高一数学函数的单调性与奇偶性课后作业(基础题)
高一数学函数的单调性与奇偶性 试题
高一数学函数的单调性与奇偶性本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、函数的单调性初中时我们学过，对于一次函数y＝x+1，y随着x的增大而增大，我们称之为增函数；y＝-x+l，y随着x的增大而减小，我们称之为减函数。
那么如何定义呢?用数学符号语言如何表达呢?1．定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D：在定义域内的某个区间上任取x1，x2，且x1＜x2，假设都有f(x1)＜f(x2)，那么称f(x)是单调增函数；在定义域内的某个区间上任取x1，x2，且x1＜x2，假设都有f(x1)＞f(x2)，那么称f(x)是单调减函数；假设函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或者减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间。
理解：初中的说法是描绘性的语言，通俗易懂；而高中的定义表达了自变量的变化关系决定因变量的变化关系。
分为两个层次，一是在哪个范围上研究，二是符号语言是怎么样的。
今后学习奇偶性，周期性都是这样定义的。
注：(1)单调函数是对整个定义域而言的，单调性是一个部分概念，是针对定义域内某个区间而言的，通常谈到单调性都会注明单调区间。
(2)单调区间能写闭区间的最好写闭区间，假设在区间的端点处没有定义，那么写成开区间。
比方，反比例函数不是单调函数，但是它在(-∞,0)上是减函数，在(0，+∞)上也是减函数。
我们把(-∞，0)和(0，+∞)叫的单调减区间。
假设表示为(-∞,0)∪(0,+∞)是不对的。
如右图所示的函数，单调区间是R，它是单调函数。
假设去掉点(0，1)，那么单调区间是(-∞，0)∪(0，+∞)。
例1．证明函数在[0，+∞〕上是增函数。
分析：判断函数在某一区间上的单调性，从图象上观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格证明，需要从单调函数的定义入手。
证明：设x1≥0，x2＞0，且x1＜x2，那么，∵0≤x1<x2, ∴ x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0 即f(x1)<f(x2)由定义知，在[0，+∞)上是增函数。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.画出函数y＝|x－1|的图象，并根据图象写出函数的单调区间，以及在各单调区间上，函数是增函数还是减函数。
【答案】见解析【解析】对于画含绝对值的函数的图像，先去绝对值号（注意一定要明确自变量的取值范围，选择与之对应的对应关系），写成分段函数，画出函数图像，函数图象从左到右上升的区间为增区间，下降的区间为减区间，结合图象可得答案．试题解析：由y＝|x－1|=画出函数的图像，可得函数的单调区间是，1）减函数，）增函数。
【考点】查函数的单调性，数形结合是解决问题的关键2.函数的最小值为．【答案】5.【解析】首先将函数化简为，该式子可以看作是点到两个定点、的距离.即将求“函数的最小值”问题转化为“求的最小值” ，作出函数图像如下图所示，过点作其关于轴的对称点，连接，交轴于点.此时由三角形的两边之和大于第三边可得：此时取得最小值，即，即为所求.【考点】直线方程的应用.3.已知奇函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角且，则下列结论正确的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵奇函数在[-1,0]上是减函数，∴在[0,1]上是增函数，又∵是锐角三角形两内角，∴，又∵，∴，∴，B正确，A错误；.对于C,D：∵为锐角三角形两内角，∴，∴，即，∴，∴C正确，D错误.【考点】1、奇函数单调性的判断；2、三角函数值的大小比较.4.下列函数在其定义域上，既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由奇函数和减函数的概念可知选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数增减性.5.设定义域为的函数（Ⅰ）在平面直角坐标系内作出函数的图象，并指出的单调区间（不需证明）；（Ⅱ）若方程有两个解，求出的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）. （Ⅲ）设定义为的函数为奇函数，且当时，求的解析式.【答案】（Ⅰ）作图岁详解．单增区间：，，单减区间，；（Ⅱ）或；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）利用一次函数、二次函数的图象及对称性可作出图象，然后根据图象可写单调区间；（Ⅱ）考虑直线与函数的图象只有两个交点时，写出满足的条件；（Ⅲ）当时，，由此可得到的解析式，然后利用函数奇偶性可求得的解析式，又由奇函数的特性易知，进而可求得的解析式．试题解析：（Ⅰ）如图.单增区间：，，单减区间，．（Ⅱ）在同一坐标系中同时作出图象，由图可知有两个解，须或，即或．（Ⅲ）当时，，因为为奇函数，所以，且，所以．【考点】1、分段函数的图象；2、函数单调性及奇偶性．6.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度x的一次函数．（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【解析】(1)分析可知当时，车流速度为常数所以此时。
人教A版高中数学必修第一册课后习题 第3章 函数的概念与性质 习题课 单调性与奇偶性的综合应用
第三章习题课单调性与奇偶性的综合应用A级必备知识基础练1.(多选题)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的是( )A.这个函数有2个单调递增区间B.这个函数有3个单调递减区间C.这个函数在其定义域内有最大值7D.这个函数在其定义域内有最小值-72.下列函数是奇函数,且在(0,+∞)上为增函数的是( )A.y=x2B.y=x-1xC.y=x+1x D.y=x-1x3.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有( )A.f(-1)>f(2)>f(-3)B.f(2)>f(-1)>f(-3)C.f(-3)>f(-1)>f(2)D.f(-1)>f(-3)>f(2)4.若奇函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f(x)在区间[1,2]上( )A.单调递增,且有最小值为f(1)B.单调递增,且有最大值为f(1)C.单调递减,且有最小值为f(2)D.单调递减,且有最大值为f(2)5.若函数f(x+3是R上的偶函数,则f(-1),f(-√2),f(√3)的大小关系为( )A.f(√3)>f(-√2)>f(-1)B.f(√3)<f(-√2)<f(-1)C.f(-√2)<f(√3)<f(-1)D.f(-1)<f(√3)<f(-√2)6.f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是( )A.f(0)<f(6)B.f(3)>f(2)C.f(-1)<f(3)D.f(2)>f(0)7.[安徽宿州高一月考]已知奇函数f(x)在定义域R上是增函数,则不等式f(4x-3x2)+f(7)>0的解集是.8.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数.若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.B级关键能力提升练9.(多选题)关于函数y=f(x),y=g(x),下述结论正确的是( )A.若y=f(x)是奇函数,则f(0)=0B.若y=f(x)是偶函数,则y=|f(x)|也是偶函数C.若y=f(x)(x∈R)满足f(1)<f(2),则f(x)在区间[1,2]上单调递增D.若y=f(x),y=g(x)均为R上的增函数,则y=f(x)+g(x)也是R上的增函数10.设f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且f(x)在[0,1)上单调递减,f-12 =1,则f(x)<1的解集为.11.[江苏扬州高一月考]已知函数f(x)=x|x|,则满足f(x)+f(3x-2)≥0的x的取值范围是.(用区间表示)参考答案习题课 单调性与奇偶性的综合应用1.BC 根据偶函数的图象关于y 轴对称,可得它在定义域[-7,7]上的图象,如图所示,因此这个函数有3个单调递增区间,3个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不能确定,故选BC.2.D y=x 2为偶函数,不符合条件;y=f(x)=x -1x=1-1x为非奇非偶函数,不符合题意;y=x+1x 为奇函数,但在(0,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增,不符合题意;y=x-1x 为奇函数,而y=x-1x 在(0,+∞)上单调递增,故选D.3.A 由y=f(x)为偶函数,则f(-1)=f(1),f(-3)=f(3),又因为函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,所以f(1)>f(2)>f(3),即f(-1)>f(2)>f(-3),故选A.4.C 根据奇函数的图象关于原点对称,所以其在y 轴两侧单调性相同,因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.5.B ∵函数f(x+3是R 上的偶函数,∴f(--1)=0,即f(x)=-x 2+3.∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,∴f(-1)>f(-√2)>f(-√3)=f(√3).即f(√3)<f(-√2)<f(-1),故选B. 6.C ∵f(x)是偶函数,∴f(1)=f(-1), 又f(3)>f(1),故f(3)>f(-1).故选C.7.{x |-1<x <73} ∵f(4x-3x 2)+f(7)>0,∴f(4x-3x 2)>-f(7).又f(x)为定义域R 上的奇函数, ∴f(4x-3x 2)>f(-7).∵f(x)在定义域R 上是增函数,∴4x-3x 2>-7,解得-1<x<73,故原不等式的解集为{x |-1<x <73}.8.解∵f(x)为奇函数,∴f(1-a 2)=-f(a 2-1), ∴f(1-a)+f(1-a 2)<0,则f(1-a)<-f(1-a 2),即f(1-a)<f(a 2-1). ∵f(x)在定义域(-1,1)上是减函数, ∴{1-a >a 2-1,-1<1-a <1,-1<a 2-1<1,解得0<a<1, 故实数a 的取值范围为(0,1).9.BD 若y=f(x)是奇函数,当定义域不包含0时不成立,故A 错误;若y=f(x)是偶函数,f(x)=f(-x),故|f(x)|=|f(-x)|,y=|f(x)|也是偶函数,B 正确;举反例:f(x)=x-432满足f(1)<f(2),在[1,2]上不单调递增,故C 错误;设x 1<x 2,则[f(x 2)+g(x 2)]-[f(x 1)+g(x 1)]=[f(x 2)-f(x 1)]+[g(x 2)-g(x 1)]>0,故y=f(x)+g(x)也是R 上的增函数,故D 正确. 10.-1,-12∪12,1 ∵f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,∴f12=f -12=1,则不等式f(x)<1为f(x)<f 12,则f(|x|)<f12.∵f(x)在[0,1)上单调递减,∴|x|>12,解得x<-12或x>12.又定义域为(-1,1),故不等式的解集为-1,-12∪12,1.11.12,+∞ 由题意f(x)=x|x|,其定义域为R,关于原点对称,f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),所以函数f(x)是奇函数. 又f(x)=x|x|={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,所以函数f(x)在R 上单调递增,则f(x)+f(3x-2)≥0,即f(x)≥-f(3x-2)=f(-3x+2),又函数单调递增,所以x≥-3x+2,解得x≥12.。
高中数学-正弦函数、余弦函数的性质(单调性和奇偶性)课后练习
高中数学-正弦函数、余弦函数的性质（单调性和奇偶性）课后练习基础达标1.函数f(x)=sin(2x+23π)的奇偶性为（ ） A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数 解析：∵f(x)=sin(2x+2π+π)=-sin(2π+2x)=-cos2x 由于y=-cos2x 是偶函数. ∴f(x)=sin(2x+23π)为偶函数.故选B. 答案：B2.下列命题中正确的个数是（ ） ①y=sinx 的递增区间是［2kπ,2kπ+2π］(k∈Z ) ②y=sinx 在第一象限是增函数 ③y=sinx 在［-2π，2π］上是增函数 A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 解析：①y=sinx 的递增区间是［2kπ-2π,2kπ+2π］,k∈Z . ②函数的单调性是相对于某一区间来说，与所在象限无关.③正确，故选A. 答案：A3.函数y=2-sinx 的最大值及取最大值时x 的值为( )A.y=3,x=2π B.y=1,x=2π+2kπ(k∈Z ) C.y=3,x=-2π+2kπ(k∈Z ) D.y=3,x=2π+2kπ(k∈Z )解析：要求y=2-sinx 的最大值,sinx 取最小值.答案：C4.下列不等式中成立的是（ ）A.sin(8π-)＜sin(10π-) B.sin(π521-)＜sin(π417-) C.sin3＞sin2 D.sin 57π＞sin(52-π)解析：∵-2π＜8π-＜10π-＜0，且y=sinx 在（-2π，0）上是增函数，∴si n(8π-)＜sin(10π-).答案：A 5.下列函数，在［2π，π］上是增函数的是（ ） A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin2x D.y=cos2x解析：①将x=2π与x=π代入可得；②结合图象求解；③结合正、余弦函数的单调性求解. 答案：D6.使函数y=sin(2x+φ)为奇函数的φ值可以是（ ） A.4π B.2πC.πD.23π解析：代入验证法，当φ=π时，y=sin(2x+π)=-sin2x 为奇函数.答案：C 综合运用7.函数y=xx sin 192+-的定义域是（ ）A.［-3，0）B.（0，3］C.［-3，3］D.（2kπ,2kπ+π）(k∈Z ) 解析：函数的定义域由下列不等式组解得：⎩⎨⎧+<<≤≤-⇔⎩⎨⎧>≥-,)12(2,33,0sin ,092ππk x k x x x ⇔0＜x≤3. 答案：B8.函数y=3cos 2x-4cosx+1,x∈［3π,32π］的最小值是（ ） A.31-B.415C.0D.41- 解析：y=3(cos 2x-34cosx+94)+1-34=3(cosx-32)2-31.∵x∈［3π,32π］,∴cosx∈［-21,21］,当cosx=21时，y 取到最小值且y 最小=3（3221-）2-31=41-.答案：D9.设函数f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函数，则t 的一个可能值是______________. 答案：4π，π43，…，4)12(+k π,k∈Z 中的一个拓展探究10.已知函数f(x)=sin 2x+acosx+2385-a 在x∈［0,2π］上的最大值为1，求实数a 的值. 解析：本题通过换元转化为二次函数问题.但对称轴变化，区间给定，故需要对a 进行分类讨论.解：设cosx=t,则f(x)=1-cos 2x+acosx+85a-23=-(t-2a )2+218542-+a a . ∴0≤x≤2π, ∴0≤cosx≤1，即t∈［0,1］. (1)当0≤a≤2时，则t=2a时， f(x)max =218542-+a a ,令218542-+a a =1,得a=23.(a=-4舍去). （2）当a ＜0时，当t=0时，f(x)max =2185-a ,令2185-a =1得a=512＞0(舍去). (3)当a ＞2时，则t=1时，f(x)max =a+2385-a =1,所以a=1320＜2(舍去).综上可知a=23.备选习题11.函数y=sinx+|sinx|的最大值是__________，最小值是__________. 解析：y=)0(sin )0(sin 0sin 2<≥⎩⎨⎧x x x 或者结合函数的图象求解.答案：2 012.下列命题:①点（kπ,0）是正弦曲线的对称中心（k∈Z ）； ②点（0，0）是余弦曲线y=cosx 的一个对称中心； ③把余弦函数y=cosx 的图象向左平移2π个单位，即得y=sinx 的图象; ④在余弦曲线y=cosx 中，最高点与它相邻的最低点的水平距离是2π； ⑤在正弦曲线y=sinx 中，相邻两个最高点的水平距离是2π； 其中正确命题的序号是__________________. 解析：②错,是因为y=cosx 的对称中心是（kπ+2π,0）k∈Z ; ③错，是由于得到的是y=-sinx; ④错，是由于所得水平距离为π; ①⑤正确可由正弦函数的性质得到. 答案：①⑤13.判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=lg(1-sinx)-lg(1+sinx); (2)f(x)=x·cosx2. 解：(1)先求定义域：⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧>+>-1sin 1sin 0sin 10sin 1x x x x ⇒-1＜sinx ＜1, ∴x≠kπ+2π,k∈Z ,定义域关于原点对称. ∵f(-x)=lg(1+sinx)-lg(1-sinx)=-［lg(1-sinx)-lg(1+sinx)］=-f(x).∴原函数为奇函数.(2)f(-x)=-x·cos(-x2)=-x·cosx2=-f(x), ∴原函数是奇函数.14.求下列函数的单调区间. （1）y=sin(3x-3π);(2)y=cos(-2x+3π). 解：(1)令3x-3π=u ,y=sinu 的单调增区间为［2k π-2π,2k π+2π］,(k∈Z ). 即2kπ-2π≤3x -3π≤2kπ+2π.∴原函数单调增区间为［18532,1832ππππ+-k k ］(k∈Z ). 又y=sin u 的单调减区间为［2kπ+2π,2kπ+23π］,(k∈Z ),即2kπ+2π≤3x -3π≤2kπ+23π,∴原函数的单调减区间为［181132,18532ππππ++k k ］(k∈Z ). (2)∵y=cos(-2x+3π)=cos(2x-3π),令2x-3π=u,y=cosu 的单调增区间为［2kπ-π,2kπ］,(k∈Z )即2kπ-π≤2x -3π≤2kπ,解得：kπ-3π≤x≤kπ+6π(k∈Z ).∴原函数的增区间为：［kπ-3π,kπ+6π］,k∈Z .∵y=cosu 的单调减区间为［2kπ,2kπ+π］,k∈Z .即：2kπ≤2x -3π≤2kπ+π,解得:kπ+6π≤x≤kπ+32π,k∈Z . ∴原函数的减区间为［kπ+6π,kπ+32π］,k∈Z .15.求下列函数的定义域: （1）y=)sin(cos x ;(2)y=x cos 21-+lg(2sinx-1)的定义域.解：（1）要使y=)sin(cos x 有意义，须有sin(cosx)≥0，又因-1≤cosx≤1,必有0≤cosx≤1，由下图甲可知：2kπ-2π≤x≤2kπ+2π,k∈Z .图甲所以原函数的定义域为： {x|-2π+2kπ≤x≤2π+2kπ,k∈Z }. (2)要使函数有意义，只要⎩⎨⎧>-≥-,01sin 2,0cos 21x x即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤.21sin ,21cos x x 由图乙可得：图乙cosx≤21的解集为{x|3π+2kπ≤x≤35π+2kπ,k∈Z }.sin ＞21的解集为{x|6π+2kπ＜x ＜65π+2kπ,k∈Z }.它们的交集{x|3π+2kπ≤x＜65π+2kπ,k∈Z }即为函数的定义域.。
专题33 三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性题2021高中数学必做黄金100题(解析版
一．题源探究·黄金母题
（求函数 的单调递增区间．
【解析】设 ，函数 的单调递增区间为 ．由 ，得 ．易知 ．
【试题来源】人教版A版必修4第39页例5．
【母题评析】本题考查三角函数单调区间的求法，是历年来高考的一个常考点．
【思路方法】限定区间上三角函数单调区间的求法：先用整体思想求
【技能方法】解决三角函数的单调性有关的问题，要结合函数的图象及其性质。
考向6已知三角函数的奇偶性、对称性或周期求参数的值
已知函数 （ ， ），其图像与直线 相邻两个交点的距离为 ，若 对于任意的 恒成立，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，可得 ，
∵函数 （ ， ）的图像与直线 相邻两个交点的距离为 ，
∴函数 的图象与直线 相邻两个交点的距离为 ，
∴函数 的周期为 ，故 ，∴ ．∴ ．
由题意得“ 对于任意的 恒成立”等价于“ 对于任意的 恒成立”．∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
故结合所给选项可得C正确．选C．
【技能方法】本题难度较大，解题时根据题意得 在 上的取值范围是 的子集去处理，由此通过不等式可得 的范围，结合选项得解．
④将 的图象向右平移 个单位可得到图像 ．
【答案】①②③
【解析】对于 ，
令 ，求得f(x)=−1，为函数的最小值，故它的图象C关于直线 对称故①正确．
令x= ，求得f(x)=0，可得它的图象C关于点( ，0)对称，故②正确．
令 ，可得 ，故函数f(x)在区间 是增函数，故③正确，
由 的图象向右平移 个单位长度可以得到 故排除④，
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等．
高一数学必修1函数的单调性和奇偶性专题训练(题型全)
专题 抽象函数的单调性和奇偶性一、选择题1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,32．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（ ） A . 2 B . 4 C . 6 D . 83．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（ ）学=科网A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（ ） A . ()()()201f f f ->> B . ()()()102f f f >>- C . ()()()210f f f ->> D . ()()()120f f f >-> 5．已知偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是（ ）A .B .C .D .6． ()(),f x g x 是定义在R 上的函数， ()()()h x f x g x =+若()(),f x g x 均为奇函数则下列说法不正确的是（ ）A . 一定是奇函数B . 不可能是偶函数C . 可以是偶函数D . 不可能是非奇非偶函数7．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a <<8．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ）A . []1,2B . []3,5C . []1,1-D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．【河北省定州市2016-2017学年期末】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是 （ ）A . ()()()123f f f -<<B . ()()()234f f f <<-C . ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D . ()()()531f f f <-<-二、填空题10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f =. 若实数a满足()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围是____________．11．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x 的取值范围是______________． 12．已知定义在上的函数满足，且，若，则实数的取值范围为______.学*科网13．定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<，则实数m 的取值范围是____________．14．定义在R 上的偶函数()f x 在(),0-∞上是减函数且()10f =，则不等式12log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为__________．15．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在[)0,+∞上单调增，且()21f =，则满足()11f x ->的x 的取值范围是_______________.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-.若1132f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 182log 1f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为__________．三、解答题17．已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数，对于任意的0,0x y >>，都有()()()f xy f x f y =+，且满足()21f =. （1）求()()14f f 、的值；（2）求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围.18．定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数； （3）解关于t 的不等式()221f t t -<.19．定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数； （3）解关于t 的不等式()221f t t -<.20．若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对一切x ， 0y >，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()1323f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．21．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若m ， []1,1n ∈-， 0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+.（1）证明()f x 在[]1,1-上是增函数；（2）解不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； （3）若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-， []1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 22．函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()1212f x x f x x ⋅=+）（. （1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果()41f =， ()12f x -<，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围. 23．设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时， ()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ， 19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.24．已知函数()f x 满足：对任意,x y R ∈，都有()()()()()2f x y f x f y f x f y +=--+成立，且0x >时， ()2f x >，（1）求()0f 的值，并证明：当0x <时， ()12f x <<． （2）判断()f x 的单调性并加以证明．学-科网（3）若函数()()g x f x k =- 在(),0-∞上递减，求实数k 的取值范围. 25．已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数的单调性；（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围.26．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意a b R ∈、，当0a b +≠时，都有()()0f a f b a b +>+．（1）若a b >，试比较()f a 与()f b 的大小关系；（2）若()()923290x x x f f k -+->对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围．专题7 抽象函数的单调性和奇偶性一、选择题1．【湖北省荆门市2016-2017学年期末】设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,3 【答案】D【解析】由题意可得()11,f -=，不等式()121f x -≤-≤可化为()()()121f f x f ≤-≤-，又因为()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，所以121,x ≥-≥-即13x ≤≤，选D .2．【山东省烟台市2016-2017学年期末】若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（ ） A . 2 B . 4 C . 6 D . 8 【答案】C3．【内蒙古赤峰市2016-2017学年期末】已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（ ） A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B【解析】试题分析：偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知，得，故选项B 正确．考点：偶函数的单调性及其运用．【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式，解得，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解．4．【海南省东方中学2016-2017学年期中】已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（ ）A . ()()()201f f f ->>B . ()()()102f f f >>-C . ()()()210f f f ->>D . ()()()120f f f >-> 【答案】A5．【江西省玉山县第一中学2016-2017学年期中考】已知偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是（ ）A .B .C .D .【答案】B 【解析】，所以 的取值范围是，选B .点睛：利用函数单调性解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内6．【安徽省蚌埠市2015-2016学年期中】()(),f x g x 是定义在R 上的函数， ()()()h x f x g x =+若()(),f x g x 均为奇函数则下列说法不正确的是（ ）A . 一定是奇函数B . 不可能是偶函数C . 可以是偶函数D . 不可能是非奇非偶函数 【答案】B【解析】选项A 中，当()3f x x =-， ()3g x x =时，则()0h x =既是奇函数也是偶函数；选项B 中，两个奇函数的和不能成为偶函数，显然成立；则选项C 、D 均不正确，故选B .点睛：此题主要考查两个函数的和的奇偶性判断，属于中高档题型，也是常考知识点.函数的奇偶性的判断应从两个方面来进行，一是看函数的定义域是否关于原点对称（这是判断奇偶性的必要性），二是看()f x 与()f x -的关系，对于两个函数的和或差的奇偶性的判断，需要对特殊情况进行考虑，如解析中的两个函数等.7．【青海省西宁市2017届检测】若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减,()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a << 【答案】B【解析】∵偶函数f (x )在(−∞,0]上单调递减， ∴f (x )在[0，+∞)上单调递增， ∵3224422log 3log 9log 5>>=>,∴()()3242log 5log 32f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，∴b <a <c . 本题选择B 选项.8．【江西省抚州市临川区第一中学2017届检测】已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ）A . []1,2B . []3,5C . []1,1- D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知2101b b b +-=⇒=-，所以函数()f x 在[]0,2单调递增，则不等式可化为1{1102x x x ≤⇒-≤≤≤≤，应选答案C 。
新教材高中数学4函数的奇偶性与简单的幂函数4-1函数的奇偶性课后习题北师大版必修第一册
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数4.1 函数的奇偶性A 级必备知识基础练1.(多选题)下列函数是奇函数的有( )A.y=x(x -1)x -1B.y=-3xC.y=x-2xD.y=πx 3-35x 2.(2022安徽合肥高一期末)若奇函数f (x )在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f (x )在区间[1,2]上( )A.单调递增,且有最小值f (1)B.单调递增,且有最大值f (1)C.单调递减,且有最小值f (2)D.单调递减,且有最大值f (2)3.若函数f (x )=(k-2)x 2+(k-1)x+3是偶函数,则f (x )的单调递减区间是. 4.定义在R 上的偶函数f (x ),对任意的x 1,x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2),有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<0,则f (3),f (-2),f (1)的大小关系为 .5.若函数f (x )={2x 2+7x -4,x >0,g(x),x <0为奇函数,则f (g (-1))= . 6.已知函数f (x )=x 5+ax 3+bx-8,且f (-2)=10,则f (2)= .7.已知奇函数f (x )的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.(1)画出在区间[-5,0]上的图象;(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合.8.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.9.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数;③f(1-a)+f(1-a2)<0.求实数a的取值范围.B级关键能力提升练10.(2021陕西西安长安一中高一月考)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数11.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值5,则F(x)在区间(-∞,0)上()A.有最小值-5B.有最大值-5C.有最小值-1D.有最大值-312.已知定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,若g(x)=f(x-2)是奇函数,且g(2)=0,则不等式xf(x)≤0的解集是()A.(-∞,-4]∪[-2,+∞)B.[-4,-2]∪[0,+∞)C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.(-∞,-4]∪[0,+∞)13.定义在区间(-8,a)上的奇函数f(x)在区间[2,7]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为a,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)= .14.如果f(x)是定义域为R的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x+2)<5的解集是.15.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象<0的解集是.如图所示,则不等式f(x)g(x)16.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.(1)求出函数f(x)的解析式;(2)求出函数f(x)的值域.C级学科素养创新练17.(2021吉林高一月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)求出函数f(x)在R上的解析式;(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2,x∈[1,2],求函数g(x)的最小值.4.1函数的奇偶性1.BCD先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,D中函数定义域均为R,且f(-x)=-f(x),故为奇函数;选项C中函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=-f(x),也是奇函数.2.C因为奇函数的图象关于原点对称,所以函数f(x)在y轴两侧单调性相同.因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.3.[0,+∞)因为函数f(x)是偶函数,所以k-1=0,即k=1,所以f(x)=-x2+3,其单调递减区间为[0,+∞).4.f(3)<f(-2)<f(1)由已知条件可知f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,所以f(3)<f(2)<f(1).再由偶函数的性质得f(3)<f(-2)<f(1).5.-81当x<0时,-x>0.因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=2(-x)2-7x-4=2x2-7x-4,所以f(x)=-2x2+7x+4.即g(x)=-2x2+7x+4,因此,f(g(-1))=f(-5)=-50-35+4=-81.6.-26令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,所以h(-2)=f(-2)+8=18,所以h(2)=-h(-2)=-18,所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.7.解(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示.(2)由图象知,使函数值f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).8.解∵当x<0时,f(x)=x2+3x+2,且f(x)是奇函数,∴当x>0时,-x<0,则f (-x )=x 2-3x+2,故f (x )=-f (-x )=3x-x 2-2.∴当x ∈[1,32]时,f (x )单调递增;当x ∈(32,3]时,f (x )单调递减.因此当x ∈[1,3]时,f (x )max =f (32)=14,f (x )min =f (3)=-2.∴m=14,n=-2,从而m-n=94.9.解∵f (x )为奇函数,∴f (1-a 2)=-f (a 2-1),∴f (1-a )+f (1-a 2)<0⇒f (1-a )<-f (1-a 2)⇒f (1-a )<f (a 2-1).∵f (x )在定义域(-1,1)上是减函数,∴{1-a >a 2-1,-1<1-a <1,-1<a 2-1<1,解得0<a<1,故实数a 的取值范围为(0,1).10.C ∵f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,∴f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ).对于A,f (-x )g (-x )=-f (x )g (x ),故f (x )g (x )是奇函数,故A 错误;对于B,|f (-x )|g (-x )=|-f (x )|g (x )=|f (x )|g (x ),故|f (x )|g (x )是偶函数,故B 错误;对于C,f (-x )|g (-x )|=-f (x )|g (x )|,故f (x )|g (x )|是奇函数,故C 正确;对于D,|f (-x )g (-x )|=|f (x )g (x )|,故|f (x )g (x )|是偶函数,故D 错误.故选C .11.C ∵函数f (x )和g (x )都是奇函数,∴F (x )-2=af (x )+bg (x )为奇函数.又F (x )在区间(0,+∞)上有最大值5,∴F (x )-2在区间(0,+∞)上有最大值3,F (x )-2在区间(-∞,0)上有最小值-3,∴F (x )在区间(-∞,0)上有最小值-1.12.A g (x )=f (x-2)的图象是将函数f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的,又g (x )=f (x-2)的图象关于原点对称,所以函数f (x )的图象关于点(-2,0)对称,大致图象如图所示,且f (0)=g (2)=0,f (-4)=g (-2)=-g (2)=0,f (-2)=g (0)=0,结合函数的图象,由xf (x )≤0可知{x ≥0,f(x)≤0或{x <0,f(x)≥0.结合图象可知x ≥0或-2≤x<0或x ≤-4.故不等式xf (x )≤0的解集是(-∞,-4]∪[-2,+∞),故选A .13.-15 根据题意,f (x )是定义在区间(-8,a )上的奇函数,则a=8.又由f (x )在区间[2,7]上单调递增,且在区间[3,6]上的最大值为a=8,最小值为-1,则f (6)=a=8,f (3)=-1.函数f (x )是奇函数,则f (-6)=-8,f (-3)=1.则2f (-6)+f (-3)=2×(-8)+1=-15.14.(-7,3) 因为f (x )为偶函数,所以f (|x+2|)=f (x+2),则f (x+2)<5可化为f (|x+2|)<5,则|x+2|2-4|x+2|<5,即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0,所以|x+2|<5,解得-7<x<3,所以不等式f (x+2)的解集是(-7,3).15.{x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<3} 不等式f(x)g(x)<0可化为f (x )g (x )<0,由题图可知,当x>0时,其解集为(0,1)∪(2,3).∵y=f (x )是偶函数,y=g (x )是奇函数,∴f (x )g (x )是奇函数,∴当x<0时,f (x )g (x )<0的解集为(-2,-1).综上,不等式f(x)g(x)<0的解集是{x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<3}.16.解(1)∵f (x )的图象经过点(-2,0),∴0=-2+b ,即b=2.∴当x ≤-1时,f (x )=x+2.∵f (x )为偶函数,∴当x ≥1时,f (x )=f (-x )=-x+2.当-1≤x ≤1时,依题意设f (x )=ax 2+2(a ≠0),则1=a ·(-1)2+2,∴a=-1.∴当-1≤x ≤1时,f (x )=-x 2+2.综上,f (x )={x +2,x ≤-1,-x 2+2,-1<x <1,-x +2,x ≥1.(2)当x ≤-1时,f (x )=x+2∈(-∞,1];当-1<x<1时,f (x )=-x 2+2∈(1,2];当x ≥1时,f (x )=-x+2∈(-∞,1].综上所述,f (x )的值域为(-∞,2].17.解(1)由题意知当x ≥0时,f (x )=x 2-2x=(x-1)2-1,此时函数f (x )的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).又函数f (x )为偶函数,所以当x<0时,其单调递增区间为(-1,0), 所以函数f (x )的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).(2)设x<0,则-x>0,所以f (-x )=(-x )2-2(-x )=x 2+2x ,由已知f (x )=f (-x ),所以当x<0时,f (x )=x 2+2x ,所以f (x )={x 2-2x(x ≥0),x 2+2x(x <0).(3)由(2)可得g (x )=x 2-(2a+2)x+2,x ∈[1,2],对称轴为直线x=a+1.当a+1<1,即a<0时,函数g (x )在区间[1,2]上单调递增, 故函数g (x )的最小值为g (1)=1-2a ;当1≤a+1≤2,即0≤a ≤1时,函数g (x )在对称轴处取得最小值, 故函数g (x )的最小值为g (1+a )=-a 2-2a+1;当a+1>2,即a>1时,函数g (x )在区间[1,2]上单调递减, 故函数g (x )的最小值为g (2)=2-4a.综上,函数g (x )的最小值为g (x )min ={1-2a,a <0,-a 2-2a +1,0≤a ≤1,2-4a,a >1.。
函数的单调性与奇偶性(基础题)
函数的单调性与奇偶性一、选择题1．一次函数f (x )的图象过点A (0，3)和B (4，1)，则f (x )的单调性为( )A ．增函数B ．减函数C ．先减后增D ．先增后减2．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (2m ＋1)＞f (3m －4)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，5)B ．(5，＋∞)C ．),53(+∞ D ．)53,(-∞3．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝－3x ＋1B ．x y 2=C ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝｜x －1｜＋24．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有（ ）A ．21≥aB ．21≤a C ．21>a D ．21<a1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值如果总是负数，那么a ，b ，c 满足( )．A ．a ＞0，b 2－4ac ＜0B ．a ＞0，b 2－4ac ＞0C ．a ＜0，b 2－4ac ＞0D ．a ＜0，b 2－4ac ＜03、 下面哪个点不在函数y =－2x +3的图象上 （ ）A 、（-5，13）B 、（0.5，2）C 、（3，0）D 、（1，1）4、下列各图表示的函数是y 是x 的函数的 （ ）5、直线y =kx ＋b 经过一、二、四象限,则k 、b 应满足 （ ）A 、k ＞0, b ＜0B 、k ＞0, b ＞0C 、k ＜0, b ＜0D 、k ＜0, b ＞06、关于函数12+-=x y ，下列结论正确的是 （ ）A 、图象必经过点（﹣2，1）B 、图象经过第一、二、三象限C 、当21>x 时，0<y D 、y 随x 的增大而增大7、已知一次函数y =kx +b ,y 随着x 的增大而减小，且kb <0，则在直角坐标系内它的图象是（）A B C D9、一次函数y ＝x ＋1不经过的象限是( ).A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限11、直线y ＝－x －2与直线y ＝x ＋3的交点为（ ）A 、（27，21） B 、（－25，21） C 、（0，－2） D 、（0，3） x y O A x y O B xyO D x y O12、一次函数b kx y +=，经过（1，1）、(2，4-) ，则k 与b 的值为 ( )A 、⎩⎨⎧-==23b kB 、⎩⎨⎧=-=43b kC 、⎩⎨⎧=-=65b kD 、⎩⎨⎧-==56b k5．下列函数中：①y ＝x 2(x ∈[－1，1]) ； ②y ＝｜x ｜； ;1)(xx x f +=③ ④y ＝x 3(x ∈R ) 奇函数的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．对于定义域为R 的任意奇函数f (x )一定有( )A ．f (x )－f (－x )＞0B ．f (x )－f (－x )≤0C ．f (x )·f (－x )＜0D ．f (x )·f (－x )≤07．下面四个结论中，正确命题的个数是( )①偶函数的图象一定与y 轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y 轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题5．已知函数f (x )＝3x ＋b 在区间[－1，2]上的函数值恒为正，则b 的取值范围是_____．6．函数])2,1[(12∈-=x x x y 的值域是______．17、函数y =x 的取值范围是 ，y =中自变量x 的取值范围是 ，11y x =-的自变量的取值范围是_________； 19、一次函数y =-3x +6的图象与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ；23、已知)2()3(m x m y -+-=，y 随x 的增大而减少，并且与y 轴的交点在y 轴的负半轴，则m 的取值范围是 ；7．已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意两个不相等的实数x ，y ，都有0)()(<--y x y f x f 成立，则f (x )在R 上的单调性为________(填增函数或减函数或非单调函数)．8．若函数y ＝ax 和x b y -=在区间(0，＋∞)上都是减函数，则函数1+=x ab y 在(－∞，＋∞)上的单调性是______(填增函数或减函数或非单调函数)．9．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______．10．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)43(f 的大小关系是______。
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。
证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。
因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。
因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。
因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。
函数单调性及奇偶性练习(含答案)
1、已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 2、已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）3、函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数4、若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5， 则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－35、已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <， 则 （ ）A .12()()f x f x ->-B .12()()f x f x -<-C .12()()f x f x ->-D . 12()()f x f x -<-6、定义在（－１，１）上的函数ｆ（ｘ）是奇函数，并且在（－１，１）上ｆ（ｘ）是减函数，求满足条件ｆ（１－ａ）＋ｆ（１－ａ２）＜０的ａ取值范围. （ ）Ａ．（０，１） Ｂ．（－２，１） Ｃ．［０，１］ Ｄ．［－２，１］7、已知函数ｆ（ｘ)是定义在区间［－２，２］上的偶函数，当ｘ∈［０，２］时，ｆ(ｘ) 是减函数，如果不等式ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）成立，求实数ｍ的取值范围.（ ） Ａ．1[1,)2- Ｂ．［１，２］ Ｃ．［－１，０］ Ｄ．（11,2-） 8、已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 ( ) A (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B (1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-⋃+∞9、已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根 之和为________10、已知偶函数y ＝f(x)在区间[0,4]上是单调增函数，则f(－3)与f(π)的大小关系是__________11、若定义在R 上的函数f(x)满足：对任意x 1、x 2∈R 有f(x 1＋x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)＋1，则下列 说法一定正确的序号是__________．①f(x)为奇函数 ；②f(x)为偶函数 ；③f(x)＋1为奇函数 ；④f(x)＋1为偶函数12、若(1)()()x x a f x x++=是奇函数，则a =___13、已知f(x)是奇函数，定义域为{x|x ∈R 且x ≠0},又f(x)在（0，+∞）上是增函数，且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x 取值范围是________.14、已知)(x f y =是偶函数,当0>x 时,2)1()(-=x x f ;若当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈21,2x 时,m x f n ≤≤)(恒成立,则n m -的最小值为15、 设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．16、设函数f(x)=21xb ax ++是定义在（－1，1）上的奇函数，且f(21)=52，（1）确定函数f(x)的解析式；（2）用定义证明f(x)在（－1，1）上是增函数；（3）解不等式f ( t －1)+ f (t) < 0。
高一数学函数的奇偶性试题答案及解析
高一数学函数的奇偶性试题答案及解析1.若函数是偶函数，则的递减区间是【答案】【解析】偶函数的图像关于轴对称，故，则，则的递减区间是。
【考点】（1）偶函数图像的性质；（2）二次函数单调区间的求法。
2.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数【答案】A【解析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定故选A【考点】函数奇偶性的判断3.设函数为奇函数，,，则=（）A．0B．C．D．-【答案】C．【解析】由题意知，，又因为函数为奇函数，所以，且，再令中得，，即，所以，故选C．【考点】函数的奇偶性；抽象函数．4.已知为偶函数，当时，，则满足的实数的个数为（）．A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】令，则，解得；又因为为偶函数，所以当时，，则或；当时，，方程无解；，方程有两解；，方程有一解；，方程有一解；即当时，有四解，由偶函数的性质，得当时，也有四解；综上，有8解.【考点】函数的性质、方程的解.5.偶函数满足，且在时，，若直线与函数的图像有且仅有三个交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以函数的图像关于直线对称，又是偶函数，所以，即有，所以是周期为2的函数，由，得，即，画出函数和直线的示意图因为直线与函数的图像有且仅有三个交点，所以根据示意图易知：由直线与半圆相切，可计算得到，由直线与半圆相切可计算得到，所以，选B.【考点】1.函数的对称性、奇偶性、周期性；2.函数图像；3.直线与圆的位置关系；4.点到直线的距离公式.6.若函数在其定义域上为奇函数，则实数 .【答案】【解析】小题可采用带特殊值法求得，检验此时在处有定义.【考点】奇函数定义及特殊值法.7.已知函数是偶函数（1）求k的值；（2）若函数的图象与直线没有交点，求b的取值范围；（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）；(3)【解析】（1）因为函数是偶函数，所以根据偶函数的定义，得到一个关于x,k的等式.由于对于任意的x都成立，相当于恒过定点的问题，所以求得k的值.（2）因为函数的图象与直线没有交点，所以对应的方程没有解，利用分离变量的思维可得到一个等式，该方程无解.所以等价两个函数与没有交点，所以求出函数的最值.即可得到b的取值范围.(3)因为，若函数与的图象有且只有一个公共点，所以等价于方程有且只有一个实数根.通过换元将原方程化为含参的二次方程的形式，即等价于该二次方程仅有一个大于零的实根，通过讨论即可得到结论.试题解析：（1）因为为偶函数，所以，即对于任意恒成立.于是恒成立,而不恒为零，所以. 4分（2）由题意知方程即方程无解.令，则函数的图象与直线无交点.因为，由，则，所以的取值范围是 . 8分（3）由题意知方程有且只有一个实数根．令，则关于的方程 (记为(*))有且只有一个正根.若，则，不合题意, 舍去；若，则方程(*)的两根异号或有两相等正根.由或；但，不合题意，舍去；而；若方程(*)的两根异号综上所述，实数的取值范围是． 12分【考点】1.函数的奇偶性.2.函数的与方程的思想的转化.3.换元法的应用.4.含参数的方程的根的讨论.8.设函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则实数的值为 .【答案】【解析】若，则由，得，，解得成立．若，则由，得，即，，得，即，所以．【考点】函数的奇偶性．9.定义在上的函数,对任意都有,当时,,则________.【答案】【解析】由可知函数是周期函数且周期为；所以，而当时，，故.【考点】1.函数的周期性；2.抽象函数；3.函数的解析式.10.已知是定义在上的奇函数，当时，,那么的值是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是定义在上的奇函数，所以.【考点】奇函数的定义.11.已知函数的定义域为,且为偶函数,则实数的值可以是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数的定义域为，所以在函数中，，则函数的定义域为，又因为为偶函数，所以，故选A．【考点】本题主要考查了抽象函数的定义域，以及偶函数的性质．12.已知定义在R上的单调递增函数满足,且。
高中数学奇偶性训练题(带答案)
高中数学奇偶性训练题（带答案）高中数学奇偶性训练题（带答案）1．下列命题中，真命题是()A．函数y＝1x是奇函数，且在定义域内为减函数B．函数y＝x3(x－1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C．函数y＝x2是偶函数，且在(－3,0)上为减函数D．函数y＝ax2＋c(ac0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数解析：选C.选项A中，y＝1x在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D中，当a＜0时，y＝ax2＋c(ac0)在(0,2)上为减函数，故选C.2．奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)的值为() A．10 B．－10C．－15 D．15解析：选C.f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)max＝f(6)＝8，f(x)min＝f(3)＝－1.2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－28＋1＝－15.3．f(x)＝x3＋1x的图象关于()A．原点对称 B．y轴对称C．y＝x对称 D．y＝－x对称解析：选A.x0，f(－x)＝(－x)3＋1－x＝－f(x)，f(x)为奇函数，关于原点对称．4．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝________.解析：∵f(x)是[3－a,5]上的奇函数，区间[3－a,5]关于原点对称，3－a＝－5，a＝8.答案：81．函数f(x)＝x的奇偶性为()A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数解析：选D.定义域为{x|x0}，不关于原点对称．2．下列函数为偶函数的是()A．f(x)＝|x|＋x B．f(x)＝x2＋1xC．f(x)＝x2＋x D．f(x)＝|x|x2解析：选D.只有D符合偶函数定义．3．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是() A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数解析：选D.设F(x)＝f(x)f(－x)则F(－x)＝F(x)为偶函数．设G(x)＝f(x)|f(－x)|，则G(－x)＝f(－x)|f(x)|.G(x)与G(－x)关系不定．设M(x)＝f(x)－f(－x)，M(－x)＝f(－x)－f(x)＝－M(x)为奇函数．设N(x)＝f(x)＋f(－x)，则N(－x)＝f(－x)＋f(x)．N(x)为偶函数．4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)是偶函数，那么g(x)＝ax3＋bx2＋cx()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．是非奇非偶函数解析：选A.g(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝xf(x)，g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，所以g(x)＝ax3＋bx2＋cx是奇函数；因为g(x)－g(－x)＝2ax3＋2cx不恒等于0，所以g(－x)＝g(x)不恒成立．故g(x)不是偶函数．5．奇函数y＝f(x)(xR)的图象必过点()A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a))C．(－a，－f(a)) D．(a，f(1a))解析：选C.∵f(x)是奇函数，f(－a)＝－f(a)，即自变量取－a时，函数值为－f(a)，故图象必过点(－a，－f(a))．6．f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)2，则当x0时()A．f(x) B．f(x)2C．f(x)－2 D．f(x)R解析：选B.可画f(x)的大致图象易知当x0时，有f(x)2.故选B.7．若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________. 解析：f(x)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，1－a＝0，a＝1.答案：18．下列四个结论：①偶函数的图象一定与纵轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③f(x)＝0(xR)既是奇函数，又是偶函数；④偶函数的图象关于y轴对称．其中正确的命题是________．解析：偶函数的图象关于y轴对称，不一定与y轴相交，①错，④对；奇函数当x＝0无意义时，其图象不过原点，②错，③对．答案：③④9．①f(x)＝x2(x2＋2)；②f(x)＝x|x|；③f(x)＝3x＋x；④f(x)＝1－x2x.以上函数中的奇函数是________．解析：(1)∵xR，－xR，又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，f(x)为偶函数．(2)∵xR，－xR，又∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，f(x)为奇函数．(3)∵定义域为[0，＋)，不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域为[－1,0)(0,1]即有－11且x0，则－11且－x0，又∵f(－x)＝1－－x2－x＝－1－x2x＝－f(x)．f(x)为奇函数．答案：②④10．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x－1) 1＋x1－x；(2)f(x)＝x2＋xx＜0－x2＋x x＞0.解：(1)由1＋x1－x0，得定义域为[－1,1)，关于原点不对称，f(x)为非奇非偶函数．(2)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)，当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)，综上所述，对任意的x(－，0)(0，＋)，都有f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．11．判断函数f(x)＝1－x2|x＋2|－2的奇偶性．解：由1－x20得－11.由|x＋2|－20得x0且x－4.定义域为[－1,0)(0,1]，关于原点对称．∵x[－1,0)(0,1]时，x＋2＞0，f(x)＝1－x2|x＋2|－2＝1－x2x，f(－x)＝1－－x2－x＝－1－x2x＝－f(x)，f(x)＝1－x2|x＋2|－2是奇函数．12．若函数f(x)的定义域是R，且对任意x，yR，都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)成立．试判断f(x)的奇偶性．解：在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，f(0)＝0.再令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝0，f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．。
高一数学函数的奇偶性试题
高一数学函数的奇偶性试题1.已知函数为偶函数，且若函数，则= ．【答案】2014【解析】由函数为偶函数，且得从而，故应填入2014．【考点】函数的奇偶性．2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A为偶函数，在上单调递减；B为奇函数，单调递增；C为偶函数，上不单调；D为偶函数，在上单调递增.【考点】函数的奇偶性、单调性.3.设函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则实数的值为 .【答案】【解析】若，则由，得，，解得成立．若，则由，得，即，，得，即，所以．【考点】函数的奇偶性．(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．4.已知函数f(x)＝log4(1)求k的值；(2)探究函数f(x)＝ax＋(a、b是正常数)在区间和上的单调性（只需写出结论，m＝0有解的m的取值范围．不要求证明）.并利用所得结论，求使方程f(x)－log4【答案】(1);(2)函数f(x)＝ax＋ (a、b是正常数)在区间上为减函数，在区间上为增函数;.【解析】(1)由已知函数的定义域为关于原点对称,又是偶函数,则可根据偶函数的定义(或者利用特殊值代入计算亦可,如),得到一个关于的方程,从而求出的值;(2)由函数在区间上为减函数,在区间上为增函数,结合是可知函数在区间上为单调递减函数,在区间上为单调递增函数.由题意知方程,即为方程,若使方程有解,则对数式的值要在函数的值域范围内,所以首先要求出函数的值域,对函数进行化归得,故原方程可化为,令,,则在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数的最小值为,即当,时函数的值,所以函数的值域为,从而可求出. 试题解析：(1)由函数f(x)是偶函数，可知．∴.即， 2分， 4分∴对一切恒成立．∴. 5分（注：利用解出，亦可得满分)(2)结论：函数 (a、b是正常数)在区间上为减函数，在区间上为增函数. 6分由题意知，可先求的值域，． 8分设，又设，则，由定理，知在单调递减，在单调递增，所以， 11分∵为增函数，由题意，只须，即故要使方程有解，的取值范围为. 13分【考点】1.偶函数;2.对数函数;3.函数;4.复合函数值域.5.已知定义在上的偶函数，当时，，那么时，_____.【答案】【解析】先由函数是偶函数得，然后将所求区间利用运算转化到已知区间上，代入到时，，即可的时，函数的解析式．这类题一般是求那一部设那一部分.当时则因为是偶函数,所以所以时，【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．6.若函数为偶函数，则实数的值为__________．【解析】根据偶函数的定义，对定义域中的任意，有，即，故.【考点】函数的奇偶性.7.已知定义在R上的单调递增函数满足,且。
函数的单调性与奇偶性(2)基础
函数的单调性与奇偶性（争取30分钟完成！）1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ）A ．－7B ．1C ．17D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5)4．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根D ．必有唯一的实根5．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥36. 下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x ∈R)，其中正确命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 8．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ） A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝09．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 10．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________． 11．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+xx g x f ，则f （x ）的解析式为_______．12. 判断下列函数的奇偶性f (x )=111122+++-++x xx x()(f x x =-1)(23--=x xx x f求下列函数的值域1、求函数x x y 21-+=的值域2、求1342++=xx y 的值域。
高一数学的函数定义域、值域和单调性、奇偶性练习题(整理)
高一数学函数练习题求函数的定义域1、 求下列函数的定义域: .x 2 2x 15|x 3 32、设函数f (x)的定义域为［0,1］，则函数f (x 2)的定义域为_ ；函数f (.. x 2)的定义域为二、求函数的值域4、求下列函数的值域：2⑴ y x 2x 3 (x R) y ■. x 2 4x 5 3、若函数f(x 1)的定义域为［2，3］，则函数f (2x 1)的定义域是 ________ (2x 1)0 4 x 2 2⑵ y x 2x 3 x [1,2]⑵y三、求函数的解析式系2已知函数f(x 1) x 4x，求函数f(x) , f(2x 1)的解析式。
已知f(x)是二次函数，且f(x 1) f (x 1) 2x24x，求f(x)的解析式。
已知函数f (x)满足2f (x) f ( x) 3x 4，贝U f (x)= __________________1设f (x)与g(x)的定义域是{x |x R,且x 1} , f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x) g(x) ，求x 1f (x)与g(x)的解析表达式四、求函数的单调区间26、求下列函数的单调区间：⑴y x 2x 3⑵y x2 2x 3 ⑶ y x2 6 x 127、函数f (x)在［0,)上是单调递减函数，则f(1 X )的单调递增区间是____________________五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为U, y2 x 5 ；⑴y i ⑵y i 1x1，y2 ...(X 1)(x 1)；⑶ f (x) x，g(x) x2;⑷ f (x) g(x) Vx3；⑸ f'x) (.2x 5)2, f2(x) 2xA、⑴、10、若函数f (x)=A、(一^，+g)⑵、⑶x 42mx 4mx 33B、(0,；]4C、的定义域为R,则实数m的取值范围是3(—+m )(4 ,)[0,11、若函数f (x) • m x2 mx 1的定义域为则实数m的取值范围是((A) 0 m 4 (B) 0 m 4 (C)212、对于1 a 1，不等式x (a 2)x 1(D) 0 m 0恒成立的x的取值范围是((A) 0 x 2 (B) x 0 或x 2 (C) x 1 或x 3 (D) 1 x 113、函数f (x) 、4 x2•、X2 4 的定义域是( )A. [ 2,2] B.C.( , 2) U (2, )D.{ 2,2}( 2,2)0)是( )A、奇函数，且在(0，1)上是增函数B、奇函数，且在(0，1)上是减函14、函数f(X)x (xx数C、偶函数，且在(0, 1)上是增函数D、偶函数，且在(0, 1)上是减函数x 2(x 1)15、函数f (x) x2( 1 x 2)，若f(x) 3，则x= ____________________2x(x 2)116、已知函数f (x)的定义域是(0, 1］，则g(x) fxafxa )( )(㊁a 0)的定义域为 _________________ 。
高中数学函数的奇偶性与单调性练习试题
函数的奇偶性与单调性一．选择题1．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，+∞）2．已知f（x）为R上的减函数，则满足f（）＞f（1）的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞）C．（﹣∞，1）∪（1，2） D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）3．若函数y=f（x）+cosx在[﹣]上单调递减，则f（x）可以是（）A．1 B．﹣sinx C．cosx D．sinx4．已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，又α，β为锐角三角形两内角，下列结论正确的是（）A．f（cosα）＞f（cosβ） B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＞f（cosβ） D．f（sinα）＜f（cosβ）5．已知函数f（x）=x在[0，1）上的最大值为m，在（1，2]上的最小值为n，则m+n=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22≥﹣1，则函数f（x）=4x﹣2x+1﹣3的最小值为（）6．若xlog5A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．0二．填空题7．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a＞），当x ∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于．8．设f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则x•f（x）＜0的解集是．9．奇函数f（x）的定义域为（﹣5，5），若x∈[0，5）时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）＜0的解集为．10．设f（x）的定义域为D，f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果f（x）=为闭函数，那么k的取值范围是．11．如果对定义在R上的函数f（x），以任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sin x﹣cos x）；③y=e x+1；④f（x）=以上函数是“H函数”的所有序号为．12．已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．13．13．若函数f（x）=|e x+|在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是．14．已知函数为减函数，则a的取值范围是．15．设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，f（﹣1）=﹣1．若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是．三．解答题16．对于函数，定义．已知偶函数g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（1）=0；当x＞0，且x≠1时，g（x）=f2018（x）．（1）求f2（x），f3（x），f4（x），并求出函数y=g（x）的解析式；（2）若存在实数a，b（a＜b）使得函数g（x）在[a，b]上的值域为[mb，ma]，求实数m的取值范围．17．已知f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时f（x）=﹣x2+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2．（1）求b，c的值；（2）求f（x）在x＜0时的表达式．18．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=log（1﹣x）．（1）求f（0），f（1）；（2）求函数f（x）的解析式．19．已知函数f（x）=kx+log（9x+1）（k∈R）是偶函数．9（1）求k的值；（a•3x﹣a）的图象与f（x）的图象有且只有一个公（2）若函数g（x）=log9共点，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x（x∈R，e=2.71828…）（Ⅰ）求证：函数f（x）为奇函数；（Ⅱ）t为实数，且f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切实数x都成立，求t的值．21．已知定义在实数集上的奇函数f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=．（1）求函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性并加以证明；（3）当λ取何值时，方程f（x）=λ在上（﹣1，1）有实数解？22．已知函数是奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）求函数的值域．23．已知定义在R上的函数f（x）=2x﹣a•2﹣x为奇函数．（1）求a的值，并判断f（x）的单调性（不用给证明）；（2）t为实数，且f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切实数x都成立，求t的值．24．如果奇函数f（x）是定义域（﹣1，1）上的减函数，且f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的取值范围．25．已知定义在[﹣3，3]上的函数y=f（x）是增函数．（1）若f（m+1）＞f（2m﹣1），求m的取值范围；（2）若函数f（x）是奇函数，且f（2）=1，解不等式f（x+1）+1＞0．26．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a+b≠0时，都有．（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；（2）若f（9x﹣2•3x）+f（2•9x﹣k）＞0对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．27．已知定义域为R的单调函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣2x （Ⅰ）求f（﹣1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k 的取值范围．28．已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（2）解不等式：f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0；（3）若函数g（x）=lnx﹣（x﹣1）在（1，+∞）上单调递减，比较f（2）+f （4）+…+f（2n）与2n（n∈N*）的大小关系，并说明理由．29．已知函数f（x）=的定义域上的奇函数，且f（2）=﹣，函数g（x）是R上的增函数，g（1）=1且对任意x，y∈R，总有g（x+y）=g（x）+g（y）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式（Ⅱ）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明（Ⅲ）若g（2a）＞g（a﹣1）+2，求实数a的取值范围．（1﹣x）．30．己知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=21og2（1）求函数f（x）及g（x）的解析式；（2）用函数单调性的定义证明：函数g（x）在（0，1）上是减函数；（3）若关于x的方程f（2x）=m有解，求实数m的取值范围．函数的奇偶性与单调性参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，+∞）【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）递减，故只需令2|a﹣1|＜即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．∵2|a﹣1|＞0，f（﹣）=f（），∴2|a﹣1|＜=2．∴|a﹣1|，解得．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题．2．已知f（x）为R上的减函数，则满足f（）＞f（1）的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞）C．（﹣∞，1）∪（1，2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【分析】由f（x）为R上的减函数便可根据条件得出，这样解该不等式即可得出实数x的取值范围．【解答】解：∵f（x）为R上的减函数；∴由得：；解得x＜1，或x＞2；∴x的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．故选D．【点评】考查减函数的定义，根据减函数定义解不等式的方法，以及分式不等式的解法．3．若函数y=f（x）+cosx在[﹣]上单调递减，则f（x）可以是（）A．1 B．﹣sinx C．cosx D．sinx【分析】显然y=cosx在上没有单调性，从而说明y=1+cosx和y=2cosx在[]上没有单调性，即说明选项A，C错误．而f（x）=﹣siinx 时，可以得到y=，可换元令=t，，可以说明在[]上单调递减，从而得出选项B正确，同样的方法说明选项D错误．【解答】解：A．若f（x）=1，则y=1+cosx，显然cosx在[]上没有单调性；∴y=1+cosx在[]上没有单调性，即该选项错误；B．若f（x）=﹣sinx，则y=﹣sinx+cosx=﹣sin（）；令，，则：sint在上单调递增；∴y=在上单调递减；∴y=﹣sinx+cosx在[]上单调递减，即该选项正确；C同A，可说明C选项错误，D同B可说明D选项错误．故选B．【点评】考查正、余弦函数的单调性，根据图象判断函数单调性的方法，要熟悉正余弦函数的图象，以及换元法判断函数单调性．4．已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，又α，β为锐角三角形两内角，下列结论正确的是（）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）【分析】由“奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数”可知f（x）在[0，1]上为单调递减函数，再由“α、β为锐角三角形的两内角”可得到α+β＞，转化为＞α＞﹣β＞0，两边再取正弦，可得1＞sinα＞sin（﹣β）=cosβ＞0，由函数的单调性可得结论．【解答】解：∵奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数，∴f（x）在[﹣1，1]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，∴α+β＞，∴＞α＞﹣β＞0，∴1＞sinα＞sin（﹣β）=cosβ＞0，∴f（sinα）＜f（cosβ），故选：D．【点评】题主要考查奇偶性和单调性的综合运用，还考查了三角函数的单调性．属中档题．5．已知函数f（x）=x在[0，1）上的最大值为m，在（1，2]上的最小值为n，则m+n=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】通过变形可知f（x）=1++sinπx，进而可知当x∈[0，1）时，函数g（x）=+sinπx满足g（2﹣x）=﹣g（x），由此可知在区间[0，1）∪（1，2]上，函数f（x）关于点（1，1）中心对称，利用对称性即得结论．【解答】解：f（x）=x=1++sinπx，记g（x）=+sinπx，则当x∈[0，1）时，g（2﹣x）=+sinπ（2﹣x）=﹣sinπx，即在区间[0，1）∪（1，2]上，函数f（x）关于点（1，1）中心对称，∴m+n=2，故选：D．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数的奇偶性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．6．（2017•广西一模）若xlog52≥﹣1，则函数f（x）=4x﹣2x+1﹣3的最小值为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．0【分析】由条件求得x≥﹣log25，令t=2x（t≥），即有y=t2﹣2t﹣3，由二次函数的最值求法，即可得到最小值．【解答】解：xlog52≥﹣1，即为x≥﹣log25，2x≥，令t=2x（t≥），即有y=t2﹣2t﹣3=（t﹣1）2﹣4，当t=1≥，即x=0时，取得最小值﹣4．故选：A．【点评】本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．二．填空题（共9小题）7．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a＞），当x ∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于 1 ．【分析】根据函数的奇偶性，确定f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得a的值．【解答】解：∵f（x）是奇函数，x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，∴f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，当x∈（0，2）时，f′（x）=﹣a，令f′（x）=0得x=，又a＞，∴0＜＜2，令f′（x）＞0，则x＜，∴f（x）在（0，）上递增；令f′（x）＜0，则x＞，=f（）=ln﹣a•=﹣1，∴ln=0，∴f（x）在（，2）上递减，∴f（x）max得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．8．设f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则x•f（x）＜0的解集是（﹣3，0）∪（0，3）．【分析】由x•f（x）＜0对x＞0或x＜0进行讨论，把不等式x•f（x）＜0转化为f（x）＞0或f（x）＜0的问题解决，根据f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，又∵f（﹣3）=0，∴f（3）=0∴当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＜0；当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0；∴x•f（x）＜0的解集是（﹣3，0）∪（0，3）故答案为：（﹣3，0）∪（0，3）．【点评】考查函数的奇偶性和单调性解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属基础题．9．（2017•陕西校级模拟）奇函数f（x）的定义域为（﹣5，5），若x∈[0，5）时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（2，5）．【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可得出f（x）在（﹣5，0]上的图象，这样根据f（x）在（﹣5，5）上的图象便可得出f（x）＜0的解集．【解答】解：根据奇函数的图象关于原点对称得出f（x）在（﹣5，0]上的图象如下所示：∴f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（2，5）．故答案为：（﹣2，0）∪（2，5）．【点评】考查奇函数的概念，奇函数图象的对称性，由函数图象解不等式f（x）＜0的方法．10．设f（x）的定义域为D，f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果f（x）=为闭函数，那么k的取值范围是．【分析】函数f（x）=是[，+∞）上的增函数，因此若函数f（x）=为闭函数，则可得函数y=f（x）的图象与直线y=x相交于点（a，a）和（b，b）．因此方程k=x﹣在[，+∞）上有两个不相等的实数根a、b．最后采用换元法，讨论二次函数的单调性，可得f（x）=为闭函数时，实数k的取值范围是：．【解答】解：∵k是常数，函数y=是定义在[，+∞）上的增函数，∴函数f（x）=是[，+∞）上的增函数，因此，若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．可得函数y=f（x）的图象与直线y=x相交于点（a，a）和（b，b）（如图所示）∴，可得方程k=x﹣在[，+∞）上有两个不相等的实数根a、b令t=，得x=，设函数F（x）═x﹣=g（t），（t≥0）即g（t）=t2﹣t﹣，在t∈[0，1]时，g（t）为减函数﹣1≤g（t）≤；在t∈[1，+∞）时，g（t）为增函数g（t）≥﹣1；∴当时，有两个不相等的t值使g（t）=k成立，相应地有两个不相等的实数根a、b满足方程k=x﹣，当f（x）=为闭函数时，实数k的取值范围是：．故答案为：【点评】本题以含有根式的函数为例，探求函数为闭函数时参数k的取值范围，着重考查了函数的单调性、换元法讨论二次函数等知识点，属于中档题．11．如果对定义在R上的函数f（x），以任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sin x﹣cos x）；③y=e x+1；④f（x）=以上函数是“H函数”的所有序号为②③．【分析】不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．【解答】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．对于①y=﹣x3+x+1；y′=﹣3x2+1，则函数在定义域上不单调；对于②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；y′=3﹣2（cosx+sinx）=3﹣2sin（x+）＞0，函数单调递增，满足条件；对于③y=e x+1为增函数，满足条件；④f（x）=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故答案为：②③．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．12．已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，0] ．【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：由y=x2在（﹣∞，0）递减，故a≤0，由x+1＞0，解得：x＞﹣1，故a≥﹣1，故答案为：[﹣1，0]．【点评】本题考查了二次函数以及对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．13．若函数f（x）=|e x+|在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．【分析】可看出，为去掉绝对值号，需讨论a：（1）a＞0时，得出，求导数，根据题意f′（x）≤0在x∈[0，1]上恒成立，从而得到a≥e2x在x∈[0，1]上恒成立，从而得出a≥e2；（2）a=0时，显然不满足题意；（3）a＜0时，可看出函数在R上单调递增，而由可解得，从而得出f（x）在上单调递减，从而便可得出，这又可求出一个a的范围，以上a的范围求并集便是实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＞0时，，；∵f（x）在[0，1]上单调递减；∴x∈[0，1]时，f′（x）≤0恒成立；即x∈[0，1]时，a≥e2x恒成立；y=e2x在[0，1]上的最大值为e2；∴a≥e2；（2）当a=0时，f（x）=e x，在[0，1]上单调递增，不满足[0，1]上单调递减；∴a≠0；（3）当a＜0时，在R上单调递增；令得，；∴f（x）在上为减函数，在上为增函数；又f（x）在[0，1]上为减函数；∴；∴a≤﹣e2；∴综上得，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．【点评】本题考查指数函数的值域，函数单调性和函数导数符号的关系，考查增函数和减函数的定义、反比例函数的单调性、以及对数的运算性质．14．已知函数为减函数，则a的取值范围是（0，] ．【分析】由题意可知，y=a x递减，y=（a﹣3）x+4a递减，且a0≥（a﹣3）×0+4a，由此可得关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：因为函数f（x）为减函数，所以y=a x递减，y=（a﹣3）x+4a递减，且a0≥（a﹣3）×0+4a，所以，解得0＜a，故答案为：（0，]．【点评】本题考查函数单调性的性质，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．15．设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，f（﹣1）=﹣1．若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是t≤﹣2或t=0或t≥2 ．【分析】有f（﹣1）=﹣1得f（1）=1，f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，只需要比较f（x）的最大值与t2﹣2at+1即可．【解答】解：若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，由已知易得f（x）的最大值是1，∴1≤t2﹣2at+1⇔2at﹣t2≤0，设g（a）=2at﹣t2（﹣1≤a≤1），欲使2at﹣t2≤0恒成立，则⇔t≥2或t=0或t≤﹣2．答案：t≤﹣2或t=0或t≥2【点评】本题把函数的奇偶性，单调性与最值放在一起综合考查，是道函数方面的好题．三．解答题（共15小题）16．对于函数，定义．已知偶函数g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（1）=0；当x＞0，且x≠1时，g（x）=f2018（x）．（1）求f2（x），f3（x），f4（x），并求出函数y=g（x）的解析式；（2）若存在实数a，b（a＜b）使得函数g（x）在[a，b]上的值域为[mb，ma]，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据函数关系进行求解即可．（2）根据函数奇偶性的性质，结合函数的值域关系进行求解即可．【解答】解：（1）因为，故对任意的n∈N•，有f3n+i （x）=fi（x）（i=2，3，4），于是；．．由g（x）为偶函数，．．…（6分）（2）由于y=g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），又a＜b，mb＜ma，可知a与b同号，且m＜0；进而g（x）在[a，b]递减，且a ＜b＜0．…（8分）函数y=g（x）的图象，如图所示．由题意，有…（10分）故a，b是方程的两个不相等的负实数根，即方程mx2﹣x﹣1=0在（﹣∞，0）上有两个不相等的实根，于是…（12分）综合上述，得：实数m的取值范围为．…（14分）注：若采用数形结合，得出直线y=mx与曲线有两个不同交点，并进行求解也可．【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的应用，考查学生的运算和推理能力．17．已知f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时f（x）=﹣x2+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2．（1）求b，c的值；（2）求f（x）在x＜0时的表达式．【分析】（1）根据f（1）=f（3）得函数图象关于直线x=2对称，结合抛物线对称轴的公式列式得到b的值，再由f（2）=2列式，解出c的值．（2）当x＜0时，﹣x是正数，代入题中正数范围内的表达式得到f（﹣x）的式子，再结合f（x）是奇函数，取相反数即可得到f（x）在x＜0时的表达式．【解答】解：（1）∵f（1）=f（3），∴函数图象的对称轴x==2，得b=4又∵f（2）=﹣4+4×2+c=2，∴c=﹣2（2）由（1）得当x＞0时f（x）=﹣x2+4x+2，当x＜0时，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+4（﹣x）+2=﹣x2﹣4x+2，∵f（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=x2+4x﹣2．【点评】本题给出二次函数的对应值，求函数表达式，并且在函数为奇函数的情况下求x＜0时的表达式．着重考查了函数奇偶性的性质和函数解析式的求解及常用方法，属于基础题．18．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=log（1﹣x）．（1）求f（0），f（1）；（2）求函数f（x）的解析式．【分析】（1）利用函数的奇偶性的性质，求解函数值即可．（2）利用函数的奇偶性以及已知条件真假求解函数的解析式即可．【解答】解：（1）f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=log（1﹣x）．f（0）=0，f（1）=f（﹣1）=log（1+1）=﹣1．（2）f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=log（1﹣x）．x＞0时，f（x）=f（﹣x）=log（1+x）．可得：f（x）=．【点评】本题考查函数的性质，函数值以及函数的解析式的求法，考查计算能力．19．已知函数f（x）=kx+log9（9x+1）（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若函数g（x）=log（a•3x﹣a）的图象与f（x）的图象有且只有一个公9共点，求a的取值范围．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解．（2）根据函数g（x）和f（x）图象的交点个数进行讨论求解．（9﹣x+1）【解答】解：（1）∵f（x）是偶函数，∴由f（﹣x）=f（x）得﹣kx+log9=kx+log（9x+1），9整理得；（2）由题意知，方程只有一解，即有且只有一个实根，令t=3x，则t∈（0，+∞），从而方程有且只有一个正实根t，当a﹣1=0时，（舍去），当a﹣1≠0时，若判别式△=0，即+4a﹣4=0，即4a2+9a﹣9=0得a=﹣3或a=，当a=时，t＜0，不满足条件．舍去，若△＞0，则t1t2＜0，得，则a＞1，从而所求a的范围是{﹣3}∪（1，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数图象的应用，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．考查学生的运算能力．20．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x（x∈R，e=2.71828…）（Ⅰ）求证：函数f（x）为奇函数；（Ⅱ）t为实数，且f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切实数x都成立，求t的值．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的定义域，计算f（﹣x）与f（x）的关系，即可得证；（Ⅱ）f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0，即为f（x2﹣t2）≥﹣f（x﹣t）=f（t﹣x），判断f（x）在R上递增，去掉f，运用参数分离，求得右边二次函数的最小值，计算即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）证明：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x），即有函数f（x）为奇函数；（Ⅱ）f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0，即为f（x2﹣t2）≥﹣f（x﹣t）=f（t﹣x），由f（x）=e x﹣e﹣x在R上为增函数，可得x2﹣t2≥t﹣x，即有t2+t≤x+x2，由x+x2=（x+）2﹣，可得t2+t≤﹣，即有（t+）2≤0，但（t+）2≥0，则t=﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和运用：解不等式，考查恒成立问题的解法，注意运用函数的性质和参数分离，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．21．已知定义在实数集上的奇函数f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=．（1）求函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性并加以证明；（3）当λ取何值时，方程f（x）=λ在上（﹣1，1）有实数解？【分析】（1）利用函数奇偶性的性质进行转化求解即可．（2）根据函数单调性的定义，利用定义法进行证明．（3）根据函数奇偶性和单调性的关系求出函数在（﹣1，1）上的值域即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），则f（﹣x）===﹣f（x），则f（x）=﹣．x∈（﹣1，0），故函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式为f（x）=；（2）设0＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵0＜x1＜x2＜1，∴＞2，﹣2＞0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在（0，1）上的单调递减；（3）∵f（x）在（0，1）上的单调递减，∴当0＜x＜1时，f（1）＜f（x）＜f（0），即＜f（x）＜，∵f（x）是奇函数，∴当﹣1＜x＜0时，﹣＜f（x）＜﹣，∵f（0）=0，∴在（﹣1，1）上函数f（x）的取值范围是（，）∪（﹣，﹣）∪{0}，则若方程f（x）=λ在上（﹣1，1）有实数解，则λ∈（，）∪（﹣，﹣）∪{0}．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性和值域的判断和应用，利用定义法以及函数单调性和值域之间的关系是解决本题的关键．22．（）已知函数是奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）求函数的值域．【分析】（1）根据函数f（x）为定义域为R的奇函数，则f（0）=0，代入解析式可求出a的值；（2）由（1）知，所以f（x）为增函数，任取x1＜x2∈R，然后判定f（x1）﹣f（x2）的符号，根据函数单调性的定义即可判定；（3）令，求出2x，根据2x的范围可求出y的范围，从而求出函数的值域．【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，且为奇函数，∴f（0）=0，∴a=1（2）由（1）知，所以f（x）为增函数证明：任取x1＜x2∈Rf（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣1+=∵x1＜x2∈R∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）为R上的增函数．（3）令则而2x＞0∴∴﹣1＜y＜1所以函数f（x）的值域为（﹣1，1）【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数的单调性和函数的值域，属于中档题．23．已知定义在R上的函数f（x）=2x﹣a•2﹣x为奇函数．（1）求a的值，并判断f（x）的单调性（不用给证明）；（2）t为实数，且f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切实数x都成立，求t的值．【分析】（1）根据奇函数的性质：f（0）=0，列出方程求出a，利用指数函数的单调性判断f（x）的单调性；（2）由奇函数f（x）的单调性转化不等式，由二次函数的恒成立列出不等式求出t的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2x﹣a•2﹣x为奇函数，∴f（0）=0，则1﹣a=0，解得a=1，即f（x）=2x﹣2﹣x=2x﹣，∵函数y=2x、y=﹣在定义域上是增函数，∴f（x）=2x﹣在R上单调递增；（2））∵f（x）是奇函数，且在R上是增函数，∴f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0化为：f（x2﹣t2）≥﹣f（x﹣t）=f（﹣x+t），∴x2﹣t2≥﹣x+t，则x2+x﹣t2﹣t≥0对一切实数x恒成立，∴△=12﹣4×1×（﹣t2﹣t）≤0，则（2t+1）2≤0，解得t=，∴t的值是．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性综合应用，以及二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题．24．如果奇函数f（x）是定义域（﹣1，1）上的减函数，且f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的取值范围．【分析】根据定义域先建立两个不等关系式，再结合函数的单调性和奇偶性建立关系式，解之即可．【解答】解：因为函数f（x）的定义域是（﹣1，1）所以有﹣1＜1﹣m＜1 ①﹣1＜1﹣m2＜1 ②又f（x）是奇函数，所以f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0可变为f（1﹣m）＞f（m2﹣1）又f（x）在（﹣1，1）内是减函数，所以1﹣m＜m2﹣1 ③由①、②、③得．【点评】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用，以及不等式的求解，属于中档题．25．已知定义在[﹣3，3]上的函数y=f（x）是增函数．（1）若f（m+1）＞f（2m﹣1），求m的取值范围；（2）若函数f（x）是奇函数，且f（2）=1，解不等式f（x+1）+1＞0．【分析】（1）由题意可得，，由此解不等式组求得m的范围．（2）由题意可得f（x+1）＞f（﹣2），所以，即可得出结论．【解答】解：由题意可得，，求得﹣1≤m＜2，即m的范围是[﹣1，2）．（2）∵函数f（x）是奇函数，且f（2）=1，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣1，∵f（x+1）+1＞0，∴f（x+1）＞﹣1，∴f（x+1）＞f（﹣2），∴，∴﹣3＜x≤2．∴不等式的解集为{x|﹣3＜x≤2}．【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键，属于中档题．26．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a+b≠0时，都有．（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；（2）若f（9x﹣2•3x）+f（2•9x﹣k）＞0对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由a＞b，得，所以f（a）+f（﹣b）＞0，由f（x）是定义在R上的奇函数，能得到f（a）＞f（b）．（2）由f（x）在R上是单调递增函数，利用奇偶性、单调性可把f（9x﹣2•3x）+f（2•9x﹣k）＞0中的符号“f”去掉，分离出参数k后转化为函数最值即可解决．【解答】解：（1）∵对任意a，b，当a+b≠0，都有．∴，∵a＞b，∴a﹣b＞0，∴f（a）+f（﹣b）＞0，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣b）=﹣f（b），∴f（a）﹣f（b）＞0，∴f（a）＞f（b）；（2）由（1）知f（x）在R上是单调递增函数，又f（9x﹣2•3x）+f（2•9x﹣k）＞0，得f（9x﹣2•3x）＞﹣f（2•9x﹣k）=f （k﹣2•9x），故9x﹣2•3x＞k﹣2•9x，即k＜3•9x﹣2•3x，令t=3x，则t≥1，所以k＜3t2﹣2t，而3t2﹣2t=3﹣在[1，+∞）上递增，所以3t2﹣2t≥3﹣2=1，所以k＜1，即所求实数k的范围为k＜1．【点评】本题考查解函数恒成立问题的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易出错．解题时要认真审题，注意转化思想的灵活运用．27．已知定义域为R的单调函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣2x （Ⅰ）求f（﹣1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k 的取值范围．【分析】（I）根据题意得，f（﹣1）=﹣f（1），结合当x＞0时，f（x）=﹣2x 即可求出f（﹣1）；（II）由定义域为R的函数f（x）是奇函数，知f（0）=0．当x＜0时，f（﹣x）=﹣2﹣x，由函数f（x）是奇函数，知f（x）=+2﹣x，由此能求出f（x）的解析式．（III）由f（1）=﹣＜f（0）=0且f（x）在R上单调，知f（x）在R上单调递减，由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），再由根的差别式能求出实数k的取值范围．【解答】解：（I）f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（﹣2）=；（II）∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣﹣2﹣x，又∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=+2﹣x，综上所述f（x）=．（III）∵f（1）=﹣＜f（0）=0，且f（x）在R上单调，∴f（x）在R上单调递减，由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），又∵f（x）是减函数，∴t2﹣2t＞k﹣2t2即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，∴△=4+12k＜0得k＜﹣，即为所求．【点评】本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，同时注意函数性质的灵活运用．28．已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（2）解不等式：f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0；（3）若函数g（x）=lnx﹣（x﹣1）在（1，+∞）上单调递减，比较f（2）+f （4）+…+f（2n）与2n（n∈N*）的大小关系，并说明理由．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．（2）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化即可．（3）根据函数单调性的性质结合对数函数的运算法则进行求解即可．【解答】解：（1）函数f（x）为奇函数．…1分证明如下：由，解得x＜﹣1或x＞1，所以函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）…2分对任意的x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），有，所以函数f（x）为奇函数．…4分（2）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则==，…5分因为 x2＞x1＞1，所以 x1•x2+x2﹣x1﹣1＞x1•x2﹣（x2﹣x1）﹣1＞0，所以，所以 f（x1）﹣f（x2）＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以函数y=f（x）在（1，+∞）单调递减；…7分由f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0得：f（x2+x+3）＞﹣f（﹣2x2+4x﹣7），即f（x2+x+3）＞f（2x2﹣4x+7），又，2x2﹣4x+7=2（x﹣1）2+5＞1，所以 x2+x+3＜2x2﹣4x+7，…9分解得：x＜1或x＞4，所以原不等式的解集为：（﹣∞，1）∪（4，+∞）．…10分（3）f（2）+f（4）+…+f（2n）＜2n（n∈N*）．理由如下：…11分因为，所以 f（2）+f（4）+…+f（2n）﹣2n=ln（2n+1）﹣2n=ln（2n+1）﹣[（2n+1）﹣1]，…13分又 g（x）=lnx﹣（x﹣1）在（1，+∞）上单调递减，所以当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，所以 g（2n+1）＜0，…15分即 ln（2n+1）﹣[（2n+1）﹣1]＜0，故 f（2）+f（4）+…+f（2n）＜2n（n∈N*）．…16分【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及不等式的求解，结合对数的运算法则是解决本题的关键．29．已知函数f（x）=的定义域上的奇函数，且f（2）=﹣，函数g（x）是R上的增函数，g（1）=1且对任意x，y∈R，总有g（x+y）=g（x）+g（y）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式（Ⅱ）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明（Ⅲ）若g（2a）＞g（a﹣1）+2，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意可得f（﹣x）=﹣f（x），可得n，利用f（2）=﹣，求出m，即可求函数f（x）的解析式（Ⅱ）利用导数判断证明判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性；（Ⅲ）确定g（x）为奇函数，g（2）=g（1）+g（1）=2，g（2a）＞g（a﹣1）+2，化为g（2a）＞g（a+1），利用函数g（x）是R上的增函数，可得不等式，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由定义域为R的函数f（x）=是奇函数，可得=﹣，即n+3x=﹣n+3x，解得n=0，∵f（2）=﹣，∴=﹣，∴m=2，∴f（x）=；（Ⅱ）函数f（x）在（1，+∞）上单调递减．∵f（x）==﹣（x+），∴f′（x）=﹣，∵x＞1，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递减；（Ⅲ）令x=y=0，得g（0）=0，令y=﹣x，可得g（0）=g（x）+g（﹣x），∴g（﹣x）=﹣g（x），∴g（x）为奇函数，∵g（1）=1，∴g（2）=g（1）+g（1）=2，∵g（2a）＞g（a﹣1）+2，∴g（2a）＞g（a+1），∵函数g（x）是R上的增函数，∴2a＞a+1，∴a＞1．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断及应用：解不等式，考查二次不等式恒成立问题的解法，考查运算能力，属于中档题和易错题．30．己知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=21og（1﹣x）．2（1）求函数f（x）及g（x）的解析式；（2）用函数单调性的定义证明：函数g（x）在（0，1）上是减函数；（3）若关于x的方程f（2x）=m有解，求实数m的取值范围．（1+x），【分析】（1）根据f（x），g（x）的奇偶性便有﹣f（x）+g（x）=2log2联立f（x）+g（x）=2log（1﹣x）便可解出f（x）=，g（x）=；2（2）根据减函数的定义，设任意的x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，然后作差，可以得出，根据对数函数的单调性便可得出g（x1）＞g（x2），从而得出g（x）在（0，1）上单调递减；（3）求出，根据1﹣2x＞0便可得出1+2x的范围，从而得出﹣1+的范围，根据对数函数的单调性便可得出f（2x）的范围，从而便可得出m的取值范围．【解答】解：（1）根据题意：f（﹣x）+g（﹣x）=2log2（1+x）；∴﹣f（x）+g（x）=2log2（1+x），联立f（x）+g（x）=2log2（1﹣x）得：f（x）=log2（1﹣x）﹣log2（1+x）=，g（x）=log2（1+x）+log2（1﹣x）=；即；（2）设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，则：；∵0＜x1＜x2＜1；∴；∴；∴；∴g（x1）＞g（x2）；∴g（x）在（0，1）上是减函数；（3）；∵1﹣2x＞0；∴0＜2x＜1；∴；∴；∴f（2x）＜0；∴m＜0；∴m的取值范围为（﹣∞，0）．【点评】考查奇函数、偶函数的定义，对数的运算，以及减函数的定义，根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较g（x1），g（x2），对数函数的单调性，分离常数法的运用．。
高一数学函数的奇偶性试题
高一数学函数的奇偶性试题1.若函数是偶函数，则的递减区间是【答案】【解析】偶函数的图像关于轴对称，故，则，则的递减区间是。
【考点】（1）偶函数图像的性质；（2）二次函数单调区间的求法。
2.设函数为奇函数，,，则=（）A．0B．C．D．-【答案】C．【解析】由题意知，，又因为函数为奇函数，所以，且，再令中得，，即，所以，故选C．【考点】函数的奇偶性；抽象函数．3.若函数的图像关于原点对称，则。
【答案】【解析】试题分析:由题意知恒成立,即即恒成立，所用【考点】奇函数的应用.4.已知函数为奇函数,且当时,,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵为奇函数，∴．【考点】函数的性质．5.设是定义在上的奇函数，当时，为常数），则．【答案】【解析】是定义在上的奇函数，所以，求得；而，由奇函数可知.【考点】函数奇偶性.6.函数的图像大致是（）【答案】A【解析】因为的定义域为且，所以为上的偶函数，该函数的图像关于轴对称，只能是图像A、C选项之一，而，故选A.【考点】1.函数的图像；2.函数的奇偶性.7.已知是奇函数，且，则．【答案】【解析】令，因为此函数是奇函数，所以。
即，所以。
【考点】函数奇偶性。
8.设函数 ()．（1）若为偶函数，求实数的值；（2）已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）0；（2）【解析】（1）根据偶函数定义，得到，平方后可根据对应系数相等得到a的值，也可将上式两边平方得恒成立，得a的值。
（2）应先去掉绝对值将其改写为分段函数，在每段上求函数在时的最小值，在每段求最值时都属于定轴动区间问题，需讨论。
最后比较这两个最小值的大小取最小的那个，即为原函数的最小值。
要使恒成立，只需的最小值大于等于1即可，从而求得a的范围试题解析：（1）若的为偶函数，则,，故，两边平方得，展开时，为偶函数。
（2）设，①求,即的最小值：若，；若，②求,即的最小值,比较与,的大小：，故“对恒成立”即为“（）”令，解得。
2021学年高一数学多选题专项提升汇编专题06 函数的单调性及奇偶性(解析版)
专题06 函数的单调性及奇偶性一．函数的单调性1．（2019秋•葫芦岛期末）已知函数3()2bx f x ax +=+在区间(2,)-∞上单调递增，则a ，b 的取值可以是( ) A ．1a =，32b >B ．01a <，2b =C ．1a =-，2b =D ．12a =，1b = 【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得23()2bb a f x ax a-=++，结合反比例函数的性质以及函数图象平移的规律可得22a--且230ba-<，分析可得a 、b 的关系，据此分析选项可得答案． 【解答】解：根据题意，函数22(2)333()222b b b ax bx b a a a f x ax ax ax a ++--+===++++，其定义域为2{|}x x a≠-， 若函数3()2bx f x ax +=+在区间(2,)-∞上单调递增，必有22a --且230ba-<， 即01a <且23ba<，据此分析选项：A 、B 、D 符合；故选：ABD ． 【点评】本题考查函数单调性的判断，注意对函数解析式的变形，属于基础题． 2．下列四个函数中，在(-∞，0]上为减函数的是( ) A ．2()2f x x x =-B ．2()2f x x =C ．()1f x x =+D ．1()f x x=【分析】求出每一个函数的单调递减区间，然后进行判断，注意定义域． 【解答】解：2()2f x x x =-在(-∞，1]上单调递减，A 对； 函数2()2f x x =在(-∞，0]上单调递减，B 对； 函数()1f x x =+在R 上单调递增，C 错；函数1()f x x=中，0x ≠，D 错；故选：AB ． 【点评】本题考查求函数单调性，属于基础题．3．已知函数()2f x x =，2()g x x ax =-，对于不相等的实数1x ，2x ，设12121212()()()(),f x f x g x g x m n x x x x --==--，现有如下命题中真命题是( )A ．对于不相等的实数1x ，2x ，都有0m >B ．对于任意实数a 及不相等的实数1x ，2x ，都有0n >C ．对于任意实数a 及不相等的实数1x ，2x ，都有m n =D ．存在实数a ，对任意不相等的实数1x ，2x ，都有m n =【分析】对于A ，直接计算m 的值即可判断；对于B ，取特殊值10x =，2x a =，通过计算n 的值，可判断真假；对于C ，求出m 的值以及n 的代数式，可判断真假；对于D ，利用C 中m 的值和n 的代数式可判断真假．【解答】解：任取12x x ≠，则12121212()()2220f x f x x x m x x x x --===>--，A 正确；由二次函数的单调性可得()g x 在(,)2a-∞单调递减，在(2a，)+∞单调递增，可取10x =，2x a =，则1212()()(0)()00000g x g x g g a n x x a a ---====---，B 错误；2m =，2222121122121212121212()()()()()()g x g x x ax x ax x x a x x n x x a x x x x x x -------====+----，则m n =不恒成立，C 错误；2m =，12n x x a =+-，若m n =，则122x x a +-=，只需122x x a +=+即可，D 正确．故选：AD ． 【点评】本题考查函数的单调性及运用，关键是理解题中参数的意义，属于中等题． 4．函数()()1||xf x x R x =∈+，以下四个结论中正确的结论是( ) A ．()f x 的值域是(1,1)- B ．对任意x R ∈，都有1212()()0f x f x x x ->-C ．若规定1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，则对任意的*n N ∈，()1||n xf x n x =+D ．对任意的[1x ∈-，1]，若函数21()22f x t at -+恒成立，则当[1a ∈-，1]时，2t -或2t 【分析】分0x >与0x 讨论，可得函数()f x 的值域是(1,1)-，从而可判断A ；由A 的分析可知，函数在每一分段上单调递增，从而可判断B ；依题意，可求得21()(())12||x f x f f x x ==+，32()(())13||xf x f f x x ==⋯+，利用归纳法可判断C ；利用表达式恒成立转化函数最值恒成立，利用变量转化法进行i 区就即可． 【解答】解：()()1||xf x f x x --==-+，∴函数()f x 是奇函数，当0x >时，1()(0,1)111x f x x x==∈++ 知当0x <时，()(1f x ∈-，0)0x =时，()0f x = ()(1f x ∴∈-，1)，即函数的值域为(1,1)-故A 正确；若对任意x R ∈，都有1212()()0f x f x x x ->-，则等价为函数()f x 为增函数，当0x >时，1()11f x x=+，则1y x =为减函数，11y x =+为减函数，则1()11f x x=+，()f x 是奇函数，()f x ∴在(,)-∞+∞上为增函数，故B 正确，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=，211||()(())12||11||x x x f x f f x x x x +∴===+++，3212||()(())13||112||xx x f x f f x x xx +===⋯+++()1||n xf x n x ∴=+对任意的*n N ∈恒成立，即C 正确；对任意的[1x ∈-，1]，()f x 为增函数，∴函数的最大值为f （1）12=， 要使函数21()22f x t at -+恒成立，即211222t at -+，即220t at -， 设h （a ）22ta t =-+，若[1a ∈-，1]时，则22(1)20(1)20h t t h t t ⎧=-+⎨-=+⎩，即2002t t t t ⎧⎨-⎩或或，即 h （1）22ta t =-+，2t -或0t =，故D 错误，故选：ABC ．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，综合考查函数的解析式、单调性及值域，考查归纳法与推理运算能力，④中，分析()()1||xf x x R x =∈+为奇函数是关键，属于难题． 二、函数的奇偶性1．（2020春•南平期末）已知函数()||1xf x x -=+，则( ) A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 在R 上单调递增C ．函数()f x 的值域是(1,1)-D ．方程2()0f x x +=有两个实数根【分析】由已知结合基本初等函数的性质及函数图象的平移检验各选项即可判断． 【解答】解：因为()||1xf x x -=+，所以()()||1||1x x f x f x x x -===--++，故()f x 为奇函数，A 正确；当0x 时，111()1(1111x x f x x x x -+-==-=-+∈-+++，0]， 根据奇函数的对称性可知，()(1f x ∈-，1)，C 正确；根据反比例函数的性质及函数图象的平移可知，()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减，故B 错误； 当0x =时，显然是方程的一个根， 0x >时，22()01xf x x x x -+=+=+可得(1)1x x +=显然有1正根， 当0x <时，22()01xf x x x x -+=+=-+可得(1)10x x -+=显然没有根，综上，方程有2个根，故选：ACD ．【点评】本题主要考查了函数性质的综合应用，属于中档试题．2．（2020春•薛城区校级期中）对任意两个实数a ，b ，定义,{,},a a bmin a b b a b⎧=⎨>⎩，若2()2f x x =-，2()2g x x =-，下列关于函数(){()F x min f x =，()}g x 的说法正确的是( ) A ．函数()F x 是偶函数 B ．方程()0F x =有两个解C ．函数()F x 有4个单调区间D ．函数()F x 有最大值为0，无最小值【分析】根据定义表示出函数解析式，并画出函数图象，观察图象即可得出正确选项．【解答】解：由题意可得，222,(,[2,)()2,(x x F x x x ⎧-∈-∞+∞⎪=⎨-∈⎪⎩，作出函数图象可得，所以该函数为偶函数，有两个零点，四个单调区间，当x =()F x 取得最大值为0，无最小值．故选：ABCD ．【点评】本题考查函数新定义问题，关键在于根据新定义写出函数解析式，并通过函数图象求得答案，考查数形结合思想，属于中档题．3．（2020•山东模拟）设()y f x =是定义在R 上的偶函数，满足(1)()f x f x +=-，且在[1-，0]上是增函数，给出下列关于函数()y f x =的判断正确的是( ) A ．()y f x =是周期为2的函数 B ．()y f x =的图象关于直线1x =对称C ．()y f x =在[0，1]上是增函数D ．1()02f =．【分析】由()y f x =是定义在R 上的偶函数，满足(1)()f x f x +=-，且在[1-，0]上是增函数，可得()(2)f x f x =+，求出周期，因为()()f x f x -=，所以()(2)f x f x -=+，可得1x =是对称轴及在[0，1]上单调递减，因为(1)()f x f x +=-，令12x =-可得11()()22f f =--可得11()()22f f =-，所以1()02f =，故选出答案．【解答】解：因为()y f x =是定义在R 上的偶函数，满足(1)()f x f x +=-，所以()(1)f x f x =-+，而()(1)f x f x =--，所以(1)(1)f x f x -=+，即()(2)f x f x =+，所以可得函数的周期2T =，所以A 正确， 因为()()f x f x -=，所以()(2)f x f x -=+，所以对称轴212x x x -++==，即关于1x =对称，所以B 正确；由函数()f x 为偶函数关于y 轴对称，又在[1-，0]上是增函数，所以在[0，1]上单调递减，故C 不正确； 因为(1)()f x f x +=-，令12x =-可得11()()22f f =--可得11()()22f f =-，所以1()02f =，所以D 正确，故选：ABD ．【点评】本题考查函数的奇偶性及单调性和周期性的综合，属于中档题．4．（2019秋•龙岩期末）函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x -与(2)f x -都为偶函数，则( ) A ．()f x 为偶函数 B ．(1)f x +为偶函数C ．(2)f x +为奇函数D ．()f x 为周期函数【分析】根据题意，由(1)f x -为偶函数，可得函数()f x 的图象关于直线1x =-对称，则有()(2)f x f x =--，由(2)f x -都为偶函数，可得函数()f x 的图象关于直线2x =-对称，则有()(4)f x f x =--，联立分析可得(2)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为2的周期函数，据此分析可得()f x 和(1)f x +为偶函数，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，若(1)f x -为偶函数，即函数()f x 的图象关于直线1x =-对称，则有()(2)f x f x =--， 若(2)f x -都为偶函数，即函数()f x 的图象关于直线2x =-对称，则有()(4)f x f x =--，则有(2)(4)f x f x --=--，变形可得(2)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为2的周期函数，则D 正确； 又由函数()f x 的图象关于直线2x =-对称且()f x 的周期为2，则()f x 的图象也关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，A 正确；又由函数()f x 的图象关于直线1x =-对称且()f x 的周期为2，则()f x 的图象也关于直线1x =对称，即(1)f x +为偶函数，B 正确；同理：(2)f x +为偶函数，C 错误；故选：ABD ．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的周期性，属于基础题． 5．（2019秋•丹东期末）函数()f x 的图象关于直线1x =对称，那么( )A ．f (2)x f -=()xB ．f (1)x f -=(1)x +C ．函数y f =(1)x +是偶函数D ．函数y f =(1)x -是偶函数【分析】由()f x 的图象关于1x =对称可知，(2)()f x f x -=，(1)(1)f x f x -=+，可判断A ，B ，然后结合函数图象的平移可判断C ，D【解答】解：由()f x 的图象关于1x =对称可知，(2)()f x f x -=，(1)(1)f x f x -=+， 把函数()f x 的图象向左平移1个单位可得(1)y f x =+的图象，关于0x =对称，即为偶函数， 把函数()f x 的图象向右平移1个单位可得(1)y f x =-的图象，关于2x =对称，故选：ABC ． 【点评】本题主要考查了函数的对称性及．函数图象平移的简单应用，属于基础试题 6．（2020•山东模拟）对于定义在R 上的函数()f x ，下列判断错误的有( ) A ．若(2)f f ->（2），则函数()f x 是R 的单调增函数B ．若(2)f f -≠（2），则函数()f x 不是偶函数C ．若(0)0f =，则函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 在区间(-∞，0]上是单调增函数，在区间(0,)+∞上也是单调增函数，则()f x 是R 上的单调增函数【分析】由(2)f f ->（2），则()f x 在R 上必定不是增函数可判断A ， 根据偶函数的定义可判断B ，反例：2()f x x =，满足(0)0f =，但不是奇函数可判断C ，该函数为分段函数，在 0x = 处，有可能会出现右侧比左侧低的情况，可判断D 【解答】解：A 选项，由(2)f f ->（2），则()f x 在R 上必定不是增函数；B 选项，根据偶函数的定义可知B 正确；C 选项，2()f x x =，满足(0)0f =，但不是奇函数；D 选项，该函数为分段函数，在 0x = 处，有可能会出现右侧比左侧低的情况，故错误．故选：ACD ．【点评】本题主要考查了函数 奇偶性及单调性的判断，解题的关熟练掌握基本键是熟练掌握基本定义及性质．7．（2020•全国模拟）函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +与(2)f x +都为奇函数，则( ) A ．()f x 为奇函数 B ．()f x 为周期函数 C ．(3)f x +为奇函数D ．(4)f x +为偶函数【分析】利用已知条件推导出()f x 的周期，再利用周期即可得出()f x 与(3)f x +都为奇函数．【解答】解：(1)f x +与(2)f x +都为奇函数，(1)(1)f x f x ∴-+=-+①，(2)(2)f x f x -+=-+②，∴由①可得[(1)1](11)f x f x -++=-++，即()(2)f x f x -=-+③， ∴由②③得()(2)f x f x -=-+，所以()f x 的周期为2，()(2)f x f x ∴=+，则()f x 为奇函数，(1)(3)f x f x ∴+=+，则(3)f x +为奇函数，故选：ABC ．【点评】主要考查了函数的奇偶性和周期性，是基础题．8．（2019秋•临高县校级期中）下列函数中，是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数的是( ) A ．||y x =B ．21y x =-C ．1y x=-D ．224y x =+【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，||y x =，是偶函数，且在区间(0,)+∞上为增函数，符合题意； 对于B ，21y x =-，是二次函数，在区间(0,1)上为减函数，不符合题意； 对于C ，1y x=-，是反比例函数，是奇函数，不符合题意；对于D ，224y x =+，为二次函数，是偶函数且在区间(0,)+∞上为增函数，符合题意； 故选：AD ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 9．（2019秋•和平区校级期中）下列判断中哪些是不正确的( )A ．()(f x x =-是偶函数B ．22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+>⎩是奇函数C ．()f x =D ．()f x =是非奇非偶函数【分析】根据奇函数和偶函数的定义，判断每个选项函数的奇偶性即可． 【解答】解：A ．()f x 的定义域为(1-，1]，定义域不关于原点对称， ()f x ∴不是偶函数，∴该判断错误；B ．设0x >，0x -<，则22()()()f x x x x x f x -=-=--+=-，()f x ∴是奇函数，∴该判断正确；C ．解230x -=得，x =()f x ∴的定义域关于原点对称，且()0f x =，()f x ∴是偶函数，∴该判断正确；D ．解210|3|30x x ⎧-⎨+-≠⎩得，10x -<，或01x <，∴()f x =，()f x ∴是奇函数，∴该判断错误．故选：AD ．【点评】本题考查了奇函数、偶函数的定义及判断，考查了推理和计算能力，属于基础题．10．（2019春•德州期末）若函数()f x 具有下列性质：①定义域为(1,1)-；②对于任意的x ，(1,1)y ∈-，都有()()()1x yf x f y f xy++=+；③当10x -<<时，()0f x >，则称函数()f x 为δ的函数．若函数()f x 为δ的函数，则以下结论正确的是( ) A ．()f x 为奇函数 B ．()f x 为偶函数 C ．()f x 为单调递减函数D ．()f x 为单调递增函数【分析】可令0x y ==，求得(0)0f =，再令y x =-可得()()f x f x -=-，可得()f x 的奇偶性；再令11x y -<<<，运用单调性的定义，结合其偶性的定义可得其单调性．【解答】解：函数()f x 为δ的函数，令0x y ==，则(0)(0)(0)f f f +=，即(0)0f =， 令y x =-，则2()()()(0)01x xf x f x f f x-+-===-， 则()()f x f x -=-，即函数()f x 是奇函数，设11x y -<<<， 则()()()()()1x yf x f y f x f y f xy--=+-=-，11x y -<<<，101x y xy -∴-<<-，则()01x yf xy->-，即()()0f x f y ->， 则()()f x f y >，即()f x 在(1,1)-上是减函数．故选：AC ．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．11．（2018秋•德城区校级月考）定义在R 上的奇函数()f x 为减函数，偶函数()g x 在区间[0，)+∞上的图象与()f x 的图象重合，设0a b >>，则下列不等式中成立为( ) A ．f （b ）()f a g --<（a ）()g b -- B ．f （b ）()f a g -->（a ）()g b -- C ．f （a ）()f b g +-<（b ）()g a --D ．f （a ）()f b g +->（b ）()g a --【分析】由于函数()f x 为定义在R 上的奇函数且为单调递减函数，偶函数()g x 在区间[0，)+∞上的图象与()f x 的图象重合，根据0a b >>得出(0)0f =，f （a ）f <（b ）0<，()()f x f x -=-，()()g x g x -=，利用作差判断即可． 【解答】解：函数()f x 为R 上的奇函数，且为单调减函数， 偶函数()g x 在区间[0，)+∞上的图象与()f x 的图象重合， 由0a b >>，得f （a ）f <（b ）0<；对于A ，f （b ）()f a g --<（a ）()g b f --⇔（b ）f +（a ）g -（a ）g +（b ）2f =（b ）0< （因为f （a ）g =（a ）在0a >上），所以A 正确； 对于B ，f （b ）()f a g -->（a ）()g b f --⇔（b ）f +（a ）g -（a ）g +（b ）2f =（b ）0>，这与f （b ）0<矛盾，所以B 错误；对于C ，f （a ）()f b g +-<（b ）()g a f --⇔（a ）f -（b ）g -（b ）g +（a ）2[f =（a ）f -（b ）]0<，这与f （a ）f <（b ）符合，所以C 正确；对于D ，f （a ）()f b g +->（b ）()g a f --⇔（a ）f -（b ）g -（b ）g +（a ）2[f =（a ）f -（b ）]0>，这与f （a ）f <（b ）矛盾，所以D 错误．故选：AC ．【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性应用问题，是基础题． 12．()f x 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，正确的是( ) A ．()()0f x f x -+= B ．()()2()f x f x f x --=-C ．()()0f x f x -D ．()1()f x f x =-- 【分析】根据题意，由奇函数的定义可得()()f x f x -=-，据此依次分析选项，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，()f x 是定义在R 上的奇函数，则有()()f x f x -=-， 对于A ，若()()f x f x -=-，则必有()()0f x f x -+=，A 正确； 对于B ，()()()()2()f x f x f x f x f x --=--=-，B 正确； 对于C ，2()()()0f x f x f x -=-，C 正确； 对于D ，()f x 的值可能为0，则()()f x f x -不一定有意义，D 错误；故选：ABC ． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意奇函数的定义，属于基础题． 13．设奇函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，且f （3）0=，则下列选项中属于不等式()()02f x f x -->的解集的有( ) A ．(,3)-∞-B ．(3,0)-C ．(0,3)D ．(3,)+∞【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：因为()f x 为奇函数且f （3）0=，所以(3)f f -=-（3）0=， 因为()f x 在(0,)+∞上单调递增，故()f x 在(,0)-∞上单调递增， 所以()()()02f x f x f x --=>，当0x >时，3x >，当0x <时，可得30x -<<，故不等式的解集为(3-，0)(3⋃，)+∞．故选：BD ．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且有f （3）f >（1）．则下列各式中一定成立的是( ) A ．(3)(1)f f ->-B ．(0)f f <（5）C ．(1)f f -<（3）D ．f （2）(0)f >【分析】根据题意，由偶函数定义可得(3)f f -=（3），(1)f f -=（1），据此分析可得答案． 【解答】解：根据题意，()f x 是定义在R 上的偶函数，则(3)f f -=（3），(1)f f -=（1）， 若f （3）f >（1），则有(3)(1)f f ->-，(1)f f -<（3）， 而(0)f 、f （2）、f （5）的大小无法比较，故选：AC ．【点评】本题考查偶函数的性质，注意偶函数的定义，属于基础题． 15．对于定义在R 上的任意奇函数()f x 都有( ) A ．()()f x f x -是奇函数 B ．()()f x f x -是偶函数 C ．()()0f x f x -<D ．()()0f x f x -【分析】根据题意，由奇函数的定义分析可得()()()()f x f x f x f x -=-，函数()()f x f x -为偶函数，进而可得2()()()0f x f x f x -=-，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数()f x 为定义在R 上的奇函数，即()()f x f x -=-，对于函数()()f x f x -，有()()()()f x f x f x f x -=-，函数()()f x f x -为偶函数，B 正确而A 错误； 又由()()f x f x -=-，则2()()()0f x f x f x -=-，D 正确C 错误； 故选：BD ．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数奇偶性的定义，属于基础题．。
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高一数学函数的单调性与奇偶性1函数单调性(一) (一) 选择题31.函数f(x) —在下列区间上不是 减函数的是( )X3. 设函数y = (2a — 1)x 在R 上是减函数，则有111A . aB . aC . a —2 224.若函数f(x)在区间［1, 3)上是增函数，在区间［3, 5］上也是增函数，则函数 f(x)在区间［1 , 5］上()A .必是增函数B .不一定是增函数C .必是减函数D .是增函数或减函数(二) 填空题5. 函数f(x)= 2x 2— mx + 3在［—2, +^ )上为增函数，在(一^，― 2)上为减函数，则 ma6.若函数f(x)—在(1 ,+^ )上为增函数，则实数a 的取值范围是 _______ .x7. ____________________________________________ 函数f(x)= 1—| 2 — x |的单调递减区间是 ________________________________________________ ，单调递增区间是 ______ .3&函数f(x)在(0,+^ )上为减函数，那么f(a 2— a + 1)与f(—)的大小关系是 _______________4*9 .若函数f(x) =| x — a | + 2在x € ［0,+^ )上为增函数，则实数 a 的取值范围是(三) 解答题10 .函数f(x), x € (a , b)U (b , c)的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出 如下的判断：甲说f(x)在定义域上是增函数；乙说f(x)在定义域上不是增函数，但有增区间，丙说f(x)的增区间有两个，分别为(a , b)和(b , c) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。
111 .已知函数f(x) — 2.x(1)求f(x)的定义域；⑵证明函数f(x)在(0,+^ )上为减函数.A . (0,+^ )B .(―汽 0)C .(―汽 0)U (0,+s )D . (1 ,+^ )2.下列函数中，在区间 (1 , +m )上为增函数的是(A . y =— 3x + 1C . y = X 2— 4x + 5D . y =| x — 1 |+ 2Virh A Jir a h A 1 11J!i]* /I■0 / t J :-°: / b\ f c\x! / \ / 1 ! * / i/pl■J I ■14■f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)12 .已知函数f (x) —. (1)用分段函数的形式写出|x|的图象，并根据图象写出函数f(x)的单调区间及单调性.函数单调性(二) (一)选择题1 . 一次函数f(x)的图象过点A(0, 3)和B(4, 1)，则f(x)的单调性为(A .增函数B .减函数2.已知函数y = f(x)在 R 上是增函数， A . ( — a, 5)B . (5 ,+a )3.函数f(x)在区间(—2, 3)上是增函数, A . (3, 8)B . (— 2, 3)) C .先减后增 D .先增后减且f(2m + 1) > f(3m — 4),贝U m 的取值范围是( C . (f, ) D .(点)55则下列- -定是 y = f(x) + 5的递增区间的是( C . (— 3,— 2)4. 已知函数f(x)在其定义域D 上是单调函数， ① 若x o € D ，则有唯一的 f(x o ) € M② 若f(x o ) € M ,则有唯一的x o € ③ 对任意实数 ④ 对任意实数 错误的个数是 A . 1个 (二)填空题 5. 已知函数 其值域为D . (0, 5) 则下列说法中6.函数y *7 .已知函数 a , a , ( 至少存在一个 至多存在一个 )B . 2个 Dx °€ D , x 0 €D , 使得 使得 f(x 0) = af(x 0) = a f(x) = 3x + b 在区间[—1, 2]上的函数值恒为正，贝U b 的取值范围是 1 2x — (x [1,2])的值域是 __________ . xf(x)的定义域为R ,且对任意两个不相等的实数 x,y ，都有丄^勺一宜 成立，则f(x)在R 上的单调性为 b&若函数y = ax 和y —在区间(0, +8 )上都是减函数，贝函数yx(填增函数或减函数或非单调函数).(填增函数或减函数或非单调函数 ). —x 1 在(—8, a + 8 )上的单调性是9.若函数f (X )x 21 ax 1 (X (X 1)在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围是1) (三)解答题 10 .某同学在求函数 f (x) •、X,X [1,4]的值域时，计算出 f(1) = 2, f(4) = 6，就 直接得值域为[2, 6].他的答案对吗，他这么做的理由是什么? 111 .用max{a , b}表示实数a , b 中较大的一个， 对于函数f(x)= 2x , g(x) ，记F(x) x =max{ f(x), g(x)}，试画出函数F(x)的图象，并根据图象写出函数 F(x)的单调区间. *12 .已知函数f(x)在其定义域内是单调函数，证明：方程 f(x)= 0至多有一个实数根.函数的奇偶性(一) 选择题1.下列函数中：1①y= X2(X€ [ —1, 1])；② y=| x|; ③ f(x) x -; ④ y= x3(x€ R)X奇函数的个数是()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2•对于定义域为R的任意奇函数f(x)—定有()A .f(x)—f( —X)> 0C .f(x) • f( —x)v 0X 1(X0)3 .函数f (X)X 1(X0)B . f(x) —f( —X) < 0D . f(x) • f( —A•是奇函数不是偶函数C.既不是奇函数也不是偶函数4. 下面四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是A . 1 B. 2(二) 填空题5. 下列命题中，B .是偶函数不是奇函数D.既是奇函数又是偶函数( )f(x) = 0(x€ R)C . 3D . 41①函数y 丄是奇函数，且在其定义域内为减函数；X②函数y= 3X(X— 1)0是奇函数，且在其定义域内为增函数；③函数y= X2是偶函数，且在(一3, 0)上为减函数；④函数y= ax2+ c(ac丰0)是偶函数，且在(0, 2)上为增函数;真命题是_______ .6.若f(x)是偶函数，贝U f(1血)f(^^) ________________1 V27.设f(x)是R上的奇函数，且当x€ [0,+^ )时，f(x) = X(1 + X3),那么当x€ ( —^,0]时，f(x) = ______ .& 已知f(x)= X5+ ax3+ bx—8，且f(—2)= 10,则f(2) = __________ .9. _______________ 设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(一3 0)上是增函数，则f(—2)与f(a2—2a + 3)(a € R)的大小关系是.(三) 解答题10 .判断下列函数的奇偶性：(1) f (X) 3X4⑵ f (x)⑶ f(x) x 1 、1 x ⑷ f (x) . x21 1 x211 •函数f(x), g(x)都不是常值函数，并且定义域都是R.①证明：如果f(x), g(x)同是奇函数或同是偶函数，那么f(x) • g(x)是偶函数；②“如果f(x) • g(x)是偶函数，那么f(x), g(x)同是奇函数或同是偶函数”的说法是否成立，为什么？*12.已知定义在［—2, 2］上的奇函数f(x)是增函数，求使f(2a—1) + f(1 —a)>0成立的实数a的取值范围.答案1函数单调性(一)I. C 2. D 3. D 4. B 5.— 8 6. a v 07. [2,+^ ), (―® 2]3 & f(a 2— a + 1) f( —)9. a € ( — 3 0]410. 甲错，乙和丙都对II. (1)解：f(x)的定义域是{x € R | X M 0}; (2)证明：设X 1, X 2是(0,+8 )上的两个任意实数，且 X 1 v X 2,则 X = X 1 — X 2 v 0,因为 X 2 — X 1=— x >0, X 1X 2>0，所以 y >0.1因此f(x) —2是(0,+3 )上的减函数. X1 -(X 0) X 1-(x 0) X⑵图象如图所示，在区间(一3, 0)上是增函数，在区间 2 函数单调性(二) 1. B 2. A 3. B 4. A 5. (3,+s )6. ［1, 7］7.减函数& 增函数 9. (0, 3］210 .他的答案是正确的，因为函数y = x 和y x 在［1, 4］上都是增函数，所以f(x) x x,x ［1,4］，也是增函数，而且，这个函数的图象是连续不断的，因此求出最大值和最小值就可以得到值域了.11.解：图象如图所示，单调区间为:,一f ］和(0,子］上都是单调递减区间; ,0)和【畔,)上都是单调递增区间.12 .证明：假设方程f(x) = 0有两个不相等的根 f(X 1) = f(X 2) = 0…(*)若函数f(x)在其定义域内是增函数， 则应该有f(X 1)V f(X 2)；若函数f(x)在其定义域内是减 函数，则应该有f(x1)> f(X 2),无论如何，都与(*)式矛盾，故假设错误，所以，方程 f(x)= 0至多有一个实数根.3函数的奇偶性1. B2. D3. C(提示：易知f( — 0)M — f(0)，所以f( — x) = — f(x)并不能对定义域内的 任意y f (X 1)f (X 2)1 X11 2 (— 2) X 1X 2 X 1 X-|X 2(0,+m )上是减函数。
12 .解:(1) f (x)实数成立。
所以选C)4. A(提示：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对,既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)= 0[x€ (—a, a)].5. ③6. 07.解：任取x€ ( —a, 0]，有一x€ [0,+^ ),/• f(—x)=—x[ 1 + (—x)3] = —x(1 —x3),••• f(x)是奇函数，••• f(—x)= —f(x) ••• f(x) = —f( —x) = x(1 —x3)，即：当x € ( —a, 0]时，f(x)的表达式为x(1 —x3).&解：观察函数，可知f(x)+ 8=x5+ ax3+ bx为奇函数，令F(x)= f(x) + 8，有F(—x)=—F(x),• F(2) = —F(—2) = —[f( —2) + 8] = —(10+ 8) = —18F(2) = f(2) + 8=—18 , • f(2) = —26.9. f(—2)>f(a2—2a+ 3)10. 解：⑴•••函数定义域为{x | x€ R，且X M 0}4 1 4 1 4 1f( x) 3( x) 2 3x 2 f (x), f (x) 3x 2是偶函数.(x) x x1 v(2) 由0 解得一1W x w 1,又T 1 —X M 0,「. X M 1,1 x•函数定义域为x€ [ — 1 , 1)，不关于原点对称，二f (x) (x 1)J 一x为非奇非偶函数.V1 x(3) f (x) x 1 - /1 x 定义域为x= 1,•函数为f(x)= 0(x= 1)，定义域不关于原点对称，••• f(x) , x 1 .1 x为非奇非偶函数.2:2 2 x 1 0⑷f (x) x 1 . 1 x定义域为2x { 1},1 x20f (x) x2 1 1 x2既是奇函数又是偶函数.•函数变形为f(x)= 0(x =± 1),11. 证明：①如果f(x), g(x)同是奇函数，则f( —x) -g(—x)= [ —f(x)][ —g(x)] = f(x) • g(x), 所以f(x) -g(x)是偶函数；如果f(x) ,g(x)同为偶函数，则f(—x) -g(—x)= f(x) -g(x),所以f(x) -g(x) 是偶函数.②此说法不正确.例如f(x)= x + 1, g(x)= x—1,则f(x) • g(x) = x2—1,显然，f(x) - g(x) 是偶函数，而f(x)和g(x)既不是奇函数，也不是偶函数.12. 解：易知f(2a—1) + f(1 —a)> f(2a —1)>—f(1 —a),因为f(x)是奇函数，所以f(2a —1) >—f(1 —a) f(2a —1)>f(a—1),又因为f(x)是增函数，。