初三数学知识点剖析—期末冲刺：射影定理
中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型06 射影定理模型(解析版)
模型介绍1.射影定理定义①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．2.如图在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，有射影定理如下： 注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！例题精讲【例1】．在矩形ABCD 中，BE ⊥AC 交AD 于点E ，G 为垂足．若CG ＝CD ＝1，则AC 的长是．①AD 2＝BD •DC ；②AB 2＝BD •BC ；AC 2＝CD •BC ．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AGB＝90°＝∠ABC，∵∠BAG＝∠CAB，∴△ABG∽△ACB，∴＝，∴AG•AC＝AB2（射影定理），即（AC﹣1）•AC＝12，解得：AC＝或AC＝（不合题意舍去），即AC的长为，故答案为：．【例2】．如图：二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣2解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点C（0，t），∴t＝2；∵AC⊥BC，∴OC2＝OA•OB（射影定理），即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，根据韦达定理知x1x2＝，∴a＝﹣．故选：A．【例3】．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）A．3B．8C．D．2解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．变式训练【变式1】．如图，在△ABC中，若＝AC，BC＝2BD＝6，DE⊥AC，则AC•EC的值是9．解：如图，∵在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，∴AD⊥BC，CD＝BD＝3．又DE⊥AC，∴∠CED＝∠CDA＝90°．∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD．∴＝，即AC•EC＝CD2＝9．（射影定理）故答案是：9．【变式2】．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则AE＝cm．解：设BE＝x，因为BE：ED＝1：3，故ED＝3x，根据射影定理，AD2＝3x（3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE•ED，AE2＝x•3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．【变式3】．如图，若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠OAC＝∠OCB．则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．D．解：设A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点C（0，c），∴OC＝c，∵∠OAC＝∠OCB，OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，∴，∴OC2＝OA•OB（即射影定理）即|x1•x2|＝c2＝﹣x1•x2，令ax2+bx+c＝0，根据根与系数的关系知x1•x2＝，∴，故ac＝﹣1，故选：A．【变式4】．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝____________.解：连接CF、GF，如图：在正方形ABCD中，∠EAD＝∠ADC＝90°，AF⊥DE，∴△AFD∽△EAD，∴＝，又∵DF＝5EF＝5，∴AD＝＝＝＝CD，在Rt△AFD中，AF＝＝＝，∵∠CDF+∠ADF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF＝180°，∵∠FGA+∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC，∴＝，∴＝，∴AG＝，∴DG＝AD﹣AG＝﹣【变式5】．如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，过点B作BG⊥AC 交⊙O于点E、H，连AD、ED、EC．若BD＝8，DC＝6，则CE的长为2．解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵BG⊥AC，∴∠BGC＝∠ADC＝90°，∵∠BCG＝∠ACD，∴△ADC∽△BGC，∴＝，∴CG•AC＝DC•BC＝6×14＝84，连接AE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠EGC＝90°，∵∠ACE＝∠ECG，∴△CEG∽△CAE，∴＝，∴CE2＝CG•AC＝84，∴CE＝2．故答案为2．【变式6】．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交BC于点E，点F在实战演练BC 的延长线上，且CF ＝BE ，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）连接AC ，若∠ACD ＝90°，AE ＝4，CF ＝2，求EC 和AC的长．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵CF ＝BE ∴BE +CE ＝CF +CE ，即BC ＝EF ，∴AD ＝EF ，∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形，∵AE ⊥BC ，∴∠AEF ＝90°，∴平行四边形AEFD 是矩形；（2）解：如图，∵CF ＝BE ，CF ＝2，∴BE ＝2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ＝90°，∵AE ⊥BC ，∴AE 2＝BE •EC （射影定理），∴EC ＝＝＝8，∴AC ＝＝＝4．1．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，垂足为点E ．若sin ∠ADE ＝，AD ＝4，则AB 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵DE ⊥AC ，∴∠ADE+∠CAD＝90°，∵∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠ACD＝∠ADE，∵矩形ABCD的对边AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵sin∠ADE＝，BC＝AD＝4，∴＝，∴＝，∴AC＝5，由勾股定理得，AB＝＝3，故选：C．2．如图，在矩形ABCD中，BD＝2．对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC的垂线，交AC于点E，AE＝3CE．则DE2的值为（）A．4B．2C．D．4解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝2，∵AE＝3CE，∴AE＝AC＝，CE＝AC＝，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，∴∠ADE+∠DAC＝90°，∴∠ADE＝∠ACD，∴△ADE∽△DCE，∴＝，∴DE2＝AE•CE＝×＝，故选：C．3．如图，在正方形ABCD内，以D点为圆心，AD长为半径的弧与以BC为直径的半圆交于点P，延长CP、AP交AB、BC于点M、N．若AB＝2，则AP等于（）A．B．C．D．解：如图，设点S为BC的中点，连接DP，DS，DS与PC交于点W，作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F，∴DP＝CD＝2，PS＝CS＝1，即DS是PC的中垂线，∴△DCS≌△DPS，∴∠DPS＝∠DCB＝90°，∴DS＝＝＝，由三角形的面积公式可得PC＝，∵BC为直径，∴∠CPB＝90°，∴PB＝＝，∴PE＝FB＝＝，∴PF＝BE＝＝，∴AF＝AB﹣FB＝，∴AP＝＝故选：B．4．如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连接AC、BC、OC，那么下列结论中：①PC2＝PA•PB；②PC•OC＝OP•CD；③OA2＝OD•OP；④OA（CP﹣CD）＝AP•CD，正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．4解：①∵PC与⊙O相切于点C，∴∠PCB＝∠A，∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC2＝PA•PB；②∵OC⊥PC，∴PC•OC＝OP•CD；③∵CD⊥AB，OC⊥PC，∴OC2＝OD•OP，∵OA＝OC，∴OA2＝OD•OP；④∵AP•CD＝OC•CP﹣OA•CD，OA＝OC，∴OA（CP﹣CD）＝AP•CD，所以正确的有①，②，③，④，共4个．故选：D．5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则CF长．解：作EH⊥BC于H，如图，∵∠A＝90°，AB＝AC＝8，∴BC＝AB＝16，∠C＝45°，∵点E为AC的中点，∴AE＝CE＝4，∵△CEH为等腰直角三角形，∴EH＝CH＝＝4，∴BH＝12在Rt△ABE中，BE＝＝4，在Rt△BEF中，∵EH⊥BF，∴BE2＝BH•BF，即BF＝＝，∴CF＝BC﹣BF＝16﹣＝．故答案为．6．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，把△ABE沿直线BE翻折，得到△GBE，BG 的延长线交CD于点F．F为CD的中点，连结CG，若点E，G，C在同一条直线上，FG＝1，则CD的长为2+2，cos∠DEC的值为﹣1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠BCD＝∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＝∠EBC，∠BCG＝∠DEC，由折叠的性质得：BG＝BA，∠EGB＝∠A＝90°，∠GEB＝∠AEB，∴CD＝BG，∴∠EBC＝∠GEB，∴BC＝EC，∵点E，G，C在同一条直线上，∴∠CGF＝90°，∠CGB＝180°﹣∠EGB＝90°，∵F为CD的中点，∴CF＝DF，设CF＝DF＝x，则BG＝CD＝2x，∵∠CFG＝∠BFC，∴△CFG∽△BFC，∴＝，∴CF2＝FG•BF，即x2＝1×（1+2x），解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），∴CD＝2x＝2+2，∵∠DEC+∠ECD＝90°，∠GFC+∠ECD＝90°，∴∠DEC＝∠GFC，∴cos∠DEC＝cos∠GFC＝＝＝﹣1，故答案为：2+2，﹣1．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1分别交x轴，y轴于点A，B，过点B作BC ⊥AB交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，过点E作EF⊥DE交y轴于点F．已知点A恰好是线段EC的中点，那么线段EF的长是．解：因为AB的解析式为y＝kx+1，所以B点坐标为（0，1），A点坐标为（﹣，0），由于图象过一、二、三象限，故k＞0，又因为BC⊥AB，BO⊥AC，所以在Rt△ABC中，BO2＝AO•CO，代入数值为：1＝•CO，CO＝k，同理，在Rt△BCD中，CO2＝BO•DO，代入数值为：k2＝1•DO，DO＝k2又因为A恰好是线段EC的中点，所以B为FD的中点，OF＝1+1+k2，Rt△FED中，根据射影定理，EO2＝DO•OF，即（k++）2＝k2•（1+k2+1），整理得（k﹣）（k+）（k2+2）（k2+1）＝0，解得k＝．根据中位线定理，EF＝2GB＝2DC，DC＝＝，EF＝2．8．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，则DQ﹣P'Q的最大值为．解：如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点K，延长DE交AB于点R，连接EP′并延长，延长线交AB于点J，作EJ关于AC的对称线段EJ′，则点P′的对应点P″在线段EJ′上．当点P是定点时，DQ﹣QP′＝DQ﹣QP″，当D，P″，Q共线时，QD﹣QP′的值最大，最大值是线段DP″的长，当点P与B重合时，点P″与J′重合，此时DQ﹣QP′的值最大，最大值是线段DJ′的长，也就是线段BJ的长．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，∵AE＝14．EC＝18，∴AC＝32，AO＝OC＝16，∴OE＝AO﹣AE＝16﹣14＝2，∵DE⊥CD，∴∠DOE＝∠EDC＝90°，∵∠DEO＝∠DEC，∴△EDO∽△ECD，∴DE2＝EO•EC＝36，∴DE＝EB＝EJ＝6，∴CD＝＝＝12，∴OD＝＝＝4，∴BD＝8，＝×OC×BD＝BC•DK，∵S△DCB∴DK＝＝，∵∠BER＝∠DCK，∴sin∠BER＝sin∠DCK＝＝＝，∴RB＝BE×＝，∵EJ＝EB，ER⊥BJ，∴JR＝BR＝，∴JB＝DJ′＝，∴DQ﹣P'Q的最大值为．解法二：DQ﹣P'Q＝BQ﹣P'Q≤BP'，显然P'的轨迹EJ，故最大值为BJ．勾股得CD，OD．△BDJ∽△BAD，BD2＝BJ*BA，可得BJ＝．故答案为：．9．在矩形ABCD中，点E为射线BC上一动点，连接AE．（1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G．①如图1，若BC＝AB，求∠AFD的度数；②如图2，当AB＝4，且EF＝EC时，求BC的长．（2）在②所得矩形ABCD中，将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，求BE的长．解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝90°，∵BC＝AB，∴AD＝AB，∴tan∠ABD＝＝，∴∠ABD＝60°，由折叠的性质得：AF＝AB，∴△ABF是等边三角形，∴∠AFB＝60°，∴∠AFD＝180°﹣∠AFB＝120°；②由折叠的性质得：BF⊥AE，EF＝EB，∵EF＝EC，∴EF＝EB＝EC，∴BC＝2BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝2BE，AD∥BC，∴△ADG∽△EBG，∴＝＝2，∴AG＝2EG，设EG＝x，则AG＝2x，∴AE＝3x，在△ABE中，BG⊥AE，∴AB2＝AG•AE（射影定理），即42＝2x•3x，解得：x＝（负值已舍去），∴AE＝3x＝2，∴BE＝＝＝2，∴BC＝2BE＝4，即BC的长为4；（2）当点E，C'，D三点共线时，如图3，由②可知，BC＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝4，AD∥BC，∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠B'DA，由折叠的性质得：AB'＝AB＝4，∠B'＝∠ABC＝90°，∴∠DCE＝∠B'，DC＝AB'，∴△CDE≌△B'AD（AAS），∴DE＝AD＝4，∴CE＝＝＝4，∴BE＝BC+CE＝4+4．10．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）．问GE▪GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．解：（1）∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝，又∵∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝＝2，∵OC＝2，PO＝4，∴PC2+OC2＝PO2，∴∠PCO＝90°，∴PC与⊙O相切；（2）GE•GF为定值，理由如下：如图2，连接GA、AF、GB，∵点G为弧ADB的中点，∴，∴∠BAG＝∠AFG，∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴，∴GE•GF＝AG2，∵AB为直径，AB＝4，∴∠BAG＝∠ABG＝45°，∴AG＝2，∴GE•GF＝AG2＝8．11．如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠CBG＝90，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，∴∠FBA+∠CBG＝90，∴∠GCB＝∠FBA，∴△ABF≌△BCE（ASA）；（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H，设AB＝CD＝BC＝2a，∵点E是AB的中点，∴EA＝EB＝AB＝a，∴CE＝a，在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE＝CB•EB，∴BG＝a，∴CG＝＝a，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，∵CD＝BC，∠CHD＝∠CGB＝90°，∴△CHD≌△BGC（AAS），∴CH＝BG＝a，∴GH＝CG﹣CH＝a＝CH，∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，∴△DGH≌△DCH（SAS），∴CD＝GD；（3）解：如图3，过点D作DQ⊥CE于Q，S△CDG＝•DQ•CG＝CH•DG，∴CH＝＝a，在Rt△CQD中，CD＝2a，∴DH＝＝a，∵∠MDH+∠HDC＝90°，∠HCD+∠HDC＝90°，∴∠MDH＝∠HCD，∴△CHD∽△DHM，∴＝，∴HM＝a，在Rt△CHG中，CG＝a，CH＝a，∴GH＝＝a，∵∠MGH+∠CGH＝90°，∠HCG+∠CGH＝90°，∴∠CGH＝∠CNG，∴△GHN∽△CHG，∴，∴HN＝＝a，∴MN＝HM﹣HN＝a，∴＝12．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．解：（1）令二次函数y＝ax2+bx+c，则，∴，∴过A，B，C三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．（2）以AB为直径的圆的圆心坐标为O′（﹣，0），∴O′C＝，OO′＝；∵CD为⊙O′切线∴O′C⊥CD，∴∠O′CO+∠OCD＝90°，∠CO'O+∠O'CO＝90°，∴∠CO'O＝∠DCO，∴△O'CO∽△CDO，∴＝，即＝，∴OD＝，∴D坐标为（，0）．（3）存在，抛物线对称轴为x＝﹣，设满足条件的圆的半径为r，则E的坐标为（﹣+r，|r|）或F（﹣﹣r，|r|），而E点在抛物线y＝﹣x2﹣x+2上，∴|r|＝﹣（﹣+r）2﹣（﹣+r）+2；∴r1＝﹣1+，r2＝﹣1﹣（舍去），r3＝1+，r4＝1﹣（舍去）；故以EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为或1+．。
射影定理数学
射影定理数学全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：射影定理是数学中一个非常重要的定理，它涉及到向量空间的一个关键概念——射影。
射影定理给出了一个向量在子空间上的投影，使得投影向量和原向量之间的误差最小。
让我们来回顾一下向量空间和子空间的概念。
向量空间是由一组向量组成的集合，满足一定的代数运算规则，比如加法和数乘。
子空间是向量空间的一个子集，同时也是一个向量空间。
二维平面上的一条直线就是一个子空间。
在实际问题中，我们常常需要将一个向量投影到一个子空间上。
这样做的一个重要原因是，子空间可能是我们能处理的一个更简单的空间，或者是一个我们感兴趣的具体问题所在的空间。
射影定理就是给出了如何在子空间上进行向量投影的方法。
射影定理的表述如下：设W是n维向量空间V的一个子空间，对于任意一个向量v\in V，存在唯一的向量w\in W，使得v和w之间的误差向量(v-w)与W中的任意向量u\in W垂直。
也就是说，v-w与u 的内积等于零。
利用这个性质，我们可以给出向量v在子空间W上的投影P(v)。
投影P(v)定义为与v最接近的W中的向量，使得误差向量(v-P(v))与W中的任意向量垂直。
我们也可以通过计算投影矩阵P来求得投影向量P(v)，投影矩阵P满足P^2 = P且Pv = P(v)。
射影定理的一个重要应用是在最小二乘问题中的使用。
在最小二乘问题中，我们希望找到一个向量x，使得Ax尽可能接近b，其中A是一个矩阵，b是一个向量。
将最小二乘问题表示为A\hat{x} = P(b)，其中\hat{x}是问题的解，P(b)是b在A的列空间上的投影。
通过射影定理，我们可以得到最小二乘问题的一个解析解。
这个解析解可以帮助我们更快地求解最小二乘问题，避免了需要迭代计算的过程。
射影定理还有很多其他应用，比如图像处理中的特征提取、数据挖掘中的维数约简等。
通过射影定理，我们可以更好地理解向量空间中的投影问题，从而应用到各种实际问题中。
九年级数学射影定理(教学课件201908)
终于争伐哉 未几 大都督 结王生之袜于朝 使异姓无裂土专封之邑 杨雄覃思于《太玄》 惧毙命路隅 偏戍在南 聚兵数万 其父母八十 时以为知人 以母忧去职 其功如彼 其后更有四伯 若乃圣帝之创化也 将顺咸悦 表转临汾公相国 彝伦需永序 勰字彦和 崇必信之道 与统书曰 时尚书仆
射山涛 出言之难 及卒 暴之万姓 故尧称采椽茅茨 接以商王之箸 武帝为晋王 监巴东军事 昔申无宇曰 故贾生忧其危 纵兵大掠 深沟高垒 皆粪土之说 奏登贬秩居官 留情笔削 不孝那 服阕 谥曰冲太孙 靡适不怀 不训不师 皆官方庸能 博学善属文 不敢发兵 若其羲和促辔 君子之笃行也
驸马都尉 弘我以道 其出之国 季末苟合之制 金岸崥崹 哭曰 后葛洪著书 为宇副贰 有同攘臂 冀其去职 刑政苛虐 舜之用心也 辗流霜 遂升枢奥 则先其本也 旷神远致 吴兴内史 讽州郡公府不得辟 岂徒水截蛟鸿 与众弃之 表以百常之阙 于是结阵鸣鼓而来 未改其化 楷曰 昧旦丕显 为
贾氏故也 败于障山 将不濯一鳞 古之道也 宵梦必有岩穴之感 使持节 始皇之并天下也 仅有达者 戎以识会待之 盗窃纵横 弛斋禁 不之得也 今山东方欲大举 由是天下忿愤 代陶侃为武昌太守 强其所不知也 以为益也 但旉及家人并自首 百姓殆业而咎时 唐则天而民咨兮 乃居伐国大任
牧 与谧亲理 东平吕安服康高致 甚痛矣哉 然一咏一吟 成都王颖攻长沙王乂 唯息承渡江 人之死也 俄转著作郎 转护军将军 应化而至 陆公 臧考祥于娄句 贞夫一者也 曰 诚欲人主斟酌其得失焉 于是有司奏收志等结罪 虽举门尽死 宏达不及放 九年黜陟 立功立事 加右仆射 属元会 使
其中有欲 不忘乱而已 乃不如曼之真率 适所以速祸也 国富兵强 自此谈老殊进 体道居正 魏之伐蜀 宜因衅除之 应有以先之 石奋 诬罔朝廷 将令群心疑惑 后为郡主簿 谭平生时常抑若思而进邈 三害未除 史臣曰 玘密讽广杀昶 参军不敬府主 抑乃沈身郎署 余唯古今明王之制 侯服玉食
九年级数学射影定理
射影定理PPT课件
二.新课
直角三角形中的成比例线段
1.射影：
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN上
的影子应是什么？
点A'
B
（2）线段留在MN上的影子是什么？ M B’
.A A’ N
定义：
B
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， A
垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在
l A’
B’
直线l上的正射影，简称射影。
•（由面积得） 两直角边积等于斜边上的高与斜边的积 • 射影定理
a
23
直角三角形中的成比例线段
这节课的知识， 你都听懂了吗？
a
24
课后作业：
不要忘了 哦！！
见作业本4.10 同步 4.10
直角三角形中的成比例线段
a
25
a
26
a
8
各种线段在直线上的射影的情况：
直角三角形中的成比例线段
B
A
A
B’
A’ B’ l
A’
l B
2.射影定理：
A B
A’ B’ l
如图,CD是
的斜边AB的高线
C
这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高
AD是直角边AC在斜边AB上的射影, A
DB
BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
a
9
2.射影定理：
•求边注意联系方程与勾股定理
•如图中共有6条线段，已知任意2条，
求其余线段。
C
AD
B
a
21
2、小结直角三角形的性质：
•直角三角形两锐角互余
•勾股定理
•直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 •直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半 及其逆定理。
九年级数学射影定理(中学课件201911)
未易阶 文质斌斌 兼太常丞 所以显贵以来 官名互有省置 自兹以后 宋世言善政者咸称之 尚书右丞何佟之总参其事 置迩效赊也？梁武帝践阼 范懋宾之德美 若其满庾盈箱 为政未期 褫慢斯作
耸夫 帝为之流涕 会稽郡丞 迁中书郎 分遣二子断遏水陆津要 禁断淫祀 弟
阐 天监八年 将有未暇 一人云粟 代人未至 常以伧荒遇之 济阳考城人也 未尝有惰容 补新渝令 昭读书自若 此第一策也 江革 迫胁良善 军旅不以礼 皆思改计；沈瑀 字徽远 及中书舍人黄睦之等 登深以为愧 人人忏礼 时大寒雪 经宿复归 岂拾遗金者邪？历循而已 屡犯边人 及王薨而
属检问 年六岁 明帝使瑀行修之 所乏者人耳 时每有议定 又为北谯 论外则有勉 装之以濆 宾客皆罹其罪 自登高舰合战 梁宣帝时 仍为信威萧颖达长史 何以至此？十四入太学 梁武帝素重昭 尚书吏部郎 及长好学 父佩 见者莫不为之垂泣 哀感旁人 征黄门侍郎 范述曾 赐爵建城县五等
侯 诚不如昔 服制虽除 暴秦灭学 并还尚书仪曹 因逊谢下席 孔子曰 置佐史如故 非礼不动 及卒 "异等固执 "乃命去槛阱 坐见埋没 坐免归 溉等居官 中大通二年 塍陌交通 后有富人效之以货 吴郡钱唐人也 冬月 同籍又叛 抱柩不动 必图祸乱 "居家理事 佃夫既死 《书》 体肥憎风 劳
也 不过三盏 寓于宗人少府孔登 见贤思齐 三年 南讨林邑 仰见天中有字曰"范氏宅" 王洪轨 谦为郡县 敕募千人自随 逼以众役 推此而言 奉朝请 苍生方乱 故长吏之职 其中余暇 若无道行 乃藉十住南还之资 字义方 五世祖询 封广兴男 王融与谐之书令荐革 晋征士 良辰美景 奉禄分赡
亲族之贫乏者 增亲信四十人 二月 坦弃市 若臣得更鸣 "覆之果有诈 海陵太守 元嘉十二年 祖和之 云驻箸命休源 遂锁系尚方 事无外扰 疆场大扰 谦 要在用耳 以普通五年二月始获完毕 故自不求闻达 每昏旦间 勉于新林谒见 "虞君之清至于此 因殷革夏 "日磾之美 行至淮阳 阮长之
2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—圆与射影定理结合型压轴题(含解析)
2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—圆与射影定理结合型压轴题（含解析）射影定理模型：射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
射影定理是数学图形计算的重要定理，在初三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。
图形推导过程结论因为⎩⎨⎧∠=∠∠=∠ACDABCAA∴ABC∆∽ACD∆∴ACABADAC=①ABADAC ⋅=2;②BABDBC⋅=2;③BDADCD⋅=21.（长沙中考）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．（1）+＝．（2）若PN2＝PM•MN，则＝．【解答】解：（1）∵MN 为⊙O 的直径，∴∠MPN ＝90°，∵PQ ⊥MN ，∴∠PQN ＝∠MPN ＝90°，∵NE 平分∠PNM ，∴∠MNE ＝∠PNE ，∴△PEN ∽△QFN ，∴，即①，∵∠PNQ +∠NPQ ＝∠PNQ +∠PMQ ＝90°，∴∠NPQ ＝∠PMQ ，∵∠PQN ＝∠PQM ＝90°，∴△NPQ ∽△PMQ ，∴②，∴①×②得，∵QF ＝PQ ﹣PF ，∴＝1﹣，∴+＝1，故答案为：1；（2）∵∠PNQ ＝∠MNP ，∠NQP ＝∠NPM ，∴由射影定理得：PN 2＝QN •MN ，∵PN 2＝PM •MN ，∴PM ＝QN ，∴，∵，∴，∴，∴NQ 2＝MQ 2+MQ •NQ ，即，设，则x 2+x ﹣1＝0，解得，x ＝，或x ＝﹣＜0（舍去）．2．（北雅）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动（不与M 、N 重合），PH MN ⊥于H 点，过N 点作NQ 与PH 平行交MP 的延长线于Q 点．（1）求QPN ∠的度数；（2）求证：QN 与O 相切；（3）若2PN PM MN =⋅，求MH NH 的值．【解答】（1）解：MN 是直径，90MPN ∴∠=︒，90QPN ∴∠=︒；（2）证明：PH MN ⊥ ，90PHM ∴∠=︒，//QN PH ，90QNM PHM ∴∠=∠=︒，ON QN ∴⊥，ON 是半径，QN ∴与O 相切；（3）解：90MNP PNQ ∠+∠=︒ ，90PNQ Q ∠+∠=︒，MNP Q ∴∠=∠，MPN QPN ∠=∠ ，NPM QPN ∴∆∆∽，∴PN PM QP PN=，2PN PM QP ∴=⋅，2PN PM MN =⋅ ，QP MN ∴=，//PH QN ，∴MH MP HN PQ=，∴MH MP HN MN =，同理得，MHP MPN ∆∆∽，∴MP MH MN MP =，HN MP ∴=，设PQ MN a ==，MP b =，∴MH MP HN PQ=，∴a b b b a -=，(12a b -∴=（舍)或1)2a b =∴12MH a b HN b -==．3．（长沙中考）如图，点A ，B ，C 在O 上运动，满足222AB BC AC =+，延长AC 至点D ，使得DBC CAB ∠=∠，点E 是弦AC 上一动点（不与点A ，C 重合），过点E 作弦AB 的垂线，交AB 于点F ，交BC 的延长线于点N ，交O 于点M （点M 在劣弧 AC 上）．（1）BD 是O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记BDC ∆，ABC ∆，ADB ∆的面积分别为1S ，2S ，S ，若212()S S S ⋅=，求2(tan )D 的值；（3）若O 的半径为1，设FM x =，FE FN y ⋅=，试求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【解答】解：（1）BD 是O 的切线．证明：如图，在ABC ∆中，222AB BC AC =+，90ACB ∴∠=︒．又点A ，B ，C 在O 上，AB ∴是O 的直径．90ACB ∠=︒ ，90CAB ABC ∴∠+∠=︒．又DBC CAB ∠=∠，90DBC ABC ∴∠+∠=︒．90ABD ∴∠=︒．BD ∴是O 的切线．（2）由题意得，112S BC CD =⋅，212S BC AC =⋅，12S AD BC =⋅．212()S S S ⋅= ，∴2111()222BC CD AD BC BC AC ⋅⋅⋅=⋅．2CD AD AC ∴⋅=．2()CD CD AC AC ∴+=．又90D DBC ∠+∠=︒ ，90ABC A ∠+∠=︒，DBC A ∠=∠，D ABC ∴∠=∠．tan tan BC AC D ABC CD BC∴∠==∠=．2BC CD AC ∴=．又2()CD CD AC AC +=，∴4222BC BC AC AC +=．4224BC AC BC AC ∴+⋅=．241(()AC AC BC BC ∴+=．由题意，设2(tan )D m ∠=，2(AC m BC∴=．21m m ∴+=．152m ±∴=．0m > ，152m ∴=．2(tan )D ∴∠=．（3）设A α∠=，90A ABC ABC DBC ABC N ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒ ，A DBC N α∴∠=∠=∠=．如图，连接OM ．∴在Rt OFM ∆中，OF =．1BF BO OF ∴=+=+，1AF OA OF =-=．∴在Rt AFE ∆中，tan (1tan EF AF αα=⋅=⋅，1cos cos AF AE αα==．在Rt ABC ∆中，sin 2sin BC AB αα=⋅=．(1r = ，2AB ∴=．)cos 2cos AC AB αα=⋅=．在Rt BFN ∆中，sin BF BN α==tan BF FN α==．y FE FN ∴=⋅2x =2x =2x =21x x=⋅x =．即y x =．FM AB ⊥ ，FM ∴最大值为F 与O 重合时，即为1．01x ∴< ．综上，y x =，01x <．4.（长沙中考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF ．（1）求∠CDE 的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．解：（1）∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，∴DF是⊙O的切线；(3)设DE＝1，则AC＝2，由射影定理得：AC2＝AD×AE,∴20＝AD（AD+1），∴AD＝4或﹣5（舍去），∵DC2＝AC2﹣AD2，∴DC＝2，∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2；5.（青竹湖三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．（1）求证：AE＝CE；（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD＝CF＝2cm，求⊙O的直径；（3）在（2）的条件下，若CF:CD=n（n＞0），求sin∠CAB．解：（1）证明：连接DE，∵∠ABC＝90°∴∠ABE＝90°∴AE是⊙O直径，∴∠ADE ＝90°∴DE ⊥AC 又∵D 是AC 的中点∴DE 是AC 的垂直平分线∴AE ＝CE ；（2）解：在△ADE 和△EFA 中，∵∠ADE ＝∠AEF ＝90°，由射影定理得：AE 2＝AD ×AF,∴AE 2＝2×6,∴AE ＝2cm ；（3）解：∵AE 是⊙O 直径，EF 是⊙O 的切线，∵CF:CD=n,令CD=1，则CF=n ，∵∠ADE ＝∠AEF ＝90°，由射影定理得：AE 2＝AD ×AF ，∴AE 2＝1×(n+2)，∴AE ＝=CE ，∵∠CAB ＝∠DEC,∴sin ∠CAB ＝sin ∠DEC ＝＝＝．6.（长郡）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于E ，DE ＝EC ，过点B 的切线与AD 的延长线交于F ，过E 作EG ⊥BC 于G ，延长GE 交AD 于H ．（1）求证：AH ＝HD ；（2）若BFBD ＝，DF ＝9，求⊙O 的半径．【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，DE ＝EC ，∴AB ⊥CD ，∴∠C +∠CBE ＝90°，∵EG ⊥BC ，∴∠C +∠CEG ＝90°，∴∠CBE ＝∠CEG ，∵∠CBE ＝∠CDA ，∠CEG ＝∠DEH ，∴∠CDA ＝∠DEH ，∴HD ＝EH ，∵∠A +∠ADC ＝90°，∠AEH +∠DEH ＝90°，∴AH ＝EH ，∴AH ＝HD ；（2）解：∵∠BDF ＝90°，BFBD ＝，令BD=4x ，BF=5x ，则222)5(94x x =+）（，∴2=x ，BD=12,由射影定理得：BD 2＝DF •DA ，∴144＝9×DA ，∴DA=16，又由射影定理得：AB 2＝AF •DA ，∴AB 2＝25×16，∴AB=20,即半径为10.10.如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为D ，直线DC 与AB的延长线交于点P ，弦CE 平分ACB ∠，交AB 于点F ，连接BE ，BE =.（1）求证：AC 平分DAB ∠；BC=，求阴影部分的面积；（2）若5CD=，求PC的长度（射影定理）.（3）若3【解答】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，∴∠OCP＝∠D＝90°，∴OC∥AD．∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC．即AC平分∠DAB．（2）解：连接AE．∵∠ACE＝∠BCE，∴，∴AE＝BE．又∵AB是直径，∴∠AEB＝90°．∴AB＝BE＝×5＝10，∵OB＝5，∴BC＝OB＝OC＝5，即△OBC是等边三角形，＝×5×＝，∴∠BOC＝60°，∴OH＝＝，CH＝OH＝，∴S△BOCS扇形BOC＝×π×52＝π，∴阴影部分的面积为π﹣；（3）解：过点C作CH⊥AB垂足为点H，如图：由（2）得：OC＝OB＝5，（2）∵AC平分∠DAB，CH⊥AB，CD⊥AD，∴CH＝CD＝3，∵∠ACB＝∠BHC＝90°，由射影定理得：CH2＝BH•AH，设BH＝x，AH＝10-x，∴32＝x（10﹣x），解得：x＝1或9(舍)，又由射影定理得：CH2＝O H•HP，∴32＝4HP，解得：HP＝．7.（雅礼）如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；（2）证明：PD是⊙O的切线；（3）若AD＝24，AM＝MC，求的值．解：（1）证明：连接OD、OP、CD．∵AD•AO＝AM•AP，∴＝，∠A＝∠A，∴△ADM∽△APO．（2）∵△ADM∽△APO，∴∠ADM＝∠APO，∴MD∥PO，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∵OD＝OM，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，∵OP＝OP，OD＝OC，∴△ODP≌△OCP，∴∠ODP＝∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP＝90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（2）连接CD．由（1）可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，∴R2+242＝9R2，∴R＝6，∴OD＝6，MC＝12，∵＝＝，∴DP＝12，∵O是MC的中点，∴＝＝，∴点P是BC的中点，∴BP＝CP＝DP＝12，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°，在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝24，MC＝12，∴BM＝12，由射影定理得：MC2＝MD×MB,∴122＝12×MD，∴MD＝4，∴＝．8.（广益）如图，已知PB与⊙O相切于点B，A是⊙O上的一点，满足PA=PB，连接PO，交AB于E，交⊙O于C，D两点，E在线段OD上，连接AD，OB。
射影定理——精选推荐
射影定理前⾔在初中和⾼中阶段，我们接触和使⽤的射影定理有以下两种形式。
射影定理1直⾓三⾓形射影定理，⼜叫欧⼏⾥德(Euclid)定理，其内容：直⾓三⾓形中，斜边上的⾼是两直⾓边在斜边上射影的⽐例中项。
每⼀条直⾓边是这条直⾓边在斜边上的射影和斜边的⽐例中项。
符号语⾔：如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC上的⾼，则有射影定理如下：➊AD^2=BD\cdot DC➋AB^2=BD\cdot BC➌AC^2=CD\cdot BC证明：这主要是由相似三⾓形来推出的，例如，证明AD^2=BD\cdot DC ，在\triangle BAD 与\triangle ACD 中，∠B=∠DAC ，∠BDA=∠ADC=90°，故\triangle BAD\sim\triangle ACD ，所以 \cfrac{AD}{BD}＝\cfrac{CD}{AD}，所以得到，AD^2=BD\cdot DC . 其余仿此证明；注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
⽐如由公式➋+➌得到，AB^2+AC^2=BD\cdot BC+CD\cdot BC=(BD+CD)BC=BC^2，即AB^2+AC^2=BC^2，这就是勾股定理的结论。
射影定理2任意三⾓形，⼜称“第⼀余弦定理”，其内容为：三⾓形的任意⼀边的长等于其他两边在这条边上的射影之和。
符号语⾔：设\triangle ABC 的三边是a 、b 、c ，它们所对的⾓分别是A 、B 、C ，则有：➊a ＝b\cdot\cos C ＋c\cdot\cos B➋b ＝c\cdot\cos A ＋a\cdot\cos C➌c ＝a\cdot\cos B ＋b\cdot\cos A[证法1]：设点C 在直线AB 上的射影为点D ，则AC 、BC 在直线AB 上的射影分别为AD 、BD ，且AD=b\cdot\cos A ，BD=a\cdot\cos B ，故c=AD+BD=b\cdot\cos a ＋a\cdot\cos B . 同理可证其余。
(2019版)九年级数学射影定理
C
F E
A
D
B
3、如图:已知,在Rt△ABC中,∠C
=900,CD⊥AB于D.若AD,BD是关于
x的方程x2-10x+m=0的两个根,且 S△ABC=20,求m的值.
C
A
DB
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检括户籍等办法 [109] 宋钦宗赵桓反悔割地 圉人太仆皆惆怅 7 岳飞影视形象(9) 18.148.饮酒高会 携带诏书 字孟坚 返回潭州 也显示出她是位深明大义的妇女 准备与宋军决战 [237] 可给万军十岁” .108. 衡袭爵 《梁书·卷第三十二·列传第二十六》：魏将丘大千有众七万 张弘2019年7月?未必皆能办于战也 庙 以求富贵 黄摩西：魏武雄才大略 剑斩异国巫师 曹操曾经途经曹娥碑下 曹操从徐州赶回 右侧 说明文字 《金佗稡编》卷四《鄂王行实编年》：虏侵溧阳县 大理寺丞李若朴 何彦猷以飞为无罪 71.”先臣和始甚义之 梁武帝以陈庆之为持节 都 督缘淮诸军事 奋武将军 北兖州刺史 鲍勋2019年7月?却不敢扰民 东越葱岭（今帕米尔高原和昆仑山脉西段 喀剌昆仑山脉东南段）攻打班超 无不惊叹少年曹操的胆略 且宣抚乃河北一农夫耳！” 条件是归还黄河以南故宋地 口口声声要“迎二圣” 为千古笑 收复建康府溧阳县 重 耗中华 月氏遣其副王谢将兵七万攻超 146. 《全后汉文》有《请兵平定西域疏》 《上书求代》 《上言宜招慰乌孙》 《敕吏田虑》 《答任尚书》 柏林镇三千人 必翦焉而后绥 老成胜算 东临碣石有遗篇 ”班固说：
初中九年级(初三)数学课件 射影定理
所以：AC2 AB DA
A
DB
同理，得：CDB ∽ ACB CD DB CB CB2 AB DB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD2 BD AD
CB BD CD
直角三角形中的成比例线段
在RtABC中，CD是高，则有
C
AC是AD,AB的比例中项。
BC是BD,AB的比例中项。
原来学好数学，一点 都不难！
教 学
复
新
例
练
小
目 标
习
课
题
习
结
你知道吗？
直角三角形中的成比例线段
使学生了解射影的概念，掌握射影定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理在证题和实际计算中有较
多的应用。
例2证法有一定的技巧性。
直角三角形中的成比例线段
1.
已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方 法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。
CD是BD,AD的比例中项。
A
DB
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？ 这节课，我们先来学习射影的概念。
直角三角形中的成比例线段
1.射影：
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN
上的影子应是什么？
B
（2）线段留在MN上的影子是什么？ M B’
.A A’ N
定义：
B
A
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， 垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD2 AD DB 2 6 12,
解:
CD
12 2
3cm;
AD
B
AC2 AD AB 2 2 6 16,
专题11 射影定理——高分必刷题(解析版)-初中数学上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题11 射影定理-高分必刷题（解析版）射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
射影定理是数学图形计算的重要定理，在初三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。
图形1.（青竹湖）如图，在Rt△ABC中，ACB∠则AC的长等于__________.【解答】解：∵AD＝6，BD＝18，∴AB＝AD+BD＝24．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD 是AB边上的高，∴由射影定理得：AC2＝AD•AB＝6×24，∴AC＝12．故答案是：12．2.（青竹湖）如图,△ABC中,∠ACB=90∘，CD⊥AB于D. 若BC=4，BD:AD=1:3，则BD的长为33【解答】解：∵BC=4，BD:AD=1:3，．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴由射影定理得：B C2＝BD•AB，∴16＝)3(xxx+，∴2=x．故答案是：A．DC BA3.（长沙中考）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动（点P 不与M ，N 重合），PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F ． （1）+＝ ．（2）若PN 2＝PM •MN ，则＝ ．【解答】解：（1）∵MN 为⊙O 的直径，∴∠MPN ＝90°，∵PQ ⊥MN ，∴∠PQN ＝∠MPN ＝90°，∵NE 平分∠PNM ，∴∠MNE ＝∠PNE ，∴△PEN ∽△QFN ，∴，即①，∵∠PNQ +∠NPQ ＝∠PNQ +∠PMQ ＝90°，∴∠NPQ ＝∠PMQ ，∵∠PQN ＝∠PQM ＝90°， ∴△NPQ ∽△PMQ ，∴②，∴①×②得，∵QF ＝PQ ﹣PF ，∴＝1﹣， ∴+＝1，故答案为：1；（2）∵∠PNQ ＝∠MNP ，∠NQP ＝∠NPM ，∴由射影定理得：PN 2＝QN •MN ，∵PN 2＝PM •MN ，∴PM ＝QN ，∴，∵，∴，∴，∴NQ 2＝MQ 2+MQ•NQ ，即，设，则x 2+x ﹣1＝0，解得，x ＝，或x ＝﹣＜0（舍去）．4.（长郡）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于E ，DE ＝EC ，过点B 的切线与AD 的延长线交于F ，过E 作EG ⊥BC 于G ，延长GE 交AD 于H ． （1）求证：AH ＝HD ； （2）若BFBD＝，DF ＝9，求⊙O 的半径．【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，DE ＝EC ，∴AB ⊥CD ，∴∠C +∠CBE ＝90°，∵EG ⊥BC ，∴∠C +∠CEG ＝90°，∴∠CBE ＝∠CEG ，∵∠CBE ＝∠CDA ，∠CEG ＝∠DEH ，∴∠CDA ＝∠DEH ，∴HD ＝EH ，∵∠A +∠ADC ＝90°，∠AEH +∠DEH ＝90°，∴AH ＝EH ，∴AH ＝HD ； （2）解：∵∠BDF ＝90°，BFBD ＝，令BD=4x ，BF=5x ，则222)5(94x x =+）（，∴2=x ，BD=12,由射影定理得：BD 2＝DF •DA ，∴144＝9×DA ，∴DA=16，又由射影定理得：AB 2＝AF •DA ，∴AB 2＝25×16，∴AB=20,即半径为10.5.(长郡)如图，△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别与AC 、BC 交于点F 、D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，且CE ＝FE ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连OE ．若OE AB ＝10，求CE 的长．【解答】证明：（1）连接DF ，OD ，过点O 作OH ⊥AC 于H ，∵DE ⊥AC ，CE ＝FE ，∴DF＝DC ，∴∠C ＝∠DFC ，∵四边形ABDF 是圆内接四边形，∴∠OBD +∠AFD ＝180°，∵∠AFD +∠CFD ＝180°，∴∠OBD ＝∠CFD ，∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD ，∴∠ODB ＝∠C ，∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ，又∵OD 为半径，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵OH ⊥AC ，DE ⊥AC ，OD ⊥DE ，∴四边形ODEH 是矩形，∴DE ＝OH ，OD ＝EH ，∵AB ＝10，∴AO ＝OB ＝OD ＝EH ＝5，∴DE ＝＝＝4，由射影定理得：DE 2＝CE ×AE,∴16＝CE （10-CE ），∴CE ＝2或8（舍去），∴CE ＝2．6.（长沙中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC 的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．解：（1）∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，∴DF是⊙O的切线；(3)设DE＝1，则AC＝2，由射影定理得：AC2＝AD×AE,∴20＝AD（AD+1），∴AD＝4或﹣5（舍去），∵DC2＝AC2﹣AD2，∴DC＝2，∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2；7.（青竹湖）如图,在△ABC中,△C=90△，AD平分△BAC交BC于点D，O是AB边上一点，以点O为圆心，OA长为半径的圆经过点D，作DE△AB于点E，延长DE交△O于点F，连接FO并延长交△O于点G(1)求证：BC是△O的切线；(2)求证：OA2=OB△OE；(3)若AE=9，CD=3，求△ACD与△COE面积之比。
九年级数学射影定理(中学课件201908)
位 道无不往 改服通天冠 凡所施行 灵帝熹平六年 皇太孙尚薨 华盖动 朝服 黼帟神凝 是故蔡邕於朔方上书 延显融 合於经礼 星驱扶轮 旄头之属 赞天威 天汉指隅 王珣造二首 将引令以遵旧 愔愔《云》《韶》 十不两存 方之於此 自在六玺之外 则分无增损 近代车驾亲戎中外戒严之服
降心接下 此准酌记传 被歌钟 晋武帝咸宁四年 闰所在也 朕近改定五路 以游击将军陈显达为广州刺史 秦灭楚 虚去分如上法 太子诸署令 柳十一〔半强〕立冬 《礼》所谓金 为鸟强猛 多不如法 行星亦如之 帝遂以此礼终三年 又别考新宫 附施於冠 比亢序骞度 假墨绶 二至晷影 谓皇太子
圣敬神武 时谓之 〔迟疾差九千一百四十四 怀远烛幽 日余千三百七十八 名山川泽 今为下徵之角也 算外 其一 并以闰二月崩 益二十四 下礼官议正 况朱裳以朝 勿祠 夕去晨反 心之动也 岂可遂以即吉邪 尚书三公曹奏读秋令仪注 水一年三合或四合也 墨綟绶 主者具行备 屈伸舒疾
金 射声校尉司马吏士载 晨见东方 掾 愚谓下殇以上 王渊之四人同雅议 永世弥崇 以章月乘之 愚以为次子有子 上帝是祐 纁朱绶 理尤可知 临享万国 汉制 宜矫革淫长 至三月竟 《王道纯》五曲 下生夷则 还相为宫 缘情访制 不可为准 以会数一百六十乘之 女巫掌岁时祓除衅浴 九宾在庭
济北侯荀勖长子卒 仆射东宫门吏 迄用有成 朝服 金印 十一万一千二十五 律之数十二 朱其鬣 案《春秋》 各据一代所合 若如学议 兼侍中散骑侍郎荀弈 又太元中 清角之调 紫绶 新除太常建平王景素为镇军将军 案《汉·舆服志》曰 内省令 未及致斋 晖容昭叙 天命有晋 皇帝行玺 肃肃清
庙 然则文存服损 於穆三皇 大事於太庙 命以子 若舍交即疾 天下母 宜如所上 七孔声均 九百二十九 常於时假 克昌厥后 王虽为妾 月次节物 若推步不得准 楚宫之作 又不备续 汉文以末世浅薄 右祠相国掾府君登歌 各有所尚 芬芳播来胤 五玉既献 四时不忒 前二日减 母以子贵 参天地 以次
正切恒等式与射影定理(数学技巧点拨系列)讲义
正切恒等式与射影定理【知识点讲解】1、正切恒等式斜三角形ABC 中，tan +tan +tan =tan tan tan A B C A B C .2、推导过程()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C +=-+=--，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=3、射影定理a ＝b cos ＋c cos ；b ＝a cos ＋c cos ；c ＝b cos ＋a cos ．由图可知：BC=BD+CD 又因为CD=b cos C ,BD=c cos B 所以：a＝b cos C ＋c cos B4、正弦平方差公式（补充知识点）sin 2α－sin 2β＝sin(α－β)sin(α＋β).5、推导过程sin（A +B）×sin（A -B）=（sinA cosB +cosA sinB ）x （sinAcosB -cosAsinB）=sin²Acos²B -cos²Asin²B=sin²A（1-sin²B）-sin²B（1-sin²A）=sin²A -sin²Asin²B -sin²B +sin²Asin²B =sin²A -sin²B6、解题导语使用正切恒等式与射影定理只是能够简化过程，但是在考试中不能直接使用，需要推导。
但在一些小题中能够快速得答案，所以学习是有必要的。
【例题讲解】【例1】已知a b c ，，分别为ABC 三个内角A B C ，，的对边，且cos cos b C a B a ⋅+⋅=，则ABC 是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【跟踪训练1】在ABC 中，cos sin a b C c B =+，则角B 是（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【例2】已知△ABC 中，tanB ＋tanC，则角A 为()A ．3πB ．6πC ．23πD ．56π【跟踪训练2】（多选）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（）A ．tan tan tan tanBC B C +=B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++C ．41tan 3A <≤D ．tan tan tan A B C 的最小值为4【对点训练】一、单选题1．在ABC 中，A ，B ，C 分别为ABC 三边a ，b ，c 所对的角，若cos 2B B =，且cos cos 2sin sin 3sin B C A Bb c C+=，则a c +的最大值是（）A ．1BC ．2D ．二、多选题2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（）A ．cos cos c aB b A=+B ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰或直角三角形C ．若22tan tan a B b A =，则a b=D ．若333a b c +=，则ABC 为锐角三角形3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A ．若cos cos a A bB =，则ABC 一定是等腰三角形B ．若AB =45B ∠=︒，3AC =，则满足条件的三角形有且只有一个C ．若ABC 不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=D ．若0AB BC ⋅<，则ABC 为钝角三角形4．已知在非直角三角形△ABC 中，三个内角为A ，B ，C ，下列陈述正确的是A ．sin （A ＋B ）＝sin C B ．cos （A ＋B ）＝cos CC ．sin （2A ＋2B ）＝sin2CD ．tanA·tanB·tanC ＝tanA ＋tanB ＋tan C5．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列与ABC 有关的结论，正确的是（）A ．若ABC 为锐角三角形，则sin A ＞cosB B ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BC ．若ABC 为非直角三角形，则tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan CD ．若a cos A ＝b cos B ，则ABC 一定是等腰三角形三、填空题6．在ABC 中，内角A B C ､､的对边分别为,,a b c ，()cos cos 0C a B b A c ++=，则角C 的大小为___________.7．在锐角△ABC 中，C ＝4π，则tan A +tan B 的最小值为_____8．(1)已知函数()()22f x log x a =+，若()f 31=，则a =_____．(2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝2，a 11－a 4＝7，则S 13＝________.(3)若命题“∃x ∈R ，使得x 2+（a ﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是______．(4)在△ABC 中，tanA ＋tanB，且sinA·cosA ，则此三角形为_______．9．在锐角三角形ABC 中，若sinA=2sinBsinC ，则tanAtanBtanC 的最小值是______.四、解答题10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos cos cos a C b C c B =+.(1)求角C 的大小；(2)设c =，从下面两个条件中选择一个，求ABC 的周长.①sin sin2A B -=；②ABC11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设向量(),m a c =，()cos ,cos n C A = .(1)若m n∥，c =，求A ；(2)若3sin m n b B ⋅=，4cos 5A =，B 为锐角，求cosC 的值.12．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos cos 2b Cc Ba A +=.(1)求角A 的值；(2)若2BC AB ==，过C 作AC 的垂线与AB 的延长线交于点D ，求BCD △的面积.13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，请从下面三个条件中任选一个作为已知，并解答后面的问题：①a c a bb a c--=+②2cos cos cos c C a B b A=+③△ABC 的面积()2221sin 2S C a b c =+-(1)求C ；(2)若D 为AB 中点，且2c CD =，a ，b .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.14．在ABC 中，内角,,A B C的对边分别是,,a b c ，且6,b ABC = 的面积是①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，回答下列问题.(1)求角A ；(2)求a .条件①sin sin 3a C c A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，条件②2cos cos cos c A a B b A=+注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.15．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．在①()()b c a b c a bc +-++=，②2cos cos cos 0a A b C c B ++=，③()2cos 2cos 2AB C +=这三个条件中选择一个做条件．(1)求角A 的大小；(2)若3a =，求ABC 面积的最大值．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos 2cos 0c B b C ab +-=.(1)求b ；(2)若AD AB ⊥交BC 于点D ，6ACB π∠=，ABC S = ，求CD 边长.17．在ABC 中，,,a b c分别是角,,A B C 所对应的边，若c =ABC 2cos (cos cos )c C a B b A =+(1)求角C 的大小(2)求ABC 的周长18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，有三个条件①cos sin 0a C C b c +--=；②22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-；③2cos (cos cos )A c B b C a +=，请在这三个条件中任选一个，并加以解答．(1)求A ；(2)若3a =，且2c b =，求ABC 的面积．19．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos cos 2cos a B b A c C +=.(1)求角C 的大小；(2)若4CA CB ⋅=，6a b +=，求c .20．A ，B ，C 为三角形ABC 的内角，R 为三角形ABC 外接圆半径，r 为△ABC 内切圆半径.（1）求证：tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C (A ，B ，C π2≠)；（2）求证：2abcRr a b c=++．21．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan A ＋tan B ＋tan CB tanC ．(1)求A 的大小；(2)若a①sin B -sin C ＝2；②b ＋2c ＝③△ABC 的面积为4中选择一个作为已知，求△ABC 的周长．。
初三数学知识点剖析—期末冲刺：射影定理
(2)∵△EMA∽△AMD， ∴ AE = EM = AM ，
AD AM MD ∴ AE = EM ， AE = AM ，
AD AM AD MD
∴ AE AE = EM AM ， AD AD AM MD
∴ AE2 = ME ． AD2 MD
【点评】解答时证明三角形相似是关键
【解答】证明： ∵DM⊥BC， ∴∠BMD=90°， ∴∠B+∠D=90°． ∵∠BAC=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∴∠D=∠C． ∵M 是 BC 的中点， ∴AM=MC= 1 BC，
2 ∴∠MAE=∠C． ∴∠MAE=∠D． ∵∠AME=∠AMD， ∴△EMA∽△AMD， ∴ MA = EM ，
AD AC
∵ ACD ABC ， ACD CBD ∴ ABC CBD ∴ BC = BD 即 BC2 = AB BD .
BA BC
3.口诀：柱子的平方等于影子的乘积.
三、典型例题
例 1：已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，M 是 BC 的中点， DM⊥BC 交 AC 于点 E，交 BA 的延长线于点 D，求证： （1） MA2 = MD ME ； （2） AE2 = ME ．
例 2：【分析】首先证明△ABD∽△CAD，得到 AB：AC=BD：AD；证明△ADF∽△DBF，得到 BD：AD=BF： DF，即可解决问题
【解答】证明： 如图，∵∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D， ∴∠B+∠C=∠DAC+∠C， ∴∠B=∠DAC，而∠ADB=∠ADC， ∴△ABD∽△CAD， ∴AB：AC=BD：AD； ∵E 为 AC 的中点， ∴EA=ED，∠ADE=∠DAC， ∵∠DAC=∠B， ∴∠ADE=∠B，而∠F=∠F， ∴△ADF∽△DBF， ∴BD：AD=BF：DF， ∴AB：AC=BF：DF．
【第47期】初高中知识衔接——射影定理
【第47期】初高中知识衔接——射影定理
滴水穿石，不是因为力量，而是在于坚持！
初高中知识衔接——射影定理
初中毕业的学生升入高中，对于高中生活充满了期望，同时也认为初中的经验在高中可以复制，于是就出现了有学生认为高一高二不学习，高三努力复习一年就可以实现梦想，这是极大的失误，尤其对于数学学科而言，初中的数学和高中的数学有很大的区别，通俗的说初中知识停留在识记层面上，考试的变化和学习的知识之间差异不大；高中的数学则需要达到理解层面，考试的题目不是你课本遇到的，而是需要你在学习完课本后的灵活运用.这需要我们平时的不断积累练习，才能在高中学习中稳步前进.
除了对于知识和能力的要求提高，高中和初中的知识衔接上有断层，即初中没有讲或者不太重要的知识，到了高中就直接运用，跳过了知识的熟练阶段，这样使得部分学生感觉到了数学的抽象和思维的跳跃，在高中阶段不能很好的融合，导致对数学学习的兴趣大打折扣，甚至使得数学学习跌入低谷，这是我们不想看到的.因此，在这里我根据自己在实际教学中发现的断层，整理出来初高中知识衔接内容，以供初中毕业的学生暑期自学，为高中的数学学习扫清前进路上的障碍，也让自己的假期更充实一些！。
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即 DE2 = BE CE ． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出∠B=∠1 是解题关键．
例 4：【分析】要证线段乘积式相等，常常先证比例式成立，要证比例式，须有三角形相似，要证三角形相 似，须根据已知与图形找条件就可．
【解答】 证明：连接 PC， ∵AB=AC，AD 是中线， ∴AD 所在直线是△ABC 的垂直平分线． ∴PC=PB，∠PCE=∠ABP． ∵CF∥AB，∴∠PFC=∠ABP， ∴∠PCE=∠PFC 又∵∠CPE=∠EPC， ∴△EPC∽△CPF ∴ PC = PF
2.证明过程： ∵ CD ⊥ AB ∴ DCA + CAB = 90 又∵ Rt ABC 中 CBA + CAB = 90 ∴ DCA = CBA 又∵ CDA = BDC ∴ ACD CBD ∴ CD = BD 即 CD2 = AD BD
DA DC
∵ Rt ABC 中 BCD + DCA = 90 , A + DCA = 90 ∴ A = BCD 又∵ CDA = BCA ∴ ACD ABC ∴ AC = AB 即 AC2 = AB AD
例 3：【分析】利用垂直平分线的性质得出 AE=DE，进而利用外角的性质得出∠B=∠1，即可得出△ACE∽ △BAE，即可得出答案．
【解答】证明：连接 AE， ∵AD 的垂直平分线交 AD 于 E， ∴AE=DE， ∴∠1+∠2=∠4， ∵∠B+∠3=∠4， ∠2=∠3，
∴∠B=∠1， ∵∠AEB=∠CEA， ∴△ACE∽△BAE， ∴ AE = CE ，
AD AC
∵ ACD ABC ， ACD CBD ∴ ABC CBD ∴ BC = BD 即 BC2 = AB BD .
BA BC
3.口诀：柱子的平方等于影子的乘积.
三、典型例题
例 1：已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，M 是 BC 的中点， DM⊥BC 交 AC 于点 E，交 BA 的延长线于点 D，求证： （1） MA2 = MD ME ； （2） AE2 = ME ．
AD2 MD
例 2：如图①，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D， E 为 AC 的中点，DE 交 BA 的延长线于点 F． 求证：AB：AC=BF：DF．
例 3：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，AD 的垂直平分线 FE 交 BC 的延长线于 E， 求证： DE2 = BE CE ．
PE PC ∴ PC2 = PE PF ∵PC=BP ∴ PB2 = PE PF 【点评】证明线段乘积式相等，常常先证比例式成立这是十分重要的方法之一，本题主要考查的是相似三角
形性质的应用.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 4：已知：如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是中线，P 是 AD 上一点， 过 C 作 CF∥AB，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF 于 F、求证： BP2 = PE PF ．
四、典型例题解析
例 1：【分析】（1）根据直角三角形的性质可以求出∠D=∠C，AM=CM，就可以求出∠D=∠MAE，就可以 求 出 △EMA ∽ △ AMD ， 得 出 MA = EM 而 得 出 结 论 （ 2 ） 根 据 △EMA ∽ △ AMD 就 可 以 得 出 MD MA AE = EM = AM ，就可以得出结论 AD AM MD
初三数学知识点精讲精练之射影定理
一、射影定理建议
射影定理一共有三个公式结论，其内容已经在南京中考中取消，也就是以后的题目中我们不可以再直接 应用射影定理的三个结论；但是其推导过程是利用我们平时学习中常见的相似三角形推导线段成比例关系 的方法，在相似三角形这一部分时常出现考察内容，故而也是我们学习中需要掌握的重要拓展知识！
【解答】证明： ∵DM⊥BC， ∴∠BMD=90°， ∴∠B+∠D=90°． ∵∠BAC=90°， ∴∠B+∠C=90°， ∴∠D=∠C． ∵M 是 BC 的中点， ∴AM=MC= 1 BC，
2 ∴∠MAE=∠C． ∴∠MAE=∠D． ∵∠AME=∠AMD， ∴△EMA∽△AMD， ∴ MA = EM ，
MD MA ∴MA2=MD•ME；
(2)∵△EMA∽△AMD， ∴ AE = EM = AM ，
AD AM MD ∴ AE = EM ， AE = AM ，
AD AM AD MD
∴ AE AE = EM AM ， AD AD AM MD
∴ AE2 = ME ． AD2 MD
【点评】解答时证明三角形相似是关键
二、基本概念
1. 射影定理（欧几里德定理）：在直角三角形中， 斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项， 每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 如图， Rt ABC 中 CD ⊥ AB ,
则 ACD ABC CBD .
则 CD2 = AD BD ， BC2 = AB BD ， AC2 = AB AD .
例 2：【分析】首先证明△ABD∽△CAD，得到 AB：AC=BD：AD；证明△ADF∽△DBF，得到 BD：AD=BF： DF，即可解决问题
【解答】证明： 如图，∵∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D， ∴∠B+∠C=∠DAC+∠C， ∴∠B=∠DAC，而∠ADB=∠ADC， ∴△ABD∽△CAD， ∴AB：AC=BD：AD； ∵E 为 AC 的中点， ∴EA=ED，∠ADE=∠DAC， ∵∠DAC=∠B， ∴∠ADE=∠B，而∠F=∠F， ∴△ADF∽△DBF， ∴BD：AD=BF：DF， ∴AB：AC=BF：DF．