有理数的概念(教师教案)

有理数的概念（教师教案）

【开课】

今天的内容主要包括以下几部分：

一．有理数的基本概念

[课程目标]

1理解有理数的基本概念，知道有理数的分类，有理数在数轴上的表示，理解相反数、倒数以及绝对值的概念并解决实际问题；

[课程安排]

老师先将第一段练习发给每一位学生，学生做题时老师必须巡视，了解学生做题情况。 学生完成练习后，老师讲解。

【教师讲课要求】

教师简要介绍本次课程的关键点，同学做题，然后教师讲解（第一段例题）。

老师总结，学生做综合练习（第二段），然后老师讲解。

[知识点总结]

1正数和负数

正数就是带有正号的数(正号可以省略不写)，是大于零的数；而负数是带有负号的数，是比零小的数。

2有理数：整数和分数统称有理数。

⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩

正整数整数零

负整数有理数正分数分数负分数

(2) 而按照正、负数来分又有如下分类：

⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩

正整数正有理数正分数有理数零

负整数负有理数负分数

3数轴是这样的东西：规定了零点，正方向，单位长度的直线叫做数轴．

4只有符号不同的两个数，叫做互为相反数。

5如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数．

6相反数的数轴表现：在数轴上，位于原点两边，并且到原点的距离相等的数互为相反数； 7一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。用符号∣а∣表示数a 的绝对值。

00||0

0||00a a a a a a a a a a a >⎧≥⎧⎪===⎨⎨-<⎩⎪-<⎩或者说

第一段典型例题

第一部分

【课程目标】：理解有理数的基本概念，知道有理数的分类，有理数在数轴上的表示，理解相反数、倒数以及绝对值的概念并解决实际问题

【教师讲课要求】

范例1．

（1）最大的负整数是；最小的正整数是；

（2）既不是整数，也不是正数的有理数是；

（3）所有的小数都能化成分数吗？。

答案：

(1)负整数是小于零的整数，所以最大的负整数是－1，同样可以得到最小的正整数是l

(2)不是整数的数是分数，不是正数的数是负数和零，从而既不是整数也不是正数的有理数是负分数；

(3)只有有限小数和循环小数可以化为分数．而无限不循环小数是不能化为分数的，例如，我们知道著名的圆周率 就不能化为分数．

[教师总结知识点]有限小数和循环小数可以化为分数，他们是有理数．

范例2 已知A在数轴上表示－2的点，在数轴上标出与点A的距离是2个长度单位的点，并读出这样的点所表示的数

答案：

(1)先在数轴上找到表示－2的点A；

(2)在数轴上距离点A 2个长度单位的点有左右两个，一个在A的右侧，一个在A的左侧；

(3)从A出发往右走两步得到的就是零点O，而往左走两步得到的是－4，就是图中的B点，从而图中的O和B就是我们要找的点，同时这两个数分别是0和－4．

[教师总结知识点]利用数轴我们可以方便的找到一些我们要找的数．

范例3 判断下列直线[图4-2（1）]是否是数轴？

(1)

-2 -1 0 1 2

(2) 0

(3)

1 2

图4-2（1）

答案: (1)缺少正方向

（2）缺少单位长度；

（3）缺少原点．

范例4 若3a +的相反数是－8，则a 的相反数是多少？

解 因为 8的相反数是－8，

根据题意，得 3a +＝8．

解方程，得 a ＝5．

所以a 的相反数是－5．

范例5 若一个数与这个数的相反数的差为2，那么这个数是多少呢?

答案：

(1)设这个数是a,那么a 的相反数是－a ；

(2)原问题转化为“a 与－a 的差为2,求a 的值”；

(3)列出方程：a －(－a)＝2,也就是a ＋a ＝2；

(4)最后得到以a ＝1．

范例6已知以a<0，计算l+2a+∣1－2a ∣的值．

分析: 还是要判断绝对值之中数的符号，也就是要判断l －2a 的符号．

答案:(1)因为a ＜0，所以2a ＜0，从而1—2a 必然大于0，从而|1－2a|＝1－2a

(2)1＋2a+ |1－2a|＝1+2a ＋1—2a ＝2．

范例7 已知|2x ＋5|＋|x －y|＝0，试求x,y 的值．

答案:(1)由于|2x ＋5|，|x －y|都是非负数，而它们的和又是0，所以只有2x ＋5＝x －y ＝0；

(2)由2x ＋5＝0得到x ＝－52，又由x －y ＝0得到y ＝x ＝－52；

(3)从而x ，y 的值都是－52．

范例8 如果a ≠0,则||

a a 有可能取什么样的值呢？ 答案: 我们知道∣a ∣有可能等于a 也有可能等于－a ，从而

||a a 有可能等于1和－1； [教师总结知识点]一个非零数和它的绝对值的商为1或者－1

范例9 把下列各数，按从小到大的次序，用“＜”号连接起来：

＋2，－2，＋3，－3，0，＋2

1，－143． 分析：比较几个有理数的大小，可以先用数轴上的点来表示这些数（如果题目没有特别要求，只要画一个大致的草图即可），然后按照数轴上左边的数较小，右边的数较大的原理把这些数按从小到大的次序用“＜”连接起来．

答案：

把题中的各数表示在轴上，得到

－143＜－3＜－2＜0＜＋2

1＜＋2＜＋3． [教师总结知识点] 数轴上的点从左到右的排列次序与有理数大小的排列顺序是一致的．解这类习题时，特别要注意审题清楚，即这些数的比较是按从小到大次序排列还是按从大到小的次序排列．

范例10．比较－27

和－0.28的大小； 分折：比较两个负数的大小，可先比较这两个负数的绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”下结论．

解 （１）方法一：∣－27∣＝27＝50175， ∣－0.28∣＝28100＝725＝49175

． ∵50175＞49175， ∴－27

＜－0.28 ． 方法二：∣－27∣＝27＝1449， ∣－0.28∣＝28100＝1450

． ∵1449＞1450， ∴－27

＜－0.28 ． 方法三：∣－27∣＝27

＝0．281…, ∣－0.28∣＝0.28． ∵0.281…＞0.28, ∴－27

＜－0.28 ． [教师总结知识点] 解本题的三种方法都是应用同一条法则进行比较的，区别在于比较绝对值大小的方法不同．方法一是化作分母相同的分数进行经较；方法二是变成分子相同的分数进行比较；方法三则是把分数化成小数，再按小数大小比较的法则进行的(实际比较时，分数化小数，只要取比已知小数多保留一位的近似值即可)．

范例11．已知：|a|＝3，|b|＝2，且a ＞b ，求a+b 的值．．

分析: 由绝对值的含义可知：a ＝±3，b ＝±2．又a ＞b ，所以a ＝－3不能取，只能取3，又±2＜3，所以b 可以取±2．

答案: 解 由|a|＝3得到a ＝±3，由|b|＝2得到b ＝±2，

因为a ＞b ，所以a ＝3，b ＝±2，

即a+b=5或a+b=1．

[教师总结知识点] 一个数的绝对值等于一个正数，这个数应该是这个正数或它的相反数，在本题中另外要注意的是题目听“a ＞b ”这个条件，不能盲目地得出a ＝±3，必须排除a ＝－3这一可能性．

范例12．(1)已知：|x|=x ，求x 的取值范围；

（2）已知1||

x x =-，求x 的取值范围．