大连理工大学2004至2005学年第二学期数值逼近期末考试试题C

大连理工大学2004至2005学年第二学期数值逼近期末考试试题C

大连理工大学

课程名称：数值逼近试卷：c 授课院(系)：数学系考试日期：2005年2 月28日

一二三四五六七八九总分

标准分181810810108810100

得

分

一、填空（18分）

（1）[a,b]上具有n+1个求积节点的求积公式的代数精度最多为（）。

（2）设连续函数f（x）C[0,1],则它的n次Bernstein 多项式为

（）。

（3）设f(x) C[a,b],m和M分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值，则f(x)在[a,b]上的零次最佳逼近多项式为( ).

（4）n次直交多项式的单根个数为（）。

（5）设则的一组基底为（），其中

表示以为节点的n次样条函数的全体。

（6）N次Bezier曲线的表示式是( ）。

二、判断题（18分）（正确的√，错误的×）

（1）具有n个求积节点的求积公式的代数精度至少为n-1。（）。

（2）[a，b]上的两个直交多项式和没有公共的根（）。

（3）中的一个多项式p(x)成为C[a,b]中某给定函数f(x)的最佳逼近多项式必须且只需p(x)-f(x)在[a,b]上的偏离点的个数不少于n+2（）。

（4）Simpson求积公式的代数精度是3（）。

（5）设连续函数f（x）C[a,b]，是其n次最佳平方逼近多项式，则

（）。

（6）n次Chebysheff(切比雪夫)多项式在[-1，1]上恰有n个极大值点。（）。三、（10分）叙述并证明Wereistrass第一定理。

Weierstrass第一定理：设，那么对于任意给定的，都存在这样的多项式，使得

四、（8分）求在[0，1]上的一次平方逼近多项式。

五、（10分）确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使求积公式的代数精度最高。（求积系

数只需给出公式即可）

六、（10分）求f（x）=在[0，1]上的一次最佳逼近多项式。

七、（8分）设，试求以-1，0，1，-2为插值节点的三次插值多项式。

八、（8分）设是且比雪夫多项式的零点，则对任意一个次数低于n

的多项式有恒等式

成立

大连理工大学2004-2005学年第二学期数值逼近期末考试试题

C答案

一、填空（18分）

（1）[a,b]上具有n+1个求积节点的求积公式的代数精度最多为（2n+1 ）。

（2）设连续函数f（x）C[0,1],则它的n次Bernstein 多项式为

（）。

（3）设f(x) C[a,b],m和M分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值，则f(x)在[a,b]上的零次最佳逼近多项式为( ).

（4）n次直交多项式的单根个数为（ n ）。

（5）设则的一组基底为

（），其中表示以

为节点的n次样条函数的全体。

（6）N次Bezier曲线的表示式是(为控制点）。

二、判断题（18分）（正确的√，错误的×）

（1）具有n个求积节点的求积公式的代数精度至少为n-1。（√）。

（2）[a，b]上的两个直交多项式和没有公共的根（√）。

（3）中的一个多项式p(x)成为C[a,b]中某给定函数f(x)的最佳逼近多项式必须且只需p(x)-f(x)在[a,b]上的偏离点的个数不少于n+2（×）。

（4）Simpson求积公式的代数精度是3（√）。

（5）设连续函数f（x）C[a,b]，是其n次最佳平方逼近多项式，则

（√）。

（6）n次Chebysheff(切比雪夫)多项式在[-1，1]上恰有n个极大值点。（×）。

三、（10分）叙述并证明Wereistrass第一定理。

Weierstrass第一定理：设，那么对于任意给定的，都存在这样的多项式，使得

证明：构造的n次Bernstein多项式

为了证明Wereistrass第一定理，需要用到一个恒等式：

=

由于

可知

左端=

=右端

令

一致连续，所以有

，，，

有，所以

（令）

由，得到，

所以上式

随着n的无限增大，上式趋于0，这就证明了多项式序列对于的一致收敛性。

四、（8分）求在[0，1]上的一次平方逼近多项式。

解：设在[0，1]上的一次平方逼近多项式为

所以

得到

解得

所以一次平方逼近多项式为

五、（10分）确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使求积公式的代数精度最高。（求积系

数只需给出公式即可）

解：要使上面的求积公式的代数精度最高，需要确定高斯求积节点，使得代数精度达到最高，也就是求二次直角多项式的根。

设在[-1,1]上的二次直交多项式为

则有所以有

所以有

所以二次直交多项式为，零点为，

当时，有

当时，有

所以即求积公式为

当时有

当时有

当时有

所以求积公式的代数精度为3达到最高代数精度。

六、（10分）求f（x）=在[0，1]上的一次最佳逼近多项式。

解：在[0,1]上连续，且>0

设在[0,1]上的一次最佳逼近多项式为

则在[0,1]上至少有3个正负交错的偏离点，

，是的极值点，即