铌酸锂晶体的横向电光效应

铌酸锂晶体的横向电光效应研究
1实验要求
1研究内容
1.1熟悉沿光轴条件下铌酸锂晶体的横向电光效应。

1.2研究近轴条件下铌酸锂晶体的横向电光效应，对铌酸锂晶体的电光效应进行理论推
导，分析降低晶体驱动电压的方法。

1.3研究非近轴条件下铌酸锂晶体的横向电光效应，分析入射角对晶体电光效应的影
响，进行数值仿真。

2成果形式
2.1采用理论分析与数值仿真结合的方式，研究结果以图表的形式给出。

2.2完成课题研究报告。

2背景介绍
铌酸锂( LINBO3) 晶体作为一种优良的横向电光调制材料，具有驱动电压低、插入损耗小、光谱工作范围宽、消光比高和易于大规模生产等优点，在光通信、光信号传输、电光开关等领域得到了广泛的应用。

理想情况下光线沿着铌酸锂晶体的光轴方向传播，并且在理论分析时不考虑自然双折射的影响，但是，实际应用中光线与光轴完全校准是不可能实现的，这就会造成理论与实际之间存在误差。

分析铌酸锂晶体在近轴及非近轴情况下的横向电光效应，对于利用角度调节以改善其电光性能具有指导意义。

同时，近轴及非近轴条件下晶体的电光特性对既需要利用晶体双折射效应进行分束或者合束，又需要利用其电光效应产生附加相移的新型电光器件来说是至关重要的。

3基础知识
研究铌酸锂晶体的横向电光效应，涉及到光的偏振、双折射及晶体的电光效应等较为基础的知识，为了更加深入地理解电光效应，更加透彻地分析不沿光轴条件下铌酸锂晶体的横向电光效应，对该问题所涉及一系列基础知识进行复习整理，如下所示。

1光的偏振
1.1电磁波是横波，具有偏振现象，这是许多的光学现象的重要基础，包括电光效应。

1.2对人眼、照相底片及光电探测器起作用的是电磁波中的电场强度E，因此常把电矢
量E称为光矢量，把E的振动称为光振动。

在讨论光振动的性质时，只需要考虑
电矢量E即可。

1.3完全偏振光包括线偏振光、圆偏振光和椭圆偏振光，可用如下模型描述（图中给出
了线偏振光的例子，线偏振光的例子里x、y方向的振动无相位差）：
1.4马吕斯定律：一束线偏振光与偏振片透光轴夹角为θ，这束偏振光透过偏振片后的
振幅及光强与夹角θ之间的数学关系为
2双折射
2.1基本概念
当光线从空气进入某些晶体时，这些晶体会使一条单色的入射光线分成两条折射光线，这种现象称为双折射。

这两条折射光中，一条光的折射行为遵循折射
定律，称为寻常光或o光，而另一条并不遵守，称为e光。

当入射光进入晶体内沿某一特殊方向行进时，两条光线完全重合而不出现双折射现象，晶体内的这一特殊方向称为晶体的光轴。

光线与光轴决定的平面称为主平面。

o光的电场振动方向垂直于主平面，e 光的电场振动方向在主平面内，二者都是直线偏振光。

当光线沿着某一特殊平面入射时，不论入射角是多少，e光主平面与o光主平面总是完全重合的，这一特殊平面称为晶体的主截面。

2.2原理分析
首先引入惠更斯-菲涅耳原理：行进中的波阵面上任一点都可看作是新的次波源，而从波阵面上各点发出的许多次波所形成的包络面，就是原波面在一定时
间内所传播到的新波面。

利用惠更斯-菲涅耳原理可以有效地理解下面所用的确
定晶体中o光及e光方向的方法。

单轴晶体中，o光沿各个方向的传播速度相同，e光沿各个方向的传播速度不同，但沿光轴方向的传播速度与o光一样。

单轴晶体可以分为两类：一类以冰洲石为代表，，e光的波面是扁椭球，称为负晶体；另一类以石英为代表，，e光的波面是长椭球，称为正
晶体。

可以利用惠更斯原理作图确定折射光线的传播方向：
3电光效应
3.1在外界强电场的作用下，某些本来是各项同性的介质会产生双折射现象，而本来有
双折射性质的晶体，它的双折射性质也会发生变化，即为电光效应。

3.2克尔效应
3.2.1实验装置
两个正交的偏振片中间放置一个玻璃盒（称为克尔盒），盒内装有特殊液体并封有一对平行板电极，两偏振片的透光轴与外加电场成±45°。

3.2.2公式推导
外加电场之后，盒内液体变成各向异性介质，类似于单轴晶体，光轴方向即电场方向。

线偏振光通过盒内液体时，分解为垂直于电场振动的o光和
沿着电场振动的e光。

这两个方向上的折射率不同，因而通过克尔盒之后会
产生位相差：
透射光的相对强度（注意到偏振片的透光轴与外加电场成±45°）：
此处只考虑出射光的相对相位差，利用和差化积公式：
由此可以推出：
3.2.3特点
3.2.3.1折射率与所加电场的平方成正比。

3.2.3.2相差的变化与电场的方向无关。

3.2.3.3弛豫时间短，可以用于制作高速光开关。

3.3普克尔效应
3.3.1纵向电光效应
3.3.1.1实验装置
正交的偏振器P、A之间放有一块KDP单轴晶体，z轴为光轴。

晶体的两个端面垂直于光轴，且与偏振器平行。

未加电场时，从P出来的线偏振光沿着光轴方向传播，没有双折射现象。

若沿z轴方向加电场，此时自检偏振器有光输出。

此时，z
轴不再是光轴，KDP晶体变成了双轴晶体，在晶体端面正方形的对角
线方向上感生出两个互相正交的主振动方向。

从偏振器P出来的线偏
振光进入晶体后分解为沿轴和轴振动的等振幅的两束线偏振光，
感生折射率分别为、。

3.3.1.2公式推导
感生折射率差为：
是KDP晶体的o光折射率，γ是纵向电光系数，E为所加电场强度，、分别是主振动方向、上的主折射率。

因此通过晶体后的相位差为：
从检偏器射出的相对透射光强为：
3.3.1.3特点
透射光强与晶体的长度无关，仅由晶体的性质γ和所加电场U 决定。

把相对透射光强随外加电压的变化关系用I/I0~U曲线表示，
称此曲线为晶体的透射率曲线。

【注】半波电压：使位相差为π所需的驱动电压。

3.3.2横向电光效应
3.3.2.1实验装置
当外加电场的方向与光的传播方向垂直时，此时的电光效应称为横向电光效应，如下图所示（该图模型仅对应于此处文字描述，与后
续的理论分析、实验仿真所用的图略有出入）。

z轴为光轴，为光传播方向，电场加在z方向上，两个主振动方向为z和，感生折射率分别为、。

3.3.2.2公式推导
经过晶体后的位相差：
相对透射光强类似，不再赘述。

3.3.2.3特点
位相差正比于l/h，将晶体做成扁平形可以大大降低所需的半波
电压。

4相对透射光强的进一步推导
实验装置中，两偏振器互相正交，晶体的两个主轴也互相正交；加电压后，假定入射端的线偏振光与晶体的某一主轴夹角为ψ，据此推导透射光强的表达式：入射线偏振光：
沿着铌酸锂晶体的两个主轴分解：
经过铌酸锂晶体后，产生位相差δ：
从尾端的偏振器射出：
整理化简得到出射光表达式：
在部分，曾处理过括号内的部分，使用三角函数的和差化积公式易得：
因此相对透射光强为：
旋转晶体使得ψ=45°，可以得到最大相对透射光强为：
为了简便，之后的分时析中默认调整ψ=45°以使相对透射光强达到最大。

5铌酸锂晶体
5.1折射率色散公式（Sellmeier方程）：
利用该公式，可以根据波长参数直接确定铌酸锂晶体在未加电场时的两个主折射率。

5.2单轴晶体中折射率的基本描述工具
没有外加电场时的折射率椭球：
加电场之后，一般情况下椭球的主轴会发生旋转，此时的椭球方程为：
对于线性电光效应，椭球系数相对于未加电场时的增量满足下式（为电光系数，是晶体的一种属性）：
5.3铌酸锂晶体中的线性电光效应
铌酸锂晶体的电光系数（）：
电光系数的值为：
将铌酸锂晶体的电光系数代入椭球方程：
晶体的折射率椭球变化为以下形式：
以该折射率椭球方程为基础，可以较为透彻地研究近轴情况下铌酸锂晶体的电光效应；辅助以较为繁琐的计算及数值仿真则可以进一步研究非近轴情况下铌
酸锂晶体的横向电光效应。

4理论分析
1沿光轴条件下铌酸锂晶体的横向电光效应
1.1沿z轴传播，y向加电场
根据铌酸锂晶体线性电光效应的理论，此时晶体的折射率椭球变为：
进行坐标变换（y、z坐标轴顺时针旋转θ）：
坐标变换之后的系数如下：
令交叉项系数为0，可得：
由于项相对于折射率所在项很小，可以略去这一项以化简计算：
将上述未经过化简的式子代入的系数中：
代入的系数中：
因此，折射率椭球方程变化为：
各主轴的折射率变为：
利用泰勒级数展开至1阶，忽略高阶项可得：
应用到上述的感生折射率上：
由此可得折射率之差为：
由于角度θ较小，可以忽略最后一项，得到：
1.2沿z轴传播，x向加电场
此时折射率椭球变为：
由于存在xz、xy交叉项，说明椭球分别绕y轴、z轴旋转一定角度。

先从绕y轴的旋转考察，设绕y轴逆时旋转了β角度：
经过上述坐标变换之后椭球方程的系数发生变化，列表整理如下：
令交叉项前的系数为0，可得：
由于很小，可知β也很小，可以忽略绕y轴的旋转，即可以忽略xz交叉项，只考虑椭球方程中的其余项。

接下来研究xy交叉项，设新的椭球（即忽略了xz交叉项后的椭球）绕z轴旋转角度为φ，据此进行坐标变换：
坐标变换后，整理各项系数如下表：
令交叉项为0可得：，可得新的椭球方程为：
利用泰勒级数展开，与之前的步骤类似，可得感生折射率为：
感生折射率之差为：
1.3z轴加电场
仅在z轴加电场时，易知折射率椭球表达式将变为：
由于不存在交叉项，可见z轴加电场时椭球并不旋转。

利用泰勒级数展开，可得感生折射率为：
z轴方向加电压，光线的传播方向为x或y，则横向电光效应的折射率差为：
2近轴条件下铌酸锂晶体的横向电光效应
2.1理论分析的核心思想
铌酸锂晶体的近光轴电光效应是指在晶体x-y平面内加电场，光沿偏离光轴一个小角度θ的方向传播时折射率随电场变化的效应，这一变化可以借用折射率
椭球来描述。

沿光轴时，将椭球的表达式主轴化即可得到3个新的主轴方向上的
感生折射率；而在近轴情况下，只需求出垂直入射光的截面与椭球交出的椭圆的
长轴与短轴即为感生折射率。

最后，再利用近轴条件进行近似就可以得到最终结
果。

2.2具体理论推导
2.2.1感生折射率及位相差
如图所示，z轴为光轴，光线沿k(θ,φ)方向入射
沿y方向加电场时，折射率椭球表达式为（从非近轴条件下的推导中可以看出，x轴方向加电场的唯一区别是绕z轴旋转45°，规律上没有本质区别，对于
分析降低驱动电压的方法影响不大，此处不再对该情境进行分析）：
进行坐标变换，使k矢量所指方向称为新坐标系中的z轴：
先绕z轴旋转角度φ
再绕轴旋转角度θ
求出平面上的椭圆表达式
即
将代入，并令，即可得到所需表达式：
化简得各项系数，整理得到下表（原椭圆表达式中yz交叉项引入的系数放在圆括号内）：
根据本块的推导，θ很小，因此cosθ>>sinθ，可以忽略原yz交叉项引入的系数以简化运算：
将椭圆主轴化得到主折射率
将坐标系绕轴逆时针旋转α角度：
将坐标变换应用到上面的系数表所代表的椭圆表达式中，得到新的表达式，再次将系数整理为表格：
令交叉项为0，可得：
容易知道感应折射率为：
此时根据近轴条件，即θ很小，则：
sinθ=θ, cosθ=1
可以得到如下近似，其中α是与光轴垂直的主轴旋转的角度，即偏
振光振动方向转动的角度：
折射率之差为：
将偏振光振动方向偏角公式代入到感生折射率中
因此感生折射率可以进一步化简
此时利用近轴条件求出偏振方向偏转角α：
因此感生折射率可以进一步近似为：
则感生折射率之差为：
因此位相差为：
简单化简可得：
2.2.2降低晶体驱动电压的方法：
假定沿y轴方向加电场，y轴方向晶体厚度为dy。

从位相差着手分析，要实现降低驱动电压的目标，即需要实现以下目标：改变其余参数弥补驱动电压的降低，以保证位相差不变，从而入射光的相对透光率等参数也不变。

将电场强度换位驱动电压：
为了看清楚Uy与其他参数的关系，将平方项拆开再次化简：
易知增加驱动电压，位相差会单调增大。

再从上述公式入手，容易得到降低晶体驱动电压Uy的几种方法：
减小沿电场方向的晶体厚度
加长主轴方向的晶体长度
提高所使用激光的频率，即减小其波长
当入射角θ一定时，令φ靠近90°或270°附近可以降低驱动电压
当入射角φ一定时
若φ较大，则增大θ可以降低驱动电压
若φ较小，则驱动电压与入射角θ之间的关系较为复杂。

通过分
析折射率之差的根号内部的部分可知，该部分与sinθ的平方为
开口朝上的抛物线关系，且抛物线的对称轴位于正半轴。

根据近
轴条件，此时θ的增大会使位相差减小，因此减小θ可以降低驱
动电压。

3非近轴条件下铌酸锂晶体的横向电光效应
3.1非近轴条件下理论分析的核心思想
非近轴情况的分析以沿光轴条件下的横向电光效应为基础，再加上简单的数学变换和稍复杂的计算即可得到结果，与近轴情况下的分析类似，但是不能利用
近轴条件进行近似，因而计算更加麻烦。

与近轴时的想法一致，y方向加电场后，光在晶体中传播的折射率椭球就已经固定了。

要分析光在晶体中传播的位相差，只需求出与传播方向垂直的截面上
的椭圆表达式，再通过标准化该表达式求得长短轴长度，即为两个正交主轴的折
射率。

3.2沿y方向加电场
如图所示，z轴为光轴，光线沿k(θ,φ)方向入射。

根据近轴部分推导的前半部分（还未进行近轴近似）可直接得到偏振方向的转角及感生折射率：
这就是铌酸锂晶体沿y方向加电场，光沿任意方向传播时，感应折射率的函数表达式，据此可以分析感应折射率与入射角度的关系。

3.3沿x方向加电场
沿x方向加电场时，折射率椭球表达式为：
由理论分析可知，y方向加电场相当于使折射率椭球绕z轴旋转45°，旋转之后的椭球表达式变为：
而沿y轴方向加电场时椭球的函数表达式为：
根据的分析可知交叉项可以忽略，即沿y轴方向加电场时椭球的函数表达式为：
对比发现，该表达式与x方向加电场时绕z轴旋转45°后的表达式一致，可利用这一点简化推导过程：
令，在旋转之后的坐标系里，可以直接运用的结论：
这就是铌酸锂晶体沿x方向加电场，光沿任意方向传播时，感应折射率的函数表达式，可以看到与y方向加电场时十分类似。

3.4位相差与相对透射率
当光束以任意角度α入射时（设折射角为θ），还需要考虑到光程的变化：
位相差、相对透射率、半波电压的公式只需使用新的光程差即可。

5仿真结果与分析
1仿真所用实验装置图
P1、P2是两个互相正交的偏振片，铌酸锂晶体置于两偏振片之间，端面与偏振片平行。

z轴为光轴，设x方向晶体的宽度为h，y、z方向的尺寸分别为d、L。

2沿光轴条件下铌酸锂晶体的横向电光效应
由于沿光轴，变量较少，大多数参数之间是直观的线性关系，因此只仿真分析相对透光强度与电场强度的关系。

2.1z轴传播，ｘ或ｙ方向加电场
2.1.1仿真所用公式
利用铌酸锂晶体的折射率色散公式（Sellmeier方程），在室温下可以由波长推得两个主折射率：
感生折射率之差：
位相差：
相对透射光强：
半波电压：
令δ=π，可得半波电压U：
2.1.2仿真结果及分析
参数设定：
% lambda =
由图4可以看出，相对透射率与驱动电压之间是正弦平方关系，而晶体的长度与厚度影响了正弦振动的频率。

但是在一般的电压范围内，相对透射率
仍处在正弦函数前1/4的上升周期，因此晶体的长度越长，厚度越薄，相对
透射率就越大，该规律也可以从前3幅子图中明显看出。

2.2y方向传播，z轴加电场
2.2.1仿真所用公式
z轴加电场情况下，唯一的区别是感生折射率有所变化，将此条件下的感生折射率之差代入即可：
位相差：
相对透射光强：
半波电压略。

2.2.2仿真结果及分析
参数设定：
% lambda = ;
z轴加电场时函数式较为复杂，规律不明显。

此种情境下，相对透射率随电压振动的周期稍长些，且在常用电压范围内相对透射率随着电场强度的
增强处于下降阶段。

3非近轴条件下铌酸锂晶体的横向电光效应
这里只分析沿y轴方向加电压的情况，因为沿x轴加电压的情况与其唯一的差别是x-y平面的角度相差45°，因而两者的仿真结果相通。

同时，数值仿真的结果与具体的参数设置有关，进行数值仿真的目的是找出光电效应的一些参数与入射角的关系，因此这里的仿真只是公式规律的部分展现，与参照的论文等处均有不同。

3.1折射率特性
3.1.1仿真所用公式
感生折射率：
其中α为：
3.1.2仿真结果与分析
3.1.2.1φ=0°，θ=0°，沿光轴入射
易知α=0°，代入公式中：
φ=0°，θ=0°是非近轴的特殊情况——沿光轴入射，所得结果与直接应用沿光轴条件推导出的公式一致，验证了非近轴部分理论分
析与数学推演的正确性。

3.1.2.2φ=90°，θ任意
此时α=0°：
此时光线贴着晶体表面入射。

容易看出，y方向的折射率公式与沿光轴入射时略有不同，电场强度前的符号反号，不再仿真分析。

x
方向则变得较为复杂，因此需要通过数值仿真观察其规律。

取λ= ，
由折射率色散公式可以得到。

可见，随着电场强度的增加，感生折射率近似线性减小；随着入射角θ的增加，线性减小的系数（即图中曲线的斜率）减小。

当
角度θ较大或较小时（0与π/2附近），曲线整体斜率受角度θ影响
较小，当角度在π/4附近时，随着角度θ的变化，曲线整体斜率变
化较大。

3.1.2.3φ=0°，θ任意
此时α=0°：
此时光线在x-z平面内射入晶体，取λ= ，由折射率色散公式可以得到。

随着电场强度增大，感生折射率近似线性增加。

随着入射角θ的增大（从0到π/2），线性增加的斜率渐渐减小，同时θ在π/4
附近时，斜率随着角度θ改变变化得更快，这点与中的规律一致。

3.1.2.4φ、θ取任意角
从公式中可以看出，感生折射率与入射角φ、θ之间是非线性关系，不具有普遍性的规律。

因此这里取几个特殊的角度，尽量使数值
仿真更具有代表性。

角度参数设置为在φ=30°，45°，60°情境下，θ取一系列值。

φ=30°
φ=45°
φ=60°
由仿真结果可知，感生折射率与角度不是线性关系。

当角度φ较小时，随着电场的增强以不同方式增长，则以不同的方式减小；当角度φ较大时，情况就变得恰好相反，随着电场的增强以不同方式减小，则以不同的方式变大。

角度θ则影响折射率随电场强度变化的速度（即曲线的整体斜率），整体规律是角度θ越大则曲线的整体斜率越小，且角度θ越接近45°附近对曲线整体斜率的影响越大，这两点对于两个主折射率是一致的。

在φ=60°时，还可以观察到一个较为奇特的现象：折射率发生了跳变。

为了分析该现象，对折射率的幂函数表达式的跟进行研究，仿
真绘图如下：
可见跟也出现了跳变。

再看电场强度的取值方式：Ey = 1:1e4:5*1e9，可见这是由于电场强度步长过长（相邻坐标之间相差
1000V）导致，这也说明在附近，电场强度对折射率的影响格外大。

总的趋势是，当电场强度在合理范围内时(10的9次方以内)，角度θ越接近90°，两个主轴折射率的差别就越小，电光效应就越弱，
这点将在下面的位相差仿真中更加详细地讨论。

3.2位相差与相对透射率
3.2.1仿真所用公式
由于存在入射角，光程差发生变化，真实的光程差为：
位相差：
相对透射率为：
3.2.2仿真结果与分析
借用的仿真，容易求出两主轴折射率，将两折射率代入公式即可求出位相差和相对透射率。

要着重注意光以任意角度射入铌酸锂晶体时，实际的光程差也会随着入射角发生变化。

3.2.2.1φ=0°，θ任意
取λ=，同上由铌酸锂晶体的折射率色散公式可以得到不加电场情况下的主折射率；再由入射角、电场强度取值确定偏转角α，即可求
得感生折射率，接下来即可顺利求出位相差和相对透光率（又是写为
相对透射率，指的是同一个参量）。

此时光从x-z平面射入晶体。

观察图中曲线可知，随着电场强度的增加，位相差近似于线性增加，并且相同情况下，入射角越大，位
相差越大，电光效应越明显。

同时，随着入射角的增大，位相差随着
电场强度增强而增长的速度也越快。

在其他情况相同时，电场强度越
大，则入射角θ增大引起的位相差增加也越大。

3.2.2.2φ=90°，θ任意
类似操作，绘图如下：
此时光贴着晶体端面射入晶体中，位相差为负值，但是幅值与φ=0°的情况没有区别，因此位相差、相对透射率与入射角φ、θ之间
的规律是一样的，不再赘述。

由此可以看出，入射角θ对于晶体的横
向电光效应影响更大，这点将在后续仿真中得到验证。

3.2.2.3φ，θ任意
φ、θ与位相差、相对透射率之间是更加复杂的非线性关系，因此举出较为特殊的角度例子进行数值仿真以大致摸清规律。

取φ=30°、45°、60°，φ取定时θ取一系列值，仿真结果如下：
φ=30°
φ=45°
φ=60°
一般情况下，随着电场强度的增大，位相差近似线性增加，线性增加的斜率随着入射角θ的增大而增大，相同条件下，入射角θ越大，位相差越大，入射角φ影响位相差整体的增长速度。

但在φ较大的情
况下，会出现位相差随着电场强度的增大没有明显变化甚至下降的情
况，在实际应用中，应该避免这种状况，控制入射角φ在合适的范围
内，或者利用这种反常现象实现特殊应用。

同时在φ较大时，还会出
现位相差的跳变（该现象在之前的折射率仿真部分已经加以研究），这
是由于电场强度所取的步长较大，也说明在该段电场强度范围内感生
折射率对电场强度格外敏感，可以利用这一现象实现某些特殊应用。

总的来说，入射角越接近90°，位相差越大，横向电光效应越明显。

相对透射率随着电场强度的变化近似于正弦振荡，由于光程差变化等带来的影响，振荡并没有严格的周期。

随着角度θ的增加，振荡
周期变小，同时电场强度越大，振荡周期也越小。

φ越接近45°，振
荡周期的变化越剧烈；φ接近0或者90°时，周期性更好。

为了更清楚地看到入射角对位相差、相对透光率的影响，接下来采取固定电压、使入射角作为因变量的仿真方法。

3.2.2.4电场强度Ey固定
Ey=1e3。