湖南省长沙市新高考数学模拟试卷

2021年湖南省长沙市新高考数学模拟试卷解析版
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．设全集为R ，集合A ＝{x ∈Z |﹣1＜x ≤3}，集合B ＝{1，2}，则集合A ∩（∁R B ）＝（ ）
A ．{﹣1，0}
B ．（﹣1，1）∪（2，3]
C ．（0，1）∪（1，2）∪（2，3]
D ．{0，3}
【解答】解：∵全集为R ，集合A ＝{x ∈Z |﹣1＜x ≤3}＝{0，1，2，3}，
集合B ＝{1，2}，
∴集合A ∩（∁R B ）＝{0，3}．
故选：D ．
2．过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F(2√2，0)作两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，点O 为坐标原点，若四边形OAFB 的面积为4，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2√2
B ．√2+1
C ．√3
D ．√2
【解答】解：过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F(2√2，0)作两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，点O 为坐标原点，若四边形OAFB 的面积为4，在Rt △OAF 中，|AF |＝c •sin ∠AOF ＝c •b c =b ，同理，|OA |＝a ， ∴S △OAF =12|OA |•|AF |=12ab ，
又S △OAF ＝2，∴ab ＝4，而c ＝2√2，即a 2+b 2＝8，∴a ＝b ＝2，∴e =√2．
故选：D ．
3．已知设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ）
A ．若m ⊂α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β
B ．若α∥β，m ⊥α，n ∥β，则 m ⊥n
C ．若α⊥β，m ⊥α，n ∥β，则m ∥n
D ．若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥β
【解答】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在A 中，若m ⊂α，n ⊂β，m ⊥n ，则α与β相交或平行，故A 错误；
在B 中，若α∥β，m ⊥α，n ∥β，则m ⊥β，所以m ⊥n ，故B 正确；
在C 中，若α⊥β，m ⊥α，n ∥β，则m 与n 相交、平行或异面，故C 错误；
在D 中，若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故D 错误．
故选：B．
4．设a∈R，则“|a﹣1|≤1”是“﹣a2+3a≥0”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：|a﹣1|≤1，解得：0≤a≤2，﹣a2+3a≥0，解得：0≤a≤3，∴“|a﹣1|≤1”是“﹣a2+3a≥0”的充分非必要条件．
故选：A．
5．下列函数中同时满足（1）在区间(0，π
2
)上是增函数；（2）以π为周期；（3）是偶函数，
三个条件的是（）
A．y＝tan x B．y＝e﹣cos x C．y＝sin|x|D．y＝|sin x|
【解答】解：对于A：结合y＝tan x的图象和性质可知满足（1）（2）但不满足（3）．故答案A错．
对于B：y＝e﹣cos x可以看做是由y＝e t，t＝﹣cos x复合而成根据复合函数的单调性可知满足（1）但e﹣cos（x+π）＝e cos x≠e﹣cos x故根据周期函数的定义π不是y＝e﹣cos x的周期即不满足（2）．故答案B错．
对于C：对于任意x，sin|x|≠sin|x+π|故根据周期函数的定义π不是y＝sin|x|的周期即不满足（2）．故答案C错．
对于D：可利用图象的变换做出y＝|sin|的图象然后根据图象可直接得出满足（1）（2）（3）．故答案D对．
故选：D．
6．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P﹣ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）
A．P A，PB，PC两两垂直。