热传导问题的一些研究

热传导问题的一些研究

吴越 PB06001060 摘 要：对于导热系数随温度变化的非线性热传导问题，采用基尔霍夫

变换方法进行线性化

处理求解。

关键词：非线性，基尔霍夫变换，热传导。

0 引言

在研究分析热传导问题时，通常对物性参数作线性化的假定，因为线性化的假定，可卓有成效地利用数学线性理论中的迭加原理。但是，在工程应用中所遇到的大量实际问题，从根本上来讲都是非线性的。例如，当温度变化很大，或输运性质随温度的变化剧烈时，要正确描述热传导问题，必须考虑输运系数随温度的变化，则热传导微分方程就为非线性的；又如高温下的传热过程，在边界上必然要有服从四次方规则的热辐射因素参与，从而边界条件为非线性的。此时采用基尔霍夫变换方法，来处理热传导中的导热系数随温度变化的非线性问题。

1 基本概念和方程

当物体的导热系数随温度变化时，借助于基尔霍夫变换，改变因变量，可使导热系数k(T)

式中，假定 C p ,

ρ，k 随温度而变化，而热源项g(r,t)不随温度变化。按照基尔霍夫变换定义一个新的因变量U 如下：

式中T 0是参考温度， k 0是温度为T 0时的k(T) 值。方程式可重新写成：

代入得

式中α=α(T) 是温度的函数。由于

α是温度的函数，式子仍是非线性的。但是，在分析求解时，从形式上来看，它比原式要容易求解得多。如果α

（T) 随温度变化甚小，则可假定α为常数，方程可近似看成为

线性方程。 对于稳态问题，由于式(1.5)的左边不存在了，借助于基尔霍夫变

换，非线性热传导微分 方程可转化为线性方程。下面我们介绍对三类边界条件如何进行基尔霍夫变换。

第一类边界条件：令边界上的温度是给定的，并为

根据基尔霍夫变换式(1.2)，这个边界条件经过变换后仍是第一类边界 条件。为便于说明，视k( T) 与温度的关系为：

9) 则

且边界条件变换后为

第二类边界条件：第二类边界条件为如下形式：

根据基尔霍夫变换式，这个边界条件经过变换后为第二类线性边界条件，因为，

将此式代入得

2 算例分析

式中，导热系数k (T ) 与温度的关系假定为如下形式：

变换可得

显然，如果我们假定 α 为常数，变换后的问题，就为线性问题，则不难求得U （x ，t ） 。若取参考温度 T 0为零度，则变换式简化为

经从U 到T 的逆变换得

3结束语

本文介绍了热传导问题中，使用基尔霍夫变换求解非线性问题的基本办法。通过具体算例，显示了其优越性。

参考文献

[1] M．N．奥齐西克著，俞昌铭译．热传导[M]．北京：高等教育出版社，1984.

[2] 陶文铨.数值传热学. 西安: 西安交通大学出版社,1988.