保守系统 应用拉格朗日方程的步骤

d L L 0 dt
d l 2 l cos ) (mx ( ml mx l sin mg sin ) 0 dt 2
d 5 L ml cos ) ( mx 0 dt 2 x d l 2 ( ml mxl cos ) (mx l sin mg sin ) 0 dt 2 L 0 x 5 cos ) C ml ( mx 1 2
例1：已知质量为m1，半径为r 的圆盘沿斜面纯滚动，质量 为m2 的斜块在光滑水平面上运动。求运动微分方程：
x1
x1 1，选取广义坐标
x2
2，用广义坐标表示势能 x2 l V m1 gx1 sin ) 2 3，用广义坐标及其导 数的表示动能 1 1 1 2 2 2 2 m1[( x 2 x 1 cos ) ( x 1 cos ) ] m1r 2 ( x 1 / r ) 2 T m2 x 2 2 2 1 1 2 2 2 m1 ( x 2 1 x 2 cos 2 x 12 ) m2 x 2x 2 2
Jz
x
M
g
相对平衡位置？
当

控制力偶M=？
图示矩形板绕AB定轴转动，求刚体对O点的动量矩
定轴转动—定点运动的特例
y'
Lo

A
y'
O
x'

x'
B
1 2 J x' m b 12 1 J y ' m a2 12
ω x'i'y ' j'0k' cos i' sin j'
pi 称为对应于广义坐标 qi 的广义动量
例：系统如图所示，杆长为5m，质量为1kg，圆盘为
直径 0.6m，质量为10kg 。求系统运动微分方程。 解：1、确定系统的自由
o
1
度和广义坐标
2、求系统的动能
和势能
A 2
3、拉格朗日方程
例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上 纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求系统 的运动微分方程 1，选取广义坐标 x
2，用广义坐标表示势能
l V mg (1 cos ) 2
x
r
mg
A

B
5 2 1 2 2 m l mx l cos T mx 4 2 ,, ) T (x
mg
例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上 纯滚动，长2l 均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求 系统的运动微分方程，方程的首次积分。
例1：已知重为m1g，半径为r 的圆盘沿斜面纯滚动，重 量为m2 g的斜块在光滑水平面上运动。求广义力：
x1 x2 1 选取广义坐标

x2
x1 2 选取广义坐标
x1

例：系统如图所示，均质圆盘可绕O轴转动，不计质 量的绳索绕在圆盘上（无相对滑动），另一端与小球 A连接，求系统的运动微分方程。 已知：m，r 解： •系统有几个自由度
3、非有势力的广义力
AB 2l , m1, m2
vA x v c v A v CA
cos l vcx x sin v l
cy
l0 x
A
F (t )
2 2 1 1 2 T1 m v m v J 2 c 2 1 A 2 2 c
vA
m1 g
mg
a
FBz '
B
x
0 M x'
0 M y' ( J y ' J x' )x'y ' M z '
y'
FA
A
y
y'
C

b x'
x ' FB

mg m b2 m a2 Lo cos i' sin j' 12 12
FAz '
a
FBz '
B
x
ω x'i'y ' j'0k' cos i' sin j'
§4-3、拉格朗日方程的首次积分
一、循环积分 如果保守系统的 L 不显含某些广义坐标
L 0, (i 1,, l ) qi
qi , (i 1,l )

L pi const. , (i 1,, l ) i q
上式称为拉格朗日方程的循环积分，相应的坐标称为 循环坐标。

FAz '
mg
a
FBz '
B
x
x' cos y' sin z ' 0
1 1 2 J x ' mb , J y ' ma 2 12 12
y'
FA
A
y
y'
C

b x'
x ' FB

FAz '
x ' ( J z ' J y ' ) y ' z ' M x ' J x ' y ' ( J x ' J z ' ) x ' z ' M y ' J y ' z ' ( J y ' J x ' ) x ' y ' M z ' J z '
解： 系统有几个自由度？
Jz
x
M
g
T ? V ?
广义力如何求？
1 2 1 2 2 2 T J z m( x x ) 2 2
l0
A
k 2 V x 2
k
m
B
Qx 0, Q M
2 mx kx mx 0 2 M ( J z mx ) 2mx x
A
vC ve vr
ve
vr
r vx x v x
y

r
x
c
mg
x r
部分保守系统
例：求如下系统运动微分方程。
l0
x
A
F (t )
解：1、确定系统的自由度 和广义坐标 2、求系统的动能和势能
( 拉格朗日函数 )
m1 g
m2 g
B 4、拉格朗日方程
A
vCA c
1 2 2 2 T (m1 m2 ) x m2 xl cos m2l 2 2 3
V m2 gl (1 cos )
1 2 kx 2
m2 g
B
cos m l 2 sin kx F (t ) m2l (m1 m2 ) x 2 1 m l m2 (2l )2 2 x cos m2 gl sin 0 3
l0
k
m
q
解：保守系统？ 系统受到的约束？ 自由度？ 广义坐标？

T ? V ?
拉格朗日函数有什么的特点？ 广义能量积分的含义？
例：系统如图所示，求系统动力学方程;维持AB匀角速 转动所需的控制力偶，此时滑块的相对平衡位置。 已知： m, k , J z为弹簧原长。 , l0
l0
A
k
m
B
2 mx cos mg (1 cos ) 2 ml 2 l mx 4 2 2 d L L 5，套公式 0 x dt x
d 5 L ( mx ml cos ) 0 dt 2 x
L T V L ( x , , ) 4，拉格朗日函 数 5 1 l
Lo J x'x'i' J y 'y ' j' J z 'z 'k'
m b2 m a2 Lo cos i' sin j' 12 12
例：已知： m, a, b, ，质心在AB轴的中点， AB=L，求图示瞬时轴承A、B的约束力。
y'
FA
A
y
y'
C

b x'
x ' FB
V m2 gl(1 cos ) 1 2 T (m1 m2 ) x 2 2 l cos m2l 2 2 m2 x 3
x
A
m1 g
B
, ) , L T V L( x
m2 g
例：系统如图所示，求系统的首次积分。 已知： m, k , const. , l0 为弹簧原长。
1，选取广义坐标 x
2，用广义坐标表示势能
V lm1 g (1 cos )
x
r
mg
A

B
3 2 1 2 2 2 2 T mx m1 x m1l m1 xl cos 4 2 3
m1g
T 3 mx m1 x m1l cos x 2
给出系统的首次积分（1）循环积分（2）能量积分
o
r
m
•如何选取广义坐标
T ? V ?
A
mg
T
1 1 2 J o 2 mv A 2 2
vA ? ?
o

x

A
ve
vr
例：系统如图所示，不计质量的绳索绕在均质圆盘上 （无相对滑动），另一端悬挂在A点。求系统的运动 微分方程。
y
A
A
c
mg
已知：m，r
r

r
x
c
mg
ve
vr
y
保守系统 应用拉格朗日方程的步骤
1，选取广义坐标 2，用广义坐标表示势能 V
3，用广义坐标表示动能 T 4，拉格朗日函数 L=T-V
5，套公式
d L j dt q L 0 q j
Fra Baidu bibliotek
例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上 纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求系统 的运动微分方程，方程的全微分。
1，选取广义坐标 x
x
r
mg
A
2，用广义坐标表示势能

B
l V mg (1 cos ) 2
mg
已知：AB l , r, m
x
A

vA
vCA
c

B
3，用广义坐标及其 导数的表示动能
5 2 1 2 2 cos T ( x , ) ml mx l , T mx 4 2