条件平差与间接平差的内在关系研究
条件平差与间接平差的相互关系
条件平差与间接平差的相互关系
一、条件平差与间接平差
1、条件平差与间接平差是指：条件平差是指基础数据是现有被观
测坐标信息，假定各点位置坐标值满足一定近似关系时（即解算中假
定有约束关系或条件，以达到所求结果的平差方法）；而间接平差是指，基础数据是待测点的被观测量，包括方位量、距离量等，无任何
关系的前提条件，是一种完全无条件的平差方法。
二、条件平差
2、条件平差一般会把条件设置为两个系统中坐标值的差值最小，
这样就能够更容易地实现平差。
条件平差的典型应用是重叠法平差，
它会利用各观测值之间的内在联系，并通过设定一定的几何条件，使
其之间被观测量满足某一关系，以解决无条件方程组的平差问题。
三、间接平差
3、间接平差是指以被观测量构成的方程组，可以以各种迭代方法
求解，但是必须有一定的条件限制才能使解出的坐标值符合实际要求。
加拿大匹兹堡大学的Bloch教授认为，从下面几个原因考虑起，最好
用间接平差来解决坐标转换的问题：
（1）传统的解算序号很容易引起原点偏移和比例错误；
（2）间接平差可以很好地表示待解系统中的不确定性；
（3）使用间接平差可以很好地降低待解系统中分量精度和消隐关
系统时发生的偏差。
四、条件平差与间接平差的关系
4、条件平差与间接平差是有联系的，相互之间的联系是：可以把
条件平差看做是一种特殊的间接平差，即在无条件间接平差的基础上，再加入解算中的限制条件，以达到所求结果。
可以说，条件平差是间
接平差的分支，而间接平差是条件平差的总集合。
间接平差
b1t xˆt d1 2 b2t xˆt d
2
L1 Vn bn1xˆ i bn2 xˆt bmt xˆt d n
（1）
6
§4-1 间接平差原理
L1
L
L2
Ln
V1
V
V2 Vn
Xˆ1
Xˆ
Xˆ
2
Xˆ
n
b11
B
b21
b12
b22
b1t b2t
bn1 bnt bnt
d1
d
d2
dn
（2）
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§4-1 间接平差原理
则平方值方程的矩阵形式为:
L V BXˆ d （3）
令 式中
Xˆ X 0 xˆ
l L BX 0 d （4）
n,1
为X参0 数的近似值，于是得误差方程为:
V Bxˆ l （5）
的，故平差值 不Lˆ因方L法不V 同而异。
单位权方差 的 02估值 ，计ˆ 02算式是
除以其自由度，即：
V T PV
ˆ
2 0
V T PV
r
V T PV
nt
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§4-1 间接平差原理
三、精度评定
1、单位权中误差的计算
中误差为 ˆ 0
V T PV nt
计算VTPV，可将误差方程代入后计算，即
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§4-1 间接平差原理
按最小二乘原理，上式的 必xˆ须满足 V T PV min
的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函
数自由极值的方法，得：
V T PV 2V T P V V T PB 0 （6）
第五章条件平差
二、法方程及改正数方程
将V T PV min的原则作用于条件方程 。
组成新函数:
V T PV－2k T AV W
式中
r 1
k k a , kb , k r 条件方程联系数
T
对新函数求导： T T 2V P 2A k ---改正数方程
dSCD ˆ f T dL SCD ˆ SCD T 2 T ˆ f D f f QL ˆL ˆ ˆL ˆ f 0 L S CD
得测边相对中误差为： 3、大地四边形测角网
2
ˆS
CD
SCD
＝
ˆ 0 f T QL ˆL ˆ f
设
F ( f1 , f 2 , f m )
T T
G ( g1 , g 2 , g m ) 有
均为m维向量函数，且 f i、g i 均为x的函数， d F G dG F T dG T dF F G dx dx dx dx
注意：当N为满秩方阵时，才有 N 1唯一存在,法方程才有唯
测方向网
测角网
测角网
三角网
测边网
测边长
测边＋测方向
边角网
（导线网） 测边＋测角
三、三角网的布设－－从高级到低级逐级布设 四、三角网平差的方法 1。严密平差 ----遵守VTPV=min原则 ； 2。近似平差
5.3 测角网条件平差
独立网（经典自由网）－-－只有必要起算数据d。
非独立网（附合网）－-－已知条件超过必要起算数据。
3 图形条件： n=12 t=2×2+4=8 r =4 1 极条件：
v2 v1 v6 v5 v11 v10 W1 0
测量程序设计_条件平差和间接平差
程序代码如下：
disp(‘-------水准网间接平差示例-------------’) disp(‘已知高程’) Ha = 5.015 % 已知点高程，单位m Hb = 6.016 % 已知点高程，单位m
A h2 D h1
C h6 E h7 B h4
h5
h3
disp(‘观测高差，单位m’)
L = [1.359; 2.009; 0.363; 1.012; 0.657; -0.357] disp(‘系数矩阵B’)
则： PV AT K
V P A K QA K
T
1 T
4、法方程： 将条件方程 AV+W=0代入到改正数方程V=QATK 中，则得到：
AQAT K W 0
r1 r1 r1
记作： 由于
N aa K W 0
rr
R( Naa ) R( AQAT ) R( A) r
Naa为满秩方阵， K Naa1W ( AQAT )1 ( AL A0 )
if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB==0 && H(2,1)H(4,1)==0 disp(‘检核正确') else disp(‘检核错误') end disp(‘平差后的高程值') HC = HA + H(1,1) HD = HA + H(1,1) + H(4,1)
二、间接平差的基本原理
其中l＝L－d.
ˆ 设误差Δ和参数X的估计值分别为V 和 X
则有
ˆ V AX l
X0 为了便于计算，通常给参数估计一个充分接近的近似值
ˆ ˆ X X0 x
则误差方程表示为
第17讲间接平差的原理-四川建筑职业技术学院
移项得误差方程：
令
则平差值方程的矩阵形式为：
则误差方程的矩阵形式为：
平差时，为了计算方便和计算的数值稳定性，一般对参数取近似值，取X0为参数的近似值。
令 则
可得误差方程式为：
按最小二乘原理，误差方程式中的V的必须满足VTPV=min的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法，得：
间接平差是通过选定t个未知参数，将观测值的平差值表示为t个未知参数的函数，并通过求自由极值的方法引入最小二乘条件，通过法方程首先解出参数的最或然值，从而求得各观测量的平差值。
1间接平差的基本思想
例如在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L1、L2和L3，试确定三角形形状。
确定两内角即可确定三角形形状。若能选取两个内角的最或然值作为未知参数 ，则可以建立未知参数与观测值之间的函数关系式。
一个平差问题，不论采用条件平差还是间接平差方法，只是依据的函数模型不同，其最小二乘解是唯一一致的，即其平差结果与采用的具体平差方法无关。
取转置得：
（1）、（2）联立，共n+t个方程，n个v，t个 ，待求量总数为n+t，有唯一解，称（1）、（2）式为间接平差的基础方程。
（1）代入（2）得间接平差的法方程：
其中 解得：
将求出的 代入误差方程（1）式，即可求得改正数V，从而求得平差值
特别地，当P为对角阵时，即观测值之间相互独立，则法方程（4）式的纯量形式为
（3）由误差方程系数B和自由项l组成法方程，法方程个数等于未知参数的个数t；
（4）解算法方程，求出未知参数，计算未知参数的平差值。
（5）将出未知参数代入误差方程，，求解改正数；
（6）求出观测量平差值。
【例4-1】右图三角形中，同精度观测三个内角L1=39。23’40”, L2=88。33’06”, L3=52。03’17”,按间接平差法，求观测值的平差值。
条件平差与间接平差探讨
观测数 必要观测数 多余观测数 所设参数数 方程数 待求量数 t
n
n t r=n-t 0<u<t 且独立 c= r+u n+u
n t r=n-t u=t 且独立 r+u=n n+u
n t r=n-t u>t 且包含 t 个独立 r+u=n+s n+u
r=n-t 0 r n
方程形式
ΑΔ+W=0
ΑΔ+Β X +W=0
β3
1 2 180。 0
β1 A P（ X P , YP ） β2 B
~
~
~
sab s1 ~ ~ 0 sin sin s1 s2 ~ ~ 0 sin 1 sin 2
~
~
S1
S2
已知点：A、B、C 观测值：S1-S3 S3 参数;P 点坐标 X P、YP C 求平差方程？（间接平差）
~
~
A B
~ S1 （~ xp ~ xA )2 ( ~ yp ~ y A )2 ~ S 2 （~ xp ~ xB ) 2 ( ~ yp ~ yB )2 ~ S3 （~ xp ~ xC ) 2 ( ~ yp ~ yC ) 2
如何区别附有参数的条件平差、间接平差、附有限制条件的间接平差？ 解： （1）看参数的个数（u）与必要观测值的个数（t）的关系。u>t,附有限制条件的间 接平差。u=t，间接平差。 u<t,附有参数的条件平差。 例三：在右图水准网中，A 为已知点，B、C、D、E 为待定点，观测 9 条线路的高差 h1-h9 （1）试问该模型可列出多少个条件方程？ A 1 （2）选取 B、C、D 三点高程平差值为参数 5 （3）选取 h1-h5 的高差平差值为参数 B （4）选取 h5-h8 的平差值为参数 6 （5）选取 B、E 两点间的高差为参数 E 7 8 解： （1）n=9，t=4，r=n-t=5 （2）附有参数的条件平差； n=8，t=4，r=5，u=3，c=u+r=8 （3）附有限条件的间接平差； c=r+u=10 （4）间接平差（c=9） （5）附有参数的条件平差； c=r+u=5+1=6（两点的高差为参数 u） 9 4 D 3 C 2
间接平差
§4-1 间接平差原理2学时间接平差法（参数平差法）是通过选定t 个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t 个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。
例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L 1、L 2和L 3。
求此三角形各内角的最或然值。
若能选取两个内角的最或然值作为参数 1ˆX 、 2ˆX ，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫--=+=+=+2133222111ˆˆ180ˆˆX X v L Xv L X v L（4-1-1）可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫---=-=-=3213222111ˆˆ180ˆˆL X X v L Xv L Xv （4-1-2）为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令 x X X ˆˆ0+=，则（4-1-2）式可写成如下形式：⎪⎭⎪⎬⎫-++---=--=--=)180(ˆˆ)(ˆ)(ˆ020132130222201111X X L x x v X L x v X L xv （4-1-3）式（4-1-2）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。
单纯为消除矛盾， 1v 、 2v 、 3v 可有多组解，为此引入最小二乘原则： min =PV V T可求得唯一解。
因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。
对上述三角形，引入最小二乘原则，要求：min =PV V T ，设观测值为等精度独立观测，则有：[]min )180ˆˆ()ˆ()ˆ(2321222211=-+--+-+-=L X X L X L X vv按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得60313132ˆ60313231ˆ02180ˆ3)1(2)2()2()1(0180ˆ2ˆ0180ˆˆ20)ˆˆ180(2)ˆ(2ˆ][0)ˆˆ180(2)ˆ(2ˆ][32113212321232213121321222321111+--+=⇒+-+-=⇒=+-+-⇒-⨯⎭⎬⎫=+--+=+--+⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-----=∂∂=-----=∂∂L L L X L L L X L L L X L L X X L L X X L X X L X X vv L X X L X X vv代入误差方程式，得到观测值的最或然值603231316031323160313132321332123211++--=+-+-=+--+=∧∧∧L L L L L L L L L L L L此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关。
四种经典平差模型的分析与设计
3.四中经典平差模型的分析与设计在生产实践中观测的数据可以通过以最小二乘原理为基本原理进行平差提高测量精度，但由于所设参数个数与观测个数和非必要观测个数的关系不同，可以分为条件平差、附有参数的条件平差、间接平差、附有限制条件的间接平差四种。
通过对它们的分析，可以很好地解决生产实践中的实际问题，亦可为以后的某些理论推导作必要的准备。
3.1条件平差模型条件平差的函数模型：AV+W=0其中A=，W=，V=随机模型：D=法方程：其中：解之得 K= 误差方程： V=观测量平差值：平差值函数：其权函数式为单位权方差的估值：平差值函数的协因数阵：条件平差的基本向量的协因数和互协因数3.2附有限制参数的条件平差模型在一个平差问题中，如果观测值个数为n，必要观测数为t，则多余观测数r=n-t。
若不增选参数，只需列出r个条件方程，这就是条件平差方法。
如果又选了u个独立量为参数（0<u<t）参加平差计算，这就可建立含有参数的条件平差作为平差的函数模型，这就是附有参数的条件平差方法。
②式中，V为观测值L的改正数，为参数近似值的改正值，即随机模型：D=为了求出能使的一组解，按求函数条件极值的方法，组成函数式中，K是对应于条件方程②的联系数向量，为求的极小值，将其分别对V和求一阶导数并令其等于零，则有由两式转置之后第一式左乘，再加②式得其基础方程解算此基础方程，通常是将其中的改正数方程代入条件方程，得到一组包含K和的对称线性方程组，即令,上式也可写成：③上式称为附有参数的的条件平差的法方程。
解上面的的第一式得，又以左乘③的第一式，并与第二式想减，且令,得：解之，得求出后，即可求得K，最后可以求定V：继而，可计算平差值平差值的权函数式为单位权方差的估值：平差值函数的协因数阵：其中，、、、可以通过查表获得它们的的公式L W X K VL QW AQX 0 0K 0 0V 0 00 03.3间接平差模型在一个平差问题中，当所选的独立参数的个数等于必要观测数t时，可将每个观测值表达成这t个参数的函数，组成观测方程，这种以观测方程为函数模型的平差方法，这就是间接平差。
用MATLAB解决 条件平差和间接平差
C h6 E h3 h5 h7 B h4
disp(‘C是单位权观测高差的线路公里数，S是线路长度’) 是单位权观测高差的线路公里数， 是线路长度 是线路长度’ 是单位权观测高差的线路公里数 C = l*ones(1,6)
S = [1.1, 1.7, 2.3, 2.7, 2.4, 4.0] P = C./S % 定义观测值的权， 定义观测值的权， P = diag(P) % 定义权阵 disp(‘参数的解’) 参数的解’ 参数的解 x = inv(B’*P*B)*B’*P*l disp(‘误差 误差V(mm), 各待定点的高程平差值 （m）’) 各待定点的高程平差值L1（ ） 误差 V = B*x - l % 误差方程 误差方程(mm) L1 = L + V/1000 % 观测值的平差值， 观测值的平差值， disp(‘精度评定’) 精度评定’ 精度评定 n = 6; % 观测值的个数 t = 2; % 必要观测数 delta = sqrt(V’*P*V/(n – t))
H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HAH(2,1)if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB==0 && H(2,1)H(4,1)==0 disp(‘检核正确 检核正确') disp( 检核正确') else disp(‘检核错误 检核错误') disp( 检核错误') end disp(‘平差后的高程值 平差后的高程值') disp( 平差后的高程值') HC = HA + H(1,1) HD = HA + H(1,1) + H(4,1)
二、间接平差的基本原理
在一个控制网中，设有t个独立参数， 在一个控制网中，设有t个独立参数，将每一个观测值都表达 成所选参数的函数，以此为基础进行平差， 成所选参数的函数，以此为基础进行平差，最终求得参数的估 计值。 计值。 选择参数应做到足数（参数的个数等于必要观测数）和独 选择参数应做到足数（参数的个数等于必要观测数） 参数间不存在函数关系）。 ）。利用参数将观测值表示为 立（参数间不存在函数关系）。利用参数将观测值表示为
浅议同一水准网条件平差与间接平差处理之异同
浅议同一水准网条件平差与间接平差处理之异同马自军【摘要】测量平差是据最小二秉法原理,正确地消除各观测值之间的矛盾,合理分配误差,以求出观测值的最或是值并评定测量成果的精度.据不同条件下的测量问题,测量平差的方法也不尽相同.本论述试图以某水准网为例,分别采用条件平差、间接平差对各观测值最或是值进行计算,揭示两种平差方法对同一问题处理过程及结果之异同,以便引导学生在以后的测量工作中针对具体观测条件对平差方法有准确、灵活的选定.【期刊名称】《甘肃科技纵横》【年(卷),期】2011(040)003【总页数】3页(P161-162,181)【关键词】条件平差;间接平差;最或是值【作者】马自军【作者单位】兰州铁路技师学院,甘肃兰州730050【正文语种】中文如图1所示某闭合环水准网，A点是已知高程点：HA=153.768m（假设无误差），各点间的高差观测值分别为：h1=11.105m，h2=－5.728m，h3=－2.090m，h4=－13.215m，h5=16.857m，h6=－3.622m各水准路线长度分别为s1=3.4km，s2=4.0km，s3=3.8km，s4=5.0km，s5=5.3km,s6=5.5km现分别采用条件平差和间接平差计算B、C、D点高程最或是值。
图1 闭合环水准网1 条件平差条件平差是据各观测值改正数应满足的几何条件方程，采用最小二乘法原理消除因多余观测而产生的不符值从而求得各观测值的最或是值的平差方法。
（1）已知:n=6,t=3则r=n-t=3,选定1km观测高差为单位权观测值。
（2）设有:n个观测值为:L1、L 2……L n平差值为：L 1/、L2/ ……L n／相应的权为：P1、P2……Pn条件方程的常数项为：a0、b0……r0观测值的改正数为：v1、v2......vn条件方程的闭合差为：wa、wb……wr则:各条件方程系数＝各观测值:条件方程改正数:条件方程闭合差:条件方程常数项:据得条件方程为:（3）依上述各条件方程据：得法方程:据:令则法方程为:NK+W=0由:K=N-1W解得：ka=0.433 kb=-2.336 kc=-1.783（4）通过改正数方程计算各测段高差改正数:由或:vi=1′pi(aika+bikb+cikc)得：v1=10mm v2=-2mm v3=-8mmv4=2mm v5=-12mm v6=-10mm（5）计算各测段高差最或是值：由：hi′=hi+vih1′=h1+v1=+11.115m h2′=h2+v2=-5.730mh3′=h3+v3=-2.098m h4′=h4+v4=-13.213mh5′=h5+v5=+16.845m h6′=h6+v6=-3.632m （6）把各测段高差最或是值hi/分别代人闭合环检核: H1′-h3′+h4′=0H1′-h2′-h5′=0H2′-h3′-h6′=0结论:各测段高差最或是值计算无误。
间接平差与条件平差的关系
v1 v3 v4 2 0
误差理论与测量平差
试将其改写成误差方程。 解：转化结果为
v1 v2 v3 5 0 v3 v4 v5 2 0 v5 v6 v7 3 0 v1 v4 v7 4 0
v1 xˆ1 v2 xˆ2 v3 xˆ1 xˆ2 5 v4 xˆ4 v5 xˆ1 xˆ2 xˆ4 7 v6 xˆ2 v7 xˆ1 xˆ4 4
6.误差方程转化为条件方程
误差方程转化为条件方程的步骤如下。
（1）确定改正数 的个数，则 为改正数的个数。
（2）确定参数的个数，则 为参数的个数。
（3）则条件方程的个数为 。
（4）消除参数，得到独立的 个条件方程。
例7-10某平差问题，按间接平差法进行平差，其误差
方程为 试将改写成条件方程。
v1 xˆ1 1 v2 xˆ1 2 v3 xˆ2 1 v4 xˆ1 xˆ2 2
误差理论与测量平差
间接平差与条件平差的关系
1.法矩阵之间的关系
QA T
N
1 aa
A
BN
1 BB
B
T
P
I
2.系数矩阵 之间的关系
AB=0
3.误差方程的常数项 l与条件方程的闭合差W之间 的关系
W=Al
4.间接平差中的d 与条件平差中的 A0之间的关系 A0=-Ad
5.条件方程向误差方程的转换 条件方程向误差方程转换的步骤如下。
（1）确定出观测值的个数n ，观测值个数就是残 差的个数。
（2）根据条件方程的个数判断其必要观测个数 t， 条件方程的个数就是多余观测数个数r ，则 t=n-r。
（3）设立 t个独立的参数，一般独立参数的近似值 设为相应的观测值。
间接平差的基本原理
5.组成法方程，求参数改正数
2.9
1 0 0
1 NBB BT PB 0
0
1 1 0
0 1 0
0 1 1
100
3.7 2.5 3.3
1 1
0
0 1 0
0
1 1
4.0 0 0 1
6.6 3.7 0 3.7 9.5 3.3
0 3.3 7.3
2.9
0
1 W BT Pl 0
14
l5 h5
X
0 3
H
A
0
4.列误差方程，确定观测值的权：
v1 xˆ1 v2 xˆ1 xˆ2
v3
xˆ2
v4
xˆ2 xˆ3
v5
xˆ3
0
203
14
或
v1 1 0
v2
1 1
vv43
0 0
1 1
0
0
0
0
1
xˆ1 xˆ2 xˆ3
23
0
14
0
23
0
14
9
2mm
9
v5 0 0 1
0 7
hhˆˆ12
h1 v1
h2
v2
5.847 3.791
hhˆˆ43
hh43
v3 v4
9.638m 7.375
hˆ5 h5 v5 2.263
Hˆ
Hˆ Hˆ
B C
Xˆ Xˆ
1 2
X X
h1 5.835m, s1 3.5km; h2 3.782m, s2 2.7km; h3 9.640m, s3 4.0km; h4 7.384m, s4 3.0km, h5 2.270m, s4 2.5km
第三章-间接平差2009
(3.1.12)
其中 F = ( f1
T
f2 L
f t ) ，那么
1 T −1 = FTQ X ˆX ˆ F = F N bb F pz
为进一步理解间接平差的概念，现说明几点：
(3.1.13)
（1）任何平差，都是在有多余观测的基础上进行的。如没有多余观测，则无平差问题。 （2）按间接平差法平差某一具体问题时，未知参数的数目是固定的，它等于该问题的必要观 测量的个数。未知参数的选择，依据实际问题而定。可选取观测量，也可以选取非观测量。未知参 数选择方式不同，误差方程的形式不同。
则
T
d (V T PV ) = V T ( P T + P ) dV d (V T PV ) = 2V T PdV = 2V T P dV dx
59
当 P 为对称方阵时， P = P ，那么有 因而有
d (V T PV ) dx
表述完毕。
ˆ + l) V T P V = V T P ( Bx
ˆ +l 【 V = Bx
(3.1.11)
我们将在下一节将从另一个角度来证明上式。 （三）协因素阵
ˆ ，即 ˆ 、V 和 L 在间接平差中，基本随机向量是 L 、 x
L=L −1 −1 T −1 T ˆ = −N bb x W = −N bb B Pl = N bb B PL + L
−1 T ˆ + l = (BN bb V = Bx B P − I) L + L
ˆ1 + x ˆ2 + x ˆ 3 − 180 o ＝0 x
ˆ1、x ˆ2 及 x ˆ3 ，这属于附有条件的间接平差。 若将以上四式一起平差求 x
（4）在确定了未知参数之后，要建立这些未知参数与所有观测值之间的数学关系式，即观测 方程。这些观测方程可以是线形的，也可以是非线性的。为使平差简便，在平差中总是将非线性方 程线性化。 （5）有了误差方程，即按 V PV = min ，解出各未知参数。
经典平差中各种模型的关系
图1
现选 3 个观测值为参数 , 即 X^ T = ( ^x 1 ^x 2 ^x 3) = L^ T = ( ^l1 ^l2 ^l 3) 。因为 u = n > t , s = u - t = n - t = r = 3 - 2 = 1 ,所以 3 个参数之间存在一个条 件 。于是 ,由图知附有条件的间接平差模型为
将此附有条件的间接平差模型的第 1 式代入第
2 式 ,消去参数 L^ ,得
1 1 1 v1
0
0
1 0 0 v2 + - 0. 542 0. 773
0 - 1 0 v3
- 1. 324 0. 288
δx c δyc -
5″ - 0. 1″ = 0 0. 1″
(8)
式 (8) 就是附有未知数的条件平差的条件方程 。
收稿日期 : 2003206209 基金项目 :国家高新技术研究发展计划 (863 计划) 资助项目 (2001AA135081) 作者简介 :王新洲 (19542) ,男 ,博士 ,教授 ,博士生导师 ,主要从事测量数据处理理论研究 。
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
的个数 ,且选择观测值的真值为前 n 个参数 ,而后 q
= u - n 个参数相互独立时的附有条件的间接平差
在消去前 n 个参数以后的中间形式 。所以附有参数
的条件平差模型是附有条件的间接平差模型的特例 。
例 2. 对于例 1 中的单三角形 , 现选 3 个观测值 和 C 点 的 两 个 坐 标 改 正 数 为 参 数 , 即 X^ T
^l 1 + ^l 2 + ^l 3 - 180°= 0 αAB + ^l 1 +α^ A C = 0 αBA - ^l 2 - α^ B C = 0 式中 ,αij为 i 点到 j 点的方位角 。上面的两个方位 角条件是非线性条件 ,应先线性化 。线性化后 ,得附 有条件的间接平差模型为
浅谈条件平差和间接平差的一致性
Ａ Ｃ
Ｖｌ Ｖ３ Ｖ４ ｌ ３ １ ＋ 一 ＝ Ｉ —４ ＋ｌ
≤
即 ： ＋ 一 ４（＋３１＝ ，将 一１ ｌ ｌ 化 为 ：｛ ％ ＨＡｈ＋ 。 Ｈ Ｖ１ Ｖ一１ ｌ ０ ０ Ｖ３ １ — （＋３ ｌ一 一Ｈ － — ｌＨ ” 一
一
ｈ－ＨＦＨ — ４ ３（ Ｏ ｃｈ） ｝ 整 理 得 ：（＋３１＝ Ｈ ＋ １ｈ一 ４ｗ 即得 到 条 件 式 ： ｖ ４ 一１ ｌ ４ Ｈ 一 ｈ＋ ３ｈ＝ ， —） ｖ＋ ｒ ｖ＋
２１ ０ １年
第３ ５期
Ｓ ＩＮ Ｅ＆Ｔ Ｃ Ｎ ＯＧ Ｆ Ｒ Ｔ Ｏ ＣＥ Ｃ Ｅ Ｈ ＯＬ ＹＩ Ｏ ＭＡ Ｉ Ｎ Ｎ
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科技信 息
浅谈条件平差和问接平差的一致性
条件平差与间接平差的相互关系
条件平差与间接平差的相互关系
王旭华;赵德深;关萍
【期刊名称】《辽宁工程技术大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2003(22)3
【摘要】条件平差和间接平差是测量平差的两大基础,在各种有关测量平差的文献和教程中,这两种方法都是作为一种独立的方法被各自提出,而两者之间的关系尚无人论及。
作者曾在文[2]中利用泛函分析原理推导了条件方程与误差方程系数矩阵之间的关系,但对于条件平差和间接平差之间整体关系的认识还很不够。
本文从条件平差原理和间接平差原理入手,利用矩阵分析理论,发现并论证了条件平差与间接平差整体上的相互关系,并给出了相应的实例,从根本上解决了这两大平差基础之间的关系问题。
【总页数】3页(P320-322)
【关键词】条件平差;间接平差;相互关系;系数矩阵;常数向量;矩阵分析理论;测量平差
【作者】王旭华;赵德深;关萍
【作者单位】大连大学土木建筑工程系
【正文语种】中文
【中图分类】P207.2
【相关文献】
1.浅谈条件平差和间接平差的一致性 [J], 魏国武
2.附有限制条件的间接平差与附有条件的条件平差内在联系探讨 [J], 朱恒力;韩博;马远新
3.条件平差与间接平差的内在关系研究 [J], 曹白金;王兵;张健
4.条件平差和间接平差模型应满足的两个等式关系 [J], 张俊;袁亮;张鹏飞
5.附有限制条件的间接平差与附有条件的条件平差的内在联系探讨 [J], 于红波;白明哲;张健雄
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条件平差与间接平差的内在关系研究
作者：曹白金王兵张健
来源：《城市建设理论研究》2013年第23期
摘要：条件平差和间接平差是测量平差的两大基础,本文从条件平差原理和间接平差原理入手，利用矩阵分析理论,导出了条件平差与间接平差法的计算公式，揭示了平差模型计算公式的内在规律，并给出了相应的实例，从根本上解决了这两大平差基础之间的关系问题，并以此为基础证明了这两种平差方法结果之间的一致性。
关键词：平差方法;一致性;条件平差;间接平差
中图分类号： P207 文献标识码： A 文章编号：
Abstract:Condition adjustment and indirect adjustment are the two basic methods of the measurement adjustment.To start with the methods of condition adjustment and indirect adjustment,the formula was deduced using matrix theory in this paper,and the internal rules have been revealed of the adjustment models.The corresponding example is also been given in the paper.The basic relationship between the two adjustment methods has been solved,and it is also the foundation to prove the consistency of two different adjustment methods.
Key words:adjustment method,consistency,condition adjustment,indirect adjustment
1 条件平差与间接平差原理
1.1 条件平差的原理
条件平差是以个观测量的平差值作为未知数，并通过它们之间存在的个条件方程来消除观测值之间的不符值，同时运用求条件极值的原理解出改正数，从而求得各观测量的平差值。
条件平差的数学模型为,条件方程个数等于多余观测数，为观测值总个数，为必要观测数，存在关系。
设个平差值线性条件方程为：
1-1
其中、、...、为各平差值条件方程式中的系数；、、...、为各平差值条件方程式中的常数项。
将式代入1-1，得相应的改正数条件方程式
1-2
其中、、...、称为改正数条件方程的闭合差，令
则式1-1、式1-2可分别表达成如下矩阵形式
1-3
1-4
按求函数极值的拉格朗日乘数法，引入乘系数，构成函数：
1-5
将对求一阶导数，并令其为零，两端转置，得，是对角阵，且，将上式两边左乘权逆阵，得
1-6
将上式代入式1-4得法方程。
令，得。
则，将其代入1-6可计算出，再将其代入1-1，即可计算出所求的观测值的最或然值
1.2 间接平差的原理
设平差问题中有个观测值，已知其协因数阵，必要观测数为，选定个独立参数，其近似值为，有,观测值与改正数之和,称为观测量的平差值。
按具体平差问题，可列出个平差值方程为
2-1
令
则平差值方程的矩阵形式为
2-2
顾及，并令
2-3
其中为参数的充分近似值，于是
可得误差方程式为
2-4
按最小二乘原理，式2-4的必须满足的要求，因为个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法并转置后得
2-5
以上所得的式2-4和式2-5中的待求量是个和个，而方程个数也是个，有唯一解，此两式联合称为间接平差的基础方程。
将2-4代入2-5，得
2-6
令。
上式可简写成
2-7
其中系数阵为满秩矩阵，即，有唯一解，式2-7称为间接平差的法方程。
解得或。
将求出的代入误差方程式2-4，即可求得改正数，从而平差结果为
2-10
2 条件平差与间接平差的关系推证
对于同一个平差问题，如果同时运用上述两种平差方法来求解，所求得的各观测值改正数、观测量的平差值及未知参数的最或然值应该相同。
同时两者的系数矩阵和常数向量也应该存在一定的内在联系。
对于某个平差问题，有个带有相耳互独立的正态随机误差的观测值，其相应的权阵为，它是对角阵，改正数为，平差值为。
用条件平差来解决问题的平差模型是
3-1
由第二部分内容可知的解不是唯一的，但按最小二乘原理取得一组解是唯一的。
此时，可由拉格朗日乘数法解出
3-2
将上式代入3-1即可计算出和
用间接平差来解决问题的平差模型是
3-3
同样可按最小二乘法在准则下求出的值，并按照函数自由极值理论可求出
3-4
将式3-4代入式3-2即可求得和。
将式3-2代入式3-4得
3-5
令则可知对于非零的必有
3-6
若,则与矛盾，则必有
3-7
将式3-3代入式3-1得,因为展开可得。
因此可知两种方法的平差结果是一致的。
3 应用举例
在下图所示的水准网中，各路线的观测高差、路线长度如下表所示,试求出待定点的高差平差值。
本题中
方法一：条件平差
列出条件方程如下：
条件方程系数矩阵为
组成法方程为
解算法方程
利用改正数方程求得改正数为
计算出平差值
点的高程平差值为
方法二：间接平差
设
列出误差方程如下
,
由误差方程系数和自由项组成法方程，解得
计算参数平差值，得
以上例子可以看出两种平差方法结果一致，数据结果有少许不同是由于常数项取位少而导致误差累积的缘故。
4 总结
本文以条件平差和间接平差模型为基础, 通过严格推理,揭示了条件平差和间接平差方法函数模型之间的内在联系，证明了其设计矩阵和常数项应满足的理论关系,从而证明了两者平差结果的一致性。
可以看出平差方法的不同是平差模型不同所致，它们既有区别又有内在的联系，在一定条件下可以相互转化。
这对于深入理解平差理论，牢固掌握平差计算公式都是很有益处的。
参考文献
[1]葛永慧,等.测量平差基础[M].北京：煤炭工业出版社，2007.
[2]王旭华,等.条件平差与间接平差的相互关系[J].辽宁工程技术大学学报，2003,3(22):320-322.
[3]马自军.浅议同一水准网条件平差与间接平差处理之异同[J].甘肃科技纵横，
2011,3(40):161-163.
[4]姚吉利，张大富.条件平差与间接平差数学模型之间的相互转换[J].地矿测绘，2000,1:25-26.。