(1-1)第三章《变化率与导数》ppt-北师大版选修PPT课件
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x
小结：
1.函数的平均变化率
f f(x2) f (x1)
x
x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量：Δf；
(2)计算平均变化率
f f(x2) f (x1)
x
x2 x1
3.函数的平均变化率的几何意义：
表示函数图象上两点A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2)) 连线（割线）的斜率。
观察小新接连 两次吹气球时， 气球的膨胀程度。
第 二 次
可以看出，随着气球的体积逐渐变大r，(V ) 气球的平均膨胀率逐渐变小了。
3
3V
4
思考
r(V2) r(V1) V2 V1
当气球的空气容量从V1增加到V2时， 气球的平均膨胀率是多少？
问题三:高空崩极 4.9米 14.7米
观察小男孩崩极时 的平均速度变化
h(t)4.9t26.5t10
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
v 4 .9 t 1.1 3
当△t = – 0.01时, v13.051
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4 .9 t 1.1 3
当△t = 0.01时, v13.149
x
x2 x1
表示什么?
直线AB的斜 率
y
Y=f(x)
f(x2)
f(x1)
O
B
f(x2)-f(x1)=△y
A
x2-x1=△x
x1 x2
x
例1、已知函数 f (x) x2，分别计算
在下列区间上 f ( x) 的平均变化率：
（1）[1，3]； 4
（2）[1，2]； 3 （3）[1，1.1] 2.1
例2：已知函数 f(x ) 2 x 1 ,g (x ) 2 x , 分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]
第0秒到第1秒这段 时间内 第1秒到第2秒这段 时间内
重复观看请按
作崩极时，小男孩落下的高度h(单位：m)
与跳后的时间 t (单位：s)存在函数关系
h(t)=
-1 gt2
2
如果用小男孩在某段时间内的平均速度
-v 来描述其运动状态，那么
在0t1这段时间内
-v1
h(1)h(0)4.9(m/s) 10
在1t2这段时间内
下面是一家公司的工资发放情况:
工资的年薪s(单位：10元)与时间t(单位:年)
成函数关系。 公司的工资发放情况
年份 1 2 3 4 5 年 薪 2000 2100 2300 2600 3000
用y表示每年的平均工资增长率.
试分析公司的效益发展趋势？
问题二:气球膨胀率
0.62dm
第 一 次
0.16dm
第三章 导数及其应用
第三章 导数及其应用
牛顿
两人同时创立
了微积分
莱布尼兹
微积分主要与四类问题的处理相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数， 求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
平均变化率
问题一:工资增长率
称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ f = f (x2) – f (x1) ,则
f (x2) f (x1) f
x2 x1
x
令x2=x1 +△x，则 f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)
x2x1
x
思考?
观察函数f(x)的图象
平均变化率 y f(x2) f (x1)
x0+△x时，函数的改变量为（ D ）
A．f(x0+△x) B． f(x0)+△x
C．f(x0 ) ·△x D．f(x0+△x) －f(x0)
3.求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x] 内的平均变化率。
△ y=［5(2+ △x)2+6］-(5×22+6) =20△x+5△x2
所以平均变化率为 y 205x
上 f (x)及 g ( x) 的平均变化率。
经过曲f (线 x)x2 1上A、B两点作割线， 求割线的, 斜 其 率x 中 A1 ， ： xB2.
练习题
1. 一质点运动的方程为s=1－2t2，则在一
段时间[1，2]内的平均速度为（ C ）
A．－4
B．－8
C． －6
D．6
2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到
反映某一刻的运动状态。这就需要用瞬时速度来更精
细地刻画运动员的运动状态。我们把物体在某一时刻
的速度称为瞬时速度.
如何求瞬时速度？
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高 度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s ) 存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10
求ｔ＝2时的瞬时速度？ h
我们先考察ｔ＝2附近的情况。
h(t)4.9t26.5t10
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运
动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, vh(0.5)h(0)4.0(5 m)/;s
0.50
在1≤ t ≤2这段时间里, vh(2)h(1)8.2(m)/;s
21
平均变化率的定义
式子
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
-v2
h(2)h(1)1.4 7(m/s) 21
可以看出， 随着跳后的时间的推移，
h(t)=
-1gt2
2
小男孩下落的速度越来越大。
思考
h(t2) h(t1) t2 t1
小男孩跳后的时间从t1变化到t2时， 平均速度是多少。
问题四:高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
任取Leabharlann Baidu个时刻2＋△ｔ，△ｔ
是时间改变量，可以是正值，
也可以是负值，但不为0.
当△ｔ＜0时，在2之前；
o
2
当△ｔ＞0时，在2之后。
△ｔ＜0时
计 算 区 间 2 t,2和 区 间 2,2 t2＋△ｔ
内 平 均 速 度 v,可 以 得 到 如 下 表 格 .
t
△ｔ＞0时 2＋△ｔ
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋 势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
在高台跳水中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起 跳后的时间t（单位：秒）存在关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10
通过计算可得运动员在 0 t 65 这段时间里的平均 49
速度为0，这是否说明运动员在这段时间里是静止的？
由此可见用平均速度描述运动员的运动状态有何问题？
平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，并不能
当△t = – 0.001时, v13.0951 当△t =0.001时, v13.104
小结：
1.函数的平均变化率
f f(x2) f (x1)
x
x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量：Δf；
(2)计算平均变化率
f f(x2) f (x1)
x
x2 x1
3.函数的平均变化率的几何意义：
表示函数图象上两点A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2)) 连线（割线）的斜率。
观察小新接连 两次吹气球时， 气球的膨胀程度。
第 二 次
可以看出，随着气球的体积逐渐变大r，(V ) 气球的平均膨胀率逐渐变小了。
3
3V
4
思考
r(V2) r(V1) V2 V1
当气球的空气容量从V1增加到V2时， 气球的平均膨胀率是多少？
问题三:高空崩极 4.9米 14.7米
观察小男孩崩极时 的平均速度变化
h(t)4.9t26.5t10
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
v 4 .9 t 1.1 3
当△t = – 0.01时, v13.051
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4 .9 t 1.1 3
当△t = 0.01时, v13.149
x
x2 x1
表示什么?
直线AB的斜 率
y
Y=f(x)
f(x2)
f(x1)
O
B
f(x2)-f(x1)=△y
A
x2-x1=△x
x1 x2
x
例1、已知函数 f (x) x2，分别计算
在下列区间上 f ( x) 的平均变化率：
（1）[1，3]； 4
（2）[1，2]； 3 （3）[1，1.1] 2.1
例2：已知函数 f(x ) 2 x 1 ,g (x ) 2 x , 分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]
第0秒到第1秒这段 时间内 第1秒到第2秒这段 时间内
重复观看请按
作崩极时，小男孩落下的高度h(单位：m)
与跳后的时间 t (单位：s)存在函数关系
h(t)=
-1 gt2
2
如果用小男孩在某段时间内的平均速度
-v 来描述其运动状态，那么
在0t1这段时间内
-v1
h(1)h(0)4.9(m/s) 10
在1t2这段时间内
下面是一家公司的工资发放情况:
工资的年薪s(单位：10元)与时间t(单位:年)
成函数关系。 公司的工资发放情况
年份 1 2 3 4 5 年 薪 2000 2100 2300 2600 3000
用y表示每年的平均工资增长率.
试分析公司的效益发展趋势？
问题二:气球膨胀率
0.62dm
第 一 次
0.16dm
第三章 导数及其应用
第三章 导数及其应用
牛顿
两人同时创立
了微积分
莱布尼兹
微积分主要与四类问题的处理相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数， 求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
平均变化率
问题一:工资增长率
称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ f = f (x2) – f (x1) ,则
f (x2) f (x1) f
x2 x1
x
令x2=x1 +△x，则 f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)
x2x1
x
思考?
观察函数f(x)的图象
平均变化率 y f(x2) f (x1)
x0+△x时，函数的改变量为（ D ）
A．f(x0+△x) B． f(x0)+△x
C．f(x0 ) ·△x D．f(x0+△x) －f(x0)
3.求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x] 内的平均变化率。
△ y=［5(2+ △x)2+6］-(5×22+6) =20△x+5△x2
所以平均变化率为 y 205x
上 f (x)及 g ( x) 的平均变化率。
经过曲f (线 x)x2 1上A、B两点作割线， 求割线的, 斜 其 率x 中 A1 ， ： xB2.
练习题
1. 一质点运动的方程为s=1－2t2，则在一
段时间[1，2]内的平均速度为（ C ）
A．－4
B．－8
C． －6
D．6
2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到
反映某一刻的运动状态。这就需要用瞬时速度来更精
细地刻画运动员的运动状态。我们把物体在某一时刻
的速度称为瞬时速度.
如何求瞬时速度？
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高 度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s ) 存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10
求ｔ＝2时的瞬时速度？ h
我们先考察ｔ＝2附近的情况。
h(t)4.9t26.5t10
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运
动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, vh(0.5)h(0)4.0(5 m)/;s
0.50
在1≤ t ≤2这段时间里, vh(2)h(1)8.2(m)/;s
21
平均变化率的定义
式子
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
-v2
h(2)h(1)1.4 7(m/s) 21
可以看出， 随着跳后的时间的推移，
h(t)=
-1gt2
2
小男孩下落的速度越来越大。
思考
h(t2) h(t1) t2 t1
小男孩跳后的时间从t1变化到t2时， 平均速度是多少。
问题四:高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
任取Leabharlann Baidu个时刻2＋△ｔ，△ｔ
是时间改变量，可以是正值，
也可以是负值，但不为0.
当△ｔ＜0时，在2之前；
o
2
当△ｔ＞0时，在2之后。
△ｔ＜0时
计 算 区 间 2 t,2和 区 间 2,2 t2＋△ｔ
内 平 均 速 度 v,可 以 得 到 如 下 表 格 .
t
△ｔ＞0时 2＋△ｔ
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋 势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
在高台跳水中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起 跳后的时间t（单位：秒）存在关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10
通过计算可得运动员在 0 t 65 这段时间里的平均 49
速度为0，这是否说明运动员在这段时间里是静止的？
由此可见用平均速度描述运动员的运动状态有何问题？
平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，并不能
当△t = – 0.001时, v13.0951 当△t =0.001时, v13.104