初三数学知识点剖析—期末冲刺：射影定理
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BE AE ∴ AE2 = EB EC ，
即 DE2 = BE CE ． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出∠B=∠1 是解题关键．
例 4：【分析】要证线段乘积式相等，常常先证比例式成立，要证比例式，须有三角形相似，要证三角形相 似，须根据已知与图形找条件就可．
【解答】 证明：连接 PC， ∵AB=AC，AD 是中线， ∴AD 所在直线是△ABC 的垂直平分线． ∴PC=PB，∠PCE=∠ABP． ∵CF∥AB，∴∠PFC=∠ABP， ∴∠PCE=∠PFC 又∵∠CPE=∠EPC， ∴△EPC∽△CPF ∴ PC = PF
2.证明过程： ∵ CD ⊥ AB ∴ DCA + CAB = 90 又∵ Rt ABC 中 CBA + CAB = 90 ∴ DCA = CBA 又∵ CDA = BDC ∴ ACD CBD ∴ CD = BD 即 CD2 = AD BD
DA DC
∵ Rt ABC 中 BCD + DCA = 90 , A + DCA = 90 ∴ A = BCD 又∵ CDA = BCA ∴ ACD ABC ∴ AC = AB 即 AC2 = AB AD
例 3：【分析】利用垂直平分线的性质得出 AE=DE，进而利用外角的性质得出∠B=∠1，即可得出△ACE∽ △BAE，即可得出答案．
【解答】证明：连接 AE， ∵AD 的垂直平分线交 AD 于 E， ∴AE=DE， ∴∠1+∠2=∠4， ∵∠B+∠3=∠4， ∠2=∠3，
∴∠B=∠1， ∵∠AEB=∠CEA， ∴△ACE∽△BAE， ∴ AE = CE ，
AD AC
∵ ACD ABC ， ACD CBD ∴ ABC CBD ∴ BC = BD 即 BC2 = AB BD .
BA BC
3.口诀：柱子的平方等于影子的乘积.
三、典型例题
例 1：已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，M 是 BC 的中点， DM⊥BC 交 AC 于点 E，交 BA 的延长线于点 D，求证： （1） MA2 = MD ME ； （2） AE2 = ME ．
AD2 MD
例 2：如图①，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D， E 为 AC 的中点，DE 交 BA 的延长线于点 F． 求证：AB：AC=BF：DF．
例 3：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，AD 的垂直平分线 FE 交 BC 的延长线于 E， 求证： DE2 = BE CE ．
PE PC ∴ PC2 = PE PF ∵PC=BP ∴ PB2 = PE PF 【点评】证明线段乘积式相等，常常先证比例式成立这是十分重要的方法之一，本题主要考查的是相似三角
形性质的应用.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 4：已知：如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是中线，P 是 AD 上一点， 过 C 作 CF∥AB，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF 于 F、求证： BP2 = PE PF ．
四、典型例题解析
例 1：【分析】（1）根据直角三角形的性质可以求出∠D=∠C，AM=CM，就可以求出∠D=∠MAE，就可以 求 出 △EMA ∽ △ AMD ， 得 出 MA = EM 而 得 出 结 论 （ 2 ） 根 据 △EMA ∽ △ AMD 就 可 以 得 出 MD MA AE = EM = AM ，就可以得出结论 AD AM MD
初三数学知识点精讲精练之射影定理
一、射影定理建议
射影定理一共有三个公式结论，其内容已经在南京中考中取消，也就是以后的题目中我们不可以再直接 应用射影定理的三个结论；但是其推导过程是利用我们平时学习中常见的相似三角形推导线段成比例关系 的方法，在相似三角形这一部分时常出现考察内容，故而也是我们学习中需要掌握的重要拓展知识！
【解答】证明： ∵DM⊥BC， ∴∠BMD=90°， ∴∠B+∠D=90°． ∵∠BAC=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∴∠D=∠C． ∵M 是 BC 的中点， ∴AM=MC= 1 BC，
2 ∴∠MAE=∠C． ∴∠MAE=∠D． ∵∠AME=∠AMD， ∴△EMA∽△AMD， ∴ MA = EM ，
MD MA ∴MA2=MD•ME；
(2)∵△EMA∽△AMD， ∴ AE = EM = AM ，
AD AM MD ∴ AE = EM ， AE = AM ，
AD AM AD MD
∴ AE AE = EM AM ， AD AD AM MD
∴ AE2 = ME ． AD2 MD
【点评】解答时证明三角形相似是关键
二、基本概念
1. 射影定理（欧几里德定理）：在直角三角形中， 斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项， 每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 如图， Rt ABC 中 CD ⊥ AB ,
则 ACD ABC CBD .
则 CD2 = AD BD ， BC2 = AB BD ， AC2 = AB AD .
例 2：【分析】首先证明△ABD∽△CAD，得到 AB：AC=BD：AD；证明△ADF∽△DBF，得到 BD：AD=BF： DF，即可解决问题
【解答】证明： 如图，∵∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D， ∴∠B+∠C=∠DAC+∠C， ∴∠B=∠DAC，而∠ADB=∠ADC， ∴△ABD∽△CAD， ∴AB：AC=BD：AD； ∵E 为 AC 的中点， ∴EA=ED，∠ADE=∠DAC， ∵∠DAC=∠B， ∴∠ADE=∠B，而∠F=∠F， ∴△ADF∽△DBF， ∴BD：AD=BF：DF， ∴AB：AC=BF：DF．
即 DE2 = BE CE ． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出∠B=∠1 是解题关键．
例 4：【分析】要证线段乘积式相等，常常先证比例式成立，要证比例式，须有三角形相似，要证三角形相 似，须根据已知与图形找条件就可．
【解答】 证明：连接 PC， ∵AB=AC，AD 是中线， ∴AD 所在直线是△ABC 的垂直平分线． ∴PC=PB，∠PCE=∠ABP． ∵CF∥AB，∴∠PFC=∠ABP， ∴∠PCE=∠PFC 又∵∠CPE=∠EPC， ∴△EPC∽△CPF ∴ PC = PF
2.证明过程： ∵ CD ⊥ AB ∴ DCA + CAB = 90 又∵ Rt ABC 中 CBA + CAB = 90 ∴ DCA = CBA 又∵ CDA = BDC ∴ ACD CBD ∴ CD = BD 即 CD2 = AD BD
DA DC
∵ Rt ABC 中 BCD + DCA = 90 , A + DCA = 90 ∴ A = BCD 又∵ CDA = BCA ∴ ACD ABC ∴ AC = AB 即 AC2 = AB AD
例 3：【分析】利用垂直平分线的性质得出 AE=DE，进而利用外角的性质得出∠B=∠1，即可得出△ACE∽ △BAE，即可得出答案．
【解答】证明：连接 AE， ∵AD 的垂直平分线交 AD 于 E， ∴AE=DE， ∴∠1+∠2=∠4， ∵∠B+∠3=∠4， ∠2=∠3，
∴∠B=∠1， ∵∠AEB=∠CEA， ∴△ACE∽△BAE， ∴ AE = CE ，
AD AC
∵ ACD ABC ， ACD CBD ∴ ABC CBD ∴ BC = BD 即 BC2 = AB BD .
BA BC
3.口诀：柱子的平方等于影子的乘积.
三、典型例题
例 1：已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，M 是 BC 的中点， DM⊥BC 交 AC 于点 E，交 BA 的延长线于点 D，求证： （1） MA2 = MD ME ； （2） AE2 = ME ．
AD2 MD
例 2：如图①，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D， E 为 AC 的中点，DE 交 BA 的延长线于点 F． 求证：AB：AC=BF：DF．
例 3：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，AD 的垂直平分线 FE 交 BC 的延长线于 E， 求证： DE2 = BE CE ．
PE PC ∴ PC2 = PE PF ∵PC=BP ∴ PB2 = PE PF 【点评】证明线段乘积式相等，常常先证比例式成立这是十分重要的方法之一，本题主要考查的是相似三角
形性质的应用.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 4：已知：如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是中线，P 是 AD 上一点， 过 C 作 CF∥AB，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF 于 F、求证： BP2 = PE PF ．
四、典型例题解析
例 1：【分析】（1）根据直角三角形的性质可以求出∠D=∠C，AM=CM，就可以求出∠D=∠MAE，就可以 求 出 △EMA ∽ △ AMD ， 得 出 MA = EM 而 得 出 结 论 （ 2 ） 根 据 △EMA ∽ △ AMD 就 可 以 得 出 MD MA AE = EM = AM ，就可以得出结论 AD AM MD
初三数学知识点精讲精练之射影定理
一、射影定理建议
射影定理一共有三个公式结论，其内容已经在南京中考中取消，也就是以后的题目中我们不可以再直接 应用射影定理的三个结论；但是其推导过程是利用我们平时学习中常见的相似三角形推导线段成比例关系 的方法，在相似三角形这一部分时常出现考察内容，故而也是我们学习中需要掌握的重要拓展知识！
【解答】证明： ∵DM⊥BC， ∴∠BMD=90°， ∴∠B+∠D=90°． ∵∠BAC=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∴∠D=∠C． ∵M 是 BC 的中点， ∴AM=MC= 1 BC，
2 ∴∠MAE=∠C． ∴∠MAE=∠D． ∵∠AME=∠AMD， ∴△EMA∽△AMD， ∴ MA = EM ，
MD MA ∴MA2=MD•ME；
(2)∵△EMA∽△AMD， ∴ AE = EM = AM ，
AD AM MD ∴ AE = EM ， AE = AM ，
AD AM AD MD
∴ AE AE = EM AM ， AD AD AM MD
∴ AE2 = ME ． AD2 MD
【点评】解答时证明三角形相似是关键
二、基本概念
1. 射影定理（欧几里德定理）：在直角三角形中， 斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项， 每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 如图， Rt ABC 中 CD ⊥ AB ,
则 ACD ABC CBD .
则 CD2 = AD BD ， BC2 = AB BD ， AC2 = AB AD .
例 2：【分析】首先证明△ABD∽△CAD，得到 AB：AC=BD：AD；证明△ADF∽△DBF，得到 BD：AD=BF： DF，即可解决问题
【解答】证明： 如图，∵∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D， ∴∠B+∠C=∠DAC+∠C， ∴∠B=∠DAC，而∠ADB=∠ADC， ∴△ABD∽△CAD， ∴AB：AC=BD：AD； ∵E 为 AC 的中点， ∴EA=ED，∠ADE=∠DAC， ∵∠DAC=∠B， ∴∠ADE=∠B，而∠F=∠F， ∴△ADF∽△DBF， ∴BD：AD=BF：DF， ∴AB：AC=BF：DF．