液体的流动 4

第二节 粘滞流体的流动
积分，并根据 r = R 时, v = 0 的条件,得到：
v p1 p2 (R2 r 2 )
4l
可以看出,管轴(r=0)处流速有最大值,流速v沿管 半径方向呈抛物线分布。 再求流量
管中取一内半径为r、厚度为dr的管状流层,该流 层的截面积为2πrdr,流体通过该流层的流量为
水中仅受阻力 Fr bv 的作用
m dv bv dt
FB
Fr
v
y
P
v
v0
dv v
b m
t
0 dt
v
v0
v
v e(b/ m)t 0
o
t
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dQ = v 2πrdr
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第二节 粘滞流体的流动
将流速公式代入得 dQ p1 p2 (R2 r 2 )rdr 2l
积分，有:
Q
R 4 8l
(
p1
p2 )
令：
Z
8l R 4
称其为流阻 (flow resistance)
Q p Z
流阻的单位：Pa·s·m-3或N·s·m-5
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第二节 粘滞流体的流动
当固体运动速度很小时,压差阻力可忽略不计,这时 对固体的阻力主要是黏滞阻力。
固体在液体中运动所受到的黏滞阻力的大小f与固体 的线度、速度及液体的黏度系数有关。对半径为r的小球 形物体,当液体相对于球体是片流时,小球受到的黏滞阻 力f的大小为：
F = 6πη r v
第二节 粘滞流体的流动
1、泊肃叶公式的推导
设流体在半径为R,长度为l的水平管内稳定流动,管左 端的压强为p1,管右端的压强为p2,p1>p2,流体向右流动。
在管中取与管同轴、半径为r的圆柱形流体为研究 对象,它所受到的压力差为:
ΔF = (p1-p2)πr2
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第二节 粘滞流体的流动
周围流体作用在该圆柱形流体表面的内摩擦力为 f = -η 2πr l (dv/dr)
式中负号表示v随r的增大而减小,dv/dr是 流体在半径r处的速度梯度。 由于管内流体作稳定流动,所以以上两力大小相等,即
(p1-p2)πr2 = -η 2πrl (dv/dr)
dv p1 p2 rdr
2l
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第二节 粘滞流体的流动
Q一定时， Z↑→Δp↑
心脏射血时，Q一定，Z↑→Δp↑
Z
R4
动脉硬化R↓高血源自症η↑治疗药物扩张血管 药物降低血脂
Z↑
高血压
Z↑ 高血压
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2、流阻的串并联
流阻的串联（如图） Z = Z1 + Z2 + Z3
第二节 粘滞流体的流动
与电阻串联情况一致
流阻的并联（如图）
1 1 1 1 1 Z Z1 Z2 Z3 Z4
与电阻并联情况一致
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第二节 粘滞流体的流动
六、斯托克斯定律
固体在黏滞液体中运动时，将受到阻力的作用。
所受阻力一般分两种：
一种是黏滞阻力,这是因为浸在液体中的固体表面 附着一层液体,它随固体一起运动,因而与周围液体有内 摩擦力作用。
另一种是压差阻力,当液体流动经过在其中的固体时, 由于内摩擦的作用而形成漩涡,使固体前后压力不等而引 起压差阻力。
第三章 液体的流动
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第二节 粘滞流体的流动
五、泊肃叶公式
法国医学家泊肃叶(Poiseuille),于1842年首先提出 水平、等粗、小流管中实际液体作片流
当管两端的压强差Δp、管子长度l、管半径R及 液体黏度系数η，它的流量Q为：
Q R4p 8l
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,
为粘滞系数，
FB为浮力
FB
Fr
令 F0 mg FB b 6πr
F0
bv
m
dv dt
v
dv b (v F0 )
yP
dt m b
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第二节 粘滞流体的流动
dv b (v F0 )
dt m b
v
dv
b
t
dt
0 v (F0 b)
m0
v F0［1 e(b / m)t］ b
t , vL F0 / b（极限速度）
当 t 3m b 时
v vL (1 0.05) 0.95vL
一般认为 t 3m b, v vL
FB
Fr
v
y
P
v F0
b
o
t
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第二节 粘滞流体的流动
若球体在水面上是具有竖直向
下的速率 v0 ，且在水中的重力与
浮力相等， 即 FB P . 则球体在
由斯托克斯于1845年首先导出 称为斯托克斯定律(Stoke’s law)
式中v为小球相对于液体的速度,η 是液体的黏度系数。
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第二节 粘滞流体的流动
例5 一质量 m ，半径 r 的球体在水中静止释放
沉入水底.已知阻力 Fr 6πrv
求 v(t) .
解 取坐标如图
mg FB 6πrv ma