傅里叶级数变换.ppt

0 , T ,
m n m n
构成
二、信号分解为正交函数
设有n个函数
( t ) , ( t ) , .... , ( t ) 在区间 (t1 , t2 ) 1 2 n
一个正交函数空间。将任一函数 f (t )用这 n 个正交函数的 线性组合来近似，可表示为：
f ( t ) C ( t ) C ( t ) ...... C ( t ) C ( t ) 1 1 2 2 n n j j
（2）正交函数集

( t )......... ( t ) k i 为常数，则称函数集 为区间
1 n
i j 0, (t) (t)dt i j t1 ki 0, i j
t2
[t1 , t 2 ] 内的正交函数集。
（3）完备正交函数集
如果在正交函数集
t2
1
之外不存在函数 ( t )......... ( t ) 1 n
) 在区间 (t0,t0 T
对于复函数:
2 内组成完备正交函数集。 T
( t ) ( i 1 , 2 , ....., n ) 若复函数集 在区间 i
0 ij ( t ) ( t ) dt i t 1 k 0 ij i
t 2 j
(t1 , t2 )
Y j H j F j
4.1 信号分解为正交函数
信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的
概念相似。
y
A C v C v 1 x 2 y
C 2v y
A
C 1v x
vx,vy
x
为各相应方向的正交单位矢量。
它们组成一个二维正交矢量集。 矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空 间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信 号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。
满足
，则称此复函数集为正 交函数集。
复函数集 {e
t0 T
jnt
} ( n 0 , 1 , 2 , .... ) 在区间
jn t
( t0 , t0 T )
内是完备的正交函数集。

t0
e
jm t
(e
) dt
t0 T
t0
e
j(m n ) t
dt
2 其中 T 。
n ，均
, t2 )内分解为无穷多项
4.2 傅里叶级数
t )f( t mT )在区间 t ,t T 将周期信号 f( 内展开成完 0 0
备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集 是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的 无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数”或“指数形 傅
在第二章中我们以 t 为基本信号将任意信号进行分解
y t f t h t h t d f f

f t f t t t d f

n j 1
根据最小均方误差原则，可推出：
f( t) ( t) dt 1 C f( t) ( t) dt K ( t ) dt
t 1 i t2 i t2 t 1 2 i i t 1 i t2
式中： K
i
i (t) dt
2 t1
t2
如果分解的项数越多则误差愈小。即 方误差 2 0 ，即 f (t ) 在区间 (t1 之和。
一、正交函数集
（1）正交函数 在 [t1 , t 2 ] 区间上定义的非零实函数
1 ( t )和 2 ( t )
若满足条件
(t) dt 0 (t)
t1 1 2
t2
则函数 1 ( t ) 与 2 ( t ) 为在区间 [t1 , t 2 ] 的正交函数。
] 在区间 [t1 , t 2 上的 n个函数（非 1 (t ) …… n ( t ) ,其中任意两个均满足 零）
里叶级数”，统称为傅里叶级数。 1 ,cos t,cos 2 t, ... ,cos( m t ) , ... t,sin2 t , ... , sin ( n t ), ... sin
{e
jnt
} ( n 0 , 1 , 2 , .... )
t, cos ω , e t 指数函数积分。 sin


j t
具有一定幅度和相位，角频率为的虚指数函数
Fe
j t

作用于LTI连续系统时，所引起的响应(零状态响应)是同 频率的虚指数函数，可表示为：
Ye H j Fe
j t j t
系统的影响表现为频率响应函数 H j ，它是信号角 频率的函数，而与时间t无关，用于系统分析的独立变 量为，故称之为频域分析。
第四章
傅里叶变换和系统的频域分析
本章主要内容:
4.1 信号分解为正交函数 4.2 傅里叶级数 4.3 周期信号的频谱 4.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换） 4.5 傅里叶变换的性质 4.6 周期信号的傅里叶变换 4.7 LTI连续系统的频域分析 4.8 取样定理 变换域分析的基本思想仍为：将信号分解为基本信号之和 或积分的形式，再求系统对基本信号的响应，从而求出系统对 给定信号的响应（零状态响应）。
( t ) 满足等式 i 1 , 2 ,......., n t) (t) dt 0 i( t
，则称该函数集为完备正交函数集。
1 , cos t , cos 2 t , ... , cos( m t ) , ... , sin t , sin t ,.. si ( n t ) .
其中h(t)反映了系统的特性。
本章以正弦函数或 e j t (虚指数函数) 为基本信号 任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或
jn t 虚指数函数之和。sin ,cos ,e n t n t
n 0 , 1 , 2
任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚