2010级随机过程考试题及答案

2010级硕士生《随机过程》考试题
解：状态转移概率如下图所示：
，，
（1）由图可知：
状态空间S 可分为C1：{1 ,2,3}，C2：{4,5}，C3：{6}三个不可约闭集，三个集合中的状态同类，全是正常返；周期全为1。

（2） 21)1(11=f
2723132312131313221)4(11
=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=f
（3）
由于三个集合都是闭集，所以平稳分布分布在各个闭集中求解。

平稳分布的计算公式为：
⎪⎩⎪⎨
⎧≥==∑∑∈∈I j j j I i ij i j p 0,1ππππ
对C1：{1 ,2,3}
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎨⎧=+++=+=+=1
32313221312132132
32
12311ππππππππππππ
解得：
838
341321=
==πππ，，
对C2：{4 ,5}
⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪
⎪⎨⎧=++=+=121212121545
45544ππππππππ
解得：
2154=
=ππ
对C3：{6} 易得：16=π
（4）C1：{1 ,2,3}中， 各状态的平均返回时间分别是：
4
1
1
1==
πμ
3
81
2
2=
=πμ
3
81
3
3=
=πμ
C2：{4 ,5}中，
2
1
4
4==
πμ
2
1
5
5==πμ
C3：{6}中，
1
1
6
6==
πμ
1.
5.设质点在区间[0,4]的整数点做随机游动，到达0点或者4点后以概率1停留在原处，在其他整数点分别以概率1/3向左、向右移动一格或者停留在原处，画出转移概率图并求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵。

解：
转移概率图如下：
二步概率转移矩阵为
10.
3 . 设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到
达的顾客不超过3人的概率。

1. 设在[0,t]内事件A 已经发生n 次，且0<s<t ，对于0<k<n ，求
})(|)({n t X k s X P ==.
解：利用条件概率及泊松分布，得
})({}
)(,)({})(|)({n t X P n t X k s X P n t X k s X P ====
==
})({}
)()(,)({n t X P k n s X t X k s X P =-=-==
!)()!
()]([!)()(n t e
k n s t e k s e n
t k n s t k s
λλλλλλ-------=
k
n k
k n t s t s C -⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=1
2. 设电话总机在(0,t]内接到电话呼叫数)(t X 是具有强度（每分钟）
为λ的泊松分布，求：
（1）两分钟内接到3次呼叫的概率；
（2）“第二分钟内收到第三次呼叫”的概率。

解： （1）
λ
λλλ232334!3)2(}3)()2({--===-+e
e t X t X P
（2）
∑=-≥-=-=2
}
3)1()2(,)0()1({k k X X k X X P P
∑=-≥-=-=2
}
3)1()2({})0()1({k k X X P k X X P
)
1(2
)1()2
1(2
2
λλλ
λ
λλλ
λ
λλλλλλ----------+
--+-
--=e e e e
e e e
e
e
)]
221()2
1[(22
λλλλλλ
++-+
+=--e e
3 . 设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟
内到达的顾客不超过3人的概率。