(1-1)第三章《变化率与导数》ppt-北师大版选修PPT课件
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(北师大版)选修1-1课件：第3章-导数的四则法则运算-参考课件(1)
(2)切线过点P(1,0) 斜率k 1 ln 1 1
切线方程是：y=x-1
3.日常生活中的饮用水通常是经过净化 的．随着水纯净度的提高．所需净化 费用不断增加。已知将1吨水净化到纯 净度为x%时所需费用(单位：元)为 c(x)=5284/(100-x) (80<x<100)．
求净化到下列纯净度时，所需净化费 用的瞬时变化率： （１）９０％; （２）９８％。
sin x cos x sin x 1 y' ( )' 2 2 cos x cos x cos x
2
(2) y ( x 2) (3x 1)
3
应用: 1.求下列函数的导数: 2x (1)y=2xtanx y ' 2 tan x 2 cos x
2
x 2 x(2 x 1) ( x 1) y' (4) y 6 3 (2 x 1) (2 x 1)
5284 c90 52 . 84 2 100 98
解：净化费用的瞬时变化率就是 净化费用函数的导数． 5284 5284 c( x) 2 100 x 100 x
所以，纯净度90%时,费用的瞬时 变化率就是52.84元/吨；(2)略
5 6
法则3:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) g ( x) 2 g ( x)
3:求下列函数的导数 (1)y=tanx
2
2 x3 x 6 x 3 ( 2) y 2 y ' 2 2 x 3 ( x 3)
法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x); 1: 求下列函数的导数 3 (1)y=x +sinx
高中数学选修1课件：3.1.1变化率与导数
r(V2 ) r(V1) f (x2 ) f (x1)
V2 V1
x2 x1
设某个变量 f 随 x 的变化而变化，
从 x 经过 △x ， 量 f 的改变量为
f f (x x) f (x)
量 f 的平均变化率为
f f (x x) f (x)
x
x
令 x 0，则得到f 在x 的（瞬时）变化率：
t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1)
血管中药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度 函数f(t)在此时刻的导数, 从图象上看,它表示
曲线在该点处的切线的斜率. （数形结合，以直代曲）
以简单对象刻画复杂的对象
t
0.2
药物浓度的 瞬时变化率
(3) 物体在t =2时的瞬时速度.
v s 2g 1 gt
t
2
(1) 将 t=0.1代入上式，得
O s(2)
v 2.05g 20.09(m / s) (2) 将 t=0.01代入上式，得
s(2+t) s
v 2.005g 19.65(m / s)
( 3) 当t 0,2 t 2
平均速度 v 的极限为:
x0
x
T
P
f (x 0 )
o
x0
x 即 kPT tan f (x 0 )
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 )在几何上表示 曲线y f (x)在点M (x0, f (x0 ))处的切线的斜率。
曲线y f (x)在点M (x0 , f (x0 ))处
的切线方程为 y y0 f (x0 )(x x0 )
0.01 -13.149
北师大版选修1-1高中数学第三章《变化率与导数》ppt章末复习课件
������
������ =
=
2������������+(������)2
������[ (������+������)2+������+ ������2+������]
(������ + ������)2 + ������- ������2 + ������ ������
=
2������+������
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
网络构建
专题探究
专题一
专题二
专题三
专题四
应用 1 设点 P 是曲线 y=f(x)=ex 上的任意一点,求点 P 到直线 y=x 的最小距离.
提示:利用导数求得与直线 y=x 平行且与曲线 y=ex 相切的直线的切点, 再利用点到直线的距离公式求解.
解:
设平行于直线 y=x 的直线与曲线 y=ex 相切于点(x0,y0),由平面几何知识
·������l→im������0[f(x)+f(x0)]
=f'(x0)·[f(x0)+f(x0)]=2f'(x0)f(x0).
答案:D
网络构建
专题探究
专题一
高中数学北师大版选修1-1课件：第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义
例2 已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，求：
(1)点A处的切线的斜率；
解
lim
Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
21＋Δx2－2×12 Δx
4Δx＋2Δx2
＝ lim Δx→0
Δx
＝lim (4＋2Δx)＝4， Δx→0
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程.
解 点A处的切线方程是y－2＝4(x－1)，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图像中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
跟踪训练4 (1)已知函数f(x)在R上可导，其部分图像如图所示，设 f2－f1＝ 2－1
a，则下列不等式正确的是 A.f′(1)<f′(2)<a
√B.f′(1)<a<f′(2)
C.f′(2)<f′(1)<a
反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0). (2)求导函数f′(x). (3)求切线的斜率f′(x0). (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.
跟踪训练3 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的 值及切点坐标.
D.a<f′(1)<f′(2)
解析 由图像可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越
来越大，
f2－f1
∵
＝a，∴易知 f′(1)<a<f′(2).
2－1
(2)曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴及直线x＝a围成的三角形的面积 为 16，则a＝__±_1__.
导数的四则运算法则课件
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第三章 变化率与导数
4．求下列函数的导数． (1)y＝x4－x3－x＋3；(2)y＝x22＋x33； (3)y＝x·ax(a>0)；(4)lnxx(x>0)． 解析： (1)y′＝(x4－x3－x＋3)′ ＝(x4)′－(x3)′－(x)′＋3′ ＝4x3－3x2－1.
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第三章 变化率与导数
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第三章 变化率与导数
4．两函数商的求导法则的特例 gfxx′＝f′xgxg－2xfxg′x(g(x)≠0)， 当 f(x)＝1 时，g1x′＝1′·gxg－2x1·g′x＝－gg′2xx (g(x)≠0)． 这是一个函数倒数的求导法则．
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第三章 变化率与导数
2．函数四则运算的求导法则 (1)和(或差)的导数：(u±v)′＝u′±v′， 推广：(u1±u2±…±un)′＝u′1±u′2±…±u′n. (2)积的导数：(u·v)′＝u′v＋uv′， 特别地：(cu)′＝cu′. (3)商的导数：uv′＝u′v－v2 uv′(v≠0)
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第三章 变化率与导数
(3)y′＝(x)′·ax＋x·(ax)′＝ax＋x·axlna ＝ax(1＋xlna)． (4)y′＝lnxx′＝lnx′·x－x2 lnx·x′＝1x·x－x2 lnx ＝1－x2lnx.
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第三章 变化率与导数
求下列函数的导数 (1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝x22＋x33； (3)f(x)＝1＋sinsixnx；(4)f(x)＝xlg x.
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第三章 变化率与导数
5．两函数积与商求导公式的说明
(1)
类
比
：
(uv)′
＝
u′v
＋
uv′
4.2导数在实际问题中的应用 课件(北师大版选修1-1)
导数在实 际问题中的应用
一、物体的比热
设有单位质量的物体从 0oC 加热到 ToC 所吸收的 热量 Q 是温度 T 的函数：Q=Q(T).给温度 T 以增 量 T，则可求得物体在 T 这段温度内的平均比 热为
c Q Q (T T )Q (T ) , T T Q Q(T ) T 0 T
C C(q) 100 6q 0.4q 2 0.02q 3 ，
间的函数关系(即总成本函数)为 试问当生产水平为 q 10 (万件)时，从降低成本角度看，继续 提高产量是否合适？ 解 当 q 10 时的总成本为
C(10) 100 6 10 0.4 102 0.02103 140 （万元)，
25 Q(t ) 20sin t 现设通过截面的电量 ，则通 2 （C）
过该截面的电流为
25 25 25 I (t ) 20sin t 20 cos t 2 2
25 cos t 2 ． 500
（3）边际利润 设总利润函数为 L L(q) ， L 表示总利润， q 表示 销售量，则 L (q ) 称为销售量为 q 个单位时的边际利 润．边际利润的经济意义是：销售量达到 q 个单位的时 候，再增加一个单位的销量，相应的总利润增加 L (q) 个 单位．
例 4.5.3
某种产品的总成本 C (万元)与产量 q (万件)之
例 4.5.4
设生产 q 件某产品的总成本函数为：
C(q) 1500 34q 0.3q 2
如果该产品销售单价为： p 280元／件，求 （1）该产品的总利润函数 L(q ) ； （2）该产品的边际利润函数以及销量为 q 420 个 单位时的边际利润，并对此结论作出经济意义的解释． （3）销售量为何值时利润最大？
一、物体的比热
设有单位质量的物体从 0oC 加热到 ToC 所吸收的 热量 Q 是温度 T 的函数：Q=Q(T).给温度 T 以增 量 T，则可求得物体在 T 这段温度内的平均比 热为
c Q Q (T T )Q (T ) , T T Q Q(T ) T 0 T
C C(q) 100 6q 0.4q 2 0.02q 3 ，
间的函数关系(即总成本函数)为 试问当生产水平为 q 10 (万件)时，从降低成本角度看，继续 提高产量是否合适？ 解 当 q 10 时的总成本为
C(10) 100 6 10 0.4 102 0.02103 140 （万元)，
25 Q(t ) 20sin t 现设通过截面的电量 ，则通 2 （C）
过该截面的电流为
25 25 25 I (t ) 20sin t 20 cos t 2 2
25 cos t 2 ． 500
（3）边际利润 设总利润函数为 L L(q) ， L 表示总利润， q 表示 销售量，则 L (q ) 称为销售量为 q 个单位时的边际利 润．边际利润的经济意义是：销售量达到 q 个单位的时 候，再增加一个单位的销量，相应的总利润增加 L (q) 个 单位．
例 4.5.3
某种产品的总成本 C (万元)与产量 q (万件)之
例 4.5.4
设生产 q 件某产品的总成本函数为：
C(q) 1500 34q 0.3q 2
如果该产品销售单价为： p 280元／件，求 （1）该产品的总利润函数 L(q ) ； （2）该产品的边际利润函数以及销量为 q 420 个 单位时的边际利润，并对此结论作出经济意义的解释． （3）销售量为何值时利润最大？
高中数学 第三章 变化率与导数 3.2.1 导数的概念课件6
第十五个全国中小学安全教育日活动总结第十五个全国中小学安全教育日活动总结2021年4月23日是第十五个全国中小学安全教育日。
本次活动的主题是“安全教育，让生命更美好”。
在全国各地，学校、家庭和社会机构共同开展了一系列的活动，让每一个学生都了解到安全教育的重要性，提升他们的安全意识和自我保护能力。
一、学校安全教育活动学校是学生学习、生活的重要场所。
为了让学生掌握安全知识、提高安全意识，各地的中小学校纷纷开展了丰富多彩的安全教育活动。
比如，在某小学，学生们学习了交通安全知识，学校邀请了交警来进行交通安全讲座，并组织了学生们观看交通安全宣传片。
另外，学校利用各种媒体宣传安全知识，例如在广播、橱窗等地方张贴了安全宣传画，并开展了安全抽查活动。
此外，学校还组织了安全逃生演练，让学生们熟悉逃生路线和方法，提高安全自救能力。
二、家庭安全教育活动家庭是孩子的第一批老师，也是孩子学习安全教育的重要场所。
各地的家庭纷纷参与到安全教育活动中来。
一个家庭的安全，不仅仅是指孩子的安全，还有家庭成员的安全。
在这次活动中，很多家庭开展了亲子游戏活动，通过游戏方式让孩子掌握安全知识，学习如何避免危险和保护自己。
同时，一些家庭还针对重点安全领域进行了详细的家庭安全讲解，比如防火、防盗、防电、防溺水等，让孩子牢记安全知识，自律自愿地遵守相关规定。
三、社区安全教育活动社区是为居民提供服务的重要场所，也是开展安全教育活动的重要场所。
在这次活动中，很多社区开设了安全知识讲座，邀请公安部门、消防部门等单位的专业人员为社区居民讲解安全知识，提高他们的安全意识和自我保护能力。
此外，社区还开展了安全检查活动，鼓励居民自查自纠，强化安全管理意识。
综上，第十五个全国中小学安全教育日活动是一次取得了圆满成功的活动。
通过各方面的宣传和组织，使得广大中小学生深入了解到了安全教育的重要性，提高了他们的安全意识和自我保护能力。
希望未来，能继续加强安全教育的力度，让孩子们在健康安全的环境中成长，为未来的社会和家庭贡献自己的力量。
北师大版选修1-1高中数学第三章《变化率与导数》ppt章末归纳总结课件
函数 y＝f(x)的导函数 f ′(x)，就是当 Δx→0 时，函数的增
量 Δy 与自变量的增量 Δx 之间的比值ΔΔxy的极限，即 f ′(x)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx＋Δx－fx
Δx
.
2．导数的意义 (1)几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0)就是曲 线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率 k，即 k＝f ′(x0)． (2)物理意义：函数 s＝s(t)在点 t 处的导数 s′(t)，就是当物 体的运动方程为 s＝s(t)时，运动物体在时刻 t 时的瞬时速度 v， 即 v＝s′(t)．而函数 v＝v(t)在 t 处的导数 v′(t)，就是运动物 体在时刻 t 时的加速度 a，即 a＝v′(t)．
• 6l求． 1，KQ设若的直l长2线交．lx1轴与于曲Q线点y，＝又相作切P于K垂P，直直于线x轴l2过，P垂且足垂为直K于，
• [分析] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变 形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算 量，提高运算速度，减少差错．
[解析] (1)y＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23.
1
1
(2)先化简，得 y＝－x2 ＋x－2
∴y′＝－12x－12 －12x－23 ＝－2x＋ x 1x.
(3)y′＝x2′sinsxi－n2xx2sinx′ ＝2xsinsxi－n2xx2cosx. (4)解法 1：y′＝2csoisnxx＋3scionsxx′ ＝2csoinsxx′＋3csoinsxx′ ＝2cos2cxo＋s22xsin2x＋－3sins2ixn－2x3cos2x ＝co2s2x－sin32x.
[解析] (1)y＝u－4，u＝1－3x. ∴y′＝y′u·u′＝(u－4)′·(1－3x)′ ＝－4·u－5·(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5＝1－123x5.
北师大版选修1-1高中数学第三章《变化率与导数》ppt课件
成才之路 ·数学
北师大版 · 选修1-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 变化率与导数
●情景导学 在阳光明媚的春天，外出旅游 是一件非常惬意的事情，爬爬山、 看看大海，既锻炼了身体，开阔了 眼界，又愉悦了心情．在登山时， 你是否有这样的感觉：当山坡比较 平缓时，会步履轻松，而当山坡比较陡峭时，就会气喘吁吁．当 然你可以从物理角度来解释这种现象，可是你有没有思考过其 中蕴含的数学知识呢？
●学法探究 1．要注意理解导数的物理意义及几何意义，尤其是几何意 义在解决曲线的切线问题上具有广泛的应用． 2．公式要记牢，尤其是指数函数与对数函数的求导公式比 较容易记混，要在应用中理解并记忆，积函数与商函数的导数 公式要弄清区别．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。6
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/13
最新中小学教学课件
北师大版 · 选修1-1
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第三章 变化率与导数
●情景导学 在阳光明媚的春天，外出旅游 是一件非常惬意的事情，爬爬山、 看看大海，既锻炼了身体，开阔了 眼界，又愉悦了心情．在登山时， 你是否有这样的感觉：当山坡比较 平缓时，会步履轻松，而当山坡比较陡峭时，就会气喘吁吁．当 然你可以从物理角度来解释这种现象，可是你有没有思考过其 中蕴含的数学知识呢？
●学法探究 1．要注意理解导数的物理意义及几何意义，尤其是几何意 义在解决曲线的切线问题上具有广泛的应用． 2．公式要记牢，尤其是指数函数与对数函数的求导公式比 较容易记混，要在应用中理解并记忆，积函数与商函数的导数 公式要弄清区别．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。6
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/13
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1.1变化率与导数(4课时)
作业：
P10习题1.1A组：2，3，4.
1.1
1.1.3
变化率与导数
导数的几何意义
问题提出
1.函数f(x)在x＝x0处的导数的含义是 什么？
Vy f (x 0 + Vx ) - f (x 0 ) f¢ (x 0 ) = lim = lim Vx 0 Vx Vx 0 Vx
2.求函数f(x)在x＝x0处的导数有哪 几个基本步骤？
若给定函数f(x)和x0的值，那么f′(x0) 是变量还是定值？
f¢ (x 0 ) = lim
思考3：如何求函数f(x)＝x2在x＝1处的 导数？一般地，求函数f(x)在x＝x0处的 导数有哪几个基本步骤？ 第一步，求函数值增量：
Vy Vx ® 0 Vx
△y＝f(x＋△x)－f(x0)； 第二步，求平均变化率：
思考2：如果将半径r表示为体积V的函数， 则该函数的解析式是什么？
r (V ) =
3
3V 4p
思考3：当空气容量V从0增加到1时，气 球的半径增加了多少？可以用哪个数据 来刻画气球的平均膨胀率？
r(1)－r(0)≈0.62(dm)，
r (1) - r (0) » 0.62(dm / L ) 1- 0
探究（一）：气球的膨胀率 【背景材料】在吹气球的过程中，随着 气球内空气容量的增加，气球的半径增 加的速度越来越慢.设气球的体积为V （单位：L），某一时刻的半径为r（单 位：dm）. 思考1：气球的体积V与半径r的函数关系 是什么？ 4 3 V (r ) = p r 3
4 3 pr 3
V (r ) =
3.函数的平均变化率与自变量的初始 值及其增量有关，它能刻画函数在某个 区间内函数值的平均取值情况，但不能 反映函数在区间内各点的函数值.
(北师大版)选修1-1课件：第3章-计算导数-参考课件(2)
－5
3 ． 若 y ＝ 10x ， 则 y′|x ＝ 1 ＝ ________. 解析： ∵y′＝10xln10， ∴y′|x＝1＝10ln10. 答案： 10ln10
4．求下列函数的导数： 1 4 (1)y＝x ；(2)y＝x3；(3)y＝ x；
13
(4)y＝log3x；(5)y＝sin x；(6)y＝
π k＝－sin－3＝
3 ， 2
1 3 π ∴其切线方程为 y－2＝ 2 x＋3， 即 3 3x－6y＋ 3π＋3＝0.
2.求曲线 y＝sin x 在点
π 1 A6，2的切线方程；
解析：
y′＝(sin x)′＝cos x，
π 3 ∴y′|x＝ ＝ ， 6 2 3 ∴切线斜率 k＝ 2 ， 1 3 π ∴切线方程为 y－ ＝ x－6， 2 2 化简得：6 3x－12y＋6－ 3π＝0.
1 cos2x
. . . .
f(x)＝tan x
原函数 f(x)＝cot x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax
导函数 f′(x)＝ f′(x)＝ f′(x)＝ 1
1 －sin2x
. . .
axlna(a>0)
ex
xlna(a>0 且 a≠1) 1 x
f′(x)＝
f′(x)＝
.
.
10 10－1
＝10x ；
9
1 －2 －2－1 －3 (4)y′＝( 2)′＝(x )′＝－2x ＝－2x . x
(2011· 江西卷， 4)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A．1 C．e B．2 1 D.e
)
解析： 由 y′ ＝ ex ，得在点 A(0,1) 处的切线的斜率 k ＝ y′|x ＝ 0 ＝ e0 ＝ 1 ， ∴选A. 答案： A
3 ． 若 y ＝ 10x ， 则 y′|x ＝ 1 ＝ ________. 解析： ∵y′＝10xln10， ∴y′|x＝1＝10ln10. 答案： 10ln10
4．求下列函数的导数： 1 4 (1)y＝x ；(2)y＝x3；(3)y＝ x；
13
(4)y＝log3x；(5)y＝sin x；(6)y＝
π k＝－sin－3＝
3 ， 2
1 3 π ∴其切线方程为 y－2＝ 2 x＋3， 即 3 3x－6y＋ 3π＋3＝0.
2.求曲线 y＝sin x 在点
π 1 A6，2的切线方程；
解析：
y′＝(sin x)′＝cos x，
π 3 ∴y′|x＝ ＝ ， 6 2 3 ∴切线斜率 k＝ 2 ， 1 3 π ∴切线方程为 y－ ＝ x－6， 2 2 化简得：6 3x－12y＋6－ 3π＝0.
1 cos2x
. . . .
f(x)＝tan x
原函数 f(x)＝cot x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax
导函数 f′(x)＝ f′(x)＝ f′(x)＝ 1
1 －sin2x
. . .
axlna(a>0)
ex
xlna(a>0 且 a≠1) 1 x
f′(x)＝
f′(x)＝
.
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10 10－1
＝10x ；
9
1 －2 －2－1 －3 (4)y′＝( 2)′＝(x )′＝－2x ＝－2x . x
(2011· 江西卷， 4)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A．1 C．e B．2 1 D.e
)
解析： 由 y′ ＝ ex ，得在点 A(0,1) 处的切线的斜率 k ＝ y′|x ＝ 0 ＝ e0 ＝ 1 ， ∴选A. 答案： A
北师大版高中数学选修1-1：第三章 变化率与导数 复习课件
3、若f(x)=sin x，则 f ' ( x ) = cos x
4、若f(x)=cos x，则 f ' ( x ) = -sin x
5、若f(x)=ax，则 f ' ( x ) = ax lna
6、若f(x)=ex，则 f ' ( x ) = e x
7、若f(x)=loga x，则 f'(x)
此时割线PT斜率的极限就是曲线C在点P处的切线 的斜率，用极限运算的表达式来写出，即
k=tanα=
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
导数的概念：
1、导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给
自变量x以增量△x，函数y相应有增量
△y=f(x0+△
x)－f(x0)，若极限
练习3、求下列函数的导数。
本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比 值，再利用导数的运算法则（3）来计算。
练习4、求曲线 y = 9 在点M(3，3)处
x
的切线的斜率及倾斜角。
解：
y′=
9 x2
代入x=3，得 y′= 1。
斜率为-1，倾斜角为135°。
1
1
练习5、判断曲线y= 2 x2在（1，2 ）处
1 xlna
8、若f(x)=ln x，则 f '(x) 1
x
导数的运算法则:
法则1：两个函数的和(差)的导数，等于这两个 函数的导数的和(差)，即：
法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函 数的导数，即：
法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘第二个函数，减去第一个函数乘第二个函 数的导数，再除以第二个函数的平方。即：
高中数学 第三章 变化率与导数 3 计算导数课件 北师大版选修1-1.pptx
y′＝_c_o_s__x_ y′＝－__s_i_n_x_
1 y′＝_c_o_s_2x_ y′＝－sin12x
9
题型探究
10
类型一 利用导函数求某点处的导数
例 1 求 函 数 f(x) ＝ － x2 ＋ 3x 的 导 函 数 f′(x) ， 并 利 用 f′(x) 求 f′(3) ，
f′(－1). 解答
第三章 变化率与导数
§3 计算导数
1
学习目标
1.会求函数在一点处的导数. 2.理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数.
2
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
3
问题导学
4
知识点一 导函数
思考
对于函数f(x)，如何求f′(1)、f′(x)？f′(x)与f′(1)有何关系？
答案
f1＋Δx－f1
13
类型二 导数公式表的应用
例2 求下列函数的导数. (1)y＝sin π3； 解答 y′＝0.
(2)y＝x x； 解答
因为 y x
x
3
x2,
所以
3
y＝(x 2
)＝3
1
x2
3
x.
22
(3)y＝log3x； 解答 y′＝(log3x)′＝xln1 3.
14
(4)y＝2cossin22xx－1； 解答 因为 y＝2cossin22xx－1＝csoins xx＝tan x， 所以 y′＝(tan x)′＝co1s2x.
f′(1)＝ lim Δx→0
Δx
.
fx＋Δx－fx
f ′(x)＝lim Δx→0
Δx
.
f′(1)可以认为把x＝1代入导数f′(x)得到的值.
高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率课件 北师大版选修1-1.ppt
对一般的函数 y＝f(x)，当自变量 x 从 x1 变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，
它的平均变化率为______________．通常自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变
量 ， 记 作 ________ ， 函 数 值 的变 化 f(x2)－ f(x1) 称作函 数 值 的改 变 量 ，记 作
∴ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt. 当 Δt 趋于 0 时，ΔΔst趋于 v0－gt0，故物体在时刻 t0 处的瞬时速度为 v0－gt0.
求.运动物体瞬时速度的三个步骤： 1求时间改变量 Δt 和位移改变量 Δs＝st0＋Δt－st0； 2求平均速度 v ＝ΔΔst； 3求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于常数 v，即为瞬时速 度
________．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的
改变量之比，即______________．我们用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化
的快慢．
【答案】
fx2－fx1 x2－x1
Δx
Δy
ΔΔyx＝fxx22－－xf1x1
函数 f(x)＝2x2－1 在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率ΔΔxy等于(
【答案】
fx0＋Δx－fx0 Δx
函数在一点处变化的快慢
函数 f(x)＝x2 在 x＝1 处的瞬时变化率为__________． 【解析】 ΔΔyx＝1＋ΔΔxx2－12＝2Δx＋ΔxΔx2＝Δx＋2，当 Δx 趋于 0 时，ΔΔxy趋 于 2.
【答案】 2
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
北师大版数学选修1-1：第三章§2 导数的概念及其几何意义
Δx 0
f（x0＋Δx）－f（x0） ＝ lim (Δx＋2x0)＝2x0. Δx→0 Δx
Байду номын сангаас
2 由 2x0＝x0 ，解得 x0＝0 或 x0＝2. 答案：0 或 2 6.(2012· 南昌调研)若一物体的运动方程为 s＝3t2＋2，求此物体在 t＝1 时的瞬时速度．
解： lim →
Δx 0
s（1＋Δt）－s（1） 3（1＋Δt）2＋2－3×12－2 ＝ lim Δx→0 Δt Δt 6Δt＋3（Δt）2 ＝ lim (6＋3Δt)＝6. 0 Δx→0 Δt
Δx 0
2（1＋Δx）－（1＋Δx）3－（2－1） ＝－1， Δx
∴曲线在(1，1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 5.函数 y＝x2 在 x＝________处的导数值等于其函数值． 解析：y＝f(x)＝x2 在 x＝x0 处的导数值为 f′(x0) ＝ lim →
＝ lim →
Δx
所以物体在 t＝1 时的瞬时速度是 6. [B 级 能力提升] 7.设曲线 y＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y－6＝0 平行，则 a 等于( A．1 1 B. 2 1 C．－ 2 D．－1 解析：选 A.令 f(x)＝y＝ax2，则 2＝k＝f′(1) ＝ lim →
解析：作出函数 y＝ 4－x2的图像如图． 由导数的几何意义可知，函数 y＝ 4－x2在 x＝1 处的导数即为半圆在点 P(1, 切线的斜率． 1 1 3 ∴kl＝ － ＝－ ＝－ . kOP 3 3 答案：－ 3 3
3)处的
1 4.已知函数 y＝f(x)的图像在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝ x＋2，则 f(1)＋f′(1)＝ 2 ________． 1 5 1 解析：f(1)＝ ＋2＝ ，f′(1)＝ ， 2 2 2 ∴f(1)＋f′(1)＝3.
f（x0＋Δx）－f（x0） ＝ lim (Δx＋2x0)＝2x0. Δx→0 Δx
Байду номын сангаас
2 由 2x0＝x0 ，解得 x0＝0 或 x0＝2. 答案：0 或 2 6.(2012· 南昌调研)若一物体的运动方程为 s＝3t2＋2，求此物体在 t＝1 时的瞬时速度．
解： lim →
Δx 0
s（1＋Δt）－s（1） 3（1＋Δt）2＋2－3×12－2 ＝ lim Δx→0 Δt Δt 6Δt＋3（Δt）2 ＝ lim (6＋3Δt)＝6. 0 Δx→0 Δt
Δx 0
2（1＋Δx）－（1＋Δx）3－（2－1） ＝－1， Δx
∴曲线在(1，1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 5.函数 y＝x2 在 x＝________处的导数值等于其函数值． 解析：y＝f(x)＝x2 在 x＝x0 处的导数值为 f′(x0) ＝ lim →
＝ lim →
Δx
所以物体在 t＝1 时的瞬时速度是 6. [B 级 能力提升] 7.设曲线 y＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y－6＝0 平行，则 a 等于( A．1 1 B. 2 1 C．－ 2 D．－1 解析：选 A.令 f(x)＝y＝ax2，则 2＝k＝f′(1) ＝ lim →
解析：作出函数 y＝ 4－x2的图像如图． 由导数的几何意义可知，函数 y＝ 4－x2在 x＝1 处的导数即为半圆在点 P(1, 切线的斜率． 1 1 3 ∴kl＝ － ＝－ ＝－ . kOP 3 3 答案：－ 3 3
3)处的
1 4.已知函数 y＝f(x)的图像在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝ x＋2，则 f(1)＋f′(1)＝ 2 ________． 1 5 1 解析：f(1)＝ ＋2＝ ，f′(1)＝ ， 2 2 2 ∴f(1)＋f′(1)＝3.
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h(t)4.9t26.5t10
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运
动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, vh(0.5)h(0)4.0(5 m)/;s
0.50
在1≤ t ≤2这段时间里, vh(2)h(1)8.2(m)/;s
21
平均变化率的定义
式子
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
上 f (x)及 g ( x) 的平均变化率。
经过曲f (线 x)x2 1上A、B两点作割线， 求割线的, 斜 其 率x 中 A1 ， ： xB2.
练习题
1. 一质点运动的方程为s=1－2t2，则在一
段时间[1，2]内的平均速度为（ C ）
A．－4
B．－8
C． －6
D．6
2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到
x0+△x时，函数的改变量为（ D ）
A．f(x0+△x) B． f(x0)+△x
C．f(x0 ) ·△x D．f(x0+△x) －f(x0)
3.求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x] 内的平均变化率。
△ y=［5(2+ △x)2+6］-(5×22+6) =20△x+5△x2
所以平均变化率为 y 205x
观察小新接连 两次吹气球时， 气球的膨胀程度。
第 二 次
可以看出，随着气球的体积逐渐变大r，(V ) 气球的平均膨胀率逐渐变小了。
3
3V
4
思考
r(V2) r(V1) V2 V1
当气球的空气容量从V1增加到V2时， 气球的平均膨胀率是多少？
问题三:高空崩极 4.9米 14.7米
观察小男孩崩极时 的平均速度变化
当△t = – 0.001时, v13.0951 当△t =0.001时, v13.104
h(t)4.9t26.5t10
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
v 4 .9 t 1.1 3
当△t = – 0.01时, v13.051
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4 .9 t 1.1 3
当△t = 0.01时, v13.149
反映某一刻的运动状态。这就需要用瞬时速度来更精
细地刻画运动员的运动状态。我们把物体在某一时刻
的速度称为瞬时速度.
如何求瞬时速度？
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高 度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s ) 存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10
求ｔ＝2时的瞬时速度？ h
我们先考察ｔ＝2附近的情况。
下面是一家公司的工资发放情况:
工资的年薪s(单位：10元)与时间t(单位:年)
成函数关系。 公司的工资发放情况
年份 1 2 3 4 5 年 薪 2000 2100 2300 2600 3000
用y表示每年的平均工资增长率.
试分析公司的效益发展趋势？
问题二:气球膨胀率
0.62dm
第 一 次
0.16dm
在高台跳水中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起 跳后的时间t（单位：秒）存在关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10
通过计算可得运动员在 0 t 65 这段时间里的平均 49
速度为0，这是否说明运动员在这段时间里是静止的？
由此可见用平均速度描述运动员的运动状态有何问题？
平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，并不能
第0秒到第1秒这段 时间内 第1秒到第2秒这段 时间内
重复观看请按
作崩极时，小男孩落下的高度h(单位：m)
与跳后的时间 t (单位：s)存在函数关系
h(tБайду номын сангаас=
-1 gt2
2
如果用小男孩在某段时间内的平均速度
-v 来描述其运动状态，那么
在0t1这段时间内
-v1
h(1)h(0)4.9(m/s) 10
在1t2这段时间内
称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ f = f (x2) – f (x1) ,则
f (x2) f (x1) f
x2 x1
x
令x2=x1 +△x，则 f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)
x2x1
x
思考?
观察函数f(x)的图象
平均变化率 y f(x2) f (x1)
任取一个时刻2＋△ｔ，△ｔ
是时间改变量，可以是正值，
也可以是负值，但不为0.
当△ｔ＜0时，在2之前；
o
2
当△ｔ＞0时，在2之后。
△ｔ＜0时
计 算 区 间 2 t,2和 区 间 2,2 t2＋△ｔ
内 平 均 速 度 v,可 以 得 到 如 下 表 格 .
t
△ｔ＞0时 2＋△ｔ
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋 势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
-v2
h(2)h(1)1.4 7(m/s) 21
可以看出， 随着跳后的时间的推移，
h(t)=
-1gt2
2
小男孩下落的速度越来越大。
思考
h(t2) h(t1) t2 t1
小男孩跳后的时间从t1变化到t2时， 平均速度是多少。
问题四:高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
x
x2 x1
表示什么?
直线AB的斜 率
y
Y=f(x)
f(x2)
f(x1)
O
B
f(x2)-f(x1)=△y
A
x2-x1=△x
x1 x2
x
例1、已知函数 f (x) x2，分别计算
在下列区间上 f ( x) 的平均变化率：
（1）[1，3]； 4
（2）[1，2]； 3 （3）[1，1.1] 2.1
例2：已知函数 f(x ) 2 x 1 ,g (x ) 2 x , 分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]
x
小结：
1.函数的平均变化率
f f(x2) f (x1)
x
x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量：Δf；
(2)计算平均变化率
f f(x2) f (x1)
x
x2 x1
3.函数的平均变化率的几何意义：
表示函数图象上两点A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2)) 连线（割线）的斜率。
第三章 导数及其应用
第三章 导数及其应用
牛顿
两人同时创立
了微积分
莱布尼兹
微积分主要与四类问题的处理相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数， 求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
平均变化率
问题一:工资增长率
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运
动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, vh(0.5)h(0)4.0(5 m)/;s
0.50
在1≤ t ≤2这段时间里, vh(2)h(1)8.2(m)/;s
21
平均变化率的定义
式子
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
上 f (x)及 g ( x) 的平均变化率。
经过曲f (线 x)x2 1上A、B两点作割线， 求割线的, 斜 其 率x 中 A1 ， ： xB2.
练习题
1. 一质点运动的方程为s=1－2t2，则在一
段时间[1，2]内的平均速度为（ C ）
A．－4
B．－8
C． －6
D．6
2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到
x0+△x时，函数的改变量为（ D ）
A．f(x0+△x) B． f(x0)+△x
C．f(x0 ) ·△x D．f(x0+△x) －f(x0)
3.求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x] 内的平均变化率。
△ y=［5(2+ △x)2+6］-(5×22+6) =20△x+5△x2
所以平均变化率为 y 205x
观察小新接连 两次吹气球时， 气球的膨胀程度。
第 二 次
可以看出，随着气球的体积逐渐变大r，(V ) 气球的平均膨胀率逐渐变小了。
3
3V
4
思考
r(V2) r(V1) V2 V1
当气球的空气容量从V1增加到V2时， 气球的平均膨胀率是多少？
问题三:高空崩极 4.9米 14.7米
观察小男孩崩极时 的平均速度变化
当△t = – 0.001时, v13.0951 当△t =0.001时, v13.104
h(t)4.9t26.5t10
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
v 4 .9 t 1.1 3
当△t = – 0.01时, v13.051
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4 .9 t 1.1 3
当△t = 0.01时, v13.149
反映某一刻的运动状态。这就需要用瞬时速度来更精
细地刻画运动员的运动状态。我们把物体在某一时刻
的速度称为瞬时速度.
如何求瞬时速度？
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高 度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s ) 存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10
求ｔ＝2时的瞬时速度？ h
我们先考察ｔ＝2附近的情况。
下面是一家公司的工资发放情况:
工资的年薪s(单位：10元)与时间t(单位:年)
成函数关系。 公司的工资发放情况
年份 1 2 3 4 5 年 薪 2000 2100 2300 2600 3000
用y表示每年的平均工资增长率.
试分析公司的效益发展趋势？
问题二:气球膨胀率
0.62dm
第 一 次
0.16dm
在高台跳水中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起 跳后的时间t（单位：秒）存在关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10
通过计算可得运动员在 0 t 65 这段时间里的平均 49
速度为0，这是否说明运动员在这段时间里是静止的？
由此可见用平均速度描述运动员的运动状态有何问题？
平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，并不能
第0秒到第1秒这段 时间内 第1秒到第2秒这段 时间内
重复观看请按
作崩极时，小男孩落下的高度h(单位：m)
与跳后的时间 t (单位：s)存在函数关系
h(tБайду номын сангаас=
-1 gt2
2
如果用小男孩在某段时间内的平均速度
-v 来描述其运动状态，那么
在0t1这段时间内
-v1
h(1)h(0)4.9(m/s) 10
在1t2这段时间内
称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ f = f (x2) – f (x1) ,则
f (x2) f (x1) f
x2 x1
x
令x2=x1 +△x，则 f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)
x2x1
x
思考?
观察函数f(x)的图象
平均变化率 y f(x2) f (x1)
任取一个时刻2＋△ｔ，△ｔ
是时间改变量，可以是正值，
也可以是负值，但不为0.
当△ｔ＜0时，在2之前；
o
2
当△ｔ＞0时，在2之后。
△ｔ＜0时
计 算 区 间 2 t,2和 区 间 2,2 t2＋△ｔ
内 平 均 速 度 v,可 以 得 到 如 下 表 格 .
t
△ｔ＞0时 2＋△ｔ
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋 势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
-v2
h(2)h(1)1.4 7(m/s) 21
可以看出， 随着跳后的时间的推移，
h(t)=
-1gt2
2
小男孩下落的速度越来越大。
思考
h(t2) h(t1) t2 t1
小男孩跳后的时间从t1变化到t2时， 平均速度是多少。
问题四:高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
x
x2 x1
表示什么?
直线AB的斜 率
y
Y=f(x)
f(x2)
f(x1)
O
B
f(x2)-f(x1)=△y
A
x2-x1=△x
x1 x2
x
例1、已知函数 f (x) x2，分别计算
在下列区间上 f ( x) 的平均变化率：
（1）[1，3]； 4
（2）[1，2]； 3 （3）[1，1.1] 2.1
例2：已知函数 f(x ) 2 x 1 ,g (x ) 2 x , 分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]
x
小结：
1.函数的平均变化率
f f(x2) f (x1)
x
x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量：Δf；
(2)计算平均变化率
f f(x2) f (x1)
x
x2 x1
3.函数的平均变化率的几何意义：
表示函数图象上两点A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2)) 连线（割线）的斜率。
第三章 导数及其应用
第三章 导数及其应用
牛顿
两人同时创立
了微积分
莱布尼兹
微积分主要与四类问题的处理相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数， 求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
平均变化率
问题一:工资增长率