数学建模之方差分析

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方差分析数学建模

学号姓名班级学院学院编号成绩05010101郭强050101机械187 ********张旭鹏050101机械171 05010103李桂艳050101机械175 ********杨功050101机械178 ********禹善强050101机械176 ********刘达050101机械166 ********刘中晗050101机械161 05010108王振波050101机械167 05010109赵长亮050101机械182 ********石增辉050101机械174 05010111过建奇050101机械172 05010112王振春050101机械171 05010113刘旸洋050101机械179 05010114邳亚山050101机械176 ********李志敏050101机械176 ********马红梅050101机械164 05010117李新澎050101机械171 05010118靳颖050101机械173 ********刘占文050101机械170 05010120关晓月050101机械172 05010121郑元秀050101机械169 05010122李宁050101机械179 05010123张廉050101机械170 05010124朱勇050101机械177 ********李亚娟050101机械172 05010126王大成050101机械178 ********徐延050101机械186 ********徐岩050101机械173 ********刘喆050101机械184 ********魏邈050101机械166 ********汪薇050102机械182 ********刘叶050102机械161 05010203李丹霞050102机械172 05010204王璟050102机械155 ********陈兴华050102机械180 ********王倩050102机械165 05010207杨昭胜050102机械164 05010208白力坤050102机械165 05010209尹娜050102机械177 ********孙超050102机械166 ********李瑛050102机械168 05010212刘湉050102机械179 05010213苗宇050102机械173 ********闫巍050102机械184 ********崔翼050102机械159 ********王红维050102机械17105010217邱倩倩050102机械174 05010218刘瑛050102机械174 05010219张雷050102机械180 ********费腾飞050102机械163 05010221孟昭福050102机械168 05010222苏友朋050102机械148 05010223韩冬050102机械187 ********宓晓庆050102机械179 05010225谢昆050102机械178 ********高学明050102机械163 05010227金鑫050102机械169 05010228巴志堃050102机械164 05010229钟尹050102机械172 05010230刘丽050102机械180 ********杨成050103机械175 ********薛立鹏050103机械177 ********沃娜050103机械176 ********梁宪050103机械178 ********高洁050103机械182 ********吴惠青050103机械175 ********段宝龙050103机械165 05010308郭晓城050103机械174 05010309陈武050103机械164 05010310魏锋050103机械184 ********葛彦050103机械160 05010312范柏铭050103机械169 05010313李辉050103机械174 05010314刘家祺050103机械172 05010315杨爽050103机械180 ********姜斌050103机械173 ********刘宝050103机械166 ********周若璞050103机械177 ********赵婉莹050103机械164 05010320孟宪娟050103机械176 ********彭飞050103机械175 ********赵建平050103机械166 ********杨廷江050103机械165 05010324韩卓050103机械164 05010325李永录050103机械164 05010326周建国050103机械165 05010327齐静050103机械187 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05030827孙嘉琳050308化工382 05030828袁予钊050308化工376 05030829王彬彬050308化工390 05030901苏捷050309化工374 05030902卢垚050309化工367 05030903陈旭050309化工385 05030904许国贺050309化工386 05030905杨玉美050309化工390 05030906肖迪050309化工386 05030907叶晟050309化工393 05030908周赢050309化工380 05030909徐锋050309化工394 05030910李玲050309化工396 05030911卢紫筠050309化工380 05030912王晓磊050309化工388 05030913王立利050309化工390 05030914莫小河050309化工392 05030915高雅春050309化工379 05030916焦强050309化工385 05030917肖尧050309化工392 05030918杨文凯050309化工387 05030919徐庆艳050309化工392 05030920贾梦瑶050309化工378 05030921汪培俊050309化工388 05030922徐子剑050309化工397 05030923王兵050309化工377 05030924魏学刚050309化工371 05030925许宜阳050309化工387 05030926刘博050309化工381 05030927陈京超050309化工394 05030928郝宇050309化工37905030929项立勇050309化工374 05031001陈小赛050310化工383 05031002卢珊050310化工391 05031003季浩岩050310化工382 05031004刘宇050310化工375 05031005梁冰050310化工379 05031006赵丹050310化工377 05031007陈琦全050310化工368 05031008于平平050310化工381 05031009李享050310化工389 05031010冯超050310化工381 05031011邵安琪050310化工375 05031012叶志青050310化工390 05031013唐睿050310化工386 05031014周婧050310化工386 05031015孔斌050310化工382 05031016曹钟玲050310化工381 05031017潘洁050310化工375 05031018胡硕050310化工380 05031019尤杨050310化工398 05031020李凡050310化工379 05031021高永叡050310化工384 05031022郭丽丽050310化工379 05031023梁刚050310化工385 05031024张东旭050310化工373 05031025苗绪威050310化工374 05031026刘永鑫050310化工368 05031027张闱祺050310化工384 05031028宁婉050310化工388 05031029徐思亮050310化工386 05031101王静050311化工385 05031102徐其义050311化工369 05031103吴迪050311化工380 05031104蒲春林050311化工388 05031105张斌050311化工388 05031106姚金伍050311化工377 05031107刘芳芳050311化工374 05031108孙伟源050311化工370 05031109季鹏050311化工384 05031110卢娜050311化工381 05031111王淑惠050311化工359 05031112易岳俊050311化工378 05031113殷家卉050311化工378 05031114许宏亮050311化工386 05031115赵鹏050311化工387 05031116王若050311化工381 05031117李玉婷050311化工37005031118刘亚东050311化工381 05031119桑小强050311化工385 05031120陈安琪050311化工378 05031121呼骁050311化工373 05031122左剑050311化工374 05031123韩毅050311化工398 05031124边亚平050311化工379 05031125杨洪英050311化工387 05031126李冰旋050311化工382 05031127张伟050311化工387 05031128方麒麟050311化工394 05031129张瑶瑶050311化工383 05031201包婷婷050312化工382 05031202王卓然050312化工383 05031203胡力050312化工366 05031204刘燕琼050312化工392 05031205李彬050312化工390 05031206张昊050312化工384 05031207尚伟050312化工375 05031208殷虹050312化工376 05031209王欣050312化工367 05031210张洋050312化工380 05031211范加嘉050312化工382 05031212佟磊050312化工385 05031213宋澜波050312化工347 05031214毛瑾050312化工371 05031215杨正海050312化工379 05031216刘欣050312化工376 05031217幸福050312化工393 05031218焦健050312化工392 05031219陈锐昌050312化工394 05031220刘玥050312化工372 05031221王倩050312化工371 05031222易致高050312化工381 05031223尹航050312化工381 05031224江会臣050312化工384 05031225冯括050312化工375 05031226李洋050312化工377 05031227王莹鑫050312化工376 05031228张琳浩050312化工370 05031229李宁050312化工368 05031230李琳050312化工380 05040101许欢虹050401环境468 05040102凌崇050401环境492 05040103乔雪050401环境477 05040104李彤彤050401环境473 05040105王大为050401环境477。

方差分析(ANOVA)PPT参考课件

三、多个样本均数的两两比较
34
2020/1/15
方差分析能说明什么问题？
不拒绝H0，表示拒绝总体均数相等的证据不
足分析终止
拒绝H0，接受H1, 表示总体均数不全相等
哪两两均数之间相等？哪两两均数之间不等？
需要进一步作多重比较
35
2020/1/15
能否用T检验呢当有k个均数需作两两比较时，比较的次数共有c= ＝ k!/(2!(k-2)!)=k(k-1)/2
18~岁 21.65 20.66
… … 18.82 16 22.07 8.97
30~岁 27.15 28.58
… … 23.93 16 25.94 8.11
45~60岁 20.28 22.88 … … 26.49 16 25.49 27 7.19
2020/1/15
基本步骤
（1）建立假设，确定检验水准
2020/1/15
单因素方差分析（1）方差齐性检验
结果分析
2020/1/15
Test of Homogeneity of Variances
no
Levene Statistic 3.216
df1 2
df2 33
Sig. .053
Levene方法检验统计量为3.216，其P值为0.053，可认为样本所来自的总体满足方差齐性的要求。
方差分析（ANOVA）
1
2020/1/15
n4
n3 n2 n1
Y4
Y3 Y2
Y1
2
2020/1/15
例子：某研究者在某单位工作人员中进行了体重指数（BMI）抽样调查，随机抽取不同年龄组男性受试者各16名，测量了被调查者的身高和体重值，由此按照BMI=体重/身高2公式计算了体重指数，请问，不同年龄组的体重指数有无差异。

第二章方差分析课件

误差
DFAB a 1b 1 6
SSe SST SSt 1170
当 p 3 时，
0.05 水平上不显著 0.05 水平上不显著 0.05 水平上不显著
yC yA 8 0.05 水平上显著 yD yB 6 0.05 水平上不显著当 p 4 时， yD yA 9 0.05 水平上显著
3、新复极差法（SSR法）同 q 法，其中：LSR SSR;df , p SE 例2.4 接例2.1数据
地块A
B1 化学控制
田间管理B
B2 集成虫害管理
合计TA
B3 改良集成虫害管理
平均yi
A1 A2 A3 A4 A5 A6
合计TB 平均y j
71 90 59 75 65 82
442 73.67
73 90 70 80 60 86
459 76.50
77 92 80 82 67 85
483 80.50
T
2 j
.
C
a
MS B
a 1 b 1 SSe SST SSA SSB MSe
ab 1
SST y2 C
F F
MS A MS e MS B MS e
多重比较：
A因素
SE MSe b
B因素
SE MSe a
例2.5 为了研究不同的田间管理方法对草莓产量的影响，选择了6个不同的地块，每个地块分成3个小区，随机安排3种田间管理方法，数据入下表。进行方差分析。
221
73.67
272
90.67
209
69.67
237
79.00
192
64.00
253 84.33
T 1384
解：由题可知 a 6,b 3

方差分析建模

因为p=0.0029<0.01，故不同饲料对鱼的增重效，因为果极为显著 .
四种不同饲料对鱼的增重效果极为显著，那么哪一种最好呢？哪一种最好呢？请看下图
35 Values
30
25
1
2 3 Column Number
4
此时，此时，第一个图对应第一种饲料且离盒子图中心线较远，效果最突出。心线较远，效果最突出。如果从原始数据中去掉第一种饲料的试验数据，一种饲料的试验数据，得到的结果为各种饲料之间对鱼的增重效果不显著 .
3. 多重比较的多重比较的MATLAB实现实现为方便找到具有显著差异的方案，为方便找到具有显著差异的方案，我们给出多重比较的MATLAB命令。命令。多重比较的命令 C=multcompare(s) 其中输入s，由[p,c,s]=anova1(b);得到输出的结果；得到输出的结果；其中输入，得到输出的结果输出C共有共有5列其中前两列给出样本编号，输出共有列，其中前两列给出样本编号，后三列分别为两个样本均值差的置信区间与估计量. 别为两个样本均值差的置信区间与估计量练习：对于例，利用多重比较命令进行分析，练习：对于例3.1，利用多重比较命令进行分析，关键理解输出的含义。关键理解输出的含义。
b=a’; % MATLAB只对各列进行分析只对各列进行分析 [p,c,s]=anova1(b); % 方差分析 c=multcompare(s) % 多重比较
从方差分析表可知：四个实验室生产有差异，那么从方差分析表可知：四个实验室生产有差异，如何比较？软件输出c如下所示如下所示：列表示比较的如何比较？软件输出如下所示：1,2列表示比较的实验室号码，，实验室号码，3，5 列分别为置信区间左右端点，列是均值差的统计量观测值. 第4 列是均值差的统计量观测值

第六章方差分析详解演示文稿

C
i1 j1
i1 j1
N
Yij2 C＝(N 1)S 2
i, j
总 N 1
校正系数：
第十四页，共67页。
a
(
ni
Yij
)2
N
(Yij )2
C i1 j1
i,j
N
N
ni
a
a (
Y )2 ij
SS组间 ni (Yi Y )2
i1
i1
j 1
ni
C
SS组内
a ni
(Yij
Yi )2
药剂
苗高观察值
A
18 21 20 13
B
20 24 26 22
C
10 15 17 14
D
28 27 29 32
总和Ti 72 92 56
116
平均 xi
18 23 14 29
经方差分析得下表：
变异来源
DF SS
MS
F
显著F值
药剂处理间
3
504
168.00 20.56** F 0.05(3,12)=3.49
均方差，均方(mean square，MS)
各部分偏差平方和除以各自的自由度便可得到
总均方、处理间均方和处理内均方，分别记为
MST（或）、SMT2St（或）和MSSt2 e（或
Se2
即
MST ST2 SST / dfT
MS t
S
2 t
SSt
/ df t
MS e
S
2 e
SS e
/ df e
D
28 27 29 32
116
平均 xi
18 23 14 29

数学建模之方差分析.

布总体的简单随机样本
• 比如，每种颜色饮料的销售量必须服从正态分布
2.各个总体的方差必须相同
• 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取
的。
• 比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同。
3.不同水平下的样本相互独立
一、数学模型
1.2 单因素方差分析
设因素A有s个水平A1 , A2 ,, As , 在水平A j ( j 1,2,, s )下, 进行n j ( n j 2)次独立试验, 得到如下表的结果. 表1 水平 A1 A2 As 观察结果 X 1s X 11 X 12 X 2s X 21 X 22 Xn 1 Xn 2 X ns s 1 2 样本总和 T1 T2 T s 样本均值 X s X 1 X 2 s 1 2 总体均值
可以控制的试验条件
2.水平：因子在实验中的不同状态。如：例1中橘黄色、粉色、绿色和无色透明四种颜色就是因素的四个水平。
3.交互影响：如果因子间存在相互作用，称之为 “交互影响”；如果因子间是相互独立的，则称为无交互影响。 4.观察值：在每个因素不同水平下得到的样本值。如例1中每种颜色饮料的销售量就是观察值。
因为X ij ～N ( j , 2 ), 所以X ij j～N (0, 2 ).
记X ij j ij , 表示随机误差, 那么X ij 可写成
ij～N (0, 2 ) , 各 ij 独立 , i 1, 2,, n j , j 1, 2,, s , j 与 2 均未知 . 单因素试验方差分析的数学模型需要解决的问题 H 0 : 1 2 s , 1.检验假设 H 1 : 1 , 2 ,, s 不全相等.

数学建模中的统计分析工具

数学建模中的统计分析工具1. 比较——方差分析比较不同总体间均值有无显著差异.方差分析是处理试验数据的一种常用统计方法，其基本思想是：把指标数据的总变差（总离差平方和），分解为由所考察因素引起的变差（因素变差或组间离差平方和）和随机因素引起的变差（随机变差或组内离差平方和），然后通过比较这些变差来推断因素对指标影响是否显著．因为判定因素对指标影响是否显著时，是从指标的总变差入手，将之分解为由各因素引起的变差和随机波动引起的变差，所以称此类分析为方差分析．在方差分析中，影响指标的因素称为因子，因子的取值称为水平．例如，考察学生性别对学习成绩的影响时，学习成绩是所考察的指标，性别是影响指标的因子，而性别的取值“男”和“女”是性别因子的水平．实质上，此处是要比较男生和女生学习成绩有无显著差异，属两组比较问题，是方差分析的特殊情况，一般的方差分析研究的是多组比较问题．试验中如果只考虑一个因子对指标的影响，这种试验称为单因子试验，相应的方差分析称为单因子方差分析．若试验中同时考虑两个因子，则称相应的试验为两因子试验，所做的方差分析称为两因子方差分析．类似地可以定义三因子、多因子试验和方差分析．① 为研究新药的降糖效果，某医院用40名病人同期随机对照实验。

实验者将病人随机等分成实验组和对照组，分别测得实验开始前和8周后空腹血糖，算得空腹血糖下降值的均数，见下表，能否认为新药对空腹血糖的降糖效果显著？(检验水平0.05α=)实验组1X -0.7 -5.6 2.0 2.8 0.7 3.5 4.0 5.8 7.1 -0.5 20人2.5 -1.6 1.73.0 0.44.5 4.6 2.5 6.0 -1.4 对照组2X3.7 6.5 5.0 5.2 0.8 0.2 0.6 3.4 6.6 -1.1 20人 6.0 3.8 2.0 1.6 2.0 2.2 1.2 3.1 1.7 -2.0② 某养鸡场为提高经济效益，研制了三种鸡饲料配方．为比较三种饲料在养鸡增肥上的效果，分别用每种饲料喂养10只小鸡，60天后测量鸡重．请通过试验数据分析，三种饲料在养鸡增肥效果上有无显著差异（检验水平皆取0.05α=）？2.相关与回归分析在生产实践中，人们关心的某项重要指标往往受一个或多个变量的影响，此时令人关注的是变量与指标之间的关系．线性回归分析研究的是一维因变量（也称响应变量）Y与回归变量（也称解释变量或自变量）之间的线性相关关系，其中回归变量是可观测或可控制的①为确定运动员耗氧量与其他因素的关系，对31个人测量了年龄age、体重weight、跑完1.5公里的时间runtime、静态心率rstpulse、跑动时心率runpulse、跑步时最大Maxpulse、每公斤体重每分钟耗氧量oxy，数据见\Sas_Ex\oxy.txt，试以oxy为因变量作回归分析。

统计建模(假设检验、方差分析、协方

华中农业大学数学建模基地
两个总体均值和方差的检验解性状是否已达到稳定要取决于第5代和第6代株高的方差和均值是否相等。编写SAS程序并输入在程序编辑窗口; data ex;input c$ x@@; cards; a 66 a 65 a 66 a 68 a 62 a 65 a 63 a 66 a 68 a 62 b 64 b 61 b 57 b 65 b 65 b 63 b 62 b 63 b 64 b 60 ; proc ttest;class c;var x; run;
华中农业大学数学建模基地
单因素方差分析--计算例1.2《药剂处理》用4种不同的药剂处理水稻种子，发芽后观测到苗高(单位：cm)如下：
处理 1 2 3 4

苗高 19, 23, 21, 21, 24, 27, 20, 18, 19, 22, 25, 27,
13 20 15 22

华中农业大学数学建模基地
双因素方差分析-不考虑交互作用-计算

华中农业大学数学建模基地
双因素方差分析-不考虑交互作用-计算
data ex;do a=1 to 4;do b=1 to 5; input x @@;output;end;end; cards; 53 56 45 52 49 47 50 47 47 53 57 63 54 57 58 45 52 42 41 48 ; proc anova;class a b;model x=a b; means a b/duncan cldiff;run;
单因素方差分析—理论
设
1 xi ni
x ,
j 1 ij
ni
1 1 x x ij ni x i n i 1 j 1 n i 1

详细方差分析

S k2
T = ∑xij = ∑x
x
Xij，i=1,2,……k，j=1,2,……n。，。
第一节方差分析的基本原理和方法
总平方和 (SST) 总变异是nk个观察值的变异，总变异是个观察值的变异，故其自由度为个观察值的变异 nk－1，平方和 T为：－，平方和SS
SST = ∑(x x)2 = ∑x2 (∑x)2 nk (T)2 = ∑x2 nk
第一节方差分析的基本原理和方法
上述总变异的自由度和平方和可分解为组间和组内两个部分。组间变异即k个平均数的变异故其自由度为k－，个平均数的变异，部分。组间变异即个平均数的变异，故其自由度为－1，平方和 SSt 为：
SSt = n∑(xi x)
2
组内的变异为各组内观察值与组平均数的相差，组内的变异为各组内观察值与组平均数的相差，故每组具有n－个自由度个自由度，而总共有k 组资料，具有－1个自由度，平方和为 ∑(xij xi )2 ，而总共有组资料，故组内自由度为k（－），而组内平方和SSe为：），而组内平方和故组内自由度为（n－1），而组内平方和为
第一节方差分析的基本原理和方法
例2：以A、B、C、D4种药剂处理水稻种子，其中A为对照，每处理得4个苗高观察值，结果如下表，试进行自由度和平方和的分解，并测验药剂间变异是否显著大于药剂内变异？表水稻不同药剂处理的苗高
药剂 A 19 23 21 13 总和平均数 76 19 B 21 24 27 20 92 23 C 20 18 19 15 72 18 D 22 25 27 22 96 24 T＝336 21
1.621/10 0.1621 k= = = 0.86 1.621/10 + 0.135 / 5 0.1621+ 0.0270

方差分析模型

试问：灯丝的寿命是否因灯丝材料的不同而有显著差异？
在因素A 的每个水平上都做了若干次观察,这些观察结果不全相同，并且即使在同一水平上的那些结果仍然有差异，这种差异显然只能归咎为随机因素造成的，是随机波动。而随机波动总是可以合理的认为其服从正态分布，只是在不同的水平下，它们可能以不同的值为中心进行着具有同样离散性（也就是假定其方差相等，称方差齐性）的波动。 Ai 下灯泡的寿命，则方差分析的数学模型为：用 X i 表示水平
2
xij xi xi x 2 xij xi xi x
ni i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
2
ST 可验证交叉项为零 , 故得分解式
其中
S E xij xi
2
2
SE SA
2
s
ni

2
X i ~ N u i ,
2
i 1,2,3,4
，
鉴别因素 A 水平的差异是否对试验结果产生显著影响的问题就转化为检验假设
H 0 : u1 u 2 u s
是否成立。
xij
i 1,2, , s, j 1,2, , n 的离散性着手 .
j
为了对H 成立与否进行检验，我们从分析试验数据
Between Groups Within Groups Total
Spss软件实现
1．灯丝材料的方差分析：spss 数据：灯丝材料方差分析数据关注：数据格式、结果解读 2．工资收入的方差分析：spss 数据：09-03 3．不同年龄段健康状况的方差分析：spss 数据：13-02
i 1 j 1
n 刻画了全部次试验中纯粹由随机因素所引起的变差

方差分析知识点总结

第六章方差分析（它是用以检验两个或多个均数间差异的假设检验方法。

它是一类特定情况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的一种引伸。

）一、方差分析与t 检验的关系t 检验可以判断两组数据平均数间的差异显著性；方差分析既可以判断两组又可以判断多组数据平均数之间的差异显著性。

二、方差分析的数学模型用线性模型(linear model)来描述每一观测值： X ij =μ+ τi +εij(i=1,2,3…,k ；j=1,2,3…,n)μ－总体平均数 τi －处理效应 εij －试验误差 x ij －是在第i 次处理下的第j 次观测值三、方差分析所需用到的各计算分析值以及F 检验变异来源平方和自由度均方MS F 值 F 0.05 F 0.01 组间 SS t 组间 df t =k-1SS 组间/df 组间MS t /MS e组内 SS e 组内 df e =k(n-1) SS 组内/df 组内总变异 SS T 总df T =nk-1计算步骤：计算矫正数C =T 2kn （nk x C /2..=）C x SS ij T -∑∑=2；C x nSS i t -=∑2.1；t T e SS SS SS -= 1-=nk df T ；1-=k df t ；t T e df df df -=t t t df SS MS /=; e e e df SS MS /=F 值：MS t /MS e例题：【例5-1】以淀粉为原料生产葡萄糖过程中，残留的许多糖蜜可用于酱色生产。

生产酱色之前应尽可能彻底除杂，以保证酱色质量。

今选用5中除杂方法，每种方法做4次试验，试验结果见表5-2，试分析不同除杂方法的除杂效果? 表5-2 不同除杂方法的除杂量 g/kg除杂方法（A i）除杂量（x ij）合计（x i）平均方差S i2A1 25.6 24.4 25.0 25.9 100.9 25.2 0.442 A2 27.8 27.0 27.0 28.0 109.8 27.5 0.277 A3 27.0 27.7 27.5 25.9 108.1 27.0 0.649 A4 29.0 27.3 27.5 29.9 113.7 28.4 1.543 A5 20.6 21.222.021.285.0 21.3 0.330x..＝517.5单因素试验，处理数k =5，重复数n =4。

方差分析(数学建模)

第二节双因素方差分析
•
例2（双因素方差分析）为了考察4种不同燃料与3种不同型号的推进器对火箭射程（单位：海里）的影响，做了12次试验，得数据如表2所示。 • 表2 燃料-推进器-射程数据表
推进器1 燃料1 燃料2 燃料3 燃料4 58.2 49.1 60.1 75.8 推进器2 56.2 54.1 70.9 58.2 推进器3 65.3 51.6 39.2 48.7
第二节双因素方差分析
•
例3（双因素方差分析）设火箭的射程在其它条件基本相同时与燃料种类及推进器型号有关。现在考虑4种不同的燃料及3种不同型号的推进器，对于每种搭配个发射了火箭两次，得数据见表3。问各自变量和自变量的交互效应是否对火箭的射程有显著影响？
表3 燃料-推进器-射程数据表
推进器1 燃料1 燃料2 燃料3 58.2 52.6 49.1 42.8 60.1 58.3 推进器2 56.2 41.2 54.1 50.5 70.9 73.2 推进器3 65.3 60.8 51.6 48.4 39.2 40.7
H 0 : 1 2 s
是否成立
第一节单因素方差分析
例1（单因素方差分析）一位教师想要检查3种不同的教学方法的效果，为此随机地选取水平相当的15位学生。把他们分为3组，每组5人，每一组用一种方法教学，一段时间以后，这位教师给15位学生进行统考，成绩见下表。问这3种教学方法的效果有没有显著差异。
• • • • • •
第二节双因素方差分析
• • • • • • • disp1=[58.2 56.2 65.3;49.1 54.1 51.6;60.1 70.9 39.2;75.8 58.2 48.7]'; p=anova2(disp1,1) 输出结果：方差分析表 ANOVA Table Source SS df MS F Prob>F Columns 157.59 3 52.53 0.43059 0.73875 Rows 223.8467 2 111.9233 0.91743 0.44912 • Error 731.98 6 12 1.9967 • Total 1113.4167 11 • 由于燃料和推进器对应的p值均大于0.05，所以可以接受零假设H0 A和H0 B，认为燃料和推进器对火箭的射程没有显著影响。

数学建模-方差分析

6
7 8
72
83 79
83
72 73
69
73 69
69
65 69
79
76 84
现欲检验种子品种（因素A）对收获量（试验指标）的影响是否显著。
２、四支温度计 T1 , T2 , T3 和 T4 被用来测定氢化奎宁的熔点 x( 0C ) ，得如下结果： T1 T2 T3 T4 温度计
174.0 173.0 172.0 171.5 171.0 173.5 171.0
s
r
s
要检验的统计假设为：
H 01 : 1 2 r 0 H 02 : 1 2 s 0 H 03 : ij 0, i 1, 2, , r; j 1, 2, , s.
若拒绝 H 01 ，则认为因素A的不同水平对试验结果有显著影响；若拒绝 H 02 ，则认为因素B的不同水平对试验结果有显著影响；若拒绝 H 03 ，则认为因素A与B不同水平搭配的交互效应对试验结果有显著影响；若三者均不拒绝，则认为因素 A与B的不同水平搭配对试验结果无显著影响。
2、偏差平方和分解
1 r s 总样本平均数： x xijk rst i 1 j 1
1 s t Ai 水平下样本平均数： xi.. xijk st j 1 k 1
1 r t B j 水平下样本平均数： x. j . xijk rt i 1 k 1 1 t Ai , B j 搭配下样本平均数： xij . xijk ˆ t k 1
p Sig. P( F F值 )
若Sig.小于给定的显著水平，则拒绝原假设，即认为因素A对试验指标有显著影响；否则认为无显著影响。通常当 Sig. 0.01 时，称为有非常显著影响，记为 "" ；当 0.01 Sig. 0.05 时，称为有显著影响，记为 " 。 "

数学建模算法方差分析

第十一章方差分析我们已经作过两个总体均值的假设检验，如两台机床生产的零件尺寸是否相等，病人和正常人的某个生理指标是否一样。

如果把这类问题推广一下，要检验两个以上总体的均值彼此是否相等，仍然用以前介绍的方法是很难做到的。

而你在实际生产和生活中可以举出许多这样的问题：从用几种不同工艺制成的灯泡中，各抽取了若干个测量其寿命，要推断这几种工艺制成的灯泡寿命是否有显著差异；用几种化肥和几个小麦品种在若干块试验田里种植小麦，要推断不同的化肥和品种对产量有无显著影响。

可以看到，为了使生产过程稳定，达到优质、高产，需要对影响产品质量的因素进行分析，找出有显著影响的那些因素，除了从机理方面进行研究外，常常要作许多试验，对结果作分析、比较，寻求规律。

用数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程度的方法称为方差分析（Analysis Of Variance ），记作ANOV A 。

人们关心的试验结果称为指标，试验中需要考察、可以控制的条件称为因素或因子，因素所处的状态称为水平。

上面提到的灯泡寿命问题是单因素试验，小麦产量问题是双因素试验。

处理这些试验结果的统计方法就称为单因素方差分析和双因素方差分析。

§1 单因素方差分析只考虑一个因素A 对所关心的指标的影响，A 取几个水平，在每个水平上作若干个试验，试验过程中除A 外其它影响指标的因素都保持不变（只有随机因素存在），我们的任务是从试验结果推断，因素A 对指标有无显著影响，即当A 取不同水平时指标有无显著差别。

A 取某个水平下的指标视为随机变量，判断A 取不同水平时指标有无显著差别，相当于检验若干总体的均值是否相等。

1.1 数学模型设A 取r 个水平r A A A ,,,21 ，在水平i A 下总体i x 服从正态分布),(2i N ，r i ,,1 ，这里2, i 未知，i 可以互不相同，但假定i x 有相同的方差。

又设在每个水平i A 下都作了n 次独立试验，即从中抽取容量为n 的样本，记作n j x ji ,,1, ，ji x 服从),(2 i N ，n j r i ,,1,,,1 且相互独立。

数学建模-方差分析

… … … …… …
…
x1t1 x2t2 …… xrtr
2、任务：检验因素A对试验结果影响是否显著？（A是否是重要因素？）
二、基本原理
1、数学模型（数据结构）
（1）设 xi1,xi2,...,xiti iid. N (i, 2)i 1 ,2 ,...,r.
且 xij iij ij N(0,2)
著影响，记为 " " ；当 0.01Sig.0.05时，
称为有显著影响，记为" " 。
三、基本计算
1. 建立数据文件 a、定义试验指标变量 x 和因素变量kind； b、输入数据； c、保存数据文件。 2．选择统计方法
按Analyze→Compare means→One-Way ANOV 顺序选择菜单或菜单项。
（显著水平 0.01）？
单因素方差分析要注意的两点：
1、模型的条件
x ij N ( i , 2 )
x ij i ij
ij N (0 , 2 )
（1）、x i j 服从正态分布；
（2）、r 个总体方差相等？（要求验证） 2、多重比较
H 0:12 r
SPSS统计软件应用基础
第七章方差分析
• 一、什么是方差分析？
常用语言：检验一个或多个因素对试验结果的影响是否显著。
统计语言：检验多个方差相等的正态总体的均值是否相等。
二、几个术语
1、试验指标－－衡量试验结果的量 (定量、定性) （必须是数量）。
2、因素－－影响试验指标的条件， (不)可控记作A,B,C……
SE (nr) 称为随机均方。
５、具体判断
利用公式（7.1.6）计算出 F 的值，记为F值，并根据 F 分布计算出相应的显著性概率

第5章方差分析-正式课件

这样，处理效应不固定，是随机的，这种模型称为随机模型。
在多因素试验中，若各因素水平的效应均属随机，则对应于随机模型。
在遗传、育种和生态试验研究方面随机模型有广泛的应用。
【例如】为研究中国猪种繁殖性能的变异情况，从大量地方品种中随机抽取部分品种为代表进行试验、观察，以其结果推断中国猪种的繁殖性能的变异情况，这就属于随机模型。
（一）、固定模型(fixed model)
在单因素试验的方差分析中，把k个处理看作k个明晰的总体，如果满足： 1. 研究的对象只限于这k个总体的结果，而不需推广到其它总体 2. 研究目的在于推断这k个总体平均数是否相同，
即检验 H0：μ1=μ2=…=μk，若H0被否定，下一步需作多重比较 3. 重复试验时的处理仍为原来的k个处理
第5章方差分析
多个平均数间的差异显著性检验
1
第一节方差分析概述
一、方差分析的基本思想
方差分析（analysis of variance，简称ANOVA）由英国统计学家R.A.Fisher提出，该方法是将k个处理的观测值作为一个整体看待，把观测值的总变异分解为不同变异来源的分变异，进而获得不同变异来源在总变异中所占份额的估计值，通过F检验判定各样本所属总体的平均数是否相等（H0：μ1=μ2=---=μk)。
12
第2节多样本的正态性检验和方差齐性检验
程序5-2 例5-1资料方差齐性检验的SAS程序
DATA EX5_2;
DO GROUP=1 TO 3;
DO N=1 TO 12;
INPUT X@@;
OUTPUT;
END;
END;
CARDS;
30 27 35 35 29 33 32 36 26 41 33 31

统计建模-方差分析

单因素方差分析
例1.饲料比较数据(weight.sav), n=19头猪, 用 p=4种饲料喂养一段时间后的重量增加. 问题: 四种饲料是否不同?
饲料 A 133.8 125.3 143.1 128.9 B 151.2 149.0 162.7 143.8 C 193.4 185.3 182.8 188.5 D 225.8 224.6 220.4 212.3
i 1 j 1 i 1 j 1 p q p q
其中, SSA 有自由度 p-1, SSB有自由度 q-1, SSE 有自由度 (p-1)(q-1),在正态分布的假设下, 如果各组增重均值相等(零假设), 则
MSA SSA /( p 1) MSB SSB /(q 1) FA ; FB MSE SSE /( p 1)( q 1) MSE SSE /( p 1)( q 1)
Descriptives WEIGHT
N
Mean
Std. Deviation
Std. Error
95% Confidence Interval for Mean Lower Bound
124.9068
Minim um
Upper Bound 141.8132 125.3
Maxim um
A
5
133.36
Sig. .000 .000 .000
• 促销(promot)的F检验统计量(其自由度来自 promot 和 error 的自由度 :2,20) 取值为 13.880,p- 值为 0.000( 更精确些是 0.0001658). 而售后服务的 F 检验统计量为 25.497 ， p- 值为 0.000( 更精确些是 0.00006135). R2为0.981.

数学建模优秀方法之方差分析

多重比较检验 LSD方法最小显著性差异法，最小显著性差异法的字面就体现了其检验敏感性高的特点，即水平间的均值只要存在一定程度的微小差异就可能被检验出来
1.某企业在制定某商品的广告策略时，收集了该商品在不同地区采用不同的广告形式促销后的销售额数据，希望对广告形式和地区是否对销售额产生影响进行分析。
(j)
无色(A1) 粉色(A2) 橘黄色(A3) 绿色(A4)
1
26.5
31.2
27.9
30.8
2
28.7
28.3
25.1
29.6
3
25.1
30.8
28.5
32.4
4
29.1
27.9
24.2
31.7
5
27.2
29.6
26.5
32.8
合计
136.6
147.8
132.2
157.3
573.9
水平均值 x1 =27.32 x2=29.56 x3=26.44 x4=31.46 总均值
二、构造检验的统计量
(计算全部观察值的总均值 )
1. 全部观察值的总和除以观察值的总个数
2. 计算公式为
k ni
k
xij
ni xi
x i1 j1 i1
n
n
式中：n n1 n2 nk
二、构造检验的统计量
(前例计算结果 )
表5-2 四种颜色饮料的销售量及均值
超市
水平A ( i )
表5-1 该饮料在五家超市的销售情况超市无色粉色橘黄色绿色
1
26.5
31.2
27.9
30.8
2
28.7
28.3

数学建模之方差分析

方差分析 数学建模

方差分析(ANOVA)PPT参考课件

第二章 方差分析课件

方差分析建模

第六章方差分析详解演示文稿

数学建模之方差分析.

数学建模中的统计分析工具

统计建模(假设检验、方差分析、协方

详细方差分析

方差分析模型

方差分析知识点总结

方差分析(数学建模)

数学建模-方差分析

数学建模算法方差分析

数学建模-方差分析

第5章 方差分析-正式课件

统计建模-方差分析

数学建模优秀方法之方差分析

方差分析数学建模

第二章方差分析课件

第5章方差分析-正式课件