核心素养、数学文化、情境创新

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五 数学建模 通过实际应用问题的处理，看我们是否能够运用数学语言，清晰、准确地表达数 学建模的过程和结果，以此考查数学建模素养． 主要包括在实际情境中，从数学的视角提出问题、分析问题、表达问题、构建模 型、求解结论、验证结果、改进模型，最终得到符合实际的结果．具体表现：①发现 和提出问题；②建立模型；③求解模型；④检验结果和完善模型．
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二 直观想象 通过对空间图形与平面图形的观察以及图形与数量关系的分析，通过想象对复杂 的数学问题进行直观表达，看我们能否运用图形和空间想象思考问题，感悟事物的本 质，形成解决问题的思路，以此考查直观想象素养． 主要包括利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型， 探索解决问题的思路．具体表现：①利用图形描述数学问题；②利用图形理解数学问 题；③利用图形探索和解决数学问题；④构建数学问题的直观模型．
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【典例】(1)(2020·新高考Ⅰ卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面 垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为 O)，地球上 一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面．在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A 处的纬 度为北纬 40°，则晷针与点 A 处的水平面所成角为( B )
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【典例】 (2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的棱长均为 2，∠ 2π
BAD＝60°.以 D1 为球心， 5为半径的球面与侧面 BCC1B1 的交线长为___2_______． [解析] 如图．连接 B1D1，易知△B1C1D1 为正三角形，所以 B1D1＝C1D1＝2.分别
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一 数学抽象 通过由具体的实例概括一般性结论，看我们能否在综合的情境中学会抽象出数学 问题，并在得到数学结论的基础上形成新的命题，以此考查数学抽象素养． 主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关 系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以 表征．具体表现：①形成数学概念与规则；②形成数学命题与模型；③形成数学方法 与思想；④形成数学结构与体系．
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[解析] 对于选项 A，若 n＝1，则 p1＝1，log21＝0， ∴H(X)＝－p1log2p1＝－log21＝0，A 正确．对于选项 B，当 p1＝41时，H(X)＝－i∑＝n1 pilog2pi＝－(p1log2p1＋p2log2p2)＝－14log214＋34log234，当 p1＝43时，
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【典例】 (2020·新高考Ⅰ卷)已知公比大于 1 的等比数列{an}满足 a2＋a4＝20， a3＝8.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(1)求{an}的通项公式； (2)记 bm 为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前 100 项和 S100. [解] (1)设{an}的公比为 q.由题设得 a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8. 解得 q＝12(舍去)，q＝2.由题设得 a1＝2. 所以{an}的通项公式为 an＝2n. (2)由题设及(1)知 b1＝0，且当 2n≤m＜2n＋1 时，bm＝n. 所以 S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65 ＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480.
取 B1C1，BB1，CC1 的中点 M，G，H，连接 D1M，D1G，D1H，则易得 D1G＝D1H＝ 22＋12 ＝ 5，D1M⊥B1C1，且 D1M＝ 3.由题意知 G，H 分别是 BB1，CC1 与球面的交点．在 侧 面 BCC1B1 内 任 取 一 点 P ， 使 MP ＝ 2 . 连 接 D1P ， 则 D1P ＝ D1M2＋MP2 ＝
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《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》明确提出深化高考考试内容改 革，依据高校人才选拔要求和国家课程标准，科学设计命题内容，增强基础性、综合 性，着重考查学生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力．高考考试内 容改革全面贯彻的教育方针，落实构建德智体美劳全面培养教育体系的要求，以立德 树人为鲜明导向，以促进素质教育发展为基本遵循，科学构建基于德智体美劳全面发 展要求的高考评价体系．高考评价体系由“一核四层四翼”组成，包括考查目的、考 查内容和考查要求．
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p2mlog2p2m＋…＋pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1＝p1·log2p1＋p1p2m＋…＋p2m·log2p1＋p2mp2m.易知 0＜ p1＋p1p2m＜1，…，0＜p1＋p2mp2m＜1，∴log2p1＋p1p2m＜0，…，log2p1＋p2mp2m＜0，
∴H(Y)＜H(X)，故 D 错误．
32＋ 22＝ 5，连接 MG，MH，易得 MG＝MH＝ 2，故可知以 M 为圆心， 2为
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半径的圆弧 GH 为球面与侧面 BCC1B1 的交线．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝
90°，所以G︵H 的长为41×2π×
2＝
2π 2.
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三 逻辑推理 通过提出问题和论证命题的过程，看我们能否选择合适的论证方法与途径予以证 明，并能用准确、严谨的数学语言表述论证过程，以此考查逻辑推理素养． 主要包括两类，一类是从小范围成立的命题推断更大范围成立的命题推理，推理 形式主要有归纳推理、类比推理；一类是从大范围成立的命题推断小范围内成立的命 题的推理，推理形式主要有演绎推理．具体表现：①发现和提出命题；②掌握推理的 基本形式和规则；③探索和表述论证的过程；④构建命题体系；⑤表达与交流．
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【典例】 (2020·全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下 三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第 一环，向外每环依次增加 9 块．下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块．向外每 环依次也增加 9 块．已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形 石板(不含天心石)( C )
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四 数学运算 通过各类数学问题特别是综合性问题的处理，看我们能否做到明确运算对象，分 析运算条件，选择运算法则，把握运算方向，设计运算程序，获取运算结果，以此考 查数学运算素养． 主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运 算程序、求得运算结果．具体表现：①理解运算对象；②掌握运算法则；③探究运算 思路；④求得运算结果．
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(2)(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量 X 所有可
n
能的取值为 1,2，…，n，且 P(X＝i)＝pi>0(i＝1,2，…，n)，pi＝1，定义 X 的信息熵 H(X)
i＝1
n
＝－pilog2pi.( )
i＝1
A．若 n＝1，则 H(X)＝0 B．若 n＝2，则 H(X)随着 p1 的增大而增大 C．若 pi＝1n(i＝1,2，…，n)，则 H(X)随着 n 的增大而增大 D．若 n＝2m，随机变量 Y 所有可能的取值为 1,2，…，m，且 P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j (j＝1,2，…，m)，则 H(X)≤H(Y)
具体说来，主要有以下三个方面的变化．
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一 强调核心素养，凸显数学本质 2020 年新高考数学命题遵循 2017 年版《普通高中数学课程标准》的基本要求， 认真贯彻“五育并举”教育方针，突出数学学科特色，着重考查考生的理性思维能力 以及综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力．试题突出学科素养导向，全 面覆盖基础知识，凸显综合性、应用性，以反映我国社会主义建设的成果和优秀文化 的真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，在考试评价中落实立德树人根本任务．数 学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算、数据分析.
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【典例】 (多选)(2020·新高考Ⅰ卷)已知 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1，则(ABD )
A．a2＋b2≥12
B．2a－1＞12
C．log2a＋log2b≥－2 D. a＋ b≤ 2
[解析] 对于选项 A，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2 ＋b2≥12，正确；对于选项 B，易知 0＜a＜1,0＜b＜1，∴－1＜a－b＜1，∴2a－b＞2－1＝12， 正确；对于选项 C，令 a＝14，b＝34，则 log214＋log234＝－2＋log234＜－2，错误；对于选 项 D，∵ 2＝ 2a＋b，∴[ 2a＋b]2－( a＋ b)2＝a＋b－2 ab＝( a－ b)2≥0，∴ a ＋ b≤ 2，正确．故选 ABD.
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第一部分 素养引领方向 思想导引路径 第一节
命题有方向——核心素养、数学文化、情境创新
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党的十九大明确提出：“要全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，发 展素质教育，推进教育公平，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人．”
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n
H(X)＝－∑pilog2pi＝－(p1log2p1＋p2log2p2)＝ i＝1
－34log234＋14log214， 由此可得，当 p1＝14与 p1＝34时，信息熵相等， ∴B 错误．对于选项 C，若 pi＝1n，
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n
则 H(X)＝－∑pilog2pi＝ i＝1
－1nlog21n＋…＋1nlog2n1＝n×logn2n＝log2n， ∴H(X)随着 n 的增大而增大，C 正确．对于选项 D，若 n＝2m，随机变量 Y 的可 能取值为 1,2，…，m，由 P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)知，P(Y＝1)＝p1＋p2m； P(Y＝2)＝p2＋p2m－1；P(Y＝3)＝p3＋p2m－2；…；P(Y＝m)＝pm＋pm＋1.H(X)＝－[(p1log2p1 ＋p2mlog2p2m)＋(p2log2p2＋p2m－1·log2p2m－1)＋…＋(pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1)]，H(Y)＝－ [(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋(p2＋p2m－1)log2(p2＋p2m－1)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]， H(Y)－H(X)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]＋p1log2p1＋
A．20° C．50°
B．40° D．90°
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[解析] 过球心 O、点 A 以及晷针的轴截面如图所示，其中 CD 为晷面，GF 为晷针所在直线，EF 为点 A 处的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°， ∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故选 B.
A．3 699 块 C．3 402 块
B．3 474 块 D．3 339 块
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[解析] 由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数
列，记为{an}，易知其首项 a1＝9，公差 d＝9，所以 an＝a1＋(n－1)d＝9n.设数列{an} 的前 n 项和为 Sn，由等差数列的性质知 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 也成等差数列，所以 2(S2n －Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝2n9＋2 18n－2×n9＋2 9n＝
“一核”为考查目的，即“立德树人、服务选才、引导教学”，是对素质教育中 高考核心功能的概括，回答“为什么考”的问题；
“四层”为考查内容，即“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”，是素 质教育目标在高考中的提炼，回答高考“考什么”的问题；
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“四翼”为考查要求，即“基础性、综合性、应用性、创新性”，是素质教育评 价维度在高考中的体现，回答高考“怎么考”的问题．