泛函分析试题A_

泛函分析期末考试试卷（A）卷

一、填空题（每小题3分，共15分）

1.设=，=是度量空间，是到中的映射，

如果_________________________________________________, 则称在连续。

2. 设和是两个赋范线性空间，是到中的线性算子，如果

_______________,

则称是到中的无界线性算子。

3.设是赋范线性空间，_________________________________称为的Hilbert空间。

4. 设是Hilbert空间中的规范正交系，若___________________________________则称是中的完全规范正交系。

5.设是赋范线性空间，是的共轭空间，泛函列，如果

_______________________________________________,则称点列弱*收敛于。

二、计算题（20分）

叙述空间的定义，并求上连续线性泛函全体所成的空间？。

三、证明题（共65分）

1、（14分）设表示闭区间上连续函数全体，对任何，令证明成为度量

空间。

2、（12分）证明按范数组成的赋范线性空间与按范数组成的赋范线性

空间共轭。

3、（15分）设是可分Banach 空间，是中的有界集，证明中每个点列含有一个弱*收敛子列

4、（12分）设是内积空间，为的子集，证明在中的正交补是中的闭线

性子空间。

5、（12分）若为Banach 空间上的无界闭算子，证明的定义域至多只能在中稠密。