2018年杭州二中仿真考数学试卷+答案

2018年杭州二中高三仿真考数学试卷
说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规
定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
参考公式
第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
A ．35-∞⋃+∞（，）（，） B. 3[5-∞⋃+∞（，），） C ．3][5-∞⋃+∞（，，） D. 3]5-∞⋃+∞（，（，） 2．各项都是正数的等比数列}{n a 中，2a ，31
2
a ，1a 成等差数列，则34
45
++a a a a 的值为（ ） A B. C D. 3．函数f (x )＝sin(wx ＋ϕ)(w ＞0，ϕ＜π2)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移π
6个单位后得到的
函数图象关于直线x ＝π
2对称，则函数f (x )的解析式为（ ） A ．f (x )＝sin(2x ＋π3) B ．f (x )＝sin(2x －π
3)
|
C ．f (x )＝sin(2x ＋π6)
D ．f (x )＝sin(2x －π
6)
4．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪
≥-⎨⎪≤⎩
表示的平面区域S 的面积为9，若点S y x P ∈),(， 则y x z +=2的最大值为（ ）
A ．3 C ． 9 D. 12 5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A ．
323163
π
+
B.16833π+ C ．3236π+ D.836π+
6．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ）
A ．充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件
、
7．已知01a b <<<，则（ ）
A ．1(1)(1)b
b
a a ->- B. 2
(1)(1)b b
a a ->- C ． (1)(1)a
b a b +>+ D. (1)(1)a b a b ->-
8．如图，已知直线l ： 10y k x k =+>（）（） 与抛物线24C y x =：相交于A ，B 两点，且A 、B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若2AM BN =，则k 的值是（ ） A.
1
3
B. 2
C. 223
D. 22
9.已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙 两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.
.
（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）
A. 1212,()()p p E E ξξ><
B. 1212,()()p p E E ξξ<>
C. 1212,()()p p E E ξξ>>
D. 1212,()()p p E E ξξ<<
10．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：
（1）四面体E -BCD 的体积有最大值和最小值； （2）存在某个位置，使得AE BD ⊥；
（3）设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠；
（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，则点P 的轨迹为椭圆. 其中，正确说法的个数是（ ）
D
B
C
A
E
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
@
第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．已知,a b R ∈，复数z a i =-且
11z
bi i
=++（i 为虚数单位）
，则ab = ，z = ． 12．双曲线22
154
x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ．
13．设 ( 2 +x ) 10 ＝ a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +…+ a 10 x 10，则2a = ，(a 0 + a 2 + a 4 +…+ a 10) 2－(a 1 + a 3 + a 5
+…+ a 9) 2 的值为 ．
14．在ABC ∆中，90C ∠=，2CM MB =．若1
sin 5
BAM ∠=，则 tan BAC ∠= ．
15．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则AP BP ⋅的取值范围是 ； 若向量AC DE AP λμ=+，则λμ+的最小值为 .
16. 工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能．．连续．．固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．
^
17．已知函数2()3|2(4)1|f x ax x a x =+++--的最小值为2，则a = ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分）在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c B a b =-， （Ⅰ）求C ∠的大小；
（Ⅱ）若1
||22
CA CB -=，求ABC ∆面积的最大值．
19
．（
本
题
满
分
15
分
）
如
图
，
在
四
边
形
ABCD
中
，
AB --1f x x
=（
）ln g x x =（）21y f x =-（）y f x =（1[,]e e
x 1C y 2C ()0,1M 1C 2
C 3
1C 2C 1C 2C MAB ∆。

6
5
4
32
1E
D
B
P
A D
E
B
C
F
x
y B M
O
A
22. （本题满分15分）已知数列{}n a 满足：216n n x x +=-，*n N ∈，且对任意的*n N ∈都有211
n x -<, （Ⅰ）证明：对任意*n N ∈，都有121
3n x --≤≤
； （Ⅱ）证明：对任意*n N ∈，都有1222n n x x ++≥+； （Ⅲ）证明：12x =-.
&
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
·
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 & B
B
D
C
D
D
D
C
A
C
"
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．6- ；
10 ． 12．6； 25y =． 13． 720 1． 146
． 15．[0,1] ； 12 . 16. 60． 17．1
2
．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分）
解：（1）2cos 23b C a c =，
2sin cos 2sin sin 2sin cos 2sin()sin C B A B C B B C B ∴=-∴=+-，，
12sin cos sin cos 23B C B C C π
∴=∴=∴=，， ……………………………7分
（Ⅱ）取BC 中点D ，则1
||2||2
CA CB DA -==，在ADC ∆中，2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅，
（注：也可将1||2||2CA CB DA -==两边平方）即224()22
a ab
b =+-，
|
22
ab ab
≥=
，所以8≤ab ，当且仅当4,2==a b 时取等号．
此时1sin 2ABC S ab C ∆=
=
，其最大值为 ……………………………7分
19．（本题满分15分）
解：（Ⅰ）在△ABD 中，∠ABD ＝30°，由AO 2＝AB 2+BD 2－2AB·BD cos30°，
解得BD ＝3，所以AB 2+BD 2=AB 2，根据勾股定理得∠ADB ＝90°∴AD ⊥BD . 又因为DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥DE .
又因为BD ⋂DE ＝D ，所以AD ⊥平面BDEF ，又AD ⊂平面ABCD ，
∴平面ADE ⊥平面BDEF ， ............................6分 （Ⅱ）方法一：
【
如图，由已知可得90ADB ∠=，30ABD ∠=，则
30BDC ∠=，则三角形BCD 为锐角为30°的等腰三角形.
1,CD CB == 则1
2
CG =
. 过点C 做//CH DA ，交DB 、AB 于点G ，H ，则点G 为点F 在面ABCD 上的投影.连接FG ，则
CG BD ⊥，DE ⊥平面ABCD ，则CG ⊥平面BDEF .
过G 做GI BF ⊥于点I ，则BF ⊥平面GCI ，即角GCI 为 二面角C -BF -D 的平面角，则=GCI ∠60°.
则tan 60CG CI =，1
2CG =
，则GI =.
在直角梯形BDEF 中，G 为BD
中点，BD =，GI BF ⊥
，
GI =
，
设DE x = ，则GF x =，11
22
BGF S BG GF BF GI ∆=
⋅⋅=⋅⋅
，则DE =. \
tan FG FCG GC ∠=
=
，则sin FCG ∠，即CF 与平面ABCD
． （Ⅱ）方法二：
可知DA 、DB 、DE 两两垂直，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐
标系D-xyz .
设DE ＝h ，则D(0，0，0)，B(0，3，0)，C(－12，－3
2，h ). )0,23,21(--=，),2
3
,0(h -=.
设平面BCF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，
则00m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--02
3
0235.0hz y y x 取x =3，所以m ＝(3，-1，－32h )， 取平面BDEF 的法向量为n ＝(1，0，0)， 由cos cos60m n m n m n
⋅<>=
=⋅，，解得8
6=h ，则8
6=DE ，
又)86,0,21(=CF ,则8
22=CF ，设CF 与平面ABCD 所成角为α，
`
则sin α=11
33
82286=+.
故直线CF 与平面ABCD .............................9分 20．（本题满分15分）
解：（Ⅰ）当1x =，(21)(1)0y f f =-==. 3/2
1
''(21)(21)y f x x =-=
-，
当1x =，''(1)1y f ==，
所以切线方程为1
y x =-. （Ⅱ）(1ln y x x
==,
ln 11'x
y x +=
=因为1[,]x e e
∈
，所以0>.
令
ln ()12
x h x =+
，'()0h x =>，则()h x 在1[,]e e 单调递减，
因为(1)=0h ，所以()()y f x g x =⋅在1
[,1]e
上增，在[1,]e 单调递增.
min (1)(1)0y f
g =⋅=,max 11max{()(),()(e)}1,1y f g f e g e e =
⋅⋅=,
￥
11>()()y f
x g x =⋅在区间1[,]e e 上的值域为1].......................9分
21．
（本题满分15分）
解：（Ⅰ）依题意得对1C ：1b =，222
2
34a b e e a -=⇒==，得1C ：2214
x y +=；
同理2C ：2
2
14
+
1x y =. .............................6分
（Ⅱ）设直线MA MB ，的斜率分别为12k k ，，则MA ：11y k x =+，与椭圆方程联立得：
22
2211141-4041
x y x k x y k x ⎧+=⎪⇒++=⎨⎪=+⎩
（），得22
114180k x k x ++=（），得1A 218=41k x k -+,21A 2
141=41k y k -++，所以2112211841
A(,)4141
k k k k -+-++
同理可得222222224(
,)44k k B k k --++.所以22
11222222
11228822=(,),(,)414144k k k k MA MB k k k k ----=++++, 从而可以求得()2212211221222222122112822816()
11==2414441241(4)
k k k k k k k k S k k k k k k -----⋅-⋅++++++因为121k k =-，
所以()
()
3112
21
8+=
41k k S k
+，不妨设()
()
3
42'
111112
4
221
1
+491
0(),()4141k k k k k f k f k k
k
，--+>=
=
++
'422111()0491=0f k k k k ，，=∴--+，所以当S
最大时，21k ，此时两直线MA ，MB 斜率
的比值
2112=k k k -. ............................9分 /
22．（本题满分15分）
证明：（Ⅰ）证明：采用反证法，若不成立，则
a ） 若3n x <-,则2163n n x x +=->,与任意的*n N ∈
都有n x 矛盾；
b ）
若n x >,
则有n x
则
22111
6(
)6,22n n x x +=-<-=
-
22216(6n n x x ++=->-=
与任意的*n N ∈
都有
n x <矛盾；
故对任意*n N ∈，都有132
n x -≤≤成立； .........................5分
（Ⅱ）由216n n x x +=-得21+26+2=+22n n n n x x x x +=-⋅-（）（），
则1+2+22n n n x x x +=⋅-，由（Ⅰ）知0n x ≤，22n x -≥，
即对任意*n N ∈，都有1222n n x x ++≥+；. ........................5分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得：21-112222222n n n n x x x x ++≥+≥+≥⋅⋅⋅≥+， 由（Ⅰ）知，31n x -≤≤-， ∴121n x ++≤， ∴1221n x +≤，即1122n
x +≤
， 若12x ≠-，则120x +>,取211log 12n x ⎡⎤
≥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦
时，有1122n x +>，与1122n x +≤矛盾.
则12x =-. 得证. ........................5分。