(完整版)贝叶斯统计第二版茆诗松汤银才编著

第一章 先验分布与后验分布

1.1 解：令120.1,0.2θθ==

设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则

22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有

1111122()()

()0.4582()()()()

P A A P A P A θπθπθθπθθπθ=

=+

2221122()()

()0.5418()()()()

P A A P A P A θπθπθθπθθπθ=

=+

1.2 解：令121, 1.5λλ==

设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()X

P λ

∴3(3)3!

e P X λ

λλ-==

1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有

111222(3)()

(3)0.2457

(3)(3)()

(3)0.7543

(3)

P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ========

==

1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则

33

58()(1)P A C θθθ=-

（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有 351

()()

()504(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ

=

=-<<⎰

（2）361

()()

()47040(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ

=

=-<<⎰

1.5 解：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+

1

(),102010πθθ=

<< 11.611.51

()0.0110

m x d θ==⎰

从而有

()()

()10,11.511.6()

P x x m x θπθπθθ=

=<<

1.6 证明：设随机变量()X P λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，

则 (),0!

x e P x x λ

λλλ-=

>

1(),0()

e ααβλ

βπλλλα--=

>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++

1.7 解：（1）由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此

1

2

2()12(1)x

x

m x d x θθ

=•=-⎰

因此 2

()()1

(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ=

=<<- （2） 由题意可知 1

22

2()36x

m x d x θθθ=•=⎰

因此 ()()

()1,01()

P x x m x θπθπθθ=

=<<

1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则

3

397100()(1)P A C θθθ=-

由题意可知 199(202)

()(1),01(200)

πθθθθΓ=

-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知 (5,297)A Be θ

1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)X

N θ

∴2

5

(,)10

X

N θ

∴2

(176.53)5

()p x θθ--

=

由题意可知 2

(172.72)5.08()θπθ--=

又由于X 是θ的充分统计量，从而有

()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•

2

2

2

(176.53)(172.72)(174.64)5

5.08

21.26

e

e

e

θθθ----

-

-

⨯∝•∝

因此 (174.64,1.26)x N θ

1.10 证明：设22(,),,N u u θ

σσ其中为已知

又由于X 是θ的充分统计量，从而有

()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•

2222

2

2

251()

()11

252()11

22525

2u x x u e e

e

σθθθσσσ+-

-

--

+⨯--

⨯+⨯∝∝

因此 22

2

251(,

)11

2525u x x

N σθσσ+++

又由于

2

111

25

25σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于1

5

1.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X

U θ

∴1

(),0p x x θθθ

=

<<

当8θ>时，3

1

()p x θθ=

43

8

1921

1

()8192

m x d θθθ

+∞

==⎰