2014·新课标全国卷2(理科)

2014·新课标全国卷2(理科)
2014·新课标全国卷Ⅱ(理科数学) 1．A1[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝() A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}
1．D[解析] 集合N＝[1，2]，故M∩N＝{1，2}．
2．L4[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()
A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i
2．A[解析] 由题知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.
3．F3[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a，b 满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝() A．1 B．2 C．3 D．5
3．A[解析] 由已知得|a＋b|2＝10，|a－b|2＝6，两式相减，得4a·b＝4，所以a·b＝1.
4．C8[2014·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形
ABC的面积是1
2，AB＝1，BC＝2，则AC＝()
A．5 B. 5 C．2 D．1
4．B[解析] 根据三角形面积公式，得1 2
BA·BC·sin B＝1
2，即
1
2×1×2×sin B＝
1
2，得
图1-1
A.1727
B.59
C.1027
D.13
6．C [解析] 该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积为π×32×2＋π×22×4＝34π(cm 3)，原毛坯的体积为π×32×6＝54π(cm 3)，切削掉部分的体积为54π－34π＝20π(cm 3)，
故所求的比值为20π54π＝1027
. 7．L1[2014·新课标全国卷Ⅱ] 执行如图1-2所示的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )
图1-2
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
7．D [解析] 逐次计算，可得M ＝2，S ＝5，k ＝2；M ＝2，S ＝7，k ＝3，此时输出S ＝7.
8．B11[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8．D [解析] y ′＝a －1x ＋1
，根据已知得，当x ＝0时，y ′＝2，代入解得a ＝3.
9．E5[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足
约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，
则z ＝2x －y 的最大值为( )
A ．10
B ．8
C ．3
D ．2
9．B [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (5，2)处取得最大值，故目标函数的最大值为2×5－2＝8.
10．H7、H8[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94
10．D [解析] 抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫34，0，则过点F 且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33
⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x －34，即x ＝3y ＋34，代入抛物线方程得y 2－3 3y －94
＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝3 3，y 1y 2＝－94，则S △OAB ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12×34
×（33）2－4×⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－94＝94. 11．G3[2014·新课标全国卷Ⅱ] 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )
A.110
B.25
C.3010
D.22
11．C [解析] 如图，E 为BC 的中点．由于M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，故MN ∥B 1C 1
且MN ＝12
B 1
C 1，故MN 綊BE ，所以四边形MNEB
为平行四边形，所以EN 綊BM ，所以直线AN ，NE 所成的角即为直线BM ，AN 所成的角．设
BC ＝1，则B 1M ＝12B 1A 1＝22，所以MB ＝1＋12＝62＝NE ，AN ＝AE ＝52
， 在△ANE 中，根据余弦定理得cos ∠ANE ＝64＋54－542×62×52
＝3010. 12．E3、C4] 设函数
f (x )＝3sin πx m
，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)
B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
12．C [解析] 函数f (x )的极值点满足πx m
＝π2＋k π，即x ＝m ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，
问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫k 0＋122＋3<m 2.因为⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫k ＋122
的最小值为14，所以只要14m 2＋3<m 2成立即可，即m 2>4，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
13．J3 [2014·新课标全国卷Ⅱ] (x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________．(用数字填写答案)
13.12
[解析] 展开式中x 7的系数为C 310a 3＝15，
即a 3＝18，解得a ＝12
. 14．C3、C5[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．
14．1 [解析] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin x ，故其最大值为1.
15．B4[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．
15．(－1，3) [解析] 根据偶函数的性质，易知f (x )>0的解集为(－2，2)，若f (x －1)>0，则－2<x －1<2，解得－1<x <3.
16．C8、C9[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．
16．[－1，1] [解析] 在△OMN 中，OM ＝1＋x 20≥1＝ON ，所以设∠ONM ＝α，则45°≤
α<135°.根据正弦定理得1＋x 20sin α＝1sin 45°
，所以1＋x 20＝2sin α∈[1，2]，所以0≤x 20≤1，
即－1≤x 0≤1，故符合条件的x 0的取值范围为[－1，1]．
17．D1、D3、D5[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.
(1)证明⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；
(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32. 17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12
＝3⎝
⎛⎭⎪⎪⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n
2
，因此数列{a n }
的通项公式为a n ＝3n －12
. (2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1
. 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，
所以13n －1≤12×3n －1，即1a n
＝23n －1≤13n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13
n －1＝32⎝
⎛⎭⎪⎪⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2
＋…＋1a n <32. 18．G4、G10[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-3，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．
(1)证明：PB ∥平面AEC ；
(2)设二面角D -AE -C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E -ACD 的体积．
图1-3
18．解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO .
因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．
又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .
因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .
(2)因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．
如图，以A 为坐标原点，AB
→，AD ，AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，|AP
→|为单位长，建立空间直角坐标系A -xyz ，则D ⎝⎛⎭⎫0，3，0，
E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝
⎛⎭⎪⎫0，32，12.
设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC
→＝(m ，3，0)．
设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，
则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12
z ＝0， 可取n 1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量，
由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝12
，即
33＋4m
2＝12，解得m ＝3
2. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E -ACD 的高为12.三棱锥E -ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38
. 19．I4[2014·新课标全国卷Ⅱ] 某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号t
1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)求y 关于t 的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b ^＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!.
19．解：(1)由所给数据计算得t －＝17
(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y －＝17
(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
错误!(t i －错误!)(y i －错误!)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
b ^＝错误!＝错误!＝0.5，
a ^＝y －－
b ^t －＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.
(2)由(1)知，b ^＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t ＝9，代入(1)中的回归方程，得y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
20．H5、H8、H10[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设
F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .
(1)若直线MN 的斜率为34
，求C 的离心率； (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝
5|F 1N |，求a ，b .
20．解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .
将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，
解得c a ＝12，c a
＝－2(舍去)． 故C 的离心率为12
. (2)由题意知，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是
线段MF 1的中点，故b 2a
＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.
设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则
⎩⎨⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.
代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.② 将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2
＋14a
＝1， 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.
21．B12、B14[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知
函数f (x )＝e x －e －x －2x .
(1)讨论f (x )的单调性；
(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x ＞0时，g (x )＞0，求b 的最大值；
(3)已知1.414 2＜2＜1.414 3，估计ln 2的
近似值(精确到0.001)．
21．解：(1)f ′(x )＝e x ＋e －x －2≥0，当且仅当
x ＝0时，等号成立，
所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．
(2)g (x )＝f (2x )－4bf (x )＝e 2x －e －2x －4b (e x －e
－x )＋(8b －4)x ，
g ′(x )＝2[e 2x ＋e －2x －2b (e x ＋e －x )＋(4b －2)]
＝2(e x ＋e －x －2)(e x ＋e －x －2b ＋2)．
(i)当b ≤2时，g ′(x )≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．而g (0)＝0，所以对任意x >0，g (x )>0.
(ii)当b >2时，若x 满足2<e x ＋e －x <2b －2，
即0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g ′(x )<0.而g (0)＝0，因此当0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g (x )<0.
综上，b 的最大值为2.
(3)由(2)知，g (ln 2)＝32
－22b ＋2(2b －1)ln 2.
当b ＝2时，g (ln 2)＝32
－42＋6ln 2>0，ln 2>82－312
>0.692 8； 当b ＝324
＋1时，ln(b －1＋b 2－2b )＝ln 2，
g (ln 2)＝－32
－22＋(32＋2)ln 2<0，
ln 2<18＋228
<0.693 4. 所以ln 2的近似值为0.693.
22．N1[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-1：几何证明选讲
如图1-4，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，证明：
(1)BE ＝EC ；
(2)AD ·DE ＝22图1-4
22．证明：(1)连接AB ，AC .由题设知PA ＝PD ，
故∠PAD ＝∠PDA .
因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ，
∠PAD ＝∠BAD ＋∠PAB ，
∠DCA ＝∠PAB ，
所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ＝EC . 因此BE ＝EC .
(2)由切割线定理得PA ＝PB ·PC .
因为PA ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB .
由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，
所以AD ·DE ＝2PB 2.
23．N3[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐
标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；
(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．
23．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．
可得C 的参数方程为
⎩⎨⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t ，
(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，
tan t ＝3，t ＝π3
. 故D 的直角坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 24．N4[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-5：不等式选讲
设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)． (1)证明：f (x )≥2；
(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．
24．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a ＋a ≥2，所以f (x )≥2.
(2)f (3)＝⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a
， 由f (3)<5得3<a <5＋212. 当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a
，由f (3)<5得1＋52
<a ≤3.
综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52
，5＋212.。