高一数学 等差数列优秀课件 ppt
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高一数学等差数列优秀课件
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数列是数学中一种重要的概念，了解其定义和基本概念将帮助我们更好地理 解等差数列及其应用。
等差数列的性质和特点公差源自致等差数列中，相邻项之间的差值始终相等。
对称性
等差数列以中间项为对称轴，分布特点清晰。
通项公式
通过通项公式，我们可以快速计算等差数列中 任意项的值。
无穷性
等差数列的展开式和通项公式
展开式 通项公式
应用举例
用于展示等差数列中每一项的计算表达式。
通过通项公式，可以直接计算等差数列中任意项 的值。
利用展开式和通项公式解决实际问题。
等差数列在实际生活中的应用
财务规划
利用等差数列进行财务规划，实 现理财目标。
人口增长
人口增长模型中，等差数列起到 了重要作用。
2
况下的展示。
等差数列的公差与线性函数的斜率有着
紧密的关系。
3
推导过程
通过线性函数的推导，理解等差数列的 特征和性质。
等差数列的求和公式
1 累加方法
通过逐项累加求和，掌握等差数列的求和方法。
2 平均法则
利用等差数列的对称性，快速计算整个数列的和。
3 公式推导
通过推导求和公式，深入理解等差数列求和的原理。
运动技能
运动技能的学习过程可以看作等 差数列的逐步进化。
等差数列可以无限延伸，不受长度限制。
等差数列的常见问题和应用
实际问题
通过解答实际问题，加深理解等 差数列的应用。
生活中的等差数列
探索日常生活中等差数列的存在 和运用。
解谜游戏
利用等差数列进行解谜游戏，锻 炼思维能力。
等差数列与线性函数的关系
1
等差数列与直线图像
数列是数学中一种重要的概念，了解其定义和基本概念将帮助我们更好地理 解等差数列及其应用。
等差数列的性质和特点公差源自致等差数列中，相邻项之间的差值始终相等。
对称性
等差数列以中间项为对称轴，分布特点清晰。
通项公式
通过通项公式，我们可以快速计算等差数列中 任意项的值。
无穷性
等差数列的展开式和通项公式
展开式 通项公式
应用举例
用于展示等差数列中每一项的计算表达式。
通过通项公式，可以直接计算等差数列中任意项 的值。
利用展开式和通项公式解决实际问题。
等差数列在实际生活中的应用
财务规划
利用等差数列进行财务规划，实 现理财目标。
人口增长
人口增长模型中，等差数列起到 了重要作用。
2
况下的展示。
等差数列的公差与线性函数的斜率有着
紧密的关系。
3
推导过程
通过线性函数的推导，理解等差数列的 特征和性质。
等差数列的求和公式
1 累加方法
通过逐项累加求和，掌握等差数列的求和方法。
2 平均法则
利用等差数列的对称性，快速计算整个数列的和。
3 公式推导
通过推导求和公式，深入理解等差数列求和的原理。
运动技能
运动技能的学习过程可以看作等 差数列的逐步进化。
等差数列可以无限延伸，不受长度限制。
等差数列的常见问题和应用
实际问题
通过解答实际问题，加深理解等 差数列的应用。
生活中的等差数列
探索日常生活中等差数列的存在 和运用。
解谜游戏
利用等差数列进行解谜游戏，锻 炼思维能力。
等差数列与线性函数的关系
1
等差数列与直线图像
《等差数列及其应》课件
详细描述
等差数列的求和公式为：S_n = n/2 * (a_1 + a_n)，其中S_n表示前n项和，a_1 表示第一项，a_n表示第n项。这个公式适用于任何等差数列，只要知道首项和 公差，就可以计算出任意项的和。
倒序相加法求和
总结词
倒序相加法是一种特殊的求和方法，通过将等差数列倒序相加，可以得出一个常 数，进而求得等差数列的和。
《等差数列及其应用 》PPT课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的求和 • 等差数列的应用 • 等差数列与其他数学知识的联系 • 练习题与答案
01
等差数列的定义与 性质
等差数列的定义
总结词
明确等差数列的概念
答案解析
答案2
根据等差数列的通项公式，第n 项a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_1是首项，d是公差。代入题目 给定的首项a_1=3和公差d=5， 第10项a_{10} = 3 + (10-1) * 5
= 48。
答案3
根据等差数列的通项公式，第n 项a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_1是首项，d是公差。代入题目 给定的首项a_1=3和公差d=2， 第8项a_{8} = 3 + (8-1) * 2 =
裂项法的基本思路是将等差数列中的每一项拆分成易于计算 的形式，然后利用等差数列的性质进行化简。这种方法适用 于一些特定形式的等差数列，可以简化计算过程，提高计算 效率。
01
等差数列的应用
等差数列在日常生活中的应用
01
02
03
银行储蓄
等差数列常用于计算复利 ，计算存款增长情况。
等差数列的求和公式为：S_n = n/2 * (a_1 + a_n)，其中S_n表示前n项和，a_1 表示第一项，a_n表示第n项。这个公式适用于任何等差数列，只要知道首项和 公差，就可以计算出任意项的和。
倒序相加法求和
总结词
倒序相加法是一种特殊的求和方法，通过将等差数列倒序相加，可以得出一个常 数，进而求得等差数列的和。
《等差数列及其应用 》PPT课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的求和 • 等差数列的应用 • 等差数列与其他数学知识的联系 • 练习题与答案
01
等差数列的定义与 性质
等差数列的定义
总结词
明确等差数列的概念
答案解析
答案2
根据等差数列的通项公式，第n 项a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_1是首项，d是公差。代入题目 给定的首项a_1=3和公差d=5， 第10项a_{10} = 3 + (10-1) * 5
= 48。
答案3
根据等差数列的通项公式，第n 项a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_1是首项，d是公差。代入题目 给定的首项a_1=3和公差d=2， 第8项a_{8} = 3 + (8-1) * 2 =
裂项法的基本思路是将等差数列中的每一项拆分成易于计算 的形式，然后利用等差数列的性质进行化简。这种方法适用 于一些特定形式的等差数列，可以简化计算过程，提高计算 效率。
01
等差数列的应用
等差数列在日常生活中的应用
01
02
03
银行储蓄
等差数列常用于计算复利 ，计算存款增长情况。
《等差数列的概念》课件
。
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析
高一数学 等差数列优秀 PPT课件 图文
列{an}的通项公式。
三、巩固通项公式 an=a1+(n－1)d (n∈N*)
（一）求通项an
若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an 例如：①a1=1, d=2, 则 an=1+(n－1)·2=2n－1
②已知等差数列8，5，2，…求 an及a20
解：∴∵aan1==88+,(dn=－5－1)·8(=－－3)3=－3n+11
① 从第2项起，每一项与前一项差都等于1
3，0，－3，－6，……；
② 从第2项起，每一项与前一项差都等于－3
下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种
（表示鞋长、单位是cm）
21，21 1 ，22，22 1 ，23，231 ，24，24 1 ，25 ; ③
1 从第2项起，每一项与前一项差都等于 2
一张梯2子
六、作业：
P118 1, 2, 4, 5, 另：已知两个等差数列5，7，9，…和
3, 6， 9，…共有100项。 求这两个数列相同项的个数。
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年 ，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍 然没有 找不到 自己满
等差数列的概念公开课ppt课件
个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推 公式。
(1)第23到第29届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008
(2)已知数列{an} ，其中 a1 =15， an = an-1 －2，n≥2， 写出这个数列的前六项。
15 13 11 9 7 5 (3)所有正偶数排成一列组成的数列
本节课主要学习： 一个定义：an an1 d, n 2, n N (d是常数)
一个公式：an a1 (n 1)d
一种思想：方程思想．
d 64
(2) 15，13，11，9，7，5 (3) 2, 4, 6, 8, 10， ……
a8=？ a1d00=2？我
们该如何求解 呢？d 2
(4) 1, 1, 1, 1, 1, ……
d 0
公差为0的数列
叫做常数列
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差， 防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数， 负数，也可以为0 .
复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一
已知一个等差数列{an}的首项是a1， 公差是d，如何求出它的任意项an呢？
根据等差数列的定义填空
a2 ＝a1＋d，
a3 ＝ a2 ＋d ＝（ a1 + d ） ＋d ＝a1 ＋ 2 d，
a4 ＝ a3 ＋d ＝（ a1 + 2 d ） ＋d ＝a1 ＋ 3 d ， ……
(1)第23到第29届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008
(2)已知数列{an} ，其中 a1 =15， an = an-1 －2，n≥2， 写出这个数列的前六项。
15 13 11 9 7 5 (3)所有正偶数排成一列组成的数列
本节课主要学习： 一个定义：an an1 d, n 2, n N (d是常数)
一个公式：an a1 (n 1)d
一种思想：方程思想．
d 64
(2) 15，13，11，9，7，5 (3) 2, 4, 6, 8, 10， ……
a8=？ a1d00=2？我
们该如何求解 呢？d 2
(4) 1, 1, 1, 1, 1, ……
d 0
公差为0的数列
叫做常数列
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差， 防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数， 负数，也可以为0 .
复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一
已知一个等差数列{an}的首项是a1， 公差是d，如何求出它的任意项an呢？
根据等差数列的定义填空
a2 ＝a1＋d，
a3 ＝ a2 ＋d ＝（ a1 + d ） ＋d ＝a1 ＋ 2 d，
a4 ＝ a3 ＋d ＝（ a1 + 2 d ） ＋d ＝a1 ＋ 3 d ， ……
等差数列课件ppt课件
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contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
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人教版·数学·必修5·第二章《数列》
2.2.1等差数列（1）
复习回顾
数列： 按照一定顺序排成的一列数称为数列。
实质： 数式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的 关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个 数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列a1， a2， a3，…， an， …从第二项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数d，
a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等 差数列的公差。
等差数列定义的符号表示：
(1){an}是等差数列⇔an-an-1=d(n≥2，n ∈N*) (2){an}是等差数列⇔ an+1-an=d(n ∈N*)
又，当n=1时,等式成立 ∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法二
∵{an}是等差数列，则有
an–an-1=d an-1–an-2=d an-2–an-3=d ……
累加法：
这一推导思想 在今后的数列 求和问题中也
a2–a1=d
有重要的应用
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正
数，也可以是0和负数。
温馨提示:
（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数， 那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是 一个等差数列。
（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的 前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等 差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不 是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十 分重要。
2.2.1等差数列（1）
复习回顾
数列： 按照一定顺序排成的一列数称为数列。
实质： 数式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的 关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个 数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列a1， a2， a3，…， an， …从第二项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数d，
a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等 差数列的公差。
等差数列定义的符号表示：
(1){an}是等差数列⇔an-an-1=d(n≥2，n ∈N*) (2){an}是等差数列⇔ an+1-an=d(n ∈N*)
又，当n=1时,等式成立 ∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法二
∵{an}是等差数列，则有
an–an-1=d an-1–an-2=d an-2–an-3=d ……
累加法：
这一推导思想 在今后的数列 求和问题中也
a2–a1=d
有重要的应用
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正
数，也可以是0和负数。
温馨提示:
（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数， 那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是 一个等差数列。
（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的 前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等 差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不 是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十 分重要。
等差数列ppt课件
等差数列的表示方法
通项公式
an = a1 + (n-1)d，其中an是第n项 ，a1是首项，d是公差。
前n项和公式
Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中Sn 是前n项和，a1是首项，d是公差。
等差数列的性质
01
02
03
公差性质
公差d是任意两个相邻项 的差，即an - a(n-1) = d 。
04
等差数列的应用
在数学中的应用
基础概念理解
等差数列是数学中的基础 概念，对于理解数列、函 数等其他数学概念有着重 要作用。
数学运算
等差数列的特性使其在数 学运算中有着广泛的应用 ，例如求和、求差等。
解决数学问题
等差数列可以用来解决一 些复杂的数学问题，例如 求解方程、不等式等。
在物理中的应用
综合练习题
题目：已知一个等差数列的前4项 和为40，前8项和为64，求这个 等差数列的前12项和。
答案：88
解析：根据等差数列的求和公式 ，得到前4项和$S_4 = frac{4}{2} times (2a_1 + (4-1)d) = 40$， 前8项和$S_8 = frac{8}{2} times (2a_1 + (8-1)d) = 64$。解这个 方程组得到首项$a_1=13$，公差 $d=-2$。然后根据等差数列的求 和公式，得到前12项和$S_{12} = frac{12}{2} times (2 times 13 + (12-1) times (-2)) = 88$。
等差数列在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如计算 存款利息、解决几何问题等。
公式中的参数意义
01
02
等差数列公式ppt课件
下节课预告
• 下节课我们将学习等差数列在实际生活中的应用，以及如何利 用等差数列解决实际问题。同时，我们还将学习等差数列的性 质，进一步加深对等差数列的理解。
感谢观看
THANKS
一般形式
等差数列的通项公式可以 表示为an=kn+b，其中k 和b是常数，n是项数。
特殊形式
当k=0时，等差数列变为 常数列；当b=0时，等差 数列变为等差序列。
扩展形式
通过变换通项公式，我们 可以得到其他形式的等差 数列。
等差数列通项公式的应用
数学问题求解
数学建模
利用通项公式可以求解等差数列中的 未知数。
日常计数
在日常生活中，我们经常使用等差 数列来计数物品，例如按顺序排列 的电话号码、门牌号等。
等差数列在数学领域中的应用
数学分析
在数学分析中，等差数列是研究 函数和级数的重要工具，可以用
于证明一些数学定理和性质。
几何学
在几何学中，等差数列可以用于 计算一些几何形状的周长、面积
和体积等。
组合数学
在组合数学中，等差数列可以用 于计算组合数的公式和性质。
通过建立数学模型，我们可以利用通 项公式解决实际问题。
实际应用
等差数列在日常生活和科学研究中有 着广泛的应用，例如在统计学、物理 学等领域。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
01
通过对等差数列的性质进行归纳 和演绎，利用倒序相加法推导出 等差数列的求和公式。
02
倒序相加法的原理是将等差数列 的前n项和与后n项和相加，再除 以2得到n项和的公式。
等差数列求和公式还可以用于解决一 些实际问题，例如计算存款的本金和 利息、计算工资等。
《等差数列课》课件
等差为负数的等差数列
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
等差数列及其通项公式ppt课件
新课探索
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的 前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列， 这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．
数列①、②、③均为等差数列， 它们的公差分别为－0.5，2%，4．
显然，若数列{an}为等差数列，那么它的递推关系为： an－an-1=d，n≥2 ； an+1－an = an－an-1，n≥2．
1.2.1 等差数列及其通项公式
温故知新
数列的通项公式： 如果数列{an}的第n项an，可以用关于n的一个公式表示，
那么这个公式就称为数列{an}的通项公式．
数列的递推公式： 如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可
用一个公式来表示，即an+1 =f (an)，n≥1，那么这个公式就叫作 数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件．
归纳小结
性质2 如果an，am，ap，aq为等差数列{an}的项，且n＋m=p＋q， （n，m，p，q∈N+）那么
an＋ am = ap＋ aq． 特别地，若n＋m=2p，那么 an＋ am = 2ap． 证明：记等差数列{an}的公差为d，则
an=a1＋(n－1)d， am=a1＋(m－1)d， ap=a1＋(p－1)d，aq=a1＋(q－1)d， 所以 an＋am =2a1＋(n＋m－2)d， ap＋aq=2a1＋(p＋q－2)d， 又 n＋m=p＋q，所以 an＋am = ap＋aq ．
新课探索
当n=1时，等式两边均为a1，这表明该等式对任意n∈N+都成立， 因此等差数列{an}通项公式为：
an=a1＋(n－1)d（n∈N+）
新课探索
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高一数学 等差数列优秀课件 ppt
1、掌握等差数列定义和通项公式; 2、提高学生的归纳、猜想能力; 3、联系生活中的数学。
[教学重点与难点]：
难点对等差数列特点的理解、把握和应 用 重点掌握对数列概念的理解、数列通项 公式的推导及应用
一、由具体例子归纳等差数列的定义
看下面的数列：
4，5，6，7，8，9，10 …… ；
②问－400是不是等差数列－5，－9，－13,… 的项？如果是，是第几项？ 解：a1=－5,d=－4 an=－5+(n－1)·(－4),则 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n， 使得 －401=－5+(n－1)·(－4)成立 解之得 n= 399
4
所以－400不是这个数列的项
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
2
2
2
⑴从高到低每级的宽度依次为（单位cm）
40，50，60，70，80，90，100； ⑵每级之间的高度相差分别为 40，40，40，40，40，40.
④ 从第2项起，每一项与前一项差都等于10 ⑤ 从第2项起，每一项与前一项差都等于0
问：这5个数列有什么共同特点？
这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
① 从第2项起，每一项与前一项差都等于1
3，0，－3，－6，……；
② 从第2项起，每一项与前一项差都等于－3
下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种
（表示鞋长、单位是cm）
21，21 1 ，22，22 1 ，23，231 ，24，24 1 ，25 ; ③
1 从第2项起，每一项与前一项差都等于 2
一张梯2子
列{an}的通项公式。
大家学习辛苦了，还是要坚持 继续保持安静
三、巩固通项公式 an=a1+(n－1)d (n∈N*)
（一）求通项an
若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an 例如：①a1=1, d=2, 则 an=1+(n－1)·2=2n－1
②已知等差数列8，5，2，…求 an及a20
从而可求出 a2=33+7=40 a3=40+7=47 a4=54…。 总结：在 an=a1+(n－1)d n∈N* 中，有an,a1,n,d 四个量,
已知其中任意3个量即可求出第四个量。
那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
（五）小综合
在等差数列｛an｝中已知a5=10, a12=31, 求a1、d及an
练习：a4=15 d=3 则a1=____6_____
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
(三)求项数n
例如： ①已知等差数列8，5，2…问－49是第几项? 解 ：a1=8, d=－3 则 an=8+(n－1)·(－3) －49=8+(n－1)·(－3) 得 n=20. ∴是第20项.
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
......
则 a2=a1+d
a3=a2+d=a1+2d a4=a3+d=a1+3d ……
an－1－an－2=d,
an －an－1=d.
这（n－1）个式子迭加
an － a1= (n－1)d
由此得到 a n=a1+(n－1)d
当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。 这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数
∴an=a1+(m－1)d+(n－m)d ∴本题=a也1+可(n以－这1)d样处理：
… a12=a5+(12－5)d
由a12=a5+(12－5)d 得 31=10+7d d=3
又 a5=a1+4d ∴ a1=－2
练习：等差数列｛an｝中, 已知 a3=9, 且 a9=3, 则)d
得 a5=a1+4d=10
a1=－2
a12=a1+11d=31
d=3
an=－2+(n－1)·3=3n－5
知识延伸： 由定义，可知：
猜想：任意两项an和am之间的 关系：an=am+(n－m)d
a6=a5+d
证明：∵am=a1+(m－1)d
a7=a6+d=a5+2d=a5+(7－5)d a8=a7+d=a5+3d=a5+(8－5)d
解：∴∵aan1==88+,(dn=－5－1)·8(=－－3)3=－3n+11
∴a20=－49
练习：已知等差数列3，7，11，…
则 an=____4_n__-1________ a4=___1_5_____ a10=_____3_9____
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
(二)求首项a1
例如 ：已知a20=－49, d=－3 则， 由a20=a1+(20－1)·(－3) 得a1=8
∵n∈N* ∴n最大为128， 故共有128个。 7
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
(四)求公差d
例如 一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中 间还有 10级，各级的宽度成等差数列。求公差d 及中间各级的宽度。
分析：用｛an｝表示梯子自上而下各级宽度所成的等差 数列。 由题意知 a1=33, a12=110, n=12 由 an=a1+(n-1)d 得 110=33+(12-1)d 解得 d=7
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每
一项与它的前一项的差等于同一常数，那么
这个数列就叫做等差数列, 通常用A ·P表示。 这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示。
数学语言： an－an－1=d
（d是常数，n≥2，n∈N*）
二、由定义归纳通项公式
a2 － a1=d，
a3 a4
－
—
aa23==dd，，
练习：10 100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果 是，是第几项？ 如果不是，说明理由.
20 在正整数集合中，有多少个三位数？
30 在三位正整数集合中有多少个是7的倍数？
解1:∵a1=2, a2=9,a3=16, ∴d=7,an =2+(n-1)=100
∴n=15.是第15项.
解2：这些三位数为100，101，102，…，999可组成首
项a1=100，公差d=1，末项为an=999的等差数列。
由 an=a1+(n－1)·1得999=100+（n－1）·1
解3∴：n这=9些99数－组10成0首+1项=9a010=105,公差 d=7的等差数列。
∴an=105+(n－1)·7
又an≤999
5
即 105+(n－1)·7≤999 解得 n≤128
1、掌握等差数列定义和通项公式; 2、提高学生的归纳、猜想能力; 3、联系生活中的数学。
[教学重点与难点]：
难点对等差数列特点的理解、把握和应 用 重点掌握对数列概念的理解、数列通项 公式的推导及应用
一、由具体例子归纳等差数列的定义
看下面的数列：
4，5，6，7，8，9，10 …… ；
②问－400是不是等差数列－5，－9，－13,… 的项？如果是，是第几项？ 解：a1=－5,d=－4 an=－5+(n－1)·(－4),则 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n， 使得 －401=－5+(n－1)·(－4)成立 解之得 n= 399
4
所以－400不是这个数列的项
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
2
2
2
⑴从高到低每级的宽度依次为（单位cm）
40，50，60，70，80，90，100； ⑵每级之间的高度相差分别为 40，40，40，40，40，40.
④ 从第2项起，每一项与前一项差都等于10 ⑤ 从第2项起，每一项与前一项差都等于0
问：这5个数列有什么共同特点？
这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
① 从第2项起，每一项与前一项差都等于1
3，0，－3，－6，……；
② 从第2项起，每一项与前一项差都等于－3
下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种
（表示鞋长、单位是cm）
21，21 1 ，22，22 1 ，23，231 ，24，24 1 ，25 ; ③
1 从第2项起，每一项与前一项差都等于 2
一张梯2子
列{an}的通项公式。
大家学习辛苦了，还是要坚持 继续保持安静
三、巩固通项公式 an=a1+(n－1)d (n∈N*)
（一）求通项an
若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an 例如：①a1=1, d=2, 则 an=1+(n－1)·2=2n－1
②已知等差数列8，5，2，…求 an及a20
从而可求出 a2=33+7=40 a3=40+7=47 a4=54…。 总结：在 an=a1+(n－1)d n∈N* 中，有an,a1,n,d 四个量,
已知其中任意3个量即可求出第四个量。
那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
（五）小综合
在等差数列｛an｝中已知a5=10, a12=31, 求a1、d及an
练习：a4=15 d=3 则a1=____6_____
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
(三)求项数n
例如： ①已知等差数列8，5，2…问－49是第几项? 解 ：a1=8, d=－3 则 an=8+(n－1)·(－3) －49=8+(n－1)·(－3) 得 n=20. ∴是第20项.
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
......
则 a2=a1+d
a3=a2+d=a1+2d a4=a3+d=a1+3d ……
an－1－an－2=d,
an －an－1=d.
这（n－1）个式子迭加
an － a1= (n－1)d
由此得到 a n=a1+(n－1)d
当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。 这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数
∴an=a1+(m－1)d+(n－m)d ∴本题=a也1+可(n以－这1)d样处理：
… a12=a5+(12－5)d
由a12=a5+(12－5)d 得 31=10+7d d=3
又 a5=a1+4d ∴ a1=－2
练习：等差数列｛an｝中, 已知 a3=9, 且 a9=3, 则)d
得 a5=a1+4d=10
a1=－2
a12=a1+11d=31
d=3
an=－2+(n－1)·3=3n－5
知识延伸： 由定义，可知：
猜想：任意两项an和am之间的 关系：an=am+(n－m)d
a6=a5+d
证明：∵am=a1+(m－1)d
a7=a6+d=a5+2d=a5+(7－5)d a8=a7+d=a5+3d=a5+(8－5)d
解：∴∵aan1==88+,(dn=－5－1)·8(=－－3)3=－3n+11
∴a20=－49
练习：已知等差数列3，7，11，…
则 an=____4_n__-1________ a4=___1_5_____ a10=_____3_9____
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
(二)求首项a1
例如 ：已知a20=－49, d=－3 则， 由a20=a1+(20－1)·(－3) 得a1=8
∵n∈N* ∴n最大为128， 故共有128个。 7
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
(四)求公差d
例如 一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中 间还有 10级，各级的宽度成等差数列。求公差d 及中间各级的宽度。
分析：用｛an｝表示梯子自上而下各级宽度所成的等差 数列。 由题意知 a1=33, a12=110, n=12 由 an=a1+(n-1)d 得 110=33+(12-1)d 解得 d=7
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每
一项与它的前一项的差等于同一常数，那么
这个数列就叫做等差数列, 通常用A ·P表示。 这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示。
数学语言： an－an－1=d
（d是常数，n≥2，n∈N*）
二、由定义归纳通项公式
a2 － a1=d，
a3 a4
－
—
aa23==dd，，
练习：10 100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果 是，是第几项？ 如果不是，说明理由.
20 在正整数集合中，有多少个三位数？
30 在三位正整数集合中有多少个是7的倍数？
解1:∵a1=2, a2=9,a3=16, ∴d=7,an =2+(n-1)=100
∴n=15.是第15项.
解2：这些三位数为100，101，102，…，999可组成首
项a1=100，公差d=1，末项为an=999的等差数列。
由 an=a1+(n－1)·1得999=100+（n－1）·1
解3∴：n这=9些99数－组10成0首+1项=9a010=105,公差 d=7的等差数列。
∴an=105+(n－1)·7
又an≤999
5
即 105+(n－1)·7≤999 解得 n≤128