大学物理竞赛辅导 力学部分

1 1 m1m2 2 2 Ek EkC k l v1 v2 2 2 m1 m2
二、动量
例 1，光滑水平面上有4个相同的匀质光滑小球， 其中2，3，4静止于图示位置，球1具有图示 方向初速度 v ，
0
设小球间发生的碰撞都是弹性的，最后这 4个球中停下的是（ ），运动的球中速度 最小值为（ ）
解：在水平方向上，体系没有受到外力作用， 所以动量守恒。 依题意知，碰撞完成后，车厢与学生的 速度为 v 0 ，恰好使得教员不能上车。
假设学生人数为
n
则由动量守恒，知：
M nm v0 nm 2v0 M 20m
所以，
n 20
能量损失： 碰撞以前，体系总动能：
o
x
证明：取如图坐标，设t时刻已有x长的柔绳落至桌 面，随后的dt时间内将有质量为dx（Mdx/L)的柔 绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率 为： dp d ( mv ) dx
dx dx dt
dp dt
dx
dt
mB 30kg 。今使车厢沿图示水平朝左方向匀加速
运动，加速度 a0 2m / s 2 ，假定稳定后绳将倾斜
不晃，试求绳中张力T.
运动与受力
f mg
A
T
a0
c

T
B
g'
mg B x
1,以车厢作为参考系来考虑,引入 “类重力加速度 g’ ”
2 g ' a0 g 2 10m / S 2
O
V0
X
2a

gt
Y
设从开始到恰好绷直，用时间t. 由于在y方向上，小球间距不变，为a
a 2 (v0t ) 2 (2a ) 2 t 3a
v0
该时刻，对小球A；
vAx v0 vAy gt 对小球B，vBy gt
AB方向与竖直方向夹角60°，与 水平方向夹角30° 绷直瞬间，可以看成碰撞问题。 完全非弹性碰撞 绷直以后，系统的运动 状态可以分解为 质心的运动和体系绕质心的转动
三、角动量
例1，两个质量相同的小球A,B,用长为2a的无弹性 且不可伸长的轻绳联结。开始时，A，B位于同 一条直线上，B在A的下方，相距为a。如图所示， 今给A一个水平速度 v 0，同时静止释放B，不计 空气阻力。且设绳子一旦伸直便不再回缩。 问经过多长时间，A,B 恰好第一次位于同一水平线上。
解：建立坐标系，水平方向OX，竖直向下OY.
解：找出剩余部分质心的位置： 由对称性，知，剩余部分质心位于两圆心的连线上。 设剩余部分质量为m1,质心坐标x1; 减去的小圆板质量m2,质心坐标x2; 以大圆板圆心为坐标原点。 则： C
m1 x1 m2 x2 0 2 R m2 2 R 2 x1 2 6 m1 R R 2 x R 2 2
2 1 2 Ek 0 20 m 2v0 2Mv0 2 碰撞以后，体系总动能：
1 2 2 Ek 20m M v0 Mv0 2
因此，能量损失量为：
2 Ek Mv0
例3、 一质量均匀分布的柔软细绳铅 直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌 面上，如果把绳的上端放开，绳将落在 桌面上。试证明：在绳下落的过程中， 任意时刻作用于桌面的压力，等于已落 到桌面上的绳重量的三倍。

解：圆环运动分解为两种形式：
1），与细杆一起做圆周运动； 2），顺着细杆长度方向的运动。 分切向和法向两种情形考虑。 1, 切向。设当圆环距离A点长度x时，杆AB与圆 环构建的体系，其转动角速度
由角动量守恒：
P0 J L0 P P P ( J J ) M L x L J L0 ( x) P P0 2 Mx JL J Mx 2 ; J 1 ML2 x L 3
的加速度 ax 与位置x之间的函数关系为？质点位置
与时间
x
t
之间的函数关系为？
解：
1，
dvx dx 2 ax x dt dt
vx x
dx dx x dt dt x
dx dt ln x ln x0 t x 0 x0 x x0 exp( t )
可以反过来验算
x t
2，由
得
例 2，半径为r的小球在空气中下降速度为v时， 所受空气阻力为：
f (v) 3.110 rv 0.87r v
4
2 2
。式中各量均为国际单位制。则半径为2mm的 雨滴在降落过程中所能达到的最大速度（即收尾速度） 为_________m/s。
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解：根据受力平衡：
f (v) mg 4 3 m V r 3 4 3.1 10 rv 0.87 r v r 3 3 4 2 2 4 0.87 r v 3.1 10 rv r 3 0 3
4 2 2
解方程可得 v=？
例 3，车厢内的滑轮装置如图所示。平台C与车厢 一起运动，滑轮固定不转动，只是为轻绳提供 光滑的接触。物块A与水平桌面间的摩擦系数为 0.25，A的质量为 mA 20kg ，物块B的质量


2
3 m1 R 2 2

2
3 mR 2 32
同理可计算出Ic。练习
2 1 2 R 19 2 2 I 0 ' I 0 md mR m mR 2 6 36 2 2 1 R 41 R R 41 2 2 I ' m m m R mR 1 1 1 2 1 2 6 2 72 288
1 1 1 2 2 2 ( J J ) ( L ) Mv J 5 x L n L 0 v = 0 L 2 2 2 n 4 J Mx 2 ; x L x
所以，速度大小
v v 2 v 2 n v 5 tan vn 5
绷直前后瞬间，角动量守恒
o P r mv P mv a cos 60 0 0 0 2 P 2ma P J 为什么只取V0一项？
v0 P P0 4a
A,B 恰好第一次位于同一水平线上
2a
V0

gt
转动30°所用时间为：
三、与碰撞1类似，2与1碰撞后，将完全交 换速度。因此2将静止，1将以速度 1 v0
继续运动。
5
例2，平直铁轨上停着一节质量为 M 20m 的车厢，车厢与铁轨之间摩擦可略。有若 干名学生列队前行，教员押后，每名学生 的质量统为 m。当学生与教员发现前面的 车厢时，都以相同的速度 v0 跑步，每名 学生在接近车厢时又以速度 2v0跑着上车坐下， 教员却因跑步速度没有改变而恰好未能上车。 据此可知，学生人数为多少？全过程中由教员、 学生和车厢构成的体统，其能量损失量为？
O


x
采用平行轴定理计算各自的转动惯量：
I d Ic md 2
大圆,小圆，剩余部分过O的转动惯 量I0，I1，I2；则
I1 I 2 I 0
1 2 I mR 0 2 2 1 I m R m1 R 1 1 2 2 2 13 I 2 mR 2 32
v

A B
vn
方向：
5 =arc tan 5
例 4 , 均匀细棒OA，长为L，质量为m,其一端固定， 可绕O点在竖直面内无摩擦的转动，开始时使棒 处于水平位置，先释放A端，当棒转到竖直位置时， 松开O点，任棒自由下落，选择如图所示的坐标系。
y
2, 对A、B的动力学方程：
mAa T mAa0 mA g mB a mB g ' T
3, 求解
T mB g ' a 125.4 N
mB g ' mA g mAa0 a 5.82m / S 2 mA mB
B
x
y
例 4 ,质量为m1,m2的两物块与劲度系数为k的 轻弹簧构成结构如图所示，物块与地面光 滑接触，右侧水平外力使弹簧压缩量为l, 物块静止。将右侧外力撤去后，系统质心C 可获得的最大加速度值为_________. 可获得的最大速度值为_______。
x
解：
设质心，m1,m2的位矢分别为： rc , r 1 , r2 由质心的定义知：
mc m1 m2
mc rc m1r1 m2 r2 mc r c m1 r1 m2 r2 mc rc m1 r1 m2 r2

；


a),释放瞬间：质心加速度最大 弹簧弹力：
2mvx cos30 mv ' mv0 (1)
由机械能守恒：
1 2 1 1 2 2 2 mvx mv ' mv0 (2) 2 2 2
联立方程（1）（2）可得：
vx 0(舍去)；
2 3 vx v0 5 v ' 1 v 0 5
因此，球2将被反弹回来，再与球1发生碰撞。
x L时，圆环与细棒分离的临界点。
J L0 1 = 2 0 0 Mx J L 1 ML2 ML2 4 3
切向速度：
1 2 ML 3
1 v L 0 L 4
（可以推导, 分离后的瞬间, 环与细棒的角速度相同。）
2, 法向 在分离的前后瞬间，机械能守恒：
解：依题意先可以看出最少存在两次碰撞。 1和2，2和3、4。
一、1和2之间碰撞以后
v2 v0
二、2和3、4之间碰撞
v0 v '

vx
由对称性知，碰撞后，3，4的速度大小相等， 各自与 v0 成30夹角，设其大小为 vx 设碰撞后球2速度大小为
vx
v'
以水平向右为正方向。则
由动量守恒定理：
19 2 41 37 2 2 I 2 I 0 ' I1 ' mR mR mR 36 288 96
例 3，质量为M的小圆环套在一长为L质量为M的 光滑均匀杆AB上，杆可以绕其A端的固定轴在 水平面自由旋转，开始时，杆旋转的角速度为 0 而小环位于A点处，当小环受到一微小扰动后， 即沿环向外滑行，试求，当小环脱离杆时的速度 （方向用与杆的夹角 表示）
dt
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
dx dx dp dt ＝－v 2 F ＝ dt dt
柔绳对桌面的冲力F＝F'即：
M 2 F v v 而v 2 2 gx F 2Mgx / L L
2
而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L
所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
2a t' 6 3v
0
gt
总时间为： 绷直前所用的时间和 绷直后转动所用的时间之和
3a 2a 2 t t' 3 v0 3v 0 3
a v0
例2 , 圆心记为O，半径R，质量m的匀质圆板， 内切地割去半径为R/2的小圆板后如图所示， 其质心记为C（图中未标出）。过O，C分别设置 垂直于板面的转轴，相对这两个转轴的转动惯 量各为IA=___________, IC=___________.
大学物理竞赛辅导 -力学
周聪华
大学物理教学中心
2012-5-6
力 学 与 振动： 一、运动学 二、动量与冲量
三、刚体与角动量 四、振动
一、运动学
例 1，作直线运动的质点,在 t 0 时,它沿x轴方向的速度为
vx x ，其中
时，质点位于
为一个正的非零常量。已知 t 0
x0 0 的位置，那么质点运动过程中

f kl

kl mc rc m2 r2 f rc m1 m2
b), 弹簧恢复至原长：质心速度最大 机械能守恒： 1
1 kl 2 m2 r2 2 r2 k l m2 2 2 m2 k l rc m2 m1 m2
C), 物快m1离开墙面以后，体系动量守恒， 质心速度恒定不变