条件平差与间接平差的内在关系研究

条件平差与间接平差的内在关系研究

作者：曹白金王兵张健

来源：《城市建设理论研究》2013年第23期

摘要：条件平差和间接平差是测量平差的两大基础,本文从条件平差原理和间接平差原理入手，利用矩阵分析理论,导出了条件平差与间接平差法的计算公式，揭示了平差模型计算公式的内在规律，并给出了相应的实例，从根本上解决了这两大平差基础之间的关系问题，并以此为基础证明了这两种平差方法结果之间的一致性。

关键词：平差方法;一致性;条件平差;间接平差

中图分类号： P207 文献标识码： A 文章编号：

Abstract:Condition adjustment and indirect adjustment are the two basic methods of the measurement adjustment.To start with the methods of condition adjustment and indirect adjustment,the formula was deduced using matrix theory in this paper,and the internal rules have been revealed of the adjustment models.The corresponding example is also been given in the paper.The basic relationship between the two adjustment methods has been solved,and it is also the foundation to prove the consistency of two different adjustment methods.

Key words:adjustment method,consistency,condition adjustment,indirect adjustment

1 条件平差与间接平差原理

1.1 条件平差的原理

条件平差是以个观测量的平差值作为未知数，并通过它们之间存在的个条件方程来消除观测值之间的不符值，同时运用求条件极值的原理解出改正数，从而求得各观测量的平差值。

条件平差的数学模型为,条件方程个数等于多余观测数，为观测值总个数，为必要观测数，存在关系。设个平差值线性条件方程为：

1-1

其中、、...、为各平差值条件方程式中的系数；、、...、为各平差值条件方程式中的常数项。

将式代入1-1，得相应的改正数条件方程式

1-2

其中、、...、称为改正数条件方程的闭合差，令

则式1-1、式1-2可分别表达成如下矩阵形式

1-3

1-4

按求函数极值的拉格朗日乘数法，引入乘系数，构成函数：

1-5

将对求一阶导数，并令其为零，两端转置，得，是对角阵，且，将上式两边左乘权逆阵，得

1-6

将上式代入式1-4得法方程。令，得。则，将其代入1-6可计算出，再将其代入1-1，即可计算出所求的观测值的最或然值

1.2 间接平差的原理

设平差问题中有个观测值，已知其协因数阵，必要观测数为，选定个独立参数，其近似值为，有,观测值与改正数之和,称为观测量的平差值。按具体平差问题，可列出个平差值方程为

2-1

令

则平差值方程的矩阵形式为

2-2

顾及，并令

2-3

其中为参数的充分近似值，于是

可得误差方程式为

2-4

按最小二乘原理，式2-4的必须满足的要求，因为个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法并转置后得

2-5

以上所得的式2-4和式2-5中的待求量是个和个，而方程个数也是个，有唯一解，此两式联合称为间接平差的基础方程。

将2-4代入2-5，得

2-6

令。上式可简写成

2-7

其中系数阵为满秩矩阵，即，有唯一解，式2-7称为间接平差的法方程。解得或。

将求出的代入误差方程式2-4，即可求得改正数，从而平差结果为

2-10

2 条件平差与间接平差的关系推证

对于同一个平差问题，如果同时运用上述两种平差方法来求解，所求得的各观测值改正数、观测量的平差值及未知参数的最或然值应该相同。同时两者的系数矩阵和常数向量也应该存在一定的内在联系。

对于某个平差问题，有个带有相耳互独立的正态随机误差的观测值，其相应的权阵为，它是对角阵，改正数为，平差值为。

用条件平差来解决问题的平差模型是

3-1

由第二部分内容可知的解不是唯一的，但按最小二乘原理取得一组解是唯一的。此时，可由拉格朗日乘数法解出

3-2

将上式代入3-1即可计算出和

用间接平差来解决问题的平差模型是

3-3

同样可按最小二乘法在准则下求出的值，并按照函数自由极值理论可求出

3-4

将式3-4代入式3-2即可求得和。将式3-2代入式3-4得

3-5

令则可知对于非零的必有

3-6

若,则与矛盾，则必有

3-7

将式3-3代入式3-1得,因为展开可得。因此可知两种方法的平差结果是一致的。

3 应用举例

在下图所示的水准网中，各路线的观测高差、路线长度如下表所示,试求出待定点的高差平差值。

本题中

方法一：条件平差

列出条件方程如下：

条件方程系数矩阵为

组成法方程为

解算法方程

利用改正数方程求得改正数为

计算出平差值

点的高程平差值为