线性系统根轨迹分析
夏德钤《自动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】
夏德钤《⾃动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】第4章 线性系统的根轨迹分析1．系统的开环传递函数试证明：点在根轨迹上，并求出相应的和系统开环增益K。
证明：根据系统的开环传递函数可知，系统的开环极点为由闭环根轨迹的相⾓条件可得：当时，故点在根轨迹上。
由闭环根轨迹的幅值条件可知，此时即相应的根轨迹增益和系统开环增益仿真曲线如图4-1所⽰。
MATLAB程序：exe402.m２．设单位反馈控制系统的开环传递函数为试⽤解析法绘出K*从零变到⽆穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：（﹣2＋j0），（0＋j1），（﹣3＋j2）解：闭环传递函数为则闭环特征⽅程为闭环特征根为当。
可逐个描点得闭环根轨迹如图4-2所⽰，从图4-2中明显可见，只有（－2，j0）在根轨迹上。
图4-2３．设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘制闭环根轨迹图。
解：（1）系统的开环传递函数令为根轨迹增益。
①实轴上的根轨迹：[0，－2]，[－5，－∞）。
②根轨迹的渐近线：③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜解得④根轨迹与虚轴的交点：由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征⽅程令s＝jω，将其代⼊上式可得即由于ω≠0，故可解得则根轨迹与虚轴的交点为±j3.16。
根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-3所⽰。
图4-3 系统（1）概略根轨迹图（2）系统的开环传递函数①实轴上的根轨迹[0，－2]，[－3，－5]。
③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜通过试凑可得d＝－0.89。
根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-4所⽰。
图4-4 系统（2）概略根轨迹图（3）系统的开环传递函数①实轴上的根轨迹：[－1，－3]，[－10，－5]。
②根轨迹的渐近线：③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜通过试凑可得d＝－7.27。
根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-5所⽰。
图4-5 系统（3）概略根轨迹图（4）系统的开环传递函数实轴上的根轨迹为[－2，－1]，系统概略根轨迹如图4-6所⽰。
自动控制原理-线性系统的根轨迹实验报告
一、 实验结果及分析1.（1） )136)(22()(22++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制： MATLAB 语言程序： 运行结果：num=[1];den=[1 8 27 38 26 0];rlocus(num,den)[r,k]=rlocfind(num,den)gridxlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis')title('Root Locus')选定图中根轨迹与虚轴的交点，单击鼠标左键得：selected_point =0.0021 + 0.9627ik = 28.7425 r =-2.8199 + 2.1667i-2.8199 - 2.1667i-0.0145 + 0.9873i-0.0145 - 0.9873iG=tf([1,12],[1,23,242,1220,1000]);rlocus (G);[k,r]=rlocfind(G)G_c=feedback(G,1);step(G_c)结论：根轨迹与虚轴有交点，所以在K 从零到无穷变化时，系统的稳定性会发生变化。
由根轨迹图和运行结果知，当0<K<28.7425时，系统总是稳定的。
（2） )10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制： MATLAB 语言程序： 运行结果：num=[1 12]；den=[1 23 242 1220 1000];rlocus(num,den)[k,r]=rlocfind(num,den)gridxlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis')title('Root Locus')选定图中根轨迹与虚轴的交点，单击鼠标左键得：selected_point =0.0059 + 9.8758ik =1.0652e+003 r=-11.4165 + 2.9641i -11.4165 - 2.9641i -0.0835 + 9.9528i -0.0835 - 9.9528i 结论：根轨迹与虚轴有交点，所以在K 从零到无穷变化时，系统的稳定性会发生变化。
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
线性系统的根轨迹法实验报告
线性系统的根轨迹法实验报告实验二线性系统的根轨迹法一,实验目的1，掌握matlab绘制根轨迹的方法。
2，观察k值变化对系统稳定性的影响。
3，掌握系统临界稳定情况下k值得求取。
4，了解增设零点对系统稳定的影响以及改善系统稳定性的方法。
二，实验原理根轨迹的概念:所谓根轨迹就是当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。
根轨迹与系统性能:有了根轨迹就可以分析系统的各种性能了，稳定性的判定，当开环增益从零变到无穷大时，根轨迹不会越过虚轴进入s平面的右半平面，此时K的范围为系统稳定的范围，根轨迹与虚轴的交点处的K值，为系统的临界开环增益，开根轨迹进入s平面的右半平面时所对应的K值为系统不稳定的情况。
三，实验内容A、设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/(s*(s+1)(s+5)) (1) 绘制系统的根轨迹，并将手工绘制结果与实验绘制结果比较; (2) 从实验结果上观察系统稳定的K 值范围;(3) 用simulink 环境观察系统临界稳定时的单位阶跃响应分析:绘制根轨迹的matlab文本为clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 5]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹1,得到如图的根轨迹图:2,用鼠标点击根轨迹与虚轴处的交点可得到临界稳定的开环增益K=30,所以系统稳定的K值范围为0―30。
3，在simulink环境下按下图连接电路:取增益为30的时候在示波器下观察单位节约响应，输出波形为:由图可以看出单位阶跃响应的输出为等幅的震荡输出，所以此时系统为临界稳定状态。
当改变开环增益为50和20时观察示波器，得到输出波形分别为:由图可知当增益K为50时输出为不稳定的震荡输出，此时系统不稳定，当增益K为20时输出的波形震荡越来越缓慢，最后趋于稳定，所以此时的系统是稳定的。
B，设单位反馈控制系统的开环传递函数为G(S)=K(s+3)/s(s+1)(s+2)(1) 仿照上题绘制系统的根轨迹，并判断系统的稳定性; 参照第一题得到matlab命令文本为:clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 2]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹得到如图的根轨迹图:1，由图可知根轨迹没有进入s平面右半平面，所以系统在K=0到K=?都是稳定的。
004 第4章 线性系统的根轨迹分析
（2）精确参数的获得： >> Kg=30.7;R= rlocus(G, Kg) % Kg时所对应的闭环极点 R= -1.3562 + 2.1562i -1.3562 - 2.1562i -0.1438 + 2.1705i -0.1438 - 2.1705i 2）使用[Kg, P]= rlocfind (G)进行参数的人工获取： >> clear;G=tf([1,1],[conv([1,-1],[1,4,16]),0]); %建立零极 点模型G(s) rlocus(G); %生成根轨迹图 [Kg, P]= rlocfind (G) %鼠标左键定轨迹上的闭极点参数
4
闭环系统稳定程度的判断：
当闭环特征根位于在s平面的右半平面时，闭环系 统不稳定；当闭环特征根位于在s平面的虚轴上时，闭 环系统临界稳定（等幅振荡）；当闭环特征根位于在s 平面的左半平面时，闭环系统稳定。
闭环系统动态性能的判断：
在闭环系统稳定的情况下，当特征根位于s平面的 左半实轴上时，闭环系统的输出表现为惯性特性（单 调性）；当特征根位于s左半平面的非实轴区域时，闭 环系统的输出表现为衰减振荡特性；当特征根位于s平 面的虚轴上时，闭环系统的输出表现为等幅振荡特性 ；在s右半平面时为单调或振荡发散特性。 5
2
4.1 根轨迹分析的基本思想
闭环系统的开环传递函数的根轨迹模型为:
其中，zj和pi为开环传递函数模型的零点和极点，Kg 为开环传递函数模型的根轨迹增益。系统的闭环 传递函数为:
3
闭环系统的稳定性与Gb(s)的极点，即闭环系统 的特征方程1+H(s)G(s)=0的根在s平面上的位置及其 分布有关。 闭环系统的特征根在s平面上的位置会随Kg值的 变化而变化。 根轨迹分析法就是通过改变开环传递函数Gk(s) 的根轨迹增益Kg值（0~∞）来观察闭环特征根的轨 迹变化情况，从而能够对闭环系统的稳定程度、动 态性能及结构简化（降阶）等问题进行判断、分析 与设计。
4第四章__根轨迹法(2)
2
1
Imag Axis
0
-1
-2
-3 -2
-1.5
-1
-0.5 Real Axis
0
0.5
1
第四章 线性系统的根轨迹分析
2)确定内环的闭环极点 要求内环的反馈系数 内环的特征方程 3.2<Kf<3.5
( s 0.6)(s2 2s 4) K f 0
在实轴上选取试验点进行试探，P1=-1.6时，Kf =3.36 可求得内环的另外两个闭环极点为 p2 0.5 j1.83 p3 0.5 j1.83 3)绘制外环的根轨迹图 外环的开环传递函数
（2）根轨迹的起点 （3）实轴上的根轨迹
0，-1，-3
终点 均为∞
[0 , ] [3 , 1]
第四章 线性系统的根轨迹分析
（4）根轨迹的渐近线
a
n
2k 180 0 ,120 nm
m j i 1 i
k 0、 1
a＝
( p ) ( z )
i 1 j与虚轴的交点 (相同) （9）闭环极点的和 (相同)
第四章 线性系统的根轨迹分析
例：控制系统方框图如下所示
R(s )
Kc s2
K0 s( s 1)
C (s )
1 s3
系统的内环为正反馈，绘制内环根轨迹图。 解： （1）内环的开环传递函数
G1 ( s ) H1 ( s ) K0 s( s 1)(s 3)
第四章 线性系统的根轨迹分析
4-3
广义根轨迹
其它种类的根轨迹: 1.参数根轨迹
2.多回路系统的根轨迹 3.正反馈回路和零度根轨迹
线性系统的根轨迹法
利用根轨迹分析系统的稳态性能
在根轨迹图上画出 ξ = 0.5 的径向直4线
Root Locus
Imaginary Axis
2
与根轨迹的交点
0
s1,2 = −1± j 3
-2
由法则8可求出第三个极点
-4
-4 -3 -2 -1
0
1
s3 = (−2 − 2 − 2) − (−1+ j 3 −1− j 3) = −4
Imaginary Axis
Root Locus 4
Root Locus 4
Root Locus 4
2
2
2
0
0
0
-2
-2
-2
-4 -3 -2 -1 0
1
-4 -3 -2 -1
0
1
-4 -3 -2 -1 0
1
Real Axis
Real Axis
Real Axis
自自 动 控 制 原 理
小结
p 根轨迹的概念（开环绘制à分析闭环） p 绘制根轨迹的基本法则 ☆ p 特殊根轨迹的绘制 p 基于根轨迹的系统性能分析
自自 动 控 制 原 理
利用根轨迹估计系统的动态特性
jω
ωd
β
−σ
0
等σ%线
−πξ
σ % = e 1−ξ 2 ×100%
= e−π tan−1 β ×100%
σ
等ts线 Δ = 0.05
−ωd
ts
=
3.5
ξωn
=
3.5
σ
等tp线
tp
=
π ωd
自自 动 控 制 原 理
利用根轨迹估计系统的动态特性
实验2 线性系统的根轨迹分析
自动控制理论实验报告
实验二 线性系统的根轨迹分析
哈尔滨工业大学
实验二 线性系统的根轨迹分析
一、实验目的
1、掌握使用MATLAB绘制控制系统根轨迹图的方法；
2、掌握根据根轨迹法对控制系统进行性能分析方法。
二、 实验设备
Pc机一台，MATLAB软件。
三、实验内容
A、已知一负反馈系统的开环传递函数为
（1）绘制根迹。
（2）选取根轨迹与虚轴的交点，并确定系统稳定的根轨迹增益K的范围 。
（3）确定分离点的超调量 及开环增益K。
（4）用时域相应曲线验证系统稳定的根轨迹增益K的范围
（5）分析根轨迹的一般规律。
B、. 已知系统的开环传递函数为：
求：1）绘制根轨迹。
2）选择系统当阻尼比 =0.7时系统闭环极点的坐标值及增益K值。
分析系统性能。
四、实验结果与分析
A:1、根轨迹
2、由根轨迹图知，与虚轴交点i=4.46，增益K=12，故K<12时系统稳定
3、由根轨迹图知，分离点超调量Mp=0%，增益K=0.458
4、将不同的K带入时域响应，如下图
由图可知当K=11.9时系统依旧稳定，但当K=12时系统已经开始震荡，进入临界稳定。故与根轨迹结论一致。
超调量越靠近虚轴越大，系统处于欠阻尼状态，其动态响应将出现衰减振荡，而且越靠近虚轴，增益K越大，阻尼越小，振荡频率 越高，振幅衰减越大。
5）当根轨迹与虚轴相交时，闭环根位于虚轴上，闭环极点是一对纯虚根，阻尼 ，超调量最大，系统处于无阻尼状态，其动态响应将出现等幅振荡。此时对应的增益 ，称为临界稳定增益。
5、根轨迹的一般规律
1）根轨迹，随着k值从 变化，趋向无穷远处或者零点。
《模块化自控原理》线性系统的根轨迹分析实验
《模块化自控原理》线性系统的根轨迹分析实验模块化自控原理中的线性系统的根轨迹分析实验是探究线性系统的稳定性和动态特性的一种常用方法，通过实验观测和分析系统的根轨迹，可以得到系统的传递函数以及系统的稳定性等重要信息。
下面是对该实验的详细说明和分析。
1.实验目的1.1理解线性系统的根轨迹概念及其重要性；1.2学习使用根轨迹法进行系统的稳定性和动态特性分析；1.3掌握根轨迹分析实验的具体步骤；1.4提高实验操作和数据处理的能力。
2.实验原理2.1根轨迹的概念根轨迹是以参数变化为基础的线性系统稳定性和动态特性的分析方法之一、根轨迹是指在参数变化的范围内，系统传递函数极点的轨迹，可以用来判断系统的稳定性、响应特性和动态响应快慢等重要指标。
2.2根轨迹的画法根轨迹的画法需要先确定系统的开环传递函数，然后通过对传递函数进行拆项和配平，求解极点的位置。
根轨迹的位置可以通过极点的实部和虚部来表示，根据虚轴对称性和极点与零点的关系，可以画出根轨迹的大致形状和方向。
2.3根轨迹分析的应用根据根轨迹的形状、分布和方向可以判断系统的稳定性和动态特性：-根轨迹在左半平面则系统稳定；-根轨迹与虚轴交点奇数个则系统不稳定；-根轨迹的分布越往左上角或右上角，系统的动态特性越好。
3.实验装置和器材3.1实验装置数字控制系统实验台、计算机、示波器、信号发生器、数模转换器等。
3.2实验器材电脑、电源线、连接线、示波器探头等。
4.实验步骤4.1连接实验装置将数字控制系统实验台与计算机、示波器、信号发生器和数模转换器等设备进行连接。
4.2系统参数调整设置合适的实验参数，包括采样频率、控制周期、信号幅值等。
4.3系统根轨迹绘制在计算机上运行相应的根轨迹绘制软件，根据实验所给的开环传递函数和稳定域范围，绘制系统的根轨迹。
4.4根轨迹分析根据根轨迹的形状、位置和分布等信息，分析系统的稳定性和动态特性，并给出相应的结论和解释。
4.5记录实验数据记录实验中所绘制的根轨迹和分析结果，包括根轨迹的形状、交点、分布等重要特征。
线性系统的根轨迹分析
s1右边所有位于实轴上的每一个极
点或零点所提供的幅角为180°；
s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0°。
已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。
K ( s 1 )( s 4 )( s 6 ) G ( s ) 2 2 s( s 2 )( s 3 )
表示两重极点
第四章 线性系统的根轨迹分析
主要内容
§4—1 根轨迹的基本概念 §4—2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4—3 广义根轨迹 §4—4 滞后系统的根轨迹 §4—5 利用根轨迹分析系统的性能 §4—6 用MATLAB绘制系统的根轨迹
§4—1 根轨迹的基本概念 闭环极点（即闭环特征方程根） 闭环控制系统稳定 性、瞬态响应特性 问题1: 如何按希望性能将闭环极点合适的位置? 问题2: 当系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解， 不方便,有没有简便分析方法? 根轨迹：当系统某一参数在规定范围内变化时，相应的系 统闭环特征方程根在s平面上的位置也随之变化移动，一个 根形成一条轨迹。 系统特征根的图解方法!!! 广义根轨迹:系统的任意一变化参数形成根轨迹。 狭义根轨迹（通常情况）： 变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。
s平面
j
6
5
4 3 2
1
o
[-1，-2] 右侧实零、极点数=3。 [-4，-6] 右侧实零、极点数=7。
五、根轨迹的渐近线 当系统n>m时，有（n－m）条根轨迹分支 终止于无限远零点。 沿着渐近线趋于无限远处， 渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。
渐近线与实轴的倾角（k=0，1，2，…） ： ( 2 k 1 ) 180 a n m 渐近线与实轴交点的坐标值：
第4章线性系统的根轨迹分析
k (s z1)(s z2 )(s zm ) 1 (s p1)(s p2 )(s pn )
(4-2-6)
g(t) c(t) 1 et /
闭环系统特征方程为
f (s) s3 3s2 2s k 0
df (s) 3s2 6s 2 0 ds
s1 0.422, s2 1.578
由前边分析得知，s2 不是根轨迹上的点，故舍 去。s1是根轨迹与实轴分离点坐标。最后画出
根轨迹如图4-2-4所示。
图4-2-4 例4-2-1的跟轨迹图
利用多项式乘法和除法，由式(4-2-6)可得
n
s n ( pi )s n1
k
i 1 m
s m ( z j )s m1
j 1
m
n
s nm ( z j
pi )s nm1
j 1
i 1
将式(4-2-8)代入上式可得
m
n
(s )nm snm ( z j pi )snm1
(n m)
(4-2-1)
式中 s z j ( j 1,2,, m) 为系统的开环零点 s pi (i 1,2,, n) 为系统的开环极点
k称为根轨迹增益或根轨迹放大倍数。设系统为v型， 即有s=0的开环极点，将式(4-2-1)改写为
G(s)H (s)
K (1s 1)( 2s 1)( ms 1)
当1<k<∞时，两个闭环极点变为一对共轭复数极点
明当sk1→、s21、∞ 时s12，位js1于、k(s-121,将,且j趋0s1)、向点s于且2 无平的限行实远于部处虚不。轴随图的k变4直-化1线的，上控说。
第四章 线性系统的根轨迹法解析
本章目录
4-1 根轨迹的基本概念 4-2 根轨迹绘制的基本法则 4-3 广义根轨迹 4-4 系统性能的分析 4-5 控制系统复域设计
4-1 根轨迹法的基本概念
1、定义 根轨迹法: 开环系统的某一参数从零到无穷变
D(s) s(s 1) K *(s 2) s2 (1 K * )s 2K *
(1 K * ) (1 K * )2 8K *
s1,2
2
(1 K * )
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
根轨迹增益与前向通道增益的转换关系
K*
K
1
2 2
T1T22
系统结构图如图所示，确定闭环零点
闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点 闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关
结论： （1）闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通道根 轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益 就等于开环系统根轨迹增益。 （2）闭环零点由开环前向通路的零点和反馈通路的 极点所组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环 零点。 （3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增 益K* 均有关系。
K : 开环增益 K*: 根轨迹增益
(s)
C(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) R(s)
s2
K* 2s
K*
D(s) s2 2s K * 0
l1,2 1 1 K *
D(s) s2 2s K * 0
l1,2 1 1 K *
自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹分析
由以上分析得知：
根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影 响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和 暂态性能与系统参数之间的关系。
利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析： （1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性； （2）判断系统在K1从0到变化时根轨迹的条数； （3）判断该系统K1取值在何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和 欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性； （5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系 统闭环性能指标；或反之；
•根轨迹法作为经典控制理论的基本方法,与频率特性法 互为补充,是分析和研究自动控制系统的有效工具。
•实际上，我们可以利用matlab方便地绘制系统的根轨 迹图。
本章内容
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的方法 第三节 参量根轨迹和多回路系统根轨迹 第四节 正反馈系统和零度根轨迹 第五节 利用根轨迹分析系统的暂态性能 第六节 延迟系统的根轨迹 本章小结、重点和习题
当K1由0变化到时，试按一般步骤与规则绘制 其根轨迹图。 解: （1）本系统为3阶系统，有3条根轨迹； （2）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环 极点，分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。 （3）渐近线：K1时， p1 p2 p3 0 1 2 a 1 有3条根轨迹趋向无穷远处， nm 30 其渐近线与实轴的交点和 (2q 1)180 (2q 1)180 a nm 3 倾角分别为：
满足相角条件,s1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。
（3）利用幅值条件求得与s1 相对应的K1值。
K1
s1 ( s1 2) ( s1 6.6) ( s1 4)
1.5 j 2.5 0.5 j 2.5 5.1 j 2.5 2.5 j 2.5
实验三 线性系统的根轨迹分析
实验三 线性系统的根轨迹分析09电信 任旭乐 20095042046一、 实验目的1.熟悉Matlab 的基本操作；2.掌握利用Matlab 函数实现系统根轨迹的绘制及设计的方法。
3.能够根据所得结果对系统进行性能分析。
二、 实验内容1、已知单位负反馈系统的开环传递函数为： （1）试画出K=0 →∞时的闭环系统根轨迹； （2）求出临界时的K 值及闭环极点； （3）求出使系统稳定的K 值的区间; （4）利用Matlab 函数将剩余的根求出。
程序： a=[1 0]; b=[0.05 1]; c=[0.05 0.2 1]; d=conv(a,b); e=conv(c,d); G=tf([1],e); figure(1); rlocus(G);[k,pole]=rlocfind(G);解：（1）根轨迹如图所示。
（2）临界时k=4.62；闭环极点p=0.336+4.34j （3）由图可知：0<k<4.62时系统稳定。
Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s-80-60-40-200204060-60-40-20204060System: G Gain: 4.62P ole: 0.336 + 4.34i Damping: -0.0772Overshoot (%): 128Frequency (rad/sec): 4.35System: G Gain: 0P ole: 0Damping: -1Overshoot (%): 0Frequency (rad/sec): 0System: GGain: 8.5P ole: -19.5Damping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/sec): 19.5根轨迹2()(0.051)(0.050.21)KG s s s s s =+++2、已知单位负反馈系统的开环传递函数为：（1）试画出K=0 →∞时的闭环系统根轨迹；（2）找出ζ=0.707附近的点，绘制出其相应的单位阶跃响应曲线。
线性控制系统的根轨迹分析法
PART 01
引言
线性控制系统简介
线性控制系统是由线性微分方程描述 的一类控制系统，其特点是系统的输 出和输入之间存在线性关系。
线性控制系统广泛应用于工程领域， 如航空航天、化工、电力等，用于实 现各种控制目标，如稳定性、快速性 和准确性。
根轨迹分析法的定义和重要性
根轨迹分析法是一种通过分析线性控制系统闭环极点的变化来研究系统性能的方法。
系统校正与改进
通过根轨迹分析，可以找到系统性 能不足的原因，进而对系统进行校 正或改进设计。
PART 04
根轨迹分析法的限制和挑 战
参数变化对根轨迹的影响
01
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化，从而影响 系统的稳定性和性能。
02
参数变化可能使系统从稳定状态变为不稳定状态，或反之。
03
参数变化可能影响系统的动态响应，如调节时间和超调量。
分析系统动态特性
通过根轨迹分析，可以了 解系统在不同参数下的动 态特性，如超调和调节时 间等。
控制系统性能优化
1 2 3
优化系统性能指标
通过调整系统参数，利用根轨迹分析优化控制系 统的性能指标，如减小超调量、缩短调节时间等。
提高系统抗干扰能力
通过根轨迹分析，可以找到提高系统抗干扰能力 的参数设置，使系统在受到扰动时仍能保持良好 的性能。
分支性
当参数变化超过一定阈值 时，根轨迹可能出现分支， 表示系统出现多解或不稳 定。
PART 03
根轨迹分析法的应用
控制系统稳定性分析
判断系统稳定
通过根轨迹分析，可以判 断线性控制系统的稳定性， 即系统在受到扰动后是否 能恢复稳定状态。
确定系统临界状态
根轨迹分析可以确定系统 临界状态，即系统在某一 特定参数下从稳定状态变 为不稳定状态。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
３.∣n-m∣条渐近线对称于实轴,均起于σa 点,方向由
φa确定
n
m
∑pi-∑zj
σa =
i=1 j=1
∣n-m∣
φa=
2kπ n-m
４.实轴上某段右侧零、极点个数之和为偶数，则该段
是根轨迹
2020/8/15
10
５．根轨迹的会合与分离
n
∑ i=1
1 d-pi
=
m
∑
j=1
1 d-zj
, λL=
(2k+1)π
j 1
j 1
m
(nji)
zi (2k1) ( zjzi pjzi)k ;0,1,2,
j 1
j 1
(ji)
７.与虚轴的交点 可由劳斯表求出或令s=jω解出
８.根之和
n
n
si pi
i1
i1
2020/8/15
8
4.3零度根轨迹
根轨迹方程
m
K * (s z j)
1– j1 n
0 K*:0 ~ +
L
k= 0,1,2, …6.起始角与终止角
７.与虚轴的交点 可由劳斯表求出 或 令s=jω解出
８.根之和
2020/8/15
11
(2k+1)π n-m
４．实轴上某段右侧零、极点个数之和为奇数，则该段
是根轨迹
５．根轨迹的会合与分离
n
∑ i=1
1 d-pi
=
m
∑
j=1
1 d-zj
, λL=
(2k+1)π
L
k= 0,1,2, …
2020/8/1无5 零点时右边为零 L为来会合的根轨迹条数 7
6.起始角与终止角
m
n
p i (2k1) ( zjpi pjpi)k ;0, 1 , 2,
(s pi )
模值条件: 相角条件:
= i1
K*
∏n ︱s
i=1
-p︱i
∏m︱s
j=1
-
z︱j
m
n
∑j=1∠(s-zj) －∑i=∠1 (s-pj) = (2k+1) π
2020/8/15
k=0, ±1, ±92, …
零度根轨迹绘制的基本法则
1.根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点
2.根轨迹的分指数与m,n 中的大着相同，根轨迹连续 且对称于实轴
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=?
k=0.5 时，s1=s2=－1
K从零变化到无 穷时,特征根的变 化轨迹为:
2020/8/15
0.5＜k＜∞时，s1,2j=－1±j√2k－1
第四章 线性系统的根轨迹分析
4.1根轨迹的基本概念 4.2根轨迹绘制的基本法则 4.3广义根轨迹 4.4利用根轨迹对系统进行性能分析
2020/8/15
1
4.1根轨迹的基本概念
4.1.1定义 开环系统某一参数从零变化到无穷是， 闭环特征根在S平面上的变化轨迹。
举例: 系统框图如右图
特征方程： S2+2s+2k=0
j=1
n
K*=0 ∏ ( s-pi) = 0 i=1
K*= ∏m (s - zj) = 0
2020/8/15
j=1
6
2.根轨迹的分指数与m,n 中的大着相同，根轨迹连续 且对称于实轴
３．∣n-m∣条渐近线对称于实轴,均起于σa 点,方向
由φa确定
n
m
∑pi-∑zj
σa =
i=1 j=1
∣n-m∣
φa=
) )
∏n ︱s
i=1
-p︱i
∏m︱s
j=1
-
z︱j
相角条件:
m
n
∑j=1∠(s-zj) －∑i=∠1 (s-pj) = (2k+1) π
k=0, ±1, ±2 2020/8/15
,…
5
4.2根轨迹绘制的基本法则
1.根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点
n
∏
(
s
-pi)+
m
K*∏
(s-
zj)
=
0
i=1
特征方程 1+GH = 0
m
∏
1+K* j=1 n
(
s
-
zj)
=
0
∏ ( s-pi)
i=1
开环零,极点为常数,方程的解即为闭环极点,K从零变化
到无穷时s的变换轨迹就是闭环根轨迹,此方程称为根
轨迹方程
2020/8/15
4
根轨迹的模值条件与相角条件
K 模值条件:
*
= m
∏
K = -1 *
j=1
n
∏
(s - zj (s -pi
-2
-1
0
此轨迹即 为闭环根 轨迹
2
4.1.2根轨迹与系统性能的关系
1.稳定性:根轨迹在 s左半平面时,系统稳定,否则.系 统不稳定； 2.稳态性能：原点处的开环极点决定系统的型别， 从而决定静态误差系数. 3.动态性能：根轨迹上的点与虚轴的距离表明系统 的动态性能。
2020/8/15
3
4.1.3根轨迹方程