初中数学知识点复习(有理数和整式的加减)

第一章 有理数
1.2有理数
1.2.1有理数 1.有理数的两种分类 (1)按数域(或范围)分类:
(2)按正负分类:
2.非负数及非正数的概念
(1)非负数:正数和0(或不是负数的数)叫做非负数. (2)非正数:负数和0(或不是正数的数)叫做非正数. 1.2.2数轴
1.数轴的定义:在数学中,可以用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴.
2.数轴的三要素: 原点、正方向、单位长度.
1.2.3相反数
1.相反数的定义
(有两种定义方法):
(1)
只有符号不同的的两个数叫做互为相反数.举例,－2和2 (2)绝对值相等,符号相反的两个数叫做互为相反数. 举例, |3||3|=- 2.相反数的两个特点:
(1)互为相反数的两个数的和等于0.如,2+(－2)=0 用公式表示:若a 和b 互为相反数,则a+b=0. (2)互为相反数的两个非零数的商等于－1. 如,
3
13
-=- 用公式表示:若非零数a 和b 互为相反数, 1(0,0)a
a b b
=-≠≠则.
典型考点: 若两个非零数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数。

求a
a b cd b
+++
的值。

1.2.4绝对值
1.绝对值的定义(有两种定义方法):
(1)几何定义:数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值.记作|a|.在几何定义．．．．．里．, “绝对值”即“|a|”应理解为“距离” 或“长度”.如, “|10|”的意义是在数轴上表示10的点到原点的距离;又如“|－7|”的意义是在数轴上表示－7的点到原点的距离. (2)代数定义:
① 一个正数的绝对值等于它本身.如, |10|=10 公式: 如果a ＞0,那么|a|=a.
② 0的绝对值等于0(或它本身). 如, |0|=0 公式: 如果a=0,那么|a|=0.
③一个负数的绝对值等于它的相反数.如, |－7|=7 公式: 如果a ＜0,那么|a|=－a.
通过绝对值的代数定义,可归纳出下面的结论:
|a|=－a.
|a|=a.⑤由a≤0
④由a≥0|a|=－a.
③由a ＜0
|a|=0.②由a=0|a|=a.①由a ＞0
典型考点：⑴当a 时, a =a;⑵当a 时, a =－a;
⑶已知|x－5| = x－5，则x的取值范围是；
⑷已知|a－3| = 3－ a ，则a的取值范围是．
2.绝对值的非负性
在代数定义里
．．．．．．,“绝对值”即“|a|”应理解为“一个数”,并且这个“数”不可能是负数. 或说这个“数”是非负数,即|a|≥0.
重要结论：若多个非负数的和为0，则每个非负数均为0.
典型考点:⑴若|x+2|+|y－3|=0，则2x2－y+1= ．
⑵已知2-a与2+b互为相反数．则a+b= .
3.有理数的大小比较
(1)正数大于负数,0大于负数.自己举例说明:
(2)两个负数,绝对值大的反而小. 自己举例说明:
(3)在数轴上,右边的数总是大于左边的数.
1.3有理数的加减法
1.3.1有理数的加法
1.有理数的加法法则:
(1)同号的两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
(3)互为相反数的两个数相加得零.
2.
(1)加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．公式:a+b=b+a．
(2)加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，
公式:（a+b）+c=a+（b+c）
注:要恰当地运用结合律,否则就越用越繁.
1.3.2有理数的减法
有理数的减法的法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数.
公式:()
a b a b
-=+-
注:减去一个负数时一定要转化为加法后再进行计算.如, 4－(－6)=4+6=11
1.4有理数的乘除法
1.4.1有理数的乘法
1.有理数乘法法则:
(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
(2)任何数与0相乘，都得0.
运用法则填表
2.
(1)定义:乘积为1的两个数叫做互为倒数.如,3×1
3
=1,就说3和
1
3
互为倒数.
又如,因为(
1
2
-)×(2-)=1, 所以
1
2
-和2-互为倒数.
显然: 0没有倒数.
填表:
(2)
①互为倒数的两个数的积为1.
②1和－1的倒数等于它本身.
③0没有倒数.
④互为倒数的两个数的符号相同.
(3)乘法的三个运算律:
①乘法交换律:
②乘法结合律:
③分配律:
1.4.2有理数的除法
1. 有理数除法的运算法则:
除以一个不等于0的数,等于乘以这个数的倒数.
公式:
1
(0)
a b a b
b
÷=⨯≠
2. 有理数除法的符号法则:
(1)两个数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.
(1)0除以一个不等于0的数,都得0.
运用法则填表
练习:用“＞”或“＜”或“＝”填空:
(1)如果a ＜0,b ＞0,则a ⋅b 0, a
b 0.
(2) 如果a ＞0,b ＜0,则a ⋅b 0, a
b 0.
(3) 如果a ＜0,b ＜0,则a ⋅b 0, a
b 0.
(4) 如果a=0,b ≠0,则a ⋅b 0, a
b
0.
1.5有理数的乘方
1.5.1乘方 1.乘方的定义:
一般地，n 个相同的因数a 相乘，即a ·a ·…·a ，记作a n ，读作a 的n 次方．
求n 个相同因数的积．．．．．．
的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在a n
中，a 叫做底数，n 叫做指数，当a n 看作a 的n 次方的结果时，也可读作a 的n 次幂．
说明：
（1）一个数可以看作是这个数本身的一次方，通常省略指数1不写；如, 188= （2）因为a n 就是n 个a 相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算；如, 322228=⨯⨯=
（3）乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 2. 根据有理数的乘法法则得出有理数乘方的符号规律：
(1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 和
(a-b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 和(a-b)n =(b-a)n . (2)正数的任何次幂都是正数; (3)0的任何次幂都是0． 填表
由填表发现:
(1)0的任何次方都都等于0.即00(n n =为任何数) (2)①1-的偶次方等于1, 即2(1)1(n n -=为正整数);
②1-的奇次方等于1-, 即21
(1)
1(n n +-=-为正整数).
(3) ①2
(3)-和2
3-的读法不同,结果也不同.
②22()3-、2
2()3
-和2
23-的读法不同,结果也不同.
3．偶次方的非负性:任何数的偶次方都是非负数.即 20()n a n ≥为正整数
典型考点: (重要结论：若多个非负数的和为0，则每个非负数均为0.)
1. 已知2
2
(3)(2)0a b -++=,则b a += .2. 已知2
|2|(3)0a b -++=,则a
b b -= .
4．有理数混合运算顺序
（1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
1.5.2科学计数法 1.5.3近似数
1.科学计数法的定义:
一般地，10的n 次幂，在1的后面有n 个0，这样就可用10的幂表示一些大数，如， 6 100 000 000＝6.1×1 000 000 000＝6.1×910.
象上面这样把一个大于10的数记成a ×n 10的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法.其中1≤a ＜10的数，n 的值等于整数部分的位数减1. 2.用科学记数法表示一个数时应注意：
(1)首先要确定这个数的整数部分的位数.或说先找到这个数的小数点位置; (2)将这个数的小数点移到第一个不为0的数字后面;
(3)在科学记数法中，10的指数比原数的整数位数少1。

如原数130000有6位整数，表示成
科学记数法1.3×510后，10指数就是5.
说明：在实际生活中有非常大的数，同样也有非常小的数。

本节课强调的是大数可以用科学记数法来表示，实际上非常小的数也同样可以用科学记数法表示，如本章引言中有1纳米＝10－9米，意思是1米是1纳米的10亿倍，也就是说1纳米是1米的十亿分一。

用表达式
表示为1米＝910-纳米，或者1纳米＝91
10米＝910-米
典型考点: 填表一
填表二
填表三
第二章整式的加减
2.1整式 1.知识结构
(补充:含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

)
2. 单项式
(1)单项式的定义:
由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。

单独一个数或一个字母也是单项式，如，a 和5都是单项式.
(2)单项式的特点:由数字因数和字母因数两部分组成.
(3)单项式的系数:在单项式中, 数字因数叫做单项式的系数.
(4)单项式的次数:在单项式中, 所有字母因数的指数之和叫做单项式的次数.
填表
①圆周率π是常数；
②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如2xy ，2t -等； ③单项式次数只与字母指数有关。

3.多项式
特点:不含有等号
多项式
单项式分式:分母含有未知数的式子.如,2
x
整式
无理式
有理式
代数式
1. 几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。

其中，不含字
母的项，叫做常数项或0次项。

例如，多项式5232+-x x 有 项，它们是23x ，－2x ，5，其中23x 是二次项，－2x 是一次项，5是常数项或0次项。

一个多项式含有几项，就叫几项式。

多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。

例如，多项式5232+-x x 是一个二次三项式，次数是二次。

填表
(1)多项式的次数不是所有项的次数之和； (2)多项式的每一项都包括它前面的符号。

4.升幂排列与降幂排列
这两种排列有一个共同点，那就是x 的指数是逐渐变小(或变大)的。

我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列。

例如：把多项式5x 2＋3x －2x 3－1按x 的指数从大到小的顺序排列，可以写成－2x 3＋5x 2
＋3x －1，这叫做这个多项式按字母x 的降幂排列。

若按x 的指数从小到大的顺序排列，则写成－1＋3x ＋5x 2－2x 3，这叫做这个多项式按字母x 的升幂排列。

典型考点:
1.填空：⑴－
45a 2b －3
4
a b ＋1是 次 项式，其中三次项系数是 ，二次项为 ，常数项为 ，写出所有的项 。

⑵若3
225231x
mx x x nx ++---－不含有二次项和一次项，则m ＝_____，n ＝____。

2.请你任意写一个3次单项式 ,再写出一个次数为2，项数为3，常数项为－1的多项式 .
3. 把多项式a 3－b 3－3a 2b ＋3a b 2重新排列。

(1)按a 的升幂排列为： .
(2)按b 的升幂排列为： .
4.已知代数式3x n －(m －1)x ＋1是关于x 的三次二项式，求m 、n 的条件.
2.2整式的加减
1.同类项
(1)同类项的定义
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

另外，所有的常数项都是同类项。

比如，0与5是同类项。

(2)同类项的特点
①都是单项式;②所含字母相同;③相同字母的指数也相同. 典型考点:
1.判断下列说法是否正确，正确地在括号内打“√”，错误的打“×”,并改正错误的.
(1)3x 与3mx 是同类项。

( ) (2)2a b 与－5a b 是同类项。

( ) (3)3x 2y 与－2yx 2是同类项。

( ) (4)5a b 2与－2a b 2c 是同类项。

( ) (5)23与32是同类项。

( ) 2. m
y x 4
与222y x n
--是同类项，则=+n m 。

3.单项式z y
x n 1
2
3-是关于x 、y 、z 的五次单项式，则n=___________.
4. k 取何值时，3x k y 与－x 2y 是同类项？
5.请写出2ab 2的一个同类项．你能写出多少个?它本身是自己的同类项吗?
2.合并同类
(1)合并同类的定义
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. (2)合并同类项的法则：
把同类项的系数相加，所得的和作为合并后的项的系数，字母和指数全照搬。

(口诀：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样.) (3)合并同类项时应注意两个问题:
①一定要做好标记.
②合并时一定要在草稿上计算好系数的和. 如, 合并3x 2y －4xy 2－3＋5x 2y ＋2xy 2＋5的同类项. 解: 3x 2y －4xy 2－3＋5x 2y ＋2xy 2＋5
=8 x y －2 xy ＋2 典型考点:
1. 下列各题合并同类项正确的是( )
A.2x 2＋3x 2=5x 4；
B.3x ＋2y=5xy ；
C.7x 2－3x 2=4；
D.9a 2b －9b a 2=0
2.若
与的和仍为单项式，则
= .
3.先化简多项式3x 2＋4x －2x 2－x ＋x 2－3x －1,再求值，其中x=－3。

2.去括号法则：
去括号，关键看符号：括号前面是正号，去掉括号不变号；括号前面是负号，去掉括号都变号。

特别说明：去括号法则是由“分配律”归纳、总结出来的，所以解题时往往用“分配”的
思想去做题就会觉得更直接、简单，并且不容易出错。

如，化简)73(2)23(25----+a a a
典型考点:
1. (5a －3b)－3(a 2－2b)
2.
5xy 2－[3xy 2－2 (2xy 2－x 2y)]+2x 2y －xy 2
3.
化简)3(2)2(3y x y x ++-后,取自己喜欢的x 值和y 值代入求值.
4. 已知1+x 与2(2)y -互为相反数．求)2()23(2222y x xy xy y x ---的值. ④③②①③①。