高中数学等差数列综合讲义(知识点+全部题型)
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⑺[图像] 等差数列 ∋ 一些离散的点，本质：点的轨迹 ⑻[函数] 等差数列是关于项数 n 的一次函数，即为 f (n ) ＝kn＋b （ n ∈ N ）
+
公差为 kd
本质： ⑴[相邻两项]
a n＋1－a n＝d （ d 为常数）
⑵[任意一项与首项]
an＝a1＋(n－ 1) × d → d＝
an－a1 (n ≠ 1) n－ 1
[ ຫໍສະໝຸດ Baidu 与 1]
d 大于1的等差数列 d 小于等于1的等差数列
[项的正负]
正的等差数列 负的等差数列 公差与首项相等的等差数列 公差与首项不相等的等差数列
[公差与首项] Y4：判定： 判定：
⑴[相邻两项] 若数列 {a n }满足 a n－a n－1＝d ( d为常数) ，则{ a n }为等差数列。 ⑵[任意两项] 若数列 {a n }满足 a m－a n＝(m－n )d ，则{ a n }为等差数列。 ⑶[任意一项与首项] 若数列 {a n }满足 a n＝a1＋(n－1)d ，则{ a n }为等差数列。
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⑷[通项表达式的函数类型] 若数列 an＝kn + b ，则{ a n }为等差数列。 ⑸[任意相邻三项] 若数列 {a n }满足 2a n＝a n－1＋a n＋1 ，则{ a n }为等差数列。 ⑹[任意不相邻三项] 若数列 {a n }满足 a n＋m＝
ma m－na n ma m－na n ，则{ a n }为等差数列。即为 a n＋m＝ m－n m－n
高中数学等差数列 高中数学等差数列综合讲义 等差数列综合讲义
（知识点深入解析+高考全部题型） 高考全部题型）
一、研究概念 研究概念
Y1：背景： 背景： 杨辉三角：第一层放 n 个球，第二层放 (n－1) 个球，……，第 n 层放 1 个球。从第二层起，每层比前 一层少放 1 个球，形成一个等差数列。 定义：一般地一个数列 {a n }，从第二项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，则这个数列 {a n }为 等差数列。 Y2： 结构
n(a1＋a n ) ，则 {a n }为等差数列。 2
若 S n＝na1＋ n(n－1)d ，则 {a n }为等差数列。 若 S n＝An ＋Bn ，则 {a n }为等差数列， a1＝A＋B ， d＝2 A
2
1 2
⑾[各项加上常数] 若 {a n }为等差数列，则 {a n＋c} 为等差数列。 ⑿[各项乘以一个常数] 若 {a n }为等差数列，则 {ka n }为等差数列。 ⒀[前 n 项和] 若 {a n }为等差数列，则 {S k , S 2k－S k , S 3k－S 2 k ,......}也是等差数列，首项为 Sk ，公差为 k d
⑺[ k 项子数列] 若 {a n }为等差数列，则每隔 k 项抽出来的子数列也是等差数列，公差为 kd ⑻[特殊三项] 若数列 {a n }满足 a p＋a q＝a p＋q ， p, q 任意，则 {a n }为首项与公差相等的等差数列。 ⑻[任意四项] 若数列 {a n }满足 m＋n＝p＋q 且 a m＋a n＝a p＋a q ，则{ a n }为等差数列。 ⑼[前 n 项和] 若 S n＝
公差d为0的等差数列 即常数列 [公差 d 与 0] 公差d大于0的等差数列 即递增等差数列 公差d不为0的等差数列 ⊃ 公差d小于0的等差数列 即递减等差数列
a1 为1的等差数列 [ a1 与 1] a1 大于1的等差数列 a1 不为1的等差数列 ⊃ a1 小于1的等差数列 首项为0的等差数列 [ a1 与 0] 首项大于0的等差数列 首项不为0的等差数列 ⊃ 首项小于0的等差数列
{
}
a2 , a3 , a5 , a7 , a11 , …… ⑸ [项数为合数] ∋ a4 , a6 , a8 , a9 , a10 , …… [项数即不是质数也不是合数] a1 [项数为质数] a1 , a k＋1 , a 2 k＋1 , a 3k＋1 , a 4 k＋1 , ……，a k 2＋1 , a k 2 + k +1 ⋯ a 2 , a k＋2 , a 2 k＋2 , a 3k＋2 , a 4 k＋2 , ……，a k 2＋2 , a k 2 + k + 2 ⋯ ⑹ [ k项为一项组] ∋ …… a , a , a m k＋m 2 k＋m , a3k＋m , a 4 k＋m , ……，a k 2＋m , a k 2 + k + m ⋯
公差d＝ a m－a n m－n
⑶[任意两项] a m－a n＝(m－n ) × d 或 a m＝a n＋(m－n ) × d
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⑷[任意两项] a m＋n＝a m＋nd ⑸[相邻三项] 2a n＝a n－1＋a n＋1 ⑹[不相邻三项] a n＋m＝
a m＋n＝a n＋md a n＋a n－1＋a n＋1＝3a n
ma m－na n m－ n
则 a m＋a n＝a p＋a q
⑺[四项] 若 m＋n＝p＋q 若 m＋n＝2k
则 a m＋a n＝2a k 则 a m＋a n＋a p＝a q＋a s＋at
⑻[多项] 若 m＋n＋p＝q＋s＋t
⑼[前 n 项和] S n＝ Y3：分类： 分类：
n(a1＋a n ) 1 ＝na1＋ n(n－1)d 2 2
2
⒁[等比构造等差] 若 {a n }为等比数列，则 {log r a n } r＞0且r ≠ 1 是等差数列。 ⒂[前 n 项] 若 {a n }为等差数列，则
构成 本质
⑴[自然数项] 等差数列 ∋ {a1, a 2 , a 3 …… a n } 公差为 d ⑵[奇数项] 等差数列 ∋ {a1, a3 , a5 …… a 2n－1 } 首项为 a1 ， 公差为 2d ⑶[偶数项] 等差数列 ∋ {a2 , a 4 , a 6 …… a 2 n } 首项为 a2 ，公差为 2d ⑷[间隔 m 项]等差数列 ∋ a m , a2m , a3m …… akm 首项为 a m ，公差为 md
+
公差为 kd
本质： ⑴[相邻两项]
a n＋1－a n＝d （ d 为常数）
⑵[任意一项与首项]
an＝a1＋(n－ 1) × d → d＝
an－a1 (n ≠ 1) n－ 1
[ ຫໍສະໝຸດ Baidu 与 1]
d 大于1的等差数列 d 小于等于1的等差数列
[项的正负]
正的等差数列 负的等差数列 公差与首项相等的等差数列 公差与首项不相等的等差数列
[公差与首项] Y4：判定： 判定：
⑴[相邻两项] 若数列 {a n }满足 a n－a n－1＝d ( d为常数) ，则{ a n }为等差数列。 ⑵[任意两项] 若数列 {a n }满足 a m－a n＝(m－n )d ，则{ a n }为等差数列。 ⑶[任意一项与首项] 若数列 {a n }满足 a n＝a1＋(n－1)d ，则{ a n }为等差数列。
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⑷[通项表达式的函数类型] 若数列 an＝kn + b ，则{ a n }为等差数列。 ⑸[任意相邻三项] 若数列 {a n }满足 2a n＝a n－1＋a n＋1 ，则{ a n }为等差数列。 ⑹[任意不相邻三项] 若数列 {a n }满足 a n＋m＝
ma m－na n ma m－na n ，则{ a n }为等差数列。即为 a n＋m＝ m－n m－n
高中数学等差数列 高中数学等差数列综合讲义 等差数列综合讲义
（知识点深入解析+高考全部题型） 高考全部题型）
一、研究概念 研究概念
Y1：背景： 背景： 杨辉三角：第一层放 n 个球，第二层放 (n－1) 个球，……，第 n 层放 1 个球。从第二层起，每层比前 一层少放 1 个球，形成一个等差数列。 定义：一般地一个数列 {a n }，从第二项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，则这个数列 {a n }为 等差数列。 Y2： 结构
n(a1＋a n ) ，则 {a n }为等差数列。 2
若 S n＝na1＋ n(n－1)d ，则 {a n }为等差数列。 若 S n＝An ＋Bn ，则 {a n }为等差数列， a1＝A＋B ， d＝2 A
2
1 2
⑾[各项加上常数] 若 {a n }为等差数列，则 {a n＋c} 为等差数列。 ⑿[各项乘以一个常数] 若 {a n }为等差数列，则 {ka n }为等差数列。 ⒀[前 n 项和] 若 {a n }为等差数列，则 {S k , S 2k－S k , S 3k－S 2 k ,......}也是等差数列，首项为 Sk ，公差为 k d
⑺[ k 项子数列] 若 {a n }为等差数列，则每隔 k 项抽出来的子数列也是等差数列，公差为 kd ⑻[特殊三项] 若数列 {a n }满足 a p＋a q＝a p＋q ， p, q 任意，则 {a n }为首项与公差相等的等差数列。 ⑻[任意四项] 若数列 {a n }满足 m＋n＝p＋q 且 a m＋a n＝a p＋a q ，则{ a n }为等差数列。 ⑼[前 n 项和] 若 S n＝
公差d为0的等差数列 即常数列 [公差 d 与 0] 公差d大于0的等差数列 即递增等差数列 公差d不为0的等差数列 ⊃ 公差d小于0的等差数列 即递减等差数列
a1 为1的等差数列 [ a1 与 1] a1 大于1的等差数列 a1 不为1的等差数列 ⊃ a1 小于1的等差数列 首项为0的等差数列 [ a1 与 0] 首项大于0的等差数列 首项不为0的等差数列 ⊃ 首项小于0的等差数列
{
}
a2 , a3 , a5 , a7 , a11 , …… ⑸ [项数为合数] ∋ a4 , a6 , a8 , a9 , a10 , …… [项数即不是质数也不是合数] a1 [项数为质数] a1 , a k＋1 , a 2 k＋1 , a 3k＋1 , a 4 k＋1 , ……，a k 2＋1 , a k 2 + k +1 ⋯ a 2 , a k＋2 , a 2 k＋2 , a 3k＋2 , a 4 k＋2 , ……，a k 2＋2 , a k 2 + k + 2 ⋯ ⑹ [ k项为一项组] ∋ …… a , a , a m k＋m 2 k＋m , a3k＋m , a 4 k＋m , ……，a k 2＋m , a k 2 + k + m ⋯
公差d＝ a m－a n m－n
⑶[任意两项] a m－a n＝(m－n ) × d 或 a m＝a n＋(m－n ) × d
第 1 页 共 11 页
⑷[任意两项] a m＋n＝a m＋nd ⑸[相邻三项] 2a n＝a n－1＋a n＋1 ⑹[不相邻三项] a n＋m＝
a m＋n＝a n＋md a n＋a n－1＋a n＋1＝3a n
ma m－na n m－ n
则 a m＋a n＝a p＋a q
⑺[四项] 若 m＋n＝p＋q 若 m＋n＝2k
则 a m＋a n＝2a k 则 a m＋a n＋a p＝a q＋a s＋at
⑻[多项] 若 m＋n＋p＝q＋s＋t
⑼[前 n 项和] S n＝ Y3：分类： 分类：
n(a1＋a n ) 1 ＝na1＋ n(n－1)d 2 2
2
⒁[等比构造等差] 若 {a n }为等比数列，则 {log r a n } r＞0且r ≠ 1 是等差数列。 ⒂[前 n 项] 若 {a n }为等差数列，则
构成 本质
⑴[自然数项] 等差数列 ∋ {a1, a 2 , a 3 …… a n } 公差为 d ⑵[奇数项] 等差数列 ∋ {a1, a3 , a5 …… a 2n－1 } 首项为 a1 ， 公差为 2d ⑶[偶数项] 等差数列 ∋ {a2 , a 4 , a 6 …… a 2 n } 首项为 a2 ，公差为 2d ⑷[间隔 m 项]等差数列 ∋ a m , a2m , a3m …… akm 首项为 a m ，公差为 md