定解条件和定解问题

定解条件和定解问题

含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。方程的分数是1的称为方程式，个数多于1的叫做方程组。方程（组）中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程（组）的阶数。如果方程（组）中的项关于未知函数及其各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程（组）为线性的，否则就称为非线性的。非线性又分为半线性、拟线性和完全非线性。

一、定解条件

给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。通解只要求满足方程，即满足某种物理定律，而不能完全确定一个物理状态。特解除了要求满足方程还要满足给定的外加（特殊）条件。对偏微分方程也是如此，换句话说，只有偏微分方程还不足以确定一个物理量随空间和时间的变化规律，因为在特定情况下这个物理量还与它的初始状态和它在边界受到的约束有关。描述初始时刻的物理状态和边界的约束情况，在数学上分别称为初始条件（或初值条件）和边界条件（或边值条件），他们统称为定解条件。

初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件，即描述物理过程初始状态的数学条件。

边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件，即描述物理过程边界状态的数学条件。

定解条件：初始条件和边界条件的统称。

非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件。

稳态问题：定解条件为边界条件。

1、弦振动方程 ( 2(,),0,0tt xx u a u f x t x l t -=<<>) 初始条件是指初始时刻（0t =）弦的位移和速度。若以()x ϕ， ()x ψ分别表示弦上任意点x 的初始位移和初始速度，则初始条件为：

边界条件是指弦在两端点的约束情况，一般有三种类型。

（1）第一类边界条件（狄利克雷(Dirichlet ）边界条件）:已知端点()x a a o a l ===或处弦的位移是()a g t ，则边界条件为：

(0,)(0,)u t g t = 或 (,)(,)u l t g l t =

当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示在该点处弦是固定的。

（2）第二类边界条件（诺伊曼（Neumann ）边界条件）：已知端点0x x l ==或处弦所受的垂直于弦线的外力0()g t 或()l g t ，则边界条件为：

0(0,)()x Tu t g t -= 或 (,)()x l Tu l x g t =

当00()0l g g t ≡≡或时，表示弦在端点0x x l ==或处自由滑动。

（3）第三类边界条件（混合边界条件或罗宾（Robin ）边界条件：已知端点处弦的位移和所受的垂直于弦线的外力的和：

000(0,)(0,)g (t),0,x Tu t k u t k -+=>

或

(,)(,)(),0x l l l Tu l t k u l t g t k +=>，

(,0)(),0(,0)(),

t u x x x l u x x ϕψ=⎧<<⎨=⎩

其中0l k k 和表示两端支承的弹性系数，当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示弦在该端点处被固定在一个弹性支承上。

2、热传导方程（2(x,t),x ,)n t u a u f t o -=∈Ω⊂>V R

初始条件是指初始时刻物体内的温度分布情况。

式中φ( x , y , z )为已知函数，表示温度在初始时刻的分布。

边界条件是指边界上温度受周围介质的影响情况，可分为三种。

（1） 第一类边界条件：介质表面温度已知

式中，p 为边界面上的点。 （2）第二类边界条件：通过介质表面单位面积的热流量己知。 （3）第三类边界条件：边界面与周围空间的热量交换规律已知

由热量守恒定律可知，这个热量等于单位时间内流过单位面积上的热量。

(,,,0)(,,)

T x y z x y z ϕ=0(,)S T

p t ϕ==, (,)n S

T T q K const f p t n n ∂∂=-==∂∂0() ()

n q T T αα=-为热交换系数0(), (,)S

T T K T T hT f p t n n α∂∂⎛⎫-=-+= ⎪∂∂⎝⎭

3、位势方程（泊松方程或拉普拉斯方程）

对于稳态问题，变量不随时间发生变化。定解条件不含初始条件，只有边界条件。

第一边值问题，狄利克莱问题（狄氏问题）

第二边值问题，牛曼问题

第三边值问题（混合问题）鲁宾问题

二、 定解问题

()

S f p ϕ=()

S f p n ϕ

∂=∂()S

h f p n ϕϕ∂+=∂

一个方程匹配上定解条件就构成定解问题。对于定解问题，通常由于定解条件的差异有下面的三种提法：

①偏微分方程（泛定方程）+初始条件+边界条件，称为初边值问题或混合问题；

②偏微分方程（泛定方程）+初始条件，称为初值问题或柯西问题；

③偏微分方程（泛定方程）边界条件，称为边值问题。 在一个偏微分方程的定解问题中，把不含未知函数及其偏导数的项，称为自由项。如果方程中的自由项为零，则称方程为齐次方程，否则就称为非齐次方程。如果边界条件中的自由项为零，则称边界条件为齐次边界条件，否则就称为非齐次边界条件。例如，对于弦振动方程，当外力等于零时，方程就变为齐次方程，此时也称它为弦的自由振动方程；当弦的两端固定时，边界条件就是齐次边界条件。

三、 例题

1、长为l 的弦，两端固定于0和l 。在中点位置将弦沿着横向拉开距离h ，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。

l

x

l/

解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有

初始位移

2、长为l 的杆，上端固定在电梯的顶杆上，杆身竖直，下端自由 。电梯在下降过程中，当速度为v0 时突然停止。试写出杆振动的定解问题。

四、 总结

00==(,)

t t u x t 02 0222=⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩[,](,)()[,]t h l x x l u x t h l l x x l l 222220,(0,),0(,0)0,(,0),(0,)(0,)(,)0,

0t x u u a x l t t x u x u x v x l u t u l t t ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎨==∈⎪⎪==≥

⎩