提取公因式法、运用公式法

一. 教学内容：

提取公因式法、运用公式法

1. 因式分解的定义

2. 提取公因式法、运用公式法的定义

3. 提取公因式法、运用公式法的步骤

二. 知识要点：

1. 提取公因式法：多项式各项都含有公因式m，可把公因式m提到外面，将多项式写成m与的乘积形式，此法叫做提取公因式法。

2. 提取公因式的步骤：

1）找出多项式各项的公因式

2）提出公因式

3）写成m与的乘积形式

3. 运用公式法：把整式相乘的乘法公式反过来，就得到因式分解的两个公式

（1）平方差公式：

（2）完全平方公式：

三. 重点与难点：

1. 重点是观察各项多项式是否有公因式。

2. 难点是提取公因式要提“全”提“净”；合理选用公式进行因式分解。

【典型例题】

【例1】下面从左到右的变形哪些是因式分解？

（1）3x2－6xy＝3x (x－2y) （2）(5x－y)(5x＋y)＝25 x2－y2

（3）a2－b2＋c2＝(a＋b)(a－b)＋c2（4）xy2＋x2y＋x＝xy(y＋x＋1/y)

【分析】学习因式分解的定义时, 要特别注意“整式”和“积”这两个关键词，切实领会因式分解的意义。

答：（1）是.（2）不是，它是乘法运算。（3）不是，结果不是积的形式。

（4）不是，y＋x＋1/y是分式，而因式分解的结果应是整式的积。

【例2】分解因式：x3－xy2＝。

【分析】先观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，此题根据题目的特点，首先要采用提公因式法，然后利用公式法分解。因此，＝x(x＋y)(x－y)。

【例3】分解因式：2x3y＋8x2y2＋8xy3＝。

【分析】对于三项式的因式分解，首先观察提取公因式，提出公因式后，再观察是否符合完全平方公式或十字相乘法，直至不能再分解为止。

解：2x3y＋8x2y2＋8xy3＝2xy(x＋2y)2

【例4】把－4m3＋16m2－16m分解因式。

【分析】如果多项式的最高次项带负号，为使提公因式后括号内首项不含负号，可以提一个带负号的公因式。

解：－4m3＋16m2－16m＝－4m(m2－4m＋4)＝－4m(m－2)2

【例5】分解因式：（m2－1）(n2－1)＋4mn

【分析】将（）()展开得m2n2－m2－n2＋1＝(m2n2＋1)－(n2＋m2)，可将m2n2＋1与n2＋m2均配成完全平方则可用平方差公式分解。

解：（m2－1）(n2－1)＋4mn＝(m2n2－m2－n2＋1)＋4mn

＝(m2n2＋1)－(n2＋m2)＋4mn＝(m2n2＋2mn＋1)－(m2－2mn＋n2)

＝(mn＋1)2－(m－n)2＝(mn＋1＋m－n)(mn＋1－m＋n)

【例6】分解因式：

【分析】先找公因式：各项系数是整数时，公因式的系数是各项系数的最大公约数（5、10的最大公约数是5）；字母取各项相同的字母，而且各项相同的字母的指数取最低的（

的指数取，的指数取1），，故前后项还有公因式解：原式＝

【注意】这一变形，当然可以将变形后，再提取公因式。

【例7】一个三位数字与各位数字交换位置后，则得到的新数与原数之差能被11整除。

【证明】设原三位数为小于10的自然数），新三位数为：

所以：＝99c＋(－99a)＝99(c－a) 所以：99能被11整除，得到的新数与原数之差能被11整除。

【例8】已知乘法公式：

，

利用或者不利用上述公式分解因式：。

【分析】把待分解的多项式与所给的公式进行比较，发现待分解的多项式与公式（2）中的结构相似：符号为正，而且是降幂排列，令：则有：即

解：由公式可知：（）

所以：＝

＝

【注意】用所给的公式进行因式分解是本题的创新之处，要求认识公式的特征，将公式与待分解的多项式比较，找出相互关联之处，灵活进行因式分解。注意“数字1”的多变性即1＝。

【方法总结】

1. 提取公因式法实质是逆用乘法分配律：

乘法分配律：

逆用乘法分配律：

2. 运用公式法分解时应分解彻底。如：

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一、选择题

*1. 若a2＋a＋k是一个完全平方式，则k是………………………………（ D）

A. B. 1 C. D.

2. 下列各式中，正确的是………………………………………………（C ）

A. a2＋2ab＋4b2＝(a＋2b)2

B. (0.1)－1＋(0.1)0＝

C. D. a3＋b3＝(a＋b)(a2＋ab＋b2)

*3. 分解因式x4－1的结果为……………………………………………（ C ）

A. （x2－1）(x2＋1)

B. (x＋1)2(x－1)2

C. (x－1)(x＋1) (x2＋1)

D. (x－1)(x＋1)3

*4. 下列各式中是完全平方式的是………………………………………（ C ）

A. 4x2＋4x－1

B. 1－4x－4x2

C. －4x＋4x2＋1

D. 4x2－2x＋1

5. 下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是…………………（ B ）

A. x2＋y2

B. x2－2xy＋y2

C. x2＋2xy－y2

D. x2＋xy＋y2

二、填空题

1. 分解因式_____________________

2. 分解因式_______________________

3. 分解因式___________________

4. 分解因式_____________________

5. 分解因式____________________

*6、分解因式_______________

三、用公式法分解因式

1.

2.

**四、用恰当的方法分解因式

1. 2.

***五、解答题

无论x、y为何值，4x2－12x＋9y2＋30y＋35的值恒为正。

***【思维拓展培优系列】