保守系统 应用拉格朗日方程的步骤
拉格朗日第二类方程
代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 C1 C2 0
故：
3M
gt 2
(2P9Q)( Rr)2
20
[例]图示系统，物块C质量为m1 ，均质轮A、B质量均为m2， 半径均为R，A作纯滚动，求系统的运动微分方程。 解：系统具有一自由度，保守
系统。以物块C的平衡位置为
原点，取x为广义坐标：
AF q j
（4）不含约束力。
二、保守系统的拉格朗日方程
如果作用于质点系的力是有势力，则：
Qj
V q j
而拉氏方程为：
15
d dt
T q j
T q j
V q j
由于V=V（q1，q2，...，qk），不含广义速度，所以
V q j
0,
d dt
V q j
0
上式为：
d dt
T q j
T q j
d dt
V q j
V q j
或：d dt
(T V q j
)
(T V q j
)
0
令L=T-V——拉格朗日函数
d dt
(
L q j
)
L q j
0 ( j1,2,,k )
保守系统的拉格朗日第二类方程。
16
应用拉氏方程解题的步骤：
1. 判定质点系的自由度 f，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
Q
A
M
T
1 2P 6
9Q (R g
r ) 2
;
d T
dt
1 2P 9Q (R r)2
6
g
;
T 0
19
理论力学 拉格朗日方程
xl
cos
1 2
k
x2
m2
gl
cos
L x
(m1
m2
)
x
m2
l
cos
,
L x
kx
d dt
L x
(m1
m2
)
x
m2
lcos
m2
l
2
sin
L
m2
l
2
m2
xlcos
,
L
m2
xl
sin
m2
glsin
(c)
代入质点系动力学普遍方程，得：
n
n
n
(Fi miai )ri Fi ri miairi 0 (d )
i 1
i 1
i 1
n
Fi
i 1
ri
n
Fi
i 1
( jk1qrij
q
j
kn
) (F
j1 i1
i
ri q j
)q j
kn
质点 M i : mi , 。ri 若取系统的一组广义坐标为
q，1则, q2 ,qk
ri ri (q1,q2 ,qk ,t) (i1,2,n)
(a)
vi
dri dt
jk1qrij
q j
ri t
(i 1,2n)
( b)
称
q j
dq j为广义速度。 dt
7
ri jk1qrij q j (i1,2,n)
22
dL dt
5第3章拉格朗日方程
第3章拉格朗日方程以动力学普遍方程为基础，拉格朗日导出了两种形式的动力学方程，分别称为第一类和第二类拉格朗日方程。
将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立起动力学普遍方程，避免了理想约束力的出现；再把普遍方程变为广义坐标形式，进一步转变为能量形式，导出了第二类拉格朗日方程，实现了用最少数目的方程描述动力系统；应用数学分析中的乘子法，采用直角坐标形式的普遍方程和约束方程而建立的一组动力学方程，是第一类拉格朗日方程，便于程式化处理约束动力系统问题。
拉格朗日方程是分析力学得以发展之源。
3.1 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程是分析力学中最重要的动力学方程，它给出动力学问题一个普遍、简单而又统一的解法。
拉格朗日方程只适用于完整约束的质点系。
3.1.1 几个关系式的推证为方便起见，在推导拉格朗日方程前，先推证几个关系式。
质点系由n个质点、s个完整的理想约束组成，它的自由度数为k＝3n–s，广义坐标数与自由度数相等。
该系统中，任一质点M i的矢径r i可表示成广义坐标q1，q2，…，q k和时间t的函数，即r i＝r i(q1，q2，…，q k，t)i＝1,2,…,n它的速度(3-1)i＝1,2,…,n式中称为h个广义坐标的广义速度，分别为广义坐标和时间的函数，与广义速度没有直接的关系。
式(3-1)对求偏导数，则有(3-2)这是推证的第一个关系式，它表明，任一质点的速度对广义速度的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏导数。
为推证第二个关系式，将式(3-1)对广义坐标q j求偏导数，或(3-3)这是第二个关系式，它表明，任一质点的速度对广义坐标的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏导数，再对时间的一阶导数。
再看看质点的动能对广义坐标的偏导数。
有(A)又式(3-2)、式(3-3)代入上式，并注意式(A)的关系，(3-4)3.1.2 第二类拉格朗日方程动力学普遍方程可以改写为(3-5)左侧的第一项主动力的虚功之和，可以用广义力Q h在广义虚位移q h上所做的功之和表示，即(3-6)值得指出，这里的主动力并非平衡问题中的主动力，因此，这里的广义力Q h不等于零。
拉格朗日方程
[例2]图示系统，A重2P，B重P。不计滑轮重及O、E处摩擦， 求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数 f。 解：系统具有2自由度。 以sA、 sB为广义坐标 （1）当sA改变δsA而δsB=0（
B不动），此时δsC= δsA /2
1 WA Fs A WsC ( F W )s A 2 WA 1 QA F W s A 2
( j 1,2,, k )
这就是拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程， 或拉氏方程。
j , q j ,t) (1) T T (q
（2）有势力、非有势力都适用
W j (3) Q j q j
（4）不含约束力。 二、保守系统的拉格朗日方程 如果作用于质点系的力是有势力，则：
V Qj q j
(f)
①Mi点的速度： 由(a)式
dri ri ri ri ri 1 2 ... k vi q q q dt q1 q2 qk t k r ri i j q (g) j 1 q t j
j — 广义速度 式中：q
ri ri , 由（a）知 只是广义坐标和时间的函数，与广义速 q j t
这样就将具有k个自由度的质点系变为一个自由度的质点系 ，所有主动力的元功之和： W j
W j Q j q j
Q jq j
( j 1,2,..., k )
3、若作用于质点系的主动力都是有势力，质点系在任一位置
的势能V=V（q1，q2，...，qk）
V V V , Yi , Zi 由式（8-7-8） X i xi yi zi
k
2 ri 2 ri j q tql j 1 q j ql
k
动力学方程 拉格朗日方程
dt
dt
dt
s
1
V q
q
dV dt
dT dV 0 dt dt
T＋V＝E＝恒量
这就是力学体系的能量积分。
可见拉格朗日方程具有能量积分的条件是：受稳定的理想约束的完整系 ，只受保守力而且T、V中不显含t，这时体系的能量守恒。
（3）对于完整的保守的力学体系，受不稳定约束而且T、V 中不显含t情况的分析。
d dt
n i 1
mi
ri
ri q
n i1
mi
ri
ri q
d dt
n i 1
q
1 2
mi
ri
2
n i 1
q
1 2
mi ri 2
令
T
n i 1
1 2
mi ri 2
显然 T 是体系的动能，则有
P
d dt
T
q
T q
即
d dt
T q
T q
Q ,
1, 2, , s
y
Fy
j'
rP
解 方法一：
o
从定义式计算。 将定义式用于极坐标，因 粒子数 n＝1，则
Qr
F
r r
r
Q F
F
i'
Fx
x
又因 x＝ r cos，y＝r sin
则
x cos , y sin
r
Qr
F
r r
r
Fx
x r
Fy
y r
y
Fy
j'
F
i'
r P Fx
o
Q＝ r F（是力矩）
F
r o
拉格朗日方程
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
d L L ( ) 0 (k 1,2, , N ) k dt q qk
1.2
拉 T T d T 或 L L d L ( ) ( ) 格 q q j k dt q k dt q k q k q k k 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二 日 阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。 方 程
1.2
d T T Q ，得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中， 0 、
1.2
拉 格 朗 日 方 程
例4 如图轮A的质量为 m1，在水平面上只滚动不 滑动，定滑轮B的质量为 m2，两轮均为均质圆盘，半 m3 径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性系数为 ， k 试求系统的运动微分方程。 k AR 解：以系统为研究对象， B R 系统具有一个自由度。取 x x C 为广义坐标，x 从重物的平衡 位置量起。系统的动能为 2 1 1 2 1 1 3 x x 2 2 2 T ( m1 R )( ) ( m2 R )( ) m3 x 2 2 2R 2 2 R 2 1 2 (3m1 4m2 8m3 ) x 16 设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ，则有关系式
整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24
06分析力学基础第二类拉格朗日方程
将Qk代入拉格朗日方程式，得
d dt
(
T qk
)
T qk
V qk
0
势能V不包含广义速度，引入拉格朗日函数
L T V L(qk , qk , t)
为拉格朗日函数（动势），是表征体系约束运动状态和相互作用 等性质的特征函数。
保守体系的拉格朗日方程为：
d dt
(
L qk
)
系统的运动微分方程。
(m1 m2 )x m2l kx 0 x l g 0
上式为系统在平衡位置(x =0, =0)附近微幅运动的微分方程。
M1-23
M1-24
变换 1.
ri qk
ri qk
由 ri ri (q1, q2, qN , t) (i 1, 2, n)
d dt
n i1
mi ri
ri qk
qk
n i1
1 2
mi
ri
ri
d dt
qk
n1 2
i1
mivi2
qk
n i1
1 2
mivi2
d dt
T qk
T qk
M1-3
由
Qk
n
miri
i1
ri qk
k 1, 2, N
可得
d dt
T qk
T qk
Qk
k 1, 2, N
为理想完整系的拉格朗日方程，方程数等于质点系的自由度数。 其中：
Qk
拉格朗日方程
17.2
板上有半径为 r 、 质量为m2的均质圆柱， 圆柱在板
上作纯滚动而不滑动，今有一水平常力F 拉动金属
板，试求圆柱纯滚的角加速度和金属板的加速度。
拉
解：以系统为研究对象，
格
系统具两个自由度。选取 x A、
为广 义坐标。
C m2 g
A
朗 日 方
系统的动能为
xA
m1g
T
1 2
m1xA2
1 2
(1 12
m2 L2
)2
整理后得
T
3 4
m1x2
1 2
m2 (x2
1 4
L22
Lxcos)
1 24
m2 L22
系统的广义力为 Qx 0
17.2
Q
W ( )
m2 g
L 2
cos (90
)
xm2 g
L sin
一、拉格朗日方程
设有n个知点组成的知点系，受完整的理想约束，
17.2 具有k个自由度，其位置可由k个广义坐标 q1, q2 ,, qk
来确定。则有
拉 格
d ( T ) T dt qj q j
Qj
( j 1,2,, k)
朗
日
式中
T
n i 1
12mi vi2 为质点系的动能；
M
r
O
拉 为R。今在曲柄上作用一不变的力
R
格
偶，其矩为M，使机构运动。求曲 柄的运动方程。
朗
解：以整个系统为研究对象，系统具有一个自
日 由度，取曲柄转角 为广义坐标。
第十七章：拉氏方程
用q1，q2，…qN表示系统的广义坐标，第i个质点质量为mi， 矢径为ri。则
ri= ri(q1，q2，…qN，t)
(17－3)
对上式求变分得
N ∂r ∂ri ∂ri ∂ri ∂ri =∑ i δk q δi = δ1 + δ 2 +L+ r q q δN + δ q t ∂q1 ∂q2 ∂qN ∂t i=1 ∂qk
拉格朗日方程概述续
: 拉格朗日方程是着眼于整个系统，避开约束反
力，用分析方法给出了系统动力学问题的统一表述， 为处理受约束的复杂的系统动力学问题开辟了新的捷 径。由于拉格朗日方程是用广义坐标且从能量的观点 研究系统的动力学问题，而能量是自然界各种不同物 理形态的物质运动的统一度量， 因此，拉格朗日方 程的应用就具有较大的普遍性，它不仅适用于机械系 统，也适用于电学系统和机电系统的动力学问题。
k
(17－11)
这就是第二类拉格朗日方程， 是一个方程组，该方程组 的数目等于质点系的自由度数，各方程均为二阶常微分方 程。揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。 若作用于质点系的主动力均为有势力（保守力）， 则广义力Qk可写成质点系势能表达的形式 Q = − ∂V
k
k
于是，对保守系统，拉格朗日方程可写成
n
k根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有
r q ∑F ⋅δ = ∑Q δ
i =1 i i k =1 k
n n
n
N
k
n ∂ri && δk = 0 ∴∑Fi ⋅δi − ∑miai ⋅δi = ∑Qk − ∑mi ri ⋅ r r q ∂qk k =1 i =1 i =1 i =1 广义力 广义虚位移 N
《理论力学 动力学》 第三讲 第二类拉格朗日方程的推导
第二类拉格朗日方程曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、第二类拉格朗日方程的推导2、第二类拉格朗日方程的应用3、拉格朗日方程的初积分1、第二类拉格朗日方程的推导设由n 个质点组成的系统受m 个理想完整约束作用，系统具有N=3n-m 个自由度。
设q 1, q 2, …, q N 为系统的一组广义坐标,则每个质点的位置：12(,)(12)i i N q q q t i n =×××=×××r r ，，，，，，上式两端进行等时变分运算得到：11...i i i i N N q q t q q t d d d d ¶¶¶=+++¶¶¶r r r r 1N ikk kq q d =¶=¶år 主动力在任意虚位移上所作的虚功之和为：1δnii =×åiF r 1δNkkk Qq ==×å1、第二类拉格朗日方程的推导将以上两式代入动力学普遍方程：1()0nii iii m d =-×=åF rr &&11(δ0N nik i i k k i k Q m q q ==¶-×=¶åår r &&对于完整约束系统，广义坐标相互独立，因此δq k 是任意的，上式成立的话，恒有：0(1,2,...,)nik i i Q m k N q ¶-×==¶år r &&1、第二类拉格朗日方程的推导k Q 广义惯性力上式不便于直接应用，为此可作如下变换：(1)i i k k q q¶¶=¶¶r r &&证明：12()(12)i i N q q q t i n =×××=×××r r ，，，，，，11d d i i i ii k k q qt q q t¶¶¶==++++¶¶¶r r r r r &&&L L 注意和是广义坐标和时间的函数（不含有广义速度项），并且上式只在第k 项含有i k q ¶¶r t ¶¶ir i iq q ¶¶=¶¶r r &&k q&(2)d d i i kkt q q æö¶¶=ç÷¶¶èør r &证明：这实际是一个交换求导次序的问题12()(12)i i N q q q t i n =×××=×××r r ，，，，，，12()i i N k kq q q t q q ¶¶=¶¶r r L ，，，，对时间t 求微分1d d N ii j j kjkk q t q q q t q =æöæöæö¶¶¶¶¶=+ç÷ç÷ç÷¶¶¶¶¶èøèøèøåi r r r &221Ni j j k jk q q q q t =¶¶=+¶¶¶¶åir r &而1()N i i i j j k k j qq q q t=¶¶¶¶=+¶¶¶¶år r r &&111Ni i i i ii N j j N jq q q q q t q t =¶¶¶¶¶=+++=+¶¶¶¶¶år r r r r r &&&&L 221Ni i j j k j k q q q q t =¶¶=+¶¶¶¶år r&d d i i k kt q q æö¶¶=ç÷¶¶èør r&若函数的一阶和二阶偏导数连续12()i i N q q q t =r r L ，，，，1、第二类拉格朗日方程的推导将和代入动力学普遍方程的广义惯性力项中：i i k k q q ¶¶=¶¶r r &&d d i i kkt q q æö¶¶=ç÷¶¶èør r&1ni i i i k m q =¶×¶år r &&11d d )()d d n ni i i i i i i k k m m t q t q ==¶¶=×-׶¶åår r r r &&11d d nn i i i i i i k k m m t q q ==éù¶¶=×-×êú¶¶ëûåår rr r &&&&&11d1()d 2nni i i i i i i i k k m m t qq ==éù¶¶=×-×êú¶¶ëûåår r r r &&&&&2211d 11()()d 22nni i i i i i k km v m v t q q ==éù¶¶=-êú¶¶ëûåå&记21()ni i T m v =åd ()d k kT Tt q q ¶¶=-¶¶&1、第二类拉格朗日方程的推导将前述结果代入动力学普遍方程：11()δ0N ni k i i k k i k Q m q q ==¶-×=¶åår r &&得到d 0(12)d k k kTTQ k N t qq æö¶¶--==ç÷¶¶èøL &，，，—第二类拉格朗日方程二阶常微分方程组，方程式的数目等于质点系的自由度数。
理论力学-拉格朗日方程
第七章
拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
质点的速度
vi
ri t
,
ri q j
ri r qj i j 1 q t j
k
（1）
仅是广义坐标和时间的函数， q j 无关。 与
将式（1）二端对广义速度 q j求偏导，注意到 q j与 q j 是彼此独立的，
则有拉格朗日第一变换式
但是பைடு நூலகம்如果改用广义坐标，来描述系统的运动，将动 力学普遍方程表达成广义坐标的形式，就可得到与广义坐
标数目相同的一组独立的运动微分方程，这就是著名的拉 格朗日方程，用它求解较复杂的非自由质点系的动力学问 题常很方便。
第七章
拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
二、拉格朗日方程的推导
设由 n 个质点组成的质点系，受到 s 个理想、完整约束，因此该系统 具有k= 3m- s个自由度，可用 k 个广义坐标 q1 , q2 , … , qk 来确定该系统的 位形。 在非定常约束下，系统中任一质点的矢径可表示成广义坐标和时间的
vi ri q j q j
将式（1）对任 一广义坐标 qh 求偏导，有
k vi 2 ri 2 ri qj j 1 q q qh qh t h j
（2）
第七章
拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
拉格朗日第一变换式
vi ri q j q j
§7-1 动力学普遍方程
例题 7-1
各质点的虚位移可用广义坐标的
d O δrB F*B B m1g δrC d α x δrA A m1g F*A
变分 表示
xA (d l sin ),
x A l cos
理论力学 拉格朗日方程
解题步骤 （1）确定自由度 （2）选取广义坐标
（3）写出用广义坐标表示的T、V及L的表达式
（4）将拉格朗日函数L代入拉格朗日方程
例一：
滑轮组：求每个砝码的加速度
d L dt q L q 0
1, 2, s
例二：用拉格朗日方程求椭圆摆的运动微分方程。
简单求出主动力在平衡时满足的条件。
5.2.4广义力
由前面讨论我们知 ri 的虚位移为
ri ri q 1 , q 2 ,...q s , t
ri
q
1
s
r
i
q
所以，虚功原理在广义坐标下的表达式为
n s ri s n ri W Fi ri Fi ( q ) Fi q i 1 i 1 1 q 1 i 1
d ri ri m i ri m i ri dt i 1 q i 1 q
dt q d
2 n m i v i2 n mi vi q 2 i 1 i 1 2
可得保守力系下的拉格朗日方程为：
d L dt q L q 0
1, 2, s
拉格朗日函数
L T V
保守力系下的拉格朗日方程
d L dt q L q 0
1, 2, s
s
第二项
ri mi a i P q i 1
n
称之为广义惯性力。
5.3.2拉格朗日关系式
考察由n个质点组成的理想约束系统，受有k个完整约束，其 广义坐标数s=3n-k。第i个质点的位矢 ri ri (t , q1 , q 2 , q s ), i 1,2, n
07-分析力学基础-第二类拉格朗日方程的应用
∂L =0 ∂x
∂L = Qsinα ∂s
代入保守系统拉氏方程，并适当化简， 代入保守系统拉氏方程，并适当化简，得到系统的运动微分方 程。
& & (P+Q)& −Q⋅& cosα =0 x s & & 3& −2& cosα =2gsinα s x
拉格朗日函数
L = T −V
1 m(x2 -xθlsinθ + 1 l 2θ 2 ) & & && = 2 3 1 kx2 + mg(x + l cosθ ) 2 2
4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程
∂L = － + mgx kx ∂x
∂L = mx- 1 m &lsinθ & θ & ∂x 2
2 2 −mgl(θ12 +θ2 )/2 − kl 2 (θ12 −2θ1 θ2 +θ2 )/2
∂L =−mglθ −kl 2 (θ −θ ) =−(mgl + kl 2 )θ + kl 2θ 1 1 2 1 2 ∂θ1
∂L = ml 2θ & 1 & ∂θ1 d ∂L = ml 2θ && 1 & dt ∂θ1
O
r0
B k A
解：1、系统的约束为完整约束，且主动 系统的约束为完整约束， O θ B' W
r0 r
拉格朗日方程的应用
（c ）滑块做简谐振动0sin x x t ω=。
自由度为 1。
取 θ例3．在极坐标中：r r v rv r v r v r θθωθ==⎧⎧⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩ 对于光滑杆我们可以设线密度为ρ，质量为：M l ρ=一个光滑杆，在铅直平面Oyz 内以角速度ω绕ox 轴转动，一个质点约束在杆上运动，0t =时，,0r b r== ，求质点运动规律和约束反力N F解：体系的自由度为 1 约束方程为：t θω= 取广义坐标为：r应用牛顿运动方程：例4．解：（1）自由度：平面运动的质点的自由度为 2，现在受到绳子的约束所以自由度为 1 （2）质点受重力（主动力）和绳子的拉力（约束力）均为保守力，（3）系统是理想约束，完整体系（4）取 为广义坐标在一光滑的平面上竖直固定一半径为r的圆柱体，设长为l轻绳一端固定在柱底面的O点，另一端系着质量为m的小球，小球在平面上以垂直于绳子的方向的初速度为0v运动。
（1）写出体系的拉格朗日函数L（2）小球碰倒主体时的位置和消耗的时间[]22()2()2sin cos ()0l r r l r r gr g l r θθθθθθθθ---++--=即：[]2()22sin cos 0l r r r gr g θθθθθθ--++-=若不考虑质点势能：代入拉格朗日方程：暂时不考虑l r θ=点，注意到01k m g δ=时： 例6．解：该系统有两个自由度，选取1x 和ϕ为广义坐标21(2)0m m xkx ++= 如图所示的运动系统中，重物1M 的质量为1m ，可沿光滑水平面移动；摆锤2M 的质量为2m ，两个物体用无重杆连接，杆长为l 。
试建立此系统的运动微分方程。
12120sin cos y x x l y l ϕϕ==-=，，12120cos sin yx x l y l ϕϕϕϕ==-= ，，例：带电粒子在电磁场中的运动设 电场：E ； 磁场： B ； 对于带电粒子：电荷：q ； 速度：vLorentz 力：()F q E v B =+⨯Maxwell 方程：Lorentz 力是非保守力：()()0F q E v B ∇⨯=∇⨯+∇⨯⨯≠因此带电粒子在电磁场中的运动应该通过将洛伦兹力构建(,,)U U q qt αα= ，进而写出新的拉格朗日函数。
拉格朗日方程
QIi
n i 1
miai
ri q j
n i 1
mi
d ri dt
ri q j
式（15-7）中代入了 ai d vi / dt d ri / dt ， vi ri 。
（15-4） .（15-5）
（15-6）
下面来推导 QI j 的表达式。由于
d
dt
n i1
mi
ri
ri q j
n i 1
在应用质点系的达朗贝尔原理求解动力学的问题时，取投影 形式的平衡方程。若取直角坐标系，则对于平面任意力系有
F (e) x
FIx 0
F (e) y
FIy 0
MO (F (e) )
MO (FI ) 0
（13-6）
由第十四章第六节已经得到主动力的虚功表达式为
式中
n
n
WF Fi ri Qjqj
式写成
QI
j
d dt
i
n
miri
1
ri q j
i
n
mi
1
ri
ri q j
d dt
i
n 1
mivi
vi q j
i
n 1
mi
ri
vi q j
d dt
q j
n i 1
1 2
mivi2
q j
n i 1
1 2
mivi2
d dt
T q j
T q j
（15-12）
这里引入了质点系的动能表达式
理论力学
拉格朗日方程
在动力学普遍方程中采用了非独立的直角坐标，即在式（15-1）中的ri 或在 式（15-2）中的 xi ，yi ，zi 都不是彼此独立的，在解方程时还要联立求解 一系列的约束方程组；而且还要涉及到质点系的惯性力和虚位移的分析计 算。解决这一难点的方法是，考虑系统的约束条件，利用广义坐标和动能 的概念，将动力学普遍方程化为用广义坐标表示的微分方程组。这就是本 节要阐述的拉格朗日方程，又称第二类拉格朗日方程。
理论力学(第三版)第5章第3节拉格朗日方程
上式中的两个括号正是力学系统的动能T, 所以
i n1m ir q r id d t q T q T
s1Qddtq TqT0
(5.26)
所以
d d t q T q T Q 1, 2 ,s, (5.27
前一个是质点绕极点运动的惯性离心力. 广义力Q , Q
可利用虚功来求. 先令=0, 虚功W=F r=F ,得到
Q = F . 这是力的径向分量.
同理 先令 =0, 利用虚功得到Q= F .这是相对极点的
力矩.
例其2平移如方果某 向一 沿广 着义 单坐位标矢量q ,n反(映如力图学). 即系统的整体平移,
2 (m1 m2)g m1lcos
例题2
质量为m1的三棱柱ABC通过滚 轮搁置在光滑的水平面上. 质量为 m2、半径为R的均质圆轮沿三棱柱 的斜面AB无滑动地滚下.
y
A
C1
OC
D C2
B
求：(1) 三棱柱后退的加 速度a1; (2)圆轮质心C2相对于三 棱柱加速度ar.
x
解：(1) 分析运动
三棱柱作平移，加速度为 a1. 圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为ae= a1 ；质心的 相对加速度为ar；圆轮的角加速度为2.
类型. 事实上, 研究第i个质点的运动时, 若选用跟随这个
质点一同平动的参考系统, 这个质点显然是(相对)静止的,
它应当遵守平衡方程. 最后一项就是惯性力. 这就叫做达
朗贝尔原理. n F im iri ri 0
(5.23)
i1
——达朗贝尔-拉格朗日方程
拉格朗日方程
论文提要拉格朗日方程是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。
拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。
拉格朗日推导出两种形式的拉式方程，即第一类拉格朗日方程和第二类拉格朗日方程。
第一类方程使用直角坐标及约束方程（用待定乘子法），因而方程组中的方程很多；第二类方程使用广义坐标、广义力及动能的概念，使方程组中的方程数大大减少（为广义做表数或自由度数）。
拉式方程由动力学普遍方程导出，他秉承了动力学普遍方程不需考虑约束力的优点。
因而，对受完整约束的多自由度多刚体系统，比其它动力学方法简单（特别是保守系统，毋需求广义力）。
摘 要：拉格朗日方程是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。
拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。
拉式方程由动力学普遍方程导出，他秉承了动力学普遍方程不需考虑约束力的优点。
因而，对受完整约束的多自由度多刚体系统，比其它动力学方法简单（特别是保守系统，毋需求广义力）。
关键词：拉格朗日方程 约束力 广义力拉式方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理学的基本物理量而且是标量，因此拉式方程为把力学规律推广到其它物理学领域开辟了可能性，成为力学与其它物理学分支相联系的桥梁。
一、 基本形式的拉格朗日方程设体系由n 个质点组成，受k 个理想完整约束，其自由度为s=3n-k ，即需要s 个独立坐标即广义坐标，则ir =ir ()12,,,,s q q q t ()5.3.1ir δ=11ir q q δ∂∂+22ir q q δ∂∂+...,+issr q q δ∂∂=1sissr q q αδ=∂∂∑, 1,2,...,s α= ()2.3.5在理想约束下，有()0=⋅-∑rr m F iiiiiδ ()3.3.5将()2.3.5式代入()3.3.5式，()()01111=∂⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⋅-=∂∂∂⋅-∑∑∑∑====q q r r m F q qrr m F sni i iiisini iiiαααααα因q α是独立的，所以()01=∂∂⋅-∑=qrr m F in i iiiα011=∂∂⋅-∂∂⋅∑∑==qrF q rr m ini i iini iαα()4.3.5第二项 q rF Q ini iαα∂∂⋅=∑=1为广义力 ()5.3.5第一项∑∑∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅=∂∂⋅n i i i i n i i i i iini iq r r m q r r m q rr m dt d dt d 111ααα()6.3.5 ()tt dt d r qq rq rr isii i ∂∂+∂∂==∑= αααα1, ()7.3.5体系动能 ()t T T q q r m i i ni ,,2121αα==∑=q r r q r r m q in i i i in i i T ααα∂∂∂=∂∂⋅=∂∂∑==11 ()8.3.5 q r rq r r m q i n i i ii n i i T ααα∂∂∂=∂∂⋅=∂∂∑==11()9.3.5 将()8.3.5式、()9.3.5式代入()6.3.5式：q q q rr m T T dt d iini iααα∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂⋅∑= 1()10.3.5 将()5.3.5式、()10.3.5式代入()4.3.5，得Q q q T T dt d ααα=∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ ()s ,...,2,1=α ()11.3.5 上式为基本形式的拉格朗日方程。
拉格朗日方程
36 37 47 48 49 51 52 53 54
达朗贝尔原理
（1）质点的达朗贝尔原理
在质点运动的任一瞬时，作用在一个质点上的主动力、约束力、虚拟的惯性力 在形式上组成平衡力系：
→
→ → F + Ri + F0 = 0
.. → → F0 = − m r
达朗贝尔原理
拉格朗日方程
（1）方程的基本形式 设质点系由n个质点组成，并受到s 设质点系由n个质点组成，并受到s个完整的、理想约 束条件限制，则该质点系具有k=3n- 个自由度k 束条件限制，则该质点系具有k=3n-s个自由度k个广义坐 标 q j (j=1,2,3…,k),系统的运动应满足拉格朗日方程（简 (j=1,2,3…,k),系统的运动应满足拉格朗日方程（简 称拉氏方程），即
d ∂L − ∂L = 0 ∂q dt ∂ q. i j
j = (1,2,..., k )
式中拉格朗日函数（简称拉氏函数）L等于系统的动能T与势能 式中拉格朗日函数（简称拉氏函数）L等于系统的动能T V之差，即 L=TL=T-V L又称动势i
或
F n ∑ ( Fi −mi ai )•δ r i =0 i =1
上式的解析表达式为 .. .. .. n ∑ [(F −m xi )δ x + ( F − m yi )δ y + ( F − m zi )δ z ] = 0 i i iy i i iz i i i =1 ix
IE IE I
D
ω
3.简答题
13-8.一列火车在启动过程中，哪节车厢的挂钩受力最大？为什么？ 13-8.一列火车在启动过程中，哪节车厢的挂钩受力最大？为什么？
谈拉格朗日方程在高中物理竞赛中的应用
第42卷第4期2021年物理教师PHYSICS TEACHERVol.42No.4(2021)•竞赛园地•谈拉格朗日方程在高中物理竞赛中的应用孙伟（南京市雨花台中学，江苏南京210012）摘要：本文通过应用拉格朗日方程解决竞赛试题，展示了拉格朗日方程在解决主动力全是保守力情况下完整系统的解题步骤，为竞赛师生提供了解决这类问题另一种思路，提升了应对物理竞赛的能力.关键词：完整约束；拉格朗日函数；拉格朗日方程对高中物理力学竞赛题的处理基本上是以牛顿运动定律来求解的，而用牛顿运动定律来求解质点组的运动问题时，常常要解算大量的微分方程组•如果质点组受到约束，则因约束反力都是未知的，所以并不能因此减少而且甚至增加了问题的复杂性.为此，利用分析力学的思路解决这类问题往往相对简单.下面对拉格朗日方程的应用做简单介绍.1完整约束某些约束仅对力学系统的几何形象加以限制，即仅对系统的位形加以限制，而对质点的速度没有限制，这种约束称为几何约束.对于涉及力学系统运动情况的约束，即对速度也有限制的，则称为运动约束.可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别，合称为完整约束.2保守力系的拉格朗日方程主动力全是保守力情况下的完整系统，拉格朗日方程表达为£（卷）一签=0（其中a=l,2,-,5）,其中L=T-V,称为拉格朗日函数，T为系统动能,V为系统势能，g。
为广义坐标，几为广义速度,s为系统在有限运动中的自由度.3应用步骤对于保守力系的问题，应用拉格朗日方程的步在©^［。
冷一讣©增大时,N减小,N?增尢解法3：利用辅助圆通过图解法处理动态平衡（此法关键在于中间有两个力的夹角必须不变）本题从图10中我们很容易发现，M，N2的夹角为号一a=定值，且为锐角.由于最初状态,重力与N2垂直.此时M最大;最后末态，M接近水平N2接近最大值，由图形可知：M减小,N?增大.以上几种利用圆的性质和特点.解决力学中骤如下：（1）分析系统所受的约束，如系统确为完整系统，确定力学体系的自由度；（2）选取与自由度相同数目的广义坐标；（3）用广义坐标和广义速度表示出力学体系的动能丁,用广义坐标表示出势能V,并进而写出体系的拉格朗日函数L=丁一V；（4）列出拉格朗日方程:£（严）一券=0（其中a=l,2,…，s）,s个q”的二阶常微分方程组就是完整系统的动力学方程；（5）解方程并讨论.下面具体举几个例子.题1.（第30届决赛）质量均为m的小球1和小球2由一质量可忽略、长度为I的刚性轻杆连接，竖直地靠在墙角，如图1所示.假设墙和地面都是光滑的.初始时给2一个微小的向右的初速度.问系统在运动过程中，当杆与竖直墙面之间的夹角为何值时，球1开始离开墙面？解析：球1开始离开墙面前两球各自沿直线运动，它们的运动受到一个刚性杆的限制，因此系统只有1个自由度.建立如图2所示的坐标系，取的动态平衡问题的方法，有时也是相通的.在教学和考试中，只要把握住其中的关键信息和条件，指导学生选择适合自己理解的方法，都可以达到事半功倍的效果.参考文献：1周勇，袁宁.巧用图解法分析一类含弹簧的力学动态问题［J］.物理教师,2020（1）:92-93.2李建丽.关于2017年高考理科综合物理21题的四种解法［J］.高考，2017（9）:28-29.（收稿日期：2020—06—28）93Vol.42No.4 (2021)第42卷第4期2021年物理教师PHYSICS TEACHER杆与竖直墙面的夹角0为广义坐标，此时球1的歹轴坐标为y=lcos0.（1）球2的二•轴坐标为H=Zsin&.（2）（1）（2）式分别对时间求导得：球1的的速度v x=—10sin0.（3）球2的速度(4)v2=19cosO.主动力为两球的重力，它们为保守力•系统的动能T12I121=迈mp、十-^-mv2.系统势能V—mglcosO.拉格朗日函数L=T~V.由（3）〜（7）式得］.L=-^-ml292—mglcosO・由拉格朗日方程得甥=加厂0—mglsin6=0.(5)(6)(7)⑻(9)dt\dO/由（9）式得6_gsin<96I'对（10）式积分并代入初始条件得(10)(11)q_J2g（l-cos。
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l0
k
m
q
解：保守系统？ 系统受到的约束？ 自由度？ 广义坐标？
T ? V ?
拉格朗日函数有什么的特点？ 广义能量积分的含义？
例：系统如图所示，求系统动力学方程;维持AB匀角速 转动所需的控制力偶，此时滑块的相对平衡位置。 已知： m, k , J z为弹簧原长。 , l0
l0
A
k
m
B
2，用广义坐标表示势能
l V mg (1 cos ) 2
x
r
mg
A
B
5 2 1 2 2 m l mx l cos T mx 4 2 ,, ) T (x
mg
例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上 纯滚动，长2l 均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求 系统的运动微分方程，方程的首次积分。
保守系统 应用拉格朗日方程的步骤
1，选取广义坐标 2，用广义坐标表示势能 V
3，用广义坐标表示动能 T 4，拉格朗日函数 L=T-V
5，套公式
d L j dt q L 0 q j
例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上 纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求系统 的运动微分方程，方程的全微分。
Lo J x'x'i' J y 'y ' j' J z 'z 'k'
m b2 m a2 Lo cos i' sin j' 12 12
例：已知： m, a, b, ，质心在AB轴的中点， AB=L，求图示瞬时轴承A、B的约束力。
y'
FA
A
y
y'
C
b x'
x ' FB
§4-3、拉格朗日方程的首次积分
一、循环积分 如果保守系统的 L 不显含某些广义坐标
L 0, (i 1,, l ) qi
qi , (i 1,l )
L pi const. , (i 1,, l ) i q
上式称为拉格朗日方程的循环积分，相应的坐标称为 循环坐标。
A
vC ve vr
ve
vr
r vx x v x
y
r
x
c
mg
x r
部分保守系统
例：求如下系统运动微分方程。
l0
x
A
F (t )
解：1、确定系统的自由度 和广义坐标 2、求系统的动能和势能
( 拉格朗日函数 )
m1 g
m2 g
B 4、拉格朗日方程1，Leabharlann 取广义坐标 x xr
mg
A
2，用广义坐标表示势能
B
l V mg (1 cos ) 2
mg
已知：AB l , r, m
x
A
vA
vCA
c
B
3，用广义坐标及其 导数的表示动能
5 2 1 2 2 cos T ( x , ) ml mx l , T mx 4 2
例1：已知重为m1g，半径为r 的圆盘沿斜面纯滚动，重 量为m2 g的斜块在光滑水平面上运动。求广义力：
x1 x2 1 选取广义坐标
x2
x1 2 选取广义坐标
x1
例：系统如图所示，均质圆盘可绕O轴转动，不计质 量的绳索绕在圆盘上（无相对滑动），另一端与小球 A连接，求系统的运动微分方程。 已知：m，r 解： •系统有几个自由度
解： 系统有几个自由度？
Jz
x
M
g
T ? V ?
广义力如何求？
1 2 1 2 2 2 T J z m( x x ) 2 2
l0
A
k 2 V x 2
k
m
B
Qx 0, Q M
2 mx kx mx 0 2 M ( J z mx ) 2mx x
1，选取广义坐标 x
2，用广义坐标表示势能
V lm1 g (1 cos )
x
r
mg
A
B
3 2 1 2 2 2 2 T mx m1 x m1l m1 xl cos 4 2 3
m1g
T 3 mx m1 x m1l cos x 2
给出系统的首次积分（1）循环积分（2）能量积分
d L L 0 dt
d l 2 l cos ) (mx ( ml mx l sin mg sin ) 0 dt 2
d 5 L ml cos ) ( mx 0 dt 2 x d l 2 ( ml mxl cos ) (mx l sin mg sin ) 0 dt 2 L 0 x 5 cos ) C ml ( mx 1 2
3、非有势力的广义力
AB 2l , m1, m2
vA x v c v A v CA
cos l vcx x sin v l
cy
l0 x
A
F (t )
2 2 1 1 2 T1 m v m v J 2 c 2 1 A 2 2 c
vA
m1 g
例1：已知质量为m1，半径为r 的圆盘沿斜面纯滚动，质量 为m2 的斜块在光滑水平面上运动。求运动微分方程：
x1
x1 1，选取广义坐标
x2
2，用广义坐标表示势能 x2 l V m1 gx1 sin ) 2 3，用广义坐标及其导 数的表示动能 1 1 1 2 2 2 2 m1[( x 2 x 1 cos ) ( x 1 cos ) ] m1r 2 ( x 1 / r ) 2 T m2 x 2 2 2 1 1 2 2 2 m1 ( x 2 1 x 2 cos 2 x 12 ) m2 x 2x 2 2
2 mx cos mg (1 cos ) 2 ml 2 l mx 4 2 2 d L L 5，套公式 0 x dt x
d 5 L ( mx ml cos ) 0 dt 2 x
L T V L ( x , , ) 4，拉格朗日函 数 5 1 l
o
r
m
•如何选取广义坐标
T ? V ?
A
mg
T
1 1 2 J o 2 mv A 2 2
vA ? ?
o
x
A
ve
vr
例：系统如图所示，不计质量的绳索绕在均质圆盘上 （无相对滑动），另一端悬挂在A点。求系统的运动 微分方程。
y
A
A
c
mg
已知：m，r
r
r
x
c
mg
ve
vr
y
A
vCA c
1 2 2 2 T (m1 m2 ) x m2 xl cos m2l 2 2 3
V m2 gl (1 cos )
1 2 kx 2
m2 g
B
cos m l 2 sin kx F (t ) m2l (m1 m2 ) x 2 1 m l m2 (2l )2 2 x cos m2 gl sin 0 3
pi 称为对应于广义坐标 qi 的广义动量
例：系统如图所示，杆长为5m，质量为1kg，圆盘为
直径 0.6m，质量为10kg 。求系统运动微分方程。 解：1、确定系统的自由
o
1
度和广义坐标
2、求系统的动能
和势能
A 2
3、拉格朗日方程
例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上 纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求系统 的运动微分方程 1，选取广义坐标 x
Jz
x
M
g
相对平衡位置？
当
控制力偶M=？
图示矩形板绕AB定轴转动，求刚体对O点的动量矩
定轴转动—定点运动的特例
y'
Lo
A
y'
O
x'
x'
B
1 2 J x' m b 12 1 J y ' m a2 12
ω x'i'y ' j'0k' cos i' sin j'
V m2 gl(1 cos ) 1 2 T (m1 m2 ) x 2 2 l cos m2l 2 2 m2 x 3
x
A
m1 g
B
, ) , L T V L( x
m2 g
例：系统如图所示，求系统的首次积分。 已知： m, k , const. , l0 为弹簧原长。
FAz '
mg
a
FBz '
B
x
x' cos y' sin z ' 0
1 1 2 J x ' mb , J y ' ma 2 12 12
y'
FA
A
y
y'
C
b x'
x ' FB
FAz '
x ' ( J z ' J y ' ) y ' z ' M x ' J x ' y ' ( J x ' J z ' ) x ' z ' M y ' J y ' z ' ( J y ' J x ' ) x ' y ' M z ' J z '