最新洪帆《离散数学基础》(第三版)课后习题答案
离散数学课后习题答案(第三章)
b）R1-R2；
c）R12；
d) r（R1-R2）（即R1-R2的自反闭包）。
解a）（A×A）-R1不是A上等价关系。例如：
A={a,b}，R1={＜a,a＞，＜b,b＞}
A×A={＜a,a＞，＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,b＞}
（A×A）-R1={＜a,b＞，＜b,a＞}
所以（A×A）-R1不是A上等价关系。
c）若R1是A上等价关系，则
＜a,a＞∈R1＜a,a＞∈R1○R1
所以R12是A上自反的。
若＜a,b＞∈R12则存在c，使得＜a, c＞∈R1∧＜c,b＞∈R1。因R1对称，故有
＜b, c＞∈R1∧＜c,a＞∈R1＜b, a＞∈R12
即R12是对称的。
若＜a,b＞∈R12∧＜b, c＞∈R12,则有
若c<0，则a<0u<0au>0
所以(a+bi)R(u+vi)，即R在C*上是传递的。
关系R的等价类，就是复数平面上第一、四象限上的点，或第二、三象限上的点，因为在这两种情况下，任意两个点(a,b)，(c,d)，其横坐标乘积ac>0。
3-10.9设Π和Π是非空集合A上的划分，并设R和R分别为由Π和Π诱导的等价关系，那么Π细分Π的充要条件是RR。
证明：若Π细分Π。由假设aRb，则在Π中有某个块S，使得a,b∈S，因Π细分Π，故在Π中，必有某个块S，使SS，即a,b∈S，于是有aRb,即RR。
反之，若RR，令S为H的一个分块，且a∈S，则S=[a]R={x|xRa}
但对每一个x，若xRa，因RR，故xRa，因此{x|xRa}{x|xRa}即[a]R[a]R
＜＜x,y＞,＜u,v＞＞∈R∧＜＜u,v＞,＜w,s＞＞∈R
离散数学习题答案如下
离散数学习题答案如下离散数学是一门研究离散结构和离散现象的数学学科。
它与连续数学相对应，强调的是离散的、不连续的数学对象和现象。
离散数学的研究对象包括集合、关系、函数、图论等。
在离散数学的学习过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和掌握。
下面是一些离散数学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 集合论习题题目：给定集合A={1,2,3,4,5}和集合B={3,4,5,6,7}，求A与B的并集、交集和差集。
答案：A与B的并集为{1,2,3,4,5,6,7}，交集为{3,4,5}，A与B的差集为{1,2}。
2. 关系与函数习题题目：给定关系R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}，判断该关系是否为自反、对称、传递关系。
答案：该关系不是自反关系，因为元素1没有与自身相关联；该关系不是对称关系，因为(1,2)属于R，但(2,1)不属于R；该关系是传递关系，因为对于任意的(a,b)和(b,c)，若(a,b)和(b,c)均属于R，则(a,c)也属于R。
3. 图论习题题目：给定无向图G，其邻接矩阵为：0 1 1 01 0 1 11 1 0 10 1 1 0求图G的度数序列和邻接矩阵的平方。
答案：图G的度数序列为(2,3,3,2)，即顶点1的度数为2，顶点2的度数为3，顶点3的度数为3，顶点4的度数为2；邻接矩阵的平方为：2 23 22 3 3 33 34 32 3 3 24. 组合数学习题题目：有5个红球和3个蓝球，从中选取3个球，求选取的球中至少有一个红球的概率。
答案：选取的球中至少有一个红球等价于选取的球中没有红球的概率的补集。
选取的球中没有红球的情况只有选取3个蓝球，所以概率为C(3,3)/C(8,3)=1/56。
因此，选取的球中至少有一个红球的概率为1-1/56=55/56。
以上是一些离散数学习题的答案，通过解答这些习题可以加深对离散数学的理解和掌握。
离散数学作为一门重要的数学学科，不仅在理论研究中有广泛应用，也在计算机科学、信息科学等领域中发挥着重要作用。
离散数学课后答案
离散数学课后答案1. 集合论1.1. 集合的基本概念•问题1：什么是集合？如何表示一个集合？集合是由一些确定的元素构成的整体。
可以使用以下方式表示一个集合：–列举法：将集合的所有元素逐一列举出来，并用大括号{}包括起来。
–描述法：使用一种公式或条件来描述集合中的元素的特点，并用大括号{}包括起来。
–空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
•问题2：集合的关系有哪些？集合的关系有以下几种：–包含关系（⊆）：集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集，表示为A⊆B。
–真包含关系（⊂）：集合A是集合B的子集，且A≠B，则称集合A是集合B的真子集，表示为A⊂B。
–并集（∪）：将两个集合中的所有元素合并在一起，去除重复元素。
–交集（∩）：将两个集合中共有的元素提取出来。
–差集（-）：从一个集合中去掉与另一个集合中相同的元素。
–互斥关系：两个集合没有共同的元素，即交集为空集。
1.2. 集合的运算•问题1：集合的运算有哪些？集合的运算有以下几种：–并集运算（∪）：将两个集合中的所有元素合并在一起，去除重复元素。
–交集运算（∩）：将两个集合中共有的元素提取出来。
–差集运算（-）：从一个集合中去掉与另一个集合中相同的元素。
–补集运算（C）：对于给定的全集U，集合A 在U中的补集就是U中除去集合A中的所有元素所构成的集合，表示为A’。
–笛卡尔积（×）：将两个集合的元素按照有序对的形式进行组合，构成一个新的集合。
•问题2：集合运算的性质有哪些？集合运算的性质有以下几种：–交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。
–结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
–分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。
–吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A。
–互补律：A∪A’ = U，A∩A’ = ∅。
离散数学习题与参考答案
习题二谓词逻辑一、选择题1、下列哪个式子不是谓词演算的合式公式( )A. (x)(A(x,2)∧B(y))B. (x)(A(x)∧B(x,y))C. ((x)∧(y))→(A(x,y)∧B(x,y))D. (x)(A(x)→B(y))2、设个体域是整数集，则下列命题的真值为真的是（）A.∀x∃y (xy=1)B. ∃x∀y(x+y=y)C.∃x∀y(x+y=x)D. ∀x∃y(y=2x)3、设B是不含变元x的公式，谓词公式(x)(A(x)→B)等价于( )A.(x)A(x)→BB. (x)A(x)→BC. A(x)→BD.(x)A(x)→(x)B4、谓词公式(x)(P(x)∨(y)R(y))→Q(x)中的x( ).A.只是约束变元B.只是自由变元C.既非约束变元又非自由变元D.既是约束变元又是自由变元5、谓词公式(x)P(x,y)∧(x)(Q(x,z)→(x)(y)R(x,y,z))中量词x的辖域是（）.A．(x)Q(x,z)→(x)(y)R(x,y,z))B．Q(x,z)→(y)R(x,y,z)C．Q(x,z)→(x)(y)R(x,y,z)D．Q(x,z)6、在论域D={a,b}中与公式（）A（x）等价的不含存在量词的公式是（）A. B.C. D.7、设M（x）：x是人；F（x）：x要吃饭.用谓词公式表达下述命题：所有的人都要吃饭，其中错误的表达式是（）.A．B．C．D．8、设个体域A={a,b}，公式xP(x)∧xS(x)在A中消去量词后应为（）.A．P(x)∧S(x) B．P(a)∧P(b)∧(S(a)∨S(b))C．P(a)∧S(b) D．P(a)∧P(b)∧S(a)∨S(b)9、按照约束变元的改名规则，∀xP(x) →∃yR(x,y)不可改写成（）. A．∀mP(m) →∃yR(x,y) B．∀xP(x) →∃zR(x,z)C．∀xP(x) →∃xR(x,x) D．∀xP(x) →∃nR(x,n)10、∀ x∀y(P(x,y)∧Q(y,z))∧(∃x)p(x,y),下面的描述中错误的是（）A.(∀ x)的辖域是（∀ y）（P（x,y）∧Q(y,z)）B．z是该谓词公式的约束变元C.(∃ x）的辖域是P（x,y）D. x是该谓词公式的约束变元二、填空题1、设P(x)：x非常聪明；Q(x):x非常能干；a：小李；则命题“小李非常聪明和能干”的为谓词表达式为_______.2、使公式(x)( y)(A(x)∧B(y))(x)A(x)∧(y)B(y)成立的条件是______不含有y，______不含有x.3、公式(x)A(x)→B(y)的前束范式为______.4、公式x(P(x)→Q(x,y)∨zR(y, z))→S(x)中的自由变元为________________，约束变元为________________.5、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。
大学离散数学课后习题答案
大学离散数学课后习题答案大学离散数学课后习题答案离散数学是大学数学中的一门重要课程，它主要研究离散结构及其运算规则，是计算机科学、信息技术等领域的基础。
在学习离散数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
然而，由于离散数学的题目种类繁多、难度不一，学生在解题过程中常常会遇到困难。
为了帮助同学们更好地学习离散数学，我整理了一些常见习题的答案，并将其按照不同章节进行分类。
1. 命题逻辑命题逻辑是离散数学中的基础内容，它研究命题的真假和推理的规则。
在命题逻辑中，常见的习题类型包括真值表、命题公式的等值变换等。
下面是一道典型的命题逻辑习题及其答案：习题：给定命题P: "如果我明天考试及格，那么我会去图书馆。
" 命题Q: "我没有去图书馆。
" 请判断以下命题的真假：(1) 如果我明天考试及格，那么我没有去图书馆。
(2) 如果我没有去图书馆，那么我明天考试不及格。
答案：根据题意可知，P是一个条件命题，Q是其否定。
根据条件命题的真值定义可知，当P为真，Q为假时，命题(1)为假；当P为假，Q为真时，命题(2)为真。
因此，命题(1)为假，命题(2)为真。
2. 集合论集合论是离散数学中的另一个重要内容，它研究集合的性质和运算规则。
在集合论中，常见的习题类型包括集合的运算、集合关系的判断等。
下面是一道典型的集合论习题及其答案：习题：设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，C={4,5,6,7,8}，求(A∪B)∩C的元素。
答案：首先，求A和B的并集，得到A∪B={1,2,3,4,5,6,7}；然后，求A∪B和C 的交集，得到(A∪B)∩C={4,5}。
因此，(A∪B)∩C的元素为4和5。
3. 关系与函数关系与函数是离散数学中的另一个重要内容，它研究元素之间的关系和映射规则。
在关系与函数中，常见的习题类型包括关系的性质判断、函数的图像和原像等。
下面是一道典型的关系与函数习题及其答案：习题：设关系R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}，请判断以下命题的真假：(1) R是自反关系。
离散数学课后习题答案
离散数学课后习题答案1.3.1习题1.1解答1设S = {2，a，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下⾯的写法哪些是对的，哪些是错的？{a}∈S,{a}∈R,{a,4,{3}}?S,{{a},1,3,4}?R,R=S,{a}?S,{a}?R,φ?R,φ?{{a}}?R?E,{φ}?S,φ∈R,φ?{{3},4}。
解：{a}∈S ，{a}∈R ，{a，4，{3}} ? S ，{{a}，1，3，4 } ? R ，R = S ，{a}?S ，{a}? R ，φ? R ，φ? {{a}} ? R ? E ，{φ} ? S ，φ∈R ，φ? {{3}，4 }2写出下⾯集合的幂集合{a，{b}}，{1，φ}，{X，Y，Z}解：设A={a，{b}}，则ρ(A)={ φ，{a}，{{b}}，{a，{b}}}；设B={1，φ}，则ρ(B)= { φ，{1}，{φ}，{1，φ}}；设C={X，Y，Z}，则ρ(C)= { φ，{X}，{Y}，{Z}，{X，Y }，{X，Z }，{ Y，Z }，{X，Y，Z}}；3对任意集合A，B，证明：(1)A?B当且仅当ρ(A)?ρ(B)；(2)ρ(A)?ρ(B)?ρ(A?B)；(3)ρ(A)?ρ(B)=ρ(A?B)；(4)ρ(A-B) ?(ρ(A)-ρ(B)) ?{φ}。
举例说明：ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)证明：(1)证明：必要性，任取x∈ρ(A)，则x?A。
由于A?B，故x?B，从⽽x∈ρ(B)，于是ρ(A)?ρ(B)。
充分性，任取x∈A，知{x}?A，于是有{x}∈ρ(A)。
由于ρ(A)?ρ(B)，故{x}∈ρ(B)，由此知x∈B，也就是A?B。
（2）证明：任取X∈ρ(A)∪ρ(B)，则X∈ρ(A)或X∈ρ(B)∴X?A或X?B∴X?(A∪B)∴X∈ρ(A∪B)所以ρ(A)∪ρ(B) ?ρ( A∪B)（3）证明：先证ρ(A)∩ρ(B) ?ρ( A∩B)任取X∈ρ(A)∩ρ(B)，则X∈ρ(A)且X∈ρ(B)∴X?A且X?B∴X? A∩B∴X∈ρ( A∩B)所以ρ(A)∩ρ(B) ?ρ( A∩B)再证ρ( A∩B) ?ρ(A)∩ρ(B)任取Y∈ρ(A∩B)，则Y? A∩B∴Y?A且Y?B∴Y∈ρ(A)且Y∈ρ(B)∴Y∈ρ(A)∩ρ(B)所以ρ( A∩B) ?ρ(A)∩ρ(B)故ρ(A)∩ρ(B) = ρ( A∩B)得证。
[离散数学课后习题答案]离散数学课后习题答案（第一章）
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[离散数学课后习题答案]离散数学课后习题答案(第一章)篇一: 离散数学课后习题答案1-1，1-2指出下列哪些语句是命题，那些不是命题，如果是命题，指出它的真值。
离散数学是计算机科学系的一门必修课。
是命题，真值为T。
b)计算机有空吗？不是命题。
c)明天我去看电影。
是命题，真值要根据具体情况确定。
d)请勿随地吐痰。
不是命题。
e)不存在最大的质数。
是命题，真值为T。
f)如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲语言就容易多了。
是命题，真值为T。
g)9+5≤12.是命题，真值为F。
h)X=3.不是命题。
i)我们要努力学习。
不是命题。
举例说明原子命题和复合命题。
原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
设P表示命题“天下雪。
”Q表示“我将去镇上。
”R表示命题“我有时间。
”以符号形式写出下列命题a)如果天不下雪和我有时间，那么我将去镇上。
b)我将去镇上，仅当我有时间时。
c)天不下雪。
d)天下雪，那么我不去镇上。
用汉语写出一些句子，对应下列每一个命题。
a)Q?Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q?:我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
→QQ→R ┓PP→┓Qb)R∧QR:我在看电视。
[)Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c)∧Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
∧:一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
将下列命题符号化。
a)王强身体很好，成绩也很好。
设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)小李一边看书，一边听音乐。
设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)气候很好或很热。
设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
设P：a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)四边形ABCD是平行四边形，当且仅当它的对边平行。
设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q：四边形ABCD的对边平行。
P?Qf)停机的原因在于语法错误或程序错误。
离散数学第3章习题答案
离散数学第3章习题答案离散数学是计算机科学和数学领域中的一门重要课程，它涉及到了许多有趣的概念和方法。
在离散数学的学习过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固所学的知识，并提升自己的思维能力和解决问题的能力。
本文将对离散数学第3章的一些习题进行解答，帮助读者更好地理解和掌握相关的知识。
1. 习题3.1题目：证明或给出反例：若A、B、C是集合，且A∪B=A∪C，则B=C。
解答：要证明这个命题，我们可以采用反证法。
假设存在集合A、B、C，满足A∪B=A∪C，但是B≠C。
由于A∪B=A∪C，所以对于任意的元素x，如果x属于B，那么x也属于A∪C，反之亦然。
由于B≠C，所以存在一个元素y，y属于B但不属于C，或者y属于C但不属于B。
不失一般性，我们假设y属于B但不属于C。
由于y属于A∪B，所以y属于A∪C。
但是由于y不属于C，所以y必须属于A。
这就意味着y属于A∩B。
但是由于y属于B，所以y属于B∩A。
由于A∩B=A∩C，所以y属于C∩A。
但是由于y不属于C，所以y属于C∩A必然不成立。
因此，假设B≠C是错误的，即B=C。
2. 习题3.2题目：证明或给出反例：若A、B、C是集合，且A∩B=A∩C，则B=C。
解答：要证明这个命题，我们同样可以采用反证法。
假设存在集合A、B、C，满足A∩B=A∩C，但是B≠C。
由于A∩B=A∩C，所以对于任意的元素x，如果x属于B，那么x也属于A∩C，反之亦然。
由于B≠C，所以存在一个元素y，y属于B但不属于C，或者y属于C但不属于B。
不失一般性，我们假设y属于B但不属于C。
由于y属于A∩B，所以y属于A∩C。
但是由于y不属于C，所以y不属于C∩A。
这就意味着y不属于A∩C。
但是由于y属于A∩B，所以y 属于A∩C必然成立。
因此，假设B≠C是错误的，即B=C。
3. 习题3.3题目：证明或给出反例：若A、B、C是集合，且A∪B=A∩C，则B=C。
解答：要证明这个命题，我们同样可以采用反证法。
离散数学第三版课后习题答案
离散数学第三版课后习题答案【篇一：离散数学(第三版)陈建明,刘国荣课后习题答案】念分析结构思想与推理证明第一部分集合论刘国荣交大电信学院计算机系离散数学习题解答习题一（第一章集合）1. 列出下述集合的全部元素：1）a={x | x ∈n∧x是偶数∧ x＜15}2）b={x|x∈n∧4+x=3} 3）c={x|x是十进制的数字} [解] 1）a={2，4，6，8，10，12，14}2）b=?3）c={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 2. 用谓词法表示下列集合： 1）{奇整数集合}2）{小于7的非负整数集合}3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29} [解] 1）{n?n?i?(?m?i)(n=2m+1)}；2）{n?n?i?n?0?n7}；3）{p?p?n?p2?p30??(?d?n)(d?1?d?p?(?k?n)(p=k?d))}。
3. 确定下列各命题的真假性： 1） 2）?∈? 3）??{?} 4）?∈{?}5）{a，b}?{a，b，c，{a，b，c}} 6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c}) 7）{a，b}?{a，b，{{a，b，}}} 8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}} [解]1）真。
因为空集是任意集合的子集； 2）假。
因为空集不含任何元素； 3）真。
因为空集是任意集合的子集； 4）真。
因为?是集合{?}的元素；5）真。
因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集； 6）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；7）真。
因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集； 8）假。
因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。
4. 对任意集合a，b，c，确定下列命题的真假性： 1）如果a∈b∧b∈c，则a∈c。
2）如果a∈b∧b∈c，则a∈c。
3）如果a?b∧b∈c，则a∈c。
[解] 1）假。
例如a={a}，b={a，b}，c={{a}，{b}}，从而a∈b∧b∈c但a∈c。
（完整版）洪帆《离散数学基础》（第三版）课后习题答案
（完整版）洪帆《离散数学基础》（第三版）课后习题答案第1章集合1、列举下列集合的元素 (1) 小于20的素数的集合 (2) 小于5的非负整数的集合(3) 2{|,10240515}i i I i i i ∈--<≤≤且答：(1) {1,3,5,7,11,13,17,19}(2) {0,1,2,3,4} (3) {5,6,7,8,9,10,11}2、用描述法表示下列集合 (1) 12345{,,,,}a a a a a 答：{|,15}i a i Ii ∈≤≤ (2) {2,4,8,}L 答：{2|}i i N ∈ (3) {0,2,4,100}L答：{2|,050}i i Z i ∈≤≤3、下面哪些式子是错误的？(1) {}{{}}a a ∈ 答：正确 (2) {}{{}}a a ? 答：错误(3) {}{{},}a a a ∈ 答：正确 (4) {}{{},}a a a ? 答：正确4、已给{2,,{3},4}S a =和{{},3,4,1}R a =，指出下面哪些论断是正确的？哪些是错误的？(1) {}a S ∈ 错误(2) {}a R ∈ 正确 (3) {,4,{3}}a S ? 正确 (4) {{},1,3,4}a R ? 正确 (5)R S = 错误 (6) {}a S ? 正确 (7) {}a R ?错误(8) R φ?正确(9) {{}}a R φ?? 正确(10) {}S φ?错误(11) R φ∈错误(12) {{3},4}φ?正确5、列举出集合,,A B C 的例子，使其满足A B ∈，B C ∈且A C ?答：{}A a =，{{}}B a =，显然A B ∈，{{{}}}C a =，显然B C ∈，但是A C ?。
6、给出下列集合的幂集 (1) {,{}}a b答：幂集{,{},{{}},{,{}}a b a b φ (2) {,,{}}a a φ答：幂集{,{},{},{{}},{,},{,{}},{,{}},{,,{}}}a a a a a a a a φφφφφ 7、设{}A a =，给出A 和2A 的幂集答：2{,{}}A a φ= 22{,{{}},{{}},{,{}}}Aa a φφφ=8、设128{,,,}A a a a =L 由17B 和31B 所表示的A 的子集各是什么？应如何表示子集2,67{,}a a a 和13{,}a a 答：170001000148{,}B B a a ==310001111145678{,,,,}B B a a a a a ==2,670100011070{,}a a a B B ==，1310100000160{,}a a B B ==9、设{1,2,3,4,5}U =，{1,4}A =，{1,2,5}B =，{2,4}C =，确定集合： (1) A B '? (2) ()A B C '?? (3) ()A B C ?? (4)()()A B A C (5) ()A B '? (6) A B ''? (7) ()B C '? (8)B C ''? (9) 22A C - (10)22A C ? 答：(1) {3,4}B '=，{4}A B '?=(2) {1}A B ?=，{1,3,5}C '=，(){1,3,5}A B C '??= (3) {2}B C ?=，(){1,2,4}A B C ??=(4) {1,2,4,5}A B ?=，{1,2,4}A C ?=，()(){1,2,4}A B A C = (5) (){2,3,4,5}A B '?= (6) {2,3,5}A '=，{2,3,4,5}A B ''?= (7) {1,2,4,5}BC ?=，(){3}B C '?= (8) {3,4}B '=，{1,3,5}C '=，{3}B C ''?=(9) 2{,{1},{4},{1,4}}A φ=，2{,{2},{4}{24}}C φ=，，，22{{1},{1,4}}A C -= (10) 22{,{4}}A C φ?=10、给定自然数集N 的下列子集：{1,2,7,8}A =，2{|50}B i i =<，{|330}C i i i =≤≤可被整数，0{|2,,06}k D i i k Z k ==∈≤≤求下列集合： (1) (())A B C D 答：{1,2,3,4,5,6,7}B =，{0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}C =，{1,2,4,8,16,32,64}D =(()){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,16,18,21,24,27,30,32,64}A B CD = (2) (())A B C D φ=(3) ()B A C -?解：{0,1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30}A C ?=，(){4,5}B A C -?= (4) ()A B D '??解：{3,4,5,6}A B B A '?=-=，(){1,2,3,4,5,6,8,16,32,64}A B D '??=11、给定自然数集N 的下列子集{|12}A n n =<，{|8}B n n =≤，{|2,}C n n k k N ==∈，{|3,}D n n k k N ==∈ {|21,}E n n k k N ==-∈将下列集合表示为由,,,,A B C D E 产生的集合：(1) {2,4,6,8} (2){3,6,9} (3){10} (4){|369}n n n n ==≥或或(5) {|109}n n n n n ≤>是偶数且或是奇数且 (6) {|6}n n 是的倍数答：{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}A =，{1,2,3,4,5,6,7,8}B ={2,4,6,8,}C =L ，{3,6,9,12,}D =L ，{1,3,5,7,}E =L {2,4,6,8}B C =? {3,6,9}=A D ? {10}=(())A B D E ---(4){|369}n n n n ==≥=或或{3}{6}{9,10,11,12,}??L{3,6,9,10,11,12,}()A D B '==??L(5) {2,4,6,8,10,11,13,15,}(()())(())A E E B A D B =-?--?-L (6) {|6}{6,12,18,24,30}n n ==L 是的倍数C D ?12、判断以下哪些论断是正确的，哪些论断是错误的，并说明理由。
离散数学习题的答案解析
离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q ∧（9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →（11）下雪路滑，他迟到了解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→15、设p ：2+3=5.q ：大熊猫产在中国.r ：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()p p q →⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示：20、求下列公式的成真赋值：（4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒00p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为100。
离散数学课后答案
离散数学课后答案第一章离散数学基础题目1问题：证明集合A和集合B的笛卡尔积的基数等于集合A 和集合B的基数的乘积。
答案：设集合A的基数为|A|，集合B的基数为|B|。
我们要证明集合A和集合B的笛卡尔积的基数等于集合A和集合B的基数的乘积，即|(A x B)| = |A| * |B|。
首先，我们可以将集合A x B表示为{(a, b) | a∈A, b∈B}。
由于A和B是两个集合，集合A x B中的元素可以看作是将A 中每个元素与B中每个元素组成的有序对。
因此，集合A x B 中的元素个数等于A中元素的个数乘以B中元素的个数，即|(A x B)| = |A| * |B|。
题目2问题：对任意两个集合A和B，证明A∩(A∪B) = A。
答案：要证明A∩(A∪B) = A，首先我们需要理解集合的交和并的定义。
- 集合的交：集合A∩B表示同时属于集合A和集合B的元素组成的集合。
- 集合的并：集合A∪B表示属于集合A或集合B的元素组成的集合。
现在，我们开始证明。
首先，根据集合的并的定义，A∪B 表示属于集合A或集合B的元素组成的集合。
因此，任意属于集合A的元素也一定属于A∪B，即A⊆A∪B。
其次，根据集合的交的定义，A∩(A∪B)表示同时属于集合A和集合A∪B的元素组成的集合。
由于A⊆A∪B，所以A中的元素一定属于A∪B，因此A∩(A∪B) = A。
综上所述，对任意两个集合A和B，A∩(A∪B) = A成立。
第二章命题逻辑题目1问题：证明合取命题的真值表达式。
答案：合取命题的真值表达式表示命题P和命题Q同时为真时合取命题为真，否则为假。
假设命题P和命题Q的真值分别为真（T）或假（F），那么合取命题的真值可以通过以下真值表得出：P Q P∧QT T TT F FF T FF F F从上述真值表可以看出，只有P和Q都为真时，合取命题才为真。
如果其中一个或两个命题为假，则合取命题为假。
题目2问题：证明命题的等价关系。
(完整版)洪帆《离散数学基础》(第三版)课后习题答案
第1章 集合1、列举下列集合的元素 (1) 小于20的素数的集合 (2) 小于5的非负整数的集合 (3) 2{|,10240515}i i I i i i ∈--<≤≤且 答：(1) {1,3,5,7,11,13,17,19}(2) {0,1,2,3,4} (3) {5,6,7,8,9,10,11}2、用描述法表示下列集合 (1) 12345{,,,,}a a a a a 答：{|,15}i a i I i ∈≤≤ (2) {2,4,8,}L 答：{2|}i i N ∈ (3) {0,2,4,100}L答：{2|,050}i i Z i ∈≤≤3、下面哪些式子是错误的？ (1) {}{{}}a a ∈ 答：正确 (2) {}{{}}a a ⊆ 答：错误 (3) {}{{},}a a a ∈ 答：正确 (4) {}{{},}a a a ⊆ 答：正确4、已给{2,,{3},4}S a =和{{},3,4,1}R a =，指出下面哪些论断是正确的？哪些是错误的？ (1) {}a S ∈ 错误(2) {}a R ∈ 正确 (3) {,4,{3}}a S ⊆ 正确 (4) {{},1,3,4}a R ⊆ 正确 (5)R S = 错误 (6) {}a S ⊆ 正确 (7) {}a R ⊆错误 (8) R φ⊆正确 (9) {{}}a R φ⊆⊆ 正确 (10) {}S φ⊆错误 (11) R φ∈错误 (12) {{3},4}φ⊆正确5、 列举出集合,,A B C 的例子，使其满足A B ∈，B C ∈且A C ∉答：{}A a =，{{}}B a =，显然A B ∈，{{{}}}C a =，显然B C ∈，但是A C ∉。
6、 给出下列集合的幂集 (1) {,{}}a b答：幂集{,{},{{}},{,{}}a b a b φ (2) {,,{}}a a φ答：幂集{,{},{},{{}},{,},{,{}},{,{}},{,,{}}}a a a a a a a a φφφφφ 7、设{}A a =，给出A 和2A 的幂集答：2{,{}}A a φ= 22{,{{}},{{}},{,{}}}Aa a φφφ=8、 设128{,,,}A a a a =L 由17B 和31B 所表示的A 的子集各是什么？应如何表示子集2,67{,}a a a 和13{,}a a 答：170001000148{,}B B a a ==310001111145678{,,,,}B B a a a a a ==2,670100011070{,}a a a B B ==，1310100000160{,}a a B B ==9、 设{1,2,3,4,5}U =，{1,4}A =，{1,2,5}B =，{2,4}C =，确定集合： (1) A B '⋂ (2) ()A B C '⋂⋃ (3) ()A B C ⋃⋂ (4)()()A B A C ⋃⋂⋃ (5) ()A B '⋂ (6) A B ''⋃ (7) ()B C '⋃ (8)B C ''⋂ (9) 22A C - (10)22A C ⋂ 答：(1) {3,4}B '=，{4}A B '⋂=(2) {1}A B ⋂=，{1,3,5}C '=，(){1,3,5}A B C '⋂⋃= (3) {2}B C ⋂=，(){1,2,4}A B C ⋃⋂=(4) {1,2,4,5}A B ⋃=，{1,2,4}A C ⋃=，()(){1,2,4}A B A C ⋃⋂⋃= (5) (){2,3,4,5}A B '⋂= (6) {2,3,5}A '=，{2,3,4,5}A B ''⋃= (7) {1,2,4,5}B C ⋃=，(){3}B C '⋃= (8) {3,4}B '=，{1,3,5}C '=，{3}B C ''⋂=(9) 2{,{1},{4},{1,4}}A φ=，2{,{2},{4}{24}}C φ=，，，22{{1},{1,4}}A C -= (10) 22{,{4}}A C φ⋂=10、 给定自然数集N 的下列子集：{1,2,7,8}A =，2{|50}B i i =<，{|330}C i i i =≤≤可被整数，0{|2,,06}k D i i k Z k ==∈≤≤求下列集合： (1) (())A B C D ⋃⋃⋃ 答：{1,2,3,4,5,6,7}B =，{0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}C =，{1,2,4,8,16,32,64}D =(()){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,16,18,21,24,27,30,32,64}A B C D ⋃⋃⋃= (2) (())A B C D φ⋂⋂⋂=(3) ()B A C -⋃解：{0,1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30}A C ⋃=，(){4,5}B A C -⋃= (4) ()A B D '⋂⋃解：{3,4,5,6}A B B A '⋂=-=，(){1,2,3,4,5,6,8,16,32,64}A B D '⋂⋃=11、 给定自然数集N 的下列子集{|12}A n n =<，{|8}B n n =≤，{|2,}C n n k k N ==∈，{|3,}D n n k k N ==∈ {|21,}E n n k k N ==-∈将下列集合表示为由,,,,A B C D E 产生的集合：(1) {2,4,6,8} (2){3,6,9} (3){10} (4){|369}n n n n ==≥或或 (5) {|109}n n n n n ≤>是偶数且或是奇数且 (6) {|6}n n 是的倍数答：{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}A =，{1,2,3,4,5,6,7,8}B ={2,4,6,8,}C =L ，{3,6,9,12,}D =L ，{1,3,5,7,}E =L {2,4,6,8}B C =⋂ {3,6,9}=A D ⋂ {10}=(())A B D E ---(4){|369}n n n n ==≥=或或{3}{6}{9,10,11,12,}⋃⋃L{3,6,9,10,11,12,}()A D B '==⋂⋃L(5) {2,4,6,8,10,11,13,15,}(()())(())A E E B A D B =-⋃--⋂-L (6) {|6}{6,12,18,24,30}n n ==L 是的倍数C D ⋂12、 判断以下哪些论断是正确的，哪些论断是错误的，并说明理由。
离散数学第三版课后习题答案
由此可得（A\B）\（B\C）（A\B）\C。
3）方法一：（A\C）\C
=A\（B∪C）(根据1))
=A\（C∪B）（并运算交换律）
4）真。因为是集合{}的元素；
5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；
6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；
7）真。因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；
8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。
4.对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：
A′∪B=(A∪A′)∪B（∪的交换律）
A′∪B=X∪B（互补律）
A′∪B=Ｘ（零壹律）
方法三：因为A′X且BX，所以根据定理2的3）就有A′∪BＸ；
另一方面，由于BA′∪B及根据换质位律可得B′A′A′∪B，因此，由互补律及再次应用定理2的3），可得X=B∪B′A′∪B，即XA′∪B；
所以，A′∪B=Ｘ。
=（A\C）\B（根据1））
方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，可知x∈A，xB，xC。由为x∈A，xC，所以，x∈A\C。又由xB，x∈（A\C）\B。所以，（A\B）\C（A\C）\B。
同理可证得（A\C）\B（A\B）\C。
9.设A、B是Ⅹ全集的子集，证明：
ABA′∪B=XA∩B′=
[解](采用循环证法)
离散数学辅助教材
概念分析结构思想与推理证明
第一部分
集合论
离散数学习题解答
《离散数学(第三版)》期末复习知识点总结含例题(呕心沥血整理).doc
6、理解函数概念：函数、函 数相等、复介畅数和反畅数。
7、理解单射、满射、双射等 概念，学握其判别方法。 ［木章重点习题］
P25,1；P32〜33, 4, 8, 10；P43,2, 3, 5；
2、考核试卷题量分配
试卷题量在各部分的分 配是：集合论约i'40% ,数理 逻辑约占40%,
设R是篥合A上的二元 关系，如果关系R同时 具有性.对称性
和性，则称R是
等价关系。
命题公式G=（PaQ）->R,则G共冇个
不同的解释；把G在其 所有解释下所取真值列 成一个表，称为G的;解
释（「P, Q, ->R）或（0,
（al9a2）e R. \a2,a3）e R,,则（R。如若（a,b）w R,R ,
则有,且（b,b）w R。
R=心）血2）伽）‘（3,4），（4,4啊織劇命题与联
念的基础上，主要掌握闭包的 求法。关键是熟记三个定理的 结论：定理2 ,
=R5a；定理3,s（R）=R o R '；定理4,
n
推论/（/?） =Ijx。
1 , 0）使G的真值 为，
设G二（P, L）是图.如 果G是连通的，并 口,则G
是树。如果根树T的每 个点V最多有两棵子树, 则称T
为O
［单项选择题］（选择一个正确 答案的代号，填入括号中）
1.由集合运算定义，下列 各式正确的冇
()O
A.XcXuY
B.XoXuY
C.XcXnY
D.YcXnY
2.设Rp R?是集合A={a, b, c, d)±的两个关系，其中Ri={ (a. a) , (b, b) , (b, c) , (d, d)), R2={ (a, a) , (b, b),
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第1章 集合1、列举下列集合的元素 (1) 小于20的素数的集合 (2) 小于5的非负整数的集合 (3) 2{|,10240515}i i I i i i ∈--<≤≤且 答：(1) {1,3,5,7,11,13,17,19}(2) {0,1,2,3,4} (3) {5,6,7,8,9,10,11}2、用描述法表示下列集合 (1) 12345{,,,,}a a a a a 答：{|,15}i a i I i ∈≤≤ (2) {2,4,8,} 答：{2|}i i N ∈ (3) {0,2,4,100}答：{2|,050}i i Z i ∈≤≤3、下面哪些式子是错误的？ (1) {}{{}}a a ∈ 答：正确 (2) {}{{}}a a ⊆ 答：错误 (3) {}{{},}a a a ∈ 答：正确 (4) {}{{},}a a a ⊆ 答：正确4、已给{2,,{3},4}S a =和{{},3,4,1}R a =，指出下面哪些论断是正确的？哪些是错误的？ (1) {}a S ∈ 错误(2) {}a R ∈ 正确 (3) {,4,{3}}a S ⊆ 正确 (4) {{},1,3,4}a R ⊆ 正确 (5)R S = 错误 (6) {}a S ⊆ 正确 (7) {}a R ⊆错误 (8) R φ⊆正确 (9) {{}}a R φ⊆⊆ 正确 (10) {}S φ⊆错误 (11) R φ∈错误 (12) {{3},4}φ⊆正确5、 列举出集合,,A B C 的例子，使其满足A B ∈，B C ∈且A C ∉答：{}A a =，{{}}B a =，显然A B ∈，{{{}}}C a =，显然B C ∈，但是A C ∉。
6、 给出下列集合的幂集 (1) {,{}}a b答：幂集{,{},{{}},{,{}}a b a b φ (2) {,,{}}a a φ答：幂集{,{},{},{{}},{,},{,{}},{,{}},{,,{}}}a a a a a a a a φφφφφ 7、设{}A a =，给出A 和2A 的幂集答：2{,{}}A a φ= 22{,{{}},{{}},{,{}}}Aa a φφφ= 8、 设128{,,,}A a a a =由17B 和31B 所表示的A 的子集各是什么？应如何表示子集2,67{,}a a a 和13{,}a a 答：170001000148{,}B B a a ==310001111145678{,,,,}B B a a a a a ==2,670100011070{,}a a a B B ==，1310100000160{,}a a B B ==9、 设{1,2,3,4,5}U =，{1,4}A =，{1,2,5}B =，{2,4}C =，确定集合： (1) A B '⋂ (2) ()A B C '⋂⋃ (3) ()A B C ⋃⋂ (4)()()A B A C ⋃⋂⋃ (5) ()A B '⋂ (6) A B ''⋃ (7) ()B C '⋃ (8)B C ''⋂ (9) 22A C - (10)22A C ⋂ 答：(1) {3,4}B '=，{4}A B '⋂=(2) {1}A B ⋂=，{1,3,5}C '=，(){1,3,5}A B C '⋂⋃= (3) {2}B C ⋂=，(){1,2,4}A B C ⋃⋂=(4) {1,2,4,5}A B ⋃=，{1,2,4}A C ⋃=，()(){1,2,4}A B A C ⋃⋂⋃= (5) (){2,3,4,5}A B '⋂= (6) {2,3,5}A '=，{2,3,4,5}A B ''⋃= (7) {1,2,4,5}B C ⋃=，(){3}B C '⋃= (8) {3,4}B '=，{1,3,5}C '=，{3}B C ''⋂=(9) 2{,{1},{4},{1,4}}A φ=，2{,{2},{4}{24}}C φ=，，，22{{1},{1,4}}A C -= (10) 22{,{4}}A C φ⋂=10、 给定自然数集N 的下列子集：{1,2,7,8}A =，2{|50}B i i =<，{|330}C i i i =≤≤可被整数，0{|2,,06}k D i i k Z k ==∈≤≤求下列集合： (1) (())A B C D ⋃⋃⋃ 答：{1,2,3,4,5,6,7}B =，{0,3,6,9,12,15,18,21,C =，{1,2,4,8,16,32,64}D =(()){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,16,18,24,27,30,32,64}A B C D ⋃⋃⋃= (2) (())A B C D φ⋂⋂⋂=(3) ()B A C -⋃解：{0,1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30}A C ⋃=，(){4,5}B A C -⋃= (4) ()A B D '⋂⋃解：{3,4,5,6}A B B A '⋂=-=，(){1,2,3,4,5,6,8,16,32,64}A B D '⋂⋃=11、 给定自然数集N 的下列子集{|12}A n n =<，{|8}B n n =≤，{|2,}C n n k k N ==∈，{|3,}D n n k k N ==∈ {|21,}E n n k k N ==-∈将下列集合表示为由,,,,A B C D E 产生的集合：(1) {2,4,6,8} (2){3,6,9} (3){10} (4){|369}n n n n ==≥或或 (5) {|109}n n n n n ≤>是偶数且或是奇数且 (6) {|6}n n 是的倍数答：{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}A =，{1,2,3,4,5,6,7,8}B ={2,4,6,8,}C =，{3,6,9,12,}D =，{1,3,5,7,}E = {2,4,6,8}B C =⋂ {3,6,9}=A D ⋂ {10}=(())A B D E ---(4){|369}n n n n ==≥=或或{3}{6}{9,10,11,12,}⋃⋃{3,6,9,10,11,12,}()A D B '==⋂⋃(5) {2,4,6,8,10,11,13,15,}(()())(())A E E B A D B =-⋃--⋂- (6) {|6}{6,12,18,24,30}n n ==是的倍数C D ⋂12、 判断以下哪些论断是正确的，哪些论断是错误的，并说明理由。
(1) 若a A ∈，则a A B ∈⋃答：正确，根据集合并的定义 (2) 若a A ∈，则a A B ∈⋂答：显然不正确，因为根据集合交运算的定义，必须a 同时属于A 和B (3) 若a A B ∈⋂，则a B ∈ 答：正确(4) 若A B ⊆，则A B B ⋂= 答：错误(5) 若A B ⊆，则A B A ⋂= 答：正确(6) 若a A ∉，则a A B ∉⋃ 答：错误(7) 若a A ∉，则a A B ∉⋂ 答：正确13、 设,,A B C 是任意的集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理由(1) 若A B A C ⋂=⋂，则B C =答：不正确，反例，设A φ=，则不论,B C 是什么集合，都有A B A C φ⋂=⋂=，但显然,B C 不一定相等。
(2) 当且仅当A B B ⋃=，有A B ⊆；答：正确，证明如下：若A B B ⋃=，则对a A ∀∈，有a A B B ∈⋃=，则有a B ∈，因此有A B ⊆。
反之，若A B ⊆，则A B B ⋃=显然成立。
(3) 当且仅当A B A ⋂=，有A B ⊆答：正确，证明如下：若A B A ⋂=，则对a A ∀∈，因此a A B ∈⋂，则a B ∈，则有A B ⊆。
若A B ⊆，则a A ∀∈，有a B ∈，因此由a A ∈，可以得出a A B ∈⋂，因此A A B ⊆⋂，又A B A ⋂⊆，有A B A ⋂=。
(4) 当且仅当A C ⊆，有()A B C φ⋂-=答：不正确，因为()A B C A B C '⋂-=⋂⋂，因此不一定需要满足A C ⊆，而若A B φ⋂=也可以满足。
例如：{,,}A a b c =，{,}B d e =，{,}C a b =，()A B C φ⋂-=成立，而A C ⊆不成立。
(5) 当且仅当B C ⊆，有()A B C A -⋃=答：不正确，因为若B C ⊆，有()A B C A -⋃=成立，但是反之不成立，反例如下:{1,2,3,4,5}A =，{1,6}B =，{1,2}C =，而{2,3,4,5}A B -=，(){1,2,3,4,5}A B C -⋃=，但是B C ⊆不成立。
14、 设,,,A B C D 是集合，下述哪些论断是正确的？哪些是错误的？说明理由。
(1) 若,A B C D ⊆⊆，则()A C B D ⋃⊆⋃答：正确，证明：对a A C ∀∈⋃，则a A ∈或a C ∈，因为,A B C D ⊆⊆，因此a B ∈或a D ∈，因此a B D ∈⋃，即()A C B D ⋃⊆⋃成立。
(2) 若,A B C D ⊆⊆，则()A C B D ⋂⊆⋂ 答：正确(3)若A B ⊂，C D ⊂，则()A C B D ⋃⊂⋃ 答：正确(4) 若,A B C D ⊂⊂，则()A C B D ⋂⊂⋂答：不正确。
例如若,A B C D ⊂⊂，但是A C φ⋂=，B D φ⋂=，则()A C B D φφ=⋂⊆⋂=。
15、 设,A B 是两个集合，问：(1)如果A B B -=，那么A 和B 有什么关系？答：因为A B B -=，而A B A B B '-=⋂=，即对a B ∀∈有,a A a B '∈∈，因此A B φ==。
(2) 如果A B B A -=-，那么A 和B 有什么关系？答：充要条件是A B =。
证明：因为A B B A -=-的()()A B A B A A -⋃=-⋃，从而有A A B =⋃，即A B ⊆，同理可证明B A ⊆，因此A B =。
16、 设,A B 是任意集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理由。
(1) 222A B A B ⋃=⋃答：不正确。
例如{,}A a b =，{,}B b c =，则{,,}A B a b c ⋃=2{,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}}A B a b c a b a c b c a b c φ⋃= 2{,{},{},{,}}A a b a b φ=，2{,{},{},{,}}B b c b c φ=显然222A B A B ⋃=⋃不成立。