信号检测习题
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N
信号检测与估计理论——习题讲解
E (l | H 0 ) E[ ( xk sk | H 0 )] E[ nk sk ] 0
k 1
2
2
Var (l | H 0 ) E[( ( xk sk | H 0 ) E (l | H 0 )) 2 ]
k 1 2
2
k 1
E[( nk sk ) 2 ]
k 1
N
H1成立
判决器
k k
H 0成立
sk
N
xk sk 因为检验统计量 l (x) 是相关运算，所 k 1 以，检测器是一种相关检测器。
信号检测与估计理论——习题讲解
（1）求采用贝叶斯准则时的最佳判决式。 （2）求判决概率 P( H1 | H 0 ) 和 P( H1 | H1 ) 的计算式。 解 （1）两个假设下观测信号的概率密度函 数分别为
p(x | H 0 ) p( x1 , x2 | H 0 ) p( x1 | H 0 ) p( x2 | H 0 )
k 1
2 2
2 2 s k n k 1
2
l ( x) 的均值和方差分别为 在假设 H1 下，
k 1 k 1
2 E (l | H1 ) E[ ( xk sk | H1 )] E[ ( sk nk ) sk ] sk k 1
2
Var (l | H1 ) E[( ( xk sk | H1 ) E (l | H1 )) 2 ]
（4）若 sk s (k 1, 2, , N ) ，求判决表示式， 画出检测器的结构，研究检测器的性能。
信号检测与估计理论——习题讲解
（1）贝叶斯准则判决表示式 两个假设下观测信号的概率密度函数分别为
p(x | H 0 ) ( 1 2 n
1
N ) 2 2 x 2 k exp[ ] 2 k 1 2 n N
2 2 1 x1 x2 exp[ ] 2 2 2 n 2 n
已知两次观测 统计相互独立
信号检测与估计理论——习题讲解 和 p (x | H1 ) p( x1 , x2 | H1 ) p( x1 | H1 ) p( x2 | H1 )
1 ( x1 s1 ) 2 ( x2 s2 ) 2 exp[ ] 2 2 2 n 2 n
k 1 2 2 2 E[( nk sk ) ] sk n 2 k 1 k 1 2
2
信号检测与估计理论——习题讲解
于是，偏移系数d 2 为
d2 [ E (l | H1 ) E (l | H 0 )]2 Var (l | H 0 )
2 s k k 1 2 n
于是似然比检验为
( x)
def
p ( x | H1 ) 1 exp[ 2 p(x | H 0 ) n
xk sk
k 1
2
1 2
2 n k 1
2 s k]
2
H1 H0
两边取对数，移项
信号检测与估计理论——习题讲解
考虑到 s1 0，s2 0 ，化简得判断表示式
l ( x)
def
xk sk
k 1
2
H1 H0
wk.baidu.com
2 1 2 2 n ln sk 2 k 1
def
为求判决概率，先求两个假 （2）下面研究检测性能。 设条件下的概率密度函数
xk sk在两个假设下都是高 因检验统计量 l (x) k 1 斯随机变量。 l (x) 的均值和方差分别为 在假设 H 0下，
N
2 k
]
H1 H0
信号检测与估计理论——习题讲解
化简得到判决表示式
l ( x)
x
k 1
N
k
sk
H1 H0
N 1 2 2 n ln sk 2 k 1
def
（2）检测器的结构 根据判决表示式，检测器的结构如下图所示
信号检测与估计理论——习题讲解
xk
x s
2
这样判决概率为
P( H1 | H 0 ) p(l | H 0 )dl Q[ln d d 2]
P( H1 | H1 ) p(l | H1 )dl Q[ln d d 2]
Q[Q 1 ( P( H1 | H 0 )) d ]
1 式中Q[u0 ] u0 2
信号检测与估计理论——习题讲解
（1）求采用贝叶斯准则时的最佳判决表示式， 并化简为最简形式，检验统计量记为 l (x) 。 （2）画出检测器的结构；根据检验统计量l (x) ， 说明该检测器是一种相关检测器。 （3）研究检测器的性能，求判决概率 P ( H1 | H 0 ) 和 P( H1 | H1 ) 的计算式。
信号检测与估计理论——习题讲解
信号检测与估计理论（习题课） 指导老师：张烨
信号检测与估计理论——习题讲解
3.4 考虑二元确知信号的检测问题。若两个 假设下的观测信号分别为
H 0 : xk nk , H1 : x1 s1 n1 x2 s2 n2
k 1, 2
其中，s1和s2为确知信号，且满足 s1 0, s2 0; 2 已知观测噪声 nk ~ N (0, ) ，且两次观 测相互统计独立；设似然比门限为 。
N
和
p ( x | H1 ) (
2 n
N ) 2
2 ( x s ) 2 k k exp[ ] 2 2 n k 1
于是，似然比检验为
( x)
P ( x | H1 ) 1 exp[ 2 P(x | H 0 ) n
xk sk
k 1
N
1 2
2 n k 1
s
12
u2 exp[ ]du 2
信号检测与估计理论——习题讲解
现在我们把这类二元确知信号的检测 问题推广为一般情况。
设两个假设下的观测信号分别为
H 0 : xk nk , k 1, 2, ,N ,N H1 : xk sk nk , k 1, 2,
sk (k 1, 2, , N ) 是确知信号，但各 其中， sk的值可以是不同的；各次观测噪声nk是均 值为零、方差为 2 的独立同分布高斯噪声。 设似然比检测门限 已知。
信号检测与估计理论——习题讲解
E (l | H 0 ) E[ ( xk sk | H 0 )] E[ nk sk ] 0
k 1
2
2
Var (l | H 0 ) E[( ( xk sk | H 0 ) E (l | H 0 )) 2 ]
k 1 2
2
k 1
E[( nk sk ) 2 ]
k 1
N
H1成立
判决器
k k
H 0成立
sk
N
xk sk 因为检验统计量 l (x) 是相关运算，所 k 1 以，检测器是一种相关检测器。
信号检测与估计理论——习题讲解
（1）求采用贝叶斯准则时的最佳判决式。 （2）求判决概率 P( H1 | H 0 ) 和 P( H1 | H1 ) 的计算式。 解 （1）两个假设下观测信号的概率密度函 数分别为
p(x | H 0 ) p( x1 , x2 | H 0 ) p( x1 | H 0 ) p( x2 | H 0 )
k 1
2 2
2 2 s k n k 1
2
l ( x) 的均值和方差分别为 在假设 H1 下，
k 1 k 1
2 E (l | H1 ) E[ ( xk sk | H1 )] E[ ( sk nk ) sk ] sk k 1
2
Var (l | H1 ) E[( ( xk sk | H1 ) E (l | H1 )) 2 ]
（4）若 sk s (k 1, 2, , N ) ，求判决表示式， 画出检测器的结构，研究检测器的性能。
信号检测与估计理论——习题讲解
（1）贝叶斯准则判决表示式 两个假设下观测信号的概率密度函数分别为
p(x | H 0 ) ( 1 2 n
1
N ) 2 2 x 2 k exp[ ] 2 k 1 2 n N
2 2 1 x1 x2 exp[ ] 2 2 2 n 2 n
已知两次观测 统计相互独立
信号检测与估计理论——习题讲解 和 p (x | H1 ) p( x1 , x2 | H1 ) p( x1 | H1 ) p( x2 | H1 )
1 ( x1 s1 ) 2 ( x2 s2 ) 2 exp[ ] 2 2 2 n 2 n
k 1 2 2 2 E[( nk sk ) ] sk n 2 k 1 k 1 2
2
信号检测与估计理论——习题讲解
于是，偏移系数d 2 为
d2 [ E (l | H1 ) E (l | H 0 )]2 Var (l | H 0 )
2 s k k 1 2 n
于是似然比检验为
( x)
def
p ( x | H1 ) 1 exp[ 2 p(x | H 0 ) n
xk sk
k 1
2
1 2
2 n k 1
2 s k]
2
H1 H0
两边取对数，移项
信号检测与估计理论——习题讲解
考虑到 s1 0，s2 0 ，化简得判断表示式
l ( x)
def
xk sk
k 1
2
H1 H0
wk.baidu.com
2 1 2 2 n ln sk 2 k 1
def
为求判决概率，先求两个假 （2）下面研究检测性能。 设条件下的概率密度函数
xk sk在两个假设下都是高 因检验统计量 l (x) k 1 斯随机变量。 l (x) 的均值和方差分别为 在假设 H 0下，
N
2 k
]
H1 H0
信号检测与估计理论——习题讲解
化简得到判决表示式
l ( x)
x
k 1
N
k
sk
H1 H0
N 1 2 2 n ln sk 2 k 1
def
（2）检测器的结构 根据判决表示式，检测器的结构如下图所示
信号检测与估计理论——习题讲解
xk
x s
2
这样判决概率为
P( H1 | H 0 ) p(l | H 0 )dl Q[ln d d 2]
P( H1 | H1 ) p(l | H1 )dl Q[ln d d 2]
Q[Q 1 ( P( H1 | H 0 )) d ]
1 式中Q[u0 ] u0 2
信号检测与估计理论——习题讲解
（1）求采用贝叶斯准则时的最佳判决表示式， 并化简为最简形式，检验统计量记为 l (x) 。 （2）画出检测器的结构；根据检验统计量l (x) ， 说明该检测器是一种相关检测器。 （3）研究检测器的性能，求判决概率 P ( H1 | H 0 ) 和 P( H1 | H1 ) 的计算式。
信号检测与估计理论——习题讲解
信号检测与估计理论（习题课） 指导老师：张烨
信号检测与估计理论——习题讲解
3.4 考虑二元确知信号的检测问题。若两个 假设下的观测信号分别为
H 0 : xk nk , H1 : x1 s1 n1 x2 s2 n2
k 1, 2
其中，s1和s2为确知信号，且满足 s1 0, s2 0; 2 已知观测噪声 nk ~ N (0, ) ，且两次观 测相互统计独立；设似然比门限为 。
N
和
p ( x | H1 ) (
2 n
N ) 2
2 ( x s ) 2 k k exp[ ] 2 2 n k 1
于是，似然比检验为
( x)
P ( x | H1 ) 1 exp[ 2 P(x | H 0 ) n
xk sk
k 1
N
1 2
2 n k 1
s
12
u2 exp[ ]du 2
信号检测与估计理论——习题讲解
现在我们把这类二元确知信号的检测 问题推广为一般情况。
设两个假设下的观测信号分别为
H 0 : xk nk , k 1, 2, ,N ,N H1 : xk sk nk , k 1, 2,
sk (k 1, 2, , N ) 是确知信号，但各 其中， sk的值可以是不同的；各次观测噪声nk是均 值为零、方差为 2 的独立同分布高斯噪声。 设似然比检测门限 已知。