概率论与数理统计总结

第一章 随机事件与概率

第一节 随机事件及其运算

1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象

2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω

表示基本结果，又称为样本点。

3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表

示，Ω表示必然事件，∅表示不可能事件。

4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。

5、 时间的表示有多种：

（1） 用集合表示，这是最基本形式

（2） 用准确的语言表示

（3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示

6、事件的关系

（1）包含关系：如果属于A 的样本点必属于事件B ，即事件 A 发生必然导致事

件B 发生，则称A 被包含于B ，记为A ⊂B;

（2）相等关系：若A ⊂B 且B ⊃ A ，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。

（3）互不相容：如果A ∩B=∅，即A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容

7、事件运算

（1）事件A 与B 的并：事件A 与事件B 至少有一个发生，记为 A ∪B 。

（2）事件A 与B 的交：事件A 与事件B 同时发生，记为A∩ B 或AB 。

（3）事件A 对B 的差：事件A 发生而事件B 不发生,记为 A －B 。用交并补可以表示为B A B A =-。

（4）对立事件：事件A 的对立事件（逆事件），即 “A 不发生”，记为A 。

对立事件的性质：Ω=⋃Φ=⋂B A B A ,。

8、事件运算性质：设A ，B ，C 为事件，则有

（1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA

（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC

（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A∪C)、 A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB

∪AC

（4）棣莫弗公式（对偶法则）：B A B A ⋂=⋃ B A B A ⋃=⋂

9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ

称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足：

（1）Ω∈ξ;

(2)若A ∈ξ，则对立事件A ∈ξ；

（3）若A n ∈ξ，n=1,2，···，则可列并 ∞=1n n

A ∈ξ 。

10、两个常用的事件域：

（1）离散样本空间Ω（有限集或可列集）内的一切子集组成的事件域；

（2）连续样本空间Ω（如R 、R 2等）内的一切博雷尔集（如区间或矩形）逐步

扩展而成的事件域。

第二节 概率的定义及其确定方法

1、概率的公理化定义：定义在事件域ξ上的一个实值函数P （A ）满足：

（1）非负性公理：若A ∈ξ，则P(A)≥0；

（2）正则性公理：P(Ω)＝1

（3）可列可加性公理：若A ,，A 2，···，A 3互不相容，则有

∑∞

=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11)(i i i i A P A P ，

即 ++++=⋃⋃⋃⋃)()()()(2121n n A P A P A P A A A P ，则称P （A ）为时间A 的概率，称三元素（Ω，ξ，P ）为概率空间

2、确定概率的频率方法：（是在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得频率的一种方法）

它的基本思想是：

（1）与考察事件A 有关的随机现象可大量重复进行；

（2） 在n 次重复试验中，记n(A)为事件A 出现的次数，称

f n (A)= n

n ）（A ， 为事件A 出现的频率； （3） 频率的稳定值就是概率；

（4） 当重复次数n 较大时，可用频率作为概率的估计值。

3、确定概率的古典方法：

它的基本思想是：

（1） 所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n 个；

（2） 每个样本点发生的可能性相等（等可能性）；

（3） 若事件A 含有k 个样本点，则事件A 的概率为

P （A ）基本事件总数所包含的基本事件数

A ==n

k 。 4、确定概率的几何方法：

它的基本思想是：

（1） 如果一个随机现象的样本空间Ω充满某个区域，其度量（长度、面积、体积等）

大小可用S n 表示；

（2） 任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的；

（3） 若事件A 为Ω中某个子区域，且其度量为S A ,则事件A 的概率为

P （A ）= Ω

S S A . 5、确定概率的主观方法：一个事件A 的概率P （A ）使人们根据经验，对该事件发生的可能

性大小所做出的个人信念。

6、概率是定义在事件域ξ上的集合函数，且满足三条公理。前三种确定概率的方法自动满

足三条公理，而主观方法确定概率要加验证，若不满足三条公理就不能称为概率。

第三节 概率的性质：

1、 P(Φ)＝0

2、 有限可加性：若有限个事件A ,，A 2，···，A 3互不相容，则有

∑∞

=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11)(i i i i A P A P ，

3、 对立事件的概率：对任一事件A ，有)(1)(A P A P -=

4、 减法公式（特定场合）：若A ⊃B,则P(A －B)＝P(A)－P(B)

5、 单调性：若A ⊃B ，则P （A ）≥ P （B ）

6、 减法公式（一般场合）：对任意两个事件A 、B ，有P(A －B)＝P(A)－P(AB)

7、 加法公式：对任意两个事件A 、B ，有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

对任意n 个事件A 1，A 2，···，A n ，有

∑∑∑=≤<≤≤<<≤-=-+++-

=n i a j i a k j i n n k j i j i i A A A P A A A P A A P A P A P 111211n 1i i )()1()()()()(

8、 半可加性：对任意两个事件A 、B ，有)()(B P A P B A P +≤⋃）

（. 9、 事件序列的极限：

（1） 对ξ 中任一单调不减的事件序列 ⊂⊂⊂⊂n 21F F F ，称为可列并

∞=1n n

F 为极限{F n }的极限事件，记为 ∞=∞→=1

n n n n lim F F 。

（2） 对ξ 中任一单调不增的事件序列 ⊃⊃⊃⊃n 21E E E ，称为可列交

∞=1n n E

为极限{E n }的极限事件，记为=∞→n n lim E ∞=1n n E 。

若)lim ()(lim n n n n E P E P ∞

→∞→=,则称概率P 是上连续的 10、 概率的连续性：若P 为事件域ξ 上的概率，则P 既是上连续的，又是下连续的

11、 若P 是ξ上满足P （Ω）=1的非负集合函数，则P 是可列可加性的充要条件是P

具有有限可加性和下连续性。

第四节 条件概率

1、条件概率：设A 、B 是两个事件，若P(A)>0，则称P(A|B)=)

()(B P AB P 为事件B 发生条件