηεε⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭，系数1222,c c 可由方程组()()()()1211221212122222,,0,,1c f c f c f c f εεεεεεεε+=⎧⎪⎨+=⎪⎩求出，并可得到122268c c =⎧⎨=-⎩，所以2121222c c ηεε=+=680⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，系数132333,,c c c 可由方程组132333132313333220230221c c c c c c c ⎧++=⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩求出，即1323338171217117c c c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以38171217117η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.由此可得，由基123,,εεε到123,,ηηη的过渡矩阵为18621712081710017C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．因此123(,,)f x x x 经线性替换X CZ =能够化成标准形：22222201212312312311z z z 8217z z z ∆∆∆++=-+∆∆∆． （五）偏导数法偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间的关系这一原理，依据配方法提出的化二次型为标准形的新方法，配方法需要仔细观察然后进行配方，而这种方法具有固定的程序，可以按步骤一步一步进行计算．因此，能够提高准确性，且易于理解，求解过程也更加简单．利用偏导数法将二次型()12,...n f x x x ＝11nnij i j i j a x x ==∑∑化为标准形的解题步骤如下：（注意，运用该方法时，要将二次型分为两种情形来进行讨论．）1. 情形1： 二次中含有ix 的平方项，即iia()1,2,...i n =中至少有一个不为零的情形．（1） 不妨设11a 不等于零，将f 对1x 的偏导数1f x ∂∂求出来，并记1112ff x ∂=∂. （2）根据偏导数法()2121111,...(f )g n f x x x a =+，通过计算得出g ．此时g 中已经不再含有1x ．（3）求出g 对2x 的偏导数2g x ∂∂，并记1212gg x ∂=∂，又可得()12,,...n f x x x =()()2211'112211f g u a a ++， 此时u 中不再含有2x ．（4） 按照这种程序继续运算，最终可以将二次型化为标准形．2. 情形2：二次型中不含ix 的平方项，即所有ii a ()1,2,...i n =都等于零，但是至少有一1(1)j a j >不等于零的情形．（1）不妨设12a 不等于零，首先求出f 对1x 的偏导数1fx ∂∂，以及f 对2x的偏导数2f x ∂∂，并记1112f f x ∂=∂，2212ff x ∂=∂， （2）将(1)结果代入，此时得到()22121212121,,...[()()]n f x x x f f f f a ϕ=+--+，其中ϕ中不含12,x x 的项．（3）进行观察：如果ϕ中含有i x的平方项，则按照情形1中的方法去进行计算，如果ϕ中仍然不含有ix 的平方项，则按照上述步骤继续计算，直到将二次型化为标准形为止．例6 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =22212312232422x x x x x x x +-+-为标准形．解：原二次型中含有1x 的平方项，符合情形1，首先求出f 对1x的偏导数1fx ∂∂=1222x x +，所以可以得到：1112ff x ∂=∂=12x x +23(,,)f x x x =()21111f g a +=()212x x g++整理可得到：22232342g x x x x =--接下来求出g 对2x 的偏导数2g x ∂∂=()232x x -, 1212gg x ∂=∂=23x x -23(,,)f x x x =()()222113'1122115f g x a a +- ()()222122335x x x x x =++--令11222333y x x y x x y x=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩经过变形可以得到112322333x y y y x y y x y =--⎧⎪⇒=+⎨⎪=⎩于是原二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221235y y y +-所得的变换矩阵为111011001C --⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，例7 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++为标准形． 解：由于所给的二次型中不含ix 的平方项，符合情形2，所以分别求出f 对1x 的偏导数1f x ∂∂，以及f 对2x的偏导数2fx ∂∂，其结果如下：1f x ∂∂=2342x x -+，2fx ∂∂=1342x x -+1112f f x ∂=∂=232x x -+，2132122ff x x x ∂==-+∂23(,,)f x x x =()()221212121f f f f a ϕ⎡⎤+--+⎣⎦整理上式可得：ϕ=23x于是得到23(,,)f x x x =()()2223121231222224x x x x x x ⎡⎤-----+⎣⎦=()()222312123x x x x x x ---+-+=222123y y y -++令112321233y x x x y x x y x =--+⎧⎪=-⎨⎪=⎩经过整理可以得到1123212333111222111222x y y y x y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎪=--+⎨⎪=⎪⎪⎩可以得到所用的可逆矩阵为111222111222001C ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，（六）顺序主子式法对于二次型'12,1(,,...,)nn ij iji j f x x x X AX a x x===∑ （1）其中,,1,2,...,ij ji a a i j n ==，以上介绍了五种化二次型为标准形的方法，本文第六部分介绍顺序主子式法．[1]定理 对于二次型（1）矩阵()A =ij n na ⨯假如11121,-121222,-1111211221221-1-1,n-1-1,-1-1,-10,-0,,=n n n n n n n n a a a a a a a a a ααααα∆=≠∆=≠∆≠则二次型可化为标准形12222211111(,,...,)...n n n n f x x x y y y -∆∆=∆+++∆∆例8 化二次型32212132145),,(x x x x x x x x f -+=为标准形 解：二次型的矩阵为51025022020A ⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭方法一：4,425,1321-=∆-=∆=∆ 所以1222231232516(,,)425f x x x y y y =-+方法二： 32218125255101022252502024402016025r r r r A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−→-−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1,23251,44-∆=∆=∆=-1222222231231232542516(,,)2544254f x x x y y y y y y -=-+=-+-雅可比方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．3.1二次型在二次曲面研究中的应用二次曲面的一般方程为：2221122331213231232220a x a y a z a xy a xz a yz b x b y b z c +++++++++= 其中,,(,1,2,3)ij i a b c i j =都是实数．我们记x =(x,y,z)T ，123=(,,)b b b b T，111213212223313233A =a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中ij jia a =利用二次型的表示方法，方程（1）可表示成下列形式：0TTx Ax b x c ++= (2)为研究一般二次曲面的性态，我们需将二次曲面的一般方程转化为标准方程，为此分两步进行． 第一步，利用正交变换X =PY 将方程（2）左边的二次型TX AX 的部分化成标准形：222112131T x Ax x y z λλλ=++其中P 为正交矩阵，3=()12y x ,x ,x T,相应地有()112131T T T b x b Py b P y k x k y k z ===++于是方程(2)可化为2221121311121310x y z k x k y k z c λλλ++++++=第二步, 作平移变换0y y y =+，将方程(3)化为标准方程, 其中(,,)y x y z =这里只要用配方法就能找到所用的平移变换.以下对123,,λλλ是否为零进行讨论:1)当123,,0λλλ≠时，用配方法将方程(3)化为标准方程：222123x y z d λλλ++= (6-1)根据123,,λλλ与d 的正负号，可具体确定方程(6-1）表示什么曲面．例如123,,λλλ与d 同号，则方程（6-1）表示椭球面．（2）当123,,λλλ中有一个为0，设30λ=方程（3）可化为22123(0)x y kz z λλ+=≠ (6-2) 22123(0)x y d k λλ+== (6-3)根据12,λλ与d 的正负号，可具体确定方程(6-2)、(6-３)表示什么曲面．例如当12,λλ同号时，方程(6-2)表示椭圆抛物面．当12,λλ异号时，方程(6-2)表示双曲抛物面，(6-3) 表示柱面．(3) 当123,,λλλ中有两个为０，不妨设230λλ==，方程(3) 可化为下列情况之一：21()0(,0)a x py qz p q λ++=≠ 此时，再作新的坐标变换：2222py qz qy pz x x y z p q p q +-'''===++(实际上是绕x ~轴的旋转变换)，方程可化为：02221='++'y q p x λ表示抛物柱面；)0(0~~)(21≠=+p y p x b λ表示抛物柱面；)0(0~~)(21≠=+q z q x c λ表示抛物柱面；21()0d x d λ+=若1λ与d 异号，表示两个平行平面；若1λ与d 同号，图形无实点，若0d =，表示yoz 坐标面．例 二次曲面由以下方程给出，通过坐标变换，将其化为标准型，并说明它是什么曲面．222234444212100x y z xy yz x y z +++++-++= 解：将二次曲面的一般方程写成矩阵形式：010=++x b Ax x T T，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x x ，1224⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=420232022A )6)(3(18923---=-+-=-λλλλλλλE AA 的特征值为1236,3,0λλλ===，分别求出它们所对应的特征向量，并将它们标准正交化：1132323p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2231323p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3132323p 取 P= ( p 1 , p 2 , p 3 ) , 则 P 为正交矩阵. 作正交变换x = P y , 其中(),,,111Tz y x y =则有: 212136y x x A x T +=111868)(z y x y P b b T T +-==因此，原方程可化为：221111163868100x y x y z ++-++= 配方得：221118176()3(1)8()0372x y z ++-++=令111817,1,372x x y y z z =+=-=+ 则原方程化为标准方程：0~8~3~622=++z y x该曲面为椭圆抛物面．四、总结不同方法化简的优劣对于初学者来说，配方法是最基础的方法，它的原理很容易被学生消化吸收，因此，这种方法需要熟练掌握，灵活应用.配方法是推导二次型重要理论的基础，要熟悉它的推导过程.对于简单的二次型也可以灵活使用合同变换法，有时候这种方法更具简便性，节约计算量和计算时间.正交变换法由于具有保持几何形状不变的优点而备受青睐.在用正交变换法化二次型为标准型中,如何求正交矩阵是一个难点,常见的求法只有一种,求解过程大致如下:先用二次型矩阵A的特征方程求出A的n个特征值,然后通过直接求矩阵方程的基础解系,得到对应于征值的线性无关的特征向量,再用施密特正交化过程将它们正交化、单位化,进而得到n个两两正交的单位特征向量,最后由这n个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵,即得所要求的正交变换和对应的标准型.这种方法综合性比较强,算比较复杂.雅可比方法是一种新的方法，它的过程与施密特正交化过程类似，思想上也有相似之处.用它解决正定性问题时比较方便.体会并深刻理解各种方法的实质与技巧，才能帮助我们快速并正确解决二次型问题.这需要多做练习，熟能生巧，方可以不变应万变.二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准型.二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用.将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值通过典型例题，更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性，我们应熟练掌握各种方法.致谢我衷心感谢我们论文指导老师，她在论文选题和写作过程中，给予了许许多多认真细致的指导和鼓励 .我也要感谢多年来家人和朋友对我学习工作上的支持，这是我继续在求学路上不断前进的动力之一.大学生活一晃而过，回首走过的岁月，心中倍感充实，当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多.请允许我以此文来纪念大学四年的美好时光，时间的前进是无法挽回的，四年的求学生活让我明白了一切都来之不易，得到成果的前提是你要不断地脚踏实地地付出自己的努力本文主要就二次型化标准型的方法进行了一定的探讨，在前人的基础上综合了六种化二次型为标准型的方法，这对于二次型的研究和教学都有一定意义！参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[M]北京：高等教育出版社，2007.[2]同济大学数学教研室.线性代数（第三版）[M]北京：高等教育出版社，1999.[3]丘维声.高等代数（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002.[4]屠伯.线性代数－方法导引[M].上海：上海科技出版社，1986.[5]蓝以中.高等代数简明教程[M].北京：北京大学出版社，2003.[6]王琳.用正交变换化实二次为标准形方法研究.[J]数学通讯，1990（3）.[7]李五明，张永金，张栋春.实二次型化为标准形的几种方法[J]和田师范专科学校学报（汉文综合版）2007，27（5）[8]郭佑镇.实二次型的化简及应用[J]渭南师专学报（自然科学版）2000（2）.[9]胡明琼.把二次型化为标准形的方法[J]工程数学.1998，14（1）.[10]北京大学数学系几何与代数教研室小组编.高等代数(第三版)[M].高等教育出版社.2007:205-234.[11]庄瓦金编.高等代数教程[M].高等教育出版社.2004:427.[12]陈惠汝,刘红超.浅淡二次型标准形的两种方法[J].长春师范学院报,2004,23(2):13-15.[13]孙秀花.二次型的应用[J].宜宾学院报,2010,10(6):28-29[14]鱼浩,戴培良.二次型在不定方程中的应用[J].常熟理工学院报,2009,23(10):38-42[15]杨文杰.实二次型半正定性及应用[J].渤海大学学报,2004,25(2):127-129[16]郑华盛.二次型半正定性在不等式证明中的应用[J].科技通报，2002,18(30):227[17]袁仕芳,陈云长,曾丽容.关于二次型XAX最大值和最小值的教学思考[J].考试周刊,2010,35:74[18]JaneM.Day,DanKalmanTeachingLinearAlgebra:IssuesandResources[J].Th eCollegeMathematicsJournal.2001.目录第一章项目基本情况 ....................................................... 错误！未定义书签。
化二次型为标准形的几种方法
110化二次型为标准形的几种方法张钊（驻马店职业技术学院 河南驻马店 463000）[摘 要]对于日益呈现数字化社会的今天，高等代数是一门应用最广的学科之一，而二次型是高等代数中的重要部分。
二次型理论与矩阵密切相关。
二次型的化简方法是对其进行研究与应用的重要基础。
本文给出了化二次型为标准形的一些方法。
[关键词]二次型；标准形；化简二次型是高等代数中比较重要的一个知识点，但同时也是难点，很多同学对此掌握得都不怎么好，结合自己的教学实践与经验，总结出几种将二次型化为标准型的几种方法这几种方法各有其特点，解题时可根据其特点和要求采取最佳方法，以达到简明快速的目的。
特别是偏倒数法和顺序主子式法，只要按公式计算即可。
1.配方法用配方法化二次型为标准形的关键是削去交叉项，分如下两种情形处理：情形 1 如果二次型123(,,,,)n f x x x x 含某文字，例1x 的平方项，而11a≠，则集中二次型中含1x 的所有交叉项，然后与21x 配方，并做非退化线性变换为：()1111122221nn n jn ny c x c x c x y x cP y x =+++⎧⎪=⎪∈⎨⎪⎪=⎩得()2112,...,n fd y g y y =+其中()2,...,n g y y 是2,...,n y y 的二次型。
对于()2,...,n g y y 重复上述方法直到化为二次型f 为标准形为止。
例1()22212341241214232434,,,3442262f x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++---+用配方法化将上式为标准形，并写出所做的非退化线性。
解：221124242(2)(2)f x x x x x x =+-+- 22242(2)3x x x --+令11242233442y x x x y x y x y x =+-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ (6) 则2221242324343222f y y y y y y y y y =-+--+()()()2222212234343424y y y y y y y y y =-++++++ ()()2223412343442y y y y y y y y +=-++++令112234334442z y z y y y z y y z y=⎛=++ =+ =⎝(7) 则222123f z z z =-+为所求标准形。
化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型的方法一、绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课。
该课程以线性空间为背景，以线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。
二次型式多元二次函数，其内容本应属于函数讨论的范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次型的内容也更加丰富多彩。
本文的中心问题是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。
二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准型。
二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用。
将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。
我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定，而任一实对称矩阵都可以化成一对角矩阵，相应的任一实二次型都可以化为标准型。
在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法：配方法和正交变换法；此外，由于任意矩阵可以利用初等变换化为对角矩阵，因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。
通过典型例题，更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性，我们应熟练掌握各种方法。
以下就是几种方法的简单介绍，并且又提出了一种新的方法：雅可比方法。
我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。
二、 二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ （2） 把方程（1）化成标准方程。
二次型化为标准型.
y1 1 0 1 z1 即 y 2 0 1 2 z 2 y 0 0 1 z 3 3
得
2 2 2 f 2 z1 2z2 6z3 .
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2 2 2 f 1 y1 2 y2 n yn ,
其中1 , 2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值 .
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用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式 f xT Ax, 求出A;
2. 求出A的所有特征值 1 , 2 ,, n ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量1 , 2 ,, n ;
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2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
2 2 y1 y2 .
所用变换矩阵为
1 1 1 C 0 1 2 , 0 0 1
C
1 0.
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例3 化二次型
4. 将特征向量 1 , 2 ,, n正交化, 单位化, 得
1 , 2 ,, n , 记C 1 , 2 ,, n ;
2 2 f 1 y1 n yn .
5. 作正交变换x Cy , 则得f的标准形
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例1 将二次型
2 2 2 f 17 x1 14 x2 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
且有
2 2 2 f 9 y1 18 y2 18 y3 .
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二、拉格朗日配方法的具体步骤
用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变．
正交变换法和配方法化二次型标准形
正交变换法和配方法化二次型标准形-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN正交变换法和配方法化二次型标准形的优劣研究摘要二次型的研究起源于解析几何，在平面解析几何中，通常需要把二次曲线与二次曲面方程化为标准方程．从代数学的观点看，这种变化过程就是通过变量的线性替换化简一个二次多项式，使之只含有各个变量的平方项的过程．这类问题在数学的各个分支及物理、力学和网络计算中都有重要应用.本文在对二次型概念的理解基础上，将二次型化为标准形的方法进行归纳整理，并做进一步的研究与讨论．总结出正交变换法和配方法化二次型标准形的优劣之处.关键词：二次型；标准形；配方法；正交变换法AbstractQuadratic study originated in analytic geometry. In graphic analytic geometry, usually need to second curve and surface equation into standard equation. From the point of view of algebra, the change process of replacement is through simplifying linear variable, a quadratic multinomial only contains the square of variables. This kind of question in each branch of mathematics, physics,mechanics and network computing have important applications.Based on the understanding of quadratic basis, induce the method of transform quadratic form into standard form, and further generalization of the research and discussion. Summarize the advantage and disadvantage of orthogonal transformation method and the method of completing square.Keywords: Quadratic form; Standard form; Method of completing square; Method of orthogonal transformation目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)目录 (Ⅲ)1．引言 (1)2．定义 (1)3．定理及其证明 (2)4．方法步骤及例题 (5)配方法化二次型标准形 (5)正交变换法化二次型标准形 (7)两种方法的比较研究 (9)5．小结 (10)致谢 (12)参考文献 (13)1. 引言线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容，随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入到了自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域.二次型理论在线性代数中占有举足轻重的地位,从对平方数的注意到对特殊二次型的研究，再到对一般二次型的探索与发展，中间经历了一个漫长曲折的历史过程,而实二次型的标准形与代数数论、数的几何等都有密切的联系，利用二次型可以把任何一个方阵JORDAN标准化,对研究矩阵是非常有用的，因此讨论化二次型为标准形的问题就成为教学的一个很重要的内容.文献[1]-[3]具体介绍了二次型的定义以及对二次型的研究情况，提出了化二次型为标准型的重要性.文献[4]-[6]提出了用正交变换法化二次型标准形的步骤及应用．文献[7]-[8]提出了用配方法化二次型标准形的步骤及应用.本文对化二次型为标准形的方法进行了归纳和总结，并做进一步的研究与讨论，这在理论上和应用上都有着十分重要的意义.2. 定 义定义 1：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式()n x x x f ,,,21 =11a 21x +22112x x a +…+2n n x x a 11+2222x a +…2n n x x a 22+…2n nn x a称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型.定义 2：设n x x ,,1 ；n y y ,,1 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x22112222211212121111(1)称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换，简称线性替换.如果系数行列式 0≠ij c ，那么，线性替换(1)就称为非退化的.定义 3：在n 维欧式空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基.3. 定理及其证明定理 1：数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化线性替换变成平方和2222211n n x d x d x d +++ 的形式.证明：对变量的个数n 作归纳法.对于n=1，二次型就是()21111x a x f =，已经是平方和了，现假定对n-1元的二次型，定理的结论成立.再设()∑∑===ni nj j i ij n x x a x x x f 2221,,, （ji ij a a =）分三种情形来讨论：1）ij a （n i ,,2,1 =）中至少有一个不为零，例如011≠a ，这时()n x x x f ,,,21 =∑∑∑∑====+++ni nj j i ij ni i i nj j j x x a x x a x x a x a 222112112111=∑∑∑===++n i nj j i ij n j j j x x a x x a x a 2221121112= 212111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=-j j n j x a a x a -221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=-n j j j x a a +∑∑==n i n j j i ij x x a 22= 212111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=-j j n j x a a x a +∑∑==n i n j j i ij x x b 22这里 ∑∑==ni nj j i ij x x b 22=-221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=-n j j j x a a +∑∑==n i n j j i ij x x a 22是一个n x x x ,,,32 的二次型. 令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=∑=-n n nj jj x y x y x a a x y 222111111即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=∑=-n n nj jj x y x y x a a y x 222111111 这是一个非退化线性替换，它使()n x x x f ,,,21 =∑∑==+ni nj j i ij y y b y a 222111由归纳法假定，对∑∑==n i nj j i ij y y b 22有非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c z y c y c y c z y c y c y c z 33223333232323232222能使它变成平方和2233222n n z d z d z d +++于是非退化线性变换 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++==nnn n n nn y c y c z y c y c z y z 222222211就使()n x x x f ,,,21 变成()n x x x f ,,,21 =22222111n n z d z d z a +++ ， 即变成平方和了.根据归纳法原理，定理得证.2）所有0=ii a ，但是至少有一01≠j a （j>1）,不失普遍性，设012≠a令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+=nn z x z x z z x z z x 33212211它是非退化线性变换，且使 ()n x x x f ,,,21 = +21122x x a=()() +-+2121122z z z z a= +-2212211222z a z a ， 这时上式右端是n z z z ,,,21 的二次型，且21z 的系数不为零，属于第一种情况，定理成立.3)011211====n a a a由于对称性，有013121====n a a a这时()n x x x f ,,,21 =∑∑==ni nj j i ij x x a 22是n-1元二次型，根据归纳法假定，它能用非退化线性替换变成平方和.定理2：对于任一个n 级实对称矩阵A ，都存在正交矩阵Q ，使得AQ Q 1-=AQ Q '=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21其中n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值.定理 3：对于n 维欧式空间中任意一组基n εεε,,,21 ，都可以找到一组标准正交基n ηηη,,,21 ，使L ()i εεε,,,21 =L ()i ηηη,,,21 ，n i ,,2,1 =.证明：设n εεε,,,21 是一组基，我们来逐个地求出向量n ηηη,,,21 . 首先，可取1111εεη=.一般地，假定已经求出m ηηη,,,21 ，它们是单位正交的，具有性质 L ()i εεε,,,21 =L ()i ηηη,,,21 ，m i ,,2,1 =.下一步求1+m η因为L ()m εεε,,,21 =L ()m ηηη,,,21 ，所以1+m ε不能被m ηηη,,,21 线性表出. 作向量()∑=+++-=mi i i m m m 1111,ηηεεξ.显然，01≠+m ξ，且()0,11=+ηξm ，m i ,,2,1 =令 111+++=m m m ξξη ，121,,,,+m m ηηηη 就是一单位正交向量组. 同时 L ()121,,,+m εεε =L ()121,,,+m ηηη 由归纳法原理，定理得证.定理 4：任意一个n 元二次型()n x x x f ,,,21 =AX X '(A 实对称)，总可以经过正交变换QY X =（Q 为正交矩阵）化为标准形2222211n n y y y f λλλ+++= ，式中，n λλλ,,,21 是矩阵A =(ij a )的全部特征值，2222211n n y y y f λλλ+++= 称为二次型在正交变换下的标准形.证明：因为矩阵A 是实对称阵，由定理4可知，一定存在正交矩阵Q ，使得 AQ Q 1-=AQ Q '=A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21其中n λλλ,,,21 是矩阵A 的全部特征值.作正交变换QY X =,则()n x x x f ,,,21 =AX X '=()Y AQ Q Y ''=AY Y '=2222211n n y y y λλλ+++4. 方法步骤及例题配方法化二次型标准形用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理： 情形1: 如果二次型()n x x x f ,,,21 含某文字例如1x 的平方项，而011≠a ,则集中二次型中含1x 的所有交叉项，然后与21x 配方，并作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=nn n n x y x y x c x c x c y 2212121111（P c ij ∈）则()n y y g y d f ,,2211 +=,其中()n y y g ,2是n y y ,,2 的二次型。
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧化二次型为标准形是线性代数中的一个重要问题，其结果对于矩阵的性质和应用具有重要的意义。
在实际应用中，常会遇到需要将二次型化为标准形的情况。
化二次型为标准形的方法有很多种，而每种方法都有其适用的范围和特点。
本文将对几种常见的方法进行比较及技巧的介绍，希望能够为读者加深对化二次型为标准形的理解和掌握提供帮助。
方法一：配方法配方法是化二次型为标准形的经典方法之一。
其基本思想是将二次型中的平方项进行配方，从而将二次型转化为标准形。
下面以一个简单的例子进行介绍。
假设有二次型Q(x1, x2) = 3x1^2 + 4x1x2 + 5x2^2，我们希望将其化为标准形。
我们可以将二次型写成矩阵的形式：Q(x) = x^TAX，其中A是一个对称矩阵，其元素为二次型的系数。
对于这个例子，A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}。
接下来，我们使用配方法，即将4x1x2进行配方处理。
我们可以观察到4x1x2 = 2(2x1x2) = 2(x1x2 + x1x2)，然后我们引入一个新的变量y = x1 + x2，并进行代换：3x1^2 + 4x1x2 + 5x2^2 = 3x1^2 + 2(x1x2 + x1x2) + 5x2^2 = 3x1^2 + 2yx + 2xy + 5x2^2进一步，我们可以将式子改写为：此时，我们可以观察到每一项都可以进行配方处理，从而得到标准形。
通过这个例子，我们可以看到，配方法的关键在于巧妙地利用代换和配方来将二次型化为标准形。
在实际应用中，配方法通常适用于对称矩阵，且二次型的系数较为简单的情况下。
读者在应用配方法时，需要灵活运用代换和配方的技巧，确定合适的替换变量，并进行得当的计算，从而将二次型化为标准形。
方法二：特征值分解接下来，我们对对称矩阵A进行特征值分解：A = PDP^-1，其中P是A的特征向量矩阵，D是A的特征值对角矩阵。
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤(精)课件
二次型在物理学中有广泛应用 ，如描述物体运动轨迹、弹性 形变等。
在经济学中，二次型可以用来 描述成本、收益等函数关系， 帮助企业制定最优策略。
在化学和生物学中，二次型也 被用来描述分子结构和生物模 型等。
如何进一步优化正交变换的方法
寻找更高效的算法
01
针对大规模数据集，需要寻找更高效的算法来加速正交变换过
VS
计算出矩阵$A$的特征值 $lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_n$和对应的特征向量$q_1, q_2, ldots, q_n$。
构造正交矩阵
根据特征向量构造正交矩阵$Q = [q_1, q_2, ldots, q_n]$，满足$QQ^T = I$。
正交矩阵的列向量是特征向量，且各列向量之间相互 正交。
02
正交矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵。
03 正交矩阵的各列向量是单位向量，且两两正交。
正交矩阵的判定
01
实对称矩阵是正交矩阵的充分必要条件。
02
若存在一个正交矩阵P，使得$A=P^TAP$，则A是 实对称矩阵。
03
若A是实对称矩阵，则存在一个正交矩阵P，使得 $A=P^TAP$。
用正交变换化二次
03
实例分析
04
实例一：具体的二次型和正交矩阵
具体展示
选取具体的二次型，例如 $f = x_1^2 + 2x_2^2 3x_3^2 + 4x_1x_2 4x_1x_3 + 4x_2x_3$。
构造相应的正交矩阵，例如 $Q = begin{bmatrix} frac{1}{sqrt{2}} & frac{1}{sqrt{2}} & 0 frac{1}{sqrt{2}} & frac{1}{sqrt{2}} & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}$。
化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型的方法化二次型为标准型的方法二、二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ=-?=+?? （2）把方程（1）化成标准方程。
在二次曲面的研究中也有类似的情况。
（1）的左端是一个二次齐次多项式。
从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。
二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。
现在就来介绍它的一些最基本的性质。
设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。
设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn nx c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++??=++=++?? （4）称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。
如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。
线性代数14.配方法化二次型、正定二次型
1 2
x3）2 +（2 x2
+x3）2 +（
-
52）x32
当 5， f 正定;
2
规范形为 f z12 z22 z32
当 5，f 半正定;
2
规范形为 f z12 z22
当 5， f 不定;
2
规范形为 f z12 z22 -z32
例6.3.3 设A是n阶正定矩阵, 证明A1, A, Ak (k为正整数)都是正定矩阵.
(x1 2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 5x32
令： yy12
x1
2
x2 x2
2x3 x3
y3
x3
y1 1 2 2 x1
即：
y2
0
1
1
x2
y3 0 0 1 x3
x1 1 2 2 1 y1
从而： x2
0
1
1
y2
x3 0 0 1 y3
故该实二次型的正惯性指数p 2,
负惯性指数q 0
秩r p q 2 规范形为h(z) z12 z22.
6.3 定性分类
定义6.3.1 设有二次型 f xT Ax ，其中 A 为实对称矩阵,
若对任意非零向量 x ，总有： （1）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为正定二次型， 并称 A 为正定矩阵； （2）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半正定二次型，并称 A 为半正定矩阵； （3）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为负定二次型， 并称 A 为负定矩阵； （4）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半负定二次型，并称 A 为半负定矩阵；
A正定 A的各阶顺序主子式均大于零
A负定 A的奇数阶顺序主子式均为负，
第5.2节 二次型的标准化
2 ( x1 x2 2 x3 )2 ( x2 x3 )2 6 x3
y1 x1 x2 2 x3 , 令 y2 x2 x3 , y x3 , 3
x1 y1 y2 y3 , 即 x2 y2 y3 , x y3 , 3
则线性变换的矩阵表示为 x=Cy. 若C是可逆矩阵，称之为可逆线性变换；若C是正交矩 阵，称之为正交线性变换.
主要问题： 如何寻找可逆的线性变换x=Cy,将二次型f =xTAx化为标准形. 从矩阵角度考虑为
f x T Ax x Cy(Cy)T A(Cy) yT (C T AC ) y yT y.
化为标准形,并求相应的可逆线性变换.
1 1 2 A 1 0 1 解 二次型f 的矩阵 , 于是 2 1 3
1 1 A 2 E 1 0 0 1 0 1 0 1 0 2 1 1 0 r2 r1 2 3 0 1 0 0 0 1 1 2 1 1 1 0 c2 c1 2 1 3 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 2 1 1 r3 2r1 1 3 1 0 1 0 0 1
C T ( EP1 P2 Ps )T PsT P2T P1T E,
C T AC PsT P2T P1T AP1P2 Ps .
对于任何初等矩阵P, PTAP表示对A作一次初等行变换 和一次相同的初等列变换，称这样的变换为对A作一次合 同变换. 上式表明：矩阵A经过一系列合同变换化为对角矩阵, 在对A作合同变换的同时，如果对单位矩阵E施行完全相同 的初等列变换，就得到了可逆矩阵C.
其中1 , 1 ,, n 为A的全部特征值.
二次型
二次型一. 化二次型为标准形化二次型为标准形主要有两种方法：(1)正交变换法；(2)配方法..442),,( 132212221321用的正交变换矩阵化为标准形，并求出所用正交变换法将二次型例x x x x x x x x x f --+=,020212022 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 二次型的矩阵为解.24 232221y y y QY X -+=，则二次型化为标准形令注：将二次型f 用正交变换化为标准形的一般步骤为：(1)写出二次型f 的矩阵A ；(2) 求出A 的全部相异特征值λ1, λ2,…, λm ，对每一个r i 重特征值λi ，求出对应的r i 个线性无关的特征向量，并利用施密特正交化方法将其正交单位化，将上面求得的r 1+ r 2+ …+ r m =n 个两两正交的单位向量作为列向量，排成一个n 阶方阵Q ，则Q 为正交阵且Q －1AQ =Q T AQ =Λ为对角阵；(3)作正交变换X=QY ，即可将二次型化为只含平方项的标准形：f=X T AX=Y T (Q T AQ )Y=Y T ΛY..),,,( 24342324131214321线性变换的矩阵为标准形，并写出所用用配方法化二次型例x x x x x x x x x x x x x x x x f +++++=是什么曲面？型化为标准形；求一可逆变换将该二次；求参数为的秩设二次型例 1),,( )3( )2( (1)2.44),,( 33213231232221321=++++=x x x f c x x x x cx x x x x x f .8 2 22210201 2 44),,( 3231232221321=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++=c c A x x x x cx x x x x x f ，故的秩为二次型的矩阵知，的秩为由解,)2()2( 448),,( 22212322313231232221321y y x x x x x x x x x x x x x x f +=+++=++++=又⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=.,2,2 ,,2,2 1332231131321311y x y y x y y x x y x x y x x y 或其中.100210201 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=C 所用线性变换的矩阵为.19 1 9,1,0 0|| 2322321，为椭圆柱面化为变换下，可将，故在正交的特征值为得由=+=====-y y f A E A λλλλ注：设Y =QX ，Q 为正交矩阵，则有||Y ||2=Y T Y =(QX )T (QX )=X T Q T QX =X T X =||X ||2.即正交变换保持向量长度不变. 只有在正交变换下将二次型化为标准形，才能确定它所表示的曲面类型..22 222),,(4232221323121232221321Q k y y y QY X x x x x x kx x x x x x x f 及正交阵，求：化为标准形经正交变换设二次型例++-=-++-+=,1111111 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=k kA 二次型的矩阵为解.)(220 101020101 二次型半正定，故该二次型为准正定，，的特征值为易知，二次型的矩阵为解A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=注：当矩阵的特征值比较容易求时，用特征值来判定二次型或矩阵的正定性是很简便的一种方法.为负定阵？取何值时，问为实常数，，设例 .1000031101310113 62B k k kE A B A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=.4 ,4 ,1 ,1 的特征值为为实对称阵且显然解A A .16 ,16 ,1 ,1 2k k k k B B kE A B -----=的特征值为也为实对称阵且，故由于.16 >k B 负定的充要条件为因此.),,,( 74342324131214321的正定性判断二次型例x x x x x x x x x x x x x x x x f +++++=，形为知，所给二次型的标准由例解242322213 2 z z z z ---.正定二次型二次型不是系数不全为正数，故此因为标准形中平方项的注：若只是判定二次型的正定性，可采用较简便的方法求出二次型的标准形，并以此判定.2 利用定义判定., 8阶正定阵也为阶正定阵，证明：均为设例n B A n B A +.0)( 0,00 , 1也为正定阵从而，，故，都有的阶正定阵，所以对任意都为因为证B A BX X AX X X B A X BX X AX X X n B A TTTTTn +>+=+>>≠⨯.9的正定性，讨论阶方阵，为设例A P P A n P T=.||||)()( 0 21PX PX PX PX P X AX X X T T T T n ===≠⨯，我们有对任意的解.0|||| 0 0 2为正定阵，，从而知可逆时，由当P P A PX PX X P T=>≠≠. )2(,,2,1,0 )1( )( 132211也为正定阵；为正定阵，证明：设例⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==>=⨯nn ii n n ij a a a B n i a a A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===⨯nn n n n nn n nn Tn n ij p p p p p p p p p p p p P P A p P A21112112112111)( )I ()1( ，使正定，故有可逆阵因为证证,121111121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑====n k kn nk k kn nk kn k nk k p p p p p p ).,,2 ,1( 12n i p a nk kiii ==∑=即.0 ,,2 ,1 0 12>==∑=nk ki ii ki p a n k p P ，从而，不全为可逆，所以因为 ，则，特别地，取，有正定，故对任意的因为证TTn n n ij X AX X X a A )0,,0,1( 00 )( )II (1 =>≠=⨯⨯().00010 0 111212221211211>=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a a a a a a a a AX X nn n n n n T.0,,0)1,,0,0,0(,,)0,,0,1,0( 22>>==nn TTa a X X ，可求得类似地，取.0 )1( )2(11正定全为正数，故个特征值的，从而知，由B n B a a a B ii nn >⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.)( .)( BA AB BA A B AB AB AB AB AB T T T T ====⇒，故又为对称阵，从而为正定阵，故因为”“证.)( 为对称阵，即知：由”“AB AB BA A B AB BA AB T T T ====⇐.1相似与，即，进一步，从而，使逆阵为正定阵，所以存在可又BP P AB BP P ABP P B PP AB PP A P A T T T T ===-. 0)()(0 0 1是正定的值也全大于零，所以的特征而的特征值全大于零；从为正定阵，因此，也就是，必有，为对称阵且对任意的为正定阵，故有由于AB AB BP P BP P PX B PX BPX P X PX X BP P B T TT T T n T >=≠≠⨯注：请读者特别注意例12、例13、例14、例15 中对正定阵的处理，用心体会其方法..0 .,,2,1 , )3(;,,2,1,,,0)2(;,,2,1,0 )1( ,,,, 1621===≠==≠βαβαααβααα证明正交与每一个阶正定阵且为维列向量，均为设例n j n j i j i A n j n A n j j T ij n .0 0 .,,2,1,0 22112211=+++=+++=>n n n n i T i A k A k A k A k k k n i A αααααααα ，得，两端左乘设由题设易知证(*) .0 2211=+++n T in T i T i T i A k A k A k ααααααα ，得两端左乘线性表示，由必可线性无关，所以，从而，得正定，，由式为知由题设 ,,, ,,, ,,2,1,00 0 (*))2(2121n n i i T i i T i i n i k A A A k αααβααααααα ==>=，则不妨设表示式为n n l l l αααβ+++= 2211 .0 ,0),(),(),( ),(),(|||| 221122112==+++=+++==βαβαβαβαααββββ故n n n n l l l l l l . . 17b a B A b n B a n A ++的特征值都大于证明：大于阶实对称阵，特征值都也是；征值都大于阶实对称阵，所有的特为设例也是正定阵，均为正定阵，从而与由题设证 )()()( E b a B A bE B aE A bE B aE A +-+=-+---).( 0)( )( b a b a E b a B A B A +>>+-+-++λλλ，即的特征值为的任一特征值，则为设+的特征值都大于也就是A+Ba.b。
化二次型为标准形的方法 - 扬州大学
−3 λ+2
得到 A 特征值为： λ 1 = λ 2 = λ 3 = 1 ， λ 4 = −3 ； ⑶求特征值 λ = 1 所对应的特征向量： ① 解 ( I − A) X = 0 ，以求三个线性无关的特征向量，运用矩阵的初等行变
⎡ 1 −1 −1 1 ⎤ ⎡1 − 1 − 1 1 ⎤ ⎢− 1 1 ⎢0 0 1 − 1⎥ 0 0⎥ ⎥⎯ ⎥， ( I − A) = ⎢ ⎯→ ⎢ 换， ⎢− 1 1 ⎢0 0 1 − 1⎥ 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0⎦ ⎣ 1 −1 −1 1 ⎦ ⎣0 0 x1 − x 2 − x3 + x 4 = 0 ， x1 = ~ x2 + ~ x3 − ~ x4 ， 得到同解方程组
③ 再使它们单位化：
α 1 1 [1 1 0 0] T = ⎡ β1 = 1 = ⎢ α1 2 ⎣ 2 1 2 ⎤ 0 0⎥ ⎦
T
α β2 = 2 = α2
2 3
⎡1 ⎢2 ⎣
⎡ 1 ⎢− 3 ⎣
⎡ 1 1 ⎤ − 1 0⎥ = ⎢ 2 ⎦ ⎣ 6
1 3
T ⎡ 1 1 ⎤ 1⎥ = ⎢− 3 ⎦ ⎣ 2 3
T
α1 = [0 0 1] ；
② λ2 = 1
⎡1 − 1 0 ⎤ ⎡ 1 − 1 0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ λ 2 I − A = ⎢ − 1 1 0⎥ → ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ ， ⎢ ⎢ 0 1⎥ ⎦ ⎣0 0 0⎥ ⎦ ⎣0
T
∴
α 2 = [1 1 0] ；
③ λ 3 = −1
⎡1 1 0⎤ ⎡− 1 − 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎢ λ 3 I − A = ⎢− 1 − 1 0 ⎥ → ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ ， ⎢ ⎢ 0 − 1⎥ ⎦ ⎣0 0 0 ⎥ ⎦ ⎣0
化二次型为标准形的方法
化二次型为标准形的方法内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。
它以线性空间为背景，以线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。
二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。
而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。
二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。
下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法关键词：二次型 线性替换 矩阵 标准形导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。
二次型是学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。
在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。
我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。
化二次型为标准形的方法一． 配方法配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。
使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。
定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122...n n d x d x d x +++的形。
1.如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有i x 的乘积项集中，然后再配方，再对其余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。
课件：化二次型为标准形
解
可将 f 化为标准形: 所用变换矩阵为
2. 若二次型中不含有平方项, 但有 aij 0 (i j ),
则先作可逆变换
化二次型为含有平方项的二次型再按 1 中方法配方.
例4 化二次型 并求所用的变换矩阵.
为标准形,
例4 化二次型 并求所用的变换矩阵.
解
为标准形,
可将 f 化为标准形:
由 f 的标准形可知A的特征值为:
对 1=1, 对 2 = 0,
对 3 = 4,
故所求正交阵为 P = (P1, P2, P3)
二、拉格朗日配方法
1. 若二次型含有 xi 的平方项, 则先把含有 xi 的乘积项 先集中, 然后配方, 再对其余的变量同样进行,直到都配 成平方项为止.
例3 用配方法化二次型为标准形, 并求所用变换矩阵.
2. 求出矩阵 A 的所有特征值: 1, 2, , n. 3. 对每个 =i 求出对应方程(AE)x=0的基础
解系, 并正交、单位化得: P1, P2, ,Pn. 4. 得正交矩阵: P = (P1, P2, ,Pn). 5. 正交变换 x = Py 将 f 化为标准形:
例1 求一个正交变换 x = Py, 将二次型 f 化为标准形. 解 f 的矩阵为:
§5.2 化二次型为标准形
一、用正交变换化二次型为标准形 二、拉格朗日配方法
一、用正交变换化二次型为标准形
对于二次型, 我们讨论的主要问题是: 寻求可逆的线性变换, 将二次型化为标准形.
由上可知: 即寻找可逆矩阵 C 使 CTAC 为对角阵. 此问题称为把对称阵 A 合同对角化.
设对称阵 A 的n个特征值为: 1, 2, , n, 对角阵 = diag ( 1, 2, , n), 则总存在正交阵 P 使得 P 1AP= , 即 PTAP= .
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正交变换法和配方法化二次型标准形
1配方法化二次型标准形
用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理： 情形1: 如果二次型()n x x x f ,,,21 含某文字例如1x 的平方项，而011≠a ,则集中二次型中含1x 的所有交叉项，然后与21x 配方，并作非退化线性替换
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==+++=n
n n n x y x y x c x c x c y 2212121111（P c ij ∈）
则()n y y g y d f ,,2211 +=,其中()n y y g ,2是n y y ,,2 的二次型。
对()n y y y g ,,,32 重复上述方法直到化二次型f 为标准形为止.
情形2: 如果二次型()n x x x f ,,,21 不含平方项，及011=a ()n i ,,2,1 =,但含某一个0≠ij a ()j i ≠，则可先作非退化线性替换
()
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≠==-=+=j i k n k y x y y x y y x k
k j i j j
i i ,;,,2,1
把f 化为一个含平方项2i y 的二次型，再用情形1的方法化为标准形.
例1.1：用配方法化二次型
()321,,x x x f =2
33222312121222x x x x x x x x x --+++
为标准形，并写出所用的非退化线性替换.
解：先对1x 配方消去所有含有1x 的项21x ，21x x ，31x x ：
()321,,x x x f =21x +()1322x x x ++2
2x -322x x -23x
=()2321x x x ++-()2
32x x ++2
2x -322x x -23x
=()2
321x x x ++-324x x -232x
再对3x 配方消去所有含3x 的项2
3x ；32x x ：
()321,,x x x f =()2
321x x x ++-()322
322x x x +
=()2
321x x x ++-()2
22
3222x x x ++
作线性替换 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=++=233
223
211x y x x y x x x y
把二次型化为标准形 ()321,,x x x f =2
3222122y y y +-
注：用配方法所化得的标准形不唯一，如若作非退化线性替换为
()⎪⎩⎪
⎨⎧+==++=323
2
23
21122x x y x y x x x y 或 ⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧+-==-=3232
231
122222222y
y x y x y y x
则二次型化得标准形是()321,,x x x f =2
32221y y y -+
例1.2：用配方法化二次型()321,,x x x f =212x x +312x x -326x x 为标准形，并写出所用的非退化线性替换.
解：作非退化线性替换 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+=332
122
11y
x y y x y y x
则 ()321,,x x x f =()()21212y y y y -++()212y y +3y -()216y y -3y
=32312
2
218422y y y y y y +-- 先对1y 配方，()321,,x x x f =()312122y y y --2
22y +328y y
=()2
312y y --2
22y +328y y -232y
再对2y 配方，()321,,x x x f =()2
312y y --()322242y y y --2
32y
=()2312y y --()2
3222y y -+2
36y
作线性替换 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=-=333
223112y
z y y z y y z
把二次型化为标准形：()321,,x x x f =2
32221622z z z +-
2正交变换法化二次型标准形
正交变换法化二次型标准形的一般步骤：
(1)写出A 的特征方程0=-A E λ,求出A 的全部特征值.
(2)对于各个不同的特征值λ，求出齐次线性方程组()0=-x A E λ的基础解系，即解空间的一个基底（但不一定是标准正交基），然后把它们施密特正交化. (3)把上述求得的n 个两两正交的单位特征向量作为矩阵T 的列向量，TY X =就
是使二次型AX X '化为标准形2
222211n n y y y λλλ+++ 的正交变换.
例2.1：用正交变换化二次型()321,,x x x f =213x +2
33x +214x x +318x x +324x x
为标准形，并求所作的正交变换.
解: 二次型的矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=324202423A , 求出A 的特征值:
由 A E -λ=3
24
22
4
23--------λλλ =()()0812
=-+λλ 得特征值 121-==λλ，83=λ
其次，求属于-1的特征向量 把1-=λ代入
()()⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+--=-+-=---0
3240220423321321321x x x x x x x x x λλλ （1） 求得基础解系 ⎪⎩⎪⎨⎧
-=-=)
1,0,1()
0,1,2
1(21αα
把它正交化，得 ()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
--=-
=-==)1,52
,54(,,)0,1,21(11122211βββααβαβ 再单位化，得 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-==)
455
,452,454()0,52,51(2221
11ββηββη
再求属于8的特征向量，把8=λ代入（1），求得基础解系 )2,1,2(3=α 把它单位化得 )3
2
,31,32(
3=η 于是正交矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--
=3245
503145252
3245451
T ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=811'
AT T 作非退化线性替换TY X =,二次型的标准形为()321,,x x x f =2322218y y y --
3 两种方法的比较
例3.1：用可逆线性变换化下列二次型为标准形.
()321,,x x x f =133221x x x x x x ++
解：方法1) 用配方法
作非退化线性替换 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+=332
122
11y
x y y x y y x
()321,,x x x f =()()2121y y y y -++()21y y -3y +()21y y +3y
=312
22
12y y y y +-
=()2
3222
31y y y y --+
令 ⎪⎩⎪
⎨⎧==+=33
2
2311y
z y z y y z
则二次型的标准形为()321,,x x x f =2
32221z z z --
方法2) 用正交变换法
二次型的矩阵 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
0212
121021
21210 由 A E -λ=λλ
λ
21
2
121
21
2
12
1-
---
-
-
=2)21)(1(+-λλ
得特征值 2
1
21-==λλ 13=λ，
把2
1
-=λ代入
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--021210212
1
02121321321321x x x x x x x x x λλλ （1）
求得基础解系 ⎩⎨⎧-=-=)1,0,1()0,1,1(2
1αα
正交化，得 ()()⎪⎩⎪⎨
⎧--=-=-==)1,21,21(,,)0,1,1(11122211βββααβαβ 再单位化，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
--=-==)62,61,61()0,21,21(2221
11ββηββη
把1=λ代入（1），求得基础解系 )1,1,1(3=α
把它单位化得 )3
1,
3
1,
3
1(
3=η
令()321,,ηηη=T ,则T 为正交矩阵，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--
=2100021
000
1'AT T 作非退化线性替换TY X =,二次型的标准形为()321,,x x x f =2322212
121y y y --。