单因素试验方差分析(试验数据处理)概论
单因素试验的方差分析——概率论与数理统计(李长青版)
其次, 同一品种下数据表现出来的差异称为试验(随
机)误差, 这是由客观条件的偶然干扰造成, 与因素(品种) 无直接联系.
方差分析正是分析两类误差的有效工具.
本问题只考虑品种一种因素，故是单因素试验，即只有
一个因子，记为 A, 5个不同的品种就是该因子的5个不同 的水平，分别记为 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , 由于同一品种在不 同的田块上的亩产量不同，故可以认为一个品种的亩产 量 就是一个母体，在方差分析中，总是假定各母体相互独 立地服从同方差的正态分布，即第 j 个品种的亩产量是 一个随机变量，它服从正态分布:
nj
ns , 称为总平均,
它是从 s 个总体中抽得的样本的样本均值.
用样本值 xij 与总平均
x 之间的偏差平方和来反映
种子品种代 号 (水平)
重复试验序号及作物实测产量 1 128 125 148 2 126 137 132 3 139 125 139 4 130 117 125 5 142 106 151 133 122 139
A1 A2
A3
这里试验的指标是作物产量, 作物是因素, 三种种 子品种代表三个不同的水平. 首先,形成数据差异的直接原因是种子的不同品 种.因此, 每个品种下产量的均值差异检验是我们的主 要任务.这种由因素(种子品种)造成的差异称为条件(系 统)误差.
H 0 : 1 2 s 0, H1 : 1 , 2 , , s 不全为零.
(二) 离差平方和分解 引入记号
nj
1 xj nj
s
x
i 1
ij
( j 1, 2,
, s) 水平Aj下的样本均值,
称为组内平均(或列平均)
25.单因素试验的方差分析
数学模型
j 与 2 均未知.
14
需要解决的问题
1.检验假设
H0 : 12 s , H1 : 1, 2 , , s不全相等.
2.估计未知参数1, 2 , , s , 2.
15
数学模型的等价形式
s
记n nj ,
j 1
1 n
s j 1
njj.
总平均
水平Aj的效 应, 表示水平 Aj下的总体 平均值与总 平均的差异.
i 1 nj
( Xij X• j )2
i 1
2
～ 2(nj 1).
23
又由于各 Xij 独立, 所以由 2 分布的可加性知
S E
2
～ 2
s
(nj
j 1
1),
即
S
E2～
2
(n
s),
s
其中n nj .
j1
根据 2 分布的性质可以得到，
SE 的自由度为n s; E(SE ) (n s) 2.
铝合金板的厚度
机器Ⅱ 0.257 0.253
机器Ⅲ 0.258 0.264
0.255 0.254
0.259 0.267
0.261
0.262
4
试验指标: 薄板的厚度 因素: 机器
水平:不同的三台机器是因素的三个不同的水平. 假定除机器这一因素外, 其他条件相同,
属于单因素试验. 试验目的: 考察各台机器所生产的薄板的厚度有 无显著的差异. 即考察机器这一因素对厚度有无 显著的影响. 结论: 如果厚度有显著差异， 表明机器这一因素对厚度的影响是显著的.
H0 : 1 23 ,
H1 : 1, 2 , 3不全相等.
进一步假设各总体均为正态变量, 且各总体的
生物统计第三节单因素试验资料的方差分析
C T / N 460.5 / 25 8482.41
2
2
上一张 下一张 主 页
退 出
SST x C
2
ij
(21.5 2 19.5 2 17.0 2 16.0 2 ) 8482 . 41
8567 . 75 8482 . 41
Байду номын сангаас85.34
MSE
P
⑥ 列出方差分析表
df
3、确定P值、下结论
•从上表得F=14.32，查附表5（方差分析界值表，
单侧），自由度相同时，F界值越大，P值越小。
因F0.01，2，27= 5.49；故P<0.01，按α=0.05水准
拒绝H0，接受HA，可认为三个不同时期切痂对
ATP含量的影响有统计显著性差异。
方差分析的结果只能总的来说多组间是否
S，即
x
得各最小显著极差，所得结果列于表6-15。
上一张 下一张 主 页
退 出
表6-15 SSR值及LSR值
dfe
上一张 下一张 主 页
退 出
将表6-14中的差数与表6-15中相应的最小显
著极差比较并标记检验结果。
检验结果表明：5号品种母猪的平均窝产仔数
极显著高于2号品种母猪，显著高于4号和1号品
③ 计算总的变异及总的自由度
SST x C
2
ij
dfT kn 1 N 1
④ 计算组间变异及相应的自由度
SSB Ti 2 / ni C
df b k 1
⑤ 计算组内变异及相应的自由度
SSE SST SSB
df e dfT df b
N k
单因素方差分析_2023年学习资料
单因素试验的方差分析的数学模型-首先，我们作如下假设：-1.X~N4,o2,i=1,2…a具有方差齐性。.X1,X2X相互独立，从而各子样也相互独立。-由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差，-所以设：-X =4+,j=1,2,,r,i=1,2,,a.线性统计模型-其中8为试验误差，相互独立且服从正态分布-即ε ， N0,o2
引-例-集装箱的最大抗压程度一试验指标-集装箱类型—试验因素（唯一的一个）-四种类型集装箱（1,2,3,4 四个水平-因此，本例是一个四水平的单因素试验。-用X1,X2,X3,X分别表示四种集装箱的最大抗压程度，为四个总体。假设X1,X2,X3,X4相互独立，且服从-方差相同的正态分布，即X~N,σ 2i=1,2,3, -本例问题归结为检验假设H:1=2=3=4是否成立
单因素试验资料表-水啊-重复-试验结果-AA-1-Xu-X21-Xal-Xir-X2r-Xar-列和T。= X-T.-T2.-T.总和∑I.=T-=1-i=l-列平均X。=T./r-…Xa-X.=7-水平组内平均值 总平均值
例：五个水稻品种单位产量的观测值-重复-AAAAA-1-41-33-38-37-31-2-39-35-34 40-120-105-108-114-99-∑∑x=546-j=1-i=1j=1-35363833-15= 6.4-纵向个体间的差异称为随机误差（组内差异），由试验造-成；横向个体间的差异称为系统误差（组间差异）， 因素的-不同水平造成。
基本概念-试验指标—试验结果。-因素—影响一个试验的指标变化的原因。-可控因素—-在影响试验结果的众多因素 ，可人为-控制的因素。-水平一可控因素所处的各种不同的状态。每个水-平又称为试验的一个处理。-单因素试验如果在一项试验中只有一个因素改变，-其它的可控因素不变，则该类试验称为-单因素试验。
单因素方差分析
2.0
0.7
1.5
0.9
0.9
0.8
1.1
-0.3
-0.2
0.7
1.3
1.4
概率论与数理统计
3
❖ 前言 方差分析的思想
➢ 我们可以计算出各组的均值与方差，但是如何通过这些数据 结果来判断呢？这就需要进行方差分析.
➢ 在实际问题中, 影响一个数值型随机变量的因素一般会有很多, 例如影响农作物产量的因素就有种子品种，肥料、雨水等; 影 响化工产品的产出率的因素可能有原料成分、剂量、催化剂 、反应温度、机器设备和操作水平等；影响儿童识记效果的 因素有教学材料、教学方法等. 为了找出影响结果(效果)最显 著的因素, 并指出它们在什么状态下对结果最有利, 就要先做 试验, 方差分析就是对试验数据进行统计分析, 鉴别各个因素 对对我们要考察的指标（试验指标）影响程度的方法．
概率论与数理统计
7
❖ 1.单因素试验的方差 概念
➢ 推断三种治疗方案是否存在差异的问题，就是要辨别治 疗方案的差异主要是由随机误差造成的，还是由不同方 案造成的，这一问题可归结为三个总体是否有相同分布 的讨论．根据实际问题的情况，可认为血红蛋白的增加 值服从正态分布，且在安排试验时，除所关心的因素（ 这里指的是这里方案）外，其它试验条件总是尽可能做 到一致，这就使我们可以近似的认为每个总体的方差相 同，即xi～N(μi，σ2) i = 1，2，3．
概率论与数理统计
❖2. 单因素方差分析的数学模型
➢ 单因素方差分析问题的一般提法为： ➢ 因素A有m个水平A1, A2, …, Am, 在Ai水平下, 总体Xi～N(μi,
σ2), i = 1, 2, …, m．其中μi和σ2均未知, 但方差相等, 希望 对不同水平下总体的均值进行比较． 设xij表示第i个总体的第j个观测值(j = 1, 2, …, ni, i = 1, 2, …, m), 由于Xij～N(μi, σ2), i = 1, 2, …, m．单因素方差分 析模型常可表示为：
单因素试验的方差分析
其中
r n i
2r
2
S S A X iX n i ii
i 1j 1
i 1
组间平方和（系
如果H0 成立，则SSA 较小。 统离差平方和）
反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。
其中
1 r ni
ni1 j1
ij,
ni
i ij
j1
r ni
2 r ni
2
由P106定理5.1可推得：
S S 2 T~2 n 1 ,S S 2 A ~2 r 1 ,S S 2 E ~2 n r
将 分别SS记2T 作, SS2A
,
SSE
2
的自d由fT度,dfA,dfE
则 FSSA dfA~Fr1,nr
SSE dfE
（，称记作均S S 方A 和d f）A M S A ,S S Ed fE M S E
j1
i1
同一水平 下观测值 之和
所以观测 值之和
例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。
饲料
增重
A
51
40
43
48
B
23
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ25
26
C
23
28
解：T1 51404348182, T2 232526 74, T3 232851
F0.012,610.92
1 5 .0 3
总和 1024.89 8
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
例2的上机实现步骤
输入原始数 据列，并存 到A，B，C 列；
各水平数据放同一列
各水平数据 放在不同列
单因素试验的方差分析
=
2 2
=
2 s
2
;
(3)从每个总体中抽取的样本相互独立.
那么,要从已知数据中推断 s 个总体是否具有显著 的差异,就要比较各个总体的均值是否相等.设第 j 个总
体的均值为 j ,则要检验的假设为
H0 : 1 2 s , H1 : 1, 2 , , s不全相等.
（8-1）
单 因 素 A 具 有 s 个 水 平 A1, A2 , , As , 在 每 个 水 平
推进器 B
A1
B1
58.2 52.6
B2
56.2 41.2
B3
65.3 60.8
燃料 A
49.1 54.1 51.6 A2 42.8 50.5 48.4
60.1 70.9 39.2 A3 58.3 73.2 40.7
75.8 58.2 48.7 A4 71.5 51.0 41.4
这里的试验指标是射程,推进器和燃料是因素, 它们分别有 3 个、 4 个水平.这是一个双因素试验.试 验的目的在于考察在各种因素的各个水平下射程有 无显著的差异,即考察推进器和燃料这两个因素对射 程是否有显著的影响.
H1 : 1,2 ,
,
不全为0.
s
1.3 偏差平方和及其分解
定义 8.2 方和,其中
s nj
称 ST (Xij X )2 为样本的总偏差平 j 1 i1
称为样本的总均值.
1 s nj
X n j1 i1 X ij
s nj
定义 8.3 称 SE =
( Xij X .j )2 为样本的误差平方
差. SA 体现了各水平 Aj 的样本均值 X j 与总均值 X 之间
的差异,反映了样本之间的不同,它是由因素 A 的不同水 平效应的差异以及随机误差引起的.
单因素试验的方差分析
单因素试验的方差分析
在方差分析中,我们将要考察的指标称为试验指标，影响 试验指标的条件称为因素(或因子),常用A、B、C, …来表示. 因 素可分为两类，一类是人们可以控制的；一类是人们不能控 制的。 例如，原料成分、反应温度、溶液浓度等是可以控制 的，而测量误差、气象条件等一般难以控制。 以下我们所说 的因素都是可控因素，因素所处的状态称为该因素的水平。 如果在一项试验中只有一个因素在改变，这样的试验称为单 因素试验，如果多于一个因素在改变，就称为多因素试验.
一、单因素试验方差分析的统计模型
例9.1 为求适应某地区的高产水稻的品种( 因素或因子) , 现选了 五个不同品种( 水平)的种子进行试验, 每一品种在四块试验田上进 行试种。假设这 20块土地的面积与其他条件基本相同, 观测到各块 土地上的产量( 单位: 千克) 见表9–1。
在这个问题目中, 要考察的指标是水稻的产量, 影响产量的因
分析的统计模型 .
方差分析的任务是对于模型(9. 1 ) , 检验 s 个总体 N ( 1 , 2) , …, N
( s , 2)的均值是否相等, 即检验假设
H0 : 1 2 s H1 : 1 , 2 , s , 不全相等。
（9.2）
为将问题( 9. 2 ) 写成便于讨论的形式, 采用记号
s nj
ST
(xij x)2
j1 i1
(9.3)
这里
x
1 n
s j 1
nj i1
xij ，
ST能反应全部试验数据之间的差异，又称
为总变差 Aj下的样本均值
x
j
1 n
nj i1
xij
(9.4)
注意到
(xij x )2 (xij x j x j x )2 =(xij x j )2 (x j x )2 2(xij x j )(x j x )
第二节 单因素试验资料的方差分析
第二节单因素试验资料的方差分析在方差分析中，根据所研究试验因素的多少，可分为单因素、两因素和多因素试验资料的方差分析。
单因素试验资料的方差分析是其中最简单的一种，目的在于正确判断该试验因素各水平的优劣。
根据各处理内重复数是否相等，单因素方差分析又分为重复数相等和重复数不等两种情况。
上节讨论的是重复数相等的情况。
当重复数不等时，各项平方和与自由度的计算，多重比较中标准误的计算略有不同。
本节各举一例予以说明。
一、各处理重复数相等的方差分析【例6.3】抽测5个不同品种的若干头母猪的窝产仔数，结果见表6-12，试检验不同品种母猪平均窝产仔数的差异是否显著。
表6-12五个不同品种母猪的窝产仔数这是一个单因素试验，k=5,n=5。
现对此试验结果进行方差分析如下：1、计算各项平方和与自由度2、列出方差分析表，进行F检验表6-13不同品种母猪的窝产仔数的方差分析表根据df1=df t=4,df2=df e=20查临界F值得：F0.05(4,20)=2.87,F0.05(4,20)=4.43，因为F＞F0.01(4,20)，即P＜0.01，表明品种间产仔数的差异达到1%显著水平。
3、多重比较采用新复极差法，各处理平均数多重比较表见表6-14。
表6-14不同品种母猪的平均窝产仔数多重比较表(SSR法)-8.2 -9.6因为MS e=3.14,n=5，所以为：根据df e=20，秩次距k=2,3,4，5由附表6查出α=0.05和α=0.01的各临界SSR 值，乘以=0.7925，即得各最小显著极差，所得结果列于表6-15。
表6-15SSR值及LSR值将表6-14中的差数与表6-15中相应的最小显著极差比较并标记检验结果。
检验结果表明：5号品种母猪的平均窝产仔数极显著高于2号品种母猪，显著高于4号和1号品种，但与3号品种差异不显著；3号品种母猪的平均窝产仔数极显著高于2号品种，与1号和4号品种差异不显著；1号、4号、2号品种母猪的平均窝产仔数间差异均不显著。
第三节单因素方差分析
第三节单因素⽅差分析试验中要考察的指标称为试验指标，影响试验指标的条件称为因素（分类变量），因素所处的状态称为⽔平，若试验中只有⼀个因素改变则称为单因素试验，若有两个因素改变则称为双因素试验，若有多个因素改变则称为多因素试验。
⽅差分析就是对试验数据进⾏分析，检验⽅差相等的多个正态总体均值是否相等，进⽽判断各因素对试验指标的影响是否显著，根据影响试验指标条件的个数可以区分为单因素⽅差分析、双因素⽅差分析和多因素⽅差分析。
如果有4组的均数需要⽐较，如果使⽤t检验进⾏两两⽐较，那需要进⾏6次。
⽽每次t检验不犯第⼀类错误的概率为0.95，6次都不犯的概率即是0.95的6次⽅，所以如果使⽤t检验进⾏两两⽐较，6次t检验⾄少有⼀次犯第⼀类错误的概率为0.2469，将被放⼤。
如果仍然要使⽤两两的t 检验，就需要控制总的犯第⼀类错误的概率各组内部变异（组内变异）：反映个体差异（随机变异）的⼤⼩各组均数差异（组间变异）：反映了个体差异（随机效⽤）的影响与可能存在的处理因素的影响之和总变异=组内变异+组间变异F检验统计量： F=(SSA/(k-1))/(SSE/(n-k))=MSA/MSE前提条件：独⽴性，正态性，⽅差齐性（）如果得出的结论是多组均数间存在差异，则需要进⾏事后的两两⽐较两两⽐较中会遇到的⼀类错误CER：⽐较误差，即每做⼀次⽐较犯⼀类错误的概率EERC：在完全⽆效假设下的试验误差率，即在H0成⽴时做完全⽐较所犯的⼀类错误的概率，⽅差分析检验/卡⽅检验本⾝控制的就是EERCMEER：最⼤试验误差率，即在任何完全或者部分⽆效假设下，做完全部⽐较所犯的⼀类错误的最⼤概率值，适⽤范围更⼴控制⼀类错误 直接校正P值： sidak校正，当⽆效假设实际成⽴，即各组均数⽆差别时，完全两两⽐较犯第⼀类错误的概率为1-0.95^(k(k-1)/2)，次即EERC，通过控制总的EERC=0.05反向推导没⼀个检验犯第⼀类错误的概率，统计软件直接往往将每个检验的屁p值放⼤（最⼤放⼤为1），⽽固定每个⽐较的α⽔准仍为0.05⽅便阅读 bonferroni校正：⼤多数实际问题中，都是有些组均数相同，有些不同，因此使⽤MEER更合适，通过控制CER，使得MEER被控制在所设定的⽔准内，计算公式为CER=α/c(需要进⾏⽐较的次数) 直接校正的缺陷：将两两⽐较分别进⾏，不仅使⽤⿇烦，也增加了误差的影响，因为每次两两⽐较只会⽤到这⼀组的数据⽽利⽤不到所有的数据，联合检验可解决此类问题，⽽且对⼀类错误的控制太严格，结果往往是偏保守的 联合检验：LSD-t检验，LSD最⼩显著差异，t检验的⼀个变形，在标准误和⾃由度的计算上利⽤了全部样本信息，使得结果更为准确，t 检验的标准误和⾃由度的计算只利⽤了相应的两组的信息。
数据分析第七篇：方差分析（单因素方差分析）
数据分析第七篇：⽅差分析（单因素⽅差分析）在试验中，把考察的指标称为试验指标，影响试验指标的条件称为因素。
因素可分为两类，⼀类是⼈为可控的测量数据，⽐如温度、⾝⾼等；⼀类是不可控的随机因素，例如，测量误差，⽓象条件等。
因素所处的状态称为因素的⽔平。
如果在试验过程中，只有⼀个因素在改变，称为单因素试验。
⽅差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）主要⽤于验证两组样本，或者两组以上的样本均值是否有显著性差异（是否⼀致）。
举个例⼦，有三台机器⽤来⽣产规格相同的铝合⾦薄板，试验的指标是铝合⾦薄板的厚度，机器是因素，不同的三台机器是因素的三个⽔平。
试验的⽬的是为了考察每台机器所⽣产的薄板的厚度是否有显著的差异，即考察机器这⼀因素对薄板厚度有⽆显著的影响，如果厚度有显著差异，就表明机器对厚度的影响是显著的。
⼀，单因素⽅差分析对多个总体均值进⾏检验，需要⽤到⽅差分析⽅法，例如，某⼯⼚有A、B、C三台轧制板材的设备，如果想知道这三台设备轧制板材的厚度是否⼀致，就可以转化为检验来⾃三个总体的均值是否相同的问题。
以上⾯所说轧制板材为例，检验A、B、C三台设备轧制的板材厚度是否⼀致，可以建⽴如下假设：H0: µ1=µ2=…=µr；H1: µ1，µ2，…，µr不全相等。
三个总体均值是否相等⽆从知道，但是可以通过样本均值是否有显著差异来检验总体均值是否相等。
因为，如果H0为真时，则可以期望样本均值很接近，如果样本均值很接近，则推断总体均值相等的证据很充分，就可以接受H0。
否则，当样本均值相距较远，就认为总体均值相等的证据不充分，从⽽拒绝H0，接受H1。
样本均值之间距离的所谓远近是相对的，是通过假定的共同⽅差的两个点估计值⽐较得出的。
第⼀个点估计是组内⽅差，⽤各个样本⽅差估计得到的，只与每个样本内部的⽅差有关，反映各个⽔平内部随机性的变动。
实验四 单因素方差分析
(三)数据转换时用到的函数套用
• 百分数的转换函数
Degrees(asin(sqrt(p/100))) • 反转换为百分数时的函数套用 2 100*(sin(radians(数据)))
三 练习 P149 9 P150 13
实验四 单因素试验析，掌握方 差分析的三个基本步骤和数据转换的方法。
二 实验内容 (一)利用函数进行分析
本方法用到的函数有sum(), sumsq(), devsq(), fdist(), finv()等;
(二) 利用工具进行分析 在excel中有三种方差分析的工具1、单因素方 差分析：它只适用于单因素完全随机试验的统 计分析,包括观察值不等的试验；2、无重复双 因素：适用于单因素随机区组和二因素无重复 试验的统计分析；3、可重复双因素方差分析： 直接适用于二因素有重复的完全随机；但是通 过适当的改动后，可适用于二因素随机区组、 二因素裂区试验、二因素条区试验、单因素拉 丁方试验的方差分析。
单因素方差分析
1.2 单因素方差分析
1.2.2 单因素方差分析的前提条件
➢ 方差的齐同性是进行方差分析的前提。
➢ 从不同总体中抽出的各组样本间毫无关系，即设k个总体
相互独立。
1.2.3 单因素方差分析的检验步骤 1.提出假设
2）实验条件
称为组间差异（Between Groups），即不同的处理造成的差异。 用各组平均值与总平均值离差的平方和表示，记作 。SR
(2) 方差分析的检验统计量
2. 方差分析的分类
单因素方差分析 多因素方差分析 有交互作用的多因素方差分析
1.2 单因素方差分析
1.2.1 基本概念
因素：可控制的试验条件。 水平：因素变化的各个等级。 单因素试验:试验中只有一个因素在变化，其他可控制的条件 不变。 双因素试验：试验中变化的因素有两个。 多因素试验：实验中变化的因素多于两个。
常使用LSD（Least-Significant difference）法，即最小 显著差数法。
统计量:
临界值：
T
xi x j
n n MS
E
1
1
i
j
LSD
t 2 n k
MS
E
1 ni
1 nj
例[9-2]
对例[9-1]中各水平间差异显著性检验。
MS E
1 ni
1 nj
SE nk
1 ni
体育统计
体育统计
1.1 方差分析概述
方差分析是通过分析样本数据各项差异的来源以检验两 个以上总体平均数是否有显著性差异的方法。
早在上个世纪20年代英国统计学费歇（R.A.Fisher, 1890～1962）首先将该方法用到农业试验中，经过近百 年的发展，其内容已十分丰富。
第一节 单因素试验的方差分析
第八章 方差分析与回归分析第一节 单因素试验的方差分析在科学试验、生产实践和社会生活中，影响一个事件的因素往往很多。
例如，在工业生产中，产品的质量往往受到原材料、设备、技术及员工素质等因素的影响；又如，在工作中，影响个人收入的因素也是多方面的，除了学历、专业、工作时间、性别等方面外，还受到个人能力、经历及机遇等偶然因素的影响. 虽然在这众多因素中，每一个因素的改变都可能影响最终的结果，但有些因素影响较大，有些因素影响较小. 故在实际问题中，就有必要找出对事件最终结果有显著影响的那些因素. 方差分析就是根据试验的结果进行分析，通过建立数学模型，鉴别各个因素影响效应的一种有效方法.分布图示★ 引言★ 基本概念 ★ 例1★ 例2★ 假设前提 ★ 方差分析的任务★ 偏差平方和及其分解 ★ E S 和A S 的统计特性 ★ 检验方法★ 例3★ 例4★ 习题8-1内容要点一、基本概念在方差分析中，我们将要考察的对象的某种特征称为试验指标. 影响试验指标的条件称为因素. 因素可分为两类，一类是人们可以控制的（如上例的原材料、设备、学历、专业等因素）；另一类人们无法控制的（如上例中员工素质与机遇等因素）.今后，我们所讨论的因素都是指可控制因素。
因素所处的状态，称为该因素的水平. 如果在一项试验中只有一个因素在改变，则称为单因素试验；如果多于一个因素在改变，则称为多因素试验. 为方便起见，今后用大写字母,,,C B A 等表示因素，用大写字母加下标表示该因素的水平，如 ,,21A A 等.二、假设前提设单因素A 具有r 个水平，分别记为,,,,21r A A A 在每个水平),,2,1(r i A i 下，要考察的指标可以看成一个总体，故有r 个总体，并假设:(1) 每个总体均服从正态分布; (2) 每个总体的方差相同;(3) 从每个总体中抽取的样本相互独立.那么，要比较各个总体的均值是否一致，就是要检验各个总体的均值是否相等，设第i 个总体的均值为i μ，则假设检验为 .:210r H μμμ=== 备择假设为 .,,,:211不全相等r H μμμ 通常备择假设可以不写.在水平),,2,1(r i A i =下，进行i n 次独立试验，得到试验数据为,,,,21i in i i X X X 记数据的总个数为n =.1∑=ri i n由假设有 ~ij X ),(2σμi N （i μ和2σ未知），即有-ij X i μ~),,0(2σN 故-ij X i μ可视为随机误差.记-ij X i μ=ij ε，从而得到如下数学模型:⎩⎨⎧==+=未知和相互独立各个2i 2, ),,0(~,,2,1,,,2,1,σμεσεεμij ij iij i ij N n j r i X （1） 方差分析的任务:1) 检验该模型中r 个总体),(2σμi N ),,2,1(r i =的均值是否相等; 2) 作出未知参数r μμμ,,,21 , 2σ的估计.为了更仔细地描述数据，常在方差分析中引入总平均和效应的概念. 称各均值的加权平均,11∑==ri ii n nμμ为总平均. 其中n =.1∑=ri i n 再引入,μμδ-=i i ,,,2,1r i =i δ表示在水平i A 下总体的均值i μ与总平均μ的差异，称其为因子A 的第i 个水平i A 的效应.易见，效应间有如下关系式：,0)(11=-=∑∑==ri iir i ii n n μμδ利用上述记号，前述数学模型可改写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++=∑=未知和相互独立各个2i 21,),,0(~0,,2,1,,,2,1,σμεσεδεδμij ijr i i i r ij i ij N n n j r i X （2） 而前述检验假设则等价于:.,,,:.:211210不全为零r r H H δδδδδδ ===三、偏差平方和及其分解为了使造成各ij X 之间的差异的大小能定量表示出来，我们先引入:记在水平i A 下数据和记为: ∑==in j ij i X X 1.，其样本均值为.i X =,11∑=in j ij iXn 因素A 下的所有水平的样本总均值为X =∑∑==ri n j ij iX n111=∑=ri i Xr 1.1,为了通过分析对比产生样本ij X , r i ,,2,1 =，k j ,,2,1 =之间差异性的原因，从而确定因素A 的影响是否显著，我们引入偏差平方和来度量各个体间的差异程度:=T S ∑∑==-ri n j ij iX X 112)( （3）T S 能反映全部试验数据之间的差异，又称为总偏差平方和.如果0H 成立，则r 个总体间无显著差异，也就是说因素A 对指标没有显著影响，所有的ij X 可以认为来自同一个总体),(2σμN ，各个ij X 间的差异只是由随机因素引起的。
单因素试验的方差分析
j
μ 各个随机误差 ε ij 相互独立， 1 , μ 2 , , μ s 和 σ
未知.
单因素试验表 部分总体 样 本 A1 A2 … As
X11
X21
· · ·
X12 …
X22 … Xn22 … T.2 …
X 2
· · ·
X1s
X2s
· · ·
…
Xn11 样本和T.j 样本均值 X j T.1
是 σ 的无偏估计
.
结合定理(1)(2)(3)，有
F S A /( s 1 ) S E /( n s ) ~ F ( s 1, n s )
ST ，SA ，SE 的计算方法
n
j
记 T j 化简得
i1
X
ij
， T
j1 i1
s
2
s
n
j
X
ij
T
j1
s
j
j1 i1
s
n
j
(X
ij
X
j )
2
说明：
SE 表示在每个水平下的样本值与该水平下的样本 均值的差异，它是由随机误差引起的，所以，称SE是 误差（组内）平方和.
平方和分解公式：
ST S A S E
证明：S
i1
s
n
j
(X
ij
X)
2
( X
j1 i1
2
都是未知参数。
在水平Aj下进行nj次独立试验，得样本
X 1 j， X
2 j
， ，X
nj j
，
则
记
X
ij
单因素试验方差分析(试验数据处理)概论
MS A SSA / dfA MSe SSe / dfe
称MSA 为组间均方（mean square between group）
称MSe为组内均方（mean square in group） 或误差的均方（error mean square）
（5）F检验
* * F MSA 467.36 31.10 MSE 15.03
F0.01 2,6 10.92 F0.05 2,6 5.14
则称因素A无显著影响，无标记。
例2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。
饲料
增重
A
51
40
43
48
B
23
25
26
C
23
28
解：T1 51 40 43 48 182, X 1 45.5
T2 23 25 26 74, X 2 24.6
列平均Xi Ti ni X 1
（组内平均值）
X 2 ...
Xr
X
1 n
r i 1
ni X i
r
（总平均值）
其中诸 ni 可以不一样，n i1 ni
(2)计算离差平方和
总平方和： (sum of square for total )
r nj
SST
( X ij X )2
j1 i1
r nj
MSe SSe / dfe 90.17 / 6 15.03
(5)F检验
* * FA MSA 467.36 31.10 MSe 15.03
F0.01 2,6 10.92 F0.05 2,6 5.14
第一节单因素方差分析
优选第一节单因素方差 分析
得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ单因素方差分析的结果如图3所示．
H1： 1， 2，…， m不全相等；
本例中，只考虑化肥这一个因素(记为A)对粮食产量 其中 i表示第i个总体的均值， ij为随机误差．
从方差分析表可以看出，P值大于（显著水平），所以不能拒绝原假设，没有足够的证据证明三种化肥的肥效有显著差异．
观测值（j） A1
1
x11
2
x12
… ni 平均值
…
x1n1 x1.
A因素（i）
A2 x21 x22 …
x 2n2 x 2.
… … … … …
Am xm1 xm2 …
x mn m xm.
表中用A表示因素，A的m个取值称为m个水平分别用 A1，A2，…，Am表示，每个水平对应一个总体．
从不同水平（总体）中抽出的样本容量可以相同，也
H0： 1 = 2 = 3
象这类检验若干同方差的正态总体均值是否相等的 一种统计分析方法称为方差分析．
当只有两个正态总体时，这类问题也可以用第八章 讲过的两正态总体均值比较的方法来解决．
5.1.2 单因素方差分析的数学模型
进行单因素方差分析时，需要得到如表1所示 的数据结构．
▪
表1 单因素方差分析中数据结构
5.1.3 方差分析的方法
为 其 m)了中方 便 m起1 见im1，可i 称将为i记总为均：值, i=i =+i
i –
(i = 1, 2, …,
称为因素A的第i个水平的附加效应.
对不同水平下均值是否相同的检验
H0：1 = 2 = … = m， H1：1，2，…，m不全相等； 就可以表示为：
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一、单因素试验
二、单因素试验方差分析的基本步骤
(1)计算平均值 (2)计算离差平方和 (3)计算自由度 (4)计算平均平方 (5)F检验
三、单因素试验方差分析的简化计算
（一）单因素试验
பைடு நூலகம்
机器设备
反应时间
原料成分 原料剂量
化工产品的 数量和质量
溶液浓度 操作水平
反应温度
压力
方差分析（analysis of variance,简称ANOVA） ——根据试验的结果进行分析,鉴别各个有关因素 对试验结果的影响程度.
将SSA ,SSe分别除以dfA，dfe，得：
MS A SSA / dfA MSe SSe / dfe
称MSA 为组间均方（mean square between group）
称MSe为组内均方（mean square in group） 或误差的均方（error mean square）
（5）F检验
列平均Xi Ti ni X 1
（组内平均值）
X 2 ...
Xr
X
1 n
r i 1
ni X i
r
（总平均值）
其中诸 ni 可以不一样，n i1 ni
(2)计算离差平方和
总平方和： (sum of square for total )
r nj
SST
( X ij X )2
j1 i1
r nj
组间均方与组内均方之比F是一个统计量：
FA
组间均方 组间均方
MSA MSe
~
F (dfA, dfe)
FA服从自由度为（dfA，dfe）的F分布，对于给定
的 ，通过查表得临界值 F(dfA, dfe)。
当FA F(dfA, dfe) 时 ，则认为因素A对试
验结果有显著影响 ，否则没有显著影响。
为了把方差分析的过程更清楚，制作方差分析表： 单因素方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F值
显著性
因子A SSA
随机误差 SSe
总和
SST
r-1 SSA/r-1 MSA n-r SSe/ n-s MSe
n-1
若 FA F0.01，则称因素A对试验结果有非常显著的影响，
作标记
；若F0.05 FA F0.01 ，则称因素A对试验结果
** * 有显著的影响，作标记 ；若 FA F 0.05(dfA, dfe)，
3 nj
SST
( Xij X )2 （51- 34.11）2 （40 - 34.11）2 ...（28 - 34.11）2
j1 i1
1024 . 89 3
SSA n j ( X j X )2 （4 45.5 - 34.11）2 （3 24.6 - 34.11）2 （2 25.5 - 34.11）2 j 1
934.72
SSe SST SSA 1024 .89 934 .72 90.17 (3)计算自由度
dfT n 1 9 1 8
dfA r 1 3 1 2
dfe n r 9 - 3 6
解： (4)计算均方
MS A SSA / dfA 934 .72 / 2 467 .36
试验指标(experimental index)——试验中要考察的指标. 因 素(experimental factor)——影响试验指标的条件.
因
可控因素
素
不可控因素
水 平(level of factor)——因素所处的状态.
单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变. 多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
T3 23 28 51 X 3 25.5
T 182 7451 307
dfA r 1 2, dfE n r 9 3 6, X 307 / 9 34.11
dfT n 1 8
有3种水平，所以r=3
解： (1)计算平均值 X1 45.5 X 2 24.6 X 3 25.5 X 34.11 (2)计算离差平方和
SST所对应的自由度称为总自由度：
dfT n 1
SSA所对应的自由度称为组间自由度：
dfA r 1
SSe所对应的自由度称为组内自由度：
dfe n r
三个自由度之间存在的关系：
dfT dfA dfe
（4）计算平均平方
用离差平方和除以对应的自由度可得到平均平方 (mean square)，简称均方。
效应（组间）平方和：
SSA
(X j X )2
(sum of square for factor A)
j1 i1
说明：
s
n j ( X j X )2 j 1
SSA反映了在每个水平下的样本均值与样本总均 值的差异，它是由因子A 取不同水平引起的，所以，
称SA是因子A的效应（组间）平方和.
误差（组内）平方和：
例1 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）.
表1 电路的响应时间
类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ
19
20
22
21
20
33
18
27
16
18
15
22
18
19
26
试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型
水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平 单因素试验
试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无
(sum of square for error)
说明：
r nj
SSe
( X ij X j )2
j1 i1
SSe 表示在每个水平下的样本值与该水平下的样
本均值的差异，它是由随机误差引起的，所以称 SSe
是误差（组内）平方和.
平方和分解公式：SST SSA SSe
(3)计算自由度
仅考虑离差平方和是不够的，为此需考虑自由度 (degree of freedom)
显著的影响.（从哪些值来看是否有影响呢？）
(二) 单因素试验方差分析的基本步骤
(1)计算平均值
水平
重复 试验结果 A1 A2 ... Ar
1
X11 X 21 ... X r1
...
... ... ... ...
ni
X 1n1
X 2n2
... X rnr
ni
列和Ti Xij
（组内和）j1
r
T1 T2 ... Tr 总和 Ti i 1
则称因素A无显著影响，无标记。
例2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。
饲料
增重
A
51
40
43
48
B
23
25
26
C
23
28
解：T1 51 40 43 48 182, X 1 45.5
T2 23 25 26 74, X 2 24.6